1Le milieu interstellaire et la formation des étoiles

Dans la constellation du Taureau, à environ $140\,\mathrm{pc}$ du Soleil, une tache sombre masque les étoiles situées derrière elle. Observée avec un radiotélescope réglé sur les raies du monoxyde de carbone, la tache est un nuage de gaz froid environ vingt mille fois plus massif que le Soleil, parsemé de filaments ; au cœur de ses grumeaux les plus denses naissent de jeunes étoiles, et autour de l’une d’elles, HL Tauri, un disque de poussière présente une alternance d’anneaux clairs et sombres où des planètes se forment peut-être déjà. Le Soleil, la Terre et chaque atome des roches de ce livre ont un jour été contenus dans un tel nuage. Ce chapitre suit la matière d’un système planétaire depuis le gaz ténu qui s’étend entre les étoiles jusqu’à un disque autour d’une étoile nouvellement née : ce qu’est le milieu interstellaire, pourquoi un nuage soutenu par sa propre chaleur finit par s’effondrer, combien de temps dure cet effondrement, comment une étoile rassemble sa masse et pourquoi la matière qui ne tombe pas sur elle finit dans un disque.

Tu sais déjà

Une étoile de la séquence principale brille en fusionnant l’hydrogène en hélium dans son cœur et se maintient par sa pression contre son propre poids ; sa position dans le diagramme de Hertzsprung–Russell est fixée par sa masse (les volumes de physique, troisième année universitaire). Un corps en orbite fermée autour d’une masse $M$ obéit à la troisième loi de Kepler, $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ (les volumes de physique, première année universitaire). Un corps noir de température $T$ émet $\sigma T^4$ par unité de surface (les volumes de physique, deuxième année universitaire). Dans un gaz parfait de $N$ particules, l’énergie cinétique moyenne de translation vaut $\tfrac32 N k_{\mathrm B} T$. Le parsec, $3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, est l’unité de distance du volume de première année universitaire.

1.1 La matière entre les étoiles

L’espace entre les étoiles n’est pas vide. Près du Soleil, il contient en moyenne environ un atome d’hydrogène par centimètre cube, soit une densité de masse de $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; l’air que nous respirons contient environ $10^{19}$ fois plus de molécules dans le même volume (Exercice 1.1). Répandue dans la Galaxie, cette matière ténue représente encore $10\text{ à }15\,\%$ de la masse du disque galactique.

Définition 1.1 (Milieu interstellaire, poussière interstellaire)

Le milieu interstellaire est le gaz et la poussière qui remplissent l’espace entre les étoiles d’une galaxie. La poussière interstellaire en est la part sous forme de grains solides, de quelques nanomètres à environ un micromètre de diamètre, faits de silicates, de composés carbonés et, dans les régions froides, de glaces.

Sa composition est celle que l’on mesure dans le Soleil et dans les météorites : en masse, $70.4\,\%$ d’hydrogène, $28.1\,\%$ d’hélium et $1.5\,\%$ d’éléments plus lourds. Seuls $0.5\text{ à }1\,\%$ de la masse sont dans la poussière, mais celle-ci détient l’essentiel de certains éléments : le gaz est plus pauvre que le Soleil en magnésium, en silicium et en fer, d’un facteur 10 à 100, parce que ces atomes sont enfermés dans les grains, tandis que le carbone, l’azote et l’oxygène ne sont appauvris que d’un facteur 1.2 à 3. Les grains sont les premiers solides d’un futur système planétaire ; Chapitre 2 les suit.

1.1.1 Cinq phases

Le gaz est loin d’être uniforme. Il se présente en quelques états distincts, ou phases, chacun avec son propre domaine de température et de densité (tableau ci-dessous). Environ la moitié de sa masse est dans des nuages qui n’occupent que $1\text{ à }2\,\%$ du volume ; le reste, tiède ou chaud, remplit l’espace entre eux.

phase	température (K)	densité $n$ ($\mathrm{cm}^{-3}$)
moléculaire	10–20	$10^2$–$10^6$
atomique froid	50–100	20–50
atomique tiède	6000–10 000	0.2–0.5
ionisé tiède	environ 8000	0.2–0.5
ionisé chaud	environ $10^6$	environ 0.0065

Le tableau cache une régularité. La pression d’un gaz parfait vaut $P = n k_{\mathrm B} T$, de sorte que le produit $nT$ la mesure. Pour le gaz atomique froid, $nT$ vaut environ $30\times75 \approx 2000$ (en $\mathrm{K}\,\mathrm{cm}^{-3}$), pour le gaz atomique tiède environ $0.3\times8000 \approx 2400$, pour le gaz chaud environ $0.0065\times10^6 = 6500$ : à un facteur de quelques unités près, les trois phases qui se partagent l’espace entre les nuages sont à la même pression (figure ci-dessous). Là où un gaz chaud et un gaz froid se touchent à pression égale, aucun ne repousse l’autre ; un gaz qui se refroidit à pression constante devient plus dense en proportion et passe de la phase tiède à la phase froide. Les nuages moléculaires atteignent des pressions bien plus élevées, jusqu’à des milliers de fois plus dans leurs parties denses : ils sont liés par leur propre gravité, et non par la pression de leur environnement.

La poussière se manifeste de trois façons. Elle assombrit la lumière des étoiles situées derrière elle, et davantage le bleu que le rouge, si bien que les étoiles vues à travers elle paraissent plus rouges qu’elles ne le sont. Elle rayonne dans l’infrarouge lointain et aux longueurs d’onde millimétriques, à la température de quelques dizaines de kelvins à laquelle la lumière des étoiles la porte. Et elle cache à l’optique ce qui se trouve à l’intérieur d’un nuage dense : c’est pourquoi la formation stellaire s’observe dans le domaine radio et infrarouge. Le gaz se repère par ses raies : l’hydrogène atomique par sa raie radio à $21\,\mathrm{cm}$, l’hydrogène moléculaire, qui rayonne à peine lorsqu’il est froid, par les raies des molécules qui l’accompagnent, le monoxyde de carbone en tête.

1.2 Nuages moléculaires

La phase la plus froide et la plus dense est celle où naissent les étoiles.

Définition 1.2 (Nuage moléculaire, cœur dense)

Un nuage moléculaire est une région du milieu interstellaire assez dense et opaque pour que son hydrogène soit surtout sous forme de molécules, $\ce{H2}$, protégées par la poussière de la lumière ultraviolette des étoiles qui les détruiraient ; sa température est d’environ $10\,\mathrm{K}$ à $20\,\mathrm{K}$. Un cœur dense est une condensation compacte à l’intérieur d’un nuage moléculaire, de quelques dixièmes de parsec de diamètre au plus, avec des densités de $10^4$ à $10^5$ particules par centimètre cube, à partir de laquelle se forme une seule étoile ou un petit groupe d’étoiles.

Les nuages s’organisent en hiérarchie (tableau ci-dessous). Un nuage sombre comme celui du Taureau contient des grumeaux, et les grumeaux contiennent des cœurs, chaque niveau étant plus dense, plus petit et plus calme que le précédent : dans un cœur, le gaz se déplace au plus à quelques dixièmes de kilomètre par seconde, la vitesse du son dans un gaz à $10\,\mathrm{K}$. La région du Taureau cartographiée dans le monoxyde de carbone contient environ $2.4 \times 10^{4}$ masses solaires de gaz ; seules $0.3\text{ à }1.2\,\%$ de celles-ci se sont transformées en jeunes étoiles observées là-bas, à raison d’environ huit étoiles par cent mille ans au cours des trois derniers millions d’années. La formation stellaire est lente et gaspilleuse.

	nuages sombres	grumeaux	cœurs denses
masse (masses solaires)	$10^3$–$10^4$	50–500	0.5–5
taille (pc)	2–15	0.3–3	0.03–0.2
densité moyenne ($\mathrm{cm}^{-3}$)	50–500	$10^3$–$10^4$	$10^4$–$10^5$
température du gaz (K)	environ 10	10–20	8–12
exemples	Taureau, Musca	—	L1544, B68

Pourquoi les nuages sont-ils si froids ? Le gaz perd de l’énergie en émettant des photons qui s’échappent, et les molécules sont d’excellents émetteurs : une collision porte une molécule de monoxyde de carbone à un niveau de rotation plus élevé, la molécule redescend en émettant un photon à la longueur d’onde millimétrique, et le photon quitte le nuage en emportant l’énergie de la collision. La poussière, réchauffée par la faible lumière stellaire qui pénètre, rayonne dans l’infrarouge lointain. Le chauffage, dû aux rayons cosmiques et à la lumière stellaire filtrée par la poussière, est faible ; l’équilibre s’établit près de $10\,\mathrm{K}$. Dans un tel gaz la pression thermique est faible, et la gravité peut l’emporter.

1.3 Effondrement gravitationnel

Un nuage est un équilibre entre deux énergies : l’énergie thermique de son gaz, qui pousse vers l’extérieur, et son énergie gravitationnelle, qui tire vers l’intérieur. La seconde croît plus vite avec la masse que la première ; au-delà d’une certaine masse, la gravité l’emporte.

Proposition 1.3 (Énergie gravitationnelle d’une sphère uniforme)

Une sphère de densité uniforme, de masse $M$ et de rayon $R$, possède l’énergie potentielle gravitationnelle

$$U = -\frac{3}{5}\,\frac{G M^2}{R}.$$

Un corps autogravitant en équilibre obéit au théorème du viriel : en moyenne dans le temps, deux fois son énergie cinétique plus son énergie gravitationnelle est nulle, $2K + U = 0$ (les volumes de physique, troisième année universitaire, où il est démontré à partir des équations du mouvement). Pour un nuage au repos, $K$ est l’énergie thermique de ses particules. Si $2K > |U|$, le gaz se dilate ; si $2K < |U|$, la gravité n’a plus d’équilibre à opposer et le nuage se contracte.

Proposition 1.4 (Critère de Jeans)

Un nuage uniforme et isotherme de température $T$ et de densité $\rho$, formé de particules de masse moyenne $\mu m_u$, s’effondre sous sa propre gravité si sa masse dépasse la masse de Jeans

$$M_J = \left(\frac{5 k_{\mathrm B} T}{G\mu m_u}\right)^{3/2} \left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{1/2},$$

ou, de manière équivalente, si son rayon dépasse la longueur de Jeans

$$R_J = \left(\frac{15 k_{\mathrm B} T}{4\pi G\mu m_u\,\rho}\right)^{1/2}.$$

C’est le critère de Jeans.

Définition 1.5 (Masse de Jeans, longueur de Jeans)

La masse de Jeans $M_J$ et la longueur de Jeans $R_J$ d’un gaz de température et de densité données sont la masse et le rayon au-delà desquels une sphère uniforme de ce gaz s’effondre sous sa propre gravité (Proposition 1.4).

La masse de Jeans croît comme $T^{3/2}$ et décroît comme $\rho^{-1/2}$ : le gaz froid et dense s’effondre le plus facilement. Dans un nuage moléculaire, la masse moyenne par particule vaut $\mu = 2.33$ unités de masse atomique, l’hydrogène moléculaire étant accompagné d’un atome d’hélium pour environ cinq molécules. À $10\,\mathrm{K}$ et $10^4$ particules par centimètre cube, $\rho = \mu m_u n = 3.87 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et $M_J = 5.5$ masses solaires, à l’intérieur d’une longueur de Jeans de $0.13\,\mathrm{pc}$ : la masse et la taille d’un cœur dense. À la densité moyenne d’un nuage sombre, $100$ particules par centimètre cube, la masse de Jeans est dix fois plus grande, 55 masses solaires, et un nuage de $24\,000$ masses solaires comme celui du Taureau en contient des centaines (figure ci-dessous).

Un nuage qui commence à s’effondrer devient plus dense, et sa masse de Jeans décroît comme $\rho^{-1/2}$ tant qu’il reste froid, ce qu’il fait tant qu’il peut rayonner la chaleur de compression. Des morceaux du nuage deviennent alors instables d’eux-mêmes et s’effondrent séparément : le nuage se fragmente. C’est pourquoi les étoiles naissent en groupes et pourquoi leurs masses sont petites par rapport aux nuages qui les produisent. La fragmentation s’arrête lorsque le gaz devient trop dense pour laisser s’échapper son rayonnement : la chaleur de compression est piégée, la température monte et la masse de Jeans cesse de décroître.

Combien de temps dure un effondrement ? Si la pression est négligeable, chaque couche du nuage tombe librement vers le centre.

Proposition 1.6 (Temps de chute libre)

Une sphère uniforme de densité $\rho$, initialement au repos et sans pression, s’effondre vers son centre en un temps

$$t_{\mathrm{ff}} = \left(\frac{3\pi}{32\,G\rho}\right)^{1/2},$$

indépendant de son rayon.

Définition 1.7 (Temps de chute libre)

Le temps de chute libre d’un gaz de densité $\rho$ est $t_{\mathrm{ff}} = (3\pi/32G\rho)^{1/2}$, le temps qu’une sphère uniforme de cette densité mettrait à s’effondrer sous sa seule gravité.

Pour un cœur dense de $10^4$ particules par centimètre cube, le temps de chute libre vaut $0.34\,\mathrm{Ma}$ ; pour un nuage sombre entier de $10^2$, $3.4\,\mathrm{Ma}$. Si chaque nuage moléculaire de la Galaxie s’effondrait en un temps de chute libre et se transformait en étoiles, la Galaxie formerait des étoiles beaucoup plus vite qu’elle ne le fait : dans le Taureau, le gaz qui s’est réellement transformé en étoiles au cours des trois derniers millions d’années représente environ un pour cent du nuage. Les nuages sont freinés par des mouvements turbulents et par des champs magnétiques que la fraction ionisée du gaz entraîne, et la plus grande partie de leur gaz est dispersée par les vents et la lumière des premières étoiles massives avant de pouvoir s’effondrer : d’où la faible efficacité mesurée dans le Taureau.

Histoire des sciences — James Jeans

James Jeans (1877–1946) publia en 1902 l’analyse de la stabilité d’un gaz soumis à sa propre gravité, dont découlent la masse et la longueur de Jeans. Il étudia la croissance de petites ondes de densité dans un gaz uniforme infini et trouva que les ondes plus longues qu’une longueur critique ne sont pas freinées par la pression, mais croissent : le gaz se fragmente en condensations de cette taille environ. Sa longueur critique ne diffère du rayon trouvé plus haut que par un facteur numérique ; la physique, la gravité contre la pression thermique, est la même.

1.4 Protoétoiles

L’effondrement d’un cœur n’est pas uniforme. Le centre, un peu plus dense, tombe le premier ; un petit objet dense et chaud s’y forme et grossit en avalant le gaz qui continue de pleuvoir sur lui.

Définition 1.8 (Protoétoile)

Une protoétoile est une étoile en formation qui gagne encore l’essentiel de sa masse par accrétion du gaz du cœur dont elle est issue ; elle brille par l’énergie que libère le gaz qui tombe, et non par la fusion nucléaire.

À quelle vitesse une protoétoile grossit-elle ? Un cœur proche de l’effondrement contient environ une masse de Jeans et tombe en environ un temps de chute libre ; la masse arrive donc à un rythme de l’ordre de $M_J/t_{\mathrm{ff}}$.

Proposition 1.9 (Taux d’accrétion d’une protoétoile)

Soit $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ la vitesse isotherme du son dans le gaz d’un cœur. Le rapport de la masse de Jeans au temps de chute libre ne dépend pas de la densité, et

$$\frac{M_J}{t_{\mathrm{ff}}} \approx 10\,\frac{c_s^3}{G}:$$

une protoétoile grossit à un rythme de l’ordre de $c_s^3/G$, fixé par la seule température de son cœur.

À $10\,\mathrm{K}$, $c_s = 0.19\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $c_s^3/G$ vaut $1.6 \times 10^{-6}$ masse solaire par an : une étoile comme le Soleil se forme en environ $600\,000$ ans, un temps comparable au temps de chute libre de son cœur. Dans un cœur plus chaud, à $20\,\mathrm{K}$, le taux est $2^{3/2} = 2.8$ fois plus élevé.

Pendant qu’elle accrète, la protoétoile brille grâce à l’énergie du gaz qui tombe. Une fois l’enveloppe épuisée, elle continue de briller, toujours sans fusion, en se contractant.

Proposition 1.10 (La contraction alimente une jeune étoile)

Une sphère de gaz autogravitante en équilibre qui se contracte lentement rayonne la moitié de l’énergie gravitationnelle qu’elle libère et garde l’autre moitié sous forme de chaleur : elle devient plus chaude en perdant de l’énergie.

Définition 1.11 (Temps de Kelvin–Helmholtz)

Le temps de Kelvin–Helmholtz d’une étoile de masse $M$, de rayon $R$ et de luminosité $L$ est $t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL)$, l’ordre de grandeur du temps pendant lequel la seule contraction peut alimenter sa luminosité.

Pour le Soleil actuel, $t_{\mathrm{KH}} = 31\,\mathrm{Ma}$ : bien plus court que son âge, ce qui explique que le Soleil doive brûler de l’hydrogène. Pour une jeune étoile d’une masse solaire, de deux rayons solaires et de deux luminosités solaires, il vaut $8\,\mathrm{Ma}$ (Exercice 1.6). La contraction prend fin lorsque le centre devient assez chaud pour que la fusion de l’hydrogène fournisse la luminosité : l’étoile arrive sur la séquence principale (rappel).

Définition 1.12 (Étoile T Tauri, jet bipolaire)

Une étoile T Tauri est une jeune étoile de moins d’environ deux masses solaires, qui a dissipé son enveloppe et est devenue visible sans avoir atteint la séquence principale : elle brille par contraction, varie en éclat et est généralement entourée d’un disque dont elle accrète encore la matière. Un jet bipolaire est une paire de jets ou de vents rapides de gaz éjectés par une jeune étoile dans des directions opposées, le long de l’axe de rotation de son disque.

Les jets emportent une partie du moment cinétique du gaz que le disque transmet à l’étoile, et ils dégagent l’enveloppe le long de l’axe ; l’étoile de HL Tauri, à la fin de son stade protostellaire, en produit un très collimaté.

1.5 Disques

Un cœur dense tourne, lentement : d’un bout à l’autre d’un cœur, la vitesse du gaz varie de quelques dixièmes de kilomètre par seconde et par parsec. Lorsque le cœur s’effondre, son moment cinétique se conserve, et la rotation lente devient rapide.

Proposition 1.13 (Rayon centrifuge)

Du gaz de moment cinétique massique $j$ (moment cinétique par unité de masse) qui tombe vers une masse $M$ ne peut atteindre le centre : il se place sur une orbite circulaire de rayon

$$r_c = \frac{j^2}{G M}.$$

Le gaz qui tombe le long de l’axe de rotation a peu de moment cinétique et rejoint directement l’étoile ; le gaz qui tombe dans le plan équatorial conserve sa rotation. Le gaz qui tombe de côtés opposés, selon des trajectoires différentes, entre en collision au-dessus et au-dessous du plan équatorial, perd son mouvement vertical et se rassemble en un disque mince en rotation, de rayon voisin de $r_c$. Pour un cœur de $0.1\,\mathrm{pc}$ qui tourne une fois en une vingtaine de millions d’années, $r_c$ vaut quelques centaines d’unités astronomiques (Exercice 1.11) : la taille des disques observés.

Définition 1.14 (Disque protoplanétaire)

Un disque protoplanétaire (ou disque protostellaire) est le disque aplati de gaz et de poussière en rotation presque képlérienne autour d’une jeune étoile, fait de la matière du cœur parent qui a conservé trop de moment cinétique pour tomber sur l’étoile ; des planètes s’y forment.

Le disque est chauffé par l’étoile. Un grain situé à la distance $r$ absorbe la lumière stellaire sur sa section et rayonne sur toute sa surface.

Proposition 1.15 (Température d’un grain éclairé par une étoile)

Un petit grain qui se comporte comme un corps noir, à la distance $r$ d’une étoile de luminosité $L$ et éclairé par la lumière stellaire d’un seul côté, prend la température

$$T = \left(\frac{L}{16\pi\sigma r^2}\right)^{1/4},$$

qui décroît comme $r^{-1/2}$.

À $1\,\mathrm{au}$ d’une étoile semblable au Soleil, le grain est à $278\,\mathrm{K}$ ; à $5.2\,\mathrm{au}$, là où orbite Jupiter, à $122\,\mathrm{K}$. La glace d’eau se condense là où les grains sont plus froids que environ $180\,\mathrm{K}$ (les températures de condensation sont celles du Chapitre 2), c’est-à-dire au-delà d’environ $2.4\,\mathrm{au}$ : premier signe de la frontière, la ligne des glaces, qui sépare les planètes rocheuses des planètes glacées. Un disque réel est opaque, et son plan médian est à l’abri de la lumière directe de l’étoile ; la proposition donne le bon ordre de grandeur et la bonne pente pour les couches de surface que voit l’étoile.

Les disques ne durent pas. L’excès infrarouge, la lueur de la poussière chaude au-delà de ce que l’étoile émettrait seule, révèle si une étoile possède encore un disque. En comptant les étoiles qui présentent un tel excès dans des amas d’âges différents, on obtient la fraction des étoiles qui conservent leur disque en fonction du temps (figure ci-dessous) : la plupart des étoiles en ont un à la naissance, la moitié l’a perdu vers trois millions d’années, et presque aucune n’en garde un au-delà de six millions d’années. Les géantes gazeuses, qui doivent rassembler leur gaz à partir du disque, doivent se former dans ces quelques millions d’années.

Au laboratoire — Voir à travers la poussière avec les ondes radio

Le gaz froid et la poussière sont invisibles aux télescopes optiques, mais brillent aux longueurs d’onde millimétriques, où l’atmosphère n’est transparente qu’au-dessus de sites élevés et secs. Une antenne parabolique de la taille d’une maison résout peu à ces longueurs d’onde ; les astronomes en combinent donc plusieurs : dans un interféromètre, chaque paire d’antennes, séparées par une base, mesure une composante de la figure de brillance du ciel, et un ordinateur assemble l’image à partir des centaines de paires que forment une trentaine d’antennes. La résolution est celle d’un seul télescope aussi large que la plus longue base : avec des antennes réparties sur $15\,\mathrm{km}$, le disque de HL Tauri a été imagé avec un détail de quelques unités astronomiques à $140\,\mathrm{pc}$. Les opérateurs déplacent les antennes sur des plateformes mobiles entre les configurations, et le corrélateur combine leurs signaux en temps réel.

1.6 Exercices

Exercice 1.1 ★

La densité interstellaire moyenne près du Soleil vaut $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. La masse d’un atome d’hydrogène étant $1.67 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}$, calculer le nombre d’atomes d’hydrogène par centimètre cube. Comparer ce nombre à celui des molécules par centimètre cube dans l’air à $101\,325\,\mathrm{Pa}$ et $288\,\mathrm{K}$ ($n = P/k_{\mathrm B}T$).

Solution

Solution de Exercice 1.1.

$n = 2.7 \times 10^{-24}/1.67 \times 10^{-24} = 1.6$ atomes d’hydrogène par centimètre cube. Dans l’air, $n = P/k_{\mathrm B}T = 101325/(1.381 \times 10^{-23}\times288) = 2.55 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, soit $2.5 \times 10^{19}$ molécules par centimètre cube : environ $1.6\times10^{19}$ fois plus.

Exercice 1.2 ★

À partir de la valeur $M_J = 5.46$ masses solaires à $10\,\mathrm{K}$ et $10^4$ particules par centimètre cube, et de la loi de variation de $M_J$ avec la densité, calculer la masse de Jeans à $10\,\mathrm{K}$ et $10^2$ particules par centimètre cube. Combien de masses de Jeans contient le nuage du Taureau, $24\,000$ masses solaires ?

Solution

Solution de Exercice 1.2.

$M_J \propto n^{-1/2}$ : diviser $n$ par 100 multiplie $M_J$ par 10, donc $M_J = 54.6$ masses solaires à $10^2$ particules par centimètre cube. Le nuage contient $24\,000/54.6 \approx 440$ masses de Jeans : il ne peut être stable dans son ensemble et doit se fragmenter.

Exercice 1.3 ★

Calculer la vitesse isotherme du son $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ dans un gaz moléculaire ($\mu = 2.33$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) à $10\,\mathrm{K}$ et à $100\,\mathrm{K}$. Combien de temps une onde sonore met-elle pour traverser un cœur de rayon $0.1\,\mathrm{pc}$ à $10\,\mathrm{K}$, en millions d’années ?

Solution

Solution de Exercice 1.3.

$c_s = \sqrt{1.381 \times 10^{-23}\times10/(2.33\times1.661 \times 10^{-27})} = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $10\,\mathrm{K}$ ; $\sqrt{10}$ fois plus, soit $597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, à $100\,\mathrm{K}$. Pour traverser $0.1\,\mathrm{pc}$ : $3.086 \times 10^{15}/189 = 1.63 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, soit $0.52\,\mathrm{Ma}$.

Exercice 1.4 ★

Calculer le temps de chute libre d’un cœur dense de $10^5$ particules par centimètre cube et celui d’un nuage sombre de $10^2$ ($\mu = 2.33$). Lequel s’effondre le plus vite, et de quel facteur ?

Solution

Solution de Exercice 1.4.

$\rho = 2.33\times1.661 \times 10^{-27}\times n$ avec $n$ en $\mathrm{m}^{-3}$. Pour $10^5$ particules par centimètre cube, $\rho = 3.87 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} = 3.38 \times 10^{12}\,\mathrm{s} = 0.107\,\mathrm{Ma}$ ; pour $10^2$, $\rho$ est $1000$ fois plus petit et $t_{\mathrm{ff}}$ est $\sqrt{1000} = 31.6$ fois plus long, $3.38\,\mathrm{Ma}$. Le cœur dense s’effondre 32 fois plus vite.

Exercice 1.5 ★★

Montrer que $M_J$ peut s’écrire $M_J = 5^{3/2}\,(3/4\pi)^{1/2}\,c_s^3\,G^{-3/2}\rho^{-1/2}$. À température fixée, de quel facteur doit augmenter la densité d’un cœur pour que sa masse de Jeans soit divisée par deux ? À densité fixée, de quel facteur la masse de Jeans change-t-elle si le cœur passe de $10\,\mathrm{K}$ à $20\,\mathrm{K}$ ?

Solution

Solution de Exercice 1.5.

Avec $k_{\mathrm B}T/(\mu m_u) = c_s^2$, $(5k_{\mathrm B}T/G\mu m_u)^{3/2} = 5^{3/2}c_s^3G^{-3/2}$, ce qui donne la formule. Comme $M_J \propto \rho^{-1/2}$, diviser $M_J$ par deux exige une densité quatre fois plus élevée. Comme $M_J \propto T^{3/2}$, un réchauffement de $10\,\mathrm{K}$ à $20\,\mathrm{K}$ la multiplie par $2^{3/2} = 2.83$.

Exercice 1.6 ★★

Une jeune étoile a la masse du Soleil, deux fois son rayon et deux fois sa luminosité ($M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$). Calculer son temps de Kelvin–Helmholtz en millions d’années, et le comparer aux durées de vie des disques.

Solution

Solution de Exercice 1.6.

$t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL) = 6.674 \times 10^{-11}\times(1.989 \times 10^{30})^2/(2\times 6.96 \times 10^{8}\times2\times3.83 \times 10^{26}) = 2.48 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, soit $7.8\,\mathrm{Ma}$. Elle est plus longue que la durée de vie de la plupart des disques (la moitié des disques ont disparu au bout de environ $3\,\mathrm{Ma}$) : l’étoile se contracte encore quand son disque disparaît.

Exercice 1.7 ★★

Calculer le taux d’accrétion $c_s^3/G$ d’une protoétoile dans un cœur à $10\,\mathrm{K}$, en masses solaires par an, et le temps qu’il faut pour rassembler une masse solaire. Mêmes questions pour un cœur à $20\,\mathrm{K}$.

Solution

Solution de Exercice 1.7.

À $10\,\mathrm{K}$, $c_s^3/G = 189^3/6.674 \times 10^{-11} = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit $1.01 \times 10^{17}\times3.156 \times 10^{7}/1.989 \times 10^{30} = 1.6 \times 10^{-6}$ masses solaires par an, et une masse solaire demande $0.62\,\mathrm{Ma}$. À $20\,\mathrm{K}$, le taux est $2^{3/2} = 2.83$ fois plus élevé, soit $4.5 \times 10^{-6}$ masses solaires par an, et une masse solaire demande $0.22\,\mathrm{Ma}$.

Exercice 1.8 ★★

Avec la Proposition 1.15 et $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, calculer la distance au Soleil, en unités astronomiques, à laquelle un grain atteint $1300\,\mathrm{K}$, température voisine de celle à laquelle se condensent les silicates courants (Chapitre 2), ainsi que la température d’un grain à la distance de Jupiter, $5.2\,\mathrm{au}$.

Solution

Solution de Exercice 1.8.

$r = \sqrt{L/(16\pi\sigma)}/T^2$ avec $\sqrt{3.83 \times 10^{26}/(16\pi\times5.67 \times 10^{-8})} = 1.159 \times 10^{16}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}^{2}$ : à $1300\,\mathrm{K}$, $r = 6.86 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.046\,\mathrm{au}$, bien à l’intérieur de l’orbite de Mercure. À $5.2\,\mathrm{au}$, $T = 278/\sqrt{5.2} = 122\,\mathrm{K}$.

Exercice 1.9 ★★

Le gaz du disque de HL Tauri tourne autour d’une étoile d’environ $1.3$ masses solaires. Calculer la vitesse képlérienne et la période orbitale à $100\,\mathrm{au}$. Si le système a un million d’années, combien de tours le gaz situé à $100\,\mathrm{au}$ a-t-il effectués depuis la naissance de l’étoile ?

Solution

Solution de Exercice 1.9.

$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{6.674 \times 10^{-11}\times1.3\times1.989 \times 10^{30}/1.496 \times 10^{13}} = 3.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, et $P = 2\pi r/v = 2.77 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 877$ ans (de manière équivalente $\sqrt{100^3/1.3}$ ans). En un million d’années, le gaz a effectué $10^6/877 \approx 1140$ tours : le disque est vieux par rapport à sa propre rotation, ce qui explique que ses anneaux soient des cercles réguliers.

Exercice 1.10 ★★★

Calculer l’énergie gravitationnelle d’une sphère de rayon $R$ dans laquelle la densité décroît comme $\rho(r) = \rho_0 R/r$, et la comparer à celle d’une sphère uniforme de même masse et de même rayon. La concentration de la masse vers le centre rend-elle le nuage plus facile ou plus difficile à maintenir par son énergie thermique ?

Solution

Solution de Exercice 1.10.

$M = \int_0^R 4\pi r^2\rho_0R/r\,\mathrm dr = 2\pi\rho_0R^3$, et à l’intérieur de $r$, $m(r) = 2\pi\rho_0Rr^2$. Avec $\mathrm dm = 4\pi\rho_0Rr\,\mathrm dr$,

$$U = -\int_0^R \frac{G\,m(r)}{r}\,\mathrm dm = -8\pi^2G\rho_0^2R^2\int_0^R r^2\,\mathrm dr = -\frac{8\pi^2}{3}G\rho_0^2R^5 = -\frac23\,\frac{GM^2}{R},$$

en utilisant $\rho_0 = M/(2\pi R^3)$. Elle vaut $\tfrac{2/3}{3/5} = 1.11$ fois la valeur uniforme : le nuage concentré est plus fortement lié et a besoin de $11\,\%$ d’énergie thermique supplémentaire pour être maintenu ; il s’effondre plus facilement.

Exercice 1.11 ★★★

Un cœur de rayon $0.1\,\mathrm{pc}$ tourne en bloc, comme un solide, à la vitesse angulaire $\Omega = 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer sa période de rotation, le moment cinétique massique $j = \Omega R^2$ du gaz situé à son équateur et le rayon centrifuge de ce gaz autour d’une étoile d’une masse solaire, en unités astronomiques. Pourquoi le gaz venant de l’intérieur du cœur tombe-t-il plus près de l’étoile ?

Solution

Solution de Exercice 1.11.

Période $2\pi/\Omega = 6.28 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, soit environ $20\,\mathrm{Ma}$. Avec $R = 3.086 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$, $j = \Omega R^2 = 9.52 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, et $r_c = j^2/(GM) = 9.07 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 6.83 \times 10^{13}\,\mathrm{m} = 457\,\mathrm{au}$. En rotation solide, $j = \Omega r^2$ croît comme le carré de la distance à l’axe : le gaz venant de l’intérieur du cœur a moins de moment cinétique et tombe plus près de l’étoile.

Exercice 1.12 ★★★

Les fractions de disques des cinq amas les plus jeunes de la figure de la dernière section valent $0.85$, $0.80$, $0.65$, $0.52$ et $0.12$ à 0.3, 1.5, 2.3, 3.2 et $5.0\,\mathrm{Ma}$. Ajuster à la main une droite des moindres carrés $f = a - bt$ (calculer les moyennes, puis $\sum(t - \bar t)(f - \bar f)$ et $\sum(t - \bar t)^2$). À quel âge atteint-elle la moitié, puis zéro ? Pourquoi une droite est-elle un mauvais modèle au-delà de cet âge ?

Solution

Solution de Exercice 1.12.

$\bar t = 2.46$, $\bar f = 0.588$; $\sum(t - \bar t)^2 = 12.612$, $\sum(t - \bar t)(f - \bar f) = -2.018$, donc $b = 2.018/12.612 = 0.160$ par million d’années et $a = 0.588 + 0.160\times2.46 = 0.982$. La droite atteint $0.5$ à $(0.982 - 0.5)/0.160 = 3.0\,\mathrm{Ma}$ et zéro à $0.982/0.160 = 6.1\,\mathrm{Ma}$, comme sur la figure. Une fraction ne peut descendre sous zéro : les amas plus âgés, comme NGC 1960 à $30\,\mathrm{Ma}$, conservent une petite fraction voisine de zéro qu’une droite ne peut pas décrire.

1.7 Problème : un cœur du nuage d’Aldra

Problème 1.1

Problème du week-end — la masse et la stabilité d’un cœur dense lues sur une carte de poussière, la naissance de sa protoétoile et la taille de son disque

Le nuage d’Aldra est un nuage sombre inventé. Une carte millimétrique de sa poussière montre un cœur rond de rayon $0.08\,\mathrm{pc}$, de densité de colonne moyenne $N(\ce{H2}) = 1.5 \times 10^{22}$ molécules d’hydrogène par centimètre carré. Une raie de l’ammoniac donne la température du gaz, $10\,\mathrm{K}$, et un gradient de vitesse de $0.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ par parsec à travers le cœur, lu comme une rotation solide. Utiliser $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, $k_{\mathrm B} = 1.381 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $1\,\mathrm{pc}$ $= 3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, une année de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ; la masse par molécule d’hydrogène, hélium compris, vaut $2.8\,m_u$, et la masse moyenne par particule $2.33\,m_u$.

Partie I — Masse et densité.

1. Convertir le rayon du cœur en mètres.
2. Calculer la masse par mètre carré de la colonne, $2.8\,m_u N$.
3. En déduire la masse du cœur, en kilogrammes et en masses solaires.
4. Calculer son volume et sa densité moyenne.
5. Calculer le nombre de particules par centimètre cube.
6. Ce cœur est-il un cœur dense au sens du tableau de la deuxième section ?

Partie II — Stabilité.

7. Calculer la masse de Jeans du gaz du cœur, en masses solaires.
8. Combien de masses de Jeans le cœur contient-il ? Est-il stable ?
9. Calculer la longueur de Jeans et la comparer au rayon du cœur.
10. Quelle serait la masse de Jeans si le gaz était à $20\,\mathrm{K}$ ? Le cœur s’effondrerait-il encore ?
11. Calculer le temps de chute libre du cœur, en milliers d’années.
12. Le comparer au temps qu’une onde sonore met à traverser le cœur. Quel processus est le plus rapide, et qu’est-ce que cela signifie ?

Partie III — La protoétoile.

13. Calculer la vitesse du son dans le cœur.
14. Calculer le taux d’accrétion $c_s^3/G$, en masses solaires par an.
15. Calculer le temps nécessaire pour rassembler une masse solaire à ce taux.
16. Si un tiers du cœur finit en étoiles, combien d’étoiles d’une masse solaire peut-il en former ?
17. Une fois l’enveloppe dissipée, l’étoile a une masse solaire, trois rayons solaires et quatre luminosités solaires. Calculer son temps de Kelvin–Helmholtz.
18. Est-il plus long ou plus court que le temps d’accrétion ? De quel type d’étoile s’agit-il alors ?

Partie IV — Le disque.

19. Convertir le gradient de vitesse en une vitesse angulaire $\Omega$, en $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.
20. Calculer le moment cinétique massique $j = \Omega R^2$ du gaz situé à l’équateur du cœur.
21. Calculer son rayon centrifuge autour d’une étoile d’une masse solaire, en unités astronomiques.
22. Calculer la température d’un grain à $1\,\mathrm{au}$ et à $30\,\mathrm{au}$ d’une étoile de luminosité solaire.
23. Où se situe la ligne des glaces de ce disque, si la glace d’eau subsiste sous $180\,\mathrm{K}$ ?
24. Donner le temps nécessaire pour assembler l’étoile de la question 15, le nombre clé de ce problème, en milliers d’années, et le comparer au temps de chute libre de la question 11.

Solution

Solution de Problème 1.1.

1. $R = 0.08\times3.086 \times 10^{16} = 2.469 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$.

2. $N = 1.5 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-2}$, donc $2.8\times1.661 \times 10^{-27}\times1.5 \times 10^{26} = 0.698\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

3. $M = 0.698\times\pi R^2 = 0.698\times1.915 \times 10^{31} = 1.34 \times 10^{31}\,\mathrm{kg}$, soit $6.7$ masses solaires.

4. $V = \tfrac43\pi R^3 = 6.30 \times 10^{46}\,\mathrm{m}^{3}$ et $\rho = M/V = 2.12 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

5. $n = \rho/(2.33m_u) = 5.48 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$, soit $5.5 \times 10^{4}$ particules par centimètre cube.

6. Oui : sa densité se situe entre $10^4$ et $10^5$, son rayon entre 0.03 et $0.2\,\mathrm{pc}$ ; sa masse, 6.7 masses solaires, se situe au sommet de la fourchette des cœurs.

7. $M_J = 5.46\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 2.33$ masses solaires.

8. $6.7/2.33 = 2.9$ masses de Jeans : le cœur est instable et s’effondre.

9. $R_J = 0.1316\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 0.056\,\mathrm{pc}$, plus petit que le rayon, $0.08\,\mathrm{pc}$ : même conclusion.

10. $2^{3/2}\times2.33 = 6.6$ masses solaires : environ la masse du cœur. À $20\,\mathrm{K}$, le cœur serait limite ; c’est le froid qui le fait s’effondrer.

11. $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32\times6.674 \times 10^{-11}\times2.12 \times 10^{-16})} = 4.56 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, soit environ $145\,000$ ans.

12. $R/c_s = 2.469 \times 10^{15}/189 = 1.31 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $414\,000$ ans : trois fois plus long que la chute libre. Une onde de pression ne peut traverser le cœur avant de s’être effondré : la pression ne peut pas réagir assez vite pour arrêter l’effondrement.

13. $c_s = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (Exercice 1.3).

14. $c_s^3/G = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1.6 \times 10^{-6}$ masses solaires par an.

15. $1/1.6 \times 10^{-6} = 624\,000$ ans.

16. Un tiers de 6.7 vaut $2.2$ : deux étoiles d’une masse solaire.

17. $t_{\mathrm{KH}} = GM_\odot^2/(3R_\odot\times4L_\odot) = 8.25 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $2.6\,\mathrm{Ma}$.

18. Plus long, quatre fois le temps d’accrétion : quand l’accrétion s’arrête, l’étoile est encore en contraction, elle brille sans fusion ; c’est une étoile T Tauri, pas encore sur la séquence principale.

19. $\Omega = 0.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}/3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 1.30 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.

20. $j = 1.30\times10^{-14}\times(2.469 \times 10^{15})^2 = 7.90 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

21. $r_c = j^2/(GM_\odot) = 6.24 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 4.70 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$, soit $314\,\mathrm{au}$ : plus grand que le disque de HL Tauri, comme attendu pour du gaz venant du bord du cœur.

22. $T = (L/16\pi\sigma r^2)^{1/4} = 278\,\mathrm{K}$ à $1\,\mathrm{au}$, et $278/\sqrt{30} = 51\,\mathrm{K}$ à $30\,\mathrm{au}$.

23. $r = 1.159 \times 10^{16}/180^2 = 3.58 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, soit $2.4\,\mathrm{au}$, comme dans le texte.

24. Une étoile d’une masse solaire met $624\,$ milliers d’années pour se former, environ quatre fois le temps de chute libre de son cœur ($145\,000$ ans) : le gaz extérieur n’atteint la protoétoile que progressivement, de l’intérieur vers l’extérieur.