5Magmas et mise en place

Un liquide basaltique à $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a une viscosité d’environ $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : épais, mais il coule. Un liquide rhyolitique sec à $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a une viscosité voisine de $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, et un bloc de celui-ci mettrait des heures à s’affaisser visiblement sous son propre poids. Entre les deux s’étendent dix ordres de grandeur, plus qu’entre l’eau et le basalte, et l’essentiel de la différence vient de deux choses : la silice qui relie le liquide en réseau, et la température, qui est inférieure de plusieurs centaines de degrés dans les magmas siliceux. Quelques pour cent d’eau dissoute, qu’un magma rhyolitique peut contenir en profondeur, fait baisser sa viscosité d’un facteur $10^{5}$, et la perd à nouveau lorsque le magma remonte et que l’eau sort en bulles. Ces nombres décident si un magma atteint la surface en silence, explose, ou gèle à quelques kilomètres de profondeur en dyke, en sill ou en pluton. Ce chapitre traite un magma comme un matériau : sa densité, sa viscosité et ses volatils, la physique de sa remontée par fissures et sous forme de masses chaudes, les formes qu’il prend quand il s’arrête, et la chaleur qu’il cède aux roches environnantes.

Tu sais déjà

Écoulement visqueux (les volumes de physique, deuxième année) : dans un fluide newtonien de viscosité $\eta$, la contrainte de cisaillement vaut $\eta$ fois le gradient de vitesse ; entre deux parois parallèles, un gradient de pression produit un profil parabolique (Poiseuille plan) ; une sphère qui se déplace lentement dans un fluide visqueux subit la traînée de Stokes $6\pi\eta a v$. Conduction thermique (même volume) : la température obéit à $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$, avec une diffusivité $\kappa = k/(\rho c)$, et un saut de température se répartit selon une fonction d’erreur sur une distance d’ordre $\sqrt{\kappa t}$. Flottabilité (les volumes de physique, première année) : un corps immergé dans un fluide plus dense subit une force verticale vers le haut égale au poids du fluide déplacé diminué de son propre poids. Équilibre chimique (les volumes de chimie) : à l’équilibre, les activités des produits et des réactifs vérifient la loi d’action de masse, avec une constante $K$ qui ne dépend que de la température. Du volume de première année de cette série : la pression lithostatique $p = \rho g z$ et le géotherme ; des volumes scolaires : roches mafiques et felsiques, phénocristaux et textures porphyriques.

5.1 Qu’est-ce qu’un magma

Définition 5.1 (Magma)

Un magma est une roche fondue ou partiellement fondue sous la surface : un liquide silicaté, le liquide constitué surtout de silicium, d’oxygène et de cations métalliques, accompagné de tous les cristaux et bulles de gaz qu’il transporte. Une bouillie cristalline est un magma si riche en cristaux qu’ils se touchent et forment une armature : il ne peut pas s’écouler comme un liquide, et son liquide ne peut migrer qu’à travers les pores entre les cristaux.

La composition du liquide est donnée, comme pour les roches, en pourcentage massique d’oxydes. Trois liquides servent de référence tout au long du chapitre, tous étudiés en laboratoire : un basalte tholéiitique dragué sur une dorsale médio-océanique (environ $51\,\%$ de SiO$_2$, $12\,\%$ d’oxyde de fer, $7\,\%$ de MgO), une andésite ($63\,\%$ de SiO$_2$) et une rhyolite ($78\,\%$ de SiO$_2$, $8\,\%$ de Na$_2$O $+$ K$_2$O et presque pas de fer ni de magnésium). Leurs températures d’éruption diffèrent autant que leurs compositions : les magmas basaltiques entrent en éruption à $1000\text{ à }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (la lave qui coule dans un tube au Kilauea a été mesurée vers $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), les magmas andésitiques à $800\text{ à }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, les magmas rhyolitiques à $650\text{ à }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Un magma rhyolitique est plus froid parce qu’il est le résidu d’une longue cristallisation ou la première fusion des roches crustales, deux processus qui ont lieu à basse température (voir au Chapitre 8).

La teneur en cristaux décide si un magma s’écoule. Les études de terrain et de géochronologie sur les grands corps granitiques concluent qu’un écoulement magmatique d’ensemble exige un taux de fusion d’au moins $30\text{ à }50\,\%$ en volume ; en dessous, les cristaux sont soudés à leurs voisins et le matériau se déforme comme un solide dont les pores contiennent du liquide. Une grande part du magma stocké dans la croûte semble être dans cet état, en bouillie qui redevient mobile lorsque du magma chaud arrive par le bas.

5.2 Masse volumique et viscosité

5.2.1 Masse volumique d’un liquide

Un liquide silicaté n’a pas de réseau cristallin, mais son volume peut tout de même se calculer à partir de ses constituants. Des expériences sur de nombreux liquides montrent que chaque oxyde apporte un volume presque fixe par mole, son volume molaire partiel, qui varie lentement et linéairement avec la température et la pression ; le volume du liquide est la somme de ces contributions. Le tableau ci-dessous donne les valeurs utilisées dans ce chapitre.

Oxyde	$\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$)	$\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$)	$\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$)
SiO$_2$	26.86	0	$-1.89$
Al$_2$O$_3$	37.42	2.62	$-2.26$
FeO	12.68	3.69	$-0.45$
MgO	12.02	3.27	$0.27$
CaO	16.90	3.74	$0.34$
Na$_2$O	29.65	7.68	$-2.40$
K$_2$O	47.28	12.08	$-6.75$
H$_2$O	22.9	9.5	$-3.20$

Proposition 5.2 (Masse volumique d’un liquide silicaté)

Soit un liquide contenant des composants oxydes $i$ de fractions molaires $X_i$, de masses molaires $M_i$ et de volumes molaires partiels $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. Si les composants se mélangent idéalement en volume,

$$\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.$$

L’eau a une masse molaire de seulement $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ mais un volume molaire partiel de $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$, proche de celui de la silice : elle abaisse fortement la masse volumique d’un liquide fortement. Appliquée aux trois liquides de référence, la proposition donne $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pour le basalte à $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pour l’andésite à $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pour la rhyolite sèche à $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; un pour cent d’eau dissoute retire environ $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ au basalte, autant que plusieurs centaines de degrés de chauffage. Un liquide basaltique est donc plus léger que la péridotite mantellique dont il provient (environ $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sous la croûte dans le modèle de référence de la Terre) et un peu plus léger que la croûte inférieure de ce modèle ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), tandis qu’un liquide rhyolitique est plus léger encore que la croûte supérieure ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Cette différence entraîne les magmas vers le haut.

5.2.2 Viscosité

La viscosité d’un liquide silicaté est fixée par le réseau de tétraèdres SiO$_4$ reliés par des oxygènes communs : pour s’écouler, le liquide doit rompre puis refaire des liaisons silicium–oxygène. La silice et l’alumine construisent le réseau ; les cations de magnésium, de fer, de calcium et des alcalins le brisent, et l’eau aussi, qui transforme les oxygènes pontants en groupes hydroxyles. Les mesures de laboratoire sur des liquides naturels couvrent plus de quinze ordres de grandeur, de $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ à $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, et elles ne suivent pas une loi d’Arrhenius simple : la viscosité croît plus vite qu’exponentiellement en $1/T$ lorsque le liquide se refroidit vers sa transition vitreuse.

Proposition 5.3 (Loi de Vogel–Fulcher–Tammann)

La viscosité d’un liquide silicaté de composition fixée suit, à quelques dixièmes d’unité logarithmique près,

$$\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},$$

avec $\eta$ en pascal-seconde et $T$ en kelvins. Pour les liquides naturels $A$ est proche de $-4.55$ quelle que soit la composition ; $B$ et $C$ (en kelvins) sont des combinaisons linéaires des pourcentages molaires des oxydes, avec quelques produits de ceux-ci, ajustées sur environ $1800$ mesures.

La figure ci-dessous montre la loi pour les trois liquides de référence et pour la rhyolite contenant de l’eau dissoute. À $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le basalte a $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; l’andésite à $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ vaut environ $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; la rhyolite sèche à $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ environ $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Quatre pour cent d’eau ramènent cette même rhyolite à $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, six pour cent à $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Une équation indépendante, ajustée seulement sur des liquides granitiques hydratés, donne les mêmes valeurs à une demi-unité logarithmique près (voir l’Exercice 5.1). L’effet de l’eau est maximal à basse température, où quelques dixièmes de pour cent modifient la viscosité de plusieurs ordres de grandeur.

Les cristaux rendent un magma encore plus rigide. Une suspension de particules rigides résiste au cisaillement davantage que son seul liquide, parce que le liquide doit contourner les particules, et lorsque celles-ci sont assez serrées pour se toucher, elles se bloquent en une armature.

Proposition 5.4 (Relation d’Einstein–Roscoe)

Une suspension d’une fraction volumique $\phi$ de sphères rigides dans un liquide newtonien de viscosité $\eta_{\ell}$ a pour viscosité

$$\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,$$

où $\phi_m$ est la fraction d’empilement maximale, à laquelle la suspension se bloque. Pour $\phi$ petit, on retrouve la formule d’Einstein $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

Vingt pour cent de cristaux double la viscosité, quarante pour cent la multiplient par sept, soixante pour cent par plus de soixante (voir l’Exercice 5.5) ; dans les magmas réels, où les cristaux sont allongés et de tailles variées, le blocage intervient plus tôt, vers les $50\text{ à }70\,\%$ de cristaux auxquels les observations de terrain placent la fin de l’écoulement d’ensemble.

5.3 Volatils

Définition 5.5 (Volatils magmatiques)

Un volatil magmatique est un constituant d’un magma qui est dissous dans le liquide en profondeur et forme une phase gazeuse distincte à basse pression : surtout l’eau, puis le dioxyde de carbone, puis les espèces soufrées. Exsolution des volatils est la séparation d’un volatil du liquide en bulles de gaz. La pression de saturation en volatils d’un liquide est la pression au-dessous de laquelle ses volatils dissous dépassent leur solubilité, de sorte qu’une phase gazeuse doit se former.

Les magmas mafiques portent en général $1\text{ à }3\,\%$ de volatils en masse, les magmas intermédiaires $3\text{ à }4\,\%$, les magmas felsiques $4\text{ à }7\,\%$, et l’exsolution de $4\text{ à }6\,\%$ d’eau est à l’origine de la plupart des éruptions explosives. La quantité d’eau qu’un liquide peut contenir dépend surtout de la pression. La figure ci-dessous montre des mesures sur des liquides basaltiques et rhyolitiques maintenus à une pression d’eau connue jusqu’à saturation, puis trempés en verre et analysés : la solubilité croît fortement à basse pression, puis plus lentement à haute pression.

Proposition 5.6 (Loi de la racine carrée pour l’eau)

Supposons que l’eau se dissolve dans un liquide silicaté surtout sous forme de groupes hydroxyles, par la réaction $\mathrm{H_2O\,(gas)} + \mathrm{O^{2-}\,(melt)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{OH^-\,(melt)}$, l’oxygène du liquide étant en large excès. Alors, à faible teneur en eau, l’eau dissoute est proportionnelle à la racine carrée de la pression d’eau : $w \approx s\sqrt{p}$, avec $s$ une constante du liquide et de la température.

Ajustée par moindres carrés aux mesures, $w = s\sqrt p$ donne $s = 0.34$ pour cent massique par $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ pour les basaltes et $s = 0.44$ pour les rhyolites ; chaque mesure se situe à moins d’un pour cent d’eau près de sa courbe. La pression de saturation d’un liquide contenant $w$ pour cent d’eau vaut alors $p_s = (w/s)^2$ : $129\,\mathrm{MPa}$ pour une rhyolite à $5\,\%$ d’eau, soit environ $5\,\mathrm{km}$ de profondeur dans la croûte, mais seulement $2\,\mathrm{MPa}$ pour un basalte à $0.5\,\%$, soit une centaine de mètres ou moins.

Le dioxyde de carbone est bien moins soluble que l’eau. Il se dissout sous forme de molécules dans les rhyolites et sous forme de groupes carbonates dans les basaltes, davantage dans les liquides alcalins que dans les tholéiites, et sa solubilité croît aussi avec la pression. Un magma qui porte les deux gaz commence donc à exsolver en profondeur, avec un gaz très riche en CO$_2$, et le gaz s’enrichit en eau à mesure que le magma remonte. Les basaltes émis sur le fond marin profond contiennent des vésicules à plus de $95\,\%$ de CO$_2$, ce qui supposait une saturation en CO$_2$ même sous $5\,\mathrm{km}$ d’eau. Les estimations de la teneur initiale en CO$_2$ des basaltes parentaux du Kilauea vont de $0.2\text{ à }0.6\,\%$, et les inclusions magmatiques piégées dans leurs cristaux d’olivine enregistrent des pressions de saturation allant jusqu’à $500\,\mathrm{MPa}$.

Le gaz exsolvé occupe un grand volume. Un pour cent d’eau dans un magma à $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ occupe, en gaz parfait, environ $12\,\%$ du volume à $100\,\mathrm{MPa}$, $57\,\%$ à $10\,\mathrm{MPa}$ et plus de $99\,\%$ à la pression atmosphérique (voir l’Exercice 5.7). Les bulles abaissent la densité du magma et l’entraînent plus vite vers le haut ; dans un magma visqueux elles ne peuvent pas s’échapper, et le Chapitre 6 montre comment elles le fragmentent.

5.4 Remontée

Un corps de magma moins dense que son environnement subit une force de flottabilité de $\Delta\rho\,g$ par unité de volume, où $\Delta\rho$ est la différence de masse volumique. Il peut monter de deux façons : par une fissure qu’il ouvre devant lui, ou sous forme d’un bloc chaud et mou qui écarte la roche environnante.

5.4.1 Dykes

En profondeur, la roche est soumise à une forte pression lithostatique, mais une fissure remplie de magma à une pression légèrement supérieure à la contrainte principale minimale peut s’ouvrir et s’allonger à son extrémité. Le magma remplit la fissure au fur et à mesure de sa croissance, et le résultat est une fine nappe de magma, large de quelques mètres et longue de plusieurs kilomètres, qui se fraye un chemin vers le haut : un dyke en formation. Le magma s’écoule alors entre deux parois presque parallèles.

Proposition 5.7 (Écoulement du magma dans un dyke)

Un magma newtonien de viscosité $\eta$ poussé vers le haut par un gradient de pression $G$ (pour un écoulement par flottabilité, $G = \Delta\rho\,g$) entre deux parois parallèles distantes de $w$ s’écoule avec la vitesse moyenne

$$\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},$$

et le débit volumique par unité de longueur de dyke vaut $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

Le cube de la largeur rend les dykes larges bien plus efficaces que les étroits. Un basalte de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dans un dyke large de $1\,\mathrm{m}$, avec $\Delta\rho = 300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, monte à environ $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et traverse $10\,\mathrm{km}$ de croûte en une heure ; une rhyolite de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dans le même dyke mettrait plus d’un an, et gèlerait en chemin ; les magmas siliceux ont besoin de dykes beaucoup plus larges (voir l’Exercice 5.6). Le nombre de Reynolds $\rho\bar u w/\eta$ de ces écoulements est assez faible pour qu’ils restent laminaires. Les vitesses de remontée estimées pour les magmas pendant les éruptions séparent les éruptions effusives, en dessous d’environ $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, des explosives au-dessus, avec une gamme de transition de $0.005\text{ à }0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ où les deux styles coexistent ; les kimberlites, qui proviennent de profondeurs supérieures à $150\,\mathrm{km}$, ont été estimées entre $0.1\text{ à }30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et une étude par diffusion de l’une d’elles donne $0.02\text{ à }0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en moyenne sur les derniers $80\text{ à }110\,\mathrm{km}$, soit un trajet de $5\text{ à }74$ jours.

5.4.2 Diapirs

Définition 5.8 (Diapir, niveau de flottabilité neutre, stoping)

Un diapir est un corps de matériau flottant, magma ou roche partiellement fondue, qui monte à travers son environnement en l’écartant par écoulement. Le niveau de flottabilité neutre d’un magma est la profondeur à laquelle sa masse volumique égale celle de la roche environnante : au-dessous, le magma est flottant, au-dessus il est plus dense que son environnement. Stoping magmatique est le détachement de blocs de la paroi ou du toit rocheux, qui s’enfoncent dans le magma ; les blocs qui restent enclavés dans la roche solidifiée sont des xénolithes.

Proposition 5.9 (Remontée de Stokes)

Une sphère de rayon $a$ et de déficit de masse volumique $\Delta\rho$ qui monte lentement dans un milieu newtonien de viscosité $\eta$ atteint la vitesse limite

$$v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}$$

si elle est rigide, et $1.5$ fois cette valeur si c’est un fluide de viscosité négligeable.

La roche qui entoure un diapir n’est pas un fluide de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, mais un solide chaud, dont la viscosité est supérieure de plusieurs ordres de grandeur à celle de tout liquide : dans la croûte, une sphère de magma d’un kilomètre de large ne monte que de quelques millimètres par an, et perd sa chaleur bien avant d’avoir beaucoup monté (voir l’Exercice 5.9). Les diapirs fonctionnent là où l’environnement est chaud et mou, dans le manteau et dans les racines profondes des chaînes de montagnes, et là où le matériau flottant est une masse partiellement fondue de plusieurs kilomètres de large ; la croûte superficielle est traversée par des dykes.

5.5 Mise en place

La plupart du magma n’atteint jamais la surface. Il s’arrête là où il n’est plus flottant, ou là où une couche plus résistante le bloque, et s’étale en un corps dont la forme garde la trace de la façon dont il s’est fait de la place.

Définition 5.10 (Corps intrusifs)

Un pluton est tout corps de magma qui s’est solidifié dans la croûte. Un dyke est un pluton en nappe qui recoupe la stratification de sa roche encaissante (ou toute nappe si l’encaissant n’est pas stratifié) ; un sill est un pluton en nappe parallèle à la stratification. Un laccolite est un sill qui s’est épaissi en soulevant les couches sus-jacentes en dôme. Un batholite est un grand pluton, ou un ensemble de plutons, dont la surface affleurante dépasse $100\,\mathrm{km}^{2}$.

L’endroit où un magma s’arrête dépend d’abord de sa masse volumique. Dans une croûte dont la masse volumique augmente avec la profondeur, un magma monte jusqu’à son niveau de flottabilité neutre et s’étale latéralement à ce niveau, en sill ou en lentille ; les sédiments légers proches de la surface sont des pièges particulièrement efficaces pour le magma basaltique dense. Une couche résistante et rigide peut aussi arrêter un dyke et le détourner le long de sa base. La figure ci-dessous montre le principe.

Un pluton doit se faire de la place. Il peut soulever son toit, comme le fait une laccolite ; il peut écarter ses parois là où elles sont molles ; il peut remplir un espace ouvert par une faille ; et il peut arracher son toit, bloc par bloc. Les grands plutons ont longtemps été imaginés comme d’énormes réservoirs de magma mis en place d’un seul coup. La datation a changé cette image. Les zircons de la suite intrusive de Tuolumne, un batholite granitique en Californie, montrent qu’elle a été mise en place entre $95$ et $85\,\mathrm{Ma}$, les plus anciens en bordure et les plus jeunes au centre, et l’une de ses unités seule sur plus de $3\,\mathrm{Ma}$, entre $92.8\,\mathrm{Ma}$ et $88.8\,\mathrm{Ma}$. Un seul corps de magma de $5\,\mathrm{km}$ d’épaisseur et de $20\,\mathrm{km}$ de large, mis en place à $15\,\mathrm{km}$ de profondeur, aurait refroidi sous $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, température à laquelle il est cristallisé à moitié, en environ $500\,000$ ans. De tels plutons ont dû être édifiés par étapes à partir de nombreuses intrusions plus petites, comme des nappes et des dykes, sur des millions d’années (voir l’Exercice 5.11).

5.6 Refroidissement et métamorphisme de contact

Une intrusion perd sa chaleur par conduction vers les roches encaissantes. Le modèle le plus simple traite l’intrusion et son encaissant comme un milieu conducteur unique de diffusivité uniforme $\kappa$ : à l’instant zéro, une nappe d’épaisseur $b$ est à la température d’intrusion $T_m$ et l’encaissant à $T_0$. La solution de l’équation de la chaleur, avec $x$ compté depuis le milieu de la nappe, est

La figure ci-dessous la représente pour un sill d’épaisseur $100\,\mathrm{m}$.

Proposition 5.11 (Température de contact)

Dans ce modèle, tant que $\sqrt{\kappa t}$ est petit devant $b$, la température au contact de l’intrusion reste égale à la moyenne $(T_m + T_0)/2$ des températures de l’intrusion et de l’encaissant.

Un dyke basaltique à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dans des roches à $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ porte donc son contact à $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La chaleur de cristallisation, typiquement $700\text{ à }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, maintient le magma chaud plus longtemps et élève cette valeur : avec $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ libérés entre $1150$ et $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le même modèle donne $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tandis que des conductivités dépendant de la température et des roches encaissantes humides abaissent les deux estimations de 50 à $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

L’échelle de temps du refroidissement est le temps que met la chaleur à diffuser à travers l’intrusion, de l’ordre de $(b/2)^2/\kappa$ : environ $16$ jours pour un dyke de $2\,\mathrm{m}$ de large, un siècle pour un sill de $100\,\mathrm{m}$ d’épaisseur, cent mille ans pour un pluton de quelques kilomètres. La chaleur latente l’allonge, et il en est de même de la nécessité de solidifier le magma plutôt que de simplement le refroidir.

Proposition 5.12 (Solidification d’une intrusion)

Soit du magma à sa température de solidification $T_m$, de chaleur latente $L$ par unité de volume, remplissant l’espace $y > 0$ à côté d’une roche encaissante à $T_0$ occupant $y < 0$, toutes deux de capacité thermique $\rho c$ par unité de volume et de diffusivité $\kappa$. Le front de solidification avance selon $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$, où $\lambda$ est la racine de

$$\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},$$

et le contact reste à $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. Un sill d’épaisseur $b$, qui se solidifie à partir de ses deux parois, est solide après $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

Avec la chaleur latente d’un basalte et un encaissant à environ $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\lambda$ vaut environ $0.65$ : un sill d’épaisseur $100\,\mathrm{m}$ se solidifie en environ soixante-dix ans, et son contact reste voisin de $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ au lieu de $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pendant ce temps. Le problème du week-end traite ce cas. Comme le temps croît comme le carré de l’épaisseur, un sill dix fois plus épais met cent fois plus de temps.

Définition 5.13 (Auréole de contact et roches qui la composent)

Une bordure figée est la bordure à grain fin ou vitreuse d’une intrusion, là où le magma s’est refroidi vite contre une roche encaissante plus froide. Une auréole de contact est la zone de roche encaissante autour d’une intrusion qui a été métamorphisée par sa chaleur. La cornéenne est la roche dure, à grain fin et non foliée, que deviennent les argilites et les roches volcaniques dans une auréole de contact. Le skarn est la roche formée là où des fluides magmatiques chauds réagissent avec la roche encaissante carbonatée, en déposant des silicates de calcium–fer–magnésium tels que grenat et pyroxène, souvent avec de la magnétite et des sulfures métalliques.

Les auréoles de contact vont de quelques centimètres autour de petits dykes et sills à plusieurs dizaines de mètres autour d’un grand stock, et le métamorphisme de contact couvre environ $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à plus de $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Une argilite devient une cornéenne, un calcaire un marbre, un grès un quartzite. Un magma mis en place en profondeur dans des roches déjà chaudes ne produit presque aucune auréole : la largeur dépend de la taille et de la température de l’intrusion ainsi que de la température de son encaissant, comme le prévoit le modèle de refroidissement (voir l’Exercice 5.12). Les minéraux qui croissent dans une auréole, et ce qu’ils disent de la température, appartiennent au Chapitre 10 ; les métaux que concentrent les skarns sont traités au Chapitre 29.

Sur le terrain — Lire les contacts d’un dyke

Lorsqu’un dyke affleure, un géologue suit d’abord ses contacts avec la roche encaissante. Une bordure à grain plus fin ou plus vitreux que le centre du dyke indique que le magma a été refroidi contre une roche froide ; un dyke large de $25\,\mathrm{cm}$, étudié sur la côte de Colombie-Britannique, présente des bordures figées de $2\,\mathrm{cm}$ d’épaisseur. La roche encaissante est examinée au contact pour y repérer une cuisson : un changement de couleur, un durcissement, de nouveaux minéraux qui s’estompent à mesure qu’on s’éloigne du dyke. La largeur de la zone cuite et de la bordure figée, rapportée à la largeur du dyke, indique à quelle température se trouvait l’encaissant à l’arrivée du dyke ; un dyke sans bordure figée ni auréole s’est mis en place dans des roches déjà chaudes. Des échantillons sont prélevés en travers du dyke, de la bordure au centre, pour la géochimie de son liquide et pour la taille de ses cristaux.

5.7 Exercices

Exercice 5.1 ★

Pour les liquides granitiques hydratés, une équation ajustée sur des mesures donne $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln w]\}$, avec $\eta$ en $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $w$ la teneur en eau en pour cent massique et $T$ en kelvins. Calculer $\log_{10}\eta$ à $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pour $w = 1$ et $w = 4$, et le facteur par lequel les trois pour cent d’eau supplémentaires réduisent la viscosité.

Solution

Solution de Exercice 5.1.

$T = 1073\,\mathrm{K}$. Pour $w = 1$, $\ln w = 0$ : $\log_{10}\eta = -3.545 + 9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. Pour $w = 4$, $\ln 4 = 1.386$ : $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$, $B = 9601 - 3283 = 6318$, $C = 195.7 + 44.7 = 240.4$, et $\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. La viscosité diminue d’un facteur $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

Exercice 5.2 ★

Avec la loi en racine carrée, $s = 0.44$ pour une rhyolite et $s = 0.34$ pour un basalte (pour cent en masse par $\sqrt{\mathrm{MPa}}$), calculer la pression de saturation d’une rhyolite à $6\,\%$ d’eau et d’un basalte à $0.5\,\%$, ainsi que les profondeurs correspondantes dans une croûte de masse volumique $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

Solution

Solution de Exercice 5.2.

Rhyolite : $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$, à une profondeur de $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 7.3\,\mathrm{km}$. Basalte : $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$, à $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. La rhyolite commence à former des bulles en profondeur dans la croûte, le basalte seulement près de la surface (s’il ne contient pas de CO$_2$).

Exercice 5.3 ★

Calculer la température de contact d’un dyke basaltique à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mis en place dans des roches à $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, puis dans des roches à $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Lequel des deux dykes aura la bordure figée la plus large ?

Solution

Solution de Exercice 5.3.

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Le dyke dans la roche froide est refroidi plus fortement à son contact, et a la bordure figée la plus large.

Exercice 5.4 ★

Nommer chaque corps. (a) Une nappe de dolérite de $30\,\mathrm{m}$ d’épaisseur placée entre deux couches de grès sur $20\,\mathrm{km}$. (b) Une nappe verticale de basalte large de $2\,\mathrm{m}$ recoupant des calcaires horizontaux. (c) Un granite affleurant sur $2000\,\mathrm{km}^{2}$, formé d’une douzaine d’unités d’âges différents. (d) Une lentille de porphyre large de $1\,\mathrm{km}$, plane à sa base, au-dessus de laquelle les couches sont arquées vers le haut. (e) Une nappe horizontale de basalte dans un granite.

Solution

Solution de Exercice 5.4.

(a) Un sill, parallèle à la stratification. (b) Un dyke, recoupant la stratification. (c) Un batholite, de plus de $100\,\mathrm{km}^{2}$, assemblé à partir de nombreuses intrusions. (d) Une laccolite, qui a soulevé son toit en dôme. (e) Un dyke : le granite n’a pas de stratification, de sorte que toute nappe qui le traverse est un dyke, quelle que soit son orientation.

Exercice 5.5 ★★

Un liquide basaltique a $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Avec la relation d’Einstein–Roscoe ($R = 1.35$), calculer la viscosité du magma contenant $5\,\%$, $20\,\%$, $40\,\%$ et $60\,\%$ de cristaux, et comparer la première avec la formule diluée d’Einstein. À quelle fraction de cristaux la relation prévoit-elle le blocage ?

Solution

Solution de Exercice 5.5.

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$ : pour $\phi = 0.05$, $0.9325^{-2.5} = 1.19$, soit $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, contre $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$, $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, avec la formule d’Einstein (proche, comme il se doit à la limite diluée). Pour $0.20$ : $0.73^{-2.5} = 2.20$, $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; pour $0.40$ : $0.46^{-2.5} = 6.97$, $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; pour $0.60$ : $0.19^{-2.5} = 63.6$, soit environ $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Blocage à $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

Exercice 5.6 ★★

Un magma de masse volumique inférieure de $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à celle de ses parois monte dans un dyke. (a) Pour un basalte ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) dans un dyke large de $1\,\mathrm{m}$, calculer la vitesse moyenne, le débit par mètre de dyke, le nombre de Reynolds et le temps pour monter $10\,\mathrm{km}$. (b) Même calcul de temps pour une rhyolite de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dans un dyke large de $1\,\mathrm{m}$, puis de $10\,\mathrm{m}$. (c) Un dyke large de $1\,\mathrm{m}$ perd sa chaleur en un temps de l’ordre de $(w/2)^2/\kappa$, avec $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : laquelle des trois remontées peut réussir ?

Solution

Solution de Exercice 5.6.

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (a) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) = 2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$, laminaire ; $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$, soit environ $1.1\,\mathrm{h}$. (b) $\bar u = 2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ jours ; avec $w = 10\,\mathrm{m}$, $\bar u$ est cent fois plus grande, $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et $t = 4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ jours. (c) Le dyke de $1\,\mathrm{m}$ se refroidit en environ $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, soit 2.9 jours ; le dyke de $10\,\mathrm{m}$ en $5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, soit 289 jours. Le basalte ($1.1\,\mathrm{h}$) et la rhyolite dans le dyke large (4.7 jours) arrivent avant que leur dyke ne gèle ; la rhyolite dans le dyke de $1\,\mathrm{m}$ (472 jours) ne le peut pas.

Exercice 5.7 ★★

Un magma de masse volumique $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ libère $1\,\%$ de sa masse en vapeur d’eau. En assimilant la vapeur à un gaz parfait ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), calculer la fraction volumique de gaz dans le magma à $100\,\mathrm{MPa}$, $10\,\mathrm{MPa}$ et $0.1\,\mathrm{MPa}$. Laquelle des trois valeurs est la moins fiable, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 5.7.

Par kilogramme de magma, $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ d’eau et $nRT = 0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$ ; le liquide restant occupe $0.99/2400 = 4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$. À $100\,\mathrm{MPa}$ : $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, fraction $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. À $10\,\mathrm{MPa}$ : $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$, fraction $0.57$. À $0.1\,\mathrm{MPa}$ : $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$, fraction $0.992$. La valeur à $100\,\mathrm{MPa}$ est la moins fiable : la vapeur d’eau à une telle pression est dense et loin d’un gaz parfait (et une grande partie de l’eau resterait en fait dissoute).

Exercice 5.8 ★★

Dans un bassin, la masse volumique des roches croît avec la profondeur $z$ selon $\rho(z) = 2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $z$ en $\mathrm{km}$) jusqu’à $10\,\mathrm{km}$. (a) Où se trouve le niveau de flottabilité neutre d’un liquide basaltique de $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ? (b) Le modèle de masse volumique de ce chapitre montre qu’un pour cent d’eau dissoute abaisse la masse volumique d’un liquide basaltique d’environ $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Où s’arrête un liquide contenant un pour cent d’eau de plus ? (c) Quelle est la force de flottabilité par mètre cube du liquide sec situé $2\,\mathrm{km}$ sous son niveau de flottabilité neutre ?

Solution

Solution de Exercice 5.8.

(a) $2300 + 60z = 2650$ donne $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (b) Le liquide a $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$, soit environ $1.2\,\mathrm{km}$ plus haut. (c) À $z = 7.8\,\mathrm{km}$, la roche a $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; la force vaut $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ par mètre cube, dirigée vers le haut.

Exercice 5.9 ★★

Supposons un diapir granitique de rayon $1\,\mathrm{km}$ et de déficit de masse volumique $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ qui monte à travers une croûte inférieure de viscosité $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Calculer sa vitesse de Stokes (sphère rigide) en millimètres par an et le temps pour monter $10\,\mathrm{km}$. Comparer avec l’échelle de temps $a^2/\kappa$ de son refroidissement, avec $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Que conclure ?

Solution

Solution de Exercice 5.9.

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, soit $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ par an, $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$. La remontée de $10\,\mathrm{km}$ prend $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Ma}$. L’échelle de temps du refroidissement est $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{ka}$ : le corps se solidifie après avoir monté d’environ $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. Un diapir magmatique ne peut pas traverser une telle croûte ; il lui faut un environnement plus chaud et plus mou.

Exercice 5.10 ★★★

L’eau se dissout dans un liquide à la fois sous forme de molécules, $x_m = K_1 f$, et sous forme de groupes hydroxyles, $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (l’oxygène du liquide étant en large excès), de sorte que l’eau dissoute totale vaut $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$. (a) Exprimer $x$ en fonction de $f$ et montrer qu’elle se comporte comme $\sqrt f$ à faible $f$ et comme $f$ à fort $f$. (b) À quelle fugacité les deux formes d’eau sont-elles également abondantes ? (c) Avec $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ et $K_2 = 0.2$, calculer cette fugacité, ainsi que la part de l’eau dissoute sous forme d’hydroxyle à $100\,\mathrm{MPa}$.

Solution

Solution de Exercice 5.10.

(a) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$, donc $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. Le rapport du premier terme au second vaut $2\sqrt{K_1f/K_2}$ : il tend vers zéro lorsque $f \to 0$ (la racine carrée domine) et croît sans borne avec $f$ (le terme linéaire domine). (b) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ donne $K_1^2f^2 = K_1K_2f/4$, donc $f = K_2/(4K_1)$. (c) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. À $100\,\mathrm{MPa}$ : $x_m = 0.0100$, $\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} = \frac12\times0.0447 = 0.0224$, donc $x = 0.0324$ et la part hydroxyle vaut $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

Exercice 5.11 ★★★

Un pluton granitique de $1000\,\mathrm{km}^{3}$ est édifié en $4\,\mathrm{Ma}$. (a) Calculer son apport moyen de magma en $\mathrm{km}^{3}$ par an et en $\mathrm{m}^{3}$ par seconde. (b) Un seul dyke long de $1\,\mathrm{km}$ et large de $2\,\mathrm{m}$, avec une vitesse moyenne de $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, l’alimente : combien de temps ce dyke mettrait-il pour apporter tout le pluton ? Quelle fraction des $4\,\mathrm{Ma}$ cela représente-t-il ? (c) Si le pluton est formé de nappes d’épaisseur $20\,\mathrm{m}$ et de $10\,\mathrm{km}$ sur $10\,\mathrm{km}$, combien de nappes faut-il, et quel délai sépare en moyenne deux d’entre elles ? (d) Avec $\lambda = 0.65$ et $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, combien de temps une nappe met-elle pour se solidifier ? Le pluton est-il jamais un seul grand corps de magma ?

Solution

Solution de Exercice 5.11.

(a) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ par an, soit $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ par an, ou $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, soit environ huit litres par seconde. (b) Le dyke transporte $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ et apporte $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ en $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, soit environ 20 ans : $5 \times 10^{-6}$ de la $4\,\mathrm{Ma}$. (c) Chaque nappe contient $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} = 2\,\mathrm{km}^{3}$, soit 500 nappes, une toutes les $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ ans en moyenne. (d) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, soit 2.7 ans. Chaque nappe se solidifie des milliers d’années avant l’arrivée de la suivante : sauf si l’apport arrive par à-coups rapides, le pluton n’est jamais un seul grand corps de magma, comme le suggère la datation des grands plutons.

Exercice 5.12 ★★★

Loin d’un dyke mince de largeur $b$ (à des distances $x \gg b$), sa chaleur agit comme une source plane instantanée : $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (a) Montrer qu’à la distance $x$ la température est maximale à $t^* = x^2/(2\kappa)$, et que cette élévation maximale vaut $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) Pour un dyke large de $2\,\mathrm{m}$ avec $T_m - T_0 = 1100\,\mathrm{K}$, à quelle distance la roche se réchauffe-t-elle d’au plus $100\,\mathrm{K}$, et quand ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) ? (c) Pourquoi les auréoles des dykes minces sont-elles si étroites ?

Solution

Solution de Exercice 5.12.

(a) À $x$ fixé, $\ln(T - T_0) = \text{cste} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$, dont dérivée $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ s’annule en $t^* = x^2/(2\kappa)$. Alors $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ et $\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$, donc $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$ : $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$, atteint après $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, soit environ 230 jours (à seulement 2.7 largeurs de dyke, l’approximation de source plane est grossière). (c) Le réchauffement décroît comme $b/x$ : un dyke mince transporte peu de chaleur, et la roche ne se réchauffe sensiblement que dans un rayon de quelques largeurs de dyke.

5.8 Problème : le sill sous le plateau

Problème 5.1

Problème du week-end — suivre un magma basaltique depuis son dyke d’alimentation jusqu’à un sill, son eau et le temps que met le sill à se solidifier

Sous un plateau imaginaire, des sédiments (schiste et grès) de masse volumique moyenne $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ reposent à $3.0\,\mathrm{km}$ de profondeur sur un socle cristallin de masse volumique $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Un magma basaltique est monté depuis $15\,\mathrm{km}$ par un dyke large de $2.0\,\mathrm{m}$ et s’est étalé à la base des sédiments en un sill de dolérite d’épaisseur $100\,\mathrm{m}$. Données : température d’intrusion $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; loi de viscosité du liquide $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ en kelvins) ; masse volumique du liquide avec son eau $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; $20\,\%$ de cristaux en volume (Einstein–Roscoe, $R = 1.35$) ; eau dissoute $0.40\,\%$, solubilité $s = 0.34$ pour cent par $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ ; température de l’encaissant au niveau du sill $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$, chaleur latente $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, le magma étant considéré comme se solidifiant à sa température d’intrusion ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; une année vaut $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

Partie I — Le magma.

1. Calculer $\log_{10}\eta$ et $\eta$ du liquide à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1423\,\mathrm{K}$).
2. Même question à $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De quel facteur la viscosité change-t-elle sur ces $50\,\mathrm{K}$ ?
3. Calculer la viscosité du magma avec ses cristaux à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
4. À quelle fraction de cristaux la relation d’Einstein–Roscoe ferait-elle bloquer le magma ? Comparer avec l’estimation de terrain de la fin de l’écoulement d’ensemble.
5. Calculer la différence de masse volumique entre le magma et le socle, et entre le magma et les sédiments.
6. Calculer la pression lithostatique au niveau du sill.

Partie II — Remontée dans le dyke.

7. Calculer le gradient de pression de flottabilité $\Delta\rho\,g$ qui entraîne le magma à travers le socle.
8. Calculer la vitesse moyenne du magma dans le dyke.
9. Calculer le débit par mètre de dyke, et le débit total si le dyke est long de $1.0\,\mathrm{km}$.
10. Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement. Est-il laminaire ?
11. Combien de temps le magma met-il pour monter de $15\,\mathrm{km}$ à $3.0\,\mathrm{km}$ ?
12. Comparer avec l’échelle de temps $(w/2)^2/\kappa$ sur laquelle le dyke perd sa chaleur. Peut-il rester ouvert ?
13. Expliquer pourquoi le magma s’est arrêté à $3.0\,\mathrm{km}$ et s’est étalé latéralement, en utilisant le vocabulaire du chapitre.

Partie III — L’eau.

14. Calculer la pression de saturation de l’eau du liquide, et la profondeur, dans les sédiments, où elle est atteinte.
15. Quelle quantité d’eau le liquide peut-il contenir au niveau du sill ? Le magma du sill exsolve-t-il de l’eau ?
16. Les vésicules de la bordure figée du sill contiennent surtout du CO$_2$. Expliquer.
17. Si la totalité des $0.40\,\%$ d’eau sortait en surface, à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $0.1\,\mathrm{MPa}$, quelle fraction volumique du magma occuperait la vapeur (gaz parfait) ?

Partie IV — Refroidissement et solidification.

18. En négligeant la chaleur latente, calculer la température de contact du sill.
19. En négligeant la chaleur latente, calculer la température $10\,\mathrm{m}$ au-dessus du contact supérieur $10$ ans après l’intrusion.
20. Même modèle : calculer la température au milieu du sill après $10$ ans et $50$ ans.
21. Même modèle : à $80\,\mathrm{m}$ au-dessus du contact supérieur, calculer la température après $300$, $363$ et $420$ ans. La roche atteint-elle jamais $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
22. Calculer $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ pour le sill.
23. Évaluer $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ pour $\lambda = 0.64$, $0.65$ et $0.66$ ($\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$, $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$, $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$), et donner $\lambda$ à deux décimales.
24. En tenant compte de la chaleur latente, calculer la température de contact pendant que le sill se solidifie. Pourquoi est-elle plus élevée qu’à la question 18 ?
25. Calculer l’échelle de temps $(b/2)^2/\kappa$ en années.
26. Calculer le temps que met le sill à se solidifier, en années, le nombre clé de ce problème, et expliquer pourquoi il est plus court que l’échelle de temps de la dernière question, bien qu’il faille évacuer la chaleur latente.

Solution

Solution de Problème 5.1.

1. $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$ ; $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

2. $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$, $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : un facteur de $480/172 = 2.8$ pour $50\,\mathrm{K}$.

3. $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 = 378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

4. $\phi = 1/1.35 = 0.74$. Les observations de terrain placent la fin de l’écoulement d’ensemble à un taux de fusion de $30\text{ à }50\,\%$, soit $50\text{ à }70\,\%$ de cristaux : plus tôt, parce que les cristaux réels ne sont pas des sphères d’une seule taille.

5. Socle : $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, le magma est plus léger. Sédiments : $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, le magma est plus dense.

6. $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

7. $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

8. $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

9. $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; sur $1.0\,\mathrm{km}$, soit environ $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

10. $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$ : laminaire.

11. $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$, soit environ $4.3\,\mathrm{h}$.

12. $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, soit 16.5 jours, bien plus long que $4.3\,\mathrm{h}$ : le dyke reste ouvert pendant que le magma s’écoule.

13. À $3.0\,\mathrm{km}$, le magma rencontre des sédiments plus légers que lui : la base des sédiments est son niveau de flottabilité neutre. Au-dessus, le magma serait plus dense que son environnement, il s’étale donc latéralement le long du contact, en sill.

14. $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$, atteinte à $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ sous la surface.

15. $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$, bien plus que les $0.40\,\%$ présents : le magma du sill n’exsolve pas d’eau.

16. Le CO$_2$ est beaucoup moins soluble que l’eau : il sature et forme des bulles en profondeur pendant la remontée, si bien que le premier gaz d’un basalte est surtout du CO$_2$.

17. Par kilogramme, $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$, $V = 0.222\times8.314\times1423/ 10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$ ; le liquide occupe $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ ; la fraction vaut $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$, soit $98.6\,\%$.

18. $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. Après 10 ans, $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} = 29.7\,\mathrm{m}$. Le point est à $x = 60\,\mathrm{m}$ du milieu : $T = 100 + 525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 + 1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. Au milieu, $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$ : après 10 ans $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$, $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; après 50 ans, $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$, $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$, $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. À $x = 130\,\mathrm{m}$ : $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ après 300 ans, $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ après 363 ans (le maximum), $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ après 420 ans. Sans chaleur latente, la roche située à $80\,\mathrm{m}$ au-dessus du sill n’atteint jamais tout à fait $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

22. $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

23. $\lambda = 0.64$ : $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$ ; $0.65$ : $0.6554/1.0673 = 0.614$ ; $0.66$ : $0.6469/1.0886 = 0.594$. La valeur $0.608$ se situe entre $0.65$ et $0.66$, proche de $0.65$ : $\lambda = 0.65$.

24. $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La chaleur latente libérée au front de solidification maintient le côté magma à $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ plus longtemps, si bien que le contact reçoit davantage de chaleur.

25. $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, soit 113 ans.

26. $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} = 2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, soit $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$ : le sill est solide après $67\,$ ans. Il est plus court que $(b/2)^2/\kappa$, d’un facteur $1/(4\lambda^2) = 0.59$ : cette échelle de temps ne fixe que l’ordre de grandeur, et les deux parois du sill extraient la chaleur d’un encaissant froid à la fois, assez vite pour évacuer aussi la chaleur latente.