29Gisements de minerai

Le cuivre représente environ $0.006\,\%$ de la croûte ; on l’extrait de roches qui en contiennent environ $0.5\,\%$. Toute mine de cuivre exploite donc une roche environ quatre-vingts fois plus riche que la croûte qui l’entoure, et chaque gisement est l’œuvre d’un concentrateur naturel : un magma qui a séparé un liquide sulfuré, une saumure chaude qui a dissous des métaux et les a déposés dans une fracture, une rivière qui a trié les grains lourds des grains légers, une pluie qui a lessivé le sommet d’un corps minéralisé et redéposé son cuivre plus bas. Ce chapitre suit ces concentrateurs, mesure ensuite leurs produits — quelle quantité de minerai, à quelle teneur — et se termine par la façon dont on découvre les gisements.

Tu sais déjà

Des volumes scolaires : gisement et facteur de concentration, filon, placer, réserve et ressource ; circulation hydrothermale et fumeurs noirs aux dorsales. Des livres de chimie : minerai ; solubilité, ions complexes et oxydoréduction. Du volume de première année : la vitesse de chute d’un grain et la loi de Stokes ; latérite ; évaporite. Du Chapitre 3 : élément chalcophile, coefficient de partage minéral–liquide. Du Chapitre 8 : intrusion litée et cumulat. Du Chapitre 18 : formation de fer rubanée (BIF), craton. Des livres de mathématiques : les lois normale et log-normale, et la fonction de répartition normale $\Phi$.

29.1 Minerai, teneur et concentration

Définition 29.1 (Gangue)

Dans un minerai, la gangue est tout ce qui n’a aucune valeur économique : les minéraux de roche, hydrothermaux et d’altération qui accompagnent les minéraux utiles, séparés d’eux et rejetés pendant le traitement.

Dans un gisement de cuivre porphyrique, principale source mondiale de cuivre, plus de $98\,\%$ du minerai est constitué de gangue, et les minéraux de cuivre forment le reste.

Définition 29.2 (Teneur, teneur de coupure, tonnage)

La teneur d’un volume de roche est la fraction massique de l’élément ou du minéral utile qu’il contient : en pour cent pour les métaux de base, en grammes par tonne pour l’or, l’argent et les éléments du groupe du platine. La teneur de coupure est la plus faible teneur à laquelle un bloc de roche est compté comme minerai ; en dessous, le bloc est stérile. Le tonnage d’un gisement est la masse de roche au-dessus de la teneur de coupure ; avec sa teneur moyenne $\bar g$, il donne le métal contenu, $M = T\bar g$.

Le tonnage et la teneur d’un gisement ne sont donc pas deux faits sur la roche, mais deux réponses à une même question, posée pour une teneur de coupure donnée. Batu Hijau, un gisement de porphyre cuprifère et aurifère d’Indonésie, est annoncé à $914\,\mathrm{Mt}$ à $0.53\,\%$ de cuivre au-dessus d’une coupure de $0.3\,\%$, et à $1640\,\mathrm{Mt}$ à $0.44\,\%$ dans une compilation mondiale qui retient la coupure la plus basse disponible : abaisser la coupure presque double le tonnage et abaisse la teneur moyenne. Dans un gisement sédimentaire zinc–plomb, le gisement de Tom, au Canada, une baisse de la teneur de coupure d’environ un pour cent de zinc et de plomb réunis multiplierait les réserves par cinq.

Définition 29.3 (Facteur de concentration)

Le facteur de concentration d’un élément dans un minerai est le rapport $\mathrm{CF} = g/a$ de sa teneur $g$ à son abondance $a$ dans un réservoir de référence, dont il faut indiquer le choix : la croûte continentale entière, la croûte continentale supérieure, ou la roche à partir de laquelle le gisement s’est formé.

Le facteur dépend de la référence. Pour $0.006\,\%$ de cuivre dans la croûte et $0.5\,\%$ dans le minerai, on obtient un facteur de 83 ; avec la croûte continentale supérieure, $28\,\mathrm{ppm}$, et la teneur moyenne des porphyres cuprifères de 2008, $0.44\,\%$, on obtient 157. L’or, à $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$ dans la croûte supérieure et exploité à quelques grammes par tonne, a des facteurs de plusieurs milliers ; le fer, à plusieurs pour cent dans la croûte et exploité à environ $50\,\%$, n’a besoin que d’un facteur d’une dizaine.

Définition 29.4 (Gisement)

Un gisement est un corps de roche dans lequel des processus naturels ont concentré un élément ou un minéral à une teneur supérieure à la coupure, sur un tonnage assez grand pour être extrait avec profit. Il est à la fois un objet géologique, défini par les processus qui l’ont formé, et un objet économique, défini par les prix, les coûts et les techniques.

Parce qu’il a une part économique, la taille d’un gisement varie avec le temps. Les ressources identifiées d’un élément sont les concentrations dont l’extraction est faisable aujourd’hui ou pourrait le devenir ; ses réserves sont la part qui pouvait être extraite de façon économique au moment où elles ont été déterminées. Les réserves mondiales de cuivre étaient de $280\,\mathrm{Mt}$ en 1970 ; environ $697\,\mathrm{Mt}$ ont été extraits depuis, et elles s’élevaient à $980\,\mathrm{Mt}$ en 2024.

Proposition 29.5 (Bilan de masse d’un gisement)

Un gisement qui contient une masse $M$ d’un élément à la teneur moyenne $g$ a été alimenté par une source dans laquelle l’élément avait une abondance $a$. Si le processus de concentration a extrait une fraction $\eta \leq 1$ de l’élément de la source et l’a livré au gisement, la masse de roche source traitée est

$$m_{\mathrm{source}} = \frac{M}{\eta\,a} = \frac{\mathrm{CF}}{\eta}\, T ,\tag{29.1}$$

avec $T = M/g$ le tonnage et $\mathrm{CF} = g/a$ : au moins CF tonnes de roche source par tonne de minerai.

Bingham Canyon, le gisement porphyrique montré ci-dessous, est annoncé à $3230\,\mathrm{Mt}$ à $0.882\,\%$ de cuivre, soit $28.5\,\mathrm{Mt}$ de cuivre. Son facteur par rapport à la croûte supérieure est 315, et même un procédé parfaitement efficace aurait dû drainer $1.02 \times 10^{12}$ tonnes de croûte supérieure moyenne, soit environ $377\,\mathrm{km}^{3}$ : un cube de $7.2\,\mathrm{km}$ de côté. Les processus de formation des minerais sont donc des processus qui font passer une grande quantité de matière — magma, eau, sédiment — par un petit volume où l’élément est piégé.

Définition 29.6 (Types de gisements)

Un type de gisement est une classe de gisements qui partagent un cadre géologique, une roche hôte, une forme, une minéralogie de minerai et un processus de formation, de sorte qu’une description de la classe prédit où ses membres se trouvent. Les types se répartissent en quatre familles selon le processus : magmatique (le métal est concentré par un magma pendant qu’il cristallise ou se sépare en deux liquides), hydrothermale (par un fluide aqueux chaud), sédimentaire (par le transport et le dépôt de sédiments, ou la précipitation depuis l’eau à la surface), et supergène (par l’altération d’un gisement antérieur).

29.2 Gisements magmatiques

Chromite dans les intrusions litées. La chromite, seule source commerciale de chrome, se concentre en lits de chromitite massive, contenant plus de $90\,\%$ de chromite, dans les parties inférieures ultramafiques des intrusions litées. Les intrusions mesurent de 2 à $180\,\mathrm{km}$ de large et jusqu’à $15\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, et les lits vont de moins d’un centimètre à 5–$8\,\mathrm{m}$ ; ensemble, ils renferment l’essentiel des réserves mondiales de chrome, et le complexe du Bushveld, rencontré au Chapitre 8, est aujourd’hui le seul exploité pour la chromite. Leur origine, une couche de cumulat poussée dans le champ de la chromite par le mélange de magmas ou par un changement de pression ou d’état d’oxydation, reste débattue.

Sulfures de nickel, de cuivre et d’éléments du groupe du platine. Un magma mafique ou ultramafique, produit par une fusion du manteau à fort degré ($20\,\%$ à $25\,\%$ ou davantage, avec plus de $12\,\%$ de MgO en masse), monte sous-saturé en soufre. S’il assimile du soufre de la croûte, ou s’il refroidit assez, il devient saturé et un liquide sulfuré immiscible se sépare en gouttelettes. Les métaux chalcophiles passent dans ces gouttelettes : le rapport $D$ de leur concentration dans le liquide sulfuré à celle dans le liquide silicaté, de même nature que le coefficient de partage entre un minéral et un liquide de fusion, vaut de $10^2$ à $10^3$ pour le cuivre et le nickel, et de $10^3$ à $10^4$ pour les éléments du groupe du platine. La quantité de métal qu’une gouttelette rassemble dépend alors de la quantité de magma qu’elle rencontre.

Proposition 29.7 (Facteur R)

Soit une unité de masse de liquide sulfuré qui se sépare d’une masse $R$ de magma silicaté, le facteur R, et atteint avec lui l’équilibre, en système fermé ; soit $C_L$ la concentration d’un métal dans le magma avant la séparation du sulfure, et $D$ son coefficient de partage sulfure–silicate. Alors la concentration du métal dans le sulfure est

$$C_S = C_L\,\frac{D\,(R + 1)}{R + D} .\tag{29.2}$$

Pour $R \gg D$, $C_S \to D\,C_L$ ; pour $R \ll D$, $C_S \approx (R + 1)\,C_L$.

Les deux limites expliquent l’existence de deux types de minerais sulfurés. Quand $R \ll D$, le sulfure capte presque tout le métal du magma qu’il rencontre, et $C_S$ croît avec $R$ ; quand $R \gg D$, il est saturé à $D\,C_L$ et davantage de magma n’ajoute rien. Le nickel et le cuivre, dont $D$ vaut quelques centaines, atteignent leur plafond pour $R$ de quelques centaines à quelques milliers, soit l’intervalle de la plupart des minerais nickel–cuivre ; le platine et le palladium, dont $D$ est voisin de $10^4$, continuent de gagner jusqu’à $R$ de $10\,000$ à $100\,000$. Les minerais riches en éléments du groupe du platine, comme le Merensky Reef du Bushveld et certains minerais de Norilsk, témoignent donc d’une faible masse de sulfure lessivée par une très grande masse de magma (exercices 29.5 et 29.11).

Kimberlites et diamants. La plupart des diamants, et presque tous ceux qui sont exploités, se sont formés à la base de la lithosphère continentale épaisse, dans les racines des cratons ; les magmas kimberlitiques, venus de plus de 120 à $150\,\mathrm{km}$ de profondeur et montant à jusqu’à $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, les amènent à la surface assez vite pour survivre. Les kimberlites font éruption de préférence à travers une lithosphère épaisse et ancienne, c’est là que s’orientent les prospections de diamants.

Pegmatites. Les pegmatites lithium–césium–tantale sont des dykes granitiques enrichis en ces éléments rares, engendrées dans les orogènes de collision ; elles cristallisent vers 350 à $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, température remarquablement basse pour un liquide granitique, en quelques jours à quelques années, et forment d’énormes cristaux — un cristal de spodumène mesurait $14\,\mathrm{m}$ de long. Leurs minéraux de lithium, spodumène, pétalite et lépidolite, fournissent environ un quart du lithium mondial.

29.3 Gisements hydrothermaux

Définition 29.8 (Fluide hydrothermal et types de gisements hydrothermaux)

Un fluide hydrothermal est un fluide aqueux chaud, libéré par un magma, par des réactions métamorphiques, ou issu d’eau de mer chauffée, d’eau météorique ou de saumure de bassin, qui dissout, transporte et dépose des éléments en traversant la roche. Les principaux types de gisements hydrothermaux sont :

• le gisement de porphyre cuprifère : un grand corps à faible teneur de veinules et de sulfures de cuivre disséminés dans et autour d’un petit stock porphyrique, formé par des fluides magmatiques à moins de quelques kilomètres de la surface au-dessus d’une zone de subduction ;
• le gisement épithermal : filons et disséminations d’or–argent formés à moins d’environ $1.5\,\mathrm{km}$ de la surface, vers 100 à $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dans les arcs volcaniques ;
• le amas sulfuré volcanogène (VMS) : une lentille de sulfures massifs formée sur ou juste sous le fond marin, à un évent hydrothermal dans un cadre volcanique sous-marin ;
• le gisement sédimentaire exhalatif (SEDEX) : sulfures de zinc et de plomb lités dans des schistes marins d’un bassin de rift, précipités sur ou juste sous le fond marin à partir de saumures de bassin remontant le long de failles ;
• le gisement de type Mississippi Valley (MVT) : sulfures de zinc et de plomb remplaçant des carbonates de plate-forme, épigénétiques et sans lien avec l’activité magmatique, déposés par des saumures de bassin ;
• le gisement d’or orogénique : filons de quartz aurifères dans des ceintures métamorphiques, le long de failles majeures, déposés par des fluides de faible salinité et riches en CO$_2$, d’origine métamorphique.

Transport et dépôt. La plupart des métaux sont transportés dans les fluides hydrothermaux sous forme de complexes : le zinc, le plomb et le cuivre en complexes chlorurés, de sorte que la salinité contrôle leur solubilité, et l’or, dans les fluides réduits, en complexes soufrés tels que AuHS(H$_2$S)$_3$. Un fluide lâche sa charge quand sa solubilité baisse : lorsqu’il se refroidit ; lorsqu’il bout à mesure que sa pression chute, en perdant H$_2$S et CO$_2$ et en changeant de pH ; lorsqu’il se mêle à un fluide de composition différente — une saumure rencontrant une eau riche en H$_2$S précipite de la sphalérite et de la galène presque aussitôt ; et lorsqu’il réagit avec la roche encaissante, ce qui modifie son pH ou son état d’oxydation. Chaque type de gisement est une combinaison particulière de fluide, de voie de circulation et de piège.

Porphyres cuprifères. Les gisements de porphyre fournissent environ $60\,\%$ du cuivre mondial et renferment environ $65\,\%$ de ses ressources. Ils sont centrés sur de petits stocks cylindriques ou des essaims de dykes, sommets de plutons plus grands, mis en place à moins de 5–$10\,\mathrm{km}$ de profondeur dans des arcs au-dessus de zones de subduction, le cadre du Chapitre 9. Un gisement mesure de $0.1$ à $1\,\mathrm{km}$ de large, pour une hauteur comparable ; la roche altérée peut s’étendre sur $10\,\mathrm{km}$ ou plus autour de lui. Au fur et à mesure que le magma cristallise, un fluide contenant $3\,\%$ à $5\,\%$ de sel en masse s’en sépare ; en remontant et en se décomprimant, il se scinde en une saumure et une vapeur, qui portent toutes deux des métaux, et sa surpression fracture la roche. Des veines de quartz précipitent vers 700 à $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, et la réaction du fluide avec la roche délimite les zones d’altération, comme dans la coupe ci-dessous. Comme ils se forment peu profondément dans les marges actives, où l’érosion est rapide, plus de $90\,\%$ des gisements de porphyre connus sont cénozoïques ou mésozoïques.

Or épithermal. Au-dessus de certains systèmes porphyriques, et dans les arcs volcaniques en général, les mêmes fluides atteignent les $1.5\,\mathrm{km}$ supérieurs de la croûte vers 100 à $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, où ils bouillent et se mêlent aux eaux souterraines ; ils déposent or et argent dans des veines de quartz, avec une altération qui témoigne de fluides presque neutres (adulaire, illite) ou très acides (kaolinite, dickite, pyrophyllite).

Sulfures massifs sur le fond marin. L’eau de mer entraînée dans la croûte chaude d’une dorsale ou d’un arc ressort aux évents sous forme de fumeurs noirs vers $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, observés pour la première fois sur la dorsale du Pacifique Est en 1979. Là où le champ d’évents dure, ses sulfures édifient un monticule ; le minerai contient plus de $40\,\%$ de sulfures, au-dessus d’un stockwerk de veines qui marque le conduit d’alimentation. Les métaux sont zonés selon la température : fer et cuivre à la base chaude, zinc, fer, plomb et baryum au sommet et aux marges plus froids, comme dans le monticule dessiné à la section suivante. Les amas sulfurés volcanogènes vont de petites poches de moins d’une tonne aux $1.5\,\mathrm{Gt}$ de Rio Tinto en Espagne, et, par l’âge, de $3.55\,\mathrm{Ga}$ aux gisements qui se forment aujourd’hui.

Saumures de bassin : SEDEX et MVT. Les saumures de bassin, à $10\,\%$ à $30\,\%$ de sels dissous, chauffées à 100–$200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ par l’enfouissement, transportent zinc et plomb sous forme de complexes chlorurés et forment les deux types logés dans des sédiments. Les gisements SEDEX se forment là où la saumure émerge dans un bassin restreint et réducteur, le long d’une faille de rift, et rencontre le sulfure d’hydrogène, en produisant des boues sulfurées laminées ; ils renferment plus de la moitié des réserves mondiales de zinc et de plomb. Les gisements MVT se forment là où la saumure, chassée hors d’un bassin, atteint une plate-forme carbonatée à sa marge et la remplace entre 75 et environ $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; ils contiennent $38\,\%$ du plomb et du zinc des gisements logés dans des sédiments, avec environ dix fois plus de zinc que de plomb.

Or orogénique. Dans les ceintures métamorphiques, les réactions de dévolatilisation libèrent un fluide presque neutre, de faible salinité et riche en CO$_2$ ; canalisé le long de failles majeures, il dépose des veines de quartz aurifères vers $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et entre 4 et $12\,\mathrm{km}$ de profondeur. Les veines se prolongent sur de grandes hauteurs : $3.2\,\mathrm{km}$ à Kolar, en Inde.

29.4 Gisements sédimentaires et supergènes

Définition 29.9 (Placer)

Un placer est un gisement sédimentaire de minéraux denses et résistants, concentrés par une eau ou un vent en mouvement, car, à taille égale, ils se déposent plus vite et sont entraînés moins facilement que les grains de quartz qui les entourent.

Les minéraux plus denses que 2.85 environ sont dits lourds, contre 2.65 pour le quartz : ilménite et zircon vers 4.7, magnétite 5.2, or de 15 à 19.3. Selon la loi de Stokes, la vitesse de chute d’un grain croît avec son excédent de masse volumique $\rho_s - \rho_w$, onze fois plus grand pour l’or que pour le quartz ; l’or d’une taille donnée se comporte donc comme du quartz trois fois plus gros (exercice 29.3) ; l’or reste en général dans les graviers de rivière reposant sur le substratum, tandis que l’ilménite, le rutile et le zircon atteignent les plages et les dunes. Les teneurs des sables à minéraux lourds sont exprimées en pourcentage massique de minéraux lourds.

Les sédiments chimiques sont aussi des minerais. Les formations de fer rubanées (BIF) du Chapitre 18, précipitées à mesure que le fer dissous des océans s’oxydait, sont un minerai courant de fer ; les évaporites fournissent la halite et les sels de potassium ; les latérites, résidus d’une altération tropicale profonde, concentrent l’aluminium sous forme de bauxite. L’altération améliore aussi des gisements plus anciens.

Définition 29.10 (Enrichissement supergène, chapeau de fer)

Enrichissement supergène est la concentration d’un métal par des eaux souterraines descendantes : au-dessus de la nappe, des eaux oxygénées et acides dissolvent le métal des sulfures d’un corps minéralisé, et en dessous, en conditions réductrices, le déposent de nouveau, surtout en remplaçant les sulfures primaires. Un chapeau de fer est la roche poreuse riche en oxydes de fer laissée en surface au-dessus d’un corps sulfuré altéré, dont les sulfures sont remplacés par de la goethite, de l’hématite et de la jarosite.

Dans les gisements de porphyre, le chapeau lessivé au-dessus de la nappe atteint parfois plusieurs centaines de mètres d’épaisseur ; en dessous, des zones de sulfures enrichis en chalcocite, épaisses de quelques dizaines à plusieurs centaines de mètres, atteignent plus de $1.5\,\mathrm{Gt}$ à 0.4 à $1.7\,\%$ de cuivre, toujours plus riches que le minerai primaire, hypogène, sous-jacent. Les oxydes de fer d’un chapeau de fer et d’un chapeau lessivé conservent les textures des sulfures qu’ils ont remplacés, et guident la prospection en profondeur ; les chapeaux de fer et leur coloration ferrugineuse ont révélé aux premiers mineurs de nombreux gisements de sulfures massifs.

29.5 Teneur et tonnage

Une compilation mondiale recense 422 gisements de porphyre cuprifère avec leur tonnage, à la teneur de coupure la plus basse disponible, et leur teneur moyenne en cuivre. Un dixième d’entre eux dépasse $1500\,\mathrm{Mt}$ et un dixième contient moins de $33\,\mathrm{Mt}$, avec une médiane de $240\,\mathrm{Mt}$ ; les teneurs vont de $0.24\,\%$ à $0.75\,\%$ entre les mêmes déciles, avec une médiane de $0.44\,\%$. Entre les déciles, le tonnage s’étend sur un facteur de 45, la teneur sur un facteur de 3. Sur des axes logarithmiques, les deux histogrammes s’approchent de courbes normales, comme le montre la figure ci-dessous : les logarithmes du tonnage ont une moyenne de 2.373 et un écart-type de 0.654, ceux de la teneur $-0.364$ et 0.199 (logarithmes en base 10, tonnage en mégatonnes, teneur en pour cent). L’ajustement est imparfait : les teneurs sont plus pointues qu’une loi log-normale, et quelques gisements très pauvres l’en écartent dans un test formel. Et les deux grandeurs sont presque indépendantes, avec une corrélation de 0.1 entre leurs logarithmes.

Proposition 29.11 (Produit de variables log-normales)

Si $\log_{10} T$ et $\log_{10} g$ sont conjointement normales, de moyennes $\mu_T$ et $\mu_g$, d’écarts types $\sigma_T$ et $\sigma_g$ et de corrélation $\rho$, alors le métal contenu $M = Tg/100$ ($g$ en pour cent) est log-normal : $\log_{10} M$ est normal, avec

$$\mu_M = \mu_T + \mu_g - 2 , \qquad \sigma_M^2 = \sigma_T^2 + \sigma_g^2 + 2\rho\,\sigma_T\sigma_g .\tag{29.3}$$

Pour les gisements de porphyre, $\sigma_M = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2 + 2 \times 0.1 \times 0.654 \times 0.199} = 0.702$ et $\mu_M = 0.009$ : le gisement médian contient environ $1\,\mathrm{Mt}$ de cuivre, et le métal contenu se disperse encore plus que le tonnage. Une loi log-normale d’un étalement si large concentre l’essentiel du métal dans quelques gisements : le dixième le plus riche contient environ $63\,\%$ du cuivre selon la loi, et $64\,\%$ dans les données (exercice 29.12). La figure ci-dessous représente chaque gisement par son tonnage et sa teneur, avec des droites de cuivre contenu égal ; Bingham, à $28.5\,\mathrm{Mt}$, se trouve entre les droites de 10 et $100\,\mathrm{Mt}$.

Définition 29.12 (Courbe teneur–tonnage)

La courbe teneur–tonnage d’un gisement donne, en fonction de la teneur de coupure $c$, le tonnage $T(c)$ des blocs dont la teneur dépasse $c$ et leur teneur moyenne $\bar g(c)$.

Proposition 29.13 (Courbe teneur–tonnage d’un gisement log-normal)

Si les teneurs des blocs d’un gisement de tonnage total $T_0$ sont log-normales, $\ln g$ étant normal de moyenne $\mu$ (la teneur médiane est $e^{\mu}$) et d’écart-type $s$, alors, avec $z = (\mu - \ln c)/s$,

$$T(c) = T_0\,\Phi(z), \qquad \bar g(c) = e^{\mu + s^2/2}\,\frac{\Phi(z + s)}{\Phi(z)} ,\tag{29.4}$$

et le métal au-dessus de la coupure vaut $M(c) = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s)$, soit une fraction $\Phi(z + s)$ de l’ensemble.

Lorsque $c \to 0$, la totalité du gisement est conservée, à la teneur moyenne $e^{\mu + s^2/2}$, qui est supérieure à la médiane. Relever la coupure retire du tonnage plus vite que du métal, car les blocs retirés sont les plus pauvres : dans le gisement illustratif de la figure, passer la coupure de 0.2 à $0.5\,\%$ conserve $41\,\%$ du tonnage mais $61\,\%$ du cuivre.

29.6 Prospection

Les gisements se trouvent grâce aux traces qu’ils laissent au-delà de leur minerai. La zone d’altération d’un système porphyrique s’étend sur plusieurs kilomètres ; là où la roche affleure, ses minéraux peuvent être cartographiés depuis des avions et des satellites grâce à leurs spectres infrarouges ; ses métaux se dispersent dans les sols, les sédiments de cours d’eau, les eaux et les plantes alentour ; et ses sulfures et ses roches altérées modifient les propriétés physiques que mesure la géophysique.

Définition 29.14 (Anomalie géochimique)

Une anomalie géochimique est une concentration d’un élément, ou d’un groupe d’éléments, dans un milieu échantillonné — roche, sol, sédiment de cours d’eau, eau, plantes — qui s’écarte du fond géochimique régional, c’est-à-dire de la gamme de concentrations rencontrée là où aucune minéralisation n’est présente.

Comme les teneurs, les concentrations s’étalent sur plusieurs ordres de grandeur, si bien qu’une anomalie s’apprécie en général sur les logarithmes ; un seuil simple, utilisé à l’exercice 29.9, est la moyenne des logarithmes du fond augmentée de deux fois leur écart-type. Un échantillon de sédiment de cours d’eau mélange les sédiments de tout son bassin versant ; une anomalie s’estompe donc vers l’aval, à mesure que des sédiments propres s’y ajoutent, et le gradient des concentrations pointe vers l’amont, en direction de la source. Dans les sols au-dessus de pegmatites enfouies, des anomalies de lithium, de rubidium, de césium, de tantale et d’étain ont été tracées au-dessus de corps qui n’affleurent pas.

Les méthodes géophysiques sont choisies pour le contraste qu’offre un type de gisement. Les sulfures disséminés font d’une roche un condensateur : la polarisation provoquée, qui mesure cette chargeabilité, a été mise au point pour le porphyre cuprifère et répond surtout à la zone séricitique riche en pyrite, le cœur potassique étant plus pauvre en sulfures. Les levés magnétiques et gravimétriques cartographient les plutons auxquels les gisements sont liés. Aucune méthode ne voit directement le minerai, et toute interprétation reste non unique tant qu’un forage ne la teste pas.

Méthode 29.15 (De l’analyse à l’estimation d’une ressource)

Les données sont des forages disposés selon une grille à travers le gisement ; leur carotte est décrite et analysée par intervalles de longueur connue.

1. Composite. Moyenner les teneurs sur des longueurs égales, en pondérant chaque analyse par sa longueur, de sorte que chaque composite représente le même volume.
2. Modèle. Découper le gisement en blocs et estimer la teneur de chacun à partir des composites voisins, en les pondérant selon la distance et selon la corrélation spatiale des teneurs (la méthode géostatistique du krigeage, admise).
3. Bilan. Appliquer une coupure : tonnage et teneur moyenne des blocs au-dessus de celle-ci, avec la masse volumique de la roche, à chaque niveau de confiance permis par l’espacement des forages.

Sur le terrain — Description d’une carotte de forage

Sur un projet d’exploration, la carotte de chaque forage est disposée dans des plateaux métalliques, dans l’ordre où elle est sortie du sol. Les géologues parcourent les plateaux, intervalle par intervalle, et notent la nature de la roche, son altération, les veines qui la recoupent et leur proportion, ainsi que les sulfures qu’elle contient ; ils marquent l’endroit où la carotte sera sciée et échantillonnée. La description précède les analyses et leur est comparée : une zone d’altération ou un type de veine qui porte le métal devient ce qu’il faut suivre de forage en forage, et, à partir de la description, les géologues tracent les coupes à partir desquelles les forages suivants sont planifiés.

Exercices

Données des exercices, sauf mention contraire : croûte continentale supérieure, cuivre $28\,\mathrm{ppm}$, or $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, chrome $92\,\mathrm{ppm}$ ; la population des gisements de porphyre cuprifère de la Section 29.5, $\log_{10}$ tonnage (Mt) de moyenne 2.373 et d’écart-type 0.654, $\log_{10}$ teneur (%) de moyenne $-0.364$ et d’écart-type 0.199, corrélation $\rho = 0.100$. Arrondir à trois chiffres significatifs.

Exercice 29.1 ★

Calculer le facteur de concentration par rapport à la croûte supérieure de : (a) un minerai de cuivre à $0.5\,\%$ ; (b) un minerai d’or à $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ ; (c) une chromitite de $90\,\%$ de chromite, en prenant la chromite pour FeCr$_2$O$_4$ (masses atomiques Cr 52.00, Fe 55.85, O 16.00).

Solution

Solution de Exercice 29.1.

(a) $0.5\,\% = 5000\,\mathrm{ppm}$, et $5000/28 = 179$. (b) $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t} = 6000\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, et $6000/1.5 = 4000$. (c) La chromite contient $2 \times 52.00/(55.85 + 104.00 + 64.00) = 0.4646$ de chrome en masse ; la chromitite, $0.9 \times 0.4646 = 0.418$, soit $418\,000\,\mathrm{ppm}$, et $418000/92 = 4540$.

Exercice 29.2 ★

Batu Hijau est annoncé à $914\,\mathrm{Mt}$ à $0.53\,\%$ de Cu et $0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ d’Au au-dessus d’une coupure de $0.3\,\%$, et à $1640\,\mathrm{Mt}$ à $0.44\,\%$ de Cu et $0.45\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ d’Au à la coupure la plus basse disponible. (a) Calculer le cuivre contenu (Mt) et l’or contenu (t) de chaque estimation. (b) Quels tonnage et quel cuivre les blocs supplémentaires de la seconde estimation ajoutent-ils, et à quelle teneur moyenne ? (c) Pourquoi les deux estimations sont-elles correctes ?

Solution

Solution de Exercice 29.2.

(a) $914 \times 0.0053 = 4.84\,\mathrm{Mt}$ de cuivre et $914 \times 10^6 \times 0.40 = 3.66 \times 10^{8}$ g, $366\,\mathrm{t}$ d’or ; $1640 \times 0.0044 = 7.22\,\mathrm{Mt}$ et $738\,\mathrm{t}$. (b) $1640 - 914 = 726\,\mathrm{Mt}$ contenant $7.216 - 4.844 = 2.37\,\mathrm{Mt}$ de cuivre, soit une teneur moyenne de $2.372/726 = 0.327\,\%$ : les blocs supplémentaires se situent sous la coupure de $0.3\,\%$ et juste au-dessus d’elle. (c) Les deux estimations répondent à la question pour deux coupures ; aucune ne donne la taille du gisement sans sa coupure.

Exercice 29.3 ★

Dans la loi de Stokes, la vitesse de chute d’un grain de diamètre $d$ est proportionnelle à $(\rho_s - \rho_w)\,d^2$. Prendre $\rho_w = 1.00$, quartz 2.65, or 19.3, zircon 4.7 (en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). (a) Combien de fois plus vite un grain d’or se dépose-t-il qu’un grain de quartz de même taille ? (b) Quel est le rapport des diamètres d’un grain d’or et d’un grain de quartz qui se déposent à la même vitesse ? (c) Quel grain de quartz se dépose comme un grain de zircon de $0.1\,\mathrm{mm}$ ?

Solution

Solution de Exercice 29.3.

(a) $(19.3 - 1.00)/(2.65 - 1.00) = 18.3/1.65 = 11.1$. (b) Des vitesses égales exigent $(\rho_g - 1)d_g^2 = (\rho_q - 1)d_q^2$, donc $d_g/d_q = \sqrt{1.65/18.3} = 0.300$ : un grain d’or se dépose comme un grain de quartz environ trois fois plus gros. (c) $d_q = 0.1\sqrt{3.7/1.65} = 0.150\,\mathrm{mm}$.

Exercice 29.4 ★

Un minerai primaire de cuivre a une teneur de $0.4\,\%$. L’altération lessive tout son cuivre sur une épaisseur de $150\,\mathrm{m}$ et le redépose dans une couverture d’enrichissement épaisse de $50\,\mathrm{m}$ juste en dessous, la masse volumique étant la même. (a) Calculer la teneur de la couverture. (b) Même question si seulement $80\,\%$ du cuivre lessivé est redéposé. (c) Quelle épaisseur lessivée donnerait $1.7\,\%$ avec un redépôt complet ?

Solution

Solution de Exercice 29.4.

Par unité de surface et à densité égale, la couverture conserve son propre cuivre et reçoit celui de la colonne lessivée : $g = g_0(h_e + \eta h_l)/h_e$. (a) $0.4 \times (50 + 150)/50 = 1.6\,\%$. (b) $0.4 \times (50 + 0.8 \times 150)/50 = 1.36\,\%$. (c) $h_l = 50 \times (1.7/0.4 - 1) = 163\,\mathrm{m}$. Ces teneurs se situent dans la fourchette de 0.4–$1.7\,\%$ des couvertures d’enrichissement des gisements de porphyre.

Exercice 29.5 ★★

Un magma contient $10\,\mathrm{ppb}$ de platine et $200\,\mathrm{ppm}$ de nickel ; prendre $D_{\mathrm{Pt}} = 10^4$ et $D_{\mathrm{Ni}} = 500$. (a) À l’aide de (29.2), calculer les teneurs en platine (ppm) et en nickel (% en masse) du sulfure pour $R = 100$, $1000$, $10\,000$ et $100\,000$. (b) Trouver leurs limites pour $R \to \infty$. (c) Expliquer pourquoi un minerai de nickel renseigne peu sur $R$ et un minerai de platine beaucoup.

Solution

Solution de Exercice 29.5.

(a) Platine, $C_S = 10 \times 10^4 (R + 1)/(R + 10^4)$ ppb : $1.00\,\mathrm{ppm}$ pour $R = 100$, $9.10\,\mathrm{ppm}$ pour $1000$, $50.0\,\mathrm{ppm}$ pour $10\,000$, $90.9\,\mathrm{ppm}$ pour $100\,000$. Nickel, $C_S = 200 \times 500 (R + 1)/(R + 500)$ ppm : $1.68\,\%$, $6.67\,\%$, $9.52\,\%$, $9.95\,\%$. (b) $D\,C_L$ : $100\,\mathrm{ppm}$ de platine, $10\,\%$ de nickel. (c) Le nickel est à moins de $5\,\%$ de son plafond à partir de $R = 10\,000$, si bien que sa teneur varie à peine sur un facteur dix en $R$ ; le platine gagne encore presque le double à cet endroit, si bien que sa teneur mesure $R$.

Exercice 29.6 ★★

À l’aide de (29.3), pour la population des gisements de porphyre cuprifère : (a) calculer la moyenne et l’écart-type de $\log_{10} M$, ainsi que le cuivre contenu médian. (b) Quelle fraction des gisements contient plus de $10\,\mathrm{Mt}$ de cuivre ? Combien sur 422 ? (c) Reprendre (b) en négligeant la corrélation.

Solution

Solution de Exercice 29.6.

(a) $\mu_M = 2.373 - 0.364 - 2 = 0.009$ ; $\sigma_M = 0.702$ ; médiane $10^{0.009} = 1.02\,\mathrm{Mt}$. (b) $z = (1 - 0.009)/0.702 = 1.412$, $1 - \Phi(1.412) = 0.0790$ : environ 33 gisements sur 422. (c) $\sigma = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2} = 0.684$, $z = 1.449$, $1 - \Phi = 0.0737$, soit environ 31 : la faible corrélation ajoute quelques géants.

Exercice 29.7 ★★

Pour le gisement illustratif de la figure ($T_0 = 1000\,\mathrm{Mt}$, médiane $0.40\,\%$, $s = 0.60$), utiliser (29.4) pour calculer le tonnage, la teneur moyenne et le cuivre contenu au-dessus des coupures de $0.3\,\%$ et $0.6\,\%$. Vérifier un point sur la figure.

Solution

Solution de Exercice 29.7.

Moyenne de tous les blocs : $0.40\,e^{0.18} = 0.479\,\%$. Pour $c = 0.3$ : $z = \ln(0.40/0.3)/0.60 = 0.4795$, $\Phi(z) = 0.6842$, $\Phi(z + s) = 0.8598$ : $T = 684\,\mathrm{Mt}$, $\bar g = 0.479 \times 0.8598/0.6842 = 0.602\,\%$, $M = 1000 \times 0.00479 \times 0.8598 = 4.12\,\mathrm{Mt}$. Pour $c = 0.6$ : $z = -0.6758$, $\Phi = 0.2496$, $\Phi(z + s) = 0.4698$ : $250\,\mathrm{Mt}$ à $0.901\,\%$, $2.25\,\mathrm{Mt}$. Sur la figure, à une coupure de $0.3\,\%$, la courbe bleue donne environ $680\,\mathrm{Mt}$ et la courbe rouge environ $0.6\,\%$.

Exercice 29.8 ★★

Un gisement de porphyre contient $5\,\mathrm{Mt}$ de cuivre. Supposons que son fluide magmatique transporte $1000\,\mathrm{ppm}$ de cuivre, dont la moitié se dépose dans le minerai, et que le magma libère $3.5\,\%$ de sa masse sous forme de fluide. (a) Calculer la masse de fluide et celle de magma nécessaires. (b) Calculer le volume du magma, de masse volumique $2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (c) Si le magma contenait $50\,\mathrm{ppm}$ de cuivre, quelle fraction de ce cuivre s’est-elle retrouvée dans le minerai ?

Solution

Solution de Exercice 29.8.

(a) Fluide : $5 \times 10^{6}/(1 \times 10^{-3} \times 0.5) = 1.00 \times 10^{10}\,\mathrm{t}$ ; magma : $1 \times 10^{10}/0.035 = 2.86 \times 10^{11}\,\mathrm{t}$. (b) $2.86 \times 10^{14}/2600 = 1.10 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, soit $110\,\mathrm{km}^{3}$, un cube de magma d’environ $4.8\,\mathrm{km}$ de côté. (c) Le magma contenait $2.86 \times 10^{11} \times 50 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{7}\,\mathrm{t}$ de cuivre, et le minerai en renferme $5/14.3 = 0.350$ de celui-ci.

Exercice 29.9 ★★

Huit sédiments de cours d’eau prélevés sur le fond géochimique donnent un $\log_{10}$ Cu (ppm) de 1.30, 1.45, 1.38, 1.52, 1.41, 1.35, 1.48 et 1.40. (a) Calculer la moyenne et l’écart-type (population) des logarithmes, la médiane du fond et le seuil, moyenne plus deux écarts-types, en ppm. (b) Un affluent drainant $4\,\mathrm{km}^{2}$ de terrain minéralisé transporte un sédiment à $400\,\mathrm{ppm}$ ; il rejoint un cours d’eau drainant $36\,\mathrm{km}^{2}$ à la médiane du fond. En supposant que chaque kilomètre carré fournit la même masse de sédiment, le sédiment mélangé est-il anomal ? (c) Jusqu’à quelle surface totale de bassin l’anomalie reste-t-elle au-dessus du seuil ?

Solution

Solution de Exercice 29.9.

(a) Logarithmes : moyenne 1.411, écart-type 0.0664 ; médiane $10^{1.411} = 25.8\,\mathrm{ppm}$ ; seuil $10^{1.411 + 0.133} = 10^{1.544} = 35.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $(4 \times 400 + 36 \times 25.8)/40 = 63.2\,\mathrm{ppm}$, au-dessus de $35.0\,\mathrm{ppm}$ : toujours anomal après dilution par neuf parts de sédiment propre. (c) $4 \times 400 + (A - 4) \times 25.8 = 35.0\,A$ donne $A = 4 \times (400 - 25.8)/(35.0 - 25.8) = 163\,\mathrm{km}^{2}$.

Exercice 29.10 ★★★

(a) Démontrer $e^{su}\varphi(u) = e^{s^2/2}\varphi(u - s)$. (b) En déduire la moyenne d’une variable log-normale, $e^{\mu + s^2/2}$. (c) Montrer que la fraction du métal au-dessus de la coupure, $\Phi(z + s)$, dépasse toujours la fraction du tonnage, $\Phi(z)$, et interpréter.

Solution

Solution de Exercice 29.10.

(a) $e^{su}\,e^{-u^2/2} = e^{-(u - s)^2/2 + s^2/2}$ ; diviser par $\sqrt{2\pi}$. (b) $E[e^{\mu + su}] = e^{\mu}\int e^{su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}\int\varphi(u - s)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}$. (c) $\Phi$ croît et $s > 0$, donc $\Phi(z + s) > \Phi(z)$ : les blocs conservés sont plus riches que les blocs écartés, si bien que chaque coupure conserve une part de métal plus grande que la part de roche ; l’écart croît avec $s$, la variabilité du gisement.

Exercice 29.11 ★★★

(a) À partir de (29.2), calculer le $R$ auquel $C_S$ atteint une fraction $f$ de son plafond $D\,C_L$. (b) Le calculer pour $f = 0.5$ et $0.9$, avec $D = 300$ (nickel) et $D = 10^4$ (platine). (c) Comparer avec les intervalles de $R$ des minerais nickel–cuivre et des récifs riches en éléments du groupe du platine donnés dans le texte.

Solution

Solution de Exercice 29.11.

(a) $D(R + 1)/(R + D) = fD$ donne $R + 1 = fR + fD$, $R = (fD - 1)/(1 - f)$. (b) $f = 0.5$ : $R = D - 2$, soit 298 et $9998$ ; $f = 0.9$ : $R = 9D - 10$, soit $2690$ et $89\,990$. (c) Le nickel atteint $50\,\%$ de son plafond dans l’intervalle des minerais nickel–cuivre (de 100 à $2000$), et 90 juste au-delà ; le platine exige $R$ de $10\,000$ à $100\,000$, l’intervalle des récifs à éléments du groupe du platine.

Exercice 29.12 ★★★

(a) Pour une variable log-normale $M$ dont $\ln M$ a un écart-type $s$, montrer que les gisements au-dessus du quantile d’ordre $q$ contiennent une fraction $\Phi\bigl(s - \Phi^{-1}(q)\bigr)$ du métal total. (b) Évaluer cette fraction pour la population de porphyres et $q = 0.9$. (c) Même question pour $q = 0.99$ ; comparer avec les quatre plus grands gisements, qui contiennent $26.6\,\%$ du cuivre de la compilation.

Solution

Solution de Exercice 29.12.

(a) Avec $\ln M = m + s u$, les gisements au-dessus du quantile ont $u > \Phi^{-1}(q)$ ; leur métal vaut $\int_{\Phi^{-1}(q)}^{\infty} e^{m + su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{m + s^2/2}[1 - \Phi(\Phi^{-1}(q) - s)]$, et en divisant par le total $e^{m + s^2/2}$ on obtient $\Phi(s - \Phi^{-1}(q))$. (b) $s = 0.702 \ln 10 = 1.616$ ; $\Phi(1.616 - 1.282) = \Phi(0.334) = 0.631$. (c) $\Phi(1.616 - 2.326) = \Phi(-0.710) = 0.239$, contre 0.266 pour les quatre plus grands : les plus grands gisements sont un peu plus gros que ne le prévoit la loi log-normale.

Problème 29.1

Problème du week-end — Un indice porphyrique

Un indice porphyrique (fictif) a été foré. Son forage de découverte a recoupé huit intervalles, du haut vers le bas (longueur en mètres, teneur en cuivre en pour cent) : 30 m à 0.12 ; 40 à 0.35 ; 50 à 0.62 ; 60 à 0.48 ; 40 à 0.27 ; 30 à 0.81 ; 50 à 0.41 ; 30 à 0.18. Une étude géostatistique de tous les forages trouve que les teneurs des blocs sont log-normales, de médiane $0.38\,\%$ et $s = 0.55$ pour $\ln g$. Le corps minéralisé est proche d’un cylindre vertical de rayon $450\,\mathrm{m}$ et de hauteur $700\,\mathrm{m}$, de masse volumique $2.7\,\mathrm{t}\,\mathrm{m}^{-3}$. Utiliser les données des exercices, et arrondir à trois chiffres significatifs (les probabilités à quatre).

Partie I — Le forage de découverte.

1. Calculer la longueur du forage échantillonné et sa teneur moyenne pondérée par la longueur.
2. Calculer la moyenne arithmétique des huit teneurs. Pourquoi la moyenne pondérée est-elle la bonne ?
3. Quelle fraction de la longueur se trouve au-dessus de $0.3\,\%$, et à quelle teneur moyenne ?
4. Calculer le facteur de concentration de la teneur moyenne pondérée par rapport à la croûte supérieure.
5. Faire de même pour l’intervalle le plus riche.
6. Calculer la teneur moyenne de tous les blocs du gisement. Le forage de découverte est-il représentatif ?

Partie II — Tonnage au-dessus de la coupure.

7. Calculer le volume et le tonnage $T_0$ du corps ; retenir $T_0 = 1200\,\mathrm{Mt}$.
8. Pour une coupure de $0.3\,\%$, calculer $z$ et la fraction des blocs au-dessus.
9. Calculer le tonnage au-dessus des coupures de 0.2, 0.3 et $0.5\,\%$.
10. Calculer la teneur moyenne au-dessus de la coupure de $0.3\,\%$.
11. Faire de même au-dessus de 0.2 et de $0.5\,\%$.
12. Lorsqu’on relève la coupure de 0.3 à $0.5\,\%$, de quels facteurs changent le tonnage et la teneur moyenne ?
13. À quelle coupure conserve-t-on la moitié du tonnage, et quelle est sa teneur moyenne ?

Partie III — L’indice parmi les porphyres du monde.

14. Calculer le cuivre contenu dans tout le corps, à sa teneur moyenne.
15. Calculer le score réduit de son tonnage dans la population mondiale, et son centile.
16. Faire de même pour sa teneur moyenne.
17. Calculer l’écart-type de $\log_{10} M$ avec la corrélation, puis sans elle.
18. Calculer le centile de son cuivre contenu.
19. Combien des 422 gisements seraient censés contenir davantage de cuivre ?

Partie IV — Cuivre au-dessus de la coupure.

20. Calculer le cuivre contenu au-dessus de la coupure de $0.2\,\%$.
21. Faire de même au-dessus de $0.5\,\%$.
22. Quelle fraction du cuivre se trouve au-dessus de $0.3\,\%$, et quelle fraction du tonnage ?
23. Expliquer pourquoi abaisser la coupure en dessous de $0.3\,\%$ ajoute beaucoup de roche et peu de cuivre, en utilisant les réponses aux questions 9 et 20.
24. En résumé, combien de cuivre l’indice contient-il au-dessus de la coupure de $0.3\,\%$ ?

Solution

Solution de Problème 29.1.

1. $330\,\mathrm{m}$ ; $\sum l\,g = 138.4$, moyenne $138.4/330 = 0.419\,\%$. 2. $3.24/8 = 0.405\,\%$ ; chaque intervalle représente une longueur de carotte, donc un volume de roche : un intervalle long doit compter plus qu’un intervalle court. 3. $230/330 = 0.697$, à $118.6/230 = 0.516\,\%$. 4. $4190/28 = 150$. 5. $8100/28 = 289$. 6. $0.38\,e^{0.55^2/2} = 0.38\,e^{0.1513} = 0.442\,\%$ ; le forage, à $0.419\,\%$, est à moins de $6\,\%$ de cette valeur : représentatif. 7. $\pi \times 450^2 \times 700 = 4.45 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ ; $\times 2.7 = 1.20 \times 10^{9}$ t, $1200\,\mathrm{Mt}$. 8. $z = \ln(0.38/0.3)/0.55 = 0.4298$ ; $\Phi(z) = 0.6663$. 9. $z = 1.167$, 0.4298, $-0.4990$ ; $\Phi = 0.8784$, 0.6663, 0.3089 ; $T = 1050\,\mathrm{Mt}$, $800\,\mathrm{Mt}$, $371\,\mathrm{Mt}$. 10. $\Phi(z + s) = \Phi(0.9798) = 0.8364$ ; $\bar g = 0.442 \times 0.8364/0.6663 = 0.555\,\%$. 11. $0.442 \times 0.9570/0.8784 = 0.482\,\%$ ; $0.442 \times 0.5203/0.3089 = 0.744\,\%$. 12. Tonnage $\times\, 370.7/799.6 = 0.464$ ; grade $\times\, 0.744/0.555 = 1.34$. 13. À la médiane, $0.38\,\%$ ($z = 0$) : $600\,\mathrm{Mt}$ à $0.442 \times \Phi(0.55)/0.5 = 0.442 \times 0.7088/0.5 = 0.627\,\%$. 14. $1200 \times 0.00442 = 5.30\,\mathrm{Mt}$. 15. $(\log_{10} 1200 - 2.373)/0.654 = (3.0792 - 2.373)/0.654 = 1.080$ ; $\Phi = 0.8599$ : le 86e centile, un gisement de grande taille. 16. $(\log_{10} 0.442 + 0.364)/0.199 = (-0.3546 + 0.364)/0.199 = 0.047$ ; $\Phi = 0.5187$ : une teneur ordinaire, au 52e centile. 17. 0.702 avec la corrélation, 0.684 sans elle. 18. $\mu_M = 0.009$ ; $(\log_{10} 5.30 - 0.009)/0.702 = (0.7243 - 0.009)/0.702 = 1.019$ ; $\Phi = 0.8459$ : le 85e centile. 19. $422 \times (1 - 0.8459) = 65$. 20. $M = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s) = 1200 \times 0.00442 \times 0.9570 = 5.08\,\mathrm{Mt}$. 21. $1200 \times 0.00442 \times 0.5203 = 2.76\,\mathrm{Mt}$. 22. $\Phi(z + s) = 0.8364$ du cuivre, pour $\Phi(z) = 0.6663$ du tonnage. 23. De 0.3 à $0.2\,\%$, le tonnage croît de $1054 - 800 = 254\,\mathrm{Mt}$ ($32\,\%$) et le cuivre de $5.08 - 4.44 = 0.64\,\mathrm{Mt}$ ($14\,\%$) : les blocs ajoutés ont une moyenne de $0.64/254 = 0.25\,\%$, les plus pauvres du gisement. 24. $1200 \times 0.00442 \times 0.8364 = 800 \times 0.00555$ : l’indice contient $4.44\,\mathrm{Mt}$ de cuivre au-dessus de la coupure de $0.3\,\%$.