22Systèmes météorologiques

Une prévision à quatre jours est aujourd’hui aussi fiable qu’une prévision à un jour l’était il y a trente ans, et chaque décennie a ajouté environ un jour de prévision utile. Pourtant, aucune prévision du temps d’un jour donné, en un lieu donné, n’est fiable bien au-delà de dix jours, et de meilleurs ordinateurs ne suffiront pas à repousser beaucoup cette limite : l’atmosphère amplifie ses propres petites incertitudes. Ce chapitre décrit les systèmes météorologiques que suivent les prévisions, les fronts et les dépressions des moyennes latitudes, les ondes du courant-jet et les cyclones tropicaux, puis la manière dont ils sont prévus et pourquoi la prévision doit s’arrêter quelque part.

Tu sais déjà

Des volumes scolaires : masses d’air, fronts, fronts froids et chauds, dépressions et anticyclones, isobares et prévisions du temps ; le cyclone tropical, son œil et son mur de l’œil, l’échelle de Saffir–Simpson. Du volume de première année : la force du gradient de pression, le paramètre de Coriolis $f = 2\Omega\sin\varphi$, l’équilibre géostrophique, les cyclones et anticyclones, les trois cellules, les vents d’ouest et les courants-jets. Des volumes de physique : les moteurs thermiques et le rendement d’un cycle de Carnot. Du Chapitre 21 : saturation, adiabatique humide, $\theta_e$, instabilité conditionnelle et CAPE.

22.1 Fronts

Les volumes scolaires dessinaient les fronts comme des lignes sur une carte. Un front est la ligne où une surface inclinée qui sépare deux masses d’air rencontre le sol, et le temps qu’il apporte vient de cette pente.

Définition 22.1 (Surface frontale ; front stationnaire ; front occlus)

La surface frontale d’un front est la limite inclinée entre les deux masses d’air, la plus dense et la plus froide restant dessous en forme de coin ; le front sur la carte en est l’intersection avec le sol. Un front stationnaire est un front qui se déplace très lentement ou pas du tout. Un front occlus est un front composé de deux fronts, formé lorsqu’un front froid rattrape un front chaud ou stationnaire.

Un front stationnaire se forme lorsqu’aucune des deux masses d’air ne peut pousser l’autre, les vents soufflant le long du front plutôt qu’en travers ; il peut rester des jours, nuageux et pluvieux, avant de repartir en front froid ou en front chaud. Sur une carte il alterne les triangles bleus d’un front froid, pointant vers l’air chaud, avec les demi-cercles rouges d’un front chaud, pointant vers l’air froid. Un front occlus se dessine en violet avec les deux symboles du même côté. Lorsque l’air situé derrière le front froid est le plus froid, il glisse sous le front chaud et le soulève en altitude : c’est une occlusion froide ; lorsque l’air situé devant le front chaud est le plus froid, le front froid remonte par-dessus lui : c’est une occlusion chaude.

Quelle est la pente d’une surface frontale ? La réponse relie l’équilibre hydrostatique à l’équilibre géostrophique du volume de première année.

Proposition 22.2 (Pente d’une surface frontale)

Soit une surface frontale séparant de l’air froid à la température $T_c$ de l’air chaud à $T_w$, avec des vents géostrophiques $v_c$ et $v_w$ le long du front. Prenons l’axe $x$ en travers du front, vers l’air froid, et l’axe $y$ le long de celui-ci, de sorte que $(x, y, z)$ soit direct. Alors la surface frontale monte vers l’air froid selon la pente

$$\tan\alpha \approx \frac{f\,\bar T\,(v_c - v_w)}{g\,(T_w - T_c)},$$

où $\bar T$ est la température moyenne. Une surface frontale en équilibre exige un saut du vent le long d’elle, $v_c > v_w$ : le vent tourne cycloniquement en travers du front.

Exemple 22.3 (Une pente typique)

À $45{}^{\circ}$ N, $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. À travers un front où $\bar T = 280\,\mathrm{K}$, avec un écart de température de $5\,\mathrm{K}$ et un vent qui change de $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ le long du front, $\tan\alpha = 1.03 \times 10^{-4} \times 280 \times 10/(9.81 \times 5) = 0.0059$, soit environ 1 sur 170 : la surface frontale atteint une hauteur de $1\,\mathrm{km}$ à environ $170\,\mathrm{km}$ du front, au sol. Un changement de vent plus brusque donne une surface plus raide ; un contraste de température plus fort, une surface plus douce.

Les fronts réels ont des pentes de cet ordre, et ce coin peu incliné explique leur temps. Devant un front chaud, l’air chaud glisse sur une pente douce pendant des centaines de kilomètres : d’abord arrivent les nuages élevés, cirrus et cirrostratus, puis les altostratus, et les nuages s’épaississent et s’abaissent jusqu’à ce que la pluie tombe près du front. Un front froid, plus raide et plus rapide, jusqu’à deux fois plus vite qu’un front chaud, soulève brusquement l’air chaud : cumulus et cumulonimbus, averses, rafales et chute brutale de température, la pression cessant de baisser et se mettant à monter au passage du front. Un front où l’air chaud descend la surface frontale au lieu de la remonter s’appelle un katafront.

22.2 Cyclones extratropicaux

Définition 22.4 (Cyclone extratropical ; modèle du front polaire ; cyclogenèse)

Un cyclone extratropical est un cyclone des moyennes et hautes latitudes, souvent large d’environ $2000\,\mathrm{km}$, qui porte en général des fronts, un front froid traînant sur des centaines de kilomètres vers l’équateur. Le modèle du front polaire décrit sa vie comme une onde qui croît sur le front polaire, long front entre l’air polaire et l’air tropical. La cyclogenèse est la formation ou le renforcement d’un cyclone.

Le modèle suit un cyclone à travers quatre stades, comme le montre la figure ci-dessous. Un front stationnaire sépare de l’air froid se déplaçant vers l’ouest, côté pôle, d’air chaud se déplaçant vers l’est, côté équateur. Une perturbation courbe le front en onde ; la pression baisse à sa crête, une dépression se forme, et le front à l’est de la dépression avance vers le pôle en front chaud, tandis que le front à l’ouest avance vers l’équateur en front froid. Entre eux s’étend le secteur chaud. Le front froid va plus vite que le front chaud, et le secteur chaud se rétrécit : le front froid rattrape le front chaud près de la dépression, et l’occlusion gagne depuis le centre en soulevant l’air chaud hors du sol ; le cyclone, privé de son alimentation en air chaud, se comble et meurt. Le point où les trois fronts se rejoignent s’appelle le point triple. Sur les images satellite, un cyclone mature montre un nuage en forme de virgule et une fente d’air sec et clair qui s’enroule sur son flanc sud et est.

Les fronts du modèle ne sont que la trace au sol des écoulements du cyclone, que les météorologues décrivent comme trois courants : un tapis transporteur chaud, l’air humide qui s’élève du secteur chaud devant le front froid ; un tapis transporteur froid, sur le côté froid des fronts ; et une intrusion sèche, un courant d’air de la haute troposphère, parfois de la basse stratosphère, qui descend vers le sol derrière le front froid et s’étale près du sol.

D’où vient l’énergie d’un cyclone ? Pas de la seule chaleur latente, comme dans un orage, mais du contraste de température entre air polaire et air tropical. Les cyclones des moyennes latitudes se renforcent dans les zones barocliniques, où la température varie horizontalement sur une surface à pression constante et où le vent varie avec l’altitude. Un cyclone en croissance transporte l’air chaud vers le pôle et vers le haut, et l’air froid vers l’équateur et vers le bas : il abaisse le centre de masse de l’atmosphère et convertit l’énergie potentielle en énergie cinétique de ses vents. Le volume de troisième année étudie cette conversion.

22.3 Courants-jets et ondes de Rossby

Les cyclones ne sont pas dispersés au hasard. Le courant-jet polaire, cœur rapide des vents d’ouest au-dessus du front polaire, suit la position et le déplacement des anticyclones et des dépressions des moyennes latitudes ; il est plus rapide le long de ses maxima de vent, les tronçons où sa vitesse culmine, et il ne fait pas le tour du pôle en anneau : il serpente.

Définition 22.5 (Onde de Rossby ; talweg et dorsale d’altitude)

Une onde de Rossby est une onde du courant d’ouest de la haute troposphère, une suite de talwegs et de dorsales longs de milliers de kilomètres, à grande amplitude nord–sud. Un talweg d’altitude est une région allongée de pression relativement basse dans une telle onde, où l’écoulement se courbe vers l’équateur ; une dorsale d’altitude est une région allongée de pression relativement haute, où il se courbe vers le pôle.

Les ondes de Rossby existent parce que le paramètre de Coriolis croît vers le pôle. Un air poussé vers le pôle trouve un $f$ plus grand et, en conservant sa vorticité absolue, revient vers l’équateur ; un air poussé vers l’équateur revient vers le pôle. Le taux de croissance de $f$ vers le nord, $\beta = \mathrm{d}f/\mathrm{d}y = 2\Omega\cos\varphi/a$ avec $a$ le rayon de la Terre, règle leur vitesse. Le volume de troisième année démontre, à partir de la conservation de la vorticité, la vitesse de phase d’une onde de longueur d’onde $\lambda$ dans un vent d’ouest uniforme $U$ :

Admettons-le ici. Par rapport à l’air, toute onde de Rossby se déplace vers l’ouest, et d’autant plus vite que l’onde est longue ; le vent l’emporte vers l’est. Les ondes courtes sont emportées vers l’est presque à la vitesse du vent, les longues dérivent lentement, restent immobiles ou se déplacent même vers l’ouest.

Exemple 22.6 (Trois ondes à $45{}^{\circ}$ N)

Avec $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ (un jour sidéral de $23.9345\,\mathrm{h}$) et $a = 6371\,\mathrm{km}$, $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $45{}^{\circ}$ N. Dans un vent d’ouest de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, une onde de $4000\,\mathrm{km}$ a $\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et se déplace vers l’est à $8.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; une de $6000\,\mathrm{km}$ a $\beta/k^2 = 14.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et tient à peine en place, à $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; une de $8000\,\mathrm{km}$ se déplace vers l’ouest à $11.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Les talwegs des ondes longues se déplacent lentement et durent longtemps ; les ondes courtes qui les traversent, les talwegs d’ondes courtes, provoquent une ascendance d’air devant eux, sur leur flanc est, là où la pression de surface baisse et où naissent des dépressions. Un talweg dont l’axe s’incline du sud-est vers le nord-ouest est souvent le signe d’un système en formation ou en intensification.

Parfois la configuration cesse entièrement de se déplacer.

Définition 22.7 (Blocage atmosphérique)

Le blocage atmosphérique est un système de haute pression vaste, persistant et presque immobile, parfois associé à une dépression, qui interrompt l’écoulement normal vers l’est du courant-jet. Presque toutes les méthodes de détection des blocages exigent qu’il dure au moins cinq jours.

Un blocage détourne le courant-jet et les cyclones qui l’entourent, et maintient le même temps sur la même région pendant des jours : les blocages apportent canicules, sécheresses, feux de forêt, vagues de froid et inondations aux moyennes latitudes. Fin juin et début juillet 2021, un fort blocage a produit la canicule de la côte nord-ouest du Pacifique, en Amérique du Nord, qui a causé plus de mille morts. Les processus physiques à l’origine du blocage restent mal compris, et les modèles numériques peinent à reproduire la fréquence des blocages et leur durée.

22.4 Cyclones tropicaux

Les cyclones tropicaux n’ont ni fronts ni contraste de température pour s’alimenter. Ils puisent leur énergie dans l’océan chaud, par la chaleur latente de l’eau qu’ils évaporent, comme on l’a mesuré au Chapitre 21. Six conditions favorisent leur formation : une eau de mer d’au moins $26.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sur une profondeur de l’ordre de $50\,\mathrm{m}$ ; une atmosphère qui se refroidit assez vite avec l’altitude pour être instable à la convection humide ; une troposphère moyenne humide, vers $5\,\mathrm{km}$ ; une distance d’au moins environ $500\,\mathrm{km}$ de l’équateur, de sorte que la force de Coriolis puisse maintenir la dépression en équilibre ; une perturbation préexistante près de la surface ; et un faible cisaillement vertical du vent, inférieur à environ $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entre la surface et la haute troposphère. Ces conditions sont nécessaires mais non suffisantes : beaucoup de perturbations qui les rencontrent ne se développent jamais.

Une fois formé, un cyclone tropical est une machine thermique. L’air s’enroule vers le centre au-dessus de la mer, à température presque constante, en prenant chaleur et humidité à l’océan ; dans le mur de l’œil il s’élève de façon adiabatique ; dans l’échappement près de la tropopause, il perd de la chaleur par rayonnement à basse température, presque constante ; puis il redescend loin du centre, bouclant un cycle qui ressemble à celui de Carnot. Le travail du cycle entretient les vents contre le frottement à la surface de la mer.

Proposition 22.8 (Intensité potentielle)

L’intensité potentielle d’un cyclone tropical, la vitesse maximale du vent près de la surface que l’océan et l’atmosphère qui l’entourent peuvent entretenir, est approximativement donnée par

$$V_{\max}^2 = \frac{C_k}{C_D}\,\frac{T_s - T_o}{T_o}\,\bigl(h_o^* - h^*\bigr),$$

où $T_s$ est la température de la surface de la mer, $T_o$ celle de l’échappement, $C_k/C_D$ le rapport des coefficients d’échange d’enthalpie et de quantité de mouvement entre la mer et l’air, généralement pris égal à 0.9, et $h_o^* - h^*$ l’excès de $c_pT + gz + Lq$ à saturation à la surface de la mer sur sa valeur à saturation dans l’air au-dessus de la couche limite (admis).

La fraction $(T_s - T_o)/T_o$ n’est pas le rendement de Carnot $(T_s - T_o)/T_s$ des volumes de physique : elle est plus grande, du facteur $T_s/T_o$, car le frottement qui dissipe le travail réchauffe l’air entrant près de la surface de la mer, et cette chaleur est réutilisée par le moteur. Le dernier facteur est le carburant. Dans une atmosphère tropicale dont la température suit l’adiabatique humide de son air de couche limite, $h^*$ est la valeur de $c_pT + gz + Lq$ dans cet air, et $h_o^* - h^*$ mesure l’écart à la saturation, à la température de la mer, de l’air au-dessus de la mer :

avec $T_a$ et $q_a$ la température et l’humidité spécifique de l’air près de la surface, et $q_s^*$ l’humidité spécifique à saturation à la température de surface de la mer.

Exemple 22.9 (Une intensité potentielle)

Au-dessus d’une mer à $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, l’air à $1015\,\mathrm{hPa}$ est à $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ avec une humidité relative de $80\,\%$, et l’échappement est à $200\,\mathrm{K}$, une moyenne annuelle typique des océans tropicaux chauds. D’après les Propositions 21.5 et 21.2, $e_s(29\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 41.0\,\mathrm{hPa}$, donc $q_s^* = 25.5\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$, et l’air, avec $e = 0.8 \times 38.7\,\mathrm{hPa}$, a $q_a = 19.2\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. Alors $h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0063 = 16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, le facteur $(T_s - T_o)/T_o$ vaut $(302.15 - 200)/200 = 0.511$, et $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.511 \times 16\,800} = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Les tempêtes les plus fortes approchent de telles valeurs : le haut de l’échelle de Saffir–Simpson, la catégorie 5, commence à $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et cinq tempêtes récentes ont dépassé $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La plupart des tempêtes n’atteignent que rarement leur intensité potentielle : les tempêtes réelles sont rarement dans l’état stationnaire que suppose la théorie, qui néglige le cisaillement vertical du vent, l’air sec aspiré dans la tempête et la subsidence de l’air qui l’entoure, autant de facteurs qui affaiblissent une tempête.

22.5 Prévision numérique du temps

Définition 22.10 (Prévision numérique du temps ; assimilation de données ; prévision d’ensemble ; limite de prévisibilité)

La prévision numérique du temps est la prévision par ordinateur : les équations qui gouvernent le mouvement, l’énergie et l’eau de l’atmosphère sont intégrées dans le temps à partir de son état observé. L’assimilation de données combine les dernières observations à une prévision à courte échéance issue d’observations antérieures, pour obtenir la meilleure estimation de l’état présent, l’analyse, à partir de laquelle part la prévision. Une prévision d’ensemble est un ensemble de prévisions lancées à partir d’états initiaux légèrement différents, et avec des versions légèrement différentes du modèle, pour montrer l’éventail des temps possibles et leur vraisemblance. La limite de prévisibilité est le temps au-delà duquel une prévision de l’état du temps ne vaut pas mieux qu’une estimation climatique, parce que les erreurs de l’état initial sont devenues aussi grandes que les écarts entre deux états quelconques de l’atmosphère.

La première prévision numérique fut calculée en 1950 sur l’ENIAC, l’un des premiers ordinateurs électroniques. Un modèle global d’aujourd’hui découpe l’atmosphère en une grille de mailles de quelques kilomètres de côté et part d’une analyse qui mêle les observations des stations météorologiques, des avions, des radiosondages, des navires, des bouées et, surtout, des satellites, qui apportent la plus grande part de l’habileté des prévisions globales. Dans un grand centre de prévision, l’ensemble compte 51 membres, une simulation de contrôle et 50 perturbées, à une résolution d’environ $9\,\mathrm{km}$, lancé deux fois par jour jusqu’à 15 jours à l’avance.

Pourquoi perturber une prévision qui pourrait partir de la meilleure analyse ? Parce que l’atmosphère est chaotique, sensible à son état initial. Un système de trois variables publié en 1963 le montre à la plus petite échelle.

Proposition 22.11 (Le système de Lorenz)

Le système

$$\dot x = \sigma(y - x), \qquad \dot y = x(r - z) - y, \qquad \dot z = xy - bz,$$

avec $\sigma = 10$, $r = 28$ et $b = 8/3$, possède les propriétés suivantes.

1. Ses points fixes sont l’origine et $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{b(r - 1)}, \pm\sqrt{b(r - 1)}, r - 1\bigr) = (\pm 8.49, \pm 8.49, 27)$.
2. Chaque volume de son espace des phases décroît comme $\mathrm{e}^{-(\sigma + 1 + b)t}$ : ses trajectoires aboutissent sur un ensemble de volume nul, l’attracteur.
3. Sur l’attracteur, deux trajectoires partant à une petite distance $\delta_0$ l’une de l’autre se séparent, en moyenne, selon $\delta(t) \approx \delta_0\,\mathrm{e}^{\lambda t}$, avec $\lambda = 0.906$, jusqu’à ce que $\delta$ atteigne la taille de l’attracteur (calculé, admis). Les petites erreurs doublent tous les $\ln 2/\lambda = 0.77$ unité de temps.

Les figures montrent ce que dit la proposition. Deux trajectoires partant à $10^{-5}$ l’une de l’autre se suivent pendant une quinzaine d’unités de temps, puis se séparent pour de bon : chacune ressemble encore à une trajectoire plausible du système, mais ce ne sont plus la même trajectoire. En moyenne sur 200 couples de trajectoires lancées à $10^{-8}$ l’une de l’autre, la distance croît exponentiellement au taux $\lambda$, une droite en échelle logarithmique, jusqu’à saturer à la taille de l’attracteur. Quelle que soit l’erreur initiale, elle atteint cette taille : une erreur initiale plus petite ne fait que retarder le moment de $\ln 10/\lambda = 2.5$ unités de temps pour chaque division par dix.

L’atmosphère se comporte de la même façon, avec bien plus de variables et des erreurs qui croissent à des taux différents selon les échelles. D’après les prévisions des années 1980, on a constaté que les petites erreurs doublaient en environ 2.4 jours, et que la prévision fiable de l’état du temps s’arrête vers une dizaine de jours. Des expériences qui réduisent l’incertitude actuelle sur l’état initial, avec un modèle supposé parfait, montrent que des conditions initiales parfaites n’ajouteraient que quatre à cinq jours, et qu’une réduction de $90\,\%$ en donne déjà presque tout : à mesure que les erreurs diminuent, elles croissent plus vite, par le dégagement de chaleur latente dans la convection, à des échelles plus petites que celles que la prévision ne peut résoudre. La limite de prévisibilité des moyennes latitudes se situe vers deux semaines. Les prévisions gagnent environ un jour par décennie, parce que de meilleures observations, l’assimilation et les modèles les rapprochent de cette limite ; elles ne peuvent la franchir.

L’ensemble en fait un outil. Ses membres partent d’analyses qui diffèrent à peu près autant que l’analyse elle-même est incertaine ; tant qu’ils s’accordent, la prévision est nette ; quand ils se dispersent, la prévision doit le dire et donne des probabilités. Une prévision est dite fiable lorsque les événements qu’elle annonce avec une probabilité de $70\,\%$ se produisent dans $70\,\%$ des cas.

Au laboratoire — Une journée dans un centre de prévision

Dans un centre de prévision mondial, la journée s’organise autour de deux échéances, 00 et 12 UTC. Les observations valables autour de chacune arrivent par millions, des satellites, des radiosondages, des avions, des navires, des bouées et des stations météorologiques ; l’assimilation de données les combine à la prévision courte précédente pour produire l’analyse. Les modèles partent de celle-ci, l’ensemble aussi, et les prévisions parviennent à leurs utilisateurs plusieurs heures plus tard, une fois que les superordinateurs ont calculé les 15 jours à venir. Les prévisionnistes comparent alors les simulations, les confrontent aux dernières observations et aux images satellite, suivent les cyclones et les fronts, et transforment les probabilités de l’ensemble en avertissements et en prévisions.

Exercices

Données pour les exercices, sauf indication contraire : $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $c_p = 1004.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 2.501 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, et la pression de vapeur saturante des exercices du Chapitre 21.

Exercice 22.1 ★

À $50{}^{\circ}$ N, un front froid sépare de l’air à $275\,\mathrm{K}$ d’air à $281\,\mathrm{K}$, et le vent le long de lui varie de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Calculer $f$. (b) Calculer la pente de la surface frontale, sous la forme 1 sur $N$. (c) À quelle distance derrière le front, au sol, la surface frontale atteint-elle $1\,\mathrm{km}$ ? (d) Que devient la pente si le contraste de température double, pour le même changement de vent ?

Solution

Solution de Exercice 22.1.

(a) $f = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \sin50{}^{\circ} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Avec $\bar T = 278\,\mathrm{K}$, $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 278 \times 15/(9.81 \times 6) = 0.00791$, soit environ 1 sur 126. (c) $1/0.00791 = 126$ : à environ $126\,\mathrm{km}$ derrière le front. (d) La pente est inversement proportionnelle au contraste de température : elle est divisée par deux, soit 1 sur 253.

Exercice 22.2 ★

Une surface frontale chaude monte à 1 sur 150 et le front se déplace à $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (a) À quelle distance en avant du front, au sol, la surface frontale se trouve-t-elle à $6\,\mathrm{km}$ d’altitude ? (b) Un observateur y voit se former des nuages élevés : combien de temps après le front atteint-il l’observateur ? (c) Décrire la succession des nuages que voit l’observateur pendant ce temps.

Solution

Solution de Exercice 22.2.

(a) $6 \times 150 = 900\,\mathrm{km}$ en avant. (b) $900/25 = 36\,\mathrm{h}$, soit un jour et demi. (c) D’abord les cirrus élevés, puis les cirrostratus, puis les altostratus ; le nuage s’épaissit et s’abaisse, et la pluie tombe depuis le nuage bas et épais à mesure que le front approche.

Exercice 22.3 ★

Sur une carte de l’hémisphère Nord, (a) une ligne à triangles bleus sur son côté sud-est part vers le sud-ouest depuis une dépression ; (b) une ligne à demi-cercles rouges sur son côté nord part vers l’est depuis la même dépression ; (c) une ligne violette portant les deux symboles relie une autre dépression à un point d’où partent deux autres fronts ; (d) une ligne alterne triangles bleus sur son côté sud et demi-cercles rouges sur son côté nord. Nommer chaque front, dire où se trouve l’air froid et dans quel sens se déplace chacun.

Solution

Solution de Exercice 22.3.

Les symboles indiquent le sens de déplacement du front et pointent vers l’air plus chaud devant un front froid, ou vers l’air plus froid devant un front chaud. (a) Front froid : l’air froid se trouve au nord-ouest, derrière lui ; il se déplace vers le sud-est. (b) Front chaud : l’air froid se trouve au nord, devant lui ; il se déplace vers le nord. (c) Front occlus, reliant la dépression au point triple où commencent les fronts froid et chaud ; l’air froid se trouve des deux côtés, l’air chaud étant soulevé au-dessus ; il se déplace dans le sens vers lequel pointent ses symboles. (d) Front stationnaire : les triangles pointent vers le sud, dans l’air chaud, donc l’air froid se trouve au nord ; il bouge à peine.

Exercice 22.4 ★

À $45{}^{\circ}$ N, dans un vent d’ouest de $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : (a) calculer $\beta$. (b) Calculer la vitesse de phase des ondes de $4000\,\mathrm{km}$ et de $8000\,\mathrm{km}$. (c) Dans quel sens se déplace chacune, et sur quelle distance en un jour ?

Solution

Solution de Exercice 22.4.

(a) $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos45{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Pour $4000\,\mathrm{km}$, $k = 1.571 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $c = 12 - 6.6 = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; pour $8000\,\mathrm{km}$, $\beta/k^2 = 26.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $c = -14.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) L’onde courte se déplace vers l’est, de $470\,\mathrm{km}$ par jour ; l’onde longue se déplace vers l’ouest, de $1240\,\mathrm{km}$ par jour, à contre-vent.

Exercice 22.5 ★★

(a) Montrer qu’une onde de Rossby reste immobile dans un vent d’ouest $U$ lorsque $\lambda = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. (b) Calculer cette longueur d’onde à $45{}^{\circ}$ N pour $U = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Combien de telles ondes tiennent autour du cercle de latitude ? (d) Pourquoi un vent d’ouest plus fort favoriserait-il des ondes stationnaires moins nombreuses et plus longues ?

Solution

Solution de Exercice 22.5.

(a) $c = 0$ lorsque $U = \beta/k^2$, donc $k = \sqrt{\beta/U}$ et $\lambda = 2\pi/k = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. (b) $2\pi\sqrt{12/(1.62 \times 10^{-11})} = 5410\,\mathrm{km}$. (c) Le cercle de latitude $45{}^{\circ}$ mesure $2\pi \times 6371 \times \cos45{}^{\circ} = 28\,300\,\mathrm{km}$ : environ 5.2 ondes, donc cinq en pratique. (d) $\lambda$ croît comme $\sqrt U$ : un vent d’ouest plus fort allonge les ondes stationnaires, et il en tient moins autour de l’hémisphère.

Exercice 22.6 ★★

Pour le système de Lorenz : (a) vérifier que $C_+$ est un point fixe en calculant les trois dérivées en ce point. (b) De quel facteur un petit volume de l’espace des phases diminue-t-il en une unité de temps ? (c) Pourquoi cela n’empêche-t-il pas deux trajectoires voisines de se séparer ?

Solution

Solution de Exercice 22.6.

(a) Au point $C_+ = (\sqrt{72}, \sqrt{72}, 27)$ : $\dot x = 10(\sqrt{72} - \sqrt{72}) = 0$, $\dot y = \sqrt{72}(28 - 27) - \sqrt{72} = 0$, $\dot z = 72 - \tfrac83 \times 27 = 72 - 72 = 0$. (b) $\mathrm{e}^{-13.67} = 1.16 \times 10^{-6}$ : le volume est presque divisé par un million en une unité de temps. (c) Un volume peut diminuer tout en s’étirant dans une direction et en se comprimant beaucoup plus fortement dans les autres : la distance dans la direction d’étirement croît, et deux trajectoires voisines s’y séparent, tandis que le volume qui les sépare s’annule.

Exercice 22.7 ★★

Prendre $\lambda = 0.906$ pour le système de Lorenz et un attracteur de taille 10. (a) Calculer le temps de doublement des petites erreurs. (b) Combien de temps une erreur de $10^{-8}$ met-elle à atteindre la taille de l’attracteur ? (c) De combien une erreur initiale mille fois plus petite retarde-t-elle ce moment ? Quelle fraction du temps trouvé en (b) cela représente-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 22.7.

(a) $\ln 2/0.906 = 0.765$ unité de temps. (b) $\ln(10/10^{-8})/0.906 = \ln(10^9)/0.906 = 22.9$ unités de temps. (c) $\ln 1000/0.906 = 7.6$ unités de temps : une erreur initiale mille fois plus petite ne fait gagner qu’un tiers du temps trouvé en (b), puisque $\ln 10^3/\ln 10^9 = 1/3$.

Exercice 22.8 ★★

Une mer à $303\,\mathrm{K}$ a un échappement à $195\,\mathrm{K}$ ; le déséquilibre vaut $h_o^* - h^* = 15\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ et $C_k/C_D = 0.9$. (a) Calculer l’intensité potentielle. (b) La comparer au seuil de la catégorie 5 et aux tempêtes récentes les plus rapides. (c) Pourquoi la plupart des tempêtes n’atteignent-elles pas cette valeur ?

Solution

Solution de Exercice 22.8.

(a) $(303 - 195)/195 = 0.554$ et $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.554 \times 15\,000} = 86.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) Bien au-dessus des $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de la catégorie 5, proche de la valeur de $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ que cinq tempêtes récentes ont dépassée. (c) Les tempêtes restent rarement longtemps dans l’état stationnaire que suppose la théorie : le cisaillement vertical du vent, l’air sec aspiré dans la tempête et la subsidence de l’air environnant, qui ne figurent pas dans la théorie, affaiblissent les tempêtes.

Exercice 22.9 ★★

Pour la tempête de l’Exercice 22.8 : (a) calculer le rendement de Carnot d’un moteur fonctionnant entre la surface de la mer et l’échappement. (b) Calculer le facteur $(T_s - T_o)/T_o$ de la Proposition 22.8 et le rapport des deux. (c) Expliquer la différence.

Solution

Solution de Exercice 22.9.

(a) $(303 - 195)/303 = 0.356$. (b) $(303 - 195)/195 = 0.554$ ; le rapport vaut $0.554/0.356 = 303/195 = 1.554$. (c) Dans un moteur de Carnot, le travail sort du moteur. Dans un cyclone tropical, le travail est dissipé par frottement près de la surface de la mer, et cette chaleur réchauffe l’air entrant à la température $T_s$, où le moteur prélève sa chaleur : elle est réutilisée, et le moteur se comporte comme s’il était plus efficace, du facteur $T_s/T_o$.

Exercice 22.10 ★★★

(a) Redémontrer la Proposition 22.2 en gardant les masses volumiques exactes, et montrer que l’air froid doit se trouver dessous. (b) À travers une zone frontale large de $50\,\mathrm{km}$ à $45{}^{\circ}$ N, le vent le long du front varie de $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calculer la vorticité relative de la zone et la comparer à $f$. (c) La zone est-elle cyclonique ou anticyclonique ?

Solution

Solution de Exercice 22.10.

(a) La dérivation de la Proposition 22.2 sans approximation donne $\mathrm{d}z/\mathrm{d}x = f(\rho_c v_c - \rho_w v_w)/[g(\rho_c - \rho_w)]$. Un fluide plus dense reposant sur un fluide plus léger est instable : la moindre perturbation le fait basculer. Dans un front au repos, l’air froid, plus dense, doit donc se trouver dessous, comme dans le coin de la définition ; alors $\rho_c > \rho_w$, la surface monte vers l’air froid, et $\rho_c v_c > \rho_w v_w$. (b) $\zeta = \partial v/\partial x = 10/(50 \times 10^3) = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit environ $1.9f$ avec $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Positive dans l’hémisphère Nord : cyclonique, et aussi grande que le paramètre de Coriolis lui-même ; les fronts sont des bandes de forte vorticité cyclonique.

Exercice 22.11 ★★★

Supposons que les erreurs de prévision doublent tous les 2.4 jours, partent de $0.5\,\mathrm{K}$ et soient inutilisables à $6\,\mathrm{K}$. (a) Trouver l’horizon des prévisions utiles. (b) De quel facteur l’erreur initiale doit-elle diminuer chaque décennie pour gagner un jour par décennie, si le modèle était parfait ? (c) Des expériences montrent qu’une erreur initiale dix fois plus petite ne gagne que 4 à 5 jours. Quel temps de doublement cela implique-t-il pour les petites erreurs, et que dit-il de leur croissance ?

Solution

Solution de Exercice 22.11.

(a) $\log_2(6/0.5) = \log_2 12 = 3.58$ doublements, soit $3.58 \times 2.4 = 8.6$ jours. (b) Gagner un jour de prévision exige un doublement de moins avant que l’erreur ne devienne inutilisable : l’erreur initiale doit donc diminuer de $2^{1/2.4} = 1.33$ à chaque décennie. (c) Une réduction par dix correspond à $\log_2 10 = 3.32$ doublements ; si elle ne gagne que 4 à 5 jours, les petites erreurs doublent en $4/3.32 = 1.2$ à $5/3.32 = 1.5$ jours : les petites erreurs croissent plus vite que les erreurs plus grandes mesurées dans les prévisions des années 1980, par la chaleur latente libérée dans la convection aux petites échelles.

Exercice 22.12 ★★★

Reprendre l’Exemple 22.9 et réchauffer la mer et l’air de $1\,\mathrm{K}$, l’humidité relative et la température de l’échappement restant inchangées. (a) Recalculer $q_s^*$, $q_a$ et le déséquilibre. (b) Recalculer l’intensité potentielle. (c) De combien, en pourcentage par kelvin, augmente-t-elle, et quel facteur y contribue le plus ?

Solution

Solution de Exercice 22.12.

(a) À $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $e_s = 43.5\,\mathrm{hPa}$ et $q_s^* = 27.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$ ; l’air à $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $e = 0.8 \times 41.0 = 32.8\,\mathrm{hPa}$ et $q_a = 20.4\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$ ; $h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0067 = 17.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, contre $16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $(303.15 - 200)/200 = 0.516$ et $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.516 \times 17\,800} = 90.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, contre $87.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Environ $3.4\,\%$ par kelvin. Le déséquilibre augmente de $6\,\%$, ce qui ajoute $3\,\%$ à la vitesse ; le facteur $(T_s - T_o)/T_o$ augmente de $1\,\%$, ce qui ajoute $0.5\,\%$ : le carburant, c’est-à-dire l’humidité que la mer plus chaude peut fournir, contribue le plus, par la croissance exponentielle de $e_s$.

Problème 22.1

Problème du week-end — Jusqu’où prévoir ?

Une carte météorologique fictive à $50{}^{\circ}$ N montre un front froid qui avance sur une ville, avec une onde de Rossby dans le courant-jet au-dessus. Le problème suit le front, puis l’onde, et demande jusqu’où chacun peut être prévu. Utiliser les données des exercices.

Partie I — Le front. À 06 UTC, le front froid est à $480\,\mathrm{km}$ à l’ouest de la ville, à 12 UTC à $390\,\mathrm{km}$. Derrière lui l’air est à $277\,\mathrm{K}$, dans le secteur chaud à $285\,\mathrm{K}$, et le vent le long du front varie de $16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ d’un côté à l’autre.

1. Trouver la vitesse du front.
2. À quelle heure atteint-il la ville ?
3. Calculer $f$ à $50{}^{\circ}$ N.
4. Calculer la pente de la surface frontale.
5. Quelle est la hauteur de la surface frontale au-dessus de la ville six heures après le passage du front ?
6. Au bout de combien de temps après le passage l’air froid atteint-il $1.5\,\mathrm{km}$ au-dessus de la ville ?
7. Quel temps la ville observe-t-elle au passage du front, et comment évolue la pression ?

Partie II — L’onde en altitude. Dans le courant-jet au-dessus, le vent d’ouest est de $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et l’onde a une longueur d’onde de $5000\,\mathrm{km}$.

8. Calculer $\beta$ à $50{}^{\circ}$ N.
9. Calculer $k$ et $\beta/k^2$.
10. Trouver la vitesse de phase de l’onde.
11. De quelle distance un talweg se déplace-t-il en 24 heures ?
12. Trouver la longueur d’onde qui resterait immobile dans ce vent, et combien de telles ondes tiennent autour de $50{}^{\circ}$ N.
13. Où, par rapport au talweg d’altitude, le cyclone de surface doit-il s’approfondir ?

Partie III — Une atmosphère modèle. Sur la figure de la croissance des erreurs du système de Lorenz, la droite ajustée passe par environ $5 \times 10^{-7}$ à $t = 4$ et $3.9 \times 10^{-3}$ à $t = 14$.

14. À partir de ces deux lectures, calculer le taux de croissance $\lambda$.
15. Calculer le temps de doublement.
16. Comparer avec l’exposant publié, 0.906.
17. Pourquoi la distance cesse-t-elle de croître, vers 15 ?
18. De combien de temps plus tard une erreur dix fois plus petite atteint-elle cette taille ?

Partie IV — Jusqu’où prévoir ? Prendre le temps de doublement de 2.4 jours trouvé pour les petites erreurs des prévisions des années 1980, une erreur initiale de $0.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sur la température à un niveau donné, et une prévision qui devient inutilisable dès que l’erreur atteint $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. Combien de doublements séparent l’erreur initiale de l’erreur qui rend la prévision inutilisable ?
20. Combien de jours cela prend-il ?
21. De combien de jours gagnerait-on en divisant l’erreur initiale par deux ?
22. Avec l’estimation antérieure d’un temps de doublement de 5 jours, quel horizon trouverait-on ?
23. Les expériences modernes montrent qu’une erreur initiale dix fois plus petite, et même un état initial parfait, ne gagnent que 4 à 5 jours. Pourquoi cela suggère-t-il que l’estimation de la question 20 est optimiste ?
24. Pour résumer : jusqu’à combien de jours cette prévision peut-elle être utile ?

Solution

Solution de Problème 22.1.

1. $(480 - 390)/6 = 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. 2. $390/15 = 26\,\mathrm{h}$ après 12 UTC : à 14 UTC le lendemain. 3. $f = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. 4. Avec $\bar T = 281\,\mathrm{K}$, $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 281 \times 16/(9.81 \times 8) = 0.0064$, soit environ 1 sur 156. 5. Le front se trouve alors à $6 \times 15 = 90\,\mathrm{km}$ au-delà de la ville ; la surface frontale est à $90\,000 \times 0.0064 = 576\,\mathrm{m}$ au-dessus d’elle. 6. $1500/0.0064 = 234\,\mathrm{km}$ derrière le front, atteint $234/15 = 15.6\,\mathrm{h}$ après le passage. 7. Cumulus et cumulonimbus, averses, peut-être orages, rafales et chute brutale de température ; la pression, en baisse à l’approche du front, se remet à monter à son passage ; puis un air plus frais et plus clair. 8. $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos50{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.47 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. 9. $k = 2\pi/(5 \times 10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ et $\beta/k^2 = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. 10. $c = 20 - 9.3 = 10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, vers l’est. 11. $10.7 \times 86\,400 = 924\,\mathrm{km}$ vers l’est. 12. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{20/(1.47 \times 10^{-11})} = 7330\,\mathrm{km}$ ; le cercle de latitude $50{}^{\circ}$ mesure $2\pi \times 6371 \times \cos50{}^{\circ} = 25\,700\,\mathrm{km}$, soit environ 3.5 de telles ondes. 13. En avant de lui, sur son flanc est, là où les ondes courtes induisent une ascendance et où la pression de surface baisse. 14. $\lambda = \ln(3.9 \times 10^{-3}/5 \times 10^{-7})/(14 - 4) = \ln 7800/10 = 0.896$. 15. $\ln 2/0.896 = 0.77$ unité de temps. 16. $1\,\%$ en dessous de 0.906 : la moyenne de 200 couples, un temps fini et des lectures sur un graphique. 17. Une fois les deux trajectoires éloignées, elles se trouvent en des points sans lien sur l’attracteur, et leur distance ne peut dépasser sa taille : la croissance sature. 18. $\ln 10/0.896 = 2.6$ unités de temps plus tard. 19. $\log_2(3/0.1) = \log_2 30 = 4.91$ doublements. 20. $4.91 \times 2.4 = 11.8$ jours. 21. Un temps de doublement : 2.4 jours. 22. $4.91 \times 5 = 24.5$ jours : l’estimation initiale était beaucoup trop optimiste. 23. Avec un temps de doublement de 2.4 jours, une erreur dix fois plus petite gagnerait $3.32 \times 2.4 = 8.0$ jours, et non 4 à 5 : les petites erreurs croissent plus vite que 2.4 jours par doublement, et une estimation fondée sur ce temps de doublement surestime l’horizon. 24. Cette prévision peut être utile au plus environ 12 jours, et en pratique pendant moins longtemps.