6Éruptions volcaniques

Le 15 juin 1991, le mont Pinatubo, aux Philippines, a projeté plus de cinq kilomètres cubes de matériaux ; son nuage de cendres s’est élevé jusqu’à $35\,\mathrm{km}$, le sommet s’est effondré en une caldeira large de $2.5\,\mathrm{km}$, et les vingt millions de tonnes de dioxyde de soufre injectées dans la stratosphère ont refroidi le globe entier d’environ un demi-degré pendant deux ans. Une semaine plus tôt, le premier magma parvenu à la surface n’avait rien fait de tel : ayant perdu l’essentiel de son gaz pendant la remontée, il avait suinté en un dôme de lave. Sur le Kīlauea, à Hawaï, l’éruption du Pu‘u ‘Ō‘ō a répandu $4.4\,\mathrm{km}^{3}$ de lave, un volume comparable, en trente-cinq ans, sous forme de fontaines et de coulées qui ont détruit 215 bâtiments sans jamais élever de haute colonne de cendres. Même Terre, mêmes lois, trois comportements : ce qui les distingue est la quantité de gaz qu’un magma transporte, la capacité de ce gaz à quitter discrètement le liquide, et la vitesse de remontée du magma. Ce chapitre suit une éruption depuis les bulles du conduit jusqu’à la colonne au-dessus de l’évent et aux dépôts qu’elle laisse, puis mesure les éruptions, les compte et surveille les volcans pour y déceler les signes d’une éruption imminente.

Tu sais déjà

Des volumes scolaires : un volcan, son évent et son cratère, la chambre magmatique située dessous, la lave et les cendres volcaniques. Du Chapitre 5 : les volatils magmatiques, leur exsolution sous la pression de saturation en volatils, la loi de solubilité de l’eau en racine carrée $w = s\sqrt p$ avec $s \approx 0.34$ pour cent par $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ pour le basalte et $0.44$ pour la rhyolite, et les viscosités des liquides, séparées de dix ordres de grandeur. Des volumes de physique : la loi des gaz parfaits $pV = nRT$ ; la poussée d’Archimède ; l’analyse dimensionnelle, qui construit l’unique combinaison des grandeurs données qui a la dimension du résultat ; la portée d’un projectile, $v^2\sin 2\theta/g$ sans résistance de l’air. Des volumes de mathématiques : le processus de Poisson, dans lequel des événements indépendants à taux constant $\lambda$ donnent au moins un événement dans un temps $t$ avec la probabilité $1 - e^{-\lambda t}$ ; les droites des moindres carrés. Du volume de première année : les séismes et leurs magnitudes.

6.1 Effusif ou explosif

Définition 6.1 (Éruptions effusives et explosives, fragmentation)

Une éruption effusive est dominée par l’émission de lave, qui s’écoule loin de l’évent comme un liquide cohérent. Une éruption explosive produit surtout des fragments, des cendres, de la ponce et des débris balistiques, transportés par un gaz en expansion. La fragmentation du magma est la rupture d’un liquide continu contenant des bulles en un gaz continu qui emporte des gouttes et des fragments de liquide ; elle transforme un écoulement effusif en éruption explosive.

Ce qui commande la transition, c’est le gaz. Un magma qui remonte des profondeurs transporte de l’eau et du dioxyde de carbone dissous ; en dessous de sa pression de saturation en volatils, ils sortent de la solution sous forme de bulles, qui grossissent à mesure que la pression baisse. Si elles restent dans le liquide, le gaz occupe vite l’essentiel du volume.

Proposition 6.2 (Fraction volumique de gaz lors d’un dégazage en système fermé)

Soit un magma contenant une fraction massique $w_0$ d’eau, de solubilité $w(p) = s\sqrt p$, et supposons que l’eau exsolvée reste avec le liquide sous forme de gaz parfait à la température $T$. Sous la pression de saturation en volatils $p_s = (w_0/s)^2$, un kilogramme de magma renferme $x = w_0 - s\sqrt p$ kilogramme de vapeur, et la fraction volumique de gaz est

$$\phi(p) = \frac{V_g}{V_g + V_m}, \qquad V_g = \frac{x\,RT}{M p}, \qquad V_m = \frac{1 - x}{\rho_m},$$

où $M = 0.018\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}$ est la masse molaire de l’eau et $\rho_m$ la masse volumique du liquide silicaté.

Comme $V_g$ croît comme $1/p$, la mousse gonfle le plus vite près de la surface. La figure ci-dessous suit une rhyolite à $5\,\%$ d’eau et un basalte à $1\,\%$. La rhyolite sature à $127\,\mathrm{MPa}$, soit environ $5\,\mathrm{km}$ de profondeur ; à $10\,\mathrm{MPa}$, son gaz occupe déjà $82\,\%$ du volume. Dans un modèle publié de l’écoulement dans le conduit, le magma se fragmente lorsque le gaz occupe $85\,\%$ de son volume, un niveau que cette rhyolite atteint à $8.2\,\mathrm{MPa}$, soit environ $330\,\mathrm{m}$ sous l’évent pour un gradient de pression de $0.025\,\mathrm{MPa}/\mathrm{m}$. Le basalte ne sature qu’à $8.7\,\mathrm{MPa}$ et atteint la même mousse à $1.8\,\mathrm{MPa}$, à moins de cent mètres de la surface.

Un basalte se fragmenterait donc lui aussi s’il gardait son gaz, et c’est bien ce qui se passe dans une fontaine de lave hawaïenne, près de l’évent. Ce qui rend la plupart des éruptions basaltiques douces, c’est que le gaz ne reste pas. Dans un liquide silicaté peu visqueux, les bulles remontent à travers le liquide, fusionnent et s’échappent ; une fois connectées en un réseau perméable, ce qui se produit pour des fractions de gaz comprises entre $30\,\%$ et $78\,\%$ dans les expériences, le gaz fuit à travers les parois et l’évent sans entraîner le liquide : le magma se dégaze en système ouvert et atteint la surface sous forme de lave. Un magma visqueux conserve au contraire ses bulles et se fragmente, le liquide se brisant comme du verre lorsqu’on l’étire plus vite qu’il ne peut s’écouler. La vitesse de remontée décide entre les deux autant que la composition : sur de nombreuses éruptions, l’activité effusive va de pair avec des vitesses de décompression voisines de $0.0001\,\mathrm{MPa}/\mathrm{s}$, et les éruptions explosives avec des vitesses voisines de $1\,\mathrm{MPa}/\mathrm{s}$ ; un changement de viscosité du liquide de l’ordre d’une demi-unité logarithmique, soit un facteur trois environ, peut faire basculer une éruption d’un régime à l’autre. Le premier dôme de lave du Pinatubo et son éruption paroxysmale une semaine plus tard venaient du même magma : le premier lot avait eu le temps de perdre son gaz, pas le second.

De l’eau venue de l’extérieur produit l’effet du gaz propre au magma. Une nappe souterraine, un lac ou la mer qui rencontre le magma se vaporise en un instant, et la dilatation de l’eau surchauffée pulvérise le magma : les expériences montrent que plus de $30\,\%$ de la chaleur disponible peut être convertie en énergie mécanique. Même un magma pauvre en gaz peut alors entrer en éruption explosive.

6.2 Styles éruptifs

Les volcanologues nomment les éruptions d’après des exemples classiques. Ces noms décrivent l’aspect d’une éruption, et ils se fondent les uns dans les autres ; une même éruption passe souvent par plusieurs styles.

Définition 6.3 (Styles éruptifs)

Par ordre croissant d’explosivité, parmi les éruptions entraînées par le gaz propre du magma :

• une éruption hawaïenne produit des fontaines de lave basaltique très fluide, de quelques dizaines à quelques centaines de mètres de haut, alimentant des coulées de lave ;
• une éruption strombolienne est une suite de brefs jaillissements qui projettent des grumeaux incandescents de magma basaltique à basaltique-andésitique, jusqu’à une centaine de mètres environ, sans colonne soutenue ;
• une éruption vulcanienne est une explosion brève et violente de gaz accumulé sous un bouchon de lave solidifiée, qui brise ce bouchon et projette des blocs et une colonne sombre de cendres fines, typiquement à partir d’un magma intermédiaire ;
• une éruption plinienne est un jet soutenu de gaz et de magma fragmenté, en général silicique, qui alimente une colonne montant dans la stratosphère pendant des heures à des jours et répand une nappe de ponce et de cendres sur des milliers de kilomètres carrés.

Lorsque de l’eau extérieure entraîne la fragmentation, une éruption phréatomagmatique projette de la vapeur avec des fragments de magma frais, tandis qu’une éruption phréatique est une explosion par la vapeur d’une nappe souterraine ou superficielle chauffée par du magma ou une roche chaude, qui projette de la vapeur et des fragments de roches plus anciennes, mais aucun magma frais.

Chaque style a ses éruptions types. Le Pu‘u ‘Ō‘ō, sur le Kīlauea, fut hawaïen pendant la plupart de ses trente-cinq ans et de ses soixante et un épisodes, avec des fontaines qui s’élevaient en général à $10\text{ à }100\,\mathrm{m}$ et parfois à plus de $500\,\mathrm{m}$. Stromboli, le « phare de la Méditerranée », a donné son nom aux jaillissements qui construisent les cônes de scories. Des explosions vulcaniennes ont secoué le Trident, en Alaska, par intermittence entre 1953 et 1974. Le Vésuve, en 79 de notre ère, décrit par Pline le Jeune, a donné son nom aux éruptions pliniennes ; le mont Saint-Helens, le 18 mai 1980, et Novarupta, en 1912, dont la colonne a dépassé $30\,\mathrm{km}$ au cours d’une éruption qui a duré près de trois jours, sont des exemples modernes. Les cas intermédiaires, à colonnes inférieures à environ $20\,\mathrm{km}$, soutenues mais instables, sont dits sous-pliniens. En présence d’eau, une éruption strombolienne devient surtseyenne, du nom de l’éruption du Surtsey, en 1963, au large de l’Islande, et construit de basses couronnes de tuf et des maars ; une éruption plinienne devient phréatoplinienne. Au Pinatubo, des explosions de vapeur ont fait sauter trois cratères sur le flanc nord en mars et avril 1991, deux mois avant l’éruption paroxysmale : elles étaient phréatiques.

Définition 6.4 (Dôme de lave)

Un dôme de lave est un monticule à flancs raides de lave visqueuse, généralement dacitique ou rhyolitique, extrudée lentement d’un évent et s’accumulant au-dessus de lui au lieu de s’écouler.

Les dômes sont ce que fait un magma visqueux lorsqu’il a perdu son gaz : le premier magma du Pinatubo, en juin 1991, et le dôme qui a grandi dans le cratère du mont Saint-Helens en dix-sept épisodes entre 1980 et 1986, jusqu’à $267\,\mathrm{m}$ au-dessus du fond du cratère. Un dôme peut aussi former le bouchon sous lequel s’accumule la prochaine explosion vulcanienne, et son effondrement peut libérer la pression sur le magma riche en gaz situé dessous. Les photographies ci-dessous montrent les deux extrêmes de la gamme.

6.3 Colonnes éruptives

Définition 6.5 (Colonne éruptive)

Une colonne éruptive est la masse ascendante de gaz et de fragments au-dessus d’un évent explosif. Elle comporte trois parties : un jet, ou région de poussée des gaz, où le mélange quitte l’évent vite mais plus dense que l’air, et monte par son élan ; une région convective, où le mélange, ayant englouti et réchauffé assez d’air pour devenir plus léger que son environnement, monte par poussée d’Archimède ; et un nuage en parapluie, qui s’étale latéralement, au niveau où la masse volumique de la colonne égale celle de l’atmosphère.

La hauteur atteinte par une colonne dépend avant tout de la chaleur qu’elle apporte à chaque seconde, c’est-à-dire du débit massique d’éruption $Q$. L’analyse dimensionnelle donne la forme de la loi.

Proposition 6.6 (Hauteur d’un panache flottant)

Si la hauteur $H$ au sommet d’un panache flottant au-dessus d’une source ponctuelle stationnaire ne dépend que du flux de flottabilité $F$ de la source (dimension $\mathrm{m^4\,s^{-3}}$) et de la fréquence de flottabilité $N$ d’une atmosphère stablement stratifiée (dimension $\mathrm{s^{-1}}$), alors

$$H = c\,F^{1/4}N^{-3/4}$$

avec $c$ une constante sans dimension. Comme $F$ est proportionnel au flux de chaleur, donc au débit massique d’éruption, $H \propto Q^{1/4}$ dans une atmosphère donnée.

La constante $c$ dépend de la vitesse à laquelle le panache englobe l’air, que la théorie du panache traite par un coefficient d’entraînement mesuré en laboratoire ; on l’admet ici. Les colonnes réelles ne sont pas des sources ponctuelles stationnaires dans une atmosphère calme ; les volcanologues ajustent donc la loi aux éruptions dont la hauteur et le débit massique ont été mesurés tous deux.

Proposition 6.7 (Hauteur de colonne et débit massique d’éruption)

Pour la hauteur $H$ au-dessus de l’évent, en kilomètres, et le débit massique d’éruption $Q$ en kilogrammes par seconde, la compilation des éruptions bien documentées donne

$$H = 0.304\,Q^{0.241},$$

et un jeu de données indépendant et plus large, portant sur 130 événements, donne $H = 0.345\,Q^{0.226}$. La dispersion est grande : l’erreur quadratique moyenne relative sur $H$ est de $53\text{ à }60\,\%$.

Les deux exposants sont proches du $1/4$ de la théorie du panache. La figure ci-dessous montre les deux ajustements et les éruptions d’exemple sur lesquelles reposent les paramètres de source utilisés par les centres de prévision des cendres. Une colonne de $15\,\mathrm{km}$ de haut, comme celle du mont Saint-Helens, exige $10^{7}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, soit dix mille tonnes par seconde ; doubler la hauteur demande près de dix-huit fois le débit. Lu dans l’autre sens, une hauteur mesurée donne le débit, mais seulement à un facteur de quelques unités près, car $Q$ varie comme $H^4$ (Exercice 6.3). Les volcanologues expriment le débit par l’intensité $I = \log_{10}Q + 3$, avec $Q$ en kilogrammes par seconde.

Une colonne peut aussi ne pas s’élever. Le jet quitte l’évent plus dense que l’air ; s’il manque d’élan avant d’avoir englobé assez d’air pour devenir flottant, par exemple parce que sa teneur en gaz baisse, la colonne s’effondre et le mélange dévale les flancs en un courant chaud et dense. Les colonnes pliniennes peuvent s’effondrer ainsi, et au Pinatubo les écoulements pyroclastiques de 1991 ont comblé des vallées de dépôts épais de $200\,\mathrm{m}$.

6.4 Produits pyroclastiques

Définition 6.8 (Téphra et pyroclastes)

Un pyroclaste est un fragment produit par la fragmentation explosive d’un magma ou des roches qui l’entourent. La téphra est le nom collectif de tous les pyroclastes projetés dans l’air, quelle que soit leur taille. Par la taille, les pyroclastes plus fins que $2\,\mathrm{mm}$ forment les cendres volcaniques ; ceux de $2\text{ à }64\,\mathrm{mm}$ sont des lapilli ; ceux de plus de $64\,\mathrm{mm}$ sont des blocs s’ils étaient solides lors de leur éjection et anguleux, et une bombe volcanique s’ils étaient entièrement ou partiellement fondus et ont pris une forme arrondie ou fusiforme en vol.

La téphra retombe du nuage en parapluie et de la colonne sous le vent, en un dépôt de chute qui recouvre le terrain : épais près de l’évent, plus mince et plus fin à mesure qu’on s’en éloigne. Son épaisseur se cartographie par des isopaques, lignes d’égale épaisseur, et, en règle générale, elle décroît exponentiellement avec la distance. Comme le vent étire les isopaques en ellipses, la distance se mesure au mieux par la racine carrée de l’aire enclose par chaque isopaque.

Proposition 6.9 (Volume d’un dépôt qui s’amincit exponentiellement)

Si l’épaisseur d’un dépôt de chute décroît avec la racine carrée $x = \sqrt A$ de l’aire de l’isopaque, selon $T = T_0\,e^{-kx}$, son volume apparent est

$$V = \frac{2T_0}{k^2}.$$

La moitié de ce volume se trouve au-delà de l’isopaque $x_{1/2} = 1.678/k$.

Les dépôts réels s’amincissent selon deux pentes ou plus, raides près de l’évent et plus doux loin de celui-ci, car les lapilli grossiers tombent vite de la colonne et les cendres fines dérivent. Chaque segment est ajusté séparément, et l’intégrale se calcule morceau par morceau.

Méthode 6.10 (Volume d’un dépôt de chute à partir de ses isopaques)

Tracer $\ln T$ en fonction de $\sqrt A$ pour chaque isopaque, et ajuster une droite à chaque suite de points alignés. Pour deux segments, $T_0e^{-k_1x}$ en deçà du point de croisement $X$ des deux droites et le second segment au-delà, le volume vaut

$$V = \frac{2T_0}{k_1^2} + 2T_0e^{-k_1X}\left[\frac{k_2X + 1}{k_2^2} - \frac{k_1X + 1}{k_1^2}\right]$$

(Exercice 6.10). Convertir le volume apparent en équivalent roche dense, c’est-à-dire le volume de la même masse de magma sans bulles, par $V_{\mathrm{DRE}} = V\rho_{\mathrm{deposit}}/\rho_{\mathrm{magma}}$.

La figure ci-dessous applique la méthode à une chute de scories émise par le Cotopaxi, en Équateur, il y a environ $1200$ ans. Deux segments ajustent les six isopaques, avec des demi-distances d’épaisseur $\ln 2/k$ de $1.9\,\mathrm{km}$ et $5.0\,\mathrm{km}$ (l’étude publiée, dont l’ajustement diffère légèrement, trouve $1.9\,\mathrm{km}$ et $5.3\,\mathrm{km}$), et le volume atteint $0.29\,\mathrm{km}^{3}$, comme dans cette étude. Plus de $40\,\%$ du volume se trouve dans le segment distal mince, ce qui explique le poids des cendres distales, faciles à éroder ou jamais cartographiées, dans le total. Les cendres fraîchement tombées ont une masse volumique apparente de $500\text{ à }1500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, bien inférieure à celle du magma, de sorte que l’équivalent roche dense vaut environ la moitié du volume apparent, voire moins.

Toute la téphra ne tombe pas du ciel. Lorsqu’une colonne s’effondre, qu’un dôme s’émiette ou qu’un souffle latéral déchire le flanc d’un volcan, le mélange chaud s’écoule le long du sol.

Définition 6.11 (Courants de densité pyroclastiques)

Un courant de densité pyroclastique est un mélange de gaz chaud et de pyroclastes qui reste au ras du sol et s’écoule vers le bas ou vers l’extérieur parce qu’il est plus dense que l’air. Un écoulement pyroclastique est un courant concentré de fragments de roche, de cendres et de gaz, en général à $200\text{ à }700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, qui se déplace à des dizaines de mètres par seconde ; une déferlante pyroclastique est un nuage plus dilué de cendres, de roche et de gaz, de plusieurs centaines de degrés, qui se déplace à la vitesse d’un ouragan. Une ignimbrite est la roche déposée par les courants de densité pyroclastiques, parfois soudée par sa propre chaleur.

Le 18 mai 1980, l’effondrement du flanc nord du mont Saint-Helens, le plus grand glissement de terrain jamais enregistré, avec environ $2.8\,\mathrm{km}^{3}$, a mis à nu le magma et libéré un souffle latéral qui a traversé environ $600\,\mathrm{km}^{2}$ à une vitesse pouvant atteindre $480\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; des écoulements pyroclastiques d’au moins $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ont alors atteint $8\,\mathrm{km}$ du cratère. Les écoulements de 1991 au Pinatubo étaient encore à $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à l’intérieur, cinq ans plus tard.

Définition 6.12 (Lahar)

Un lahar est un mélange rapide d’eau et de débris volcaniques qui dévale une vallée fluviale, avec une consistance allant de l’eau boueuse au béton frais. Les lahars se forment lorsque des courants pyroclastiques font fondre neige et glace, lorsqu’une pluie forte tombe sur des dépôts volcaniques meubles, lorsqu’un lac retenu par des dépôts volcaniques se vide brusquement, ou à partir d’une avalanche de débris.

Les lahars survivent aux éruptions. Autour du Pinatubo, les pluies de mousson et de typhon ont transformé les cendres de 1991 en lahars pendant des années, et ils ont causé plus de dégâts que l’éruption elle-même.

Définition 6.13 (Caldeira)

Une caldeira est une vaste dépression volcanique en forme de bassin, de $2\text{ à }50\,\mathrm{km}$ de diamètre et bien plus large que tout évent qu’elle contient, formée par l’effondrement du sol au-dessus d’un réservoir magmatique peu profond qu’une éruption a en partie vidé.

Les caldeiras du Pinatubo et de Novarupta mesurent toutes deux environ $2.5\,\mathrm{km}$ de diamètre, à l’extrémité basse de la gamme. Une caldeira se distingue d’un cratère, qui est plus petit et creusé par des explosions.

6.5 Mesurer et compter les éruptions

Définition 6.14 (Indice d’explosivité volcanique)

L’indice d’explosivité volcanique (VEI) est un entier de 0 à 8 qui mesure la taille d’une éruption, surtout par le volume apparent de sa téphra : VEI 0 pour moins de $10^{4}\,\mathrm{m}^{3}$, VEI 1 jusqu’à $10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, puis un cran pour chaque facteur dix, jusqu’à VEI 8 au-delà de $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$, $1000\,\mathrm{km}^{3}$. La hauteur de colonne et les descriptions de l’éruption servent lorsque le volume est inconnu. Une éruption non explosive a un VEI 0, quel que soit le volume de sa lave.

VEI	volume apparent de téphra ($\mathrm{m}^{3}$)	hauteur de colonne ($\mathrm{km}$)	style habituel
0	$< 10^{4}$	$< 0.1$	hawaïen
1	$10^{4}$–$10^{6}$	0.1–1	hawaïen, strombolien
2	$10^{6}$–$10^{7}$	1–5	strombolien, vulcanien
3	$10^{7}$–$10^{8}$	3–15	vulcanien
4	$10^{8}$–$10^{9}$	10–25	vulcanien, plinien
5	$10^{9}$–$10^{10}$	$> 25$	plinien
6	$10^{10}$–$10^{11}$	$> 25$	plinien
7	$10^{11}$–$10^{12}$	$> 25$	plinien
8	$> 10^{12}$	$> 25$	plinien

L’indice est logarithmique, comme la magnitude d’un séisme, mais plus grossier. Le mont Saint-Helens, en 1980, avec $1.3\,\mathrm{km}^{3}$ de cendres, a été classé VEI 5 « de justesse » ; le Pinatubo, en 1991, a reçu le VEI 6 ; Tambora, en 1815, qui a éjecté trente à quatre-vingts fois plus de cendres que le mont Saint-Helens, a reçu le VEI 7, la plus grande éruption explosive des temps historiques. Pour un travail quantitatif, les volcanologues préfèrent la magnitude $M = \log_{10}m - 7$, où $m$ est la masse émise en kilogrammes, qui évite la masse volumique apparente du dépôt, et l’intensité définie plus haut pour le débit.

Les petites éruptions sont fréquentes et les grandes rares. Le catalogue mondial des éruptions de l’Holocène permet de quantifier cette relation, à condition de tenir compte de ses lacunes : une éruption n’y figure que si quelqu’un l’a observée ou a trouvé son dépôt, et les petites éruptions éloignées des observateurs, ou remontant à plus de quelques siècles, ont souvent été manquées. La série des grandes éruptions est complète sur une période plus longue que celle des petites. Sur le panneau de gauche de la figure ci-dessous, les éruptions de chaque taille recensées depuis 1500 s’accumulent avec le temps ; une série complète à taux constant suivrait la diagonale. Les éruptions de VEI 3 ou plus s’agglutinent dans le dernier siècle, car la plupart des précédentes n’ont jamais été consignées ; le relevé des VEI 6 reste proche de la diagonale.

Chiffres de 2026

Le catalogue du Global Volcanism Program recense $7747$ éruptions holocènes confirmées, dotées d’un VEI. Comptées du début d’une fenêtre jusqu’à la fin de 2024, on relève 399 éruptions de VEI 3 ou plus depuis 1950, 95 de VEI 4 ou plus depuis 1900, 22 de VEI 5 ou plus depuis 1800, et 8 de VEI 6 ou plus depuis 1500 (la plus récente étant le Pinatubo en 1991). Seules deux éruptions de VEI 7 sont consignées depuis l’an 1000 : Rinjani en 1257, et Tambora, dont l’éruption débute en 1812 et culmine en 1815.

Proposition 6.15 (Loi fréquence–taille des éruptions)

Soit $\lambda_v$ le nombre moyen d’éruptions de VEI $\ge v$ par an sur Terre, chacun estimé sur une fenêtre où le catalogue est presque complet (depuis 1950 pour $v = 3$, 1900 pour $v = 4$, 1800 pour $v = 5$, 1500 pour $v = 6$). Alors, par la méthode des moindres carrés,

$$\log_{10}\lambda_v = 3.28 - 0.85\,v .$$

Chaque cran de VEI est environ sept fois plus rare que le cran inférieur.

La loi est empirique, un ajustement sur quatre points, et son exposant dépend des fenêtres retenues ; elle prédit une éruption de VEI 7 ou plus tous les $470$ ans, proche des deux survenues ces mille dernières années, qui n’ont pas servi à l’ajustement. Comme les éruptions sont presque indépendantes les unes des autres, elles se comportent comme un processus de Poisson, et la probabilité d’au moins une éruption de VEI $\ge v$ en $t$ ans vaut $1 - e^{-\lambda_vt}$ (problème du week-end).

6.6 Surveiller les volcans

Le magma n’atteint pas la surface sans prévenir. Il doit briser la roche pour ouvrir sa voie, il soulève le sol à mesure qu’il s’accumule, il libère du gaz à mesure que la pression baisse, et il chauffe le sol. Les observatoires volcanologiques surveillent ces quatre signes.

Sismicité. Le magma qui circule dans la croûte brise la roche et déclenche des essaims de petits séismes. Avant le 18 mai 1980, le mont Saint-Helens en a produit plus de $10\,000$ en deux mois ; le Pinatubo en a produit des milliers entre avril et juin 1991, à partir d’un magma remontant de plus de $32\,\mathrm{km}$ de profondeur. Les magnitudes et les moments sismiques du volume de première année s’appliquent sans changement ; ce qui diffère, ce sont les sources : fissures qui s’ouvrent et conduits remplis de fluide qui entrent en résonance, en plus des failles.

Déformation. Un réservoir qui se remplit gonfle et soulève le sol au-dessus de lui. Le nivellement, les inclinomètres et le positionnement par satellite mesurent ce soulèvement ; l’interférométrie radar, par satellite, le cartographie sur des volcans entiers, une technique qu’explique le volume de troisième année de cette série. Le modèle le plus simple traite le réservoir comme une petite sphère.

Proposition 6.16 (Source de Mogi)

Une petite source sphérique située à la profondeur $z_0$ dans un demi-espace élastique homogène de coefficient de Poisson $\nu$, dont le volume varie de $\Delta V$, une source de Mogi, soulève la surface à la distance horizontale $r$ d’une quantité

$$u_z(r) = \frac{(1 - \nu)\,\Delta V}{\pi}\,\frac{z_0}{(r^2 + z_0^2)^{3/2}} .$$

Le soulèvement est maximal au-dessus de la source, $u_z(0) = (1 - \nu)\Delta V/(\pi z_0^2)$, et tombe à la moitié de cette valeur en $r = z_0\sqrt{2^{2/3} - 1} = 0.766\,z_0$ : la largeur du renflement donne la profondeur de la source, et sa hauteur donne alors la variation de volume. Comme seul $\Delta V$ intervient, la pression dans le réservoir et sa taille ne peuvent pas être séparées ; ce sont donc les variations de volume, et non les pressions, que les géodésiens rapportent. La formule est le premier terme d’une solution exacte pour une sphère de rayon $a$ ; la correction vaut $12\,\%$ pour $a = z_0/2$ et $3\,\%$ pour $a = z_0/3$.

Gaz et chaleur. À mesure que le magma remonte et se dégaze, le flux de dioxyde de soufre à la surface augmente ; on le mesure depuis le sol, depuis des avions et depuis des satellites ; le Pinatubo en a émis plusieurs milliers de tonnes dans les semaines précédant son éruption. La chaleur du magma superficiel se voit sur les images thermiques du sol et de l’évent.

À partir de ces données, un observatoire fixe un niveau d’alerte. Aux États-Unis, le « Volcano Alert Level » (niveau d’alerte volcanique), en usage depuis 2006, compte quatre niveaux, NORMAL, ADVISORY, WATCH et WARNING (normal, avis, veille, alerte), et un « Aviation Color Code » (code de couleur de l’aviation), du VERT au ROUGE, prévient les avions des cendres. Il n’existe pas de seuils fixes : chaque changement est décidé par les scientifiques de l’observatoire à partir de l’ensemble des données de surveillance, du comportement passé du volcan et de ce que l’on sait des processus en cours. La prévision reste probabiliste : on ne peut dire ni quand une éruption commencera ni quelle sera son ampleur. Au Pinatubo, la prévision de 1991 a permis aux habitants vivant près du volcan de s’éloigner à temps et a sauvé au moins $5000$ vies. La façon dont ces prévisions entrent dans les décisions sur l’aléa et le risque relève du Chapitre 28.

Sur le terrain — Dans un observatoire volcanologique

Un observatoire surveille ses volcans en permanence. Des sismomètres installés sur les flancs envoient leurs signaux par radio vers des écrans où les scientifiques de permanence guettent les essaims, le tremor volcanique, c’est-à-dire la vibration continue d’un fluide qui circule dans un conduit, et les variations de profondeur des séismes. Des stations de positionnement et des inclinomètres enregistrent le gonflement du sol, des caméras surveillent l’évent, des spectromètres à gaz mesurent le flux de dioxyde de soufre dans le panache. Lorsqu’un signal s’écarte du bruit de fond du volcan, les scientifiques le comparent aux épisodes antérieurs, se réunissent et décident si le niveau d’alerte doit changer ; le communiqué qu’ils publient indique ce qui est observé et ce qui peut suivre, sans en exagérer ni l’un ni l’autre.

6.7 Exercices

Exercice 6.1 ★

Donner le VEI indiqué par le seul volume apparent de téphra pour : (a) les cendres du mont Saint-Helens, le 18 mai 1980, $1.3\,\mathrm{km}^{3}$ ; (b) le dépôt de chute de la couche 5 du Cotopaxi, $0.29\,\mathrm{km}^{3}$ ; (c) une petite éruption de $2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. (d) Le matériau éjecté par le Pinatubo en 1991 est donné comme « plus de $5\,\mathrm{km}^{3}$ », pourtant l’éruption est classée VEI 6. Quel volume apparent cette classification implique-t-elle au minimum ?

Solution

Solution de Exercice 6.1.

(a) $1.3\,\mathrm{km}^{3} = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$, entre $10^9$ et $10^{10}$ : VEI 5. (b) $2.9 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ : VEI 4. (c) $2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, entre $10^6$ et $10^7$ : VEI 2. (d) Le VEI 6 commence à $10^{10}\,\mathrm{m}^{3}$, donc le volume apparent de téphra doit être d’au moins $10\,\mathrm{km}^{3}$ ; « plus de $5\,\mathrm{km}^{3}$ » est une borne inférieure, non une contradiction.

Exercice 6.2 ★

Nommer chaque pyroclaste : (a) un éclat de verre long de $0.5\,\mathrm{mm}$ ; (b) un fragment de ponce large de $3\,\mathrm{cm}$ ; (c) un morceau anguleux de vieille lave large de $20\,\mathrm{cm}$ ; (d) un grumeau fusiforme long de $8\,\mathrm{cm}$, aux extrémités tordues.

Solution

Solution de Exercice 6.2.

(a) Cendre (plus fine que $2\,\mathrm{mm}$). (b) Un lapillus ($2\text{ à }64\,\mathrm{mm}$). (c) Un bloc : plus grand que $64\,\mathrm{mm}$, anguleux, solide au moment de son éjection. (d) Une bombe volcanique, une bombe fusiforme : plus grande que $64\,\mathrm{mm}$ et façonnée à l’état fondu en vol.

Exercice 6.3 ★

Avec $H = 0.304\,Q^{0.241}$ ($H$ en kilomètres au-dessus de l’évent, $Q$ en $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$) : (a) calculer $H$ pour $Q = 10^{6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ et $10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; (b) calculer le débit massique impliqué par une colonne haute de $35\,\mathrm{km}$, et son intensité $I = \log_{10}Q + 3$ ; (c) indiquer de quel facteur varie $Q$ si la hauteur mesurée est surestimée de $20\,\%$.

Solution

Solution de Exercice 6.3.

(a) $0.304\times(10^6)^{0.241} = 0.304\times27.9 = 8.5\,\mathrm{km}$; $0.304\times(10^8)^{0.241} = 0.304\times84.7 = 25.8\,\mathrm{km}$. (b) $Q = (35/0.304)^{1/0.241} = 115.1^{4.149} = 3.6 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, et $I = 8.55 + 3 = 11.6$. (c) $Q \propto H^{4.15}$, donc une hauteur surestimée de $20\,\%$ surestime $Q$ d’un facteur $1.2^{4.15} = 2.1$.

Exercice 6.4 ★

Le dépôt de chute de la couche 5 du Cotopaxi a un volume apparent de $0.29\,\mathrm{km}^{3}$. En prenant une masse volumique apparente de $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pour le dépôt et $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pour le magma, calculer son volume d’équivalent roche dense, sa masse et sa magnitude $M = \log_{10}m - 7$.

Solution

Solution de Exercice 6.4.

$V_{\mathrm{DRE}} = 0.29\times1000/2500 = 0.116\,\mathrm{km}^{3}$; $m = 0.29 \times 10^{9}\times1000 = 2.9 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$; $M = \log_{10}(2.9 \times 10^{11}) - 7 = 11.46 - 7 = 4.46$.

Exercice 6.5 ★★

Un dépôt de chute a une épaisseur de $40\,\mathrm{cm}$ sur l’isopaque de $\sqrt A = 5\,\mathrm{km}$ et de $10\,\mathrm{cm}$ sur celui de $\sqrt A = 15\,\mathrm{km}$, et il s’amincit selon une seule exponentielle. Calculer $k$, $T_0$, la demi-distance d’épaisseur $\ln 2/k$, le volume apparent et le VEI.

Solution

Solution de Exercice 6.5.

$k = \ln(40/10)/(15 - 5) = 1.386/10 = 0.139\,\mathrm{km}^{-1}$; $T_0 = 40\,e^{0.139\times5} = 40\times2.00 = 80\,\mathrm{cm}$; $\ln2/k = 5.0\,\mathrm{km}$. Avec $T_0 = 8.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}$: $V = 2\times8.0 \times 10^{-4}/0.139^2 = 0.083\,\mathrm{km}^{3} = 8.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, VEI 3.

Exercice 6.6 ★★

(a) Établir que le volume à l’intérieur de l’isopaque $x = \sqrt A$ d’un dépôt qui s’amincit comme $T_0e^{-kx}$ vaut $\frac{2T_0}{k^2}[1 - (1 + kx)e^{-kx}]$. (b) Résoudre $(1 + u)e^{-u} = 1/2$ à trois chiffres significatifs près, par substitutions successives ou par dichotomie. (c) Pour le dépôt de l’Exercice 6.5, au-delà de quel isopaque se trouve la moitié du volume ? Comparer avec la distance à l’évent de l’isopaque le plus éloigné ayant été cartographié.

Solution

Solution de Exercice 6.6.

(a) $\int_0^x T_0e^{-ky}2y\,dy = 2T_0\big[-\tfrac{y}{k}e^{-ky} - \tfrac{1}{k^2}e^{-ky}\big]_0^x = \tfrac{2T_0}{k^2}[1 - (1 + kx)e^{-kx}]$. (b) En itérant $u = \ln(2(1 + u))$ à partir de $u = 1$ : $1.386$, $1.564$, $1.635$, $1.662$, $1.672$, …, convergeant vers $u = 1.678$, pour lequel $(1 + u)e^{-u} = 2.678\times0.1867 = 0.500$. (c) $x_{1/2} = 1.678/0.139 = 12.1\,\mathrm{km}$, à l’intérieur de l’isopaque le plus externe ($\sqrt A = 15\,\mathrm{km}$) ; pourtant le volume au-delà de cet isopaque est $(1 + 2.09)e^{-2.09} = 38\,\%$ du total. Près de deux cinquièmes du dépôt se trouvent là où rien n’a été mesuré : le volume repose sur l’extrapolation.

Exercice 6.7 ★★

Un magma rhyolitique à $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1123\,\mathrm{K}$) contient $5.0\,\%$ d’eau, avec une solubilité $s = 0.444$ pour cent par $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ ; sa masse volumique est de $2300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Calculer sa pression de saturation en volatils, et la profondeur à laquelle elle est atteinte pour un gradient de pression de $0.025\,\mathrm{MPa}/\mathrm{m}$. (b) Calculer la fraction volumique de gaz à $10\,\mathrm{MPa}$ si le gaz reste dans le magma ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $M = 0.018\,015\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}$). (c) Expliquer pourquoi les magmas basaltiques se fragmentent bien moins souvent, alors qu’à $1\,\mathrm{MPa}$ un basalte en système fermé, à $1\,\%$ d’eau, serait constitué à $92\,\%$ de gaz ?

Solution

Solution de Exercice 6.7.

(a) $p_s = (5.0/0.444)^2 = 127\,\mathrm{MPa}$, à $127/0.025 = 5.1\,\mathrm{km}$. (b) $x = (5.0 - 0.444\sqrt{10})/100 = (5.0 - 1.404)/100 = 0.0360$; $V_g = 0.0360\times8.314\times1123/(0.018015\times10^7) = 1.86 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$; $V_m = 0.964/2300 = 4.19 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$; $\phi = 1.86/(1.86 + 0.419) = 0.82$. (c) Un liquide basaltique est des milliers à des milliards de fois moins visqueux qu’un liquide rhyolitique (Chapitre 5) : ses bulles remontent, fusionnent et s’échappent, et le gaz quitte le magma à travers une mousse perméable ou à l’évent, si bien que le magma se dégaze en système ouvert au lieu de garder son gaz ; sa fragmentation, lorsqu’elle se produit, reste confinée à une fontaine près de l’évent. Une remontée plus lente laisse davantage de temps pour cela.

Exercice 6.8 ★★

(a) Une source de Mogi située à $5\,\mathrm{km}$ de profondeur gagne $10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$. Calculer le soulèvement au-dessus d’elle ($\nu = 0.25$). (b) Un autre renflement tombe à la moitié de son maximum à $3.8\,\mathrm{km}$ de son centre : déterminer la profondeur de sa source. (c) Calculer la fraction du soulèvement maximal qu’une station observe à une distance horizontale égale à la profondeur de la source.

Solution

Solution de Exercice 6.8.

(a) $u_z(0) = 0.75\times10^7/(\pi\times(5000)^2) = 0.095\,\mathrm{m} = 95\,\mathrm{mm}$. (b) $z_0 = 3.8/0.766 = 5.0\,\mathrm{km}$. (c) $(1 + 1)^{-3/2} = 0.35$ du maximum.

Exercice 6.9 ★★

Une explosion vulcanienne projette des blocs hors d’un cratère. En négligeant la résistance de l’air et la hauteur du bord du cratère, calculer la portée maximale d’un bloc lancé à $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, puis à $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). La résistance de l’air donne-t-elle une borne supérieure ou inférieure à ces portées ? Expliquer pourquoi une zone de danger balistique autour d’un évent croît comme le carré de la vitesse de lancement.

Solution

Solution de Exercice 6.9.

La portée maximale est obtenue à $45{}^{\circ}$ : $R = v^2/g = 100^2/9.81 = 1.0\,\mathrm{km}$, et $200^2/9.81 = 4.1\,\mathrm{km}$. La résistance de l’air raccourcit le vol : ce sont donc des bornes supérieures, proches de la réalité pour les gros blocs et bien trop longues pour les petits. Puisque $R = v^2/g$, la zone de danger croît comme le carré de la vitesse de lancement : doubler la vitesse de l’explosion quadruple son rayon.

Exercice 6.10 ★★★

(a) Établir le volume d’un dépôt à deux segments exponentiels donné dans l’encadré Méthode, en supposant l’épaisseur continue au point de croisement des droites. (b) Pour la couche 5 du Cotopaxi, les segments ajustés sont $T = 1285\,\mathrm{cm}\times e^{-0.365x}$ et un segment distal de pente $k_2 = 0.138\,\mathrm{km}^{-1}$, qui se croisent en $X = 8.56\,\mathrm{km}$. Calculer le volume et la part de celui-ci au-delà du point de croisement.

Solution

Solution de Exercice 6.10.

(a) Avec $T = T_0e^{-k_1x}$ pour $x < X$ et $T = T_Xe^{-k_2(x - X)}$ au-delà, $T_X = T_0e^{-k_1X}$ (continuité), utiliser $\int_0^X ye^{-ky}dy = \frac{1}{k^2} - e^{-kX}\big(\frac{X}{k} + \frac{1}{k^2}\big)$ et $\int_X^\infty ye^{-ky}dy = e^{-kX}\big(\frac{X}{k} + \frac{1}{k^2}\big)$ : la partie proximale donne $2T_0\big[\frac{1}{k_1^2} - e^{-k_1X}\frac{k_1X + 1}{k_1^2}\big]$ et la partie distale $2T_Xe^{k_2X}\int_X^\infty ye^{-k_2y}dy = 2T_X\frac{k_2X + 1}{k_2^2}$ ; avec $T_X = T_0e^{-k_1X}$, leur somme est la formule de l’encadré Méthode. (b) $T_0 = 0.012\,85\,\mathrm{km}$ : $2T_0/k_1^2 = 0.0257/0.1332 = 0.193\,\mathrm{km}^{3}$ ; $e^{-0.365\times8.56} = 0.0440$ ; $(0.138\times8.56 + 1)/0.138^2 = 114.5$ et $(0.365\times8.56 + 1)/0.365^2 = 30.96$ ; la correction vaut $0.0257\times0.0440\times83.6 = 0.094\,\mathrm{km}^{3}$ et $V = 0.287\,\mathrm{km}^{3}$, soit les $0.29\,\mathrm{km}^{3}$ publiés. Au-delà de $X$ se trouve $2T_X(X/k_2 + 1/k_2^2) = 2\times5.65 \times 10^{-4}\times114.5 = 0.129\,\mathrm{km}^{3}$, soit $45\,\%$.

Exercice 6.11 ★★★

(a) En utilisant la Proposition 6.6, indiquer de quel facteur croît la hauteur d’une colonne lorsque le débit d’éruption est multiplié par 100. Comparer avec les exposants empiriques $0.241$ et $0.226$. (b) Dire de quelle façon une atmosphère plus fortement stratifiée modifie la hauteur, et de combien si $N$ croît de $20\,\%$. (c) Donner deux raisons pour lesquelles les exposants mesurés peuvent être inférieurs à $1/4$.

Solution

Solution de Exercice 6.11.

(a) $100^{1/4} = 3.16$ ; les lois empiriques donnent $100^{0.241} = 3.03$ et $100^{0.226} = 2.83$. (b) $H \propto N^{-3/4}$ : une atmosphère plus fortement stratifiée freine la colonne plus bas ; pour $N$ supérieur de $20\,\%$, $1.2^{-0.75} = 0.87$, soit une hauteur inférieure de $13\,\%$. (c) Les panaches faibles sont courbés par le vent, ce qui les abaisse, tandis que l’air humide libère de la chaleur latente en leur sein, ce qui les élève ; ces effets pèsent différemment sur les petites et les grandes éruptions et ne figurent pas dans la loi simple. Et les débits ne sont connus qu’à un facteur de plusieurs près, une erreur sur la variable portée en abscisse, qui biaise une pente ajustée vers zéro.

Exercice 6.12 ★★★

Le catalogue mondial recense 132 éruptions de VEI 4 ou plus survenues entre 1500 et 1899, et 95 entre 1900 et 2024. (a) Calculer le taux par siècle dans chaque période. (b) Si le taux depuis 1900 est le taux réel, quelle fraction des éruptions anciennes a été consignée ? (c) Une étude des grandes éruptions compte 21 éruptions de magnitude 4 à 4.9 par siècle entre 1500 et 1900, et 56 depuis 1900 ; comparer. (d) Expliquer pourquoi cette fraction dépend de la taille des éruptions.

Solution

Solution de Exercice 6.12.

(a) $132/400\times100 = 33$ par siècle avant 1900 ; $95/125\times100 = 76$ par siècle depuis. (b) $33/76 = 43\,\%$. (c) $21/56 = 38\,\%$ : le même sous-enregistrement, d’un facteur deux à trois. (d) Les grandes éruptions se voient de plus loin et laissent des dépôts plus épais et plus étendus, qui résistent mieux à l’érosion plus longtemps ; une éruption de VEI 4 sur une île isolée en 1700 pourrait passer inaperçue, une éruption de VEI 6 difficilement.

6.8 Problème : lecture d’un dépôt plinien

Problème 6.1

Problème du week-end — à partir des isopaques d’une chute de ponce jusqu’à la taille de son éruption, de la hauteur de sa colonne et de la fréquence de ces éruptions

Un volcan imaginaire a laissé une chute de ponce issue d’une seule phase plinienne d’une durée de $10$ heures. Une fois l’allongement dû au vent retiré en utilisant la racine carrée de leurs aires, ses isopaques sont :

$\sqrt A$ ($\mathrm{km}$)	10	20	40	80	120
épaisseur $T$ ($\mathrm{cm}$)	200	100	48	14	4.0

Données : masse volumique apparente du dépôt $900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; masse volumique du magma $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; hauteur de la colonne mesurée sur les plus gros fragments, $31\,\mathrm{km}$ au-dessus de l’évent ; tropopause à $16\,\mathrm{km}$. Utiliser $H = 0.304\,Q^{0.241}$ et $H = 0.345\,Q^{0.226}$ ($H$ en kilomètres, $Q$ en $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$).

Partie I — Le dépôt.

1. Calculer $\ln T$ pour chaque isopaque et montrer que les points se répartissent sur deux segments droits lorsqu’on les porte en fonction de $\sqrt A$. Où se trouve la rupture ?
2. Calculer la pente $k_1$ et l’ordonnée à l’origine $T_0$ du segment proximal passant par les deux premières isopaques.
3. La droite des moindres carrés passant par les trois isopaques distaux est $T = 167\,\mathrm{cm}\times e^{-0.0311\sqrt A}$. Vérifier qu’elle passe à moins de $5\,\%$ de chacun d’eux.
4. Calculer la valeur de $\sqrt A$ à laquelle les deux droites se croisent.
5. Calculer les demi-distances d’épaisseur $\ln 2/k$ des deux segments.
6. Calculer le volume que le dépôt aurait s’il s’amincissait partout selon la pente proximale.
7. Calculer le volume apparent avec les deux segments, et la part apportée par la correction du segment distal, moins pentu.
8. De quel facteur le volume serait-il sous-estimé si seul le dépôt proximal avait été cartographié ? Pourquoi est-ce un risque réel pour les vieux dépôts ?

Partie II — La taille de l’éruption.

9. Donner le VEI de l’éruption.
10. Calculer le volume d’équivalent roche dense.
11. Calculer la masse émise.
12. Calculer la magnitude $M = \log_{10}m - 7$.
13. Combien de fois ce dépôt est-il plus grand que la chute de cendres du mont Saint-Helens en 1980, $1.3\,\mathrm{km}^{3}$ ?
14. Quelle hauteur de colonne le tableau des VEI associe-t-il à cette éruption, et quel style ?

Partie III — La colonne.

15. Calculer le débit massique moyen sur toute la phase plinienne, et son intensité $I = \log_{10}Q + 3$.
16. Calculer la hauteur de colonne prédite par la première loi empirique.
17. Même calcul avec la seconde loi.
18. Comparer avec les $31\,\mathrm{km}$ mesurés sur les fragments, compte tenu de la dispersion des lois.
19. Quel débit massique impliquerait $31\,\mathrm{km}$ selon la première loi ? De quel facteur diffère-t-il de celui de la question 15, et qu’est-ce qui pourrait l’expliquer ?
20. La colonne a-t-elle injecté du gaz dans la stratosphère ? Quelles en seraient les conséquences pour le climat, et quel serait le gaz clé ?

Partie IV — À quelle fréquence ?

21. À partir des décomptes du catalogue (399 éruptions de VEI $\ge 3$ de 1950 à 2024, 95 de VEI $\ge 4$ depuis 1900, 22 de VEI $\ge 5$ depuis 1800, 8 de VEI $\ge 6$ depuis 1500, toutes fenêtres se terminant en 2024 incluse), calculer les quatre taux annuels et leurs logarithmes.
22. Vérifier que la droite $\log_{10}\lambda_v = 3.28 - 0.85\,v$ passe à moins de $10\,\%$ de chaque taux.
23. Pourquoi chaque fenêtre commence-t-elle plus loin dans le passé pour les éruptions plus grandes ?
24. À partir de la droite, calculer le taux des éruptions de VEI $\ge 5$, leur période de retour moyenne, et la probabilité d’en avoir au moins une dans les dix prochaines années.
25. À partir de la droite, calculer le taux des éruptions de VEI $\ge 7$ et le comparer aux deux survenues depuis l’an 1000.
26. À partir de la droite, calculer le taux des éruptions de VEI $\ge 6$ et la probabilité, en pour cent, d’en avoir au moins une n’importe où sur Terre dans les 100 prochaines années, chiffre clé de ce problème. Sur quelle hypothèse repose-t-elle ?

Solution

Solution de Problème 6.1.

1. $\ln T = 5.298$, $4.605$, $3.871$, $2.639$, $1.386$. Les pentes entre isopaques successifs valent $-0.0693$, $-0.0367$, $-0.0308$ et $-0.0313$ par km : une pente raide entre 10 et $20\,\mathrm{km}$, une pente douce de 40 à $120\,\mathrm{km}$ ; la rupture se situe entre 20 et $40\,\mathrm{km}$.

2. $k_1 = \ln(200/100)/10 = 0.0693\,\mathrm{km}^{-1}$; $T_0 = 200\,e^{0.693} = 400\,\mathrm{cm}$.

3. $167e^{-1.244} = 48.1\,\mathrm{cm}$, $167e^{-2.488} = 13.9\,\mathrm{cm}$, $167e^{-3.732} = 4.00\,\mathrm{cm}$ : à moins de $1\,\%$ de 48, 14 et 4.0.

4. $400e^{-0.0693X} = 167e^{-0.0311X}$ donne $X = \ln(400/167)/(0.0693 - 0.0311) = 0.873/0.0382 = 22.9\,\mathrm{km}$.

5. $\ln2/0.0693 = 10.0\,\mathrm{km}$ et $\ln2/0.0311 = 22.3\,\mathrm{km}$.

6. $T_0 = 0.0040\,\mathrm{km}$: $V = 2\times0.0040/0.0693^2 = 1.67\,\mathrm{km}^{3}$.

7. $e^{-0.0693\times22.9} = 0.205$; $(0.0311\times22.9 + 1)/0.0311^2 = 1770$; $(0.0693\times22.9 + 1)/0.0693^2 = 539$; correction $2\times0.0040\times0.205\times1231 = 2.02\,\mathrm{km}^{3}$ ; $V = 1.67 + 2.02 = 3.68\,\mathrm{km}^{3}$, dont la correction représente $55\,\%$.

8. $3.68/1.67 = 2.2$. Les cendres distales fines sont minces, facilement érodées, remaniées ou tombées à la mer ; dans un vieux dépôt, elles sont souvent perdues ou jamais cartographiées, et le volume est alors sous-estimé d’un facteur deux ou plus.

9. $3.68 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$ se situe entre $10^9$ et $10^{10}$ : VEI 5.

10. $V_{\mathrm{DRE}} = 3.68\times900/2400 = 1.38\,\mathrm{km}^{3}$.

11. $m = 3.68 \times 10^{9}\times900 = 3.31 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$.

12. $M = \log_{10}(3.31 \times 10^{12}) - 7 = 12.52 - 7 = 5.52$.

13. $3.68/1.3 = 2.8$ fois.

14. Une colonne plus haute que $25\,\mathrm{km}$, et un style plinien.

15. $Q = 3.31 \times 10^{12}/36000 = 9.2 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $I = 7.96 + 3 = 11.0$.

16. $0.304\times(9.2 \times 10^{7})^{0.241} = 0.304\times83.0 = 25.2\,\mathrm{km}$.

17. $0.345\times(9.2 \times 10^{7})^{0.226} = 0.345\times63.1 = 21.8\,\mathrm{km}$.

18. La hauteur mesurée de $31\,\mathrm{km}$ dépasse de $23\,\%$ la première prévision et de $42\,\%$ la seconde, ce qui reste dans la dispersion des lois, de $53\text{ à }60\,\%$ : cohérent.

19. $Q = (31/0.304)^{1/0.241} = 102.0^{4.149} = 2.2 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, soit 2.3 fois le débit moyen. Les fragments enregistrent la colonne la plus haute, au pic de l’éruption, tandis que la question 15 moyenne sur toute la phase ; une partie de la masse peut manquer au dépôt (cendres distales, écoulements pyroclastiques).

20. Oui : de 22 à $31\,\mathrm{km}$, bien au-dessus de la tropopause, à $16\,\mathrm{km}$. Le gaz porté dans la stratosphère se répand autour du globe ; le gaz clé est le dioxyde de soufre, et les vingt millions de tonnes que le Pinatubo y a injectées en 1991 ont refroidi le globe d’environ un demi-degré pendant deux ans.

21. $\lambda_3 = 399/75 = 5.32$, $\lambda_4 = 95/125 = 0.760$, $\lambda_5 = 22/225 = 0.0978$, $\lambda_6 = 8/525 = 0.0152$ par an ; logarithmes $0.726$, $-0.119$, $-1.010$, $-1.817$.

22. La droite donne $10^{0.73} = 5.37$, $10^{-0.12} = 0.759$, $10^{-0.97} = 0.107$ et $10^{-1.82} = 0.0151$ : à moins de $1\,\%$, $0\,\%$, $10\,\%$ et $1\,\%$ des décomptes.

23. Le catalogue des grandes éruptions reste complet plus loin dans le temps, car on les remarque de plus loin et leurs dépôts survivent plus longtemps ; une fenêtre commençant en 1500 sous-compterait gravement les éruptions de VEI 3, tandis qu’une fenêtre commençant en 1950 ne contiendrait presque aucune éruption de VEI 6.

24. $\lambda_5 = 0.107$ par an, une période de retour de $1/0.107 = 9.3\text{ ans}$ ; $1 - e^{-1.07} = 1 - 0.343 = 66\,\%$ en dix ans.

25. $\lambda_7 = 10^{3.28 - 5.95} = 10^{-2.67} = 0.00214$ par an, soit une tous les 470 ans ; le catalogue donne $2/1025 = 0.00195$ par an : accord à moins de $10\,\%$, pour un point qui n’a pas servi à l’ajustement.

26. $\lambda_6 = 10^{3.28 - 5.10} = 10^{-1.82} = 0.0151$ par an ; $\lambda t = 1.51$ et $1 - e^{-1.51} = 1 - 0.220 = 0.780$ : la probabilité d’au moins une éruption de VEI 6 ou plus quelque part sur Terre au cours des cent prochaines années est $78\,\%$. Elle repose sur un taux constant, sur des éruptions indépendantes les unes des autres (un processus de Poisson), et sur un catalogue complet dans ses fenêtres.