2Formation des planètes et météorites

Chaque année, environ quinze mille tonnes de poussière venue de l’espace entrent dans l’atmosphère terrestre ; la plupart brûlent ou retombent sous forme de sphérules microscopiques, et de temps en temps une pierre de la taille d’un poing tombe avec une boule de feu et un bang supersonique. La plupart de ces pierres sont des fragments d’astéroïdes, et beaucoup n’ont guère changé depuis leur formation. Sciée puis polie, une pierre montre des billes de roche jadis fondue, de l’ordre du millimètre, des grains blancs et irréguliers de minéraux de calcium et d’aluminium, des paillettes de métal, le tout pris dans un ciment sombre à grain fin. Les grains blancs sont les plus anciens solides du système solaire : les isotopes du plomb les datent de 4567 Ma. Un second chronomètre, la désintégration d’un isotope radioactif de l’aluminium disparu depuis longtemps, date les autres composants par rapport à eux, à une fraction de million d’années près. Ce chapitre suit le disque du chapitre précédent lorsqu’il se transforme en planètes : quels solides se condensent à partir du gaz qui se refroidit, et où ; comment la poussière croît en corps de quelques kilomètres, puis en planètes ; ce que sont les météorites, et comment elles datent ces événements ; et pourquoi certains des premiers corps ont fondu et formé des noyaux de fer, tandis que d’autres sont restés tels qu’ils s’étaient formés.

Tu sais déjà

Les jeunes étoiles sont entourées de disques protoplanétaires, qui disparaissent en quelques millions d’années ; un grain de poussière éclairé à la distance $r$ d’une étoile de luminosité $L$ s’établit à $T = \bigl(L/(16\pi\sigma r^2)\bigr)^{1/4}$ (Chapitre 1). Les astéroïdes sont les petits corps rocheux ou métalliques du système solaire, dont la plupart orbitent entre Mars et Jupiter (volume de première année). Un noyau radioactif se désintègre, avec la probabilité $\lambda$ par unité de temps : $N = N_0 e^{-\lambda t}$ ; la demi-vie vaut $\ln 2/\lambda$, et la durée de vie moyenne $\tau = 1/\lambda$ (les volumes de physique). Dans un système fermé, des échantillons cogénétiques de rapports parent-fils différents se placent sur une droite, l’isochrone, dont la pente donne l’âge et dont l’ordonnée à l’origine donne le rapport initial (volume de première année). Élever la température d’une masse $m$ de capacité thermique massique $c$ de $\Delta T$ demande l’énergie $mc\,\Delta T$ (les volumes de physique).

2.1 La nébuleuse solaire

Définition 2.1 (Nébuleuse solaire)

La nébuleuse solaire est le disque protoplanétaire de gaz et de poussière qui entourait le jeune Soleil et d’où sont issus les planètes, leurs satellites, les astéroïdes et les comètes.

Quelle masse contenait-elle ? Une limite inférieure vient des planètes elles-mêmes. Ajoutons à chacune assez d’hydrogène et d’hélium pour lui donner la composition du Soleil, répartissons le résultat sur un anneau centré sur son orbite ; la densité surfacique, c’est-à-dire la masse par unité de surface du disque, décroît avec la distance au Soleil. Cette reconstruction est la nébuleuse solaire de masse minimale. Dans une version très utilisée, la densité surfacique du gaz vaut

et celle des solides $\Sigma_p = 33\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}\,Z_{\mathrm{rel}}\, (r/1\,\mathrm{au})^{-3/2}$, où $Z_{\mathrm{rel}}$ est la fraction de la matière condensable réellement solide : $0.33$ là où seuls la roche et le métal ont condensé, environ $0.78$ là où la glace d’eau s’y est jointe, $1$ au-delà de l’endroit où le méthane gèle. Les nombres sont incertains : la teneur en éléments lourds de Jupiter n’est connue qu’à un facteur quatre près, et les planètes ne se sont pas nécessairement formées là où elles orbitent aujourd’hui.

Proposition 2.2 (Masse d’un disque)

Un disque de densité surfacique $\Sigma(r) = \Sigma_1 (r/r_1)^{-3/2}$ contient, à l’intérieur du rayon $R$, la masse

$$M(R) = 4\pi\Sigma_1 r_1^2 \left(\frac{R}{r_1}\right)^{1/2}.$$

La plus grande part de la masse se trouve loin à l’extérieur : doubler le rayon augmente la masse de $41\,\%$.

Avec $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ à $r_1 = 1\,\mathrm{au}$, la nébuleuse solaire de masse minimale contient $0.03$ masse solaire à l’intérieur de $100\,\mathrm{au}$ (Exercice 2.5). Les disques observés autour d’étoiles âgées d’un million d’années, pesés grâce à l’éclat millimétrique de leurs poussières, contiennent $0.001\text{ à }0.1$ masse solaire : la nébuleuse de masse minimale s’y situe confortablement.

Presque toute cette masse est du gaz qui ne se condensera jamais. Le Soleil est né avec une fraction massique d’hydrogène $X_0 = 0.711$, d’hélium $Y_0 = 0.274$ et de tous les éléments plus lourds ensemble de seulement $Z_0 = 0.0149$. Refroidir un gaz de cette composition jusqu’à ce que tout ce qui peut geler soit gelé ne transforme que $1.5\,\%$ de sa masse en solides : $0.49\,\%$ de roche et de métal, et $1.0\,\%$ de glaces d’eau, de méthane et d’ammoniac, la glace d’eau seule représentant $0.57\,\%$. Toutes les planètes rocheuses, et les noyaux des géantes, ont été construits à partir de cette faible fraction.

La température du disque décide de ce qui est solide où. Un disque chauffé seulement par son étoile, un disque passif, est chaud à sa surface, où les grains voient l’étoile directement (la proposition du Chapitre 1), et bien plus froid dans son plan médian, qui ne reçoit que l’infrarouge réémis par ces grains de surface. Pour une jeune étoile d’une masse solaire, un modèle d’un tel disque donne la température du plan médian

L’accrétion de gaz à travers le disque, qui libère de l’énergie gravitationnelle, rend le plan médian plus chaud, surtout au début et près de l’étoile (figure ci-dessous).

2.2 La séquence de condensation

Imaginons le gaz de la nébuleuse, près du jeune Soleil, assez chaud pour que chaque élément soit à l’état de vapeur, et laissons-le refroidir assez lentement pour que gaz et solides restent en équilibre chimique. À mesure que la température baisse, chaque élément quitte le gaz pour un solide à son tour, soit sous forme d’un composé propre, soit dissous dans un solide déjà formé.

Définition 2.3 (Température de condensation, séquence de condensation)

La température de condensation d’un élément dans un gaz refroidissant, de composition et de pression données, est la température à laquelle la moitié de cet élément est passée dans les solides à l’équilibre chimique (la température de condensation à 50 % ; la température à laquelle apparaît son premier solide est la température d’apparition). La séquence de condensation est l’ordre dans lequel les éléments et leurs composés solides apparaissent au fur et à mesure du refroidissement du gaz.

Les calculs pour un gaz de composition solaire sont faits à une pression totale de $10^{-4}$ bar, typique de la nébuleuse près de $1\,\mathrm{au}$. Les premiers solides sont des oxydes d’aluminium et de calcium (tableau ci-dessous), qui se forment vers $1700\,\mathrm{K}$ ; l’essentiel de la matière formant la roche, le silicate de magnésium et le fer métallique, se condense vers $1350\,\mathrm{K}$ ; le sulfure de fer attend $704\,\mathrm{K}$, et la glace d’eau $182\,\mathrm{K}$.

solide	formule	apparaît à (K)
corindon	$\ce{Al2O3}$	1677
hibonite	$\ce{CaAl12O19}$	1659
pérovskite	$\ce{CaTiO3}$	1593
spinelle	$\ce{MgAl2O4}$	1397
métal fer–nickel	$\ce{Fe}$, avec $\ce{Ni}$, $\ce{Co}$, $\ce{Cr}$	1357
forstérite	$\ce{Mg2SiO4}$	1354
schreibersite	$\ce{Fe3P}$	1248
troïlite	$\ce{FeS}$	704
magnétite	$\ce{Fe3O4}$	371
glace d’eau	$\ce{H2O}$	182
hydrate d’ammoniac	$\ce{NH3.H2O}$	131
clathrate de méthane	$\ce{CH4.7H2O}$	78

Les températures de condensation à 50 % répartissent les éléments en groupes de volatilité (figure ci-dessous). Les éléments qui se condensent au-dessus du magnésium, du silicium et du fer sont réfractaires ; ceux qui se condensent en dessous sont volatils. Lodders subdivise chaque côté : les éléments ultraréfractaires, au-dessus de $1650\,\mathrm{K}$, comprennent l’aluminium, le zirconium, les terres rares lourdes et les métaux osmium, rhénium et tungstène ; les éléments très réfractaires ($1500\text{ à }1650\,\mathrm{K}$) comprennent le calcium et le titane ; les éléments réfractaires ($1360\text{ à }1500\,\mathrm{K}$) comprennent le strontium, le baryum, le vanadium et le platine ; les éléments courants magnésium, silicium et fer se condensent entre $1290$ et $1360\,\mathrm{K}$, avec le nickel, le cobalt et le chrome ; les éléments modérément volatils, parmi lesquels le sodium, le potassium, le phosphore, le cuivre, le zinc et le plomb, se condensent entre $1290\,\mathrm{K}$ et l’apparition de la troïlite à $704\,\mathrm{K}$ ; les éléments volatils, parmi lesquels le soufre, le cadmium et le thallium, entre $704$ et $371\,\mathrm{K}$ ; et les éléments très volatils, le carbone, l’azote, l’oxygène sous forme de glace, les gaz nobles et le mercure, en dessous.

La séquence explique un schéma qui traverse tout le système solaire. Les plus anciens solides des météorites sont faits des premiers condensats ; la Terre et les autres planètes rocheuses sont pauvres en éléments volatils ; les régions lointaines du disque, assez froides pour conserver des glaces, ont produit des corps glacés. La limite la plus importante est celle de l’eau, car la glace d’eau est le solide le plus abondant de tous : en masse, la glace d’eau pèse $1.17$ fois plus que la roche et le métal réunis dans un gaz de composition solaire.

Définition 2.4 (Ligne des glaces)

La ligne des glaces d’un disque protoplanétaire est la distance à l’étoile au-delà de laquelle le plan médian est assez froid pour que la glace d’eau soit stable, soit environ $180\,\mathrm{K}$ aux pressions du disque.

Proposition 2.5 (Ligne des glaces d’un disque passif)

Si la température du plan médian décroît comme $T = T_1 (r/r_1)^{-3/7}$, la ligne des glaces de l’eau, qui se condense à $T_w$, se trouve à

$$r_s = r_1 \left(\frac{T_1}{T_w}\right)^{7/3},$$

et, au-delà, la densité surfacique des solides saute d’un facteur $1 + m_w/m_r$, où $m_w$ et $m_r$ sont les masses de glace d’eau et de roche dans le gaz.

Pour le disque passif ci-dessus, $T_1 = 120\,\mathrm{K}$ et $T_w = 182\,\mathrm{K}$ donnent $r_s = 0.38\,\mathrm{au}$ ; le méthane, à $41\,\mathrm{K}$, gèle au-delà de $12\,\mathrm{au}$ (Exercice 2.6). Avec $0.57\,\%$ de glace d’eau et $0.49\,\%$ de roche, les solides sautent d’un facteur $1 + 0.571/0.489 = 2.2$. Le modèle place la ligne des glaces bien à l’intérieur de l’orbite de la Terre, ce qui montre seulement qu’un jeune disque n’était pas passif : chauffé par l’accrétion, son plan médian intérieur était plus chaud, et la ligne des glaces se trouvait plus loin, se rapprochant du Soleil à mesure que le disque s’amincissait. Au-delà, les planètes disposaient de plus de deux fois autant de matière solide pour se construire, et cela, plus que toute autre chose, sépare les petites planètes rocheuses des géantes.

2.3 De la poussière aux planètes

Entre les grains du milieu interstellaire, de l’ordre du micromètre, et les planètes de milliers de kilomètres de diamètre, s’étend un écart d’environ treize ordres de grandeur de taille. La croissance se décrit en trois étapes. En dessous d’un centimètre environ, les grains qui se heurtent doucement collent, retenus par des liaisons chimiques et des forces de van der Waals, et forment des agrégats poreux. Bien au-delà d’un kilomètre, les corps tiennent par leur propre gravité, et les fragments d’une collision retombent sur le corps le plus gros. Entre les deux se trouve l’étape la plus difficile : les corps de quelques centimètres à quelques mètres sont trop gros pour coller et trop petits pour s’attirer mutuellement, et le gaz les entraîne vers l’intérieur. Dans les simulations numériques, des solides de $10\text{ à }100\,\mathrm{cm}$ se rassemblent en essaims denses qui s’effondrent directement sous leur propre poids en corps de quelques kilomètres, en franchissant les tailles gênantes ; la manière dont le système solaire a franchi cette étape reste discutée.

Définition 2.6 (Planétésimal, embryon planétaire)

Un planétésimal est un corps solide d’un disque protoplanétaire assez grand, d’environ un kilomètre à quelques centaines de kilomètres de diamètre, pour que sa croissance soit gouvernée par la gravité plutôt que par l’agglomération. Un embryon planétaire est un corps qui a grandi, en accrétant des planétésimaux, jusqu’à dominer sa propre région du disque et à la balayer de tout planétésimal.

Une fois la gravité dominante, la croissance s’emballe : un corps un peu plus gros que ses voisins attire les planétésimaux depuis plus loin, grandit plus vite qu’eux et prend de l’avance. Sa croissance ne ralentit que lorsqu’il a balayé les solides à sa portée. Chaque embryon règne alors sur son propre anneau du disque, et plusieurs embryons se partagent la région des planètes rocheuses.

Proposition 2.7 (Masse d’isolement)

Un embryon de masse $M$ à la distance $r$ d’une étoile de masse $M_*$ attire les solides d’un anneau dont la demi-largeur est de quelques fois son rayon de Hill $R_H = r\,(M/3M_*)^{1/3}$. S’il rassemble tous les solides d’un anneau de largeur totale $bR_H$ et de densité surfacique $\Sigma_p$, sa croissance s’arrête à la masse d’isolement

$$M_{\mathrm{iso}} = \frac{(2\pi b\, r^2 \Sigma_p)^{3/2}}{(3M_*)^{1/2}} .$$

Les modèles prennent $b \approx 5$. Dans la nébuleuse de masse minimale, la masse d’isolement vaut environ $0.05$ masse terrestre à $1\,\mathrm{au}$, entre les masses de la Lune ($0.012$) et de Mars ($0.11$) : les embryons du système solaire intérieur étaient des corps de cette taille, et la Terre en a eu besoin de beaucoup. Au-delà de la ligne des glaces, à $5.2\,\mathrm{au}$, les solides riches en glace donnent environ $0.8$ masse terrestre, et un disque dont les solides ont $3.5$ fois la masse minimale en donne environ cinq (Exercice 2.7) : assez, selon les modèles de la croissance de Jupiter, pour qu’un noyau attire son enveloppe de gaz en trois millions d’années. Les planètes géantes ont dû se former avant que le gaz du disque ne disparaisse, en quelques millions d’années ; Uranus et Neptune sont à $80\text{ à }90\,\%$ de roche et de glace en masse : elles ont peu capté de gaz.

La dernière étape des planètes rocheuses fut violente. Une fois le gaz disparu, les orbites des embryons se sont croisées, et ils ont fusionné lors de collisions géantes ; la Lune serait née des débris de l’un d’eux, qui a heurté la jeune Terre. La figure ci-dessous résume la séquence.

Les planètes n’ont guère conservé la mémoire de cette histoire : elles ont fondu, se sont mélangées et ont remanié leur matière. Les archives se trouvent dans les corps qui ont cessé de croître, les astéroïdes, et dans les morceaux de ceux-ci qui atteignent la Terre.

2.4 Météorites

Définition 2.8 (Météorite, chute de météorite, trouvaille de météorite)

Une météorite est un objet solide naturel venu de l’espace, qui a survécu à sa traversée de l’atmosphère et atteint le sol. Une chute de météorite est une météorite recueillie après que son arrivée a été observée, en général sous forme de bolide ; une trouvaille de météorite est une météorite reconnue au sol sans que sa chute ait été vue.

La Terre balaie bien plus de poussière que de pierres. Mesurée dans la neige du plateau antarctique, environ $5200\,\mathrm{t}$ de poussière extraterrestre atteignent le sol chaque année sous forme de micrométéorites et de sphérules fondues, sur quelque $15\,000\,\mathrm{t}$ qui entrent dans l’atmosphère, cette poussière provenant surtout des comètes et pour environ un cinquième des astéroïdes. Les météorites, c’est-à-dire les pierres et les fers assez gros pour être reconnus un à un, sont moins nombreuses : le catalogue mondial en recense environ $45\,000$, dont seules $1107$ sont des chutes.

La distinction compte. Une chute est recueillie en quelques jours, avant que la pluie et l’oxygène ne l’aient altérée, et toutes les sortes de météorites qui tombent sont recueillies de la même façon ; une trouvaille peut être restée au sol pendant des milliers d’années, et sa chance d’être trouvée dépend de son aspect et de l’endroit où elle est tombée. La moitié de toutes les trouvailles ont été faites en Antarctique (encadré ci-dessous), où la recherche est systématique. Les chutes constituent l’échantillon le plus équitable de ce qui arrive (figure ci-dessous) : plus de quatre sur cinq sont des chondrites, et trois sur quatre des chondrites ordinaires.

Sur le terrain — Recherche de météorites sur la glace bleue

La plus grande partie de la calotte glaciaire antarctique est une neige blanche, mais sur environ $1\,\%$ de sa surface, là où des montagnes bloquent l’écoulement de la glace, environ $5\,\mathrm{cm}$ de glace disparaissent chaque année et de la glace bleue nue apparaît. Les météorites tombées sur la neige en amont, au cours de dizaines de milliers d’années, sont enfouies, entraînées dans la glace et ramenées à la surface là où elle fond : la glace bleue est un piège. Depuis le début de la collecte systématique, au milieu des années 1970, les équipes ont récupéré plus de $30\,000$ spécimens dans de tels champs, et dans le catalogue la moitié de toutes les trouvailles proviennent du sud de $60{}^{\circ}$ S. Les chercheurs traversent la glace en lignes, à pied ou en motoneige, et chaque pierre trouvée est recueillie, quelle que soit son apparence banale, de sorte que la collection ne penche pas vers les pièces spectaculaires. Chaque trouvaille est photographiée à l’endroit où elle gît, pour enregistrer son contexte, et reçoit un numéro de terrain ; plus tard elle reçoit son nom officiel, un code de trois lettres pour le champ de glace suivi de l’année de la campagne et d’un numéro de série. Au laboratoire de conservation, les pierres sont prélevées par éclats à l’aide d’outils en acier inoxydable, ou découpées à sec à la scie à ruban ; les chondrites carbonées, qui peuvent renfermer des composés organiques, ont leur propre armoire depuis 1978.

2.4.1 Chondrites

Définition 2.9 (Chondrite, chondrite carbonée, chondre, CAI)

Une chondrite est une météorite pierreuse qui n’a jamais fondu après son assemblage, et dont la composition, à l’exception des éléments les plus volatils, est proche de celle du Soleil. Elle est en grande partie faite de chondres, de petites gouttelettes arrondies, d’un dixième de millimètre à environ un centimètre de diamètre, de roche silicatée solidifiée à partir d’un liquide, prises dans une matrice à grain fin avec des grains de métal fer–nickel et de sulfure de fer. Certaines chondrites renferment des inclusions riches en calcium et aluminium (CAI), grains blancs irréguliers de minéraux de calcium, d’aluminium et de titane, qui sont les premiers condensats de la nébuleuse. Une chondrite carbonée est une chondrite riche en carbone, en minéraux hydratés et en matrice, dont la teneur en éléments volatils est la plus proche de celle du Soleil.

Les chondres ont été fondus pendant quelques minutes seulement et refroidis en quelques heures à quelques jours : un bref chauffage local et instantané dans la nébuleuse, dont la cause reste inconnue, a fondu des amas de poussière, qui se sont figés en gouttelettes avant d’être réunis, avec la poussière et le métal, en un planétésimal. Ils constituent jusqu’à $90\,\%$ du volume des météorites les plus primitives. Les CAI représentent de moins de $1\,\%$ des chondrites ordinaires à plus de $10\,\%$ de certaines chondrites carbonées, et ils se sont formés à une centaine de milliers d’années près les uns des autres.

Les chondrites se répartissent en groupes qui diffèrent par la taille et l’abondance de leurs chondres, leur teneur en métal, la teneur en fer de leur olivine et la proportion de leur matrice (tableau ci-dessous). Les chondrites ordinaires H, L et LL ont des teneurs en métal et en fer total élevée, faible et très faible (rapports atomiques Fe/Si de $0.80$, $0.59$ et $0.53$).

	H	L	LL	CI	CM	CV
chondres (vol. %)	60–80	60–80	60–80	$\ll 1$	20	45
diamètre moyen des chondres (mm)	0.3	0.7	0.9	—	0.3	1.0
CAI (vol. %)	0.1–1	0.1–1	0.1–1	$\ll 1$	5	10
matrice (vol. %)	10–15	10–15	10–15	$> 99$	70	40
métal fer–nickel (vol. %)	10	5	2	0	0.1	0–5
fayalite dans l’olivine (mol %)	16–20	23–26	27–32
types pétrologiques	3–6	3–6	3–6	1	2	3
température maximale (K)	1220	1220	1220	430	670	870

Définition 2.10 (Type pétrologique)

Le type pétrologique d’une chondrite est un nombre de 1 à 6 qui enregistre ce qui lui est arrivé dans son corps parent : le type 3 est le moins altéré ; les types 4 à 6 sont de plus en plus chauffés, leurs chondres estompés et leurs minéraux recristallisés, de composition uniforme ; les types 2 et 1 sont de plus en plus altérés par l’eau liquide, qui a transformé leurs minéraux en argiles.

La dernière ligne du tableau donne les températures les plus élevées atteintes par chaque groupe : jusqu’à environ $1220\,\mathrm{K}$ pour les chondrites ordinaires les plus chauffées, jamais plus de $430\,\mathrm{K}$ pour les chondrites CI, imprégnées d’eau mais jamais chaudes. La chaleur, comme le montre la dernière section, provenait de l’intérieur des corps parents.

2.4.2 Achondrites et fers

Définition 2.11 (Achondrite, météorite de fer, météorite mixte)

Une achondrite est une météorite pierreuse qui a cristallisé à partir d’un liquide, ou recristallisé à haute température dans un corps qui a fondu, et qui ne contient donc pas de chondres. Une météorite de fer est faite surtout d’alliage métallique fer–nickel. Une météorite mixte est faite de métal et de silicate en quantités à peu près égales.

Ce sont les morceaux de corps qui ont fondu et se sont séparés : les achondrites sont leurs croûtes et leurs manteaux, les fers leurs noyaux métalliques, et les mixtes proviennent de la zone où métal et silicate se sont rencontrés. La plus grande famille d’achondrites, celle des howardites, eucrites et diogénites (HED), basaltes et roches riches en pyroxène, représente $5.5\,\%$ de toutes les chutes. Son origine a été rattachée, par son spectre et son orbite, à l’astéroïde Vesta, d’environ $525\,\mathrm{km}$ de diamètre, et la sonde Dawn, qui a atteint Vesta en 2011, l’a confirmé : la chimie et la minéralogie de la surface de Vesta correspondent aux météorites HED, un bassin de $500\,\mathrm{km}$ de large près de son pôle Sud montre d’où les fragments ont été arrachés, et son champ de gravité indique un noyau de fer d’environ $225\,\mathrm{km}$ de diamètre. Vesta a fondu, en partie ou en totalité, tôt dans son histoire. D’autres achondrites viennent de la Lune et de Mars. Les météorites des collections semblent provenir d’une centaine de corps parents différents.

Les météorites de fer gardent la trace du refroidissement de leurs noyaux. Une face sciée puis attaquée à l’acide montre un entrecroisement de plaquettes (figure ci-dessous) : à haute température, le métal est un alliage unique de fer et de nickel ; au refroidissement lent, un alliage pauvre en nickel croît en plaquettes le long des plans du cristal d’origine, et plus le refroidissement est lent, plus les plaquettes sont larges. Mesurée sur de nombreux fers, la largeur des plaquettes donne les vitesses de refroidissement des noyaux dont ils proviennent.

2.5 Dater le système solaire

L’âge du système solaire est celui de ses plus vieux solides. Les isochrones uranium–plomb des CAI, construits comme dans le volume de première année, donnent $4567\text{ à }4568\,\mathrm{Ma}$ ; les CAI se sont formés à $0.1\,\mathrm{Ma}$ près les uns des autres, un intervalle assez court pour que leur âge soit pris pour la naissance du Soleil. Les événements des quelques millions d’années suivantes, la formation des chondres et l’assemblage puis la fusion des premiers corps, se datent au mieux par rapport aux CAI, à l’aide d’horloges qui ont tourné vite et se sont arrêtées tôt.

Définition 2.12 (Radionucléide de courte période)

Un radionucléide de courte période est un nucléide radioactif dont la demi-vie est d’environ $0.1$ à $100\,\mathrm{Ma}$, présent lorsque le système solaire s’est formé et aujourd’hui éteint, et dont la présence passée se révèle par un excès de son nucléide fils dans des minéraux riches en son élément.

Le plus connu est l’aluminium 26, qui se désintègre en magnésium 26 avec une demi-vie de $0.717\,\mathrm{Ma}$ (une durée de vie moyenne de $1.035\,\mathrm{Ma}$). Lorsque les CAI se sont formés, un atome d’aluminium sur environ $19\,000$ était de l’aluminium 26 : le rapport $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ valait $(5.23 \pm 0.13)\times10^{-5}$, la valeur canonique. Les autres nucléides de courte période couvrent des durées plus longues (tableau ci-dessous).

nucléide	fils	référence	demi-vie (Ma)	rapport initial
$\ce{^{26}Al}$	$\ce{^{26}Mg}$	$\ce{^{27}Al}$	0.717	$5.23\times10^{-5}$
$\ce{^{60}Fe}$	$\ce{^{60}Ni}$	$\ce{^{56}Fe}$	2.62	$1.0\times10^{-8}$
$\ce{^{53}Mn}$	$\ce{^{53}Cr}$	$\ce{^{55}Mn}$	3.74	$7\times10^{-6}$
$\ce{^{107}Pd}$	$\ce{^{107}Ag}$	$\ce{^{108}Pd}$	6.5	$6.6\times10^{-5}$
$\ce{^{182}Hf}$	$\ce{^{182}W}$	$\ce{^{180}Hf}$	8.90	$1.02\times10^{-4}$
$\ce{^{129}I}$	$\ce{^{129}Xe}$	$\ce{^{127}I}$	15.7	$1.28\times10^{-4}$

Proposition 2.13 (Âge relatif à partir d’un nucléide éteint)

Si le rapport d’un nucléide de courte période à son isotope de référence valait $R_0$ partout lorsque les CAI se sont formés, et s’il est trouvé égal à $R$ dans un objet au moment de sa formation, l’objet s’est formé

$$\Delta t = \tau \ln\frac{R_0}{R}$$

après les CAI, où $\tau$ est la durée de vie moyenne du nucléide. Une erreur $\delta R$ sur $R$ donne l’erreur $\tau\,\delta R/R$ sur $\Delta t$.

Une erreur relative de $10\,\%$ sur le rapport coûte ainsi $0.1\,\mathrm{Ma}$ avec l’aluminium 26, mais $0.54\,\mathrm{Ma}$ avec le manganèse 53 et $1.3\,\mathrm{Ma}$ avec l’hafnium 182 : chaque horloge n’est précise que sur quelques-unes de ses propres durées de vie moyennes, et la bonne horloge dépend de l’événement. Le rapport $R$ dans un objet se lit sur ses minéraux.

Proposition 2.14 (Isochrone aluminium–magnésium)

Soient plusieurs minéraux d’un même objet qui se forment ensemble à l’instant $\Delta t$ avec la même composition isotopique du magnésium, $(\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg})_0$, mais des rapports $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$ différents, et qui restent fermés depuis. Aujourd’hui ils se placent sur la droite

$$\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}} = \left(\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}}\right)_0 + R\,\frac{\ce{^{27}Al}}{\ce{^{24}Mg}},$$

dont la pente est le rapport $R = \ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ de l’objet au moment de sa formation.

Les minéraux riches en aluminium et pauvres en magnésium, comme le plagioclase, montrent de forts excès de magnésium 26 ; l’olivine, presque dépourvue d’aluminium, n’en montre aucun. C’est ainsi qu’a été construite la chronologie du système solaire primitif : d’abord les CAI, puis les chondres pendant les quelques millions d’années suivantes, les indices fournis par les chondres fixant la durée de vie du disque de gaz à moins de cinq millions d’années ; les corps parents des chondrites se sont assemblés après leurs chondres les plus jeunes. Les diogénites, roches du manteau de Vesta, ont commencé à cristalliser dans le million d’années environ qui a suivi les CAI, et le noyau de Vesta s’est formé entre le premier et le quatrième million d’années : les météorites de fer et les achondrites sont plus vieilles que beaucoup de chondrites.

2.6 La chaleur de l’aluminium 26 et les premières fusions

D’où venait la chaleur qui a fondu Vesta et métamorphisé les chondrites ordinaires ? Modèles et météorites s’accordent sur le fait que, dans les corps les plus anciens, la source dominante était la désintégration de l’aluminium 26. Dans une roche de composition chondritique, elle portait au départ $5\,\mathrm{MJ}$ par kilogramme, disponibles pour être libérés en quelques millions d’années : assez pour chauffer la roche de plusieurs milliers de kelvins, si la chaleur ne pouvait pas s’échapper.

Proposition 2.15 (Chauffage d’un planétésimal par l’aluminium 26)

Une roche qui reçoit la puissance radioactive $H_0 e^{-t/\tau}$ par kilogramme, de capacité thermique massique $c$, et qui ne perd pas de chaleur, s’échauffe après son accrétion, à l’instant $t_a$, selon

$$T(t) = T_0 + \frac{H_0\tau}{c}\left(e^{-t_a/\tau} - e^{-t/\tau}\right),$$

et tend vers la température maximale $T_{\max} = T_0 + (H_0\tau/c)\,e^{-t_a/\tau}$. Une température critique $T_c > T_0$ n’est atteinte que si le corps s’est accrété avant

$$t_a^* = \tau\ln\frac{H_0\tau}{c\,(T_c - T_0)}.$$

Un modèle du corps parent des chondrites ordinaires utilise $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et $T_0 = 250\,\mathrm{K}$. Alors $H_0\tau/c$ vaut environ $7400\,\mathrm{K}$. Trois températures comptent : vers $750\,\mathrm{K}$, la roche poreuse commence à se compacter par frittage ; vers $1200\,\mathrm{K}$, le métal et le sulfure de fer commencent à fondre ensemble ; vers $1700\,\mathrm{K}$, les derniers silicates fondent. Un corps accrété avant $1.7\,\mathrm{Ma}$ a entièrement fondu ; avant $2.1\,\mathrm{Ma}$, son métal et son sulfure ont fondu et ont pu descendre former un noyau ; jusqu’à environ $2.8\,\mathrm{Ma}$, il a au moins été fritté et métamorphisé ; les corps plus tardifs sont restés froids (figure ci-dessous).

La proposition ignore les pertes de chaleur, qui ne valent que loin sous la surface d’un grand corps. La chaleur diffuse sur la distance $\sqrt{\kappa t}$ pendant le temps $t$, où $\kappa$ est la diffusivité thermique de la roche : avec les valeurs du modèle, environ $5\,\mathrm{km}$ pendant une durée de vie moyenne de l’aluminium 26 (Exercice 2.12). Les corps bien plus petits que cela perdent leur chaleur aussi vite qu’ils la produisent ; des modèles détaillés montrent que les corps de plus de $10\text{ à }20\,\mathrm{km}$ de diamètre pourraient fondre.

Définition 2.16 (Différenciation planétaire)

La différenciation planétaire est la séparation d’un corps, une fois fondu ou partiellement fondu, en couches de composition et de densité différentes : un noyau métallique, un manteau silicaté et une croûte formée des derniers liquides de fusion.

Les météorites conservent ainsi la trace de deux sortes de corps primitifs. Ceux qui se sont formés dans les deux premiers millions d’années environ avaient assez d’aluminium 26 pour fondre et se différencier : leurs noyaux sont les météorites de fer, leurs croûtes et leurs manteaux les achondrites, et Vesta est le survivant. Ceux qui se sont formés plus tard sont restés des chondrites, chauffées de l’intérieur à un degré fixé par leur date de naissance et par la profondeur de chaque fragment : les plus profonds sont devenus de type 6, et les moins profonds sont restés de type 3. La Terre elle-même, construite à partir d’embryons et de planétésimaux des deux sortes et frappée par des impacts géants, s’est différenciée en noyau, manteau et croûte.

2.7 Exercices

Exercice 2.1 ★

Dans la nébuleuse solaire de masse minimale, calculer la densité surfacique du gaz à $1\,\mathrm{au}$ et à $5.2\,\mathrm{au}$, et celle des solides à $1\,\mathrm{au}$ (roche seule, $Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$) et à $5.2\,\mathrm{au}$ (toutes les glaces condensées, $Z_{\mathrm{rel}} = 1$). Combien de fois le gaz est-il plus lourd que les solides à $5.2\,\mathrm{au}$ ?

Solution

Solution de Exercice 2.1.

Gaz : $2200\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ à $1\,\mathrm{au}$ ; à $5.2\,\mathrm{au}$, $2200\times5.2^{-3/2} = 2200/11.86 = 186\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$. Solides : $33\times0.33 = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ à $1\,\mathrm{au}$ ; $33/11.86 = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ à $5.2\,\mathrm{au}$. À $5.2\,\mathrm{au}$, le gaz est $186/2.78 = 67$ fois plus lourd que les solides.

Exercice 2.2 ★

En utilisant la figure des températures de condensation, classer l’aluminium, le sodium, le magnésium, le fer, le soufre et l’oxygène (sous forme de glace d’eau), du premier au dernier à se condenser, et donner le groupe de volatilité de chacun. Lesquels vous attendriez-vous à trouver enrichis dans les CAI, et lesquels appauvris sur la Terre par rapport au Soleil ?

Solution

Solution de Exercice 2.2.

Aluminium ($1653\,\mathrm{K}$, ultraréfractaire), magnésium ($1336\,\mathrm{K}$, courant), fer ($1334\,\mathrm{K}$, courant), sodium ($958\,\mathrm{K}$, modérément volatil), soufre ($664\,\mathrm{K}$, volatil), oxygène sous forme de glace d’eau ($180\,\mathrm{K}$, très volatil). Les CAI, premiers condensats, sont enrichis en aluminium (et en calcium et titane) ; la Terre est appauvrie en éléments volatils, sodium, soufre et eau, par rapport au magnésium et à l’aluminium.

Exercice 2.3 ★

Le catalogue recense $1107$ chutes, dont 856 chondrites ordinaires et 49 fers, et $44\,534$ trouvailles, dont $38\,647$ chondrites ordinaires, $1020$ fers et $22\,096$ venant du sud de $60{}^{\circ}$ S. Calculer la part des chondrites ordinaires et celle des fers parmi les chutes et parmi les trouvailles, ainsi que la part des trouvailles antarctiques. Quel échantillon utiliseriez-vous pour estimer les proportions dans lesquelles les classes arrivent sur la Terre, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 2.3.

Chutes : chondrites ordinaires $856/1107 = 77.3\,\%$, fers $49/1107 = 4.4\,\%$. Trouvailles : $38647/44534 = 86.8\,\%$ et $1020/44534 = 2.3\,\%$. Trouvailles antarctiques : $22096/44534 = 49.6\,\%$. Les chutes : toute chute observée est recueillie quelle que soit sa classe, alors qu’une trouvaille dépend de la façon dont la météorite survit au sol, de son aspect et de l’endroit où l’on cherche, et la moitié des trouvailles proviennent d’un seul type de lieu.

Exercice 2.4 ★

Les minéraux d’un objet donnent le rapport initial $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al} = 1.0 \times 10^{-5}$. Combien de temps après les CAI cet objet s’est-il formé ? Prendre $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$ et une durée de vie moyenne de $1.035\,\mathrm{Ma}$.

Solution

Solution de Exercice 2.4.

$\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{-5}) = 1.035\ln 5.23 = 1.035\times1.654 = 1.71\,\mathrm{Ma}$ après les CAI.

Exercice 2.5 ★★

En utilisant la Proposition 2.2 avec $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ à $1\,\mathrm{au}$ ($1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$), calculer la masse de la nébuleuse de masse minimale à l’intérieur de $30\,\mathrm{au}$ et de $100\,\mathrm{au}$, en masses solaires. Comparer avec les disques observés, $0.001\text{ à }0.1$ masse solaire.

Solution

Solution de Exercice 2.5.

$4\pi\Sigma_1 r_1^2 = 4\pi\times2.2 \times 10^{4}\times(1.496 \times 10^{11})^2 = 6.19 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$. À l’intérieur de $30\,\mathrm{au}$ : $\times\sqrt{30} = 5.48$, soit $3.39 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.017$ masse solaire ; à l’intérieur de $100\,\mathrm{au}$ : $\times10$, $6.19 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.031$ masse solaire. Les deux valeurs se situent dans l’intervalle observé, plutôt vers sa borne supérieure : la nébuleuse était un disque ordinaire.

Exercice 2.6 ★★

Dans le disque passif $T = 120\,\mathrm{K}\,(r/1\,\mathrm{au})^{-3/7}$, déterminer où la glace d’eau ($182\,\mathrm{K}$) et la glace de méthane ($41\,\mathrm{K}$) deviennent stables. Un grain en plein soleil atteint $182\,\mathrm{K}$ à $2.3\,\mathrm{au}$. Pourquoi les deux estimations de la ligne des glaces diffèrent-elles, et laquelle s’applique aux corps qui ont construit les planètes ?

Solution

Solution de Exercice 2.6.

$r = (120/T)^{7/3}$ au : pour l’eau, $(120/182)^{7/3} = 0.659^{7/3} = 0.38\,\mathrm{au}$ ; pour le méthane, $(120/41)^{7/3} = 2.93^{7/3} = 12.3\,\mathrm{au}$. Le grain en plein soleil est la couche superficielle du disque ; le plan médian, à l’abri des poussières qui le surmontent, est plus froid, si bien que la glace subsiste plus près de l’étoile. Les planétésimaux se sont formés dans le plan médian, de sorte que l’estimation du plan médian s’applique, à condition que le disque soit passif ; le chauffage par accrétion repousse la ligne des glaces vers l’extérieur.

Exercice 2.7 ★★

Calculer la masse d’isolement, avec $b = 5$, d’un embryon à $1\,\mathrm{au}$ dans la nébuleuse de masse minimale ($\Sigma_p = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), et à $5.2\,\mathrm{au}$ au-delà de la ligne des glaces ($\Sigma_p = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), en masses terrestres ($M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$). Que devient-elle à $5.2\,\mathrm{au}$ dans un disque contenant $3.5$ fois plus de solides ?

Solution

Solution de Exercice 2.7.

À $1\,\mathrm{au}$ : $r^2 = 2.238 \times 10^{22}$, $\Sigma_p = 109\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, donc $2\pi b r^2\Sigma_p = 31.42\times2.238 \times 10^{22}\times109 = 7.66 \times 10^{25}$ ; $(7.66 \times 10^{25})^{3/2} = 6.71 \times 10^{38}$, divisé par $(3\times1.989 \times 10^{30})^{1/2} = 2.443 \times 10^{15}$ : $2.75 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ $= 0.046$ masse terrestre. À $5.2\,\mathrm{au}$ : $r^2 = 6.05 \times 10^{23}$, $\Sigma_p = 27.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, $2\pi b r^2\Sigma_p = 5.29 \times 10^{26}$, $M = 1.22 \times 10^{40}/2.443 \times 10^{15} = 4.98 \times 10^{24}\,\mathrm{kg} = 0.83$ masse terrestre. Avec $3.5$ fois plus de solides, $M$ croît comme $3.5^{3/2} = 6.55$ : 5.5 masses terrestres.

Exercice 2.8 ★★

Une roche de composition CI contenait $1.01 \times 10^{16}$ atomes d’aluminium 26 par gramme lorsque les CAI se sont formés, et chaque désintégration libère $5.00 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ de chaleur. Calculer la chaleur libérée par kilogramme au cours de toute la désintégration, et l’élévation de température qu’elle donnerait avec $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et sans pertes. Combien de fois est-elle supérieure à la chaleur nécessaire pour chauffer la roche de $250$ à $1700\,\mathrm{K}$ ?

Solution

Solution de Exercice 2.8.

Par kilogramme, $1.01 \times 10^{19}$ atomes, donc $1.01 \times 10^{19}\times5.00 \times 10^{-13} = 5.05 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. L’élévation de température serait $5.05 \times 10^{6}/837 = 6030\,\mathrm{K}$. Chauffer de $250$ à $1700\,\mathrm{K}$ demande $837\times1450 = 1.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$ : l’aluminium 26 en fournit environ quatre fois plus.

Exercice 2.9 ★★

Sur toute sa désintégration, l’aluminium 26 libère $5.07 \times 10^{10}\,\mathrm{erg}$ par gramme de roche CI, et le fer 60 $7.49 \times 10^{7}\,\mathrm{erg}$ par gramme. Calculer le rapport des deux énergies. La demi-vie du fer 60 vaut $2.62\,\mathrm{Ma}$ : calculer sa durée de vie moyenne, puis le rapport des deux puissances initiales de chauffage, énergie divisée par durée de vie moyenne.

Solution

Solution de Exercice 2.9.

$5.07 \times 10^{10}/7.49 \times 10^{7} = 677$. La durée de vie moyenne du fer 60 vaut $2.62/\ln2 = 3.78\,\mathrm{Ma}$. Puissances initiales par gramme : $5.07 \times 10^{10}/1.035 = 4.90 \times 10^{10}$ et $7.49 \times 10^{7}/3.78 = 1.98 \times 10^{7}$ erg par gramme et par million d’années, soit un rapport d’environ $2470$ : l’aluminium 26 domine de loin.

Exercice 2.10 ★★★

À partir des résultats de l’Exercice 2.9, trouver le temps au-delà duquel le fer 60 chauffe la roche plus vite que l’aluminium 26. Le fer 60 aurait-il pu fondre un corps accrété aussi tard ? (Comparer l’énergie qui reste alors à libérer avec les $1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$ nécessaires pour chauffer la roche de $250$ à $1700\,\mathrm{K}$.)

Solution

Solution de Exercice 2.10.

Les puissances sont égales lorsque $4.90 \times 10^{10}\,e^{-t/1.035} = 1.98 \times 10^{7}\,e^{-t/3.78}$, soit $t(1/1.035 - 1/3.78) = \ln(4.90 \times 10^{10}/1.98 \times 10^{7}) = \ln 2475 = 7.81$ ; avec $0.966 - 0.265 = 0.702$ par million d’années, $t = 11.1\,\mathrm{Ma}$. D’ici là, il reste au fer 60 $7.49 \times 10^{7}\,e^{-11.1/3.78} = 7.49 \times 10^{7}\times0.053 = 4.0 \times 10^{6}\,\mathrm{erg}\,\mathrm{g}^{-1}$, soit $400\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$ : des milliers de fois trop peu pour fondre quoi que ce soit.

Exercice 2.11 ★★★

Avec $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Ma}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et $T_0 = 250\,\mathrm{K}$ (une année de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$), calculer les temps d’accrétion les plus tardifs pour lesquels le centre d’un grand corps atteint $1200\,\mathrm{K}$ et $1700\,\mathrm{K}$. Certaines mesures suggèrent que l’aluminium 26 initial n’était que la moitié de la valeur canonique dans certaines parties du disque : de combien ces deux temps se décaleraient-ils ? Montrer que le décalage ne dépend pas de la température critique.

Solution

Solution de Exercice 2.11.

$\tau = 1.035\times3.156 \times 10^{13} = 3.267 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$ et $H_0\tau = 6.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Pour $1200\,\mathrm{K}$ : $t_a^* = 1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 1.035\ln7.81 = 2.13\,\mathrm{Ma}$ ; pour $1700\,\mathrm{K}$ : $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times1450)\bigr) = 1.035\ln5.12 = 1.69\,\mathrm{Ma}$. Diviser $H_0$ par deux retranche $\tau\ln2 = 0.72\,\mathrm{Ma}$ aux deux, puisque $t_a^* = \tau\ln H_0 + \tau\ln(\tau/c(T_c - T_0))$, et seul le premier terme change : le décalage vaut une demi-vie, quelle que soit la température critique.

Exercice 2.12 ★★★

Une roche de conductivité $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, de masse volumique $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et de capacité thermique massique $837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ a pour diffusivité thermique $\kappa = k/(\rho c)$. Calculer cette grandeur, ainsi que la distance $\sqrt{\kappa\tau}$ sur laquelle la chaleur diffuse pendant une durée de vie moyenne de l’aluminium 26. Expliquer pourquoi la proposition sur le chauffage s’applique au centre d’un corps de $100\,\mathrm{km}$ de diamètre mais pas à un corps de $2\,\mathrm{km}$ de diamètre, et comparer avec les plus petits corps susceptibles de fondre, de $10\text{ à }20\,\mathrm{km}$ de diamètre.

Solution

Solution de Exercice 2.12.

$\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $\sqrt{\kappa\tau} = \sqrt{7.60 \times 10^{-7}\times3.267 \times 10^{13}} = 4980\,\mathrm{m}$, soit environ $5\,\mathrm{km}$. Le centre d’un corps de $100\,\mathrm{km}$ de diamètre est à $50\,\mathrm{km}$ de profondeur, soit dix fois cette distance : sa chaleur ne peut pas s’échapper pendant que l’aluminium 26 se désintègre, et la proposition s’applique. Un corps de $2\,\mathrm{km}$ de diamètre perd sa chaleur aussi vite qu’il la produit. La fusion exige un rayon de quelques fois $5\,\mathrm{km}$, soit un diamètre d’environ $10\text{ à }20\,\mathrm{km}$ ou plus, comme le trouvent les modèles.

2.8 Problème : la pierre tombée sur le lac gelé

Problème 2.1

Problème de fin de semaine — classer une pierre fraîchement tombée, dater ses chondres grâce à l’aluminium 26 et trouver la température maximale atteinte par son corps parent

Par une nuit d’hiver, un bolide traverse le ciel au-dessus d’un lac fictif du nord, et un grondement se fait entendre. Le lendemain matin, une pierre à croûte noire de $2.4\,\mathrm{kg}$ est ramassée sur la glace, au milieu d’un cratère frais dans la neige. La pierre sciée montre des chondres formant $75\,\%$ de son volume, d’environ $0.3\,\mathrm{mm}$ de diamètre en moyenne, aux bords estompés ; le métal forme $9\,\%$ de son volume, et son olivine contient 18 % de fayalite. Un laboratoire analyse un chondre (tableau ci-dessous). Utiliser les tableaux du chapitre, $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Ma}$, une année de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_0 = 250\,\mathrm{K}$, une conductivité de $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, une masse volumique de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ et $M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

minéral	$\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$	$\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$
olivine	0.05	$0.139\,500$
verre	3.00	$0.139\,518$
plagioclase	15.0	$0.139\,590$

Partie I — La pierre.

1. La pierre est-elle une chute ou une trouvaille ? Pourquoi cela la rend-elle précieuse ?
2. Parmi les $1107$ chutes du catalogue, 856 sont des chondrites ordinaires. Quelle est la probabilité qu’une chute, tirée au hasard, en soit une ?
3. À l’aide du tableau des groupes de chondrites, indiquer à quel groupe appartient la pierre.
4. Ses chondres ont des bords estompés et ses minéraux une composition uniforme. Quels types pétrologiques cela suggère-t-il, et quelle est la température maximale atteinte par son groupe, en kelvins et en degrés Celsius ?
5. Pourquoi s’attendre à y trouver peu de CAI, et pourquoi la pierre est-elle néanmoins plus jeune que n’importe quel CAI ?

Partie II — Quand le chondre s’est-il formé ?

6. Expliquer pourquoi le rapport $\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$ croît avec $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$ d’un minéral à l’autre.
7. À partir de l’olivine et du plagioclase, calculer la pente de l’isochrone. Que mesure-t-elle ?
8. Vérifier que le verre se place sur la même droite.
9. Combien de temps après les CAI le chondre s’est-il formé ?
10. En prenant pour âge des CAI $4567.5\,\mathrm{Ma}$, donner l’âge du chondre.
11. Quel aurait été le rapport $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ dans un minéral formé $10\,\mathrm{Ma}$ après les CAI ? Quel nucléide du tableau daterait mieux un tel événement ?

Partie III — Chauffage du corps parent. Le corps parent de la pierre, de $20\,\mathrm{km}$ de rayon, s’est assemblé $2.4\,\mathrm{Ma}$ après les CAI, peu après ses chondres.

12. Calculer la diffusivité thermique de la roche et le temps $R^2/\kappa$ pour que la chaleur s’échappe du centre, en millions d’années. Le centre peut-il être traité comme ne perdant aucune chaleur ?
13. Calculer la puissance de chauffage de l’aluminium 26 par kilogramme de roche au moment de l’assemblage.
14. Calculer la chaleur encore à libérer par kilogramme après l’assemblage.
15. Calculer l’élévation de température et la température maximale au centre.
16. Comparer aux trois températures critiques du chapitre. Le centre a-t-il fondu ? Cela est-il cohérent avec la question 4 ?
17. Quel est le plus tardif des temps d’assemblage pour lequel le métal et le sulfure du centre auraient commencé à fondre ?
18. Au bout de combien de temps après l’assemblage $90\,\%$ de l’élévation de température sont-ils atteints ? Donner la date après les CAI.

Partie IV — Les voisins.

19. Une achondrite provient d’un corps qui s’est assemblé $0.8\,\mathrm{Ma}$ après les CAI. Calculer la température maximale que donnerait la proposition, et dire ce qui s’est réellement passé pour ce corps.
20. Combien de fois plus d’aluminium 26 par kilogramme ce corps avait-il à son assemblage que le corps parent de la pierre ?
21. La pierre est plus pauvre que le Soleil en zinc et en plomb, mais pas en magnésium ni en aluminium. Utiliser les températures de condensation pour expliquer pourquoi.
22. Dans la nébuleuse de masse minimale, calculer la densité surfacique de roche ($Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$) à $2.5\,\mathrm{au}$, là où le corps parent a orbité.
23. Calculer la masse d’isolement à $2.5\,\mathrm{au}$, avec $b = 5$, en kilogrammes et en masses terrestres, et la comparer à la masse du corps parent.
24. Donner la température maximale au centre du corps parent, le nombre clé de ce problème, en degrés Celsius.

Solution

Solution de Problème 2.1.

1. Une chute : son arrivée a été vue, et elle a été ramassée le lendemain matin. Elle n’est pas altérée, et elle s’ajoute à l’échantillon non biaisé de ce qui atteint la Terre.

2. $856/1107 = 0.77$ : environ trois chances sur quatre.

3. Chondres de $0.3\,\mathrm{mm}$ de diamètre, $9\,\%$ de métal et olivine à $18\,\%$ de fayalite : une chondrite H ($10\,\%$ de métal, Fa 16–20).

4. Des chondres estompés et des minéraux de composition uniforme signalent un métamorphisme thermique : types 5 à 6. Les chondrites ordinaires ont atteint au plus environ $1220\,\mathrm{K}$, soit $947{}^{\circ}\mathrm{C}$.

5. Les chondrites ordinaires ne contiennent que $0.1\text{ à }1\,\%$ de CAI en volume. La pierre est faite de chondres et de matrice assemblés après les CAI, qui sont les solides les plus anciens : toute roche qui les contient est plus jeune.

6. Chaque minéral a reçu à sa formation le même magnésium, plus de l’aluminium 26 en proportion de son aluminium ; l’aluminium 26 s’est depuis transformé en magnésium 26, si bien que plus un minéral avait d’aluminium par magnésium, plus il a gagné de magnésium 26.

7. $(0.139590 - 0.139500)/(15.0 - 0.05) = 0.000\,090/14.95 = 6.02 \times 10^{-6}$ : le rapport $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ du chondre lorsqu’il s’est formé.

8. $0.139500 + 6.02 \times 10^{-6}\times3.00 = 0.139518$ : sur la droite.

9. $\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/6.02 \times 10^{-6}) = 1.035\ln8.69 = 1.035\times2.162 = 2.24\,\mathrm{Ma}$.

10. $4567.5 - 2.2 = 4565.3\,\mathrm{Ma}$.

11. $5.23 \times 10^{-5}\,e^{-10/1.035} = 5.23 \times 10^{-5}\times6.4 \times 10^{-5} = 3.3 \times 10^{-9}$, bien trop peu de magnésium 26 pour être mesuré. L’hafnium 182 (demi-vie $8.9\,\mathrm{Ma}$) ou le manganèse 53 ($3.7\,\mathrm{Ma}$) conviennent aux événements survenus environ dix millions d’années après les CAI.

12. $\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $R^2/\kappa = 4 \times 10^{8}/7.60 \times 10^{-7} = 5.26 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 16.7\,\mathrm{Ma}$, seize fois la durée de vie moyenne de l’aluminium 26 : le centre conserve sa chaleur.

13. $1.9 \times 10^{-7}\,e^{-2.4/1.035} = 1.9 \times 10^{-7}\times0.0984 = 1.87 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

14. $1.87 \times 10^{-8}\times3.267 \times 10^{13} = 6.11 \times 10^{5}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

15. $\Delta T = 6.11 \times 10^{5}/837 = 730\,\mathrm{K}$ ; maximum $250 + 730 = 980\,\mathrm{K}$.

16. Au-dessus de $750\,\mathrm{K}$, la roche a donc été frittée et métamorphisée ; en dessous de $1200\,\mathrm{K}$, ni le métal ni le sulfure n’ont fondu. La pierre est une chondrite chauffée, d’un type pétrologique élevé, en dessous des $1220\,\mathrm{K}$ de la question 4 : cela est cohérent.

17. $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 2.13\,\mathrm{Ma}$ : environ $0.3\,\mathrm{Ma}$ plus tôt.

18. L’élévation est $\Delta T(1 - e^{-(t - t_a)/\tau})$ ; $90\,\%$ exige $e^{-(t - t_a)/\tau} = 0.1$, $t - t_a = 1.035\ln10 = 2.38\,\mathrm{Ma}$, soit $4.8\,\mathrm{Ma}$ après les CAI.

19. $\Delta T = 7420\,e^{-0.8/1.035} = 7420\times0.462 = 3430\,\mathrm{K}$, maximum $3680\,\mathrm{K}$, bien au-dessus des $1700\,\mathrm{K}$ auxquels les silicates sont fondus. Le corps a fondu (la chaleur de fusion a maintenu sa température plus basse) et s’est différencié en un noyau métallique, un manteau silicaté et une croûte.

20. $e^{(2.4 - 0.8)/1.035} = e^{1.546} = 4.7$ fois plus.

21. Le zinc et le plomb se condensent vers $727\,\mathrm{K}$, éléments modérément volatils ; le magnésium ($1336\,\mathrm{K}$) et l’aluminium ($1653\,\mathrm{K}$) se condensent bien plus tôt. Les solides de la région de la pierre se sont rassemblés avant que le gaz ne soit assez refroidi pour que tout le zinc et le plomb se condensent.

22. $33\times0.33\times2.5^{-3/2} = 10.89/3.95 = 2.76\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $27.6\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

23. $r^2 = (3.74\times10^{11})^2 = 1.40 \times 10^{23}$ ; $2\pi\times5\times1.40 \times 10^{23}\times27.6 = 1.21 \times 10^{26}$ ; $(1.21 \times 10^{26})^{3/2}/2.443 \times 10^{15} = 5.45 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, soit $0.091$ masse terrestre. Le corps parent, $\tfrac43\pi(2 \times 10^{4})^3\times3300 = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$, est cinq millions de fois plus léger : un planétésimal, et non un embryon.

24. Le centre du corps parent a atteint une température maximale d’environ $707{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($980 - 273$) : assez chaud pour recristalliser la chondrite, trop froid pour fondre son métal.