28Aléas géologiques et risque

Un bâtiment conçu pour le mouvement du sol qui est dépassé en moyenne une fois tous les 475 ans a une chance sur dix de le rencontrer pendant une vie de cinquante ans. Les deux énoncés sont le même nombre lu de deux façons, et passer de l’un à l’autre est le travail quotidien de la science de l’aléa. Ce chapitre construit ses outils : la probabilité des événements rares, la courbe d’aléa d’un site, la stabilité d’une pente, la vitesse et la hauteur de remontée d’un tsunami, la fréquence des crues, et la physique qui fixe le délai d’alerte que peut donner chaque aléa.

Tu sais déjà

Des volumes du secondaire : aléa naturel, catastrophe naturelle et glissement de terrain ; vulnérabilité, risque, prévention et carte d’aléas ; tsunami ; la période de retour d’une crue, et la formule de rang $T = (n + 1)/m$ pour une série de $n$ pics annuels. Du volume de première année : la loi de Gutenberg–Richter $\log_{10} N(\geq M) = a - bM$ et sa valeur de b ; le moment sismique et la magnitude de moment ; la pression du fluide interstitiel, la contrainte effective $\sigma' = \sigma - u$ et le critère de rupture de Coulomb $\tau = c' + \sigma' \tan\varphi'$. Du Chapitre 6 : courants de densité pyroclastiques, lahars et retombées de téphra. Des volumes de mathématiques : les lois de Poisson et exponentielle, la loi normale et sa fonction de répartition $\Phi$. Du volume de deuxième année de physique : la relation de dispersion des ondes de surface de gravité, $\omega^2 = gk\tanh(kh)$.

28.1 Aléa, exposition et risque

Définition 28.1 (Aléa géologique, exposition, risque de catastrophe)

Un aléa géologique est un processus ou un phénomène qui prend sa source dans les processus internes de la Terre — un séisme, une éruption, un mouvement de masse tel qu’un glissement de terrain ou une lave torrentielle — et qui peut causer des pertes de vies humaines, des blessures, des dégâts ou des perturbations. Il se caractérise par sa localisation, son intensité ou sa magnitude, et par sa fréquence ou sa probabilité. L’exposition à un aléa est la situation des personnes, des bâtiments, des infrastructures et des autres biens situés là où l’aléa peut atteindre, mesurée par leur nombre ou par leur valeur. Le risque de catastrophe est la perte potentielle de vies, de santé ou de biens qui pourrait survenir sur une période donnée, déterminée de façon probabiliste à partir de l’aléa, de l’exposition et de la vulnérabilité de ce qui est exposé.

La terminologie internationale range à part les tsunamis : déclenchés par des séismes et d’autres événements géologiques, ils deviennent un processus océanique et frappent comme un aléa côtier lié à l’eau. Ce chapitre les traite avec les autres, parce que leur source est géologique.

La définition contient un produit. Si des événements d’intensité $i$ surviennent à un taux annuel $\lambda_i$, si les biens exposés valent $E$, et si un événement d’intensité $i$ détruit une fraction $V_i$ d’entre eux (la vulnérabilité, comprise entre 0 et 1), la perte annuelle attendue est

souvent abrégé en risque = aléa $\times$ exposition $\times$ vulnérabilité. Le risque s’annule dès qu’un facteur s’annule : un volcan violent sur une île déserte, une ville très peuplée sur un craton calme, ou des bâtiments qui résistent aux secousses. La science de l’aléa mesure le premier facteur ; la figure ci-dessous le place parmi les trois.

28.2 La probabilité des événements rares

Définition 28.2 (Période de retour)

Soit des événements d’un type donné — une crue au-dessus d’un débit, un mouvement du sol au-dessus d’un niveau, un séisme au-dessus d’une magnitude — survenant à un taux annuel moyen $\lambda$. Leur période de retour est $T = 1/\lambda$ : l’intervalle moyen entre deux d’entre eux, et l’inverse de leur taux annuel, et non un calendrier.

Définition 28.3 (Probabilité de dépassement)

La probabilité de dépassement d’un niveau pendant un temps d’exposition $t$ est la probabilité que le niveau soit égalé ou dépassé au moins une fois pendant $t$.

Proposition 28.4 (Modèle de récurrence de Poisson)

Supposons que les événements surviennent un à la fois , indépendamment les uns des autres et du temps écoulé, à un taux moyen constant $\lambda = 1/T$. Alors le nombre $N$ d’événements pendant un temps $t$ suit la loi de Poisson de moyenne $\lambda t$ ; la probabilité de dépassement en $t$ vaut

$$P(t) = 1 - e^{-t/T};\tag{28.2}$$

et l’intervalle entre deux événements successifs suit la loi exponentielle de moyenne $T$.

Deux conséquences servent partout. Pour une probabilité $p$ en un temps d’exposition $t$, la période de retour vaut $T = -t/\ln(1 - p)$ : $10\,\%$ en 50 ans donnent $T = 50/0.10536 = 474.6$ ans, le mouvement « 475 ans » des normes de construction, et $2\,\%$ en 50 ans donnent 2475 ans. Et quand $t \ll T$, $P \approx t/T$ : le taux se lit comme une probabilité par an. Sur une période de retour complète, en revanche, la probabilité vaut $1 - e^{-1} = 63\,\%$, et non 1. La figure ci-dessous (à gauche) trace (28.2) pour trois périodes de retour.

Le modèle est-il juste ? Le catalogue mondial des séismes de magnitude au moins 7 compte 696 événements de 1976 à 2025, soit 695 intervalles d’une moyenne de 26.2 jours. S’il s’agissait d’un processus de Poisson, la fraction d’intervalles plus longs que $t$ serait $e^{-t/26.2}$, une droite sur un axe logarithmique. La figure ci-dessous (à droite) montre qu’elle l’est presque : $30.4\,\%$ des intervalles dépassent 30 jours, contre $31.8\,\%$ pour le modèle, et l’écart type des intervalles vaut 1.07 fois leur moyenne, contre exactement 1. Le défaut se trouve aux intervalles courts : 36 paires tombent le même jour, répliques et doublets qu’un processus sans mémoire ne regrouperait pas. Les cartes d’aléa retirent donc les événements dépendants d’un catalogue, opération dite de déclustérisation, pour que les chocs principaux restants puissent être traités comme un processus de Poisson ; leurs taux par magnitude proviennent de la loi de Gutenberg–Richter.

28.3 Aléa sismique

Définition 28.5 (Analyse probabiliste de l’aléa sismique, loi d’atténuation du mouvement du sol, accélération maximale du sol, courbe d’aléa)

L’accélération maximale du sol (PGA) en un site est la plus grande accélération horizontale absolue du sol pendant un séisme, généralement exprimée en fraction de $g$. Une loi d’atténuation du mouvement du sol (GMPE) donne la loi de probabilité d’une mesure de la secousse, telle que la PGA en un site — une médiane et une dispersion — en fonction de la magnitude, de la distance à la source et des conditions du sol. L’analyse probabiliste de l’aléa sismique (PSHA) combine tous les séismes susceptibles d’affecter un site, avec leurs taux et leurs distances, à une loi d’atténuation pour donner le taux annuel auquel chaque niveau de secousse est dépassé. La courbe de ce taux en fonction du niveau est la courbe d’aléa du site.

La PGA est ce que ressent une particule du sol. Un bâtiment répond à la part du mouvement proche de sa propre période naturelle, et les normes cartographient aussi cette réponse, l’accélération spectrale ; la PGA garde le raisonnement simple et est utilisée ici.

Méthode 28.6 (Analyse probabiliste de l’aléa sismique)

1. Sources. Cartographier les failles et les zones sources autour du site, et la distance $d$ de chacune au site.
2. Récurrence. Pour chaque source, prendre le taux annuel de séismes par magnitude à partir d’une loi de Gutenberg–Richter, tronquée à une magnitude maximale $M_{\max}$ : $N(\geq m) = 10^{a - bm} - 10^{a - bM_{\max}}$, à partir d’une magnitude minimale $M_{\min}$. Découper l’intervalle en tranches de taux $\nu_j$ autour des magnitudes $m_j$.
3. Mouvement du sol. À partir de la loi d’atténuation, prendre la médiane $\mu_j = \log_{10}\mathrm{PGA}$ et la dispersion $\sigma$ pour chaque tranche ; la probabilité que la PGA dépasse $a$ est $1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)$.
4. Somme. Le taux annuel de dépassement de $a$ est $\lambda(a) = \sum_j \nu_j \bigl[1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)\bigr]$, sommé sur toutes les sources.
5. Lecture. La PGA ayant une probabilité $p$ d’être dépassée en $t$ ans est le niveau où $\lambda(a) = -\ln(1 - p)/t$ : $2.107 \times 10^{-3}$ par an pour $10\,\%$ en 50 ans.

La GMPE utilisée dans ce chapitre est celle de Boore, Joyner et Fumal, ajustée sur 271 enregistrements de 20 séismes dans l’ouest de l’Amérique du Nord : pour une composante horizontale aléatoire, en unités de $g$,

avec $M$ la magnitude de moment, $d$ la distance en kilomètres à la projection en surface de la rupture, et une dispersion $\sigma = 0.230$ autour de la médiane. Elle est valable pour $5.0 \leq M \leq 7.7$ et $d \leq 100\,\mathrm{km}$. La constante $5.57\,\mathrm{km}$ est une profondeur fictive ajustée par la régression, qui maintient le mouvement fini au-dessus de la source. Un séisme de magnitude 6 à $15\,\mathrm{km}$ donne une médiane de $0.091\,\mathrm{g}$, une magnitude 7.5 $0.200\,\mathrm{g}$ ; un écart type multiplie ou divise la médiane par $10^{0.230} = 1.70$.

Les termes $G_B$ et $G_C$ portent l’effet de site. Les sites sont classés selon la vitesse moyenne des ondes de cisaillement dans leurs $30\,\mathrm{m}$ supérieurs : classe A au-dessus de $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = G_C = 0$), classe B de 360 à $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = 1$) et classe C de 180 à $360\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_C = 1$). Un sol mou multiplie le mouvement du rocher par $10^{0.162} = 1.45$ en classe B et par $10^{0.251} = 1.78$ en classe C : une onde qui entre dans un matériau plus lent ralentit, se raccourcit et grandit en amplitude, et une couche molle ou un bassin rempli de sédiments peut entrer en résonance et la piéger.

La figure ci-dessous applique la méthode à une seule zone source à $15\,\mathrm{km}$ d’un site rocheux, avec $a = 4.0$, $b = 1.0$, $M_{\min} = 5$ et $M_{\max} = 7.5$ : environ 0.1 séisme de magnitude 5 ou plus par an. Aux faibles PGA, la courbe tend vers ce taux, puisque chaque séisme dépasse un niveau faible. La PGA ayant une probabilité de $10\,\%$ d’être dépassée en 50 ans vaut $0.22\,\mathrm{g}$. Si chaque séisme avait produit exactement sa médiane, le même taux serait atteint à $0.13\,\mathrm{g}$, et aucun niveau au-dessus de la médiane du plus fort séisme, $0.20\,\mathrm{g}$, ne pourrait jamais être dépassé. La dispersion domine les niveaux rares : le mouvement de 475 ans provient surtout de séismes modérés qui secouent plus fort que leur médiane.

28.4 Aléa volcanique

Un volcan menace par plusieurs processus à la fois, chacun avec sa propre portée : les retombées de téphra vont très loin sous le vent, les courants de densité pyroclastiques et les lahars suivent les vallées, les coulées de lave avancent lentement (voir le Chapitre 6). Sa carte d’aléa dessine une zone pour chacun, à partir des dépôts des éruptions passées et de modèles d’écoulement et de retombée. Les probabilités se construisent autrement que celles des séismes, car un volcan qui se réveille n’est pas un processus stationnaire. Un arbre d’événements conduit de l’agitation aux issues par des branches, chacune allant d’un événement préalable nécessaire à une issue plus précise : agitation magmatique ou non ; éruption ou non ; explosive ou effusive ; une coulée pyroclastique atteignant ou non une vallée donnée. La probabilité d’une issue est le produit des probabilités conditionnelles le long de sa branche. Avec $M$ une agitation magmatique, $E$ une éruption, $X$ une éruption explosive et $V$ une coulée dans la vallée,

chaque facteur étant estimé à partir du passé du volcan, de volcans comparables ou de modèles, et révisé par le théorème de Bayes à mesure que de nouvelles données de surveillance arrivent (voir l’Exercice 28.8).

28.5 Glissements de terrain

Une pente tient tant que la résistance de son matériau, le long de toute surface sur laquelle elle pourrait glisser, dépasse la contrainte que la gravité y applique. La résistance est le critère de Coulomb du volume de première année, écrit en contrainte effective : l’eau des pores porte une partie de la charge normale et abaisse le frottement.

Définition 28.7 (Coefficient de sécurité, lave torrentielle)

Le coefficient de sécurité $F$ d’une pente le long d’une surface de glissement potentielle est le rapport de la résistance au cisaillement disponible sur la surface à la contrainte de cisaillement requise pour l’équilibre. La pente est stable pour $F > 1$ et rompt quand $F$ tombe à 1. Une lave torrentielle est un écoulement rapide de boue, de sable, de graviers, de blocs et de bois saturés d’eau, qui dévale un chenal comme une masse dense unique, les grains portant une grande part de son poids, et s’étale sur le cône de déjection à l’embouchure du chenal.

Proposition 28.8 (Pente infinie)

Une couche de sol de poids volumique $\gamma$ et d’épaisseur $z$, mesurée verticalement, repose sur une surface de glissement parallèle au sol, inclinée d’un angle $\beta$ ; sa résistance est $c'$ et $\varphi'$, et la pression interstitielle sur la surface vaut $u = r_u \gamma z$. Si la couche est assez longue pour que ses extrémités soient négligées,

$$F = \frac{c' + \gamma z\,(\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'}{\gamma z \sin\beta\cos\beta}.\tag{28.4}$$

Pour une couche sèche et sans cohésion, $F = \tan\varphi'/\tan\beta$ : elle tient jusqu’à $\beta = \varphi'$.

L’équation (28.4) désigne les deux déclencheurs courants. La pluie fait monter la nappe et avec elle $r_u$ ; $F$ décroît linéairement avec $r_u$, de sorte qu’une pente sûre à sec rompt une fois mouillée : sur la figure ci-dessus, la pente à $35{}^{\circ}$ rompt à $r_u = 0.19$, la pente à $25{}^{\circ}$ seulement à 0.46. La secousse ajoute une force horizontale : si on la représente par $kW$, $k$ étant une fraction de $g$, le numérateur perd $\gamma z k \sin\beta\cos\beta\tan\varphi'$ et le dénominateur gagne $\gamma z k\cos^2\beta$ — une analyse pseudo-statique, admise ici, qui remplace une secousse brève par une force permanente. Le terme de cohésion, $c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta)$, décroît quand la couche s’épaissit : la cohésion protège donc davantage les sols minces que les sols profonds.

En décembre 1999, une tempête de trois jours a déversé $911\,\mathrm{mm}$ de pluie à Maiquetia, sur la côte au nord de Caracas. Des milliers de glissements de terrain superficiels se sont déclenchés sur les pentes de la Sierra de Avila, sur des pentes de $30{}^{\circ}$ à plus de $60{}^{\circ}$, $42{}^{\circ}$ en moyenne. Dans les chenaux, ils se sont réunis en laves torrentielles, qui se sont déplacées de 3 à $14\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ grâce à la surélévation de leur surface dans les virages, et ont transporté des blocs longs jusqu’à $11\,\mathrm{m}$. Sur le cône de déjection de Caraballeda, représenté ci-dessous, elles ont laissé jusqu’à $6\,\mathrm{m}$ de débris en blocs, soit environ 1.8 million de mètres cubes. Le nombre de morts est généralement évalué à environ $30\,000$.

28.6 Tsunamis

Un tsunami engendré par le soulèvement brutal du fond marin a une longueur d’onde de quelques dizaines à quelques centaines de kilomètres, bien plus que la profondeur de l’océan. C’est une onde longue, et sa vitesse ne dépend que de la profondeur.

Proposition 28.9 (Ondes longues)

Une onde de gravité de surface dont la longueur d’onde est beaucoup plus grande que la profondeur $h$ de l’eau se propage à $c = \sqrt{gh}$, quelle que soit sa longueur d’onde. Là où elle avance lentement vers une eau moins profonde sans se réfléchir ni déferler, son amplitude $A$ croît comme $h^{-1/4}$.

Sur $4000\,\mathrm{m}$ d’eau, un tsunami se propage à $198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit $713\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; sur $5000\,\mathrm{m}$, $797\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, le « plus de 800 km/h » annoncé par les services d’alerte. Près du rivage, dans $10\,\mathrm{m}$ d’eau, il ralentit à $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; son front est rattrapé par l’eau qui le suit, l’onde se raccourcit et se raidit, et sa hauteur croît.

Définition 28.10 (Hauteur de run-up)

La hauteur de run-up (remontée du tsunami) en un point de la côte est la hauteur, au-dessus du niveau de la mer à cet instant, du point le plus élevé du terrain que l’eau atteint à l’intérieur des terres. La distance horizontale entre le rivage et ce point est la distance d’inondation.

Des équipes de relevé mesurent les run-up à partir des marques laissées par l’eau, des lignes de débris et des dégâts relevés après chaque tsunami. La base mondiale des tsunamis compte $2177$ observations de run-up pour le tsunami de l’océan Indien du 26 décembre 2004, engendré par un séisme de magnitude 9.1 au large de Sumatra, avec une hauteur d’eau maximale de $50.9\,\mathrm{m}$, et $6429$ pour le tsunami du 11 mars 2011 au large de Honshu, également de magnitude 9.1, avec un maximum de $39.3\,\mathrm{m}$. Ces deux tsunamis ont tué $227\,899$ et $18\,423$ personnes. À Banda Aceh, l’eau a atteint le milieu du deuxième étage de la mosquée située en contrebas.

28.7 Crues

Définition 28.11 (Courbe de fréquence des crues)

La courbe de fréquence des crues d’un cours d’eau à une station de jaugeage est la courbe du débit de pointe annuel en fonction de sa période de retour, ou de sa probabilité annuelle de dépassement, construite à partir de la série des pics annuels de la station et prolongée en général par une loi de probabilité ajustée.

La formule de rang des volumes du secondaire place les points de la courbe. Elle a une raison.

Proposition 28.12 (Position de tracé de Weibull)

Soient $n$ pics annuels indépendants tirés d’une même loi continue, et $G(x)$ la probabilité qu’un pic annuel dépasse $x$. Le pic de rang $m$, compté à partir du plus grand, a une probabilité de dépassement moyenne $m/(n + 1)$, de sorte qu’il est placé à $T = (n + 1)/m$.

Le plus grand pic d’un enregistrement de 30 ans est donc placé à 31 ans, et rien dans l’enregistrement ne fixe la crue centennale. Pour l’atteindre, on ajuste les pics par une loi des extrêmes, souvent celle de Gumbel, $\Pr(\text{pic} \leq x) = \exp\bigl(-e^{-(x - u)/\alpha}\bigr)$, dont la crue de $T$ ans est $x_T = u - \alpha\ln\bigl(-\ln(1 - 1/T)\bigr)$ : une droite face à $-\ln(-\ln(1 - 1/T))$, extrapolée au-delà de l’enregistrement, avec un risque qui croît avec la distance.

28.8 Surveillance et alerte précoce

Définition 28.13 (Système d’alerte précoce)

Un système d’alerte précoce est un dispositif intégré de surveillance de l’aléa, de prévision, d’évaluation du risque, de communication et de préparation, qui permet d’agir à temps avant un événement dangereux. Il réunit quatre éléments : la connaissance du risque ; la détection, la surveillance et la prévision de l’aléa ; la diffusion des alertes ; et la préparation à réagir.

La physique fixe le délai que peut donner chaque alerte. On ne peut pas devancer les ondes sismiques, mais les ondes S, les plus dommageables, se propagent à environ $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ dans la croûte supérieure, contre $5.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour les ondes P : une alerte calculée à partir des premières ondes P enregistrées près de l’épicentre atteint une ville avant les ondes S, de $d(1/3.2 - 1/5.8) = 0.14\,\mathrm{s}$ par kilomètre de distance $d$, moins le temps de détection et de calcul. Une ville située à $100\,\mathrm{km}$ gagne au plus $14\,\mathrm{s}$ ; près de la source, une zone aveugle n’en gagne aucun (voir l’Exercice 28.12). Un tsunami traversant $100\,\mathrm{km}$ de mer de $2000\,\mathrm{m}$ de profondeur met 12 minutes ; à travers un océan, il met des heures. En 2011, l’alerte japonaise a été émise environ trois minutes après le séisme, mais sur une magnitude estimée trop basse, car les instruments ont saturé ; elle a été mise à jour avec les données d’une bouée GPS au large environ 28 minutes plus tard. Les enregistreurs de pression en eau profonde, qui convertissent la pression sur le fond marin toutes les 15 secondes en une hauteur de la surface de la mer, signalent désormais par satellite le passage des tsunamis.

Sur le terrain — Suivre une pente qui se déplace

Sur une pente connue pour fluer, les équipes de surveillance installent des instruments qui mesurent les variables de l’équation de la pente infinie. Des piézomètres dans des forages enregistrent la pression interstitielle sur la surface de glissement ; des tubes inclinométriques, lus à intervalles de profondeur, montrent où le sol se courbe et à quelle vitesse ; des stations GNSS et des extensomètres enregistrent le mouvement de la surface ; un pluviomètre enregistre le déclencheur. Les équipes comparent le mouvement à la pluie et à la pression de l’eau, saison après saison, et cherchent l’accélération qui précède la rupture.

Exercices

Données pour les exercices, sauf indication contraire : $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; poids volumique de l’eau $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; la GMPE (28.3) sur rocher ($G_B = G_C = 0$), $\sigma = 0.230$ ; vitesses des ondes P et S dans la croûte supérieure de 5.8 et $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Arrondir à trois chiffres significatifs.

Exercice 28.1 ★

Dans le modèle de Poisson, (a) calculer la probabilité d’au moins une crue centennale en 30 ans ; (b) calculer la probabilité qu’un siècle s’écoule sans crue centennale ; (c) trouver la période de retour du mouvement dont la probabilité de dépassement en 50 ans est de $5\,\%$.

Solution

Solution de Exercice 28.1.

(a) $1 - e^{-30/100} = 0.259$. (b) $e^{-100/100} = e^{-1} = 0.368$ : plus d’un siècle sur trois s’écoule sans une telle crue. (c) $T = -50/\ln 0.95 = 975$ ans.

Exercice 28.2 ★

Deux villes sont exposées à de fortes secousses. Dans la ville A, celles-ci surviennent à un rythme d’une fois en 200 ans et détruiraient $2\,\%$ de ses 5000 bâtiments ; dans la ville B, une fois en 50 ans, détruisant $10\,\%$ de ses 800 bâtiments. (a) Calculer le nombre attendu de bâtiments détruits par an dans chaque ville. (b) Déterminer quelle ville présente le plus grand risque, bien qu’elle ait la plus faible exposition. (c) Identifier lequel des trois facteurs fait la différence.

Solution

Solution de Exercice 28.2.

(a) Ville A : $(1/200) \times 5000 \times 0.02 = 0.5$ bâtiment par an ; ville B : $(1/50) \times 800 \times 0.10 = 1.6$. (b) Ville B, avec 6.25 fois moins de bâtiments exposés. (c) Son aléa est 4 fois plus fréquent et sa vulnérabilité 5 fois plus élevée : ensemble un facteur 20, qui l’emporte sur la moindre exposition.

Exercice 28.3 ★

(a) Calculer la vitesse d’un tsunami au-dessus de profondeurs de 4000, 200 et $10\,\mathrm{m}$. (b) Calculer le temps qu’il met pour traverser $1500\,\mathrm{km}$ d’océan de $4000\,\mathrm{m}$ de profondeur. (c) Trouver à quelle profondeur il se déplacerait à $800\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

Solution

Solution de Exercice 28.3.

(a) $\sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\sqrt{9.81 \times 200} = 44.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\sqrt{9.81 \times 10} = 9.90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $1.5 \times 10^{6}/198.1 = 7570\,\mathrm{s}$, soit $2.10\,\mathrm{h}$. (c) $800/3.6 = 222.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, et $h = c^2/g = 222.2^2/9.81 = 5030\,\mathrm{m}$.

Exercice 28.4 ★

Un sable sec sans cohésion, d’angle de frottement $\varphi' = 33{}^{\circ}$, forme une longue pente. (a) Calculer son coefficient de sécurité à $25{}^{\circ}$. (b) Trouver la pente la plus raide qu’il peut former. (c) La pente se sature d’eau, la nappe affleurant en surface, avec une infiltration parallèle à celle-ci, de sorte que $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$, avec $\gamma = 20\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Montrer que $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$ et le calculer à $25{}^{\circ}$.

Solution

Solution de Exercice 28.4.

(a) $\tan33{}^{\circ}/\tan25{}^{\circ} = 0.6494/0.4663 = 1.39$. (b) $F = 1$ lorsque $\beta = \varphi' = 33{}^{\circ}$. (c) Avec $c' = 0$, $F = (\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'/(\sin\beta\cos\beta)$, et $\cos^2\beta - r_u = \cos^2\beta\,(1 - \gamma_w/\gamma)$, donc $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$ : l’eau réduit de moitié le frottement. $(1 - 9.81/20) \times 1.393 = 0.510 \times 1.393 = 0.710$ : la pente rompt.

Exercice 28.5 ★★

Le catalogue mondial compte 696 séismes de magnitude au moins 7 sur les 50 ans 1976–2025, et l’intervalle moyen entre eux est de 26.2 jours. (a) Calculer leur taux annuel moyen. (b) Dans le modèle de Poisson, calculer la probabilité qu’il s’écoule 30 jours sans en voir un ; comparer avec la fraction observée d’intervalles plus longs que 30 jours, 0.304. (c) Calculer la probabilité d’au moins un séisme en une semaine donnée.

Solution

Solution de Exercice 28.5.

(a) $696/50 = 13.9$ par an. (b) $e^{-30/26.2} = 0.318$, contre 0.304 observé : proche. La valeur observée est un peu plus basse parce que les répliques et les doublets regroupés ajoutent des intervalles courts. (c) $1 - e^{-7/26.2} = 0.234$.

Exercice 28.6 ★★

(a) Calculer la PGA médiane d’un séisme de magnitude 6.5 sur rocher à $d = 0$, 10, 30 et $100\,\mathrm{km}$. (b) Calculer ce qu’elle serait à $10\,\mathrm{km}$ sur un site de classe C. (c) Déterminer entre quelles valeurs se situe la PGA sur rocher à $10\,\mathrm{km}$ avec une probabilité d’environ $68\,\%$.

Solution

Solution de Exercice 28.6.

(a) Le terme de magnitude vaut $-0.105 + 0.229 \times 0.5 = 0.0095$. Pour $d = 0$, 10, 30 et $100\,\mathrm{km}$, $r = 5.57$, 11.45, 30.51 et $100.2\,\mathrm{km}$, $\log_{10}\mathrm{PGA} = -0.571$, $-0.814$, $-1.145$ et $-1.547$, et la PGA médiane vaut 0.269, 0.153, 0.0715 et $0.0284\,\mathrm{g}$. (b) $0.153 \times 10^{0.251} = 0.153 \times 1.78 = 0.272\,\mathrm{g}$. (c) Un écart type de part et d’autre : $0.153/1.70 = 0.0900\,\mathrm{g}$ à $0.153 \times 1.70 = 0.260\,\mathrm{g}$.

Exercice 28.7 ★★

Les pics annuels d’un cours d’eau sur 12 ans étaient, en $\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ : 212, 148, 305, 176, 251, 133, 188, 420, 160, 229, 195, 268. (a) Donner les périodes de retour des quatre plus grands. (b) Estimer la crue décennale en interpolant linéairement en $\ln T$ entre les deux plus grands. (c) Expliquer pourquoi cet enregistrement ne peut rien dire de fiable sur la crue centennale.

Solution

Solution de Exercice 28.7.

(a) Classés : 420 ($T = 13/1 = 13$ ans), 305 (6.5), 268 (4.33), 251 (3.25). (b) $305 + (420 - 305)\ln(10/6.5)/\ln(13/6.5) = 305 + 115 \times 0.621 = 376\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Le plus grand pic est placé à 13 ans ; toute valeur à 100 ans extrapole loin au-delà de l’enregistrement, avec une loi des extrêmes dont le choix et les paramètres sont à peine contraints par les 12 points.

Exercice 28.8 ★★

Pour un volcan agité, l’observatoire estime : agitation magmatique 0.6 ; éruption si magmatique 0.4 ; éruption explosive si éruption 0.5 ; une coulée pyroclastique atteignant une vallée donnée si explosive 0.3. (a) Calculer la probabilité d’une coulée pyroclastique dans la vallée. (b) Calculer la probabilité d’une éruption, et celle d’une éruption sans coulée dans la vallée. (c) De nouvelles données de déformation portent la probabilité d’une éruption, si l’agitation est magmatique, à 0.7. Mettre à jour (a).

Solution

Solution de Exercice 28.8.

(a) $0.6 \times 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.036$. (b) $P(\text{éruption}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$ ; sans coulée dans la vallée, $0.24 - 0.036 = 0.204$. (c) $0.6 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.3 = 0.063$.

Exercice 28.9 ★★

Un sol sec de $c' = 8\,\mathrm{kPa}$, $\varphi' = 30{}^{\circ}$ et $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$ repose sur une pente de $35{}^{\circ}$. (a) Calculer l’épaisseur $z_c$ à laquelle $F = 1$. (b) Calculer $F$ pour une couche de $2\,\mathrm{m}$ d’épaisseur. (c) La même couche devient saturée, la nappe affleurant en surface, avec $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$. Calculer $F$.

Solution

Solution de Exercice 28.9.

Ici $\sin\beta\cos\beta = 0.4698$, $\cos^2\beta = 0.6710$ et $\tan30{}^{\circ}/\tan35{}^{\circ} = 0.8245$. (a) $F = c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta) + 0.8245 = 1$ donne $z_c = 8/(19 \times 0.4698 \times 0.1755) = 5.11\,\mathrm{m}$. (b) $8/(19 \times 2 \times 0.4698) + 0.8245 = 0.448 + 0.825 = 1.27$. (c) $r_u = 9.81 \times 0.6710/19 = 0.3465$ ; $F = [8 + 38 \times (0.6710 - 0.3465) \times 0.5774]/(38 \times 0.4698) = 15.12/17.85 = 0.847$ : la couche saturée rompt.

Exercice 28.10 ★★★

(a) Montrer que le modèle de Poisson est sans mémoire : la probabilité de n’avoir aucun événement dans $[s, s + t]$, sachant qu’il n’y en a aucun dans $[0, s]$, vaut $e^{-t/T}$, quel que soit $s$. (b) Une faille a une période de retour de 475 ans pour ses grands séismes et n’en a pas eu depuis 400 ans. Calculer, dans le modèle, la probabilité d’un tel séisme dans les 50 prochaines années. (c) Le rebond élastique du volume de première année suggère que la probabilité devrait plutôt croître avec le temps écoulé depuis le dernier séisme. Identifier quelle hypothèse du modèle de Poisson il contredit, et expliquer pourquoi les cartes d’aléa conservent le modèle pour les sources surfaciques.

Solution

Solution de Exercice 28.10.

(a) $\Pr(\text{aucun dans } [0, s+t] \mid \text{aucun dans } [0, s]) = e^{-(s+t)/T}/e^{-s/T} = e^{-t/T}$. (b) Les 400 années calmes ne changent rien : $1 - e^{-50/475} = 0.0999$, soit $10\,\%$. (c) Cela contredit l’hypothèse selon laquelle le taux ne dépend pas du temps écoulé : après le rebond, la contrainte doit se reconstituer, si bien que le taux est faible juste après un séisme et croît ensuite. Une zone source regroupe de nombreuses failles à différents stades de leur cycle ; la somme de nombreuses suites indépendantes d’événements se comporte presque comme un processus de Poisson, et le taux est tout ce qu’on connaît de chacune.

Exercice 28.11 ★★★

Un tsunami d’amplitude $0.5\,\mathrm{m}$ et de période 20 minutes traverse un océan de $4000\,\mathrm{m}$ de profondeur. (a) En utilisant l’argument de flux d’énergie de la proposition sur les ondes longues, calculer son amplitude dans $10\,\mathrm{m}$ d’eau. (b) Calculer sa longueur d’onde aux deux profondeurs. (c) Donner deux raisons pour lesquelles la remontée à la côte peut différer fortement de cette estimation.

Solution

Solution de Exercice 28.11.

(a) $A = 0.5 \times (4000/10)^{1/4} = 0.5 \times 4.47 = 2.24\,\mathrm{m}$. (b) $\lambda = cT$ : $198.1 \times 1200 = 238\,\mathrm{km}$ en eau profonde, $9.90 \times 1200 = 11.9\,\mathrm{km}$ dans $10\,\mathrm{m}$ d’eau. (c) L’amplitude n’est plus petite devant la profondeur ($2.2\,\mathrm{m}$ dans $10\,\mathrm{m}$), si bien que l’onde se raidit et peut déferler ; une partie de l’énergie est réfléchie ou concentrée par la forme du fond marin et des baies ; sur terre, la hauteur de run-up dépend de la pente et de la rugosité du terrain.

Exercice 28.12 ★★★

Un système d’alerte précoce sismique émet une alerte 4 secondes après l’arrivée de l’onde P à sa station la plus proche de l’épicentre, à $10\,\mathrm{km}$. Négliger la profondeur de la source. (a) Calculer à quel moment l’alerte est émise après le séisme. (b) Calculer combien de secondes avant l’onde S une ville située à $50\,\mathrm{km}$ de l’épicentre reçoit l’alerte, et une ville à $100\,\mathrm{km}$. (c) Trouver le rayon de la zone aveugle, où l’onde S arrive avant l’alerte.

Solution

Solution de Exercice 28.12.

(a) $10/5.8 + 4 = 1.72 + 4 = 5.72\,\mathrm{s}$. (b) L’onde S atteint $50\,\mathrm{km}$ après $50/3.2 = 15.6\,\mathrm{s}$ : $15.6 - 5.72 = 9.90\,\mathrm{s}$ d’alerte ; à $100\,\mathrm{km}$, $31.3 - 5.72 = 25.5\,\mathrm{s}$. (c) $3.2 \times 5.72 = 18.3\,\mathrm{km}$.

Problème 28.1

Problème du week-end — Une ville entre une faille et une pente

Une ville sur rocher se trouve à $10\,\mathrm{km}$ d’une zone source ; tous ses séismes sont pris à $d = 10\,\mathrm{km}$. Leur récurrence est $\log_{10} N(\geq M) = 4.0 - 1.0\,M$ par an pour $M \geq 5$, tronquée à $M_{\max} = 7.5$. La secousse suit la GMPE (28.3) avec $\sigma = 0.230$. Au-dessus de la ville, une couche de sol de $3\,\mathrm{m}$ d’épaisseur repose sur une pente de $30{}^{\circ}$, avec $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c' = 4\,\mathrm{kPa}$ et $\varphi' = 34{}^{\circ}$ ; l’eau a un poids volumique de $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Arrondir à trois chiffres significatifs.

Partie I — Récurrence.

1. Calculer les taux annuels de séismes de magnitude au moins 5, 6 et 7, en négligeant la troncature.
2. Donner les périodes de retour correspondantes.
3. Avec la troncature, calculer le taux des séismes de magnitude supérieure à 7.5, et celui des séismes compris entre 7 et 7.5.
4. Calculer les taux des classes de magnitude 5–6 et 6–7.
5. Calculer la probabilité d’au moins un séisme de magnitude 6 ou plus en 50 ans.
6. Même calcul pour une magnitude 7 ou plus.

Partie II — Mouvement du sol au niveau de la ville.

7. Calculer $r$, et le terme de distance $-0.778\log_{10} r$.
8. Représenter les trois classes par les magnitudes 5.5, 6.5 et 7.25. Calculer la médiane de $\log_{10}\mathrm{PGA}$ et la médiane de la PGA de chacune.
9. Calculer la PGA dépassée avec une probabilité de $16\,\%$ par une magnitude 6.5.
10. Calculer la probabilité qu’une magnitude 6.5 produise plus de $0.3\,\mathrm{g}$.
11. Calculer la médiane de la PGA du plus grand séisme possible.

Partie III — La courbe d’aléa.

12. Calculer le taux annuel de dépassement de $0.2\,\mathrm{g}$, sommé sur les trois classes.
13. Même calcul pour $0.3\,\mathrm{g}$.
14. Même calcul pour $0.4\,\mathrm{g}$.
15. Calculer le taux annuel correspondant à $10\,\%$ en 50 ans.
16. Déterminer entre lesquels des trois niveaux se situe ce taux.
17. En interpolant linéairement $\ln\lambda$ en fonction de $\ln a$, trouver la PGA ayant une probabilité de dépassement de $10\,\%$ en 50 ans.
18. Déterminer quelles classes contribuent le plus au taux à $0.3\,\mathrm{g}$, et commenter, à l’aide de la réponse à la question 11.

Partie IV — La pente au-dessus de la ville.

19. Calculer le coefficient de sécurité de la pente sèche.
20. Le trouver lorsque la couche est saturée, la nappe affleurant en surface ($r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$).
21. Calculer jusqu’à quelle fraction de l’épaisseur de la couche la nappe peut monter avant la rupture de la pente.
22. Dans une analyse pseudo-statique (admise), la secousse ajoute une force horizontale $kW$. Calculer le $k$ critique de la pente sèche, pour lequel $F = 1$.
23. En prenant $k$ égal à la PGA en unités de $g$, déterminer quelle magnitude produit la valeur critique comme médiane au niveau de la ville. Comparer avec la réponse à la question 17.
24. En résumé, calculer l’accélération maximale du sol ayant une probabilité de $10\,\%$ d’être dépassée en 50 ans au niveau de la ville.

Solution

Solution de Problème 28.1.

Les logarithmes sont gardés à quatre décimales dans les étapes intermédiaires. 1. $10^{4-5} = 0.1$, $10^{4-6} = 0.01$ et $10^{4-7} = 0.001$ par an. 2. 10, 100 et 1000 ans. 3. $10^{4-7.5} = 3.16 \times 10^{-4}$ par an ; $0.001 - 3.16 \times 10^{-4} = 6.84 \times 10^{-4}$ par an. 4. $0.1 - 0.01 = 0.09$ et $0.01 - 0.001 = 0.009$ par an. 5. $1 - e^{-0.01 \times 50} = 0.393$. 6. $1 - e^{-0.001 \times 50} = 0.0488$. 7. $r = \sqrt{10^2 + 5.57^2} = 11.45\,\mathrm{km}$ ; $\log_{10} r = 1.0588$ et $-0.778 \times 1.0588 = -0.8237$. 8. $\mu = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$ : $-1.0432$, $-0.8142$ et $-0.6424$ ; médianes 0.0905, 0.153 et $0.228\,\mathrm{g}$. 9. $10^{-0.8142 + 0.230} = 0.260\,\mathrm{g}$. 10. $z = (\log_{10} 0.3 + 0.8142)/0.230 = (-0.5229 + 0.8142)/0.230 = 1.266$, et $1 - \Phi(1.266) = 0.103$. 11. $-0.105 + 0.229 \times 1.5 - 0.8237 = -0.5852$ : $0.260\,\mathrm{g}$. 12. Les probabilités de dépasser $0.2\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.2 = -0.6990$) valent 0.0672 ($z = 1.497$), 0.308 ($z = 0.501$) et 0.597 ($z = -0.246$) : $\lambda = 0.09 \times 0.0672 + 0.009 \times 0.308 + 6.84 \times 10^{-4} \times 0.597 = 6.05 \times 10^{-3} + 2.77 \times 10^{-3} + 4.08 \times 10^{-4} = 9.23 \times 10^{-3}$ par an. 13. Pour $0.3\,\mathrm{g}$ : $z = 2.262$, 1.266 et 0.520, probabilités 0.0118, 0.103 et 0.302 ; $\lambda = 1.07 \times 10^{-3} + 9.24 \times 10^{-4} + 2.06 \times 10^{-4} = 2.20 \times 10^{-3}$ par an. 14. Pour $0.4\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.4 = -0.3979$) : $z = 2.805$, 1.810 et 1.063, probabilités 0.00251, 0.0352 et 0.144 ; $\lambda = 2.26 \times 10^{-4} + 3.17 \times 10^{-4} + 9.84 \times 10^{-5} = 6.41 \times 10^{-4}$ par an. 15. $-\ln 0.9/50 = 2.107 \times 10^{-3}$ par an, soit une période de retour de 475 ans. 16. Entre $0.3\,\mathrm{g}$ ($2.20 \times 10^{-3}$) et $0.4\,\mathrm{g}$ ($6.41 \times 10^{-4}$). 17. La pente vaut $\ln(6.41/22.0)/\ln(4/3) = -1.233/0.2877 = -4.29$, et $a = 0.3 \times (2.107/2.20)^{-1/4.29} = 0.3 \times 1.0101 = 0.303\,\mathrm{g}$. 18. À $0.3\,\mathrm{g}$, la classe 5–6 fournit $48.5\,\%$ du taux, la classe 6–7 $42.1\,\%$, et 7–7.5 seulement $9.4\,\%$. Même le plus fort séisme a une médiane de $0.260\,\mathrm{g}$, inférieure à $0.3\,\mathrm{g}$ : ce niveau n’est atteint que dans la queue haute de la dispersion, et les séismes modérés fréquents en fournissent l’essentiel. 19. $4/(19 \times 3 \times 0.4330) + \tan34{}^{\circ}/\tan30{}^{\circ} = 0.162 + 1.168 = 1.33$. 20. $r_u = 9.81 \times 0.75/19 = 0.387$ ; $F = [4 + 57 \times (0.75 - 0.387) \times 0.6745]/(57 \times 0.4330) = 17.95/24.68 = 0.727$ : la pente saturée rompt. 21. Avec la nappe à une fraction $m$ de l’épaisseur, $r_u = 0.387\,m$. $F = 1$ lorsque $0.75 - 0.387\,m = (24.68 - 4)/(57 \times 0.6745) = 0.538$ : $m = 0.548$, soit une nappe à $55\,\%$ de la couche. 22. En divisant $F = 1$ par $\gamma z$ : $0.0702 + (0.75 - 0.4330\,k) \times 0.6745 = 0.4330 + 0.75\,k$, d’où $k_c = (0.0702 + 0.5059 - 0.4330)/(0.2921 + 0.75) = 0.1431/1.042 = 0.137$. 23. $\log_{10} 0.137 = -0.8633 = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$ donne $M = 6.29$. De tels séismes surviennent à $10^{4 - 6.29} - 10^{-3.5} = 4.81 \times 10^{-3}$ par an, soit environ une fois en 208 ans, et la PGA de 475 ans de la question 17 est plus de deux fois le $0.137\,\mathrm{g}$ critique : selon cette analyse, la pente sèche rompt à une secousse bien inférieure au mouvement de 475 ans. 24. La PGA ayant une probabilité de $10\,\%$ d’être dépassée en 50 ans au niveau de la ville vaut $0.303\,\mathrm{g}$.