1Medium Antarbintang dan Pembentukan Bintang

Di rasi Taurus, sekitar $140\,\mathrm{pc}$ dari Matahari, sebuah bercak gelap menutupi bintang-bintang di belakangnya. Jika diamati dengan teleskop radio yang disetel pada garis-garis karbon monoksida, bercak itu ternyata awan gas dingin yang massanya sekitar dua puluh ribu kali massa Matahari, penuh dengan filamen; di dalam simpul-simpulnya yang paling padat, bintang-bintang muda sedang lahir, dan di sekitar salah satunya, HL Tauri, sebuah cakram debu memperlihatkan pola cincin terang dan gelap tempat planet-planet mungkin sudah mulai terbentuk. Matahari, Bumi, dan setiap atom dalam batuan buku ini dahulu berada di dalam awan semacam itu. Bab ini mengikuti materi sebuah sistem planet dari gas tipis di antara bintang-bintang hingga cakram di sekitar bintang yang baru lahir: dari apa medium antarbintang tersusun, mengapa awan yang ditopang oleh panasnya sendiri akhirnya runtuh, berapa lama keruntuhan itu berlangsung, bagaimana sebuah bintang menghimpun massanya, dan mengapa materi yang gagal jatuh ke dalamnya berakhir sebagai cakram.

Yang sudah kamu ketahui

Bintang di deret utama bersinar dengan memfusikan hidrogen menjadi helium di intinya dan menopang dirinya dengan tekanannya melawan beratnya sendiri; kedudukannya pada diagram Hertzsprung–Russell ditentukan oleh massanya (fisika, Sarjana Tahun ke-3). Benda pada orbit tertutup di sekitar massa $M$ mematuhi hukum ketiga Kepler, $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ (fisika, Sarjana Tahun ke-1). Benda hitam bersuhu $T$ memancarkan $\sigma T^4$ per satuan luas (fisika, Sarjana Tahun ke-2). Dalam gas ideal yang terdiri atas $N$ partikel, energi kinetik translasi rata-ratanya adalah $\tfrac32 N k_{\mathrm B} T$. Parsek, $3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, adalah satuan jarak volume Tahun 1.

1.1 Materi di antara bintang-bintang

Ruang di antara bintang-bintang tidaklah kosong. Di dekat Matahari, ruang itu rata-rata berisi sekitar satu atom hidrogen per sentimeter kubik, yaitu massa jenis $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; udara yang kita hirup berisi sekitar $10^{19}$ kali lebih banyak molekul dalam volume yang sama (Latihan 1.1). Tersebar di seluruh Galaksi, materi tipis ini tetap mencapai $10\text{ sampai }15\,\%$ massa cakram Galaksi.

Definisi 1.1 (Medium antarbintang, debu antarbintang)

Yang disebut medium antarbintang adalah gas dan debu yang mengisi ruang di antara bintang-bintang sebuah galaksi. Yang disebut debu antarbintang adalah bagiannya yang berupa butiran padat, berukuran dari beberapa nanometer hingga sekitar satu mikrometer, yang tersusun atas silikat, senyawa karbon, dan, di daerah yang dingin, es.

Komposisinya sama dengan yang diukur pada Matahari dan pada meteorit: menurut massa, $70.4\,\%$ hidrogen, $28.1\,\%$ helium, dan $1.5\,\%$ unsur yang lebih berat. Hanya $0.5\text{ sampai }1\,\%$ massanya berupa debu, tetapi debu itu menyimpan sebagian besar beberapa unsur: gasnya lebih miskin magnesium, silikon, dan besi daripada Matahari dengan faktor 10 hingga 100, karena atom-atom itu terkunci di dalam butiran, sedangkan karbon, nitrogen, dan oksigen hanya berkurang dengan faktor 1.2 hingga 3. Butiran-butiran itu adalah zat padat pertama sebuah sistem planet yang kelak terbentuk; Bab 2 mengikuti perjalanannya.

1.1.1 Lima fase

Gas itu jauh dari seragam. Ia hadir dalam beberapa keadaan yang berbeda, atau fase, masing-masing dengan rentang suhu dan kerapatannya sendiri (tabel di bawah). Sekitar separuh massanya berada di awan-awan yang hanya mengisi $1\text{ sampai }2\,\%$ volume; sisanya, yang hangat atau panas, mengisi ruang di antara awan-awan itu.

fase	suhu (K)	kerapatan $n$ ($\mathrm{cm}^{-3}$)
molekul	10–20	$10^2$–$10^6$
atom dingin	50–100	20–50
atom hangat	6000–10 000	0.2–0.5
terionisasi hangat	sekitar 8000	0.2–0.5
terionisasi panas	sekitar $10^6$	sekitar 0.0065

Tabel itu menyembunyikan suatu keteraturan. Tekanan gas ideal adalah $P = n k_{\mathrm B} T$, sehingga hasil kali $nT$ mengukurnya. Untuk gas atom dingin, $nT$ sekitar $30\times75 \approx 2000$ (dalam $\mathrm{K}\,\mathrm{cm}^{-3}$), untuk gas atom hangat sekitar $0.3\times8000 \approx 2400$, untuk gas panas sekitar $0.0065\times10^6 = 6500$: dalam batas faktor beberapa kali, ketiga fase yang berbagi ruang di antara awan-awan itu bertekanan sama (gambar di bawah). Di tempat gas panas dan gas dingin bersentuhan pada tekanan yang sama, tidak ada yang mendorong yang lain menjauh; gas yang mendingin pada tekanan tetap menjadi lebih rapat sebanding dengan pendinginannya dan turun dari fase hangat ke fase dingin. Awan molekul mencapai tekanan yang jauh lebih tinggi, hingga ribuan kali lipat di bagian-bagiannya yang padat: awan itu disatukan oleh gravitasinya sendiri, bukan oleh tekanan lingkungannya.

Debu menampakkan dirinya dengan tiga cara. Debu meredupkan cahaya bintang di belakangnya, dan meredupkan cahaya biru lebih kuat daripada cahaya merah, sehingga bintang yang terlihat melaluinya tampak lebih merah daripada sebenarnya. Debu bersinar dalam inframerah jauh dan pada panjang gelombang milimeter, pada suhu beberapa puluh kelvin yang dicapainya karena dihangatkan cahaya bintang. Dan debu menyembunyikan apa pun yang ada di dalam awan padat dari teleskop optik; itulah sebabnya pembentukan bintang diamati pada panjang gelombang radio dan inframerah. Gas dilacak melalui garis-garisnya: hidrogen atom melalui garis radionya pada $21\,\mathrm{cm}$, hidrogen molekul, yang hampir tidak memancar ketika dingin, melalui garis-garis molekul yang menyertainya, terutama karbon monoksida.

1.2 Awan molekul

Fase yang paling dingin dan paling padat adalah tempat bintang terbentuk.

Definisi 1.2 (Awan molekul, inti padat)

Yang disebut awan molekul adalah daerah medium antarbintang yang cukup padat dan buram sehingga hidrogennya sebagian besar berupa molekul, $\ce{H2}$, yang terlindung oleh debu dari cahaya ultraungu bintang-bintang yang akan memecahnya; suhunya sekitar $10\,\mathrm{K}$ hingga $20\,\mathrm{K}$. Yang disebut inti padat adalah kondensasi yang kompak di dalam awan molekul, berdiameter beberapa persepuluh parsek atau kurang, dengan kerapatan $10^4$ hingga $10^5$ partikel per sentimeter kubik, yang darinya terbentuk satu bintang atau sekelompok kecil bintang.

Awan-awan tersusun dalam suatu hierarki (tabel di bawah). Awan gelap seperti Taurus berisi gumpalan, dan gumpalan berisi inti, setiap tingkat lebih padat, lebih kecil, dan lebih tenang daripada tingkat di atasnya: di dalam inti, gas bergerak paling cepat beberapa persepuluh kilometer per sekon, yaitu laju bunyi dalam gas bersuhu $10\,\mathrm{K}$. Daerah Taurus yang dipetakan dalam karbon monoksida berisi gas sekitar $2.4 \times 10^{4}$ massa Matahari; hanya $0.3\text{ sampai }1.2\,\%$ darinya yang telah menjadi bintang-bintang muda yang terlihat di sana, dengan laju sekitar delapan bintang setiap seratus ribu tahun selama tiga juta tahun terakhir. Pembentukan bintang berlangsung lambat dan boros.

	awan gelap	gumpalan	inti padat
massa (massa Matahari)	$10^3$–$10^4$	50–500	0.5–5
ukuran (pc)	2–15	0.3–3	0.03–0.2
kerapatan rata-rata ($\mathrm{cm}^{-3}$)	50–500	$10^3$–$10^4$	$10^4$–$10^5$
suhu gas (K)	sekitar 10	10–20	8–12
contoh	Taurus, Musca	—	L1544, B68

Mengapa awan-awan itu begitu dingin? Gas kehilangan energi dengan memancarkan foton yang lolos, dan molekul adalah pemancar yang efisien: sebuah tumbukan menaikkan molekul karbon monoksida ke tingkat rotasi yang lebih tinggi, molekul itu kembali turun dengan memancarkan foton pada panjang gelombang milimeter, dan foton itu meninggalkan awan, membawa serta energi tumbukan tersebut. Debu, yang dihangatkan oleh cahaya bintang redup yang masuk, memancar dalam inframerah jauh. Pemanasannya, oleh sinar kosmik dan oleh cahaya bintang yang tersaring debu, lemah; keseimbangannya tercapai di dekat $10\,\mathrm{K}$. Dalam gas semacam itu tekanan termalnya kecil, dan gravitasi dapat menang.

1.3 Keruntuhan gravitasi

Sebuah awan adalah keseimbangan antara dua energi: energi termal gasnya, yang mendorong ke luar, dan energi gravitasinya, yang menarik ke dalam. Energi yang kedua tumbuh lebih cepat terhadap massa daripada yang pertama; di atas massa tertentu, gravitasi menang.

Proposisi 1.3 (Energi gravitasi bola seragam)

Sebuah bola berkerapatan seragam, bermassa $M$ dan berjari-jari $R$, memiliki energi potensial gravitasi

$$U = -\frac{3}{5}\,\frac{G M^2}{R}.$$

Benda yang menggravitasi dirinya sendiri dan berada dalam kesetimbangan mematuhi teorema virial: dirata-ratakan terhadap waktu, dua kali energi kinetiknya ditambah energi gravitasinya sama dengan nol, $2K + U = 0$ (fisika, Sarjana Tahun ke-3, tempat teorema itu diturunkan dari persamaan gerak). Untuk awan yang diam, $K$ adalah energi termal partikel-partikelnya. Jika $2K > |U|$, gas memuai; jika $2K < |U|$, tidak ada kesetimbangan yang dapat melawan gravitasi dan awan itu mengerut.

Proposisi 1.4 (Kriteria Jeans)

Awan isotermal yang seragam, bersuhu $T$ dan berkerapatan $\rho$, yang tersusun atas partikel bermassa rata-rata $\mu m_u$, runtuh oleh gravitasinya sendiri jika massanya melampaui massa Jeans

$$M_J = \left(\frac{5 k_{\mathrm B} T}{G\mu m_u}\right)^{3/2} \left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{1/2},$$

atau, secara setara, jika jari-jarinya melampaui panjang Jeans

$$R_J = \left(\frac{15 k_{\mathrm B} T}{4\pi G\mu m_u\,\rho}\right)^{1/2}.$$

Inilah kriteria Jeans.

Definisi 1.5 (Massa Jeans, panjang Jeans)

Yang disebut massa Jeans $M_J$ dan panjang Jeans $R_J$ suatu gas dengan suhu dan kerapatan tertentu adalah massa dan jari-jari yang di atasnya sebuah bola seragam dari gas itu runtuh oleh gravitasinya sendiri (Proposisi 1.4).

Massa Jeans tumbuh sebanding dengan $T^{3/2}$ dan turun sebanding dengan $\rho^{-1/2}$: gas yang dingin dan padat paling mudah runtuh. Dalam awan molekul, massa rata-rata per partikel adalah $\mu = 2.33$ satuan massa atom, yaitu hidrogen molekul dengan satu atom helium untuk sekitar setiap lima molekul. Pada $10\,\mathrm{K}$ dan $10^4$ partikel per sentimeter kubik, $\rho = \mu m_u n = 3.87 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $M_J = 5.5$ massa Matahari, di dalam panjang Jeans $0.13\,\mathrm{pc}$: itulah massa dan ukuran sebuah inti padat. Pada kerapatan rata-rata awan gelap, $100$ partikel per sentimeter kubik, massa Jeans sepuluh kali lebih besar, 55 massa Matahari, dan awan bermassa $24\,000$ massa Matahari seperti Taurus memuat ratusan massa Jeans (gambar di bawah).

Awan yang mulai runtuh menjadi makin padat, dan massa Jeansnya turun sebanding dengan $\rho^{-1/2}$ selama awan itu tetap dingin, yang berlaku selama ia dapat memancarkan panas kompresinya. Bagian-bagian awan kemudian menjadi tidak stabil dengan sendirinya dan runtuh secara terpisah: awan itu terfragmentasi. Inilah sebabnya bintang terbentuk berkelompok dan massanya kecil dibandingkan dengan awan yang membentuknya. Fragmentasi berhenti ketika gas menjadi terlalu padat untuk meloloskan radiasinya: panas kompresi terperangkap, suhu naik, dan massa Jeans berhenti turun.

Berapa lama keruntuhan berlangsung? Jika tekanan dapat diabaikan, setiap kulit awan jatuh bebas menuju pusat.

Proposisi 1.6 (Waktu jatuh bebas)

Sebuah bola seragam berkerapatan $\rho$, mula-mula diam dan tanpa tekanan, runtuh ke pusatnya dalam waktu

$$t_{\mathrm{ff}} = \left(\frac{3\pi}{32\,G\rho}\right)^{1/2},$$

yang tidak bergantung pada jari-jarinya.

Definisi 1.7 (Waktu jatuh bebas)

Yang disebut waktu jatuh bebas suatu gas berkerapatan $\rho$ adalah $t_{\mathrm{ff}} = (3\pi/32G\rho)^{1/2}$, yaitu waktu yang diperlukan sebuah bola seragam berkerapatan itu untuk runtuh hanya oleh gravitasinya sendiri.

Untuk inti padat berkerapatan $10^4$ partikel per sentimeter kubik, waktu jatuh bebasnya $0.34\,\mathrm{Ma}$; untuk seluruh awan gelap berkerapatan $10^2$, $3.4\,\mathrm{Ma}$. Seandainya setiap awan molekul di Galaksi runtuh dalam satu waktu jatuh bebas dan berubah menjadi bintang, Galaksi akan membentuk bintang jauh lebih cepat daripada kenyataannya: di Taurus, gas yang benar-benar berubah menjadi bintang selama tiga juta tahun terakhir hanya sekitar satu persen awan itu. Awan-awan itu tertahan, oleh gerak turbulen dan oleh medan magnet yang diseret oleh bagian gas yang terionisasi, dan sebagian besar gasnya tersebar oleh angin dan cahaya bintang-bintang masif pertama sebelum sempat runtuh: itulah sebabnya efisiensi yang terukur di Taurus rendah.

Sejarah — James Jeans

James Jeans (1877–1946) pada tahun 1902 menerbitkan analisis kestabilan gas di bawah gravitasinya sendiri yang menurunkan massa dan panjang Jeans. Ia mempelajari pertumbuhan gelombang kerapatan kecil dalam gas seragam tak hingga dan mendapati bahwa gelombang yang lebih panjang daripada suatu panjang kritis tidak dilawan oleh tekanan, tetapi tumbuh: gas itu pecah menjadi kondensasi berukuran sekitar panjang tersebut. Panjang kritisnya berbeda dari jari-jari yang diperoleh di atas hanya oleh suatu faktor numerik; fisikanya, gravitasi melawan tekanan termal, sama saja.

1.4 Protobintang

Keruntuhan sebuah inti tidak seragam. Pusatnya, yang sedikit lebih padat, jatuh lebih dulu; sebuah benda kecil, padat, dan panas terbentuk di sana dan tumbuh dengan menelan gas yang terus menghujaninya.

Definisi 1.8 (Protobintang)

Yang disebut protobintang adalah bintang yang sedang terbentuk yang masih memperoleh sebagian besar massanya melalui akresi gas dari inti induknya; ia bersinar oleh energi yang dilepaskan gas yang jatuh, bukan oleh fusi nuklir.

Seberapa cepat sebuah protobintang tumbuh? Inti yang hampir runtuh berisi sekitar satu massa Jeans dan jatuh dalam waktu sekitar satu waktu jatuh bebas, sehingga massa tiba dengan laju berorde $M_J/t_{\mathrm{ff}}$.

Proposisi 1.9 (Laju akresi protobintang)

Misalkan $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ adalah laju bunyi isotermal gas sebuah inti. Perbandingan massa Jeans terhadap waktu jatuh bebas tidak bergantung pada kerapatan, dan

$$\frac{M_J}{t_{\mathrm{ff}}} \approx 10\,\frac{c_s^3}{G}:$$

sebuah protobintang tumbuh dengan laju berorde $c_s^3/G$, yang hanya ditentukan oleh suhu intinya.

Pada $10\,\mathrm{K}$, $c_s = 0.19\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $c_s^3/G$ sama dengan $1.6 \times 10^{-6}$ massa Matahari per tahun: bintang seperti Matahari terhimpun dalam sekitar $600\,000$ tahun, waktu yang sebanding dengan waktu jatuh bebas intinya. Dalam inti yang lebih hangat, pada $20\,\mathrm{K}$, lajunya $2^{3/2} = 2.8$ kali lebih tinggi.

Selama berakresi, protobintang bersinar oleh energi gas yang jatuh. Begitu selubungnya habis, ia tetap bersinar, masih tanpa fusi, dengan mengerut.

Proposisi 1.10 (Pengerutan menghidupi bintang muda)

Bola gas yang menggravitasi dirinya sendiri, berada dalam kesetimbangan, dan mengerut perlahan memancarkan separuh energi gravitasi yang dilepaskannya dan menyimpan separuh lainnya sebagai panas: ia menjadi makin panas sambil kehilangan energi.

Definisi 1.11 (Skala waktu Kelvin–Helmholtz)

Yang disebut skala waktu Kelvin–Helmholtz sebuah bintang bermassa $M$, berjari-jari $R$, dan berluminositas $L$ adalah $t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL)$, yaitu orde besar lamanya pengerutan saja dapat memasok luminositasnya.

Untuk Matahari sekarang, $t_{\mathrm{KH}} = 31\,\mathrm{Ma}$: jauh lebih pendek daripada umurnya, dan itulah sebabnya Matahari harus membakar hidrogen. Untuk bintang muda bermassa satu massa Matahari, berjari-jari dua kali jari-jari Matahari, dan berluminositas dua kali luminositasnya, nilainya $8\,\mathrm{Ma}$ (Latihan 1.6). Pengerutan berakhir ketika pusatnya cukup panas agar fusi hidrogen memasok luminositasnya: bintang itu tiba di deret utama (lihat kotak pengingat).

Definisi 1.12 (Bintang T Tauri, aliran keluar bipolar)

Yang disebut bintang T Tauri adalah bintang muda bermassa kurang dari sekitar dua massa Matahari yang telah melepaskan selubungnya dan menjadi tampak tetapi belum mencapai deret utama: ia bersinar karena pengerutan, kecerlangannya berubah-ubah, dan biasanya dikelilingi cakram yang darinya ia masih berakresi. Yang disebut aliran keluar bipolar adalah sepasang pancaran atau angin gas yang cepat yang dilontarkan bintang muda ke arah berlawanan di sepanjang sumbu rotasi cakramnya.

Aliran keluar membawa pergi sebagian momentum sudut gas yang diumpankan cakram ke bintang, dan menyapu selubung di sepanjang sumbunya; bintang HL Tauri, pada akhir tahap protobintangnya, menggerakkan aliran keluar yang sangat terkolimasi.

1.5 Cakram

Sebuah inti padat berputar, perlahan: di sepanjang inti, kecepatan gas berubah beberapa persepuluh kilometer per sekon per parsek. Ketika inti runtuh, momentum sudutnya kekal, dan rotasi yang lambat menjadi cepat.

Proposisi 1.13 (Jari-jari sentrifugal)

Gas bermomentum sudut spesifik $j$ (momentum sudut per satuan massa) yang jatuh menuju massa $M$ tidak dapat mencapai pusat: gas itu menetap pada orbit melingkar berjari-jari

$$r_c = \frac{j^2}{G M}.$$

Gas yang jatuh di sepanjang sumbu rotasi hanya memiliki sedikit momentum sudut dan langsung menuju bintang; gas yang jatuh di bidang ekuator mempertahankan rotasinya. Gas yang jatuh dari sisi-sisi yang berlawanan melalui lintasan yang berbeda bertumbukan di atas dan di bawah bidang ekuator, kehilangan gerak vertikalnya, dan berkumpul menjadi cakram tipis yang berputar dengan jari-jari sekitar $r_c$. Untuk inti berukuran $0.1\,\mathrm{pc}$ yang berputar sekali dalam sekitar dua puluh juta tahun, $r_c$ bernilai beberapa ratus satuan astronomi (Latihan 1.11): ukuran cakram yang teramati.

Definisi 1.14 (Cakram protoplanet)

Yang disebut cakram protoplanet (atau cakram protobintang) adalah cakram pipih gas dan debu yang berotasi hampir secara Kepler di sekitar bintang muda, yang tersusun atas materi inti induknya yang menyimpan terlalu banyak momentum sudut untuk jatuh ke bintang; planet-planet terbentuk di dalamnya.

Cakram dipanaskan oleh bintang. Sebutir debu pada jarak $r$ menyerap cahaya bintang pada penampang lintangnya dan memancar dari seluruh permukaannya.

Proposisi 1.15 (Suhu butiran dalam cahaya bintang)

Sebutir debu kecil yang berperilaku sebagai benda hitam, pada jarak $r$ dari bintang berluminositas $L$ dan disinari hanya pada satu sisi, menetap pada suhu

$$T = \left(\frac{L}{16\pi\sigma r^2}\right)^{1/4},$$

yang turun sebanding dengan $r^{-1/2}$.

Pada jarak $1\,\mathrm{au}$ dari bintang seperti Matahari, butiran itu bersuhu $278\,\mathrm{K}$; pada $5.2\,\mathrm{au}$, tempat Jupiter mengorbit, $122\,\mathrm{K}$. Es air mengembun di tempat butiran lebih dingin daripada sekitar $180\,\mathrm{K}$ (suhu-suhu kondensasinya adalah suhu pada Bab 2), yaitu di luar sekitar $2.4\,\mathrm{au}$: tanda pertama dari batas, garis salju, yang memisahkan planet berbatu dari planet es. Cakram yang sebenarnya buram, dan bidang tengahnya terlindung dari cahaya bintang langsung; proposisi itu memberikan orde besar dan kemiringan yang benar untuk lapisan-lapisan permukaan yang dilihat bintang.

Cakram tidak bertahan lama. Kelebihan inframerah, yaitu pendar debu hangat di atas apa yang akan dipancarkan bintang itu sendiri, mengungkapkan apakah sebuah bintang masih memiliki cakram. Menghitung bintang dengan kelebihan semacam itu di gugus-gugus berumur berbeda memberikan fraksi bintang yang mempertahankan cakramnya sebagai fungsi waktu (gambar di bawah): sebagian besar bintang memilikinya saat lahir, separuhnya telah kehilangannya pada sekitar tiga juta tahun, dan hampir tidak ada yang mempertahankannya lewat dari enam juta tahun. Raksasa gas, yang harus mengumpulkan gasnya dari cakram, harus terbentuk dalam beberapa juta tahun ini.

Di laboratorium — Menembus debu dengan gelombang radio

Gas dan debu dingin tidak tampak oleh teleskop optik, tetapi bersinar pada panjang gelombang milimeter, tempat atmosfer hanya transparan di atas lokasi yang tinggi dan kering. Piringan radio sebesar rumah hanya mampu memisahkan sedikit detail pada panjang gelombang semacam itu, sehingga para astronom menggabungkan banyak piringan: dalam sebuah interferometer, setiap pasang antena, yang terpisah oleh suatu garis dasar, mengukur satu komponen pola kecerahan langit, dan komputer menyusun citranya dari ratusan pasangan yang dibentuk sekitar tiga puluh antena. Resolusinya setara dengan satu teleskop selebar garis dasar terpanjang: dengan antena yang tersebar sejauh $15\,\mathrm{km}$, cakram HL Tauri dicitrakan dengan detail beberapa satuan astronomi pada $140\,\mathrm{pc}$. Para operator memindahkan antena dengan kendaraan pengangkut di antara konfigurasi-konfigurasi, dan korelator menggabungkan sinyal-sinyalnya secara waktu nyata.

1.6 Latihan

Latihan 1.1 ★

Kerapatan antarbintang rata-rata di dekat Matahari adalah $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Dengan massa atom hidrogen $1.67 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}$, hitunglah jumlah atom hidrogen per sentimeter kubik. Bandingkan dengan jumlah molekul per sentimeter kubik dalam udara pada $101\,325\,\mathrm{Pa}$ dan $288\,\mathrm{K}$ ($n = P/k_{\mathrm B}T$).

Solusi

Solusi Latihan 1.1.

$n = 2.7 \times 10^{-24}/1.67 \times 10^{-24} = 1.6$ atom hidrogen per sentimeter kubik. Dalam udara, $n = P/k_{\mathrm B}T = 101325/(1.381 \times 10^{-23}\times288) = 2.55 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, yaitu $2.5 \times 10^{19}$ molekul per sentimeter kubik: sekitar $1.6\times10^{19}$ kali lebih banyak.

Latihan 1.2 ★

Dengan menggunakan nilai $M_J = 5.46$ massa Matahari pada $10\,\mathrm{K}$ dan $10^4$ partikel per sentimeter kubik, serta skala $M_J$ terhadap kerapatan, hitunglah massa Jeans pada $10\,\mathrm{K}$ dan $10^2$ partikel per sentimeter kubik. Berapa massa Jeans yang termuat dalam awan Taurus, yang bermassa $24\,000$ massa Matahari?

Solusi

Solusi Latihan 1.2.

$M_J \propto n^{-1/2}$: membagi $n$ dengan 100 mengalikan $M_J$ dengan 10, sehingga $M_J = 54.6$ massa Matahari pada $10^2$ partikel per sentimeter kubik. Awan itu memuat $24\,000/54.6 \approx 440$ massa Jeans: awan itu tidak mungkin stabil secara keseluruhan, dan pasti terfragmentasi.

Latihan 1.3 ★

Hitunglah laju bunyi isotermal $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ gas molekul ($\mu = 2.33$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) pada $10\,\mathrm{K}$ dan pada $100\,\mathrm{K}$. Berapa lama gelombang bunyi menyeberangi inti berjari-jari $0.1\,\mathrm{pc}$ pada $10\,\mathrm{K}$, dalam juta tahun?

Solusi

Solusi Latihan 1.3.

$c_s = \sqrt{1.381 \times 10^{-23}\times10/(2.33\times1.661 \times 10^{-27})} = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ pada $10\,\mathrm{K}$; $\sqrt{10}$ kali lebih besar, $597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, pada $100\,\mathrm{K}$. Menyeberangi $0.1\,\mathrm{pc}$: $3.086 \times 10^{15}/189 = 1.63 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, yaitu $0.52\,\mathrm{Ma}$.

Latihan 1.4 ★

Hitunglah waktu jatuh bebas inti padat berkerapatan $10^5$ partikel per sentimeter kubik dan awan gelap berkerapatan $10^2$ ($\mu = 2.33$). Mana yang runtuh lebih cepat, dan dengan faktor berapa?

Solusi

Solusi Latihan 1.4.

$\rho = 2.33\times1.661 \times 10^{-27}\times n$ dengan $n$ dalam $\mathrm{m}^{-3}$. Untuk $10^5$ partikel per sentimeter kubik, $\rho = 3.87 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} = 3.38 \times 10^{12}\,\mathrm{s} = 0.107\,\mathrm{Ma}$; untuk $10^2$, $\rho$ $1000$ kali lebih kecil dan $t_{\mathrm{ff}}$ $\sqrt{1000} = 31.6$ kali lebih lama, $3.38\,\mathrm{Ma}$. Inti padat runtuh 32 kali lebih cepat.

Latihan 1.5 ★★

Tunjukkan bahwa $M_J$ dapat ditulis $M_J = 5^{3/2}\,(3/4\pi)^{1/2}\,c_s^3\,G^{-3/2}\rho^{-1/2}$. Pada suhu tetap, dengan faktor berapa kerapatan sebuah inti harus naik agar massa Jeansnya menjadi separuh? Pada kerapatan tetap, dengan faktor berapa massa Jeans berubah jika inti itu menghangat dari $10\,\mathrm{K}$ menjadi $20\,\mathrm{K}$?

Solusi

Solusi Latihan 1.5.

Dengan $k_{\mathrm B}T/(\mu m_u) = c_s^2$, $(5k_{\mathrm B}T/G\mu m_u)^{3/2} = 5^{3/2}c_s^3G^{-3/2}$, yang menghasilkan rumus itu. Karena $M_J \propto \rho^{-1/2}$, untuk membuat $M_J$ menjadi separuh diperlukan kerapatan empat kali lebih tinggi. Karena $M_J \propto T^{3/2}$, penghangatan dari $10\,\mathrm{K}$ menjadi $20\,\mathrm{K}$ mengalikannya dengan $2^{3/2} = 2.83$.

Latihan 1.6 ★★

Sebuah bintang muda memiliki massa Matahari, dua kali jari-jarinya, dan dua kali luminositasnya ($M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$). Hitunglah waktu Kelvin–Helmholtz-nya dalam juta tahun, dan bandingkan dengan umur cakram.

Solusi

Solusi Latihan 1.6.

$t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL) = 6.674 \times 10^{-11}\times(1.989 \times 10^{30})^2/(2\times 6.96 \times 10^{8}\times2\times3.83 \times 10^{26}) = 2.48 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, yaitu $7.8\,\mathrm{Ma}$. Waktu ini lebih panjang daripada umur sebagian besar cakram (separuhnya hilang setelah sekitar $3\,\mathrm{Ma}$): bintang itu masih mengerut ketika cakramnya lenyap.

Latihan 1.7 ★★

Hitunglah laju akresi $c_s^3/G$ sebuah protobintang dalam inti bersuhu $10\,\mathrm{K}$, dalam massa Matahari per tahun, dan waktu yang diperlukannya untuk menghimpun satu massa Matahari. Jawablah pertanyaan yang sama untuk inti bersuhu $20\,\mathrm{K}$.

Solusi

Solusi Latihan 1.7.

Pada $10\,\mathrm{K}$, $c_s^3/G = 189^3/6.674 \times 10^{-11} = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, yaitu $1.01 \times 10^{17}\times3.156 \times 10^{7}/1.989 \times 10^{30} = 1.6 \times 10^{-6}$ massa Matahari per tahun, dan satu massa Matahari memerlukan $0.62\,\mathrm{Ma}$. Pada $20\,\mathrm{K}$ lajunya $2^{3/2} = 2.83$ kali lebih tinggi, $4.5 \times 10^{-6}$ massa Matahari per tahun, dan satu massa Matahari memerlukan $0.22\,\mathrm{Ma}$.

Latihan 1.8 ★★

Dengan Proposisi 1.15 dan $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, hitunglah jarak dari Matahari, dalam satuan astronomi, tempat sebutir debu mencapai $1300\,\mathrm{K}$, mendekati suhu mengembunnya silikat-silikat yang umum (Bab 2), serta suhu butiran pada jarak Jupiter, $5.2\,\mathrm{au}$.

Solusi

Solusi Latihan 1.8.

$r = \sqrt{L/(16\pi\sigma)}/T^2$ dengan $\sqrt{3.83 \times 10^{26}/(16\pi\times5.67 \times 10^{-8})} = 1.159 \times 10^{16}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}^{2}$: pada $1300\,\mathrm{K}$, $r = 6.86 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.046\,\mathrm{au}$, jauh di dalam orbit Merkurius. Pada $5.2\,\mathrm{au}$, $T = 278/\sqrt{5.2} = 122\,\mathrm{K}$.

Latihan 1.9 ★★

Gas cakram HL Tauri berotasi mengelilingi bintang bermassa sekitar $1.3$ massa Matahari. Hitunglah laju Kepler dan periode orbitnya pada $100\,\mathrm{au}$. Jika sistem itu berumur satu juta tahun, berapa kali gas pada $100\,\mathrm{au}$ telah berputar sejak bintang itu terbentuk?

Solusi

Solusi Latihan 1.9.

$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{6.674 \times 10^{-11}\times1.3\times1.989 \times 10^{30}/1.496 \times 10^{13}} = 3.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dan $P = 2\pi r/v = 2.77 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 877$ tahun (secara setara, $\sqrt{100^3/1.3}$ tahun). Dalam sejuta tahun gas itu telah berputar $10^6/877 \approx 1140$ kali: cakram itu tua dibandingkan dengan rotasinya sendiri, dan itulah sebabnya cincin-cincinnya berupa lingkaran yang mulus.

Latihan 1.10 ★★★

Tentukan energi gravitasi sebuah bola berjari-jari $R$ yang kerapatannya turun sebagai $\rho(r) = \rho_0 R/r$, dan bandingkan dengan energi gravitasi bola seragam bermassa dan berjari-jari sama. Apakah pemusatan massa ke arah pusat membuat awan itu lebih mudah atau lebih sulit ditopang oleh energi termalnya?

Solusi

Solusi Latihan 1.10.

$M = \int_0^R 4\pi r^2\rho_0R/r\,\mathrm dr = 2\pi\rho_0R^3$, dan di dalam $r$, $m(r) = 2\pi\rho_0Rr^2$. Dengan $\mathrm dm = 4\pi\rho_0Rr\,\mathrm dr$,

$$U = -\int_0^R \frac{G\,m(r)}{r}\,\mathrm dm = -8\pi^2G\rho_0^2R^2\int_0^R r^2\,\mathrm dr = -\frac{8\pi^2}{3}G\rho_0^2R^5 = -\frac23\,\frac{GM^2}{R},$$

dengan $\rho_0 = M/(2\pi R^3)$. Nilainya $\tfrac{2/3}{3/5} = 1.11$ kali nilai bola seragam: awan yang terpusat terikat lebih erat dan memerlukan energi termal $11\,\%$ lebih banyak untuk ditopang; awan itu lebih mudah runtuh.

Latihan 1.11 ★★★

Sebuah inti berjari-jari $0.1\,\mathrm{pc}$ berotasi sebagai benda tegar dengan laju sudut $\Omega = 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Hitunglah periode rotasinya, momentum sudut spesifik $j = \Omega R^2$ gas di ekuatornya, dan jari-jari sentrifugal gas itu di sekitar bintang bermassa satu massa Matahari, dalam satuan astronomi. Mengapa gas dari bagian dalam inti mendarat lebih dekat ke bintang?

Solusi

Solusi Latihan 1.11.

Periodenya $2\pi/\Omega = 6.28 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, sekitar $20\,\mathrm{Ma}$. Dengan $R = 3.086 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$, $j = \Omega R^2 = 9.52 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, dan $r_c = j^2/(GM) = 9.07 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 6.83 \times 10^{13}\,\mathrm{m} = 457\,\mathrm{au}$. Dalam rotasi benda tegar, $j = \Omega r^2$ tumbuh sebanding dengan kuadrat jarak dari sumbu: gas dari bagian dalam inti memiliki momentum sudut lebih kecil, dan mendarat lebih dekat ke bintang.

Latihan 1.12 ★★★

Fraksi cakram lima gugus termuda pada gambar di subbab terakhir adalah $0.85$, $0.80$, $0.65$, $0.52$, dan $0.12$ pada 0.3, 1.5, 2.3, 3.2, dan $5.0\,\mathrm{Ma}$. Cocokkan garis lurus kuadrat terkecil $f = a - bt$ secara manual (hitung rata-ratanya, lalu $\sum(t - \bar t)(f - \bar f)$ dan $\sum(t - \bar t)^2$). Pada umur berapa garis itu mencapai setengah, dan nol? Mengapa garis lurus merupakan model yang buruk lewat dari umur itu?

Solusi

Solusi Latihan 1.12.

$\bar t = 2.46$, $\bar f = 0.588$; $\sum(t - \bar t)^2 = 12.612$, $\sum(t - \bar t)(f - \bar f) = -2.018$, sehingga $b = 2.018/12.612 = 0.160$ per juta tahun dan $a = 0.588 + 0.160\times2.46 = 0.982$. Garis itu mencapai $0.5$ pada $(0.982 - 0.5)/0.160 = 3.0\,\mathrm{Ma}$ dan nol pada $0.982/0.160 = 6.1\,\mathrm{Ma}$, seperti pada gambar. Sebuah fraksi tidak dapat turun di bawah nol: gugus yang lebih tua, seperti NGC 1960 pada $30\,\mathrm{Ma}$, mempertahankan fraksi kecil di dekat nol yang tidak dapat digambarkan oleh garis lurus.

1.7 Soal: Sebuah inti di awan Aldra

Soal 1.1

Soal akhir pekan — massa dan kestabilan sebuah inti padat yang dibaca dari peta debu, kelahiran protobintangnya, dan ukuran cakramnya

Awan Aldra adalah awan gelap rekaan. Peta milimeter debunya memperlihatkan inti bundar berjari-jari $0.08\,\mathrm{pc}$, dengan kerapatan kolom rata-rata $N(\ce{H2}) = 1.5 \times 10^{22}$ molekul hidrogen per sentimeter persegi. Sebuah garis amonia memberikan suhu gas, $10\,\mathrm{K}$, dan gradien kecepatan $0.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ per parsek di sepanjang inti, yang ditafsirkan sebagai rotasi benda tegar. Gunakan $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, $k_{\mathrm B} = 1.381 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $1\,\mathrm{pc}$ $= 3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, satu tahun $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$; massa per molekul hidrogen, termasuk helium, adalah $2.8\,m_u$, dan massa rata-rata per partikel $2.33\,m_u$.

Bagian I — Massa dan kerapatan.

1. Ubahlah jari-jari inti ke dalam meter.
2. Hitunglah massa per meter persegi kolom itu, $2.8\,m_u N$.
3. Simpulkan massa inti, dalam kilogram dan dalam massa Matahari.
4. Hitunglah volume dan kerapatan rata-ratanya.
5. Hitunglah jumlah partikel per sentimeter kubik.
6. Apakah ini inti padat dalam arti tabel di subbab kedua?

Bagian II — Kestabilan.

7. Hitunglah massa Jeans gas inti itu, dalam massa Matahari.
8. Berapa massa Jeans yang dimuat inti itu? Apakah inti itu stabil?
9. Hitunglah panjang Jeans dan bandingkan dengan jari-jari inti.
10. Berapa massa Jeans seandainya gas itu bersuhu $20\,\mathrm{K}$? Apakah inti itu masih akan runtuh?
11. Hitunglah waktu jatuh bebas inti itu, dalam ribuan tahun.
12. Bandingkan dengan waktu yang diperlukan gelombang bunyi untuk menyeberangi inti. Proses mana yang lebih cepat, dan apa artinya?

Bagian III — Protobintang.

13. Hitunglah laju bunyi di dalam inti.
14. Hitunglah laju akresi $c_s^3/G$, dalam massa Matahari per tahun.
15. Hitunglah waktu yang diperlukan untuk menghimpun satu massa Matahari dengan laju ini.
16. Jika sepertiga inti berakhir sebagai bintang, berapa bintang bermassa satu massa Matahari yang dapat dibentuknya?
17. Setelah selubungnya habis, bintang itu bermassa satu massa Matahari, berjari-jari tiga jari-jari Matahari, dan berluminositas empat luminositas Matahari. Hitunglah waktu Kelvin–Helmholtz-nya.
18. Apakah waktu itu lebih panjang atau lebih pendek daripada waktu akresi? Bintang jenis apakah ia saat itu?

Bagian IV — Cakram.

19. Ubahlah gradien kecepatan menjadi laju sudut $\Omega$, dalam $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.
20. Hitunglah momentum sudut spesifik $j = \Omega R^2$ gas di ekuator inti.
21. Hitunglah jari-jari sentrifugalnya di sekitar bintang bermassa satu massa Matahari, dalam satuan astronomi.
22. Hitunglah suhu sebutir debu pada jarak $1\,\mathrm{au}$ dan $30\,\mathrm{au}$ dari bintang berluminositas satu luminositas Matahari.
23. Di manakah garis salju cakram ini, jika es air bertahan di bawah $180\,\mathrm{K}$?
24. Nyatakan waktu yang diperlukan untuk menghimpun bintang pada pertanyaan 15, angka kunci soal ini, dalam ribuan tahun, dan bandingkan dengan waktu jatuh bebas pada pertanyaan 11.

Solusi

Solusi Soal 1.1.

1. $R = 0.08\times3.086 \times 10^{16} = 2.469 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$.

2. $N = 1.5 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-2}$, sehingga $2.8\times1.661 \times 10^{-27}\times1.5 \times 10^{26} = 0.698\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

3. $M = 0.698\times\pi R^2 = 0.698\times1.915 \times 10^{31} = 1.34 \times 10^{31}\,\mathrm{kg}$, yaitu $6.7$ massa Matahari.

4. $V = \tfrac43\pi R^3 = 6.30 \times 10^{46}\,\mathrm{m}^{3}$ dan $\rho = M/V = 2.12 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

5. $n = \rho/(2.33m_u) = 5.48 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$, yaitu $5.5 \times 10^{4}$ partikel per sentimeter kubik.

6. Ya: kerapatannya terletak antara $10^4$ dan $10^5$, jari-jarinya antara 0.03 dan $0.2\,\mathrm{pc}$; massanya, 6.7 massa Matahari, berada di ujung atas rentang inti.

7. $M_J = 5.46\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 2.33$ massa Matahari.

8. $6.7/2.33 = 2.9$ massa Jeans: inti itu tidak stabil dan runtuh.

9. $R_J = 0.1316\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 0.056\,\mathrm{pc}$, lebih kecil daripada jari-jarinya, $0.08\,\mathrm{pc}$: kesimpulannya sama.

10. $2^{3/2}\times2.33 = 6.6$ massa Matahari: sekitar massa inti itu. Pada $20\,\mathrm{K}$ inti itu berada di ambang; dinginlah yang membuatnya runtuh.

11. $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32\times6.674 \times 10^{-11}\times2.12 \times 10^{-16})} = 4.56 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, sekitar $145\,000$ tahun.

12. $R/c_s = 2.469 \times 10^{15}/189 = 1.31 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $414\,000$ tahun: tiga kali lebih lama daripada jatuh bebas. Gelombang tekanan tidak dapat menyeberangi inti sebelum inti itu runtuh; tekanan tidak dapat bereaksi cukup cepat untuk menghentikan keruntuhan.

13. $c_s = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (Latihan 1.3).

14. $c_s^3/G = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1.6 \times 10^{-6}$ massa Matahari per tahun.

15. $1/1.6 \times 10^{-6} = 624\,000$ tahun.

16. Sepertiga dari 6.7 adalah $2.2$: dua bintang bermassa satu massa Matahari.

17. $t_{\mathrm{KH}} = GM_\odot^2/(3R_\odot\times4L_\odot) = 8.25 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $2.6\,\mathrm{Ma}$.

18. Lebih panjang, empat kali waktu akresi: ketika akresi berhenti, bintang itu masih mengerut, bersinar tanpa fusi; ia adalah bintang T Tauri, belum berada di deret utama.

19. $\Omega = 0.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}/3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 1.30 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.

20. $j = 1.30\times10^{-14}\times(2.469 \times 10^{15})^2 = 7.90 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

21. $r_c = j^2/(GM_\odot) = 6.24 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 4.70 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$, yaitu $314\,\mathrm{au}$: lebih besar daripada cakram HL Tauri, seperti yang diharapkan untuk gas dari tepi inti.

22. $T = (L/16\pi\sigma r^2)^{1/4} = 278\,\mathrm{K}$ pada $1\,\mathrm{au}$, dan $278/\sqrt{30} = 51\,\mathrm{K}$ pada $30\,\mathrm{au}$.

23. $r = 1.159 \times 10^{16}/180^2 = 3.58 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, yaitu $2.4\,\mathrm{au}$, seperti dalam teks.

24. Bintang bermassa satu massa Matahari memerlukan $624\,$ ribu tahun untuk terhimpun, sekitar empat kali waktu jatuh bebas intinya ($145\,000$ tahun): gas di bagian luar mencapai protobintang hanya secara bertahap, dari dalam ke luar.