29Endapan Bijih

Tembaga menyusun sekitar $0.006\,\%$ kerak; tembaga ditambang dari batuan yang memuat sekitar $0.5\,\%$. Karena itu setiap tambang tembaga terletak di atas batuan yang kira-kira delapan puluh kali lebih kaya daripada kerak di sekitarnya, dan setiap endapan bijih adalah karya suatu pemekat alami: magma yang memisahkan cairan sulfida, air asin panas yang melarutkan logam lalu menjatuhkannya di dalam rekahan, sungai yang memilah butir berat dari butir ringan, hujan yang melindi bagian atas suatu tubuh bijih dan mengendapkan kembali tembaganya di bawah. Bab ini mengikuti pemekat-pemekat itu, lalu mengukur hasilnya — berapa banyak bijih, dengan kadar berapa — dan diakhiri dengan cara endapan ditemukan.

Yang sudah kamu ketahui

Dari volume-volume sekolah: endapan bijih dan faktor konsentrasi, urat, plaser, cadangan, dan sumber daya; sirkulasi hidrotermal dan perokok hitam di punggung samudra. Dari buku-buku kimia: bijih; kelarutan, ion kompleks, dan redoks. Dari volume Tahun 1: kecepatan pengendapan butir dan hukum Stokes; laterit; evaporit. Dari Bab 3: unsur kalkofil, koefisien partisi mineral–lelehan. Dari Bab 8: intrusi berlapis dan kumulat. Dari Bab 18: formasi besi berpita, kraton. Dari buku-buku matematika: distribusi normal dan log-normal, serta fungsi distribusi normal $\Phi$.

29.1 Bijih, kadar, dan konsentrasi

Definisi 29.1 (Mineral pengotor)

Dalam suatu bijih, yang disebut mineral pengotor (gangue) adalah segala sesuatu yang tidak bernilai ekonomi: mineral pembentuk batuan, mineral hidrotermal, dan mineral pelapukan yang menyertai mineral bijih lalu dipisahkan darinya dan dibuang selama pengolahan.

Sebagian besar bijih adalah mineral pengotor. Dalam endapan tembaga porfiri, sumber utama tembaga dunia, lebih dari $98\,\%$ bijihnya adalah mineral pengotor, dan mineral tembaga menyusun sisanya.

Definisi 29.2 (Kadar bijih, kadar batas, tonase)

Yang disebut kadar bijih suatu volume batuan adalah fraksi massa unsur atau mineral berharga di dalamnya: dalam persen untuk logam dasar, dalam gram per ton untuk emas, perak, dan unsur golongan platina. Yang disebut kadar batas adalah kadar terendah saat suatu blok batuan dihitung sebagai bijih; di bawahnya, blok itu adalah batuan sisa. Yang disebut tonase suatu endapan adalah massa batuan di atas kadar batas; bersama kadar rata-ratanya $\bar g$, tonase memberikan logam yang terkandung, $M = T\bar g$.

Karena itu tonase dan kadar suatu endapan bukanlah dua fakta tentang batuan, melainkan dua jawaban atas satu pertanyaan, yang diajukan pada suatu kadar batas tertentu. Batu Hijau, endapan tembaga–emas porfiri di Indonesia, dilaporkan sebesar $914\,\mathrm{Mt}$ dengan $0.53\,\%$ tembaga di atas kadar batas $0.3\,\%$, dan sebesar $1640\,\mathrm{Mt}$ dengan $0.44\,\%$ dalam suatu kompilasi dunia yang mengambil kadar batas terendah yang tersedia: menurunkan kadar batas hampir menggandakan tonase dan menurunkan kadar rata-rata. Dalam suatu endapan seng–timbal sedimenter, endapan Tom di Kanada, penurunan kadar batas sekitar satu persen seng ditambah timbal akan melipatlimakan cadangannya.

Definisi 29.3 (Faktor konsentrasi)

Yang disebut faktor konsentrasi suatu unsur dalam suatu bijih adalah perbandingan $\mathrm{CF} = g/a$ antara kadarnya $g$ dan kelimpahannya $a$ dalam suatu reservoir acuan, yang disebutkan bersamanya: seluruh kerak benua, kerak benua atas, atau batuan asal pembentukan endapan itu.

Faktor itu bergantung pada acuannya. Dengan mengambil $0.006\,\%$ tembaga untuk kerak dan $0.5\,\%$ untuk bijih diperoleh faktor 83; dengan mengambil kerak benua atas, $28\,\mathrm{ppm}$, dan kadar rata-rata tembaga porfiri pada 2008, $0.44\,\%$, diperoleh 157. Emas, dengan $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$ di kerak atas dan ditambang pada beberapa gram per ton, memiliki faktor dalam ribuan; besi, dengan beberapa persen di kerak dan ditambang pada sekitar $50\,\%$, hanya memerlukan faktor sekitar sepuluh.

Definisi 29.4 (Endapan bijih)

Yang disebut endapan bijih adalah tubuh batuan tempat proses-proses alami telah memekatkan suatu unsur atau mineral sampai kadar di atas kadar batas, dengan tonase yang cukup besar agar dapat diekstraksi dengan menguntungkan. Endapan bijih sekaligus merupakan objek geologi, yang ditentukan oleh proses-proses yang membentuknya, dan objek ekonomi, yang ditentukan oleh harga, biaya, dan teknologi.

Karena separuh ekonominya, ukuran suatu endapan berubah seiring waktu. Sumber daya teridentifikasi suatu unsur adalah konsentrasi-konsentrasi yang ekstraksinya layak sekarang atau mungkin menjadi layak; cadangannya adalah bagian yang dapat diekstraksi secara ekonomis pada saat cadangan itu ditentukan. Cadangan tembaga dunia adalah $280\,\mathrm{Mt}$ pada 1970; sekitar $697\,\mathrm{Mt}$ telah ditambang sejak itu, dan cadangan itu berjumlah $980\,\mathrm{Mt}$ pada 2024.

Proposisi 29.5 (Neraca massa suatu endapan)

Suatu endapan yang memuat massa $M$ suatu unsur dengan kadar rata-rata $g$ dipasok oleh sumber yang kelimpahan unsur itu di dalamnya $a$. Jika proses pemekatan mengekstraksi fraksi $\eta \leq 1$ dari unsur itu dari sumbernya dan mengantarkannya ke endapan, massa batuan sumber yang diolah adalah

$$m_{\mathrm{source}} = \frac{M}{\eta\,a} = \frac{\mathrm{CF}}{\eta}\, T ,\tag{29.1}$$

dengan $T = M/g$ tonase dan $\mathrm{CF} = g/a$: sedikitnya CF ton sumber per ton bijih.

Bingham Canyon, endapan porfiri yang ditunjukkan di bawah, tercatat sebesar $3230\,\mathrm{Mt}$ dengan $0.882\,\%$ tembaga, yaitu $28.5\,\mathrm{Mt}$ tembaga. Faktornya terhadap kerak atas adalah 315, dan bahkan proses yang efisien sempurna harus menguras $1.02 \times 10^{12}$ ton kerak atas rata-rata, sekitar $377\,\mathrm{km}^{3}$: sebuah kubus bersisi $7.2\,\mathrm{km}$. Karena itu proses pembentuk bijih adalah proses yang memindahkan banyak materi — magma, air, sedimen — melalui suatu volume kecil tempat unsur itu terperangkap.

Definisi 29.6 (Tipe endapan bijih)

Yang disebut tipe endapan bijih adalah kelas endapan yang sama-sama memiliki suatu tatanan geologi, batuan induk, bentuk, mineralogi bijih, dan proses pembentukan, sehingga deskripsi kelas itu meramalkan di mana anggota-anggotanya terdapat. Tipe-tipe itu terbagi menjadi empat keluarga menurut prosesnya: magmatik (logam dipekatkan oleh magma ketika mengkristal atau memisah), hidrotermal (oleh fluida berair yang panas), sedimenter (oleh pengangkutan dan pengendapan sedimen, atau presipitasi dari air di permukaan), dan supergen (oleh pelapukan suatu endapan yang lebih awal).

29.2 Endapan magmatik

Kromit dalam intrusi berlapis. Kromit, satu-satunya sumber kromium komersial, berkumpul dalam lapisan-lapisan kromitit masif, yang lebih dari $90\,\%$ kromit, di bagian bawah intrusi berlapis, yaitu bagiannya yang ultramafik. Intrusi-intrusi itu berukuran 2 sampai $180\,\mathrm{km}$ melintang dan tebalnya sampai $15\,\mathrm{km}$, dan lapisannya berkisar dari kurang dari satu sentimeter sampai 5–$8\,\mathrm{m}$; bersama-sama intrusi itu memuat sebagian besar cadangan kromium dunia, dan Kompleks Bushveld, yang telah dijumpai pada Bab 8, adalah satu-satunya yang kini ditambang untuk kromit. Asal-usulnya, yaitu suatu lapisan kumulat yang terdorong ke medan kromit oleh percampuran magma atau perubahan tekanan atau keadaan oksidasi, masih diperdebatkan.

Sulfida nikel–tembaga–PGE. Magma mafik atau ultramafik, yang dihasilkan oleh derajat pelelehan mantel yang besar ($20\,\%$ sampai $25\,\%$ atau lebih, dengan lebih dari 12 persen MgO menurut berat), naik dalam keadaan tak jenuh belerang. Jika magma itu mengasimilasi belerang dari kerak, atau mendingin cukup jauh, magma itu menjadi jenuh dan cairan sulfida yang tak bercampur terpisah dalam bentuk butiran-butiran. Logam-logam kalkofil masuk ke dalam butiran itu: perbandingan $D$ antara konsentrasinya dalam cairan sulfida dan konsentrasinya dalam cairan silikat, jenis koefisien partisi yang sama dengan yang antara mineral dan lelehan, adalah $10^2$ sampai $10^3$ untuk tembaga dan nikel serta $10^3$ sampai $10^4$ untuk unsur golongan platina. Berapa banyak logam yang dikumpulkan suatu butiran lalu bergantung pada berapa banyak magma yang dijumpainya.

Proposisi 29.7 (Faktor R)

Misalkan satuan massa cairan sulfida terpisah dari, dan mencapai kesetimbangan dengan, massa $R$ magma silikat, yaitu faktor R, dalam sistem tertutup; misalkan $C_L$ konsentrasi suatu logam dalam magma sebelum sulfida terpisah, dan $D$ koefisien partisi sulfida–silikatnya. Maka konsentrasi logam itu dalam sulfida adalah

$$C_S = C_L\,\frac{D\,(R + 1)}{R + D} .\tag{29.2}$$

Untuk $R \gg D$, $C_S \to D\,C_L$; untuk $R \ll D$, $C_S \approx (R + 1)\,C_L$.

Kedua limit itu menjelaskan mengapa ada dua jenis bijih sulfida. Bila $R \ll D$, sulfida mengambil hampir semua logam magma yang dijumpainya dan $C_S$ tumbuh seiring $R$; bila $R \gg D$, sulfida itu jenuh pada $D\,C_L$ dan tambahan magma tidak menambahkan apa pun. Nikel dan tembaga, dengan $D$ beberapa ratus, mencapai batas atasnya pada $R$ beberapa ratus sampai beberapa ribu, rentang kebanyakan bijih nikel–tembaga; platina dan paladium, dengan $D$ dekat $10^4$, terus bertambah sampai $R$ sebesar $10\,000$ sampai $100\,000$. Karena itu bijih yang kaya akan unsur golongan platina, seperti Merensky Reef di Bushveld dan sebagian bijih Noril’sk, merekam massa sulfida yang kecil yang dibilas oleh massa magma yang sangat besar (latihan 29.5 dan 29.11).

Kimberlit dan intan. Kebanyakan intan, dan hampir semua intan yang ditambang, terbentuk di dasar litosfer benua yang tebal, di akar kraton; magma kimberlit, yang berasal dari kedalaman lebih dari 120 sampai $150\,\mathrm{km}$ dan naik dengan kecepatan sampai $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, membawanya ke permukaan cukup cepat sehingga intan itu bertahan. Kimberlit lebih suka meletus melalui litosfer yang tebal dan tua, dan di situlah eksplorasi intan mencari.

Pegmatit. Pegmatit litium–sesium–tantalum adalah retas granitik yang diperkaya dengan unsur-unsur langka ini, yang dihasilkan di orogen tumbukan; pegmatit itu mengkristal pada sekitar 350 sampai $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, sangat rendah untuk lelehan granitik, dalam beberapa hari sampai beberapa tahun, dan menumbuhkan kristal yang sangat besar — satu kristal spodumen panjangnya $14\,\mathrm{m}$. Mineral litiumnya, yaitu spodumen, petalit, dan lepidolit, memasok sekitar seperempat litium dunia.

29.3 Endapan hidrotermal

Definisi 29.8 (Fluida hidrotermal dan tipe-tipe endapan hidrotermal)

Yang disebut fluida hidrotermal adalah fluida berair yang panas, yang dilepaskan oleh magma, oleh reaksi metamorfik, atau berupa air laut, air meteorik, atau air asin cekungan yang terpanaskan, yang melarutkan, mengangkut, dan mengendapkan unsur-unsur ketika mengalir melalui batuan. Tipe endapan bijih hidrotermal yang utama adalah:

• endapan tembaga porfiri: tubuh besar berkadar rendah yang terdiri atas urat-urat halus dan sulfida tembaga tersebar di dalam dan di sekitar stok porfiri yang kecil, yang terbentuk oleh fluida magmatik dalam beberapa kilometer dari permukaan di atas zona subduksi;
• endapan epitermal: urat dan sebaran emas–perak yang terbentuk dalam sekitar $1.5\,\mathrm{km}$ dari permukaan, pada sekitar 100 sampai $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, di busur vulkanik;
• endapan sulfida masif vulkanogenik (VMS): lensa sulfida masif yang terbentuk di atas atau tepat di bawah dasar laut, pada lubang hidrotermal dalam tatanan vulkanik bawah laut;
• endapan ekshalatif sedimen (sedex): sulfida seng–timbal berlapis tipis di dalam serpih laut suatu cekungan celah, yang terendapkan di atas atau tepat di bawah dasar laut dari air asin cekungan yang naik di sepanjang sesar;
• endapan tipe Mississippi Valley (MVT): sulfida seng–timbal yang menggantikan karbonat paparan, epigenetik dan tidak berkaitan dengan aktivitas beku, yang diendapkan oleh air asin cekungan;
• endapan emas orogenik: urat kuarsa pembawa emas di sabuk metamorfik, di sepanjang sesar-sesar besar, yang diendapkan oleh fluida bersalinitas rendah dan kaya CO$_2$ yang berasal dari metamorfisme.

Pengangkutan dan pengendapan. Kebanyakan logam diangkut dalam fluida hidrotermal sebagai kompleks: seng, timbal, dan tembaga sebagai kompleks klorida, sehingga salinitas mengendalikan kelarutannya, dan emas, dalam fluida tereduksi, sebagai kompleks belerang seperti AuHS(H$_2$S)$_3$. Suatu fluida menjatuhkan muatannya ketika kelarutannya turun: ketika mendingin; ketika mendidih karena tekanannya turun, sehingga kehilangan H$_2$S dan CO$_2$ dan pH-nya berubah; ketika bercampur dengan fluida berkomposisi lain — air asin yang bertemu air kaya H$_2$S mengendapkan sfalerit dan galena hampir seketika; dan ketika bereaksi dengan batuan dinding, yang mengubah pH atau keadaan oksidasinya. Setiap tipe endapan adalah satu kombinasi fluida, lintasan, dan perangkap.

Tembaga porfiri. Endapan porfiri memasok sekitar $60\,\%$ tembaga dunia dan memuat sekitar $65\,\%$ sumber dayanya. Endapan itu berpusat pada stok-stok silindris yang kecil atau kawanan retas, puncak-puncak pluton yang lebih besar, yang ditempatkan pada kedalaman kurang dari 5–$10\,\mathrm{km}$ di busur di atas zona subduksi, tatanan pada Bab 9. Suatu endapan berukuran 0.1 sampai $1\,\mathrm{km}$ melintang, dengan tinggi yang serupa; batuan teralterasi dapat meluas $10\,\mathrm{km}$ atau lebih di sekitarnya. Ketika magma mengkristal, fluida dengan 3 sampai 5 persen garam menurut berat terpisah darinya; ketika naik dan mengalami dekompresi, fluida itu terbelah menjadi air asin dan uap, keduanya membawa logam, dan tekanan berlebihnya meretakkan batuan. Urat kuarsa terendapkan pada sekitar 700 sampai $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan reaksi fluida dengan batuan menzonakan alterasinya, seperti pada penampang di bawah. Karena endapan ini terbentuk dangkal di tepi aktif, tempat erosi berlangsung cepat, lebih dari $90\,\%$ endapan porfiri yang diketahui berumur Kenozoikum atau Mesozoikum.

Emas epitermal. Di atas sebagian sistem porfiri, dan di busur vulkanik pada umumnya, fluida yang sejenis mencapai $1.5\,\mathrm{km}$ teratas kerak pada sekitar 100 sampai $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tempat fluida itu mendidih dan bercampur dengan air tanah; fluida itu mengendapkan emas dan perak dalam urat kuarsa, dengan alterasi yang merekam fluida yang hampir netral (adularia, ilit) atau yang sangat asam (kaolinit, dikit, pirofilit).

Sulfida masif di dasar laut. Air laut yang tertarik turun ke dalam kerak panas suatu punggung samudra atau busur kembali melalui lubang-lubang sebagai perokok hitam pada sekitar $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, yang pertama kali terlihat di Punggung Pasifik Timur pada 1979. Di tempat lapangan lubang itu bertahan lama, sulfidanya membangun suatu gundukan; bijihnya lebih dari $40\,\%$ sulfida, di atas jaringan urat (stockwork) yang menandai saluran pengumpannya. Logam-logamnya terzonasi menurut suhu, besi dan tembaga di dasar yang panas, seng, besi, timbal, dan barium di bagian atas dan tepi yang lebih dingin, seperti pada gundukan yang digambar pada subbab berikutnya. Endapan sulfida masif vulkanogenik berkisar dari kantong yang kurang dari satu ton sampai $1.5\,\mathrm{Gt}$ Rio Tinto di Spanyol, dan umurnya dari $3.55\,\mathrm{Ga}$ sampai endapan yang terbentuk saat ini.

Air asin cekungan: sedex dan MVT. Air asin cekungan dengan 10 sampai $30\,\%$ garam terlarut, yang terpanaskan sampai 100–$200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ oleh penimbunan, membawa seng dan timbal sebagai kompleks klorida dan membentuk kedua tipe yang berinduk sedimen. Endapan sedex terbentuk di tempat air asin itu keluar ke dalam cekungan yang terbatas dan tereduksi di sepanjang sesar celah dan bertemu hidrogen sulfida, sehingga membentuk lumpur sulfida berlapis tipis; endapan ini memuat lebih dari separuh cadangan seng dan timbal dunia. Endapan MVT terbentuk di tempat air asin, yang terdorong keluar dari suatu cekungan, mencapai paparan karbonat di tepinya dan menggantikannya pada 75 sampai sekitar $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; endapan ini memuat $38\,\%$ timbal dan seng dari endapan yang berinduk sedimen, dengan seng kira-kira sepuluh kali lebih banyak daripada timbal.

Emas orogenik. Di sabuk metamorfik, reaksi-reaksi devolatilisasi melepaskan fluida yang hampir netral, bersalinitas rendah, dan kaya CO$_2$; fluida itu, yang disalurkan di sepanjang sesar-sesar besar, mengendapkan urat kuarsa pembawa emas pada sekitar $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan kedalaman 4 sampai $12\,\mathrm{km}$. Urat-urat itu menerus sepanjang ketinggian yang besar: $3.2\,\mathrm{km}$ di Kolar, India.

29.4 Endapan sedimenter dan supergen

Definisi 29.9 (Plaser)

Yang disebut plaser adalah endapan sedimenter berupa mineral yang padat dan tahan lama, yang dipekatkan oleh air atau angin yang bergerak karena, untuk ukuran yang sama, mineral itu mengendap lebih cepat dan kurang mudah terangkut daripada butir-butir kuarsa di sekitarnya.

Mineral yang lebih padat daripada sekitar 2.85 disebut mineral berat, dibandingkan dengan 2.65 untuk kuarsa: ilmenit dan zirkon dekat 4.7, magnetit 5.2, emas 15 sampai 19.3. Menurut hukum Stokes kecepatan pengendapan suatu butir tumbuh seiring kelebihan densitasnya $\rho_s - \rho_w$, sebelas kali lebih besar untuk emas daripada untuk kuarsa, sehingga emas dengan ukuran tertentu berada bersama kuarsa yang tiga kali lebih besar (latihan 29.3); emas biasanya tetap berada dalam kerikil sungai di atas batuan dasar, sedangkan ilmenit, rutil, dan zirkon mencapai pantai dan gumuk. Kadar dalam pasir mineral berat adalah persen berat mineral berat.

Sedimen kimia juga merupakan bijih. Formasi besi berpita pada Bab 18, yang terendapkan ketika besi terlarut samudra teroksidasi, adalah bijih besi yang umum; evaporit memasok halit dan garam kalium; laterit, sisa pelapukan tropis yang dalam, memekatkan aluminium sebagai bauksit. Pelapukan juga meningkatkan kadar endapan-endapan yang lebih awal.

Definisi 29.10 (Pengayaan supergen, gossan)

Yang disebut pengayaan supergen adalah pemekatan suatu logam oleh air tanah yang turun: di atas muka air tanah, air asam yang beroksigen melarutkan logam dari sulfida suatu tubuh bijih, dan di bawahnya, dalam kondisi reduksi, mengendapkannya kembali, terutama dengan menggantikan sulfida primer. Yang disebut gossan adalah batuan berpori yang kaya oksida besi, yang tertinggal di permukaan di atas tubuh sulfida yang lapuk, dengan sulfidanya digantikan oleh goetit, hematit, dan jarosit.

Pada endapan porfiri, tudung terlindi di atas muka air tanah tebalnya sampai beberapa ratus meter; di bawahnya, zona sulfida yang diperkaya berupa kalkosit, setebal puluhan sampai beberapa ratus meter, mencapai lebih dari $1.5\,\mathrm{Gt}$ dengan 0.4 sampai $1.7\,\%$ tembaga, selalu lebih kaya daripada bijih primer hipogen di bawahnya. Oksida besi suatu gossan dan suatu tudung terlindi mempertahankan tekstur sulfida yang digantikannya, dan menjadi petunjuk pencarian di bawahnya; gossan dan noda besinya mengungkapkan banyak endapan sulfida masif kepada para penambang awal.

29.5 Kadar dan tonase

Suatu kompilasi dunia mendaftar 422 endapan tembaga porfiri beserta tonasenya, pada kadar batas terendah yang tersedia, dan kadar tembaga rata-ratanya. Sepersepuluh di antaranya melebihi $1500\,\mathrm{Mt}$ dan sepersepuluh memuat kurang dari $33\,\mathrm{Mt}$, dengan median $240\,\mathrm{Mt}$; kadarnya berkisar dari $0.24\,\%$ sampai $0.75\,\%$ di antara desil-desil yang sama, dengan median $0.44\,\%$. Di antara desil-desil itu tonase tersebar dalam faktor 45, sedangkan kadar dalam faktor 3. Pada sumbu logaritmik kedua histogram dekat dengan kurva normal, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah: logaritma tonase memiliki rata-rata 2.373 dan simpangan baku 0.654, sedangkan logaritma kadar $-0.364$ dan 0.199 (logaritma berbasis 10, tonase dalam megaton, kadar dalam persen). Kecocokannya tidak sempurna: kadar-kadar itu lebih runcing daripada hukum log-normal, dan beberapa endapan berkadar sangat rendah membuat kadar menyimpang dari hukum itu dalam uji formal. Lagi pula keduanya hampir saling bebas, dengan korelasi 0.1 di antara logaritmanya.

Proposisi 29.11 (Hasil kali peubah log-normal)

Jika $\log_{10} T$ dan $\log_{10} g$ bersama-sama normal, dengan rata-rata $\mu_T$ dan $\mu_g$, simpangan baku $\sigma_T$ dan $\sigma_g$, serta korelasi $\rho$, maka logam yang terkandung $M = Tg/100$ ($g$ dalam persen) berdistribusi log-normal: $\log_{10} M$ normal dengan

$$\mu_M = \mu_T + \mu_g - 2 , \qquad \sigma_M^2 = \sigma_T^2 + \sigma_g^2 + 2\rho\,\sigma_T\sigma_g .\tag{29.3}$$

Untuk endapan porfiri, $\sigma_M = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2 + 2 \times 0.1 \times 0.654 \times 0.199} = 0.702$ dan $\mu_M = 0.009$: endapan median memuat sekitar $1\,\mathrm{Mt}$ tembaga, dan logam yang terkandung tersebar lebih luas lagi daripada tonase. Hukum log-normal dengan sebaran selebar itu menempatkan sebagian besar logam dalam sedikit endapan: sepersepuluh yang terbesar memuat sekitar $63\,\%$ tembaga menurut hukum itu, dan $64\,\%$ dalam data (latihan 29.12). Gambar di bawah memplot setiap endapan menurut tonase dan kadarnya, dengan garis-garis tembaga terkandung yang sama; Bingham, dengan $28.5\,\mathrm{Mt}$, terletak di antara garis 10 dan $100\,\mathrm{Mt}$.

Definisi 29.12 (Kurva kadar–tonase)

Yang disebut kurva kadar–tonase suatu endapan memberikan, sebagai fungsi kadar batas $c$, tonase $T(c)$ blok-blok yang kadarnya di atas $c$ dan kadar rata-ratanya $\bar g(c)$.

Proposisi 29.13 (Kurva kadar–tonase suatu endapan log-normal)

Jika kadar blok-blok suatu endapan dengan tonase total $T_0$ berdistribusi log-normal, $\ln g$ normal dengan rata-rata $\mu$ (kadar mediannya $e^{\mu}$) dan simpangan baku $s$, maka, dengan $z = (\mu - \ln c)/s$,

$$T(c) = T_0\,\Phi(z), \qquad \bar g(c) = e^{\mu + s^2/2}\,\frac{\Phi(z + s)}{\Phi(z)} ,\tag{29.4}$$

dan logam di atas kadar batas adalah $M(c) = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s)$, yaitu fraksi $\Phi(z + s)$ dari keseluruhannya.

Pada $c \to 0$ seluruh endapan dipertahankan, dengan kadar rata-rata $e^{\mu + s^2/2}$, yang lebih tinggi daripada median. Menaikkan kadar batas membuang tonase lebih cepat daripada logam, karena blok-blok yang dibuang adalah yang termiskin: pada endapan ilustratif dalam gambar, menaikkan kadar batas dari 0.2 menjadi $0.5\,\%$ mempertahankan $41\,\%$ tonase tetapi $61\,\%$ tembaga.

29.6 Eksplorasi

Endapan ditemukan melalui jejak yang ditinggalkannya di luar bijihnya. Halo alterasi suatu sistem porfiri lebarnya berkilo-kilometer, dan di tempat batuannya tersingkap, mineral-mineralnya dapat dipetakan dari pesawat terbang dan satelit melalui spektrum inframerahnya; logam-logamnya menyebar ke dalam tanah, sedimen sungai, perairan, dan tumbuhan di sekitarnya; dan sulfida serta batuan teralterasinya mengubah sifat-sifat fisis yang diukur geofisika.

Definisi 29.14 (Anomali geokimia)

Yang disebut anomali geokimia adalah konsentrasi suatu unsur, atau suatu kelompok unsur, dalam suatu media sampel — batuan, tanah, sedimen sungai, air, tumbuhan — yang menyimpang dari latar belakangnya di wilayah itu, yaitu rentang konsentrasi yang dijumpai di tempat tanpa mineralisasi.

Seperti kadar, konsentrasi tersebar dalam beberapa orde besaran, sehingga suatu anomali biasanya dinilai berdasarkan logaritma; satu ambang sederhana, yang dipakai pada latihan 29.9, adalah rata-rata logaritma latar belakang ditambah dua kali simpangan bakunya. Sampel sedimen sungai mencampur sedimen seluruh daerah tangkapannya, sehingga anomali memudar ke hilir ketika sedimen bersih bergabung dengannya, dan gradien konsentrasi menunjuk ke hulu jaringan sungai ke arah sumbernya. Di tanah di atas pegmatit yang terkubur, anomali litium, rubidium, sesium, tantalum, dan timah telah dilacak di atas tubuh-tubuh yang tidak tersingkap.

Metode geofisika dipilih menurut kontras yang diberikan suatu tipe endapan. Sulfida tersebar membuat batuan berperilaku seperti kapasitor: metode polarisasi terimbas, yang mengukur keterisian ini, dikembangkan untuk tembaga porfiri dan paling kuat menanggapi zona serisitik yang kaya pirit, sedangkan inti potasik lebih miskin sulfida. Survei magnetik dan gravitasi memetakan pluton-pluton yang berkaitan dengan endapan itu. Tidak ada metode yang melihat bijih secara langsung, dan setiap tafsiran tidak tunggal sampai suatu lubang bor mengujinya.

Metode 29.15 (Dari hasil analisis kadar ke perkiraan sumber daya)

Datanya berupa lubang bor dalam suatu kisi yang melintasi endapan, dengan intinya dideskripsi dan dianalisis kadarnya per selang yang panjangnya diketahui.

1. Komposit. Rata-ratakan hasil analisis atas panjang yang sama, dengan membobot setiap hasil menurut panjangnya, sehingga setiap komposit mewakili volume yang sama.
2. Model. Bagilah endapan menjadi blok-blok dan perkirakan kadar masing-masing dari komposit di dekatnya, dengan membobotnya menurut jarak dan menurut korelasi spasial kadar (metode geostatistik kriging, diterima tanpa bukti).
3. Laporan. Terapkan kadar batas: tonase dan kadar rata-rata blok di atasnya, dengan densitas batuan, pada setiap tingkat keyakinan yang dimungkinkan oleh jarak antarlubang bor.

Di lapangan — Mendeskripsi inti bor

Pada suatu proyek eksplorasi, inti dari setiap lubang bor dijajarkan di dalam baki logam menurut urutan keluarnya dari tanah. Para ahli geologi menyusuri baki-baki itu, selang demi selang, dan mencatat batuan apa itu, bagaimana alterasinya, urat mana yang memotongnya dan dalam proporsi berapa, serta sulfida apa yang dimuatnya; mereka menandai tempat inti akan digergaji dan dicuplik. Deskripsi itu dibuat sebelum hasil analisis kadar dan dibandingkan dengannya: zona alterasi atau tipe urat yang membawa logam menjadi hal yang diikuti dari lubang ke lubang, dan dari deskripsi itu para ahli geologi menggambar penampang-penampang yang menjadi dasar perencanaan lubang berikutnya.

Latihan

Data untuk latihan, kecuali dinyatakan lain: kerak benua atas, tembaga $28\,\mathrm{ppm}$, emas $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, kromium $92\,\mathrm{ppm}$; populasi tembaga porfiri pada Bagian 29.5, tonase $\log_{10}$ (Mt) dengan rata-rata 2.373 dan simpangan baku 0.654, kadar $\log_{10}$ (%) dengan rata-rata $-0.364$ dan simpangan baku 0.199, korelasi $\rho = 0.100$. Bulatkan sampai tiga angka penting.

Latihan 29.1 ★

Tentukan faktor konsentrasi terhadap kerak atas dari: (a) bijih tembaga dengan $0.5\,\%$; (b) bijih emas dengan $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$; (c) kromitit dengan $90\,\%$ kromit, dengan menganggap kromit sebagai FeCr$_2$O$_4$ (massa atom Cr 52.00, Fe 55.85, O 16.00).

Solusi

Solusi Latihan 29.1.

(a) $0.5\,\% = 5000\,\mathrm{ppm}$, dan $5000/28 = 179$. (b) $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t} = 6000\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, dan $6000/1.5 = 4000$. (c) Kromit memuat $2 \times 52.00/(55.85 + 104.00 + 64.00) = 0.4646$ kromium menurut massa; kromitit, $0.9 \times 0.4646 = 0.418$, atau $418\,000\,\mathrm{ppm}$, dan $418000/92 = 4540$.

Latihan 29.2 ★

Batu Hijau dilaporkan sebesar $914\,\mathrm{Mt}$ dengan $0.53\,\%$ Cu dan $0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ Au di atas kadar batas $0.3\,\%$, dan sebesar $1640\,\mathrm{Mt}$ dengan $0.44\,\%$ Cu dan $0.45\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ Au pada kadar batas terendah yang tersedia. (a) Tentukan tembaga (Mt) dan emas (t) yang terkandung pada setiap perkiraan. (b) Tonase berapa dan tembaga berapa yang ditambahkan oleh blok-blok tambahan pada perkiraan kedua, dan dengan kadar rata-rata berapa? (c) Mengapa kedua perkiraan itu benar?

Solusi

Solusi Latihan 29.2.

(a) $914 \times 0.0053 = 4.84\,\mathrm{Mt}$ tembaga dan $914 \times 10^6 \times 0.40 = 3.66 \times 10^{8}$ g, yaitu $366\,\mathrm{t}$ emas; $1640 \times 0.0044 = 7.22\,\mathrm{Mt}$ dan $738\,\mathrm{t}$. (b) $1640 - 914 = 726\,\mathrm{Mt}$ yang memuat $7.216 - 4.844 = 2.37\,\mathrm{Mt}$ tembaga, dengan kadar rata-rata $2.372/726 = 0.327\,\%$: blok-blok tambahan itu terletak di bawah kadar batas $0.3\,\%$ dan tepat di atasnya. (c) Keduanya menjawab pertanyaan itu pada dua kadar batas; tidak satu pun merupakan ukuran endapan tanpa kadar batasnya.

Latihan 29.3 ★

Dalam hukum Stokes kecepatan pengendapan butir berdiameter $d$ sebanding dengan $(\rho_s - \rho_w)\,d^2$. Ambillah $\rho_w = 1.00$, kuarsa 2.65, emas 19.3, zirkon 4.7 (dalam $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). (a) Berapa kali lebih cepat butir emas mengendap daripada butir kuarsa yang berukuran sama? (b) Berapa perbandingan diameter butir emas dan butir kuarsa yang mengendap dengan kecepatan yang sama? (c) Butir kuarsa mana yang mengendap seperti butir zirkon berukuran $0.1\,\mathrm{mm}$?

Solusi

Solusi Latihan 29.3.

(a) $(19.3 - 1.00)/(2.65 - 1.00) = 18.3/1.65 = 11.1$. (b) Kecepatan yang sama memerlukan $(\rho_g - 1)d_g^2 = (\rho_q - 1)d_q^2$, sehingga $d_g/d_q = \sqrt{1.65/18.3} = 0.300$: butir emas mengendap seperti butir kuarsa yang kira-kira tiga kali lebih besar. (c) $d_q = 0.1\sqrt{3.7/1.65} = 0.150\,\mathrm{mm}$.

Latihan 29.4 ★

Suatu bijih tembaga primer memiliki kadar $0.4\,\%$. Pelapukan melindi semua tembaganya sepanjang ketebalan $150\,\mathrm{m}$ dan mengendapkannya kembali dalam selimut setebal $50\,\mathrm{m}$ tepat di bawahnya, dengan densitas yang sama. (a) Tentukan kadar selimut itu. (b) Hal yang sama jika hanya $80\,\%$ tembaga yang terlindi diendapkan kembali. (c) Ketebalan terlindi berapa yang akan memberikan $1.7\,\%$ dengan pengendapan kembali yang lengkap?

Solusi

Solusi Latihan 29.4.

Per satuan luas dan densitas, selimut itu mempertahankan tembaganya sendiri dan menerima tembaga dari kolom yang terlindi: $g = g_0(h_e + \eta h_l)/h_e$. (a) $0.4 \times (50 + 150)/50 = 1.6\,\%$. (b) $0.4 \times (50 + 0.8 \times 150)/50 = 1.36\,\%$. (c) $h_l = 50 \times (1.7/0.4 - 1) = 163\,\mathrm{m}$. Kadar-kadar ini berada dalam rentang 0.4–$1.7\,\%$ selimut porfiri yang diperkaya.

Latihan 29.5 ★★

Suatu magma memuat $10\,\mathrm{ppb}$ platina dan $200\,\mathrm{ppm}$ nikel; ambillah $D_{\mathrm{Pt}} = 10^4$ dan $D_{\mathrm{Ni}} = 500$. (a) Dengan memakai (29.2), tentukan kandungan platina (ppm) dan nikel (wt%) dalam sulfida untuk $R = 100$, $1000$, $10\,000$, dan $100\,000$. (b) Tentukan limitnya untuk $R \to \infty$. (c) Jelaskan mengapa bijih nikel hanya sedikit memberi tahu tentang $R$, sedangkan bijih platina banyak.

Solusi

Solusi Latihan 29.5.

(a) Platina, $C_S = 10 \times 10^4 (R + 1)/(R + 10^4)$ ppb: $1.00\,\mathrm{ppm}$ untuk $R = 100$, $9.10\,\mathrm{ppm}$ untuk $1000$, $50.0\,\mathrm{ppm}$ untuk $10\,000$, $90.9\,\mathrm{ppm}$ untuk $100\,000$. Nikel, $C_S = 200 \times 500 (R + 1)/(R + 500)$ ppm: $1.68\,\%$, $6.67\,\%$, $9.52\,\%$, $9.95\,\%$. (b) $D\,C_L$: $100\,\mathrm{ppm}$ platina, $10\,\%$ nikel. (c) Nikel berada dalam $5\,\%$ dari batas atasnya mulai $R = 10\,000$, sehingga kandungannya hampir tidak berubah sepanjang faktor sepuluh dalam $R$; platina di sana masih hampir berlipat dua, sehingga kandungannya mengukur $R$.

Latihan 29.6 ★★

Dengan memakai (29.3) untuk populasi tembaga porfiri: (a) tentukan rata-rata dan simpangan baku $\log_{10} M$, serta tembaga terkandung mediannya. (b) Berapa fraksi endapan yang memuat lebih dari $10\,\mathrm{Mt}$ tembaga? Berapa banyak dari 422? (c) Ulangi (b) dengan mengabaikan korelasi.

Solusi

Solusi Latihan 29.6.

(a) $\mu_M = 2.373 - 0.364 - 2 = 0.009$; $\sigma_M = 0.702$; median $10^{0.009} = 1.02\,\mathrm{Mt}$. (b) $z = (1 - 0.009)/0.702 = 1.412$, $1 - \Phi(1.412) = 0.0790$: sekitar 33 endapan dari 422. (c) $\sigma = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2} = 0.684$, $z = 1.449$, $1 - \Phi = 0.0737$, sekitar 31: korelasi yang lemah itu menambahkan beberapa raksasa.

Latihan 29.7 ★★

Untuk endapan ilustratif dalam gambar ($T_0 = 1000\,\mathrm{Mt}$, median $0.40\,\%$, $s = 0.60$), gunakan (29.4) untuk menentukan tonase, kadar rata-rata, dan tembaga terkandung di atas kadar batas $0.3\,\%$ dan $0.6\,\%$. Periksalah satu titik pada gambar.

Solusi

Solusi Latihan 29.7.

Rata-rata semua blok $0.40\,e^{0.18} = 0.479\,\%$. Untuk $c = 0.3$: $z = \ln(0.40/0.3)/0.60 = 0.4795$, $\Phi(z) = 0.6842$, $\Phi(z + s) = 0.8598$: $T = 684\,\mathrm{Mt}$, $\bar g = 0.479 \times 0.8598/0.6842 = 0.602\,\%$, $M = 1000 \times 0.00479 \times 0.8598 = 4.12\,\mathrm{Mt}$. Untuk $c = 0.6$: $z = -0.6758$, $\Phi = 0.2496$, $\Phi(z + s) = 0.4698$: $250\,\mathrm{Mt}$ dengan $0.901\,\%$, $2.25\,\mathrm{Mt}$. Pada gambar, pada kadar batas $0.3\,\%$ kurva biru terbaca sekitar $680\,\mathrm{Mt}$ dan kurva merah sekitar $0.6\,\%$.

Latihan 29.8 ★★

Suatu endapan porfiri memuat $5\,\mathrm{Mt}$ tembaga. Misalkan fluida magmatiknya membawa $1000\,\mathrm{ppm}$ tembaga, yang separuhnya diendapkan dalam bijih, dan magma itu melepaskan $3.5\,\%$ massanya sebagai fluida. (a) Tentukan massa fluida dan massa magma yang diperlukan. (b) Tentukan volume magma itu, dengan densitas $2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (c) Jika magma itu memuat $50\,\mathrm{ppm}$ tembaga, berapa fraksi tembaga itu yang berakhir di dalam bijih?

Solusi

Solusi Latihan 29.8.

(a) Fluida: $5 \times 10^{6}/(1 \times 10^{-3} \times 0.5) = 1.00 \times 10^{10}\,\mathrm{t}$; magma: $1 \times 10^{10}/0.035 = 2.86 \times 10^{11}\,\mathrm{t}$. (b) $2.86 \times 10^{14}/2600 = 1.10 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, $110\,\mathrm{km}^{3}$, sebuah kubus magma bersisi sekitar $4.8\,\mathrm{km}$. (c) Magma itu memuat $2.86 \times 10^{11} \times 50 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{7}\,\mathrm{t}$ tembaga, dan bijih memuat $5/14.3 = 0.350$ darinya.

Latihan 29.9 ★★

Delapan sedimen sungai latar belakang memberikan $\log_{10}$ Cu (ppm) sebesar 1.30, 1.45, 1.38, 1.52, 1.41, 1.35, 1.48, dan 1.40. (a) Tentukan rata-rata dan simpangan baku (populasi) logaritma itu, median latar belakang, dan ambang rata-rata ditambah dua simpangan baku, dalam ppm. (b) Suatu anak sungai yang mengalirkan $4\,\mathrm{km}^{2}$ tanah termineralisasi membawa sedimen dengan $400\,\mathrm{ppm}$; anak sungai itu bergabung dengan sungai yang mengalirkan $36\,\mathrm{km}^{2}$ dengan median latar belakang. Dengan menganggap setiap kilometer persegi menghasilkan massa sedimen yang sama, apakah sedimen campurannya anomal? (c) Sampai luas daerah tangkapan total berapa anomali itu tetap di atas ambang?

Solusi

Solusi Latihan 29.9.

(a) Rata-rata logaritma 1.411, simpangan baku 0.0664; median $10^{1.411} = 25.8\,\mathrm{ppm}$; ambang $10^{1.411 + 0.133} = 10^{1.544} = 35.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $(4 \times 400 + 36 \times 25.8)/40 = 63.2\,\mathrm{ppm}$, di atas $35.0\,\mathrm{ppm}$: masih anomal setelah diencerkan oleh sembilan bagian sedimen bersih. (c) $4 \times 400 + (A - 4) \times 25.8 = 35.0\,A$ memberikan $A = 4 \times (400 - 25.8)/(35.0 - 25.8) = 163\,\mathrm{km}^{2}$.

Latihan 29.10 ★★★

(a) Buktikan $e^{su}\varphi(u) = e^{s^2/2}\varphi(u - s)$. (b) Turunkan rata-rata peubah log-normal, $e^{\mu + s^2/2}$. (c) Tunjukkan bahwa fraksi logam di atas kadar batas, $\Phi(z + s)$, selalu melebihi fraksi tonase, $\Phi(z)$, lalu tafsirkan.

Solusi

Solusi Latihan 29.10.

(a) $e^{su}\,e^{-u^2/2} = e^{-(u - s)^2/2 + s^2/2}$; bagi dengan $\sqrt{2\pi}$. (b) $E[e^{\mu + su}] = e^{\mu}\int e^{su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}\int\varphi(u - s)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}$. (c) $\Phi$ naik dan $s > 0$, sehingga $\Phi(z + s) > \Phi(z)$: blok-blok yang dipertahankan lebih kaya daripada blok-blok yang dibuang, sehingga setiap kadar batas mempertahankan bagian logam yang lebih besar daripada bagian batuan; selisihnya bertambah seiring $s$, yaitu variabilitas endapan itu.

Latihan 29.11 ★★★

(a) Dari (29.2), tentukan $R$ saat $C_S$ mencapai fraksi $f$ dari batas atasnya $D\,C_L$. (b) Hitunglah untuk $f = 0.5$ dan $0.9$ dengan $D = 300$ (nikel) dan $D = 10^4$ (platina). (c) Bandingkan dengan rentang $R$ bijih nikel–tembaga dan terumbu PGE yang diberikan dalam teks.

Solusi

Solusi Latihan 29.11.

(a) $D(R + 1)/(R + D) = fD$ memberikan $R + 1 = fR + fD$, $R = (fD - 1)/(1 - f)$. (b) $f = 0.5$: $R = D - 2$, 298 dan $9998$; $f = 0.9$: $R = 9D - 10$, $2690$ dan $89\,990$. (c) Nikel mencapai $50\,\%$ batas atasnya di dalam rentang bijih nikel–tembaga (100 sampai $2000$), dan 90 persen tepat di atasnya; platina memerlukan $R$ sebesar $10\,000$ sampai $100\,000$, rentang terumbu PGE.

Latihan 29.12 ★★★

(a) Untuk peubah log-normal $M$ dengan $\ln M$ bersimpangan baku $s$, tunjukkan bahwa endapan-endapan di atas kuantil berorde $q$ memuat fraksi $\Phi\bigl(s - \Phi^{-1}(q)\bigr)$ dari logam total. (b) Hitunglah untuk populasi porfiri dan $q = 0.9$. (c) Hal yang sama untuk $q = 0.99$; bandingkan dengan keempat endapan terbesar, yang memuat $26.6\,\%$ tembaga dalam kompilasi itu.

Solusi

Solusi Latihan 29.12.

(a) Dengan $\ln M = m + s u$, endapan di atas kuantil itu memiliki $u > \Phi^{-1}(q)$; logamnya adalah $\int_{\Phi^{-1}(q)}^{\infty} e^{m + su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{m + s^2/2}[1 - \Phi(\Phi^{-1}(q) - s)]$, dan membaginya dengan total $e^{m + s^2/2}$ memberikan $\Phi(s - \Phi^{-1}(q))$. (b) $s = 0.702 \ln 10 = 1.616$; $\Phi(1.616 - 1.282) = \Phi(0.334) = 0.631$. (c) $\Phi(1.616 - 2.326) = \Phi(-0.710) = 0.239$, dibandingkan dengan 0.266 untuk keempat endapan terbesar: endapan-endapan terbesar sedikit lebih besar daripada yang diharapkan hukum log-normal.

Soal 29.1

Soal akhir pekan — Suatu prospek porfiri

Suatu prospek porfiri (rekaan) telah dibor. Lubang penemuannya memotong delapan selang, dari atas ke bawah (panjang dalam meter, kadar tembaga dalam persen): 30 m dengan 0.12; 40 dengan 0.35; 50 dengan 0.62; 60 dengan 0.48; 40 dengan 0.27; 30 dengan 0.81; 50 dengan 0.41; 30 dengan 0.18. Suatu studi geostatistik atas semua lubang mendapati bahwa kadar blok berdistribusi log-normal, dengan median $0.38\,\%$ dan $s = 0.55$ untuk $\ln g$. Tubuh termineralisasi itu mendekati silinder vertikal berjari-jari $450\,\mathrm{m}$ dan bertinggi $700\,\mathrm{m}$, dengan densitas $2.7\,\mathrm{t}\,\mathrm{m}^{-3}$. Gunakan data latihan, dan bulatkan sampai tiga angka penting (probabilitas sampai empat).

Bagian I — Lubang penemuan.

1. Tentukan panjang lubang yang dicuplik dan kadar rata-ratanya yang dibobot menurut panjang.
2. Tentukan rata-rata aritmetika kedelapan kadar. Mengapa rata-rata berbobot adalah yang benar?
3. Fraksi panjang mana yang di atas $0.3\,\%$, dan dengan kadar rata-rata berapa?
4. Tentukan faktor konsentrasi kadar rata-rata berbobot terhadap kerak atas.
5. Hal yang sama untuk selang terkaya.
6. Tentukan kadar rata-rata semua blok endapan itu. Apakah lubang penemuan itu representatif?

Bagian II — Tonase di atas kadar batas.

7. Tentukan volume dan tonase $T_0$ tubuh itu; pertahankan $T_0 = 1200\,\mathrm{Mt}$.
8. Untuk kadar batas $0.3\,\%$, tentukan $z$ dan fraksi blok yang di atasnya.
9. Tentukan tonase di atas kadar batas 0.2, 0.3, dan $0.5\,\%$.
10. Tentukan kadar rata-rata di atas kadar batas $0.3\,\%$.
11. Hal yang sama di atas 0.2 dan $0.5\,\%$.
12. Bila kadar batas dinaikkan dari 0.3 menjadi $0.5\,\%$: dengan faktor berapa tonase dan kadar rata-rata berubah?
13. Pada kadar batas berapa separuh tonase dipertahankan, dan berapa kadar rata-ratanya?

Bagian III — Prospek itu di antara porfiri-porfiri dunia.

14. Tentukan tembaga yang terkandung dalam seluruh tubuh, pada kadar rata-ratanya.
15. Tentukan skor baku tonasenya dalam populasi dunia, dan persentilnya.
16. Hal yang sama untuk kadar rata-ratanya.
17. Tentukan simpangan baku $\log_{10} M$ dengan korelasi, dan tanpa korelasi.
18. Tentukan persentil tembaga terkandungnya.
19. Berapa banyak dari 422 endapan yang diharapkan memuat lebih banyak tembaga?

Bagian IV — Tembaga di atas kadar batas.

20. Tentukan tembaga yang terkandung di atas kadar batas $0.2\,\%$.
21. Hal yang sama di atas $0.5\,\%$.
22. Berapa fraksi tembaga yang terletak di atas $0.3\,\%$, dan berapa fraksi tonasenya?
23. Jelaskan mengapa menurunkan kadar batas di bawah $0.3\,\%$ menambahkan banyak batuan dan sedikit tembaga, dengan memakai jawaban pertanyaan 9 dan 20.
24. Sebagai ringkasan: berapa banyak tembaga yang dimuat prospek itu di atas kadar batas $0.3\,\%$?

Solusi

Solusi Soal 29.1.

1. $330\,\mathrm{m}$; $\sum l\,g = 138.4$, rata-rata $138.4/330 = 0.419\,\%$. 2. $3.24/8 = 0.405\,\%$; setiap selang mewakili suatu panjang inti, jadi suatu volume batuan: selang yang panjang harus lebih diperhitungkan daripada selang yang pendek. 3. $230/330 = 0.697$, dengan $118.6/230 = 0.516\,\%$. 4. $4190/28 = 150$. 5. $8100/28 = 289$. 6. $0.38\,e^{0.55^2/2} = 0.38\,e^{0.1513} = 0.442\,\%$; lubang itu, dengan $0.419\,\%$, berada dalam $6\,\%$ darinya: representatif. 7. $\pi \times 450^2 \times 700 = 4.45 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$; $\times 2.7 = 1.20 \times 10^{9}$ t, $1200\,\mathrm{Mt}$. 8. $z = \ln(0.38/0.3)/0.55 = 0.4298$; $\Phi(z) = 0.6663$. 9. $z = 1.167$, 0.4298, $-0.4990$; $\Phi = 0.8784$, 0.6663, 0.3089; $T = 1050\,\mathrm{Mt}$, $800\,\mathrm{Mt}$, $371\,\mathrm{Mt}$. 10. $\Phi(z + s) = \Phi(0.9798) = 0.8364$; $\bar g = 0.442 \times 0.8364/0.6663 = 0.555\,\%$. 11. $0.442 \times 0.9570/0.8784 = 0.482\,\%$; $0.442 \times 0.5203/0.3089 = 0.744\,\%$. 12. Tonase $\times\, 370.7/799.6 = 0.464$; kadar $\times\, 0.744/0.555 = 1.34$. 13. Pada median, $0.38\,\%$ ($z = 0$): $600\,\mathrm{Mt}$ dengan $0.442 \times \Phi(0.55)/0.5 = 0.442 \times 0.7088/0.5 = 0.627\,\%$. 14. $1200 \times 0.00442 = 5.30\,\mathrm{Mt}$. 15. $(\log_{10} 1200 - 2.373)/0.654 = (3.0792 - 2.373)/0.654 = 1.080$; $\Phi = 0.8599$: persentil ke-86, suatu endapan besar. 16. $(\log_{10} 0.442 + 0.364)/0.199 = (-0.3546 + 0.364)/0.199 = 0.047$; $\Phi = 0.5187$: kadar yang biasa, persentil ke-52. 17. 0.702 dengan korelasi, 0.684 tanpa korelasi. 18. $\mu_M = 0.009$; $(\log_{10} 5.30 - 0.009)/0.702 = (0.7243 - 0.009)/0.702 = 1.019$; $\Phi = 0.8459$: persentil ke-85. 19. $422 \times (1 - 0.8459) = 65$. 20. $M = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s) = 1200 \times 0.00442 \times 0.9570 = 5.08\,\mathrm{Mt}$. 21. $1200 \times 0.00442 \times 0.5203 = 2.76\,\mathrm{Mt}$. 22. $\Phi(z + s) = 0.8364$ dari tembaga, dalam $\Phi(z) = 0.6663$ dari tonase. 23. Dari 0.3 ke $0.2\,\%$ tonase bertambah sebesar $1054 - 800 = 254\,\mathrm{Mt}$ ($32\,\%$) dan tembaga sebesar $5.08 - 4.44 = 0.64\,\mathrm{Mt}$ ($14\,\%$): blok-blok yang ditambahkan rata-rata berkadar $0.64/254 = 0.25\,\%$, yang termiskin dalam endapan itu. 24. $1200 \times 0.00442 \times 0.8364 = 800 \times 0.00555$: prospek itu memuat $4.44\,\mathrm{Mt}$ tembaga di atas kadar batas $0.3\,\%$.