5Magma dan Penempatannya

Lelehan basal pada $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mengalir dengan viskositas sekitar $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: kental, tetapi masih dapat dituang. Lelehan riolit kering pada $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ memiliki viskositas mendekati $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, dan sebongkah lelehan itu memerlukan berjam-jam untuk melorot secara kasatmata di bawah beratnya sendiri. Di antara keduanya terbentang sepuluh orde besaran, lebih banyak daripada antara air dan basal itu, dan sebagian besar perbedaannya berasal dari dua hal: silika yang menautkan lelehan menjadi sebuah jaringan, dan suhu, yang beberapa ratus derajat lebih rendah pada magma silikat. Beberapa persen air terlarut, yang dapat ditampung magma riolit di kedalaman, menurunkan viskositasnya dengan faktor $10^{5}$, dan kehilangan pengaruh itu lagi ketika magma naik dan airnya keluar sebagai gelembung. Angka-angka ini menentukan apakah sebuah magma mencapai permukaan dengan tenang, meledak, atau membeku berkilometer di bawah sebagai retas, sill, atau pluton. Bab ini memperlakukan magma sebagai bahan: massa jenis, viskositas, dan volatilnya, fisika kenaikannya melalui rekahan dan sebagai gumpalan, bentuk yang diambilnya ketika berhenti, dan panas yang diberikannya kepada batuan di sekitarnya.

Yang sudah kamu ketahui

Aliran kental (volume Tahun 2 buku fisika): dalam fluida Newton dengan viskositas $\eta$, tegangan gesernya sama dengan $\eta$ kali gradien kecepatan; di antara dua dinding sejajar, gradien tekanan menghasilkan profil parabola (Poiseuille bidang); sebuah bola yang bergerak lambat melalui fluida kental mengalami gaya hambat Stokes $6\pi\eta a v$. Konduksi panas (volume yang sama): suhu mengikuti $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$, dengan difusivitas $\kappa = k/(\rho c)$, dan sebuah lompatan suhu menyebar sebagai fungsi galat sepanjang jarak berorde $\sqrt{\kappa t}$. Daya apung (volume Tahun 1 buku fisika): benda yang terbenam dalam fluida yang lebih rapat mengalami gaya total ke atas yang sama dengan berat fluida yang dipindahkan dikurangi beratnya sendiri. Kesetimbangan kimia (buku-buku kimia): pada kesetimbangan, aktivitas produk dan reaktan memenuhi hukum aksi massa dengan konstanta $K$ yang bergantung pada suhu. Dari volume Tahun 1 seri ini: tekanan litostatik $p = \rho g z$ dan geoterm; dari volume-volume sekolah: batuan mafik dan felsik, fenokris, dan tekstur porfiritik.

5.1 Apa itu magma

Definisi 5.1 (Magma)

Yang disebut magma adalah batuan lebur atau sebagian lebur di bawah permukaan: sebuah lelehan silikat, yaitu cairan yang sebagian besar tersusun atas silikon, oksigen, dan kation logam, bersama kristal dan gelembung gas apa pun yang dibawanya. Yang disebut bubur kristal adalah magma yang begitu kaya kristal sehingga kristal-kristalnya bersentuhan dan membentuk kerangka: magma itu tidak dapat mengalir sebagai cairan, dan lelehannya hanya dapat bergerak melalui pori-pori di antara kristal.

Komposisi lelehan dinyatakan, seperti untuk batuan, dalam persen berat oksida. Tiga lelehan menjadi acuan di sepanjang bab ini, semuanya dipelajari di laboratorium: basal toleiit yang dikeruk dari punggungan tengah samudra (sekitar $51\,\%$ SiO$_2$, $12\,\%$ oksida besi, $7\,\%$ MgO), andesit ($63\,\%$ SiO$_2$), dan riolit ($78\,\%$ SiO$_2$, $8\,\%$ Na$_2$O $+$ K$_2$O dan hampir tanpa besi atau magnesium). Suhu erupsinya berbeda sebesar perbedaan komposisinya: magma basal tererupsi pada $1000\text{ sampai }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (lava yang mengalir di dalam terowongan di Kilauea pernah terukur mendekati $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), magma andesit pada $800\text{ sampai }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, magma riolit pada $650\text{ sampai }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Magma riolit lebih dingin karena merupakan sisa kristalisasi yang panjang atau lelehan pertama batuan kerak, yang keduanya terjadi pada suhu rendah (Bab 8).

Kandungan kristal menentukan apakah magma mengalir. Studi lapangan dan geokronologi atas tubuh granit yang besar menyimpulkan bahwa aliran magmatik secara keseluruhan memerlukan fraksi lelehan sedikitnya $30\text{ sampai }50\,\%$ volume; di bawah itu, kristal-kristalnya terlas dengan tetangganya dan bahan itu berdeformasi sebagai padatan dengan pori-pori berisi lelehan. Sebagian besar magma yang tersimpan di dalam kerak diduga berada dalam keadaan itu, sebagai bubur yang kembali bergerak ketika magma panas ditambahkan dari bawah.

5.2 Massa jenis dan viskositas

5.2.1 Massa jenis lelehan

Lelehan silikat tidak memiliki kisi kristal, tetapi volumenya tetap dapat dibangun dari komponen-komponennya. Eksperimen pada banyak lelehan menunjukkan bahwa setiap oksida menyumbang volume per mol yang hampir tetap, yaitu volume molar parsialnya, yang berubah perlahan dan linear terhadap suhu dan tekanan; volume lelehan adalah jumlah sumbangan-sumbangan ini. Tabel di bawah memberikan nilai-nilai yang dipakai dalam bab ini.

Oksida	$\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$)	$\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$)	$\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$)
SiO$_2$	26.86	0	$-1.89$
Al$_2$O$_3$	37.42	2.62	$-2.26$
FeO	12.68	3.69	$-0.45$
MgO	12.02	3.27	$0.27$
CaO	16.90	3.74	$0.34$
Na$_2$O	29.65	7.68	$-2.40$
K$_2$O	47.28	12.08	$-6.75$
H$_2$O	22.9	9.5	$-3.20$

Proposisi 5.2 (Massa jenis lelehan silikat)

Misalkan sebuah lelehan mengandung komponen oksida $i$ dengan fraksi mol $X_i$, massa molar $M_i$, dan volume molar parsial $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. Jika komponen-komponen itu bercampur secara ideal dalam volume,

$$\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.$$

Air memiliki massa molar hanya $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, tetapi volume molar parsialnya $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$, dekat dengan volume molar parsial silika: air menurunkan massa jenis lelehan dengan kuat. Diterapkan pada ketiga lelehan acuan, proposisi itu memberikan $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ untuk basal pada $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ untuk andesit pada $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan $2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ untuk riolit kering pada $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; satu persen air terlarut mengurangi sekitar $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ dari basal, sebanyak pemanasan beberapa ratus derajat. Lelehan basal karena itu lebih ringan daripada peridotit mantel asalnya (sekitar $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ di bawah kerak dalam model Bumi acuan) dan sedikit lebih ringan daripada kerak bawah model itu ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), sedangkan lelehan riolit bahkan lebih ringan daripada kerak atasnya ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Perbedaan ini mendorong magma ke atas.

5.2.2 Viskositas

Viskositas lelehan silikat ditentukan oleh jaringan tetrahedron SiO$_4$ yang saling bertaut melalui oksigen bersama: untuk mengalir, lelehan harus memutus dan membentuk ulang ikatan silikon–oksigen. Silika dan alumina membangun jaringan itu; kation magnesium, besi, kalsium, dan logam alkali memutusnya, demikian pula air, yang mengubah oksigen jembatan menjadi gugus hidroksil. Pengukuran laboratorium pada lelehan alami mencakup lebih dari lima belas orde besaran, dari $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ hingga $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, dan tidak mengikuti hukum Arrhenius yang sederhana: viskositasnya naik lebih cepat daripada eksponensial dalam $1/T$ ketika lelehan mendingin menuju transisi gelasnya.

Proposisi 5.3 (Hukum Vogel–Fulcher–Tammann)

Viskositas lelehan silikat dengan komposisi tetap mengikuti, dalam batas beberapa persepuluh satuan logaritmik,

$$\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},$$

dengan $\eta$ dalam pascal sekon dan $T$ dalam kelvin. Untuk lelehan alami, $A$ dekat dengan $-4.55$ apa pun komposisinya; $B$ dan $C$ (dalam kelvin) adalah kombinasi linear persentase mol oksida-oksidanya, dengan beberapa hasil kali di antaranya, yang dicocokkan dengan sekitar $1800$ pengukuran.

Gambar di bawah menunjukkan hukum itu untuk ketiga lelehan acuan dan untuk riolit dengan air terlarut. Pada $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ basal memiliki $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; andesit pada $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sekitar $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; riolit kering pada $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sekitar $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Empat persen air menurunkan riolit yang sama menjadi $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, enam persen menjadi $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Sebuah persamaan independen yang dicocokkan hanya dengan lelehan granit yang mengandung air memberikan nilai yang sama dalam batas setengah satuan logaritmik (Latihan 5.1). Pengaruh air paling besar pada suhu rendah, tempat beberapa persepuluh persen saja mengubah viskositas hingga beberapa orde besaran.

Kristal membuat magma makin kaku. Suspensi partikel kaku menahan geseran lebih kuat daripada cairannya saja, karena cairan harus mengalir mengitari partikel, dan ketika partikel cukup berdesakan sehingga bersentuhan, partikel-partikel itu terkunci menjadi kerangka.

Proposisi 5.4 (Hubungan Einstein–Roscoe)

Suspensi bola kaku dengan fraksi volume $\phi$ dalam cairan Newton dengan viskositas $\eta_{\ell}$ memiliki viskositas

$$\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,$$

dengan $\phi_m$ fraksi kemasan maksimum, tempat suspensi macet. Untuk $\phi$ kecil, hubungan ini tereduksi menjadi rumus Einstein $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

Dua puluh persen kristal menggandakan viskositas, empat puluh persen mengalikannya dengan tujuh, enam puluh persen dengan lebih dari enam puluh (Latihan 5.5); dalam magma nyata, yang kristalnya memanjang dan berukuran beragam, penguncian terjadi lebih awal, di sekitar $50\text{ sampai }70\,\%$ kristal, tempat bukti lapangan meletakkan akhir aliran secara keseluruhan.

5.3 Volatil

Definisi 5.5 (Volatil magmatik)

Yang disebut volatil magmatik adalah komponen magma yang terlarut dalam lelehan di kedalaman dan membentuk fase gas terpisah pada tekanan rendah: terutama air, lalu karbon dioksida, lalu spesies belerang. Yang disebut eksolusi volatil adalah pemisahan volatil dari lelehan menjadi gelembung gas. Yang disebut tekanan jenuh volatil sebuah lelehan adalah tekanan yang di bawahnya volatil terlarutnya melampaui kelarutannya, sehingga fase gas harus terbentuk.

Magma mafik umumnya membawa $1\text{ sampai }3\,\%$ volatil menurut massa, magma menengah $3\text{ sampai }4\,\%$, magma felsik $4\text{ sampai }7\,\%$, dan eksolusi $4\text{ sampai }6\,\%$ air menggerakkan sebagian besar erupsi eksplosif. Berapa banyak air yang dapat ditampung lelehan bergantung terutama pada tekanan. Gambar di bawah menunjukkan pengukuran pada lelehan basal dan riolit yang ditahan pada tekanan air yang diketahui hingga jenuh, lalu dicelup cepat menjadi gelas dan dianalisis: kelarutannya naik tajam pada tekanan rendah dan lebih lambat pada tekanan tinggi.

Proposisi 5.6 (Hukum akar kuadrat untuk air)

Misalkan air larut dalam lelehan silikat terutama sebagai gugus hidroksil, melalui reaksi $\mathrm{H_2O\,(gas)} + \mathrm{O^{2-}\,(melt)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{OH^-\,(melt)}$, dengan oksigen lelehan yang jauh berlebih. Maka, pada kandungan air yang rendah, air terlarut sebanding dengan akar kuadrat tekanan air: $w \approx s\sqrt{p}$, dengan $s$ konstanta yang bergantung pada lelehan dan suhu.

Dicocokkan dengan pengukuran melalui kuadrat terkecil, $w = s\sqrt p$ memberikan $s = 0.34$ persen berat per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ untuk basal dan $s = 0.44$ untuk riolit; setiap pengukuran terletak dalam selisih satu persen air dari kurvanya. Tekanan jenuh lelehan dengan $w$ persen air kemudian adalah $p_s = (w/s)^2$: $129\,\mathrm{MPa}$ untuk riolit dengan $5\,\%$ air, sekitar $5\,\mathrm{km}$ di bawah dalam kerak, tetapi hanya $2\,\mathrm{MPa}$ untuk basal dengan $0.5\,\%$, seratus meter atau kurang.

Karbon dioksida jauh kurang larut daripada air. Gas itu larut sebagai molekul dalam riolit dan sebagai gugus karbonat dalam basal, lebih banyak dalam lelehan alkali daripada dalam toleiit, dan kelarutannya juga naik bersama tekanan. Magma yang membawa kedua gas itu karena itu mulai melakukan eksolusi di kedalaman, dengan gas yang sangat kaya CO$_2$, dan gas itu menjadi makin kaya air ketika magma naik. Basal yang tererupsi di dasar laut dalam mengandung vesikel berisi lebih dari $95\,\%$ CO$_2$, yang menuntut kejenuhan CO$_2$ bahkan di bawah $5\,\mathrm{km}$ air. Taksiran kandungan CO$_2$ awal basal induk Kilauea berkisar dari $0.2\text{ sampai }0.6\,\%$, dan inklusi lelehan yang terperangkap dalam kristal olivinnya merekam tekanan jenuh hingga $500\,\mathrm{MPa}$.

Gas yang tereksolusi menempati volume yang besar. Satu persen air dalam magma pada $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ menempati, sebagai gas ideal, sekitar $12\,\%$ volume pada $100\,\mathrm{MPa}$, $57\,\%$ pada $10\,\mathrm{MPa}$, dan lebih dari $99\,\%$ pada tekanan atmosfer (Latihan 5.7). Gelembung-gelembung itu makin menurunkan massa jenis magma dan mendorongnya ke atas lebih cepat; dalam magma yang kental gelembung itu tidak dapat lolos, dan Bab 6 menunjukkan bagaimana gelembung itu memecah-mecahnya.

5.4 Kenaikan

Tubuh magma yang kurang rapat daripada sekelilingnya mengalami gaya apung sebesar $\Delta\rho\,g$ per satuan volume, dengan $\Delta\rho$ selisih massa jenisnya. Tubuh itu dapat naik dengan dua cara: melalui rekahan yang dibukanya di depannya, atau sebagai gumpalan panas dan lunak yang mendesak batuan di sekitarnya ke samping.

5.4.1 Retas

Di kedalaman batuan berada di bawah tekanan litostatik yang besar, tetapi rekahan yang terisi magma dengan tekanan sedikit lebih tinggi daripada tegangan utama terkecil dapat membuka dan memanjang di ujungnya. Magma mengisi rekahan itu seiring pertumbuhannya, dan hasilnya adalah lembaran magma yang tipis, selebar beberapa meter dan sepanjang beberapa kilometer, yang memotong jalannya ke atas: retas yang sedang terbentuk. Magma kemudian mengalir di antara dua dinding yang hampir sejajar.

Proposisi 5.7 (Aliran magma dalam retas)

Magma Newton dengan viskositas $\eta$ yang didorong ke atas oleh gradien tekanan $G$ (untuk aliran apung, $G = \Delta\rho\,g$) di antara dua dinding sejajar berjarak $w$ mengalir dengan kecepatan rata-rata

$$\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},$$

dan fluks volume per satuan panjang retas adalah $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

Pangkat tiga lebar membuat retas yang lebar jauh lebih efisien daripada yang sempit. Basal $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dalam retas selebar $1\,\mathrm{m}$, dengan $\Delta\rho = 300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, naik dengan kecepatan sekitar $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan melintasi $10\,\mathrm{km}$ kerak dalam satu jam; riolit $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dalam retas yang sama akan memerlukan lebih dari setahun, dan akan membeku di tengah jalan, sehingga magma silikat memerlukan retas yang jauh lebih lebar (Latihan 5.6). Bilangan Reynolds $\rho\bar u w/\eta$ aliran-aliran ini cukup kecil sehingga alirannya tetap laminar. Laju kenaikan yang ditaksir untuk magma selama erupsi memisahkan erupsi efusif, di bawah sekitar $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dari erupsi eksplosif di atasnya, dengan rentang peralihan dari $0.005\text{ sampai }0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tempat kedua gaya erupsi terjadi; kimberlit, yang berasal dari kedalaman lebih dari $150\,\mathrm{km}$, ditaksir naik dengan $0.1\text{ sampai }30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dan sebuah studi difusi atas salah satunya memberikan $0.02\text{ sampai }0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ yang dirata-ratakan atas $80\text{ sampai }110\,\mathrm{km}$ terakhir, perjalanan selama $5\text{ sampai }74$ hari.

5.4.2 Diapir

Definisi 5.8 (Diapir, tingkat daya apung netral, stoping)

Yang disebut diapir adalah tubuh bahan yang apung, magma atau batuan sebagian lebur, yang naik menembus sekelilingnya dengan mengalirkan sekelilingnya ke samping. Yang disebut tingkat daya apung netral sebuah magma adalah kedalaman tempat massa jenisnya sama dengan massa jenis batuan di sekitarnya: di bawahnya magma itu apung, di atasnya magma itu lebih rapat daripada sekelilingnya. Yang disebut stoping magmatik adalah lepasnya blok-blok batuan dinding atau atap, yang tenggelam ke dalam magma; blok yang tetap terselubung dalam batuan yang telah membeku adalah xenolit.

Proposisi 5.9 (Kenaikan Stokes)

Sebuah bola berjari-jari $a$ dengan defisit massa jenis $\Delta\rho$ yang naik perlahan melalui medium Newton dengan viskositas $\eta$ mencapai kecepatan terminal

$$v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}$$

jika bola itu kaku, dan $1.5$ kali nilai ini jika bola itu fluida dengan viskositas yang dapat diabaikan.

Batuan di sekitar diapir bukan fluida $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, melainkan padatan panas yang viskositasnya berorde-orde besaran lebih tinggi daripada lelehan mana pun: di dalam kerak, bola magma selebar satu kilometer hanya naik beberapa milimeter per tahun, dan kehilangan panasnya jauh sebelum naik jauh (Latihan 5.9). Diapir bekerja di tempat sekelilingnya panas dan lunak, di mantel dan di akar dalam sabuk pegunungan, dan di tempat bahan yang apung berupa massa sebagian lebur selebar berkilometer; kerak dangkal dilintasi oleh retas.

5.5 Penempatan

Sebagian besar magma tidak pernah mencapai permukaan. Magma berhenti di tempat yang tidak lagi apung baginya, atau di tempat ia dihalangi lapisan yang lebih kuat, dan menyebar menjadi tubuh yang bentuknya merekam bagaimana magma itu membuat ruang bagi dirinya.

Definisi 5.10 (Tubuh intrusif)

Yang disebut pluton adalah tubuh magma apa pun yang membeku di dalam kerak. Yang disebut retas (dike) adalah pluton berbentuk lembaran yang memotong perlapisan batuan induknya (atau lembaran apa pun jika batuan induknya tidak berlapis); yang disebut sill adalah pluton berbentuk lembaran yang sejajar dengan perlapisan. Yang disebut lakolit adalah sill yang menebal dengan mendorong lapisan-lapisan di atasnya menjadi kubah. Yang disebut batolit adalah pluton besar, atau himpunan pluton, dengan luas tersingkap lebih dari $100\,\mathrm{km}^{2}$.

Tempat magma berhenti bergantung pertama-tama pada massa jenisnya. Dalam kerak yang massa jenisnya bertambah terhadap kedalaman, magma naik hingga tingkat daya apung netralnya dan menyebar ke samping di sana, sebagai sill atau lensa; sedimen ringan di dekat permukaan merupakan perangkap yang sangat efektif bagi magma basal yang rapat. Lapisan yang kuat dan kaku juga dapat menghentikan retas dan membelokkannya di sepanjang dasar lapisan itu. Gambar di bawah menunjukkan prinsipnya.

Pluton harus membuat ruang bagi dirinya. Pluton dapat mengangkat atapnya, seperti lakolit; pluton dapat mendesak dindingnya ke samping di tempat dinding itu lunak; pluton dapat mengisi ruang yang dibuka oleh pensesaran; dan pluton dapat melakukan stoping pada atapnya, blok demi blok. Pluton besar lama dibayangkan sebagai tangki magma raksasa yang ditempatkan sekaligus. Penentuan umur telah mengubah gambaran itu. Zirkon Tuolumne Intrusive Suite, sebuah batolit granit di California, menunjukkan bahwa batolit itu ditempatkan antara $95$ dan $85\,\mathrm{Ma}$, paling tua di tepi dan paling muda di pusat, dan salah satu satuannya saja selama lebih dari $3\,\mathrm{Ma}$, antara $92.8\,\mathrm{Ma}$ dan $88.8\,\mathrm{Ma}$. Satu tubuh magma setebal $5\,\mathrm{km}$ dan selebar $20\,\mathrm{km}$ yang ditempatkan pada kedalaman $15\,\mathrm{km}$ akan mendingin di bawah $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, saat magma itu kira-kira setengah terkristalkan, dalam sekitar $500\,000$ tahun. Pluton semacam itu pasti dirakit secara bertahap, dari banyak intrusi yang lebih kecil seperti lembaran dan retas, selama jutaan tahun (Latihan 5.11).

5.6 Pendinginan dan metamorfisme kontak

Intrusi kehilangan panasnya melalui konduksi ke batuan induknya. Model paling sederhana memperlakukan intrusi dan batuan induknya sebagai satu medium penghantar dengan difusivitas $\kappa$ yang seragam: pada waktu nol, lembaran setebal $b$ berada pada suhu intrusi $T_m$ dan batuan induk pada $T_0$. Penyelesaian persamaan panas, dengan $x$ diukur dari tengah lembaran, adalah

Gambar di bawah menunjukkannya untuk sill setebal $100\,\mathrm{m}$.

Proposisi 5.11 (Suhu kontak)

Dalam model ini, selama $\sqrt{\kappa t}$ kecil dibandingkan dengan $b$, suhu pada kontak intrusi tetap pada rata-rata $(T_m + T_0)/2$ suhu intrusi dan suhu batuan induk.

Retas basal pada $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dalam batuan pada $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dengan demikian memanaskan kontaknya hingga $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Kalor kristalisasi, umumnya $700\text{ sampai }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, menjaga magma tetap panas lebih lama dan menaikkan nilai ini: dengan $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ yang dilepaskan antara $1150$ dan $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, model yang sama memberikan $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, sedangkan konduktivitas yang bergantung pada suhu dan batuan induk yang basah menurunkan kedua taksiran itu sebesar 50 hingga $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Skala waktu pendinginan adalah waktu yang diperlukan panas untuk berdifusi melintasi intrusi, berorde $(b/2)^2/\kappa$: sekitar $16$ hari untuk retas selebar $2\,\mathrm{m}$, satu abad untuk sill setebal $100\,\mathrm{m}$, seratus ribu tahun untuk pluton berukuran beberapa kilometer. Kalor laten memperpanjangnya, demikian pula keharusan membekukan magma, bukan sekadar mendinginkannya.

Proposisi 5.12 (Pembekuan intrusi)

Misalkan magma pada suhu pembekuannya $T_m$, dengan kalor laten $L$ per satuan volume, mengisi ruang $y > 0$ di samping batuan induk pada $T_0$ yang menempati $y < 0$, keduanya dengan kapasitas kalor $\rho c$ per satuan volume dan difusivitas $\kappa$. Front pembekuan maju sebagai $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$, dengan $\lambda$ akar dari

$$\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},$$

dan kontaknya tetap pada $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. Sill setebal $b$, yang membeku dari kedua dindingnya, menjadi padat setelah $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

Dengan kalor laten basal dan batuan induk bersuhu sekitar $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\lambda$ sekitar $0.65$: sill setebal $100\,\mathrm{m}$ membeku dalam sekitar tujuh puluh tahun, dan kontaknya tetap di sekitar $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, bukan $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, selama proses itu. Soal akhir pekan menelusuri kasus ini. Karena waktunya bertambah sebagai kuadrat ketebalan, sill yang sepuluh kali lebih tebal memerlukan waktu seratus kali lebih lama.

Definisi 5.13 (Aureol kontak dan batuannya)

Yang disebut tepi dingin adalah pinggiran intrusi yang berbutir halus atau bergelas, tempat magma mendingin dengan cepat terhadap batuan induk yang lebih dingin. Yang disebut aureol kontak adalah zona batuan induk di sekitar intrusi yang termetamorfosis oleh panasnya. Yang disebut hornfels adalah batuan keras, berbutir halus, dan tidak berfoliasi yang terbentuk dari batu lumpur dan batuan vulkanik dalam aureol kontak. Yang disebut skarn adalah batuan yang terbentuk ketika fluida magmatik panas bereaksi dengan batuan induk karbonat, mengendapkan silikat kalsium–besi–magnesium seperti garnet dan piroksen, sering bersama magnetit dan sulfida logam.

Aureol kontak berkisar dari beberapa sentimeter di sekitar retas dan sill kecil hingga beberapa puluh meter di sekitar stok yang besar, dan metamorfisme kontak mencakup sekitar $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ hingga lebih dari $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Batu lumpur menjadi hornfels, batu gamping menjadi marmer, batu pasir menjadi kuarsit. Magma yang ditempatkan jauh di dalam batuan yang sudah panas hampir tidak membuat aureol: lebarnya bergantung pada ukuran dan suhu intrusi serta pada suhu batuan induknya, seperti diramalkan model pendinginan (Latihan 5.12). Mineral yang tumbuh dalam aureol, dan apa yang dikatakannya tentang suhu, termasuk dalam Bab 10; logam yang dipekatkan skarn termasuk dalam Bab 29.

Di lapangan — Membaca kontak sebuah retas

Di tempat retas tersingkap, seorang ahli geologi pertama-tama menelusuri kontaknya dengan batuan induk. Tepi yang lebih halus butirnya atau lebih bergelas daripada bagian tengah retas menunjukkan bahwa magma itu terdinginkan terhadap batuan yang dingin; sebuah retas selebar $25\,\mathrm{cm}$ yang dipelajari di pantai British Columbia memiliki tepi dingin setebal $2\,\mathrm{cm}$. Batuan induk di samping kontak diamati untuk melihat tanda pemanggangan: perubahan warna, pengerasan, mineral baru yang memudar menjauhi retas. Lebar zona terpanggang dan lebar tepi dingin, yang dibandingkan dengan lebar retas, menunjukkan seberapa panas batuan induk ketika retas itu datang; retas tanpa tepi dingin dan tanpa aureol menerobos batuan yang sudah panas. Sampel diambil melintasi retas, dari tepi ke tengah, untuk geokimia lelehannya dan untuk ukuran kristalnya.

5.7 Latihan

Latihan 5.1 ★

Untuk lelehan granit yang mengandung air, sebuah persamaan yang dicocokkan dengan pengukuran memberikan $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln w]\}$, dengan $\eta$ dalam $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $w$ kandungan air dalam persen berat, dan $T$ dalam kelvin. Hitunglah $\log_{10}\eta$ pada $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ untuk $w = 1$ dan $w = 4$, serta faktor penurunan viskositas oleh tiga persen air tambahan itu.

Solusi

Solusi Latihan 5.1.

$T = 1073\,\mathrm{K}$. Untuk $w = 1$, $\ln w = 0$: $\log_{10}\eta = -3.545 + 9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. Untuk $w = 4$, $\ln 4 = 1.386$: $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$, $B = 9601 - 3283 = 6318$, $C = 195.7 + 44.7 = 240.4$, dan $\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. Viskositasnya turun dengan faktor $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

Latihan 5.2 ★

Dengan hukum akar kuadrat, $s = 0.44$ untuk riolit dan $s = 0.34$ untuk basal (persen berat per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$), hitunglah tekanan jenuh riolit dengan $6\,\%$ air dan basal dengan $0.5\,\%$, serta kedalaman yang bersesuaian dalam kerak bermassa jenis $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

Solusi

Solusi Latihan 5.2.

Riolit: $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$, pada kedalaman $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 7.3\,\mathrm{km}$. Basal: $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$, pada $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. Riolit mulai membentuk gelembung jauh di dalam kerak, basal baru di dekat permukaan (jika tidak membawa CO$_2$).

Latihan 5.3 ★

Hitunglah suhu kontak retas basal pada $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ yang menerobos batuan pada $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, lalu batuan pada $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Manakah dari kedua retas itu yang akan memiliki tepi dingin yang lebih lebar?

Solusi

Solusi Latihan 5.3.

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Retas di dalam batuan dingin terdinginkan lebih kuat pada kontaknya, dan memiliki tepi dingin yang lebih lebar.

Latihan 5.4 ★

Namailah setiap tubuh. (a) Lembaran dolerit setebal $30\,\mathrm{m}$ yang terletak di antara dua lapisan batu pasir sepanjang $20\,\mathrm{km}$. (b) Lembaran basal tegak selebar $2\,\mathrm{m}$ yang memotong batu gamping mendatar. (c) Granit yang tersingkap seluas $2000\,\mathrm{km}^{2}$, yang terdiri atas selusin satuan berumur berbeda. (d) Lensa porfiri selebar $1\,\mathrm{km}$, datar di dasarnya, yang di atasnya lapisan-lapisan melengkung ke atas. (e) Lembaran basal mendatar di dalam granit.

Solusi

Solusi Latihan 5.4.

(a) Sill, sejajar dengan perlapisan. (b) Retas, memotong perlapisan. (c) Batolit, lebih dari $100\,\mathrm{km}^{2}$ dan dirakit dari banyak intrusi. (d) Lakolit, yang telah mengubah atapnya menjadi kubah. (e) Retas: granit tidak berlapis, sehingga lembaran apa pun di dalamnya adalah retas, apa pun orientasinya.

Latihan 5.5 ★★

Sebuah lelehan basal memiliki $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Dengan hubungan Einstein–Roscoe ($R = 1.35$), hitunglah viskositas magma dengan $5\,\%$, $20\,\%$, $40\,\%$, dan $60\,\%$ kristal, dan bandingkan yang pertama dengan rumus encer Einstein. Pada fraksi kristal berapa hubungan itu meramalkan kemacetan?

Solusi

Solusi Latihan 5.5.

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$: untuk $\phi = 0.05$, $0.9325^{-2.5} = 1.19$, sehingga $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, dibandingkan $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$, $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, dengan rumus Einstein (dekat, sebagaimana mestinya pada batas encer). Untuk $0.20$: $0.73^{-2.5} = 2.20$, $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; untuk $0.40$: $0.46^{-2.5} = 6.97$, $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; untuk $0.60$: $0.19^{-2.5} = 63.6$, sekitar $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Kemacetan pada $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

Latihan 5.6 ★★

Magma yang massa jenisnya $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ lebih kecil daripada dindingnya naik melalui retas. (a) Untuk basal ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) dalam retas selebar $1\,\mathrm{m}$, hitunglah kecepatan rata-rata, fluks per meter retas, bilangan Reynolds, dan waktu untuk naik $10\,\mathrm{km}$. (b) Waktu yang sama untuk riolit $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dalam retas selebar $1\,\mathrm{m}$, lalu selebar $10\,\mathrm{m}$. (c) Retas selebar $1\,\mathrm{m}$ kehilangan panasnya dalam waktu berorde $(w/2)^2/\kappa$, dengan $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: manakah dari ketiga kenaikan itu yang dapat berhasil?

Solusi

Solusi Latihan 5.6.

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (a) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) = 2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$, laminar; $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$, sekitar $1.1\,\mathrm{h}$. (b) $\bar u = 2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ hari; dengan $w = 10\,\mathrm{m}$, $\bar u$ seratus kali lebih besar, $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dan $t = 4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ hari. (c) Retas $1\,\mathrm{m}$ mendingin dalam sekitar $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, yaitu 2.9 hari; retas $10\,\mathrm{m}$ dalam $5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, yaitu 289 hari. Basal ($1.1\,\mathrm{h}$) dan riolit dalam retas yang lebar (4.7 hari) tiba sebelum retasnya membeku; riolit dalam retas $1\,\mathrm{m}$ (472 hari) tidak dapat.

Latihan 5.7 ★★

Magma bermassa jenis $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ melepaskan $1\,\%$ massanya sebagai uap air. Dengan memperlakukan uap sebagai gas ideal ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), hitunglah fraksi volume gas dalam magma pada $100\,\mathrm{MPa}$, $10\,\mathrm{MPa}$, dan $0.1\,\mathrm{MPa}$. Manakah dari ketiga nilai itu yang paling tidak dapat diandalkan, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 5.7.

Per kilogram magma, $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ air dan $nRT = 0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$; lelehan yang tersisa menempati $0.99/2400 = 4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$. Pada $100\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, fraksi $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. Pada $10\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$, fraksi $0.57$. Pada $0.1\,\mathrm{MPa}$: $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$, fraksi $0.992$. Nilai pada $100\,\mathrm{MPa}$ paling tidak dapat diandalkan: uap air pada tekanan setinggi itu rapat dan jauh dari ideal (dan sebagian besar airnya sebenarnya masih terlarut).

Latihan 5.8 ★★

Dalam sebuah cekungan, massa jenis batuan bertambah terhadap kedalaman $z$ sebagai $\rho(z) = 2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $z$ dalam $\mathrm{km}$) hingga $10\,\mathrm{km}$. (a) Di mana tingkat daya apung netral lelehan basal bermassa jenis $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$? (b) Model massa jenis bab ini menunjukkan bahwa satu persen air terlarut menurunkan massa jenis lelehan basal sekitar $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Di mana lelehan dengan satu persen air tambahan berhenti? (c) Berapa gaya apung per meter kubik lelehan kering itu $2\,\mathrm{km}$ di bawah tingkat daya apung netralnya?

Solusi

Solusi Latihan 5.8.

(a) $2300 + 60z = 2650$ memberikan $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (b) Lelehan itu memiliki $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$, sekitar $1.2\,\mathrm{km}$ lebih tinggi. (c) Pada $z = 7.8\,\mathrm{km}$ batuan memiliki $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; gayanya $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ per meter kubik, ke atas.

Latihan 5.9 ★★

Misalkan sebuah diapir granit berjari-jari $1\,\mathrm{km}$ dengan defisit massa jenis $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ naik melalui kerak bawah dengan viskositas $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Hitunglah kecepatan Stokes-nya (bola kaku) dalam milimeter per tahun dan waktu untuk naik $10\,\mathrm{km}$. Bandingkan dengan skala waktu $a^2/\kappa$ pendinginannya, dengan $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Apa kesimpulanmu?

Solusi

Solusi Latihan 5.9.

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, atau $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ per tahun, $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Naik $10\,\mathrm{km}$ memerlukan $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Ma}$. Skala waktu pendinginan adalah $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{ka}$: tubuh itu membeku setelah naik sekitar $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. Diapir magmatik tidak dapat melintasi kerak semacam itu; diapir memerlukan sekeliling yang lebih panas dan lebih lunak.

Latihan 5.10 ★★★

Air larut dalam lelehan baik sebagai molekul, $x_m = K_1 f$, maupun sebagai gugus hidroksil, $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (oksigen lelehan jauh berlebih), sehingga air terlarut total adalah $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$. (a) Nyatakan $x$ sebagai fungsi $f$ dan tunjukkan bahwa fungsi itu berperilaku sebagai $\sqrt f$ pada $f$ rendah dan sebagai $f$ pada $f$ tinggi. (b) Pada fugasitas berapa kedua bentuk air sama melimpahnya? (c) Dengan $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ dan $K_2 = 0.2$, hitunglah fugasitas itu, serta bagian air yang larut sebagai hidroksil pada $100\,\mathrm{MPa}$.

Solusi

Solusi Latihan 5.10.

(a) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$, sehingga $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. Perbandingan suku pertama terhadap suku kedua adalah $2\sqrt{K_1f/K_2}$: perbandingan itu mendekati nol ketika $f \to 0$ (akar kuadrat mendominasi) dan tumbuh tanpa batas bersama $f$ (suku linear mendominasi). (b) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ memberikan $K_1^2f^2 = K_1K_2f/4$, sehingga $f = K_2/(4K_1)$. (c) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. Pada $100\,\mathrm{MPa}$: $x_m = 0.0100$, $\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} = \frac12\times0.0447 = 0.0224$, sehingga $x = 0.0324$ dan bagian hidroksilnya $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

Latihan 5.11 ★★★

Sebuah pluton granit sebesar $1000\,\mathrm{km}^{3}$ dirakit selama $4\,\mathrm{Ma}$. (a) Hitunglah pasokan magma rata-ratanya dalam $\mathrm{km}^{3}$ per tahun dan dalam $\mathrm{m}^{3}$ per sekon. (b) Satu retas sepanjang $1\,\mathrm{km}$ dan selebar $2\,\mathrm{m}$, dengan kecepatan rata-rata $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, memasoknya: berapa lama retas itu akan mengantarkan seluruh pluton? Berapa bagian dari $4\,\mathrm{Ma}$ itu? (c) Jika pluton itu dibangun dari lembaran setebal $20\,\mathrm{m}$ dengan luas $10\,\mathrm{km}$ kali $10\,\mathrm{km}$, berapa lembaran yang diperlukan, dan berapa lama selang rata-rata antara dua lembaran? (d) Dengan $\lambda = 0.65$ dan $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, berapa lama sebuah lembaran membeku? Apakah pluton itu pernah menjadi satu tubuh magma yang besar?

Solusi

Solusi Latihan 5.11.

(a) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ per tahun, yaitu $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ per tahun, atau $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, sekitar delapan liter per sekon. (b) Retas itu membawa $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, dan mengantarkan $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ dalam $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, sekitar 20 tahun: $5 \times 10^{-6}$ dari $4\,\mathrm{Ma}$. (c) Setiap lembaran memuat $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} = 2\,\mathrm{km}^{3}$, sehingga 500 lembaran, satu setiap $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ tahun rata-rata. (d) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, yaitu 2.7 tahun. Setiap lembaran membeku ribuan tahun sebelum lembaran berikutnya tiba: kecuali pasokannya datang dalam semburan yang cepat, pluton itu tidak pernah menjadi satu tubuh magma yang besar, seperti diisyaratkan penentuan umur pluton-pluton besar.

Latihan 5.12 ★★★

Jauh dari retas tipis selebar $b$ (pada jarak $x \gg b$), panasnya bekerja sebagai sumber bidang seketika: $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (a) Tunjukkan bahwa pada jarak $x$ suhu paling tinggi pada $t^* = x^2/(2\kappa)$, dan bahwa kenaikan tertinggi ini adalah $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) Untuk retas selebar $2\,\mathrm{m}$ dengan $T_m - T_0 = 1100\,\mathrm{K}$, pada jarak berapa batuan menghangat paling banyak $100\,\mathrm{K}$, dan kapan ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)? (c) Mengapa aureol retas tipis begitu sempit?

Solusi

Solusi Latihan 5.12.

(a) Pada $x$ tetap, $\ln(T - T_0) = \text{konstanta} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$, yang turunannya $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ lenyap pada $t^* = x^2/(2\kappa)$. Maka $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ dan $\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$, sehingga $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$: $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$, dicapai setelah $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, sekitar 230 hari (pada jarak hanya 2.7 kali lebar retas, pendekatan sumber bidang itu kasar). (c) Pemanasannya berkurang sebagai $b/x$: retas tipis membawa sedikit panas, dan batuan hanya terpanaskan secara berarti dalam jarak beberapa kali lebar retas.

5.8 Soal: Sill di bawah plato

Soal 5.1

Soal akhir pekan — mengikuti magma basal dari retas pengumpannya hingga sebuah sill, airnya, dan waktu yang diperlukan sill untuk membeku

Di bawah sebuah plato khayalan, sedimen (serpih dan batu pasir) dengan massa jenis rata-rata $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ terletak pada kedalaman $3.0\,\mathrm{km}$ di atas batuan dasar kristalin dengan massa jenis $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Magma basal naik dari $15\,\mathrm{km}$ melalui retas selebar $2.0\,\mathrm{m}$ dan menyebar di sepanjang dasar sedimen sebagai sill dolerit setebal $100\,\mathrm{m}$. Data: suhu intrusi $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; hukum viskositas lelehan $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ dalam kelvin); massa jenis lelehan beserta airnya $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; $20\,\%$ kristal menurut volume (Einstein–Roscoe, $R = 1.35$); air terlarut $0.40\,\%$, kelarutan $s = 0.34$ persen per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; suhu batuan induk di tempat sill $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$, kalor laten $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, dengan magma dianggap membeku pada suhu intrusinya; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; satu tahun adalah $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

Bagian I — Magmanya.

1. Hitunglah $\log_{10}\eta$ dan $\eta$ lelehan pada $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1423\,\mathrm{K}$).
2. Hal yang sama pada $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Dengan faktor berapa viskositas berubah selama $50\,\mathrm{K}$ ini?
3. Hitunglah viskositas magma beserta kristalnya pada $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
4. Pada fraksi kristal berapa hubungan Einstein–Roscoe akan membuat magma macet? Bandingkan dengan taksiran lapangan tentang akhir aliran secara keseluruhan.
5. Hitunglah selisih massa jenis antara magma dan batuan dasar, dan antara magma dan sedimen.
6. Hitunglah tekanan litostatik pada tingkat sill.

Bagian II — Naik melalui retas.

7. Hitunglah gradien tekanan apung $\Delta\rho\,g$ yang mendorong magma melalui batuan dasar.
8. Hitunglah kecepatan rata-rata magma dalam retas.
9. Hitunglah fluks per meter retas, dan fluks totalnya jika retas itu sepanjang $1.0\,\mathrm{km}$.
10. Hitunglah bilangan Reynolds aliran itu. Apakah alirannya laminar?
11. Berapa lama magma naik dari $15\,\mathrm{km}$ ke $3.0\,\mathrm{km}$?
12. Bandingkan dengan skala waktu $(w/2)^2/\kappa$ selama retas kehilangan panasnya. Dapatkah retas itu tetap terbuka?
13. Jelaskan mengapa magma berhenti pada $3.0\,\mathrm{km}$ dan menyebar ke samping, dengan kosakata bab ini.

Bagian III — Airnya.

14. Hitunglah tekanan jenuh air lelehan, dan kedalaman di dalam sedimen tempat tekanan itu tercapai.
15. Berapa banyak air yang dapat ditampung lelehan pada tingkat sill? Apakah magma sill itu melakukan eksolusi air?
16. Vesikel di tepi dingin sill sebagian besar berisi CO$_2$. Jelaskan.
17. Jika seluruh $0.40\,\%$ air keluar di permukaan, pada $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $0.1\,\mathrm{MPa}$, berapa fraksi volume magma yang akan ditempati uap itu (gas ideal)?

Bagian IV — Pendinginan dan pembekuan.

18. Dengan mengabaikan kalor laten, hitunglah suhu kontak sill.
19. Dengan mengabaikan kalor laten, hitunglah suhu $10\,\mathrm{m}$ di atas kontak atas $10$ tahun setelah intrusi.
20. Model yang sama: hitunglah suhu di tengah sill setelah $10$ tahun dan $50$ tahun.
21. Model yang sama: $80\,\mathrm{m}$ di atas kontak atas, hitunglah suhu setelah $300$, $363$, dan $420$ tahun. Apakah batuan di sana pernah mencapai $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?
22. Hitunglah $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ untuk sill itu.
23. Evaluasilah $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ untuk $\lambda = 0.64$, $0.65$, dan $0.66$ ($\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$, $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$, $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$), dan berikan $\lambda$ hingga dua desimal.
24. Dengan kalor laten, hitunglah suhu kontak selama sill membeku. Mengapa suhu itu lebih tinggi daripada pada pertanyaan 18?
25. Hitunglah skala waktu $(b/2)^2/\kappa$ dalam tahun.
26. Hitunglah waktu yang diperlukan sill untuk membeku, dalam tahun, yaitu angka kunci soal ini, dan jelaskan mengapa waktu itu lebih pendek daripada skala waktu pada pertanyaan terakhir meskipun kalor laten harus dikeluarkan.

Solusi

Solusi Soal 5.1.

1. $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$; $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

2. $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$, $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: faktor $480/172 = 2.8$ untuk $50\,\mathrm{K}$.

3. $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 = 378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

4. $\phi = 1/1.35 = 0.74$. Bukti lapangan meletakkan akhir aliran secara keseluruhan pada fraksi lelehan $30\text{ sampai }50\,\%$, yaitu $50\text{ sampai }70\,\%$ kristal: lebih awal, karena kristal nyata bukan bola berukuran seragam.

5. Batuan dasar: $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, magma lebih ringan. Sedimen: $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, magma lebih rapat.

6. $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

7. $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

8. $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

9. $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; sepanjang $1.0\,\mathrm{km}$, sekitar $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

10. $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$: laminar.

11. $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$, sekitar $4.3\,\mathrm{h}$.

12. $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, yaitu 16.5 hari, jauh lebih lama daripada $4.3\,\mathrm{h}$: retas tetap terbuka selama magma mengalir.

13. Pada $3.0\,\mathrm{km}$ magma bertemu sedimen yang lebih ringan daripada dirinya: dasar sedimen adalah tingkat daya apung netralnya. Di atasnya magma akan lebih rapat daripada sekelilingnya, sehingga magma menyebar ke samping di sepanjang kontak sebagai sill.

14. $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$, yang dicapai pada $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan.

15. $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$, jauh lebih banyak daripada $0.40\,\%$ yang ada: magma sill tidak melakukan eksolusi air.

16. CO$_2$ jauh kurang larut daripada air: gas itu menjadi jenuh dan membentuk gelembung jauh di awal kenaikan, sehingga gas pertama sebuah basal sebagian besar CO$_2$.

17. Per kilogram, $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$, $V = 0.222\times8.314\times1423/ 10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$; lelehan menempati $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$; fraksinya $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$, yaitu $98.6\,\%$.

18. $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. Setelah 10 tahun, $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} = 29.7\,\mathrm{m}$. Titik itu berada pada $x = 60\,\mathrm{m}$ dari tengah: $T = 100 + 525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 + 1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. Di tengah, $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$: setelah 10 tahun $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$, $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; setelah 50 tahun, $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$, $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$, $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. Pada $x = 130\,\mathrm{m}$: $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ setelah 300 tahun, $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ setelah 363 tahun (maksimum), $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ setelah 420 tahun. Tanpa kalor laten, batuan $80\,\mathrm{m}$ di atas sill tidak pernah benar-benar mencapai $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

22. $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

23. $\lambda = 0.64$: $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$; $0.65$: $0.6554/1.0673 = 0.614$; $0.66$: $0.6469/1.0886 = 0.594$. Nilai $0.608$ terletak di antara $0.65$ dan $0.66$, dekat dengan $0.65$: $\lambda = 0.65$.

24. $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Kalor laten yang dilepaskan di front pembekuan menjaga sisi magma tetap pada $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ lebih lama, sehingga kontak menerima lebih banyak panas.

25. $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, yaitu 113 tahun.

26. $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} = 2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, sehingga $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$: sill itu padat setelah $67\,$ tahun. Waktu ini lebih pendek daripada $(b/2)^2/\kappa$ dengan faktor $1/(4\lambda^2) = 0.59$: skala waktu itu hanya menetapkan orde besarannya, dan kedua dinding sill menarik panas ke batuan induk yang dingin sekaligus, cukup cepat untuk mengeluarkan kalor laten juga.