الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

14تحويل فورييه

تفكّك متسلسلات فورييه الإشاراتِ الدورية إلى توافقيات متقطّعة؛ ويفعل تحويل فورييه الشيء نفسه بالإشارات على المستقيم كله، بمتصلٍ من الترددات. فهو يحوّل الاشتقاق إلى ضرب، والالتفاف إلى جداء، والدوال الغاوسية إلى دوال غاوسية — ولهذا يحل المعادلات التفاضلية، ويقود معالجة الإشارة، وسيبرهن على مبرهنة النهاية المركزية في الفصل 23. ويطوّر هذا الفصل نظرية $L^1$ (ريمان–لوبيغ، والقلب، والتباين)، وصنف شوارتز حيث يكون التحويل تقابلًا تامًّا، ونظرية $L^2$ (بلانشرِل: أي إن التحويل، إلى غاية ثابت، مؤثر واحدي)، مع تطبيقين بارزين: معادلة الحرارة، محلولةً من أولها إلى آخرها في مسألة نهاية الأسبوع، وصيغة بواسون في الجمع. والاصطلاح:

\hat f(\xi) = \int_\R f(x)\,\eu^{-\iu\xi x}\,\dd x .

14.1 التحويل على $L^1$

قضية 14.1

من أجل $f \in L^1(\R)$ : تكون $\hat f$ معرَّفة جيدًا، ومحدودة ( $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ )، ومتصلة، و:

$\widehat{\tau_af}(\xi) = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ و $\widehat{\eu^{\iu ax}f}(\xi) = \hat f(\xi - a)$ ؛
$\widehat{f(\cdot/\lambda)}(\xi) = \lambda\hat f(\lambda\xi)$ من أجل $\lambda > 0$ ؛
إذا كان $xf \in L^1$ ، فإن $\hat f$ من الصنف $\mathcal C^1$ مع $(\hat f)'(\xi) = \widehat{(-\iu x)f}(\xi)$ ؛
إذا كان $f \in \mathcal C^1$ مع $f' \in L^1$ (ومع $f \to 0$ عند $\pm\infty$ ، وهو تلقائي هنا)، فإن $\widehat{f'}(\xi) = \iu\xi\hat f(\xi)$ ؛
$\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ من أجل $f, g \in L^1$ .

برهان. أما الحد: $\abs{\hat f} \leq \int\abs f$ . وأما الاتصال: فبالتقارب المهيمن مع المهيمِن $\abs f$ (المبرهنة 10.14). و(1) و(2): بالتعويضات (المبرهنة 11.10). و(3): بالاشتقاق تحت علامة التكامل، بالمهيمِن $\abs{xf}$ (المبرهنة 10.15). و(4): أولًا، للمقدار $f(x) = f(0) + \int_0^xf'$ نهايةٌ عند $\pm\infty$ (لأن $f' \in L^1$ )، ولا بد أن تكون $0$ (لأن $f \in L^1$ )؛ ثم نكامل بالتجزئة على $[-A, A]$ ونجعل $A \to \infty$ . و(5): بفوبيني، وهو مشروع لأن $(x,y)\mapsto f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi x}$ قابل للمكاملة مطلقًا (المبرهنة 11.9):

\widehat{f*g}(\xi) = \iint f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi(x - y)} \eu^{-\iu\xi y}\dd x\,\dd y = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi).

∎

مثال 14.2

الدالة الغاوسية: من أجل $a > 0$ ،

\widehat{\eu^{-ax^2}}(\xi) = \sqrt{\frac\pi a}\;\eu^{-\xi^2/4a} :

حسب التمرين 10.7 (بحيلة المعادلة التفاضلية $F' = -\frac\xi{2}F$ ، معادةَ التحجيم)، أو حسب (3): إذ تحقق $g = \widehat{\eu^{-ax^2}}$ أن $g'(\xi) = -\frac{\xi}{2a}g(\xi)$ (بالمكاملة بالتجزئة)، و $g(0) = \sqrt{\pi/a}$ . فالدوال الغاوسية نقاطٌ صامدة للتحويل إلى غاية تحجيم — وهذا هو السبب العميق في سيادتها على مبرهنة النهاية المركزية.

مبرهنة 14.3 (ريمان–لوبيغ)

من أجل $f \in L^1(\R)$ : $\hat f(\xi) \to 0$ حين $\abs\xi \to \infty$ . ومن ثَمّ $\widehat{\phantom f} \colon L^1 \to \mathcal C_0(\R)$ (أي الدوال المتصلة المنعدمة عند اللانهاية).

برهان. من أجل دالة مميّزة لفترة، $\widehat{\mathbf 1_{\intcc ab}}(\xi) = \frac{\eu^{-\iu a\xi} - \eu^{-\iu b\xi}}{\iu\xi} \to 0$ ؛ ومنه من أجل الدوال السلّمية. والدوال السلّمية كثيفة في $L^1$ (المبرهنة 12.6(1) مع تقريب المجموعات المنتهية القياس باتحادات منتهية لفترات، التمرين 9.7)، والتحويل متصل بالمعنى $\norm\cdot_\infty$ – $\norm\cdot_1$ : فمن أجل $\norm{f - s}_1 < \varepsilon$ ، $\limsup_{\abs\xi\to\infty}\abs{\hat f(\xi)} \leq \varepsilon$ . ∎

14.2 القلب والتباين

مبرهنة مساعدة 14.4 (صيغة الضرب)

من أجل $f, g \in L^1(\R)$ : $\displaystyle\int \hat f\,g = \int f\,\hat g$ .

برهان. يساوي الطرفان $\iint f(x)g(\xi)\eu^{-\iu x\xi}\dd x\,\dd\xi$ (بتونيلي–فوبيني: إذ التكامل المزدوج للقيمة المطلقة هو $\norm f_1\norm g_1$ ). ∎

مبرهنة 14.5 (القلب)

لتكن $f \in L^1(\R)$ .

(القابلية للجمع الغاوسي) من أجل كل $x$ ،

$(f * g_\varepsilon)(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\, \eu^{-\varepsilon\xi^2}\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi, \qquad\text{حيث} g_\varepsilon(y) = \frac{1}{2\sqrt{\pi\varepsilon}}\, \eu^{-y^2/4\varepsilon},$

و $f * g_\varepsilon \to f$ في $L^1$ حين $\varepsilon \to 0$ .
وإذا كان فوق ذلك $\hat f \in L^1$ ، فإنه من أجل $x$ في كل مكان تقريبًا

$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi ,$

وتقبل $f$ ممثّلًا متصلًا.
(التباين) إذا كان $\hat f = 0$ فإن $f = 0$ في كل مكان تقريبًا.

برهان. (1) نثبّت $x$ ونطبّق المبرهنة المساعدة 14.4 على $f$ وعلى $g(\xi) = \frac1{2\pi}\eu^{-\varepsilon\xi^2}\eu^{\iu x\xi}$ : فحسب المثال 14.2 (مع قاعدة التضمين)،

\hat g(y) = \frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\, \eu^{-(y - x)^2/4\varepsilon} = g_\varepsilon(x - y),

ومنه $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{-\varepsilon\xi^2} \eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \int f(y)g_\varepsilon(x - y)\dd y = (f*g_\varepsilon)(x)$ . والدوال $g_\varepsilon$ وحدةٌ تقريبية: $g_\varepsilon \geq 0$ ، $\int g_\varepsilon = 1$ (بالتكامل الغاوسي)، وهي تتركّز عند $0$ ؛ وينطبق برهان المبرهنة 12.9(2) حرفيًّا (إذ لم يُستعمل سوى $\int g_\varepsilon = 1$ والتركّز: فمن أجل الذيل، $\int_{\abs y > \delta}g_\varepsilon \to 0$ ): ومنه $\norm{f * g_\varepsilon - f}_1 \to 0$ .

(2) إذا كان $\hat f \in L^1$ : فإن الطرف الأيمن في (1) يتقارب، بالتقارب المهيمن (بالمهيمِن $\abs{\hat f}$ )، إلى $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ من أجل كل $x$ ، ودالة النهاية هذه متصلة (بالتقارب المهيمن مرة أخرى). ومن جهة أخرى $f * g_\varepsilon \to f$ في $L^1$ ، ومنه على امتداد متتالية جزئية في كل مكان تقريبًا (المبرهنة 12.4): فتتوافق النهايتان في كل مكان تقريبًا.

(3) يجعل $\hat f = 0$ الطرفَ الأيمن في (1) منعدمًا: أي $f * g_\varepsilon = 0$ من أجل كل $\varepsilon$ ، و $f * g_\varepsilon \to f$ في $L^1$ : ومنه $f = 0$ في كل مكان تقريبًا. ∎

14.3 صنف شوارتز

تعريف 14.6

صنف شوارتز $\mathcal S(\R)$ مؤلَّف من الدوال $f$ من الصنف $\mathcal C^\infty$ التي تحقق $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ من أجل كل $m, n \geq 0$ (أي إن جميع مشتقاتها تتناقص أسرع من أي قوة). أمثلة: $\eu^{-ax^2}$ ، و $\mathcal C_c^\infty$ . ومن الواضح أن $\mathcal S \subseteq L^p$ من أجل كل $p$ (بالحد بالمقدار $C(1 + x^2)^{-1}$ )، وأن $\mathcal S$ مستقر بالاشتقاق، وبالضرب في كثيرات الحدود، وبالجداءات.

مبرهنة 14.7

يرسل تحويل فورييه $\mathcal S(\R)$ تقابليًّا على نفسه، ومقلوبه $\check g(x) = \frac1{2\pi}\int g(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ .

برهان. لتكن $f \in \mathcal S$ . وبتكرار القضية 14.1(3)، $(\hat f)^{(n)} = \widehat{(-\iu x)^nf}$ (إذ كل $x^kf \in L^1$ )؛ وبتكرار (4) مع $h = (-\iu x)^nf \in \mathcal S$ (وجميع مشتقاتها قابلة للمكاملة)، $(\iu\xi)^m\hat h = \widehat{h^{(m)}}$ . وبالضمّ،

\abs{\xi^m\,(\hat f)^{(n)}(\xi)} = \bigl|\widehat{\,h^{(m)}}(\xi)\bigr| \leq \bigl\|\bigl((-\iu x)^nf\bigr)^{(m)}\bigr\|_1 < \infty

بانتظام في $\xi$ : ومنه $\hat f \in \mathcal S$ . وبما أن $\hat f \in L^1$ ، فإن القلب (المبرهنة 14.5(2)) يصح في كل مكان (لأن الطرفين متصلان): $\check{\hat f} = f$ ، وبالتناظر $\widehat{\check g} = g$ (إذ التحويل المرافق هو $g \mapsto \frac1{2\pi}\hat g(-\cdot)$ ، وهو أيضًا يحفظ $\mathcal S$ ): فيكون تقابلًا. ∎

14.4 بلانشرِل و $L^2$

مبرهنة 14.8 (بلانشرِل)

من أجل $f \in L^1 \cap L^2(\R)$ :

\norm{\hat f}_2^2 = 2\pi\,\norm f_2^2 .

ومن ثَمّ يمتدّ $\widehat{\phantom f}$ بكيفية وحيدة إلى تطبيق خطي متصل $\mathcal F \colon L^2(\R) \to L^2(\R)$ يحقق $\norm{\mathcal Ff}_2 = \sqrt{2\pi}\norm f_2$ ؛ ويكون $\mathcal F$ تقابلًا، مع $\mathcal F^{-1} = \frac1{2\pi}\,\mathcal F\circ\sigma$ حيث $\sigma f = f(-\cdot)$ ، وهو يحفظ الجداءات السلّمية إلى غاية العامل $2\pi$ .

برهان. لتكن $f \in L^1\cap L^2$ ولتكن $h = f * \tilde f$ مع $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ . عندئذٍ $h \in L^1$ (المبرهنة 11.9)، و $h$ متصلة ومحدودة (التمرين 12.6: $f, \tilde f \in L^2$ )، و $h(0) = \int f\bar f = \norm f_2^2$ ، و $\hat h = \hat f\,\widehat{\tilde f} = \hat f\,\overline{\hat f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$ (بحساب $\widehat{\tilde f} = \overline{\hat f}$ ). ونطبّق المبرهنة 14.5(1) على $h$ عند $x = 0$ :

(h * g_\varepsilon)(0) = \frac1{2\pi}\int \hat h(\xi)\,\eu^{-\varepsilon\xi^2}\dd\xi .

وحين $\varepsilon \to 0$ : يؤول الطرف الأيسر إلى $h(0)$ (لأن $h$ متصلة محدودة: $(h*g_\varepsilon)(0) - h(0) = \int(h(-y) - h(0))g_\varepsilon(y)\dd y \to 0$ بالشطر إلى $y$ صغيرة وكبيرة)؛ ويتزايد الطرف الأيمن إلى $\frac1{2\pi}\int\hat h$ بمبرهنة التقارب الرتيب (لأن $\hat h \geq 0$ ). ومنه $\frac1{2\pi}\int\abs{\hat f}^2 = \norm f_2^2$ ، وهو منتهٍ أو غير منتهٍ قبليًّا — وهو منتهٍ، فيَثبُت الانتماء والمتطابقة معًا.

وأما التمديد: فإن $L^1\cap L^2 \supseteq \mathcal C_c$ كثيف في $L^2$ (المبرهنة 12.6)؛ والتحويل متقايس هناك إلى غاية العامل $\sqrt{2\pi}$ ، ومنه يمتدّ بكيفية وحيدة إلى تقايس-إلى-غاية-ثابت $\mathcal F$ على $L^2$ (المبرهنة 7.2). وينتقل القلب من أجل $\mathcal S$ (المبرهنة 14.7) بالكثافة نفسها (إذ الطرفان متصلان بالمعنى $L^2$ ): أي $\mathcal F\bigl(\frac1{2\pi}\mathcal F(\sigma f)\bigr) = f$ على $\mathcal S$ ، ومنه على $L^2$ : فيكون تقابلًا. وأما الجداءات السلّمية: فبالاستقطاب انطلاقًا من متطابقة المعيار. ∎

مبرهنة 14.9 (صيغة بواسون في الجمع)

لتكن $f \in \mathcal S(\R)$ (ويكفي أن تكون $f$ متصلة مع $\abs{f} + \abs{\hat f} \leq C(1 + \abs\cdot)^{-2}$ ). عندئذٍ

\sum_{n\in\Z} f(n) \;=\; \sum_{k\in\Z}\hat f(2\pi k) .

برهان. لتكن $F(x) = \sum_{n\in\Z}f(x + n)$ : تتقارب المتسلسلة تقاربًا ناظميًّا على المتراصات (بتناقص $f$ )، ومنه فإن $F$ متصلة، وهي دورية بالدور $1$ . وأما معاملات فورييه لها (بالدور $1$ : $c_k(F) = \int_0^1F(t)\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t$ ):

c_k(F) = \sum_n\int_0^1 f(t + n)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \int_\R f(t)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \hat f(2\pi k)

(ويبرّر التقارب الناظمي التبديلَ؛ والطور دوري بالدور $1$ ). وتتقارب المتسلسلة $\sum_k\abs{c_k(F)}$ (بتناقص $\hat f$ )، ومنه تتقارب متسلسلة فورييه للدالة $F$ تقاربًا ناظميًّا؛ ومجموعها دالة متصلة لها معاملات فورييه نفسها التي للدالة $F$ ، ومنه تساوي $F$ (بالتباين على الدائرة: إذ للفرق معاملات معدومة، وتعطي المبرهنة 13.9 أنه معدوم في $L^2$ ، ومنه في كل مكان بالاتصال). ثم نقيّم عند $x = 0$ . ∎

مثال 14.10 (متطابقة تيتا)

بتطبيق بواسون على $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ (حيث $t > 0$ )، وتحويلها $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ (المثال 14.2 مع $a = \pi t$ ):

\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2t} = \frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\Z}\eu^{-\pi k^2/t} :

وهي المعادلة الدالية لدالة تيتا لياكوبي، ومفتاح المعادلة الدالية للدالة $\zeta$ لريمان — ومسرِّعٌ عددي باهر: فمن أجل $t$ صغير، يتقارب الطرف الأيسر ببطء، ويتقارب الأيمن بسرعة خاطفة.

طريقة 14.11

مجالات العمل: $L^1$ — حيث التحويل معرَّف نقطةً نقطة، والقلب يحتاج إلى $\hat f \in L^1$ ؛ و $\mathcal S$ — حيث كل شيء مشروع، فابرهن هنا أولًا؛ و $L^2$ — حيث التحويل معرَّف بالكثافة (لا بالتكامل!)، بتناظر تام ومحاسبة بارسيفالية. ولحساب تحويل: أرجعه إلى الجدول (الدالة المميّزة، والأُسّي، والغاوسية) بقواعد القضية 14.1؛ ولتبرهن على متطابقة: أثبتها على $\mathcal S$ (أو $\mathcal C_c^\infty$ ) ومدّدها بالكثافة والاتصال (الطريقة 12.13)؛ ولتحل معادلة تفاضلية جزئية أو عادية خطية ذات معاملات ثابتة: حوّل، واقسم، واقلب.

نواة الحرارة g_t(x) = 12√π t\, -x2/4t عند ثلاثة أزمنة: كتلة كلية 1 إلى الأبد، وارتفاع t-1/2، وعرض √ t. والتفاف المعطيات الابتدائية مع هذه الغاوسية المنتشرة هو كل مضمون مسألة نهاية الأسبوع؛ وفي مجال الترددات تُقرأ الصورة نفسها g_t( ) = -t 2 — فالترددات العالية تموت أولًا، وذلك اللاتناظر هو سهم الزمن. — نواة الحرارة $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\,\eu^{-x^2/4t}$ عند ثلاثة أزمنة: كتلة كلية $1$ إلى الأبد، وارتفاع $\sim t^{-1/2}$ ، وعرض $\sim \sqrt t$ . والتفاف المعطيات الابتدائية مع هذه الغاوسية المنتشرة هو كل مضمون مسألة نهاية الأسبوع؛ وفي مجال الترددات تُقرأ الصورة نفسها $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ — فالترددات العالية تموت أولًا، وذلك اللاتناظر هو سهم الزمن.

14.5 تمارين

تمرين 14.1 ★

احسب تحويلات فورييه للدوال: $\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$ ؛ و $\eu^{-a\abs x}$ (حيث $a > 0$ )؛ ودالة الخيمة $\max(0, 1 - \abs x)$ ؛ و $\frac1{x^2 + a^2}$ (باستعمال القلب على الثانية). وسجّل الجدول الناشئ.

حل

حل التمرين 14.1.

$\widehat{\mathbf 1_{\intcc{-a}a}}(\xi) = \int_{-a}^a\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$ (وقيمته $2a$ عند $0$ ). $\widehat{\eu^{-a\abs x}}(\xi) = \int_0^\infty\eu^{-(a + \iu\xi)x} + \eu^{-(a - \iu\xi)x}\,\dd x = \frac1{a + \iu\xi} + \frac1{a - \iu\xi} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$ . والخيمة: $\max(0, 1 - \abs x) = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}} * \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ ، ومنه تحويلها $\bigl(\frac{2\sin(\xi/2)}\xi\bigr)^2 = \bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\bigr)^2$ . والأخيرة: $\frac{2a}{a^2+\xi^2} \in L^1$ ، ومنه يعطي القلب (المبرهنة 14.5(2)) مطبَّقًا على $\eu^{-a\abs x}$ ، بعد إعادة تسمية المتغيّرات،

\widehat{\Bigl(\frac1{x^2 + a^2}\Bigr)}(\xi) = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-a\abs\xi} .

تمرين 14.2 ★

لتكن $f \in L^1$ . عبّر بدلالة $\hat f$ عن تحويلات: $f(x - a)$ ، و $f(x)\cos(bx)$ ، و $f(ax + b)$ ، و $\overline{f(-x)}$ ، و $(f * f)(x)$ . وتحقق من كل قاعدة على الدالة الغاوسية.

حل

حل التمرين 14.2.

من القضية 14.1: $\widehat{f(\cdot - a)} = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ ؛ $\widehat{f\cos(b\cdot)} = \frac12\bigl(\hat f(\xi - b) + \hat f(\xi + b)\bigr)$ ؛ $\widehat{f(a\cdot + b)}(\xi) = \frac1a\,\eu^{\iu b\xi/a}\,\hat f(\xi/a)$ (حيث $a > 0$ )؛ $\widehat{\overline{f(-\cdot)}} = \overline{\hat f}$ ؛ $\widehat{f * f} = \hat f^2$ . وعلى الدالة الغاوسية ( $\widehat{\eu^{-x^2}} = \sqrt\pi\eu^{-\xi^2/4}$ ) تكون كل قاعدة فحصًا من سطر واحد — فمثلًا للمقدار $\eu^{-(x-a)^2}$ التحويلُ $\sqrt\pi\,\eu^{-\iu a\xi}\eu^{-\xi^2/4}$ ، وهو ما يؤكده الحساب المباشر (بإكمال المربّع).

تمرين 14.3 ★★

(a) برهن على أن للمقدار $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ التحويلَ $\bigl(\frac{2\sin\xi}\xi \bigr)^2$ ، واستنتج $\int_\R\bigl(\frac{\sin\xi}\xi\bigr)^2\dd\xi = \pi$ ببلانشرِل — أو بالقلب عند $0$ . وقارن المسألة 10.1. (b) احسب $\int_\R\frac{\dd x}{(x^2+1)^2}$ ببلانشرِل مطبَّقة على $\eu^{-\abs x}$ .

حل

حل التمرين 14.3.

(a) للمقدار $h = \mathbf 1_{\intcc{-1}1}*\mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ التحويلُ $\hat h = \bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2 \in L^1$ ؛ وبالقلب عند $x = 0$ ، حيث $h(0) = \lambda(\intcc{-1}1\cap\intcc{-1}1) = 2$ :

2 = \frac1{2\pi}\int_\R\Bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\Bigr)^2 \dd\xi \ \Longrightarrow\ \int_\R\Bigl(\frac{\sin\xi}\xi\Bigr)^2\dd\xi = \pi ,

وهو متسق مع $\int_0^\infty\frac{\sin^2}{\xi^2} = \frac\pi2$ (المسألة 10.1).

(b) بلانشرِل من أجل $f = \eu^{-\abs x}$ : تُقرأ $\int\abs{\hat f}^2 = 2\pi\int\abs f^2$ على الصورة $\int\frac{4\,\dd\xi}{(1 + \xi^2)^2} = 2\pi\int\eu^{-2\abs x}\dd x = 2\pi$ : $\int_\R\frac{\dd\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac\pi2$ .

تمرين 14.4 ★★

(جبر نواة الحرارة) مع $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ : (a) تحقق من $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ ؛ (b) استنتج قانون نصف الزمرة $g_t * g_s = g_{t+s}$ دون أي حساب تكاملي؛ (c) برهن على $\norm{g_t}_1 = 1$ وعلى $\norm{g_t}_2^2 = (8\pi t)^{-1/2}$ .

حل

حل التمرين 14.4.

(a) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ : فحسب المثال 14.2 مع $a = \frac1{4t}$ ، $\hat g_t(\xi) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\sqrt{4\pi t}\,\eu^{-t\xi^2} = \eu^{-t\xi^2}$ . (b) $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$ ، والتحويل متباين على $L^1$ (المبرهنة 14.5(3)): ومنه $g_t * g_s = g_{t+s}$ . (c) $\norm{g_t}_1 = 1$ (بالتكامل الغاوسي)؛ و $\norm{g_t}_2^2 = \frac1{4\pi t}\int\eu^{-x^2/2t}\dd x = \frac{\sqrt{2\pi t}}{4\pi t} = \frac1{\sqrt{8\pi t}}$ .

تمرين 14.5 ★★

برهن على أنه إذا كانت $f \in L^1$ زوجية وحقيقية، كانت $\hat f$ زوجية وحقيقية؛ وإذا كانت $f$ فردية وحقيقية، كانت $\hat f$ فردية وتخيّلية محضة. وماذا يحسب $\hat f(0)$ ؟ واستنتج أن $f \geq 0$ يفرض $\norm{\hat f}_\infty = \hat f(0) = \int f$ ، وفسّر ذلك من أجل الكثافات الاحتمالية (الفصل 23: إذ لدالة مميِّزة طويلةٌ $\leq 1$ ، مبلوغة عند $0$ ).

حل

حل التمرين 14.5.

من أجل $f$ حقيقية زوجية: $\hat f(\xi) = \int f\cos(\xi x)\dd x$ (إذ يتلاشى الجزء الجيبي): فهي حقيقية وزوجية. ومن أجل الفردية: $\hat f(\xi) = -\iu\int f\sin(\xi x)$ : فهي فردية وتخيّلية محضة. و $\hat f(0) = \int f$ : أي الكتلة الكلية. وإذا كانت $f \geq 0$ : فإن $\abs{\hat f(\xi)} \leq \int\abs f = \int f = \hat f(0)$ ، ومنه يُبلَغ السوپريموم عند $0$ . ومن أجل كثافة احتمالية، يكون $\hat f(-\xi)$ الدالةَ المميِّزة في الفصل 23: طويلتها $\leq 1$ في كل مكان، و $= 1$ عند المبدأ.

تمرين 14.6 ★★★

(عدم الغمر) برهن على أن $\widehat{\phantom f}\colon L^1 \to \mathcal C_0$ متباين ومتصل، لكنه غير غامر، في ثلاث خطوات. (أ) التباين (المبرهنة 14.5) والاتصال ( $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ )، وأن $\mathcal C_0$ فضاء باناخ (لأنه مغلق في $\norm\cdot_\infty$ ). (ب) لو كان التطبيق غامرًا لكان تقابلًا، ولأعطت مبرهنة التطبيق المفتوح (المبرهنة 8.12) ثابتًا $C$ يحقق $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ من أجل كل $f \in L^1$ . (ج) ناقض ذلك بالمقدار $f_n(x) = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ : فتحويله (إلى غاية ثوابت) هو شبه المنحرف من نمط الالتفاف $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}$ — برهن على أن $\norm{\hat f_n}_\infty \leq \pi$ بانتظام، بينما $\norm{f_n}_1 \geq c\ln n$ بعدّ أقواس $\frac{\abs{\sin x}}x$ على $[1, n]$ (حيث يكون العامل الثاني محدودًا من الأسفل)، كما في المبرهنة 8.11.

حل

حل التمرين 14.6.

(أ) التباين هو المبرهنة 14.5(3)؛ والاتصال هو $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ (بقيم في $\mathcal C_0$ حسب ريمان–لوبيغ)؛ و $\mathcal C_0$ مغلق في معيار السوپريموم (لأن النهايات المنتظمة لدوال منعدمة عند اللانهاية منعدمةٌ عند اللانهاية): فهو باناخ.

(ب) لتقابل متصل بين فضاءي باناخ مقلوبٌ متصل (المبرهنة 8.12): فكان سيوجد $C$ يحقق $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ .

(ج) لتكن $f_n(x) = \frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ : وهي جداء دالتين من $L^2$ ، ومن رتبة $O(x^{-2})$ عند اللانهاية، ومنه $f_n \in L^1\cap L^2$ . وبما أن للمقدار $\bigl(\frac{\sin(ax)}{ax}\bigr)$ التحويلَ $\frac\pi a\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$ بالمعنى $L^2$ ، فإن صيغة الجداء $\widehat{gh} = \frac1{2\pi}\hat g * \hat h$ (وهي صحيحة من أجل $g, h \in L^2$ مع $gh \in L^1$ ؛ ويُتحقَّق منها على دوال شوارتز بفوبيني ثم تُمدَّد باتصال الطرفين بالمعنى $L^2$ عبر بلانشرِل) تعطي

\hat f_n = \frac1{2\pi}\,\bigl(\pi\mathbf 1_{\intcc{-1}1}\bigr) * \bigl(\pi n\,\mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}\bigr):

أي شبه منحرف ارتفاعه $\frac{\pi n}2\cdot\frac2n = \pi$ : ومنه $\norm{\hat f_n}_\infty = \pi$ من أجل كل $n$ . لكن على $[1, n]$ ، $\frac{\sin(x/n)}{x/n} \geq \sin 1 > 0$ ، ومنه

\norm{f_n}_1 \geq \sin 1\int_1^n\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \geq c\ln n

(بعدّ الأقواس، كما في المبرهنة 8.11). فيخفق الحدّ $\norm{f_n}_1 \leq C\pi$ من أجل $n$ كبير: أي إنه غير غامر. (والصورة فضاء جزئي كثيف — بحجج من نمط ستون–فايرشتراس — لكنه فعلي في $\mathcal C_0$ .)

تمرين 14.7 ★★

(معجم النعومة $\leftrightarrow$ التناقص) برهن على: أن $f \in L^1$ مع $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ من أجل $\delta > 0$ ما يستلزم أن تقبل $f$ ممثّلًا من الصنف $\mathcal C^k$ . وبالعكس، يستلزم $f \in \mathcal C^k_c$ أن $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k})$ . ووضّح الاتجاهين على دالة الخيمة.

حل

حل التمرين 14.7.

إذا كان $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ : فإن $\xi^j\hat f \in L^1$ من أجل $0 \leq j \leq k$ (وهو قابل للمكاملة عند اللانهاية بحكم التناقص، ومحليًّا باتصال $\hat f$ ). ويمثّل القلب (المبرهنة 14.5(2)) الدالةَ $f$ في كل مكان تقريبًا بالمقدار $x \mapsto \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ ، ويجعل الاشتقاق تحت علامة التكامل (بالمهيمِنات $\abs{\xi^j\hat f}$ ) هذا الممثّل من الصنف $\mathcal C^k$ . وبالعكس من أجل $f \in \mathcal C_c^k$ : بتكرار القضية 14.1(4)، $(\iu\xi)^k\hat f = \widehat{f^{(k)}}$ ، ومنه $\abs{\hat f} \leq \norm{f^{(k)}}_1\abs\xi^{-k}$ . وأما دالة الخيمة: فمتصلة ذات حامل متراص ( $k = 0$ : فتحويلها محدود)، ويعيد تحويلها $\sim \xi^{-2} = O(\abs\xi^{-0-1-1})$ ، بالاتجاه الأول، ممثّلًا من الصنف $\mathcal C^0$ — والحدّان مضبوطان: فالخيمة ليست من الصنف $\mathcal C^1$ ، وتحويلها لا يتناقص أسرع من $\xi^{-2}$ .

تمرين 14.8 ★★★

(متراجحة هايزنبرغ) من أجل $f \in \mathcal S(\R)$ حقيقية مع $\norm f_2 = 1$ ، برهن على

\Bigl(\int x^2f(x)^2\dd x\Bigr)\cdot \Bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi\Bigr) \;\geq\; \frac14 ,

مع التساوي من أجل الدوال الغاوسية. (اكتب $1 = \int f^2 = -\int x\,(f^2)'$ بالتجزئة، وحُدّه بكوشي–شوارتز، وحوّل $\norm{f'}_2$ ببلانشرِل.) والتفسير: أن إشارةً وطيفَها لا يمكن أن يتركّزا معًا.

حل

حل التمرين 14.8.

بالمكاملة بالتجزئة ( $f \in \mathcal S$ ؛ وتنعدم الحدود الحدّية):

1 = \int f^2 = \bigl[xf^2\bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int x\,(f^2)' = -2\int xff' \leq 2\,\norm{xf}_2\,\norm{f'}_2 .

وببلانشرِل ومع $\widehat{f'} = \iu\xi\hat f$ : $\norm{f'}_2^2 = \frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2$ . وبتربيع العبارة المعروضة:

\frac14 \leq \norm{xf}_2^2\cdot\frac1{2\pi} \int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi .

ويقتضي التساوي تساويًا في كوشي–شوارتز: أي $f' = \lambda xf$ مع $\lambda < 0$ (بحكم القابلية للمكاملة)، أي $f(x) = c\,\eu^{\lambda x^2/2}$ : أي الدوال الغاوسية. فإشارةٌ متركّزة في $x$ (أي بمقدار $\norm{xf}_2$ صغير) يلزم أن يكون طيفها منتشرًا، وبالعكس: أي مبدأ اللايقين.

تمرين 14.9 ★★

برّر المثال 14.10 بالتفصيل (أي فرضيات بواسون من أجل الدالة الغاوسية)، واستعمل المتطابقة لتقييم $\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2}$ بستة أرقام عشرية بثلاثة حدود. وكم حدًّا من المتسلسلة المعرِّفة تلزم لبلوغ الدقة نفسها عند $t = 10^{-2}$ ، مقابل المتسلسلة المحوَّلة؟

حل

حل التمرين 14.9.

الدالة الغاوسية $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ من صنف شوارتز، ومنه تنطبق المبرهنة 14.9، و $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ ؛ وعند $\xi = 2\pi k$ يصير الطرف الأيمن $t^{-1/2}\eu^{-\pi k^2/t}$ : أي متطابقة تيتا. وعند $t = 1$ :

\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2} = 1 + 2\eu^{-\pi} + 2\eu^{-4\pi} + \cdots \approx 1 + 0.0864278 + 0.0000070 = 1.0864348,

بدقة $6$ أرقام عشرية بثلاثة حدود ( $\eu^{-9\pi} \approx 5\cdot10^{-13}$ ). وعند $t = 10^{-2}$ : تحتاج المتسلسلة المعرِّفة إلى $\eu^{-\pi n^2/100} < 10^{-7}$ ، أي $n \gtrsim 23$ — أي نحو $47$ حدًّا — بينما المتسلسلة المحوَّلة هي $10\sum_k\eu^{-100\pi k^2}$ ، حيث يكون الحدّ $k = 1$ أصلًا من رتبة $\sim 10^{-136}$ : فيكفي حدٌّ واحد.

تمرين 14.10 ★★

(الدوال المحدودة الحزمة) لتكن $f \in L^2(\R)$ بحيث يكون حامل $\mathcal Ff$ في $\intcc{-\pi}\pi$ . برهن على أن $f$ تقبل ممثّلًا يمتدّ بحيث تكون كل قيمة من قيمه قابلة للاستعادة من العيّنات: أي برهن على استيفاء شانون عند الأعداد الصحيحة،

f(x) = \sum_{n\in\Z} f(n)\, \frac{\sin\bigl(\pi(x - n)\bigr)}{\pi(x - n)} \quad\text{في} L^2,

بنشر $\mathcal Ff$ في أساس فورييه للفضاء $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ (المبرهنة 13.9) ثم بالتحويل العكسي حدًّا حدًّا.

حل

حل التمرين 14.10.

$\mathcal Ff \in L^2(\intcc{-\pi}\pi) \subseteq L^1(\intcc{-\pi}\pi)$ لأن القياس منتهٍ، ومنه يعطي القلب الممثّلَ المتصل $f(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\mathcal Ff(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ ، مع

f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathcal Ff(\xi)\,\eu^{\iu n\xi}\dd\xi = \langle e_{-n}, \mathcal Ff\rangle

باصطلاح المبرهنة 13.9. وبالنشر في ذلك الأساس الهيلبرتي: $\mathcal Ff = \sum_nf(n)\,\eu^{-\iu n\xi}$ في $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ . ونطبّق $\mathcal F^{-1}$ المتصل بالمعنى $L^2$ حدًّا حدًّا:

\mathcal F^{-1}\bigl(\mathbf 1_{\intcc{-\pi}\pi}\eu^{-\iu n\xi}\bigr)(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{\iu\xi(x - n)}\dd\xi = \frac{\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)}{\pi(x - n)} ,

فنجد $f = \sum_nf(n)\operatorname{sinc}(\cdot - n)$ في $L^2$ : أي إن إشارة محدودة الحزمة معيَّنة بعيّناتها عند الأعداد الصحيحة — وهي مبرهنة شانون في أخذ العيّنات.

تمرين 14.11 ★★

(التحويل بوصفه مؤثرًا من الرتبة أربعة) على $\mathcal S(\R)$ ، لتكن $\mathcal F f = \hat f$ . (a) باستعمال صيغة القلب، برهن على $(\mathcal F^2f)(x) = 2\pi\,f(-x)$ ، واستنتج $\mathcal F^4 = (2\pi)^2\, \mathrm{id}$ . (b) استنتج أن كل قيمة ذاتية للمؤثر $\mathcal F$ على $\mathcal S$ تنتمي إلى $\{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ ، وأبرز دالة ذاتية موافقة للقيمة $+\sqrt{2\pi}$ (أي دالة من دوال هذا الفصل تتناسب مع تحويلها؟). (c) برهن على أن الدوال الزوجية تحقق $\mathcal F^2f = 2\pi f$ والفردية تحقق $\mathcal F^2f = -2\pi f$ ؛ وأنتج دالة ذاتية للقيمة الذاتية $-\iu\sqrt{2\pi}$ انطلاقًا من $x\eu^{-x^2/2}$ بحساب تحويلها (باشتقاق تحويل الدالة الغاوسية).

حل

حل التمرين 14.11.

(a) بالقلب على $\mathcal S$ : $f(x) = \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \frac1{2\pi}(\mathcal F\hat f)(-x)$ ، أي $(\mathcal F^2f)(x) = 2\pi f(-x)$ . وبالتطبيق مرتين: $\mathcal F^4f = 2\pi\,\mathcal F^2f(-\cdot) = (2\pi)^2f$ .

(b) إذا كان $\mathcal Ff = \lambda f$ مع $f \neq 0$ : فإن $(2\pi)^2f = \mathcal F^4f = \lambda^4f$ ، ومنه $\lambda^4 = (2\pi)^2$ : أي $\lambda \in \{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ . وللدالة الغاوسية $g(x) = \eu^{-x^2/2}$ $\hat g = \sqrt{2\pi}\,g$ (المثال 14.2 عند $a = \frac12$ ): فهي دالة ذاتية للقيمة $+\sqrt{2\pi}$ .

(c) يساوي $\mathcal F^2f = 2\pi f(-\cdot)$ المقدارَ $\pm2\pi f$ تبعًا للتماثل. ومن أجل $h(x) = x\eu^{-x^2/2}$ : باشتقاق $\hat g(\xi) = \sqrt{2\pi}\eu^{-\xi^2/2}$ مع القاعدة $\widehat{xf} = \iu\frac{\dd}{\dd\xi}\hat f$ :

\hat h(\xi) = \iu\,\frac{\dd}{\dd\xi}\bigl(\sqrt{2\pi} \eu^{-\xi^2/2}\bigr) = -\iu\sqrt{2\pi}\,\xi\eu^{-\xi^2/2} = -\iu\sqrt{2\pi}\,h(\xi) :

وهي دالة ذاتية للقيمة $-\iu\sqrt{2\pi}$ . (وتواصل دوال إرميت هذا النسق، دائرةً على القيم الذاتية الأربع — أي ساعة فورييه المتقطّعة.)

تمرين 14.12 ★★

(الارتباط الذاتي والمبرهنة المساعدة لفينر) من أجل $f \in L^2(\R)$ نعرّف $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ والارتباط الذاتي $A_f = f * \tilde f$ . (a) برهن على أن $A_f$ دالة متصلة محدودة تحقق $A_f(0) = \norm f_2^2 \geq \abs{A_f(x)}$ من أجل كل $x$ (التمرين 12.6 وكوشي–شوارتز). (b) برهن، أولًا من أجل $f \in L^1\cap L^2$ ، على أن $\widehat{A_f} = \abs{\hat f\,}^2 \geq 0$ : أي إن للارتباط الذاتي تحويلًا غير سالب — فأطياف الارتباطات الذاتية أطيافُ استطاعة. (c) استنتج المتطابقة $\int_\R\abs{\hat f(\xi)}^2\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi = 2\pi A_f(x)$ (بالقلب؛ وبرّر انطباقه حين يحقق $\hat f \in L^2$ الشرطَ $\abs{\hat f}^2 \in L^1$ )، وقيّمها من أجل $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ عند $x = 0$ : لتستعيد $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$ .

حل

حل التمرين 14.12.

(a) $\tilde f \in L^2$ مع $\norm{\tilde f}_2 = \norm f_2$ ؛ ويجعل التمرين 12.6 (بالأُسّين المترافقين $p = q = 2$ ) المقدارَ $A_f = f * \tilde f$ محدودًا ومتصلًا بانتظام، مع

A_f(x) = \int f(y)\,\overline{f(y - x)}\,\dd y, \qquad A_f(0) = \norm f_2^2, \qquad \abs{A_f(x)} \leq \norm f_2\,\norm{f(\cdot - x)}_2 = A_f(0)

بكوشي–شوارتز.

(b) من أجل $f \in L^1\cap L^2$ : تكون $\tilde f \in L^1$ أيضًا، وتعطي مبرهنة الالتفاف أن $\widehat{A_f} = \hat f\, \widehat{\tilde f}$ ؛ وبالحساب، $\widehat{\tilde f}(\xi) = \int\overline{f(-x)}\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \overline{\int f(u)\eu^{-\iu\xi u}\dd u} = \overline{\hat f(\xi)}$ : أي $\widehat{A_f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$ .

A_f(x) = \frac1{2\pi}\int\abs{\hat f(\xi)}^2 \eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi .

ومن أجل $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ : $\hat f(\xi) = \frac{2\sin(\xi/2)}\xi = \frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}$ ، وعند $x = 0$ :

1 = \norm f_2^2 = \frac1{2\pi}\int_\R \Bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\Bigr)^2\dd\xi = \frac1{2\pi}\cdot2\int_\R\Bigl(\frac{\sin u}u\Bigr)^2\dd u

(حيث $\xi = 2u$ )، أي $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$ — أي تكامل بلانشرِل المفضّل، مستعادًا بالارتباط الذاتي.

14.6 مسألة: معادلة الحرارة على المستقيم

مسألة 14.1

مسألة نهاية الأسبوع — $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ ، محلولةً من أولها إلى آخرها

تنتشر الحرارة؛ وتقول المعادلة $\partial_tu = \partial_{xx}^2u$ إن كثافتها تنتثر بمعدل يعطيه التقوّس المحلي لملمح درجة الحرارة. ونحل مسألة كوشي على $\R$ — أي بإعطاء $f$ ، نجد $u(t, x)$ من أجل $t > 0$ يحقق $u(0, \cdot) = f$ — ونبرهن على خصائص الحل اللافتة، ونرى لماذا لا يمكن عكس الزمن. وفي كل ما يلي، تكون $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ نواة الحرارة وتكون $u(t, \cdot) = g_t * f$ .

الجزء الأول — استنباط النواة. لنعمل شكليًّا أولًا: لنفترض أن $u(t, \cdot) \in \mathcal S$ تحل المعادلة، وليكن $\hat u(t, \xi)$ التحويلَ في $x$ .

برهن (شكليًّا) على $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ ، ومنه $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ ، وتعرّف على $u(t) = g_t * f$ (التمرين 14.4). وهذا يحفّز تعريف $u$ ؛ وكل شيء يُبرهَن عليه الآن مباشرةً، من أجل $f \in \mathcal C_b(\R)$ (المحدودة المتصلة) أو $f \in L^p$ .

الجزء الثاني — التحقق.

برهن على أنه من أجل $t > 0$ ، تكون $u(t, x) = \int g_t(x-y)f(y)\dd y$ معرَّفة جيدًا من أجل $f \in \mathcal C_b$ ، وعلى أن $u$ من الصنف $\mathcal C^\infty$ في $(t, x)$ على $\intoo0\infty\times\R$ (بالاشتقاق تحت علامة التكامل؛ وبالهيمنة على المشتقات الغاوسية بانتظام محليًّا في $(t,x)$ ).
تحقق من $\partial_tg_t = \partial^2_{xx}g_t$ بالحساب المباشر، واستنتج $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ من أجل $t > 0$ .
(الشرط الابتدائي) برهن على أنه من أجل $f \in \mathcal C_b$ ، يكون $u(t, x) \to f(x)$ حين $t \to 0^+$ ، بانتظام على المتراصات (بالوحدة التقريبية: اشطر $\abs y \leq \delta$ ، $\abs y > \delta$ )؛ ومن أجل $f \in L^p$ (حيث $p < \infty$ )، برهن على $\norm{u(t) - f}_p \to 0$ .
(التنعيم الفوري) اخلص: أنه حتى من أجل $f$ محدودة متصلة فحسب، يكون الحل $\mathcal C^\infty$ من أجل كل $t > 0$ — فالحرارة تمحو الخشونة فورًا. واحسب $u(t, \cdot)$ صراحةً من أجل $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ (وهي دالة خطأ)، وارسم ملمحه من أجل ثلاث قيم للزمن $t$ .

الجزء الثالث — الخصائص البنيوية.

(الإيجابية والمقارنة) إذا كانت $f \geq 0$ فإن $u > 0$ من أجل كل $t > 0$ (تمامًا، إلا إذا كانت $f = 0$ في كل مكان تقريبًا)؛ وإذا كانت $f_1 \leq f_2$ فإن $u_1 \leq u_2$ . فبقعةٌ باردة تدفأ فورًا: علّق على ذلك.
(الحفظ) من أجل $f \in L^1$ : $\int u(t, x)\dd x = \int f$ من أجل كل $t$ (بتونيلي) — فالحرارة الكلية محفوظة.
(التبديد) من أجل $f \in L^1\cap L^2$ ، برهن ببلانشرِل على أن $t \mapsto \norm{u(t)}_2$ متناقصة بالمعنى الواسع، وتمامًا إلا إذا كانت $f = 0$ ، واحسب نهايتها حين $t \to \infty$ . وبرهن فوق ذلك على $\norm{u(t)}_\infty \leq \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ : فالحرارة تنتشر وتموت.
(الوحدانية، الصنف $L^2$ ) ليكن $u$ حلًّا يحقق $u(t) \in L^2$ من أجل كل $t$ ، و $u \in \mathcal C^1(\intoo0\infty, L^2)$ بالمعنى الطبيعي، و $u(t) \to f$ في $L^2$ حين $t\to0$ ؛ ومسلِّمًا بأن التحويل يحوّلها إلى $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ نقطةً نقطة في كل مكان تقريبًا في $\xi$ من أجل $t$ في كل مكان تقريبًا (وهو مبرَّر بالاختبار مقابل $\mathcal C_c^\infty$ في $\xi$ — اعرض ذلك في خطوطه العامة)، برهن على $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ ، ومن ثَمّ على الوحدانية في هذا الصنف.

الجزء الرابع — سهم الزمن.

برهن على أن المسألة العكسية سيّئة الوضع: فلكي يوجد الحل عند الزمن $-s$ (حيث $s > 0$ ) بالمعطيات $f$ عند الزمن $0$ — أي لكي تقبل $f = g_s * h$ حلًّا $h \in L^2$ — يلزم أن يكون $\eu^{s\xi^2}\hat f(\xi) \in L^2$ : وهو شرط تناقص متطرّف على $\hat f$ . وأبرز دالةً ناعمة صريحة $f \in L^2$ لا يوجد من أجلها أي حل عكسي على أي فترة زمنية: خذ الدالة التي $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ — وعيّن $f$ (التمرين 14.1) وبرهن على $\eu^{s\xi^2}\eu^{-\abs\xi} \notin L^2$ من أجل كل $s > 0$ .
(التنعيم مقابل المعلومة) اشرح في فقرة قصيرة، باستعمال الأسئلة 5 و9 و10، لماذا تكون نصف زمرة الحرارة $(f \mapsto g_t * f)_{t\geq0}$ متباينةً وغير غامرة على $L^2$ ، ولماذا يعبّر ذلك عن لاعكوسية الانتثار.

الجزء الخامس — مبرهنة شانون في أخذ العيّنات. تكون الدالة $f \in L^2(\R)$ محدودة الحزمة بالمقدار $\Omega$ إذا كان $\hat f = 0$ في كل مكان تقريبًا خارج $\intcc{-\Omega}\Omega$ ؛ ونكتب $PW_\Omega$ (فضاء بالي–فينر) لهذه الدوال.

برهن على أن كل $f \in PW_\Omega$ توافق في كل مكان تقريبًا الدالةَ $\mathcal C^\infty$ من الصنف $\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi$ (وبرّر النعومة والتعيين)، وأن جميع مشتقاتها محدودة: فتحديد الحزمة صورةٌ متطرّفة من الانتظام. ومن الآن فصاعدًا ترمز $f$ إلى هذا الممثّل.
انشر $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ في أساس فورييه لتلك الفترة وعيّن المعاملات بوصفها عيّنات للدالة $f$ :

$\hat f(\xi) = \frac\pi\Omega\sum_{n\in\Z} f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\, \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega} \quad\text{في} L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) .$
استنتج مبرهنة أخذ العيّنات: أنه من أجل $f \in PW_\Omega$ ،

$f(x) = \sum_{n\in\Z}f\Bigl(\frac{n\pi} \Omega\Bigr)\,\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi), \qquad \operatorname{sinc}t = \frac{\sin t}t,$

مع التقارب في $L^2(\R)$ وبانتظام على $\R$ (أدخل متسلسلة السؤال 13 في صيغة القلب واحسب التكامل الابتدائي): فالإشارة المحدودة الحزمة معيَّنة تمامًا بقيمها على شبكة خطوتها $\pi/\Omega$ — أي معدل نايكويست.
برهن على أن الدوال $x \mapsto \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi)$ ، حيث $n \in \Z$ ، تشكّل عائلة متعامدة في $L^2(\R)$ بمعيار ثابت $\sqrt{\pi/\Omega}$ ، واستنتج متطابقة الطاقة $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ .
(الالتباس الطيفي) أبرز دالة غير معدومة $g \in PW_{2\Omega}$ تنعدم عند كل نقطة عيّنة $\frac{n\pi}\Omega$ (انظر في $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ وتحقق من حزمتها): فأخذ العيّنات دون معدل نايكويست يفقد المعلومة — إذ يمكن لإشارتين مختلفتين أن تتقاسما جميع العيّنات: أي أثر عجلة العربة الستروبوسكوبي، مصوغًا رياضيًّا.
(درجات الحرية) باستعمال السؤالين 14 و15، برّر القاعدة الهندسية: أن إشارةً محدودة الحزمة بالمقدار $\Omega$ تحمل نافذةٌ زمنية طولها $T$ طاقتَها جوهريًّا، تُوصَف بنحو $\frac{\Omega T}\pi$ عيّنة حقيقية — واضبط معنى «جوهريًّا» بواسطة متطابقة الطاقة والذيل $\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}$ .
(فحوص الاتساق) تحقق من مبرهنة أخذ العيّنات يدويًّا على عنصرين من $PW_\Omega$ : (a) $f = \operatorname{sinc}(\Omega\,\cdot)$ ، وعيّناتها $\delta_{n0}$ ؛ (b) الإشارات الضيقة الحزمة من نمط $f(x) = \cos(\omega x) \operatorname{sinc}(\varepsilon x)$ — وبمزيد من الدقة، برهن على أنه من أجل $f \in PW_{\Omega'}$ مع $\Omega' < \Omega$ ، تستعيد متسلسلة المعدل $\Omega$ الدالةَ $f$ أيضًا (فالإفراط في أخذ العيّنات غير ضار)، بغمر $PW_ {\Omega'} \subseteq PW_\Omega$ .

الجزء السادس — اللايقين، مرتين أخريين. تحدّ متراجحة هايزنبرغ (التمرين 14.8) مقدار ما يمكن أن تتركّز به $f$ و $\hat f$ معًا؛ وهذان شقيقتها من نمط الكل أو لا شيء وإشباعها المضبوط.

لتكن $f \in L^1$ مع $\operatorname{supp}f \subseteq \intcc{-A}A$ . برهن على أن $\hat f$ مجموع متسلسلة قوى متقاربة في كل مكان:

$\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!} \,m_k, \qquad m_k = \int_{-A}^{A}x^kf(x)\,\dd x, \quad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1$

(انشر $\eu^{-\iu\xi x}$ وبرّر التبديل بالتقارب الناظمي): فالتحويل تحليلي حقيقي، بنصف قطر تقارب لانهائي عند كل نقطة.
استنتج ثنائية الحامل: أن دالة تحليلية حقيقية تنعدم على فترة مفتوحة غير خالية تنعدم انعدامًا تامًّا (فالمجموعة التي تنعدم عندها جميع المشتقات مفتوحة ومغلقة — فصّل حجة تايلور)؛ واخلص إلى أنه لا توجد $f$ غير معدومة يكون حاملُ كلٍّ من $f$ و $\hat f$ متراصًّا، وإلى أن $PW_\Omega$ لا يحتوي أي دالة غير معدومة ذات حامل متراص — فالإشارات المحدودة الحزمة تدوم إلى الأبد، والإشارات المحدودة الزمن تتسرّب إلى جميع الترددات.
(إشباع هايزنبرغ) على العائلة الغاوسية $f = \eu^{-ax^2}$ ، احسب عاملَي التركّز كليهما وتحقق من أن الجداء المعيَّر $\bigl(\int x^2\abs f^2\bigr)\bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f}^2\bigr)\big/\norm f_2^4$ يساوي $\frac14$ من أجل كل $a$ — أي عائلة التساوي في التمرين 14.8 بلحمها ودمها؛ واشرح بحجة تحجيمية لماذا يجب أن يكون الجداء ثابتًا على امتداد العائلة.
اشرح القراءة الفيزيائية (كثافتا الموضع والاندفاع لحالة كمومية؛ ويعطي $\hbar$ في التعيير $\sigma_x\sigma_p \geq \frac\hbar2$ )، وصِل بين أجزاء الفصل: فالتنعيم الفوري (الجزء الثاني)، واللاعكوسية (الجزء الرابع)، وأخذ العيّنات (الجزء الخامس)، وهايزنبرغ، وثنائية الحامل، خمسةُ تعبيرات عن قانون واحد — أي إن سلوك $\hat f$ عند اللانهاية يشرّع ما يمكن أن تفعله $f$ في أي مكان.

الجزء السابع — جبر النواة، ومثال واحد قابل للحل.

(نصف الزمرة) برهن على متطابقة تشابمان–كولموغوروف $g_t * g_s = g_{t+s}$ من أجل $t, s > 0$ (عبر مبرهنة الالتفاف وتباين التحويل على $L^1$ )، واستنتج $u(t + s) = g_s * u(t)$ : أي إن التطوّر خلال الزمن $t + s$ هو التطوّر خلال $t$ ثم خلال $s$ . وحدّد تبديد السؤال 8: فبكتابة $\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$ ، برهن بكوشي–شوارتز على أن

$t \longmapsto \ln\,\norm{u(t)}_2 \quad\text{محدّبة على} \intoo0{+\infty} :$

أي إن الطاقة $L^2$ لا تتناقص فحسب، بل تتناقص بكيفية محدّبة لوغاريتميًّا.
(إلى أين تذهب الحرارة) لتكن $f \geq 0$ و $f \in L^1$ ، مع $\int x^2f(x)\dd x < \infty$ . برهن على أنه من أجل كل $t > 0$

$\int_\R x\,u(t, x)\,\dd x = \int_\R x f(x)\,\dd x, \qquad \int_\R x^2u(t, x)\,\dd x = \int_\R x^2f(x)\,\dd x + 2t\int_\R f :$

أي إن مركز الحرارة لا يتحرك أبدًا، وأن التباين ينمو خطيًّا في الزمن — وهو التحجيم الانتثاري $x \sim \sqrt{2t}$ ، الذي يُعاد قراءته حين تظهر الحركة البراونية في الفصل 22. (احسب العزمين الأولين للنواة $g_t$ واستعمل تونيلي على الالتفاف.)
(الدالة الغاوسية، محلولةً من أولها إلى آخرها) من أجل $f(x) = \eu^{-x^2}$ ، أثبت الصيغة المغلقة

$u(t, x) = \frac1{\sqrt{1 + 4t}}\, \exp\Bigl(-\frac{x^2}{1 + 4t}\Bigr),$

وتحقق عليها يدويًّا من: المعادلة $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ ؛ والحفظ $\int u(t) = \sqrt\pi$ ؛ وقانون التبديد $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1 + 4t)^{-1/4}$ (وقارن تناقصه $t^{-1/4}$ بتناقص معيار السوپريموم $t^{-1/2}$ في السؤال 8)؛ ونمو التباين المضبوط في السؤال 24. وعند $t = 6$ : تكون الذروة قد هبطت إلى $\frac15$ من ارتفاعها الابتدائي بينما صار الملمح أعرض بخمسة أضعاف — الحرارة نفسها، منتشرةً.

حل

حل المسألة 14.1.

1. بتحويل المعادلة في $x$ (شكليًّا): $\partial_t\hat u(t,\xi) = \widehat{\partial^2_{xx}u} = (\iu\xi)^2\hat u = -\xi^2\hat u$ ، وهي معادلة تفاضلية عادية في $t$ من أجل كل تردد: $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ . وبما أن $\eu^{-t\xi^2} = \hat g_t$ (التمرين 14.4)، يكون الجداء تحويلَ $g_t * f$ .

2. $\abs{u(t,x)} \leq \norm f_\infty\int g_t = \norm f_\infty$ : فهي معرَّفة جيدًا. وعلى $[t_0, T]\times[-A, A]$ : كل مشتقة مختلطة $\partial^m_t\partial^n_xg_t(x - y)$ هي كثير حدود في $(x - y)$ وفي $t^{-1}$ مضروبًا في $\eu^{-(x-y)^2/4t}$ ، وهو محدود من أجل $\abs y \geq 2A$ بالمقدار $C\,(1 + y^2)^N\eu^{-(\abs y - A)^2/4T}$ ، وهو مهيمِن قابل للمكاملة لا يتعلق بالزوج $(t, x)$ في النافذة (وهو محدود من أجل $\abs y \leq 2A$ ): فينطبق الاشتقاق المتكرر تحت علامة التكامل (المبرهنة 10.15): ومنه $u \in \mathcal C^\infty(\intoo0\infty\times\R)$ .

3. مع $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ :

\partial_tg_t = g_t\Bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Bigr) = \partial^2_{xx}g_t

(باشتقاق مرتين في $x$ : $\partial_xg_t = -\frac x{2t}g_t$ ، $\partial^2_{xx}g_t = \bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\bigr)g_t$ ). وحسب السؤال 2 تمرّ المشتقات تحت علامة التكامل: ومنه $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ .

4. $u(t,x) - f(x) = \int g_t(y)\bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\dd y$ . وبإعطاء متراصة $K$ و $\varepsilon$ : يعطي الاتصال المنتظم للدالة $f$ على جوار للمتراصة $K$ عددًا $\delta$ يحقق $\abs{f(x-y) - f(x)} < \varepsilon$ من أجل $x \in K$ ، $\abs y \leq \delta$ ؛ ويسهم الذيل بكتلة $\leq 2\norm f_\infty\int_{\abs y > \delta}g_t(y)\dd y = 2\norm f_\infty\,\P$ وراء $\delta$ ، وهي $\frac2{\sqrt\pi}\int_{\delta/2\sqrt t}^\infty\eu^{-z^2}\dd z \to 0$ حين $t \to 0$ . ومن أجل $f \in L^p$ : $\norm{u(t) - f}_p \leq \int g_t(y)\norm{\tau_yf - f}_p\dd y$ (بمينكوفسكي أو ينسن كما في المبرهنة 12.9)، ثم نشطر بالطريقة نفسها باستعمال المبرهنة 12.6(3).

5. التنعيم الفوري هو السؤال 2 (إذ $u(t)$ من الصنف $\mathcal C^\infty$ من أجل $t > 0$ دون استعمال أي نعومة للدالة $f$ ). ومن أجل $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ :

u(t, x) = \int_0^\infty g_t(x - y)\dd y = \frac1{\sqrt\pi}\int_{-x/2\sqrt t}^{\infty}\eu^{-z^2}\dd z = \frac12\Bigl(1 + \operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt t}\Bigr)\Bigr), \quad \operatorname{erf}(s) = \frac2{\sqrt\pi}\int_0^s\eu^{-z^2}\dd z :

أي درجة منعَّمة يتسع مجال انتقالها مثل $\sqrt t$ (والملامح عند $t_1 < t_2 < t_3$ : منحدرات تزداد تسطّحًا عبر النقطة $(0, \frac12)$ ).

6. المقدار المكامَل $g_t(x-y)f(y)$ يحقق $\geq 0$ والنواة موجبة تمامًا: فالشرط $u(t,x) = 0$ كان سيفرض $f = 0$ في كل مكان تقريبًا. ورتابة الأمر في $f$ رتابةُ التكامل. وبقعةٌ تنعدم فيها $f$ على فترة يبقى فيها $u(t, \cdot) > 0$ من أجل كل $t > 0$ : فالحرارة تنتشر بسرعة لانهائية (إذ تُحسّ أي إيجابية في أي مكان في كل مكان فورًا).

7. بتونيلي (إذ $g_t(x-y)\abs{f(y)}$ قابل للمكاملة على $\R^2$ ): $\int u(t,x)\dd x = \int f(y)\bigl(\int g_t(x - y)\dd x\bigr)\dd y = \int f$ .

8. ببلانشرِل: $2\pi\norm{u(t)}_2^2 = \int\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$ ، وهو متناقص بالمعنى الواسع في $t$ (نقطةً نقطة)، وتمامًا إلا إذا كان $\hat f = 0$ في كل مكان تقريبًا ( $= f = 0$ )، ونهايته $0$ حين $t\to\infty$ بالتقارب المهيمن. و $\norm{u(t)}_\infty \leq \norm{g_t}_\infty\norm f_1 = \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ .

9. من أجل $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ ، تكون $t \mapsto \langle\varphi, \hat u(t)\rangle$ من الصنف $\mathcal C^1$ ومشتقتها $\langle\varphi, \partial_t\hat u\rangle = \langle\varphi, \widehat{\partial_{xx}u}\rangle = \langle\xi^2\varphi\dots\rangle$ — وبالضبط، ينقل $\widehat{\partial^2_{xx}u} = -\xi^2\hat u$ المعادلةَ. عندئذٍ، من أجل $\xi$ في كل مكان تقريبًا، تكون للدالة المتصلة اتصالًا مطلقًا $t \mapsto \eu^{t\xi^2}\hat u(t,\xi)$ المشتقةُ $\eu^{t\xi^2}(\xi^2\hat u + \partial_t\hat u) = 0$ بالمعنى المكامَل: فهي ثابتة، وبجعل $t \to 0$ ( $\hat u(t) \to \hat f$ في $L^2$ ، وفي كل مكان تقريبًا على امتداد متتالية جزئية): $\hat u(t, \xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ في كل مكان تقريبًا. ولحلّين في هذا الصنف التحويل نفسه: فهما متساويان.

10. يفرض $f = g_s * h$ مع $h \in L^2$ أن $\hat f = \eu^{-s\xi^2}\hat h$ ، أي $\hat h = \eu^{s\xi^2}\hat f \in L^2$ . نأخذ $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ : عندئذٍ $f(x) = \frac1\pi\cdot\frac1{1 + x^2}$ (التمرين 14.1، بالقلب)، وهي دالة $L^2$ ناعمة تمامًا؛ لكن $\eu^{2s\xi^2 - 2\abs\xi} \to \infty$ : أي $\eu^{s\xi^2}\hat f \notin L^2$ من أجل كل $s > 0$ . فملمح كوشي ليس أبدًا نتيجةَ انتثار سابق.

11. تضرب نصف زمرة الحرارة التحويلات في $\eu^{-t\xi^2}$ وهو لا ينعدم في أي مكان: فهي متباينة — أي إنها شكليًّا لا تتلف أي معلومة. لكن مجالها مؤلَّف من الدوال التي تتناقص تحويلاتها مثل $\eu^{-t\xi^2}$ : أي فضاء جزئي ضئيل، كثيف لكنه فعلي، في $L^2$ (ويبيّن السؤال 10 أن دوالًّا ممتازة تقع خارجه). والقلب كان سيضخّم التردد $\xi$ بالعامل $\eu^{t\xi^2}$ : وهو غير محدود، ومنه غير مستقر أمام أي اضطراب. فالانتثار لا عكوس لا لأن التطبيق ينسى، بل لأن مقلوبه لا يمكن أن يكون متصلًا — أي سهم زمن مصنوع من التحليل الدالي.

12. $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) \subseteq L^1$ (بكوشي–شوارتز على فترة محدودة)، ومنه تكون $F(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ معرَّفة في كل مكان، ويجعلها الاشتقاق تحت علامة التكامل (مهيمَنًا عليه بالمقدار $\Omega^k\abs{\hat f} \in L^1$ على الحزمة) من الصنف $\mathcal C^\infty$ مع $\abs{F^{(k)}} \leq \frac{\Omega^k}{2\pi}\norm{\hat f}_{L^1}$ في كل مكان. و $F = f$ في كل مكان تقريبًا: إذ للطرفين التحويل نفسه، والتحويل متباين على $L^2$ (المبرهنة 14.8 وتمديدها إلى $L^2$ ).

13. الأُسّيات $\xi \mapsto \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}$ ، حيث $n \in \Z$ ، تشكّل أساسًا هيلبرتيًّا للفضاء $L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ (المبرهنة 13.9، معادةَ التحجيم). ومعامل $\hat f$ على امتداد الأُسّي ذي الرتبة $n$ هو

\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\, \eu^{\iu n\pi\xi/\Omega}\dd\xi = \frac{2\pi}{2\Omega}\cdot \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\, \eu^{\iu(n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi = \frac\pi\Omega\,f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr),

بصيغة السؤال 12 عند $x = \frac{n\pi}\Omega$ : فيصح النشر المذكور في $L^2$ للحزمة.

14. ندخل النشر في صيغة القلب في السؤال 12؛ وتبديل المجموع والتكامل هو اتصال الاقتران بالمعنى $L^2$ مقابل $\frac1{2\pi} \eu^{\iu x\xi}\mathbf 1_{\abs\xi\leq\Omega}$ (ومعياره $L^2$ هو $\frac{\sqrt{2\Omega}}{2\pi}$ ، ولا يتعلق بالمتغيّر $x$ — ومن هنا الانتظام):

f(x) = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\cdot \frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega \eu^{\iu(x - n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr) \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),

لأن $\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\eu^{\iu u\xi}\dd\xi = \frac{\sin(\Omega u)}{\Omega u}$ .

15. بقراءة حساب السؤال 14 عكسيًّا، يكون تحويل $s_n = \operatorname{sinc}(\Omega\cdot - n\pi)$ هو $\hat s_n = \frac\pi\Omega\,\eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}\,\mathbf 1_{\intcc{-\Omega}\Omega}$ . وببلانشرِل:

\langle s_n, s_m\rangle = \frac1{2\pi} \Bigl(\frac\pi\Omega\Bigr)^2\int_{-\Omega}^\Omega \eu^{\iu(n-m)\pi\xi/\Omega}\dd\xi = \frac\pi\Omega\,\delta_{nm} :

أي عائلة متعامدة ذات معيار ثابت $\sqrt{\pi/\Omega}$ . وبأخذ النظائم في نشر السؤال 14: $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ .

16. المقدار $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc} (\Omega x) = \frac{\sin^2(\Omega x)}{\Omega x}$ ينعدم عند كل نقطة شبكة $\frac{n\pi}\Omega$ (بما فيها $0$ ، بالنهاية) وهو ليس معدومًا انعدامًا تامًّا. وأما حزمته: فنكتب $g = \frac1{2\iu}\bigl(\eu^{\iu\Omega x} - \eu^{-\iu\Omega x}\bigr)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ ؛ ويزيح التضمين بالمقدار $\eu^{\pm\iu\Omega x}$ التحويلَ بمقدار $\mp\Omega$ ، ومنه يكون حامل $\hat g$ في $\intcc{-2\Omega}{2\Omega}$ (بل في اتحاد حزمتين مزاحتين): أي $g \in PW_{2\Omega}$ ، وهو غير مرئي لأخذ العيّنات بالمعدل $\Omega$ — أي الالتباس الطيفي متجسّدًا.

17. حسب السؤال 15 تحمل العيّنات الطاقة بالتساوي: $\norm f^2 = \frac\pi\Omega\sum \abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ . وإذا كانت طاقة الإشارة خارج النافذة الزمنية $\intcc{-T/2}{T/2}$ هي $\leq \varepsilon^2\norm f^2$ ، فإن العيّنات خارج النافذة تحقق (إلى غاية حدود حدّية يتحكم فيها الحدّ المنتظم في السؤال 12) $\frac\pi\Omega\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2} \abs{f(n\pi/\Omega)}^2 \approx \norm{f\,\mathbf 1_{\abs x > T/2}}^2 \leq \varepsilon^2\norm f^2$ : أي إن بتر متسلسلة العيّنات إلى الأدلّة $\approx \frac{\Omega T}\pi$ الواقعة داخل النافذة يعيد بناء $f$ إلى غاية خطأ نسبي $\approx\varepsilon$ . ومن ثَمّ يعدّ جداء الزمن–عرض الحزمة $\frac{\Omega T}{\pi}$ درجاتِ الحرية الحقيقية الفعّالة للإشارة — وهي القاعدة الكامنة وراء كل صيغة صوتية.

18. (a) للمقدار $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ العيّنات $f(n\pi/\Omega) = \operatorname{sinc}(n\pi) = \delta_{n0}$ : فتُرجع المتسلسلة إلى حدّها عند $n = 0$ ، $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ — فالمبرهنة تستنسخ نواتها. (b) وإذا كان حامل $\hat f$ في $\intcc{-\Omega'}{\Omega'} \subseteq \intcc{-\Omega}\Omega$ ، جرت كل خطوة من السؤالين 13 و14 حرفيًّا مع الحزمة الأكبر $\Omega$ (إذ يظل نشر $\hat f$ على الفترة الأكبر مشروعًا): فأخذ العيّنات أسرع من معدل نايكويست الخاص لا يغيّر شيئًا في إعادة البناء — فالإفراط في أخذ العيّنات غير ضار، بل نافع عمليًّا (إذ يمكن عندئذٍ استعمال نوى إعادة بناء أسرع تناقصًا).

19. ننشر $\eu^{-\iu\xi x} = \sum_k\frac{(-\iu\xi x)^k}{k!}$ داخل التكامل؛ وعلى $\intcc{-A}A$ تتقارب المتسلسلة تقاربًا ناظميًّا ( $\sum_k\frac{\abs{\xi}^kA^k}{k!}\abs f \in L^1$ )، ومنه فالمكاملة حدًّا حدًّا مشروعة:

\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}m_k, \qquad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1 .

ويجعل هذا الحدّ المتسلسلة متقاربة من أجل كل $\xi$ عقدي؛ وحول أي نقطة $\xi_0$ ، تعطي إعادة التجميع (بالتقارب المطلق) متسلسلة قوى في $\xi - \xi_0$ : أي إن $\hat f$ تحليلية حقيقية بنصف قطر لانهائي في كل مكان.

20. لتكن $g$ تحليلية حقيقية على $\R$ (أي متسلسلة تايلور لها متقاربة إليها بجوار كل نقطة) ولتكن $Z = \{\xi : g^{(k)}(\xi) = 0\ \forall k\}$ . تكون $Z$ مغلقة (لأنها تقاطع مجموعات مغلقة)؛ وهي مفتوحة، إذ عند $\xi_0 \in Z$ يكون النشر المحلي لتايلور للدالة $g$ هو المتسلسلة المعدومة، ومنه تنعدم $g$ انعدامًا تامًّا بجوار $\xi_0$ مع جميع مشتقاتها. فإذا انعدمت $g$ على فترة، فإن $Z \neq \varnothing$ ؛ وبترابط $\R$ يكون $Z = \R$ : أي $g \equiv 0$ . والآن لو كان للدالة $f \neq 0$ حاملٌ متراص مع $\hat f$ : لجعل السؤال 19 الدالةَ $\hat f$ تحليلية حقيقية منعدمة خارج متراصة، ومنه على فترات: أي $\hat f \equiv 0$ ، ومنه $f = 0$ في كل مكان تقريبًا بالتباين — وهو تناقض. وبالمثل لا يمكن لدالة غير معدومة $f \in PW_\Omega$ أن يكون حاملها متراصًّا (بتبادل دورَي $f$ و $\hat f$ عبر القلب): فالإشارات المحدودة الحزمة لا تموت أبدًا، والإشارات المحدودة الزمن تشغل طيفًا غير محدود.

21. من أجل $f = \eu^{-ax^2}$ : $\norm f_2^2 = \sqrt{\frac\pi{2a}}$ و $\int x^2\abs f^2 = \frac1{4a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$ (بالعزم الثاني الغاوسي)؛ و $\hat f = \sqrt{\frac\pi a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ (المثال 14.2) و

\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi = \frac1{2\pi}\cdot\frac\pi a\int\xi^2 \eu^{-\xi^2/2a}\dd\xi = \frac1{2a}\cdot a\sqrt{2\pi a} = \frac{\sqrt{2\pi a}}2 .

والجداء المعيَّر: $\frac1{4a}\sqrt{\frac\pi{2a}}\cdot \frac{\sqrt{2\pi a}}2\big/\frac{\pi}{2a} = \frac14$ ، وهو لا يتعلق بالوسيط $a$ . ويفسّر التحجيم هذا الثبات: فاستبدال $f(\lambda\cdot)$ بالدالة $f$ يضرب $\int x^2\abs f^2/\norm f^2$ في $\lambda^{-2}$ ويضرب $\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2/\norm f^2$ في $\lambda^{2}$ : فالجداء صامدٌ بالتمدّد، والدوال الغاوسية تشكّل مدار تمدّد واحدًا.

22. مع $\abs f^2$ كثافةَ الموضع و $\frac1{2\pi}\abs{\hat f}^2$ كثافةَ الاندفاع لحالة كمومية (وتُدخل الوحدات الفيزيائية $\hbar$ )، تُقرأ التمرين 14.8 على الصورة $\sigma_x\sigma_p \geq \frac\hbar2$ : أي إنه ليس ثمة حالة حادّة في المرصودين معًا. وعبر الفصل، يرتدي قانون واحد خمس حُلل: فالحرارة تنعّم فورًا لأن $\eu^{-t\xi^2}$ يفني الترددات العالية (الجزء الثاني)؛ والتدفق لا يمكن أن يجري عكسيًّا لأن استعادتها غير محدودة (الجزء الرابع)؛ والإشارة المحدودة الحزمة صلبةٌ بما يكفي لتعيش على شبكة قابلة للعدّ (الجزء الخامس)؛ ولا تتغلّب أي دالة على أرضية هايزنبرغ؛ ولا توجد دالة ذات حامل متراص على طرفَي التحويل معًا (السؤالان 19 و20). فما تفعله $\hat f$ عند اللانهاية يحكم ما يمكن أن تفعله $f$ في أي مكان.

23. كلٌّ من $g_t$ و $g_s$ في $L^1$ مع $\widehat{g_t}(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ (بحساب السؤال 1)، ومنه تعطي مبرهنة الالتفاف أن $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \eu^{-(t+s)\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$ ؛ ودالتان من $L^1$ لهما التحويل نفسه تتوافقان في كل مكان تقريبًا (بالتباين، عبر مبرهنة القلب — وهنا الطرفان متصلان، فتتوافقان في كل مكان): أي $g_t * g_s = g_{t+s}$ . ومن ثَمّ $u(t + s) = g_{t+s} * f = g_s * (g_t * f) = g_s * u(t)$ (بتجميعية الالتفاف، وبتونيلي). وأما التحدّب اللوغاريتمي: فلتكن $N(t) = \norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2\dd\xi$ (ببلانشرِل، السؤال 8). ومن أجل $t = \frac{t_1 + t_2}2$ ، نكتب

\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2 = \Bigl(\eu^{-2t_1\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\eu^{-2t_2\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2},

وتعطي كوشي–شوارتز أن $N\bigl(\frac{t_1+t_2}2\bigr) \leq \sqrt{N(t_1)\,N(t_2)}$ : أي إن $\ln N$ محدّبة عند المنتصف، وبكونها متصلة (بالتقارب المهيمن في $t$ )، تكون محدّبة؛ وكذلك $\ln\norm{u(t)}_2 = \frac12\ln N(t)$ . فتناقصٌ ذو لوغاريتم محدّب: أي إن تدفق الحرارة لا يمكن أن يفقد الطاقة دفعةً ثم يتوقف.

24. عزوم النواة: $\int g_t = 1$ (السؤال 7 مع $f = g_s$ ، أو مباشرةً بالتكامل الغاوسي)، و $\int x\,g_t(x)\dd x = 0$ (لأن المقدار المكامَل فردي)، وبالتعويض $x = 2\sqrt t\,v$ ،

\int_\R x^2g_t(x)\,\dd x = \frac{4t}{\sqrt\pi}\int_\R v^2\eu^{-v^2}\dd v = 2t .

وبالتعويض $x = z + y$ في الالتفاف وبملاحظة $\iint(\abs z + \abs y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y < \infty$ (إذ كلٌّ من $\int\abs z^kg_t$ و $\int\abs y^kf$ منتهٍ من أجل $k \leq 2$ ، باستعمال $\abs y \leq \frac{1 + y^2}2$ )، ينطبق فوبيني وتونيلي على تكاملات العزوم أدناه:

\int x\,u(t,x)\dd x = \iint (z + y)\,g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y = 0\cdot\!\int\! f + 1\cdot\!\int\! yf(y)\dd y,

وهو الادعاء الأول؛ و

\iint (z+y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y = 2t\int f + 2\cdot0\cdot\!\int\! yf + \int y^2f(y)\dd y ,

وهو الثاني. فالمتوسطات تُجمع، والتباينات تُجمع، وتسهم النواة بمتوسط $0$ وتباين $2t$ : أي إنه بعد الزمن $t$ تكون الحرارة قد انتشرت على عرض من رتبة $\sqrt{2t}$ — فالمسافة تنمو مثل الجذر التربيعي للزمن، وهي بصمة الانتثار (وبصمة المسارات البراونية في الفصل 22).

25. في جهة التحويل: $\hat f(\xi) = \sqrt\pi\,\eu^{-\xi^2/4}$ ، ومنه $\hat u(t,\xi) = \sqrt\pi\,\eu^{-(t + \frac14)\xi^2}$ ، وهو تحويلُ المقدار $(1 + 4t)^{-1/2}\exp\bigl(-x^2/(1+4t)\bigr)$ ، بمعجم الدوال الغاوسية $\eu^{-ax^2} \mapsto \sqrt{\pi/a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ مع $a = \frac1{1+4t}$ : أي الصيغة المغلقة. وأما الفحص المباشر، مع $\sigma = 1 + 4t$ :

\partial_tu = \sigma^{-1/2}\eu^{-x^2/\sigma} \Bigl(-\frac2\sigma + \frac{4x^2}{\sigma^2}\Bigr) = \partial^2_{xx}u ,

والطرفان محسوبان من $\partial_xu = -\frac{2x}\sigma\,u$ . وأما الحفظ: $\int u(t) = \sigma^{-1/2}\sqrt{\pi\sigma} = \sqrt\pi$ من أجل كل $t$ . وأما التبديد:

\norm{u(t)}_2^2 = \frac1\sigma\int\eu^{-2x^2/\sigma}\dd x = \frac1\sigma\sqrt{\frac{\pi\sigma}2} = \sqrt{\frac\pi2}\,(1+4t)^{-1/2},

ومنه $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1+4t)^{-1/4}$ ، وهو متناقص بالمعنى الواسع بلوغاريتم محدّب (السؤال 23)؛ ويتناقص المعيار $L^2$ مثل $t^{-1/4}$ ، أي نصف الأُسّ $t^{-1/2}$ للمقدار $\norm{u(t)}_\infty$ بالضبط — وهو متسق مع $\norm u_2^2 \leq \norm u_\infty\norm u_1$ ومع حفظ $\norm u_1$ . وأما التباين: $\int x^2u(t) = \frac1\sigma\cdot\frac{\sigma^{3/2}\sqrt\pi}2 = \frac{\sqrt\pi}2\,(1 + 4t) = \int x^2f + 2t\sqrt\pi$ ، كما يتنبّأ السؤال 24 ( $\int x^2f = \frac{\sqrt\pi}2$ ، $\int f = \sqrt\pi$ ). وعند $t = 6$ : يكون $\sigma = 25$ ، وارتفاع الذروة $u(6, 0) = \frac15$ مقابل $u(0,0) = 1$ ، وسلّم العرض $\sqrt\sigma = 5$ ضعف الابتدائي، و $\int u = \sqrt\pi \approx 1.7725$ طوال الوقت: فالبقعة أخفض بخمسة أضعاف، وأعرض بخمسة أضعاف، ولم تنقص منها سعرة حرارية واحدة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

صنف شوارتز

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد