Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

19Kwantumstatistiek

De geleidingselektronen van koper vormen een gas dat duizend keer dichter is dan lucht — en toch dragen zij vrijwel niets bij aan de warmtecapaciteit van koper, een schandaal dat de klassieke natuurkunde vijftig jaar achtervolgde. Een wolk rubidiumatomen, tot honderd miljardsten van een kelvin gekoeld, stort plotseling in tot één enkele kwantumtoestand van tienduizend atomen diep. Een dode ster met de massa van de zon en de afmeting van de aarde weigert verder te krimpen, overeind gehouden door niets dan het uitsluitingsbeginsel. Alle drie zijn hetzelfde hoofdstuk natuurkunde: wat er met een gas gebeurt wanneer $n\lambda_T^3 \sim 1$ en de bezettingsformules van Hoofdstuk 18 van Boltzmann afwijken. Fermionen bouwen zeeën — koud, star, onder druk; bosonen bouwen condensaten — gezellig, coherent, supervloeibaar. Tussen de zwijgende meerderheid van de fermizee en de stormloop van het condensaat ligt het grootste deel van de moderne fysica van de gecondenseerde materie en van de lage temperaturen, en het lot van de sterren.

19.1 Gassen van bezettingen

Propositie 19.1 (Het raderwerk van het kwantumgas)

Voor niet-wisselwerkende deeltjes in een doos worden sommen over niveaus integralen over de toestandsdichtheid van Propositie 7.5 (per spintoestand $g(\epsilon) = (V/4\pi^2)(2m/\hbar^2)^{3/2}\sqrt\epsilon$ ):

N = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\dd\epsilon , \qquad E = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\epsilon\, \dd\epsilon ,

met $\bar n$ de bezetting van Fermi–Dirac of Bose–Einstein. De eerste vergelijking legt $\mu(T, n)$ vast; de tweede levert de thermodynamica. In de ijle limiet $n\lambda_T^3 \ll 1$ vallen beide statistieken op Boltzmann samen en keert het klassieke gas terug; de kwantumregimes beginnen waar de golfpakketten elkaar raken.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

19.2 De fermizee

Stelling 19.2 (Het ontaarde fermigas)

Bij $T = 0$ vullen fermionen elk niveau tot aan de fermi-energie

E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2n)^{2/3} \qquad (\text{spin } \tfrac12) ,

met gemiddelde energie $\tfrac35 E_{\text{F}}$ per deeltje en de ontaardingsdruk

P = \frac25\,n\,E_{\text{F}} \;\propto\; n^{5/3} :

een druk bij het absolute nulpunt, van zuiver kwantummechanische oorsprong — de stijfheid van het elektronengas van elk metaal en de steun van dode sterren. Bij $0 < T \ll T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$ kunnen alleen de elektronen binnen $\sim k_{\text{B}}T$ van het oppervlak van deze fermizee ergens op reageren: de fractie $\sim T/T_{\text{F}}$ is de hoofdsleutel tot het gedrag van metalen.

Gedeeltelijk bewijs. Vul $g(\epsilon)$ tot aan $E_{\text{F}}$ : het omkeren van $N = \int_0^{ E_{\text{F}}}g\,\dd\epsilon$ geeft de aangegeven $E_{\text{F}}$ (Oefening 7.8); $\langle\epsilon \rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ volgt uit nog een integraal. Druk: de doos samendrukken tilt elk niveau als $V^{-2/3}$ op, dus $E \propto V^{-2/3}$ en $P = -\partial E/\partial V = \tfrac23 E/V$ — met $E = \tfrac35 NE_{\text{F}}$ geeft dat de aangegeven wet. ∎

De fermizee bij T T_ F: de bezetting is een licht uitgesmeerde stap. Diepe elektronen kunnen niet verstrooien, absorberen of reageren — elke toegankelijke toestand is bezet; de hele fysica van metalen speelt zich af in de dunne thermische schil aan het oppervlak. — De fermizee bij $T \ll T_{\text{F}}$ : de bezetting is een licht uitgesmeerde stap. Diepe elektronen kunnen niet verstrooien, absorberen of reageren — elke toegankelijke toestand is bezet; de hele fysica van metalen speelt zich af in de dunne thermische schil aan het oppervlak.

Voorbeeld 19.3 (Het warmtecapaciteitsschandaal, opgelost)

Klassiek zou het vrije elektron per atoom van koper $\tfrac32 k_{\text{B}}$ aan de warmtecapaciteit moeten toevoegen — $50\%$ boven op Dulong–Petit. Gemeten: ongeveer $1\%$ bij kamertemperatuur. De zee verklaart dat: met $T_{\text{F}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ kan alleen de fractie $\sim T/T_{\text{F}} \approx 0.4\%$ van de elektronen thermisch worden aangeslagen, elk met $\sim k_{\text{B}}T$ :

C_{\text{el}} \approx \frac{\pi^2}{2}\, Nk_{\text{B}}\,\frac{T}{T_{\text{F}}}

(de exacte coëfficiënt van Sommerfeld; Oefening 19.12). Lineair in $T$ ligt zij bij gewone temperaturen onder de $T^3$ van het rooster begraven, maar overheerst zij onder enkele kelvin — precies zoals calorimeters vinden, waarmee in één klap het raadsel is opgelost van de elektronen die wel stroom dragen maar geen warmtecapaciteit.

Voorbeeld 19.4 (Sterren die door uitsluiting overeind blijven)

Een witte dwerg (Oefening 14.11) houdt de zwaartekracht in evenwicht met de ontaardingsdruk van de elektronen. Omdat $P \propto n^{5/3}$ sneller verstijft dan de zwaartekracht eist naarmate de ster krimpt, bestaat er bij elke bescheiden massa een evenwichtsstraal — met de griezelige schaling $R \propto M^{-1/3}$ : zwaardere dwergen zijn kleiner. Harder samengeperst worden de elektronen relativistisch, verzacht de drukwet tot $n^{4/3}$ en faalt het evenwicht bij één unieke massa, de grens van Chandrasekhar $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ (Probleem 19.1) — daarvoorbij volgt ineenstorting tot een neutronenster: een fermizee van neutronen bij kerndichtheid, dezelfde natuurkunde bij $10^{14}$ keer de dichtheid.

19.3 De stormloop van de bosonen

Stelling 19.5 (Bose-einsteincondensatie)

Voor een gas van $N$ behouden bosonen kunnen de aangeslagen toestanden hoogstens $N_{\max}(T) = 2.612\,V/\lambda_T^3$ deeltjes bevatten (de integraal van $g\bar n_{\text{BE}}$ op haar plafond $\mu \to 0$ ). Onder de kritische temperatuur

k_{\text{B}}T_{\text{c}} = \frac{2\pi\hbar^2}{m} \Big(\frac{n}{2.612}\Big)^{2/3} \quad\text{(equivalent } n\lambda_{T_{\text{c}}}^3 = 2.612 \text{)} ,

kan het overschot nergens heen dan naar de ene grondtoestand: een macroscopische bezetting

\frac{N_0}{N} = 1 - \Big(\frac{T}{T_{\text{c}}}\Big)^{3/2}

condenseert in één kwantumtoestand — materie die zich als één reusachtige golffunctie gedraagt. In 1925 door Einstein voorspeld uit de fotonstatistiek van Bose; in 1995 in ijl rubidium verwezenlijkt bij $T_{\text{c}} \approx 100\,\mathrm{nK}$ (Nobelprijs 2001), aangekondigd door de veelzeggende bimodale snelheidsverdeling: een thermische wolk met een naald condensaat zonder snelheid die uit haar midden oprijst.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Links: onder T_ c wordt de bezetting van de grondtoestand macroscopisch. Rechts: de handtekening uit 1995 — losgelaten en afgebeeld toont de wolk een brede thermische verdeling met een smalle piek bij snelheid nul: één kwantumtoestand, zichtbaar voor een camera. — Links: onder $T_{\text{c}}$ wordt de bezetting van de grondtoestand macroscopisch. Rechts: de handtekening uit 1995 — losgelaten en afgebeeld toont de wolk een brede thermische verdeling met een smalle piek bij snelheid nul: één kwantumtoestand, zichtbaar voor een camera.

Voorbeeld 19.6 (Helium, de veteraan onder de supervloeistoffen)

Vloeibaar $^4$ He (bosonisch) gaat bij $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ over in een supervloeistof: geen viscositeit door de fijnste haarvaten, filmstroming over wanden van vaten, fonteineffecten, en circulatie gekwantiseerd in eenheden $h/m$ — de macroscopische fase van een condensaat aan het werk, door de wisselwerkingen verschoven ten opzichte van de voorspelling voor een ideaal gas ( $3.1\,\mathrm{K}$ bij de dichtheid van helium) maar onmiskenbaar hetzelfde verschijnsel. Fermionisch $^3$ He kan niet in zijn eentje condenseren: zijn atomen moeten eerst paren (zoals de elektronen van een supergeleider, Hoofdstuk 24) tot samengestelde bosonen — en de supervloeibaarheid komt dan ook, maar bij $2.6\,\mathrm{mK}$ , duizend keer kouder: twee isotopen, één les — de statistiek is het lot.

Methode 19.7 (Welke statistiek, welk regime)

(1) Bereken eerst $n\lambda_T^3$ : $\ll1$ betekent Boltzmann, en hoofdstuk 17 volstaat. (2) Ontaarde fermionen: denk in $E_{\text{F}}$ en $T/T_{\text{F}}$ ; responsen (warmtecapaciteit, susceptibiliteit, verstrooiing) dragen de factor $T/T_{\text{F}}$ of bemonsteren alleen het fermioppervlak. (3) Ontaarde bosonen: vergelijk $T$ met $T_{\text{c}}$ ; daaronder splitst u het gas in een condensaat plus een thermische wolk. (4) Drukken: de fermionische stijfheid $n^{5/3}$ (of $n^{4/3}$ relativistisch) tegen wat er ook knijpt. (5) Samengestelde deeltjes: tel de fermionen waaruit ze bestaan om de statistiek te kiezen — en onthoud dat paarvorming de ene statistiek in de andere kan omzetten.

Een supergeleider die de veldlijnen van een magneet wegduwt en hem laat zweven: onder haar kritische temperatuur condenseert de elektronenvloeistof tot één macroscopische kwantumtoestand — ontaardingsfysica die een schijf in de lucht houdt.

19.4 Opgaven

Oefening 19.1 ★

Bereken $E_{\text{F}}$ en $T_{\text{F}}$ voor (a) koper ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (b) natrium ( $2.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (c) vloeibaar $^3$ He ( $1.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 3u$ ); (d) rangschik ze ten opzichte van kamertemperatuur en geef commentaar op wie wanneer ontaard is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.1.

(a) $7.1\,\mathrm{eV}$ , $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (b) $3.2\,\mathrm{eV}$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (c) Met $m = 3u$ : $E_{\text{F}} \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ , $T_{\text{F}} \approx 5\,\mathrm{K}$ (de waarde voor een ideaal gas; de wisselwerkingen verlagen haar). (d) Elektronen in metalen: bij elke aardse temperatuur ontaard; $^3$ He: pas onder enkele kelvin; $T = 300\,\mathrm{K}$ raakt de fermischaal van een metaal nooit.

Oefening 19.2 ★

(a) Toon aan dat $\langle\epsilon\rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ bij $T = 0$ . (b) Bereken de effectieve snelheid van de elektronen in koper. (c) Met welke temperatuur komt die snelheid klassiek overeen? (d) Waarom bevat een koud metaal elektronen die met een honderdste van de lichtsnelheid bewegen zonder die energie weg te stralen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.2.

(a) $\int_0^{E_{\text{F}}}\epsilon\,g\,\dd\epsilon/\int g\,\dd \epsilon = \tfrac35 E_{\text{F}}$ uit $g \propto \sqrt\epsilon$ . (b) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; effectief $\sqrt{3/5}\,v_{\text{F}} \approx 1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\tfrac32 k_{\text{B}}T = \tfrac35 E_{\text{F}}$ : $T \approx 3.3 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (d) Er is nergens heen te gaan: elke lagere toestand is bezet, dus kan er geen foton worden uitgezonden en kan geen botsing ze afremmen — snelheid zonder warmte, door uitsluiting.

Oefening 19.3 ★

De ontaardingsdruk van de elektronen in koper: (a) reken $P = \tfrac25 nE_{\text{F}}$ uit in pascal en in atmosfeer. (b) Waarom ontploft het metaal niet (wat trekt terug)? (c) Deze druk weerstaat samendrukking: breng dat in verband met de lage samendrukbaarheid van metalen. (d) Schat de compressiemodulus $K \sim \tfrac53 P$ en vergelijk met de gemeten $140\,\mathrm{GPa}$ van koper.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.3.

(a) $P = 0.4 \times 8.5 \times 10^{28} \times 7.1\,\mathrm{eV} = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa} \approx 4 \times 10^{5}$ atmosfeer. (b) De coulombaantrekking van het ionenrooster: het metaal is de wapenstilstand tussen beide (Oefening 19.11). (c) Samendrukken tilt $E_{\text{F}}$ steil op ( $n^{2/3}$ ): metalen bieden weerstand. (d) $K \sim \tfrac53 P \approx 65\,\mathrm{GPa}$ tegen de gemeten $140\,\mathrm{GPa}$ : de helft van de stijfheid van koper is zuivere uitsluiting.

Oefening 19.4 ★

Drempels voor BEC. (a) Bereken $T_{\text{c}}$ voor rubidium-87 ( $m = 1.44 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ) bij $n = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (b) Bij dezelfde $n$ : welke $T_{\text{c}}$ zouden waterstofatomen hebben? (c) Waarom gebruiken proeven ijle gassen bij nanokelvins en geen dichte gassen bij millikelvins (wat gebeurt er scheikundig bij hoge dichtheid en lage temperatuur)? (d) Toets de consistentieregel $n\lambda_{T_c}^3 = 2.612$ op uw getallen voor rubidium.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.4.

(a) $T_{\text{c}} \approx 0.4\,\text{µ}\mathrm{K}$ — het condensaat van JILA verscheen bij $170\,\mathrm{nK}$ : dezelfde natuurkunde, met een iets lagere piekdichtheid. (b) $T_{\text{c}} \propto 1/m$ : $\times87 \approx 35\,\text{µ}\mathrm{K}$ . (c) Bij hoge dichtheid en zulke kou stolt elk gas behalve spingepolariseerde waterstof; driedeeltjesbotsingen maken moleculen. De truc is een ijl, metastabiel gas dat koud genoeg is opdat $\lambda_T$ de verdunning goedmaakt. (d) $\lambda_{T_{\text{c}}} = h/\sqrt{2\pi mk_{\text{B}}T_{\text{c}}} \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $n\lambda^3 = 10^{20} \times 2.7 \times 10^{-20} \approx 2.7$ , zoals de regel vereist.

Oefening 19.5 ★★

Twee warmtecapaciteiten. In een metaal is $C = \gamma T + \beta T^3$ (elektronen; rooster). (a) Schat met Voorbeeld 19.3 en de debye-achtige roosterterm $\beta T^3 = 234\,Nk_{\text{B}}(T/\theta_{\text{D}})^3$ de omslagtemperatuur voor koper ( $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ , $T_{\text{F}} = 8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (b) Het aandeel van de elektronen bij $300\,\mathrm{K}$ , in procenten. (c) En bij $0.1\,\mathrm{K}$ ? (d) Waarom zetten experimentatoren $C/T$ tegen $T^2$ uit, en wat leveren het snijpunt en de helling van die rechte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.5.

(a) $\gamma T = \beta T^3$ bij $T^2 = \gamma/\beta$ : voor koper is $T \approx 3\,\mathrm{K}$ . (b) $C_{\text{el}}/C \approx (\pi^2/2)(300/8.2 \times 10^{4})/3 \approx 0.6\%$ . (c) Bij $0.1\,\mathrm{K}$ is de roosterterm als $T^3$ ingestort: de elektronen dragen $\sim10^3$ keer meer — de calorimetrie wordt elektronspectroscopie. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ is een rechte in $T^2$ : het snijpunt $\gamma$ meet de toestandsdichtheid op het ferminiveau en de helling $\beta$ de debyetemperatuur — twee getallen per metaal uit één grafiek.

Oefening 19.6 ★★

Een witte dwerg met één zonsmassa ( $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) en de straal van de aarde ( $R = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ), met één elektron per twee nucleonen. (a) Bereken $n_{\text{e}}$ en $E_{\text{F}}$ (niet-relativistische formule). (b) Vergelijk $E_{\text{F}}$ met $m_{\text{e}}c^2$ en met $k_{\text{B}}T$ bij de $10^{7}\,\mathrm{K}$ van het inwendige: rechtvaardig “koud” en “bijna relativistisch” tegelijk. (c) Vergelijk de ontaardingsdruk $\tfrac25 nE_{\text{F}}$ met de schatting van de zwaartekrachtsdruk $\sim GM^2/R^4$ : dezelfde orde? (d) Wat gebeurt er kwalitatief met elke kant van het evenwicht als $M$ groeit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.6.

(a) $N_{\text{e}} = M/2m_{\text{n}} = 6 \times 10^{56}$ ; $n = 5.5 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $E_{\text{F}} \approx 0.24\,\mathrm{MeV}$ . (b) De helft van de rustenergie van het elektron (op de rand van relativistisch), en toch driehonderd keer $k_{\text{B}}T$ ( $0.9\,\mathrm{keV}$ ): tegelijk witgloeiend en kwantumkoud. (c) $P_{\text{deg}} \approx 9 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}$ tegen $GM^2/R^4 \sim 10^{22}\,\mathrm{Pa}$ : dezelfde orde — de ster is precies dat evenwicht. (d) Meer massa: de kant van de zwaartekracht groeit als $M^2$ , en de ster moet krimpen ( $R \propto M^{-1/3}$ ), wat $E_{\text{F}}$ naar de relativistische verzachting drijft.

Oefening 19.7 ★★

Neutronenmaterie. Een neutronenster propt $M = 1.4\,M_\odot$ in $R \approx 11\,\mathrm{km}$ . (a) Bereken de neutronendichtheid en vergelijk met de kerndichtheid ( $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (b) Bereken $E_{\text{F}}$ voor de neutronen (niet-relativistisch; $m_{\text{n}}c^2 = 939\,\mathrm{MeV}$ ) en ga na hoe relativistisch zij zijn. (c) Waarom zijn de elektronen van de ster verdwenen (omgekeerd bètaverval: $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ — wat liet de $E_{\text{F}}$ van de elektronen ervoor betalen)? (d) Hoeveel weegt één theelepel van deze materie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.7.

(a) $\rho \approx 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : ongeveer tweemaal de kerndichtheid — een atoomkern zo groot als een stad. (b) $n_{\text{n}} \approx 3 \times 10^{44}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $E_{\text{F}} \approx 90\,\mathrm{MeV}$ , een tiende van $m_{\text{n}}c^2$ : de relativiteitstheorie klopt aan. (c) De fermi-energie van de elektronen steeg voorbij de prijs van $0.78\,\mathrm{MeV}$ van $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ : de vangst werd lonend, en de ster ruilde haar elektronen en protonen voor neutronen. (d) $5\,\mathrm{cm}^{3} \times 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} = 2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ : een theelepel die een bergketen overtreft.

Oefening 19.8 ★★

Bosonen zonder aantal. (a) Fotonen hebben altijd $\mu = 0$ : waarom kunnen zij de condensatie van Stelling 19.5 niet ondergaan (wat doet het gas in plaats daarvan bij afkoelen)? (b) Welke behoudswet hebben rubidiumatomen die fotonen missen? (c) In 2010 is er een fotonen-BEC gemaakt, in een holte gevuld met kleurstof waarin fotonen thermaliseren en hun aantal in de praktijk vastligt: welk ingrediënt herstelde de kleurstofholte? (d) Fononen in een kristal: condensatie of niet, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.8.

(a) Een holte afkoelen verwijdert eenvoudigweg fotonen (de wanden slikken ze op): zonder een aantal om te behouden blijft $\mu$ op nul vastgepind en hoopt er zich nooit een overschot in de grondmodus op — het gas dooft in plaats van te condenseren. (b) Het aantal atomen blijft op elke laboratoriumtijdschaal behouden. (c) De kleurstof absorbeert en zendt de fotonen herhaaldelijk uit zonder ze te verliezen op de thermalisatietijdschaal: een in de praktijk behouden aantal fotonen (en een effectieve massa uit de holte) — en de condensatie verschijnt dan ook. (d) Fononen: vrijelijk geschapen en vernietigd, $\mu = 0$ : geen condensatie — het “fononengas” van een kristal vriest gewoon uit.

Oefening 19.9 ★★

De twee isotopen van helium. (a) Bereken de $T_{\text{c}}$ voor een ideaal gas voor vloeibaar $^4$ He ( $n = 2.2 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 4u$ ) en vergelijk met $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ . (b) Waarom is de overeenstemming maar ruw (wat verwaarloost “ideaal” in een vloeistof)? (c) $^3$ He blijft bij vrijwel dezelfde dichtheid tot in de millikelvins normaal: noem het obstakel en de omweg die de natuur vond. (d) Toets de logica van het samengestelde deeltje: een paar $^3$ He bevat een even aantal fermionen — boson; $^6$ Li bevat $3\text{p} + 3\text{n} + 3\text{e} = 9$ fermionen: deel het in, en noem de befaamde proeven met koude gassen die precies dit contrast tussen de lithiumisotopen uitbuiten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.9.

(a) $T_{\text{c}}^{\text{ideaal}} \approx 3.1\,\mathrm{K}$ tegen de gemeten $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ . (b) Vloeibaar helium is dicht en sterk wisselwerkend: “ideaal” laat juist de wisselwerkingen vallen die de overgang verschuiven (en van vorm veranderen). (c) De atomen van $^3$ He zijn fermionen: geen condensatie zonder paarvorming; aantrekkende wisselwerkingen binden cooperachtige paren pas onder $2.6\,\mathrm{mK}$ , en de gepaarde vloeistof stroomt dan superieur. (d) Negen fermionen: $^6$ Li is een fermion (terwijl $^7$ Li een boson is) — met het paar lithiumisotopen kan één laboratorium een fermizee en een condensaat in dezelfde oven bestuderen.

Oefening 19.10 ★★★

$T_{\text{c}}$ eerlijk. (a) Schrijf $N_{\text{exc}} = \int_0^\infty g(\epsilon)\dd\epsilon/(\eu^{\beta\epsilon} - 1)$ op bij $\mu = 0$ en herleid het, met $x = \beta\epsilon$ , tot $N_{\text{exc}} = (V/\lambda_T^3)\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\sqrt x\,\dd x}{\eu^x - 1}$ . (b) Verkrijg met $\int_0^\infty\sqrt x\,\dd x/( \eu^x - 1) = 2.612\,\sqrt\pi/2$ het plafond en $T_{\text{c}}$ . (c) Leid de condensaatfractie $1 - (T/T_{\text{c}})^{3/2}$ af. (d) Waarom brengt hetzelfde argument in een tweedimensionale doos geen condensatie voort (hoe verandert $g( \epsilon)$ , en wat gebeurt er met de convergentie van de integraal)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.10.

(a) Vul $g \propto \sqrt\epsilon$ in en schaal $\beta$ eruit. (b) De waarde van de integraal geeft $N_{\text{exc}} = 2.612\,V/\lambda_T^3$ ; $N_{\text{exc}} = N$ stellen definieert $T_{\text{c}}$ . (c) Onder $T_{\text{c}}$ is $N_{\text{exc}}(T) = N(T/T_{\text{c}})^{3/2}$ ; de rest is $N_0$ . (d) In twee dimensies is $g(\epsilon)$ constant en divergeert $\int\dd\epsilon/(\eu^{ \beta\epsilon} - 1)$ aan de onderkant: de aangeslagen toestanden kunnen iedereen altijd opnemen — geen macroscopische bezetting van de grondtoestand bij enige $T > 0$ .

Oefening 19.11 ★★★

Waarom metalen bijeen blijven. Modelleer een metaal als elektronen met dichtheid $n$ (fermi-energieprijs $\propto n^{2/3}$ per elektron) die worden aangetrokken door een neutraliserende ionenachtergrond (coulombwinst per elektron $\sim -e^2n^{1/3}/4\pi\varepsilon_0$ ). (a) Schrijf de energie per elektron $\epsilon(n) = An^{2/3} - Bn^{1/3}$ op en toon aan dat zij een minimum heeft. (b) Toon aan dat de evenwichtsafstand tussen de elektronen van de orde $a_0$ is — de dichtheden van metalen zijn geen toeval. (c) Schat de schaal van de cohesie-energie in het minimum, in eV. (d) Welke rol speelt de ontaardingsdruk in deze gebonden toestand (wat stopt de coulombineenstorting)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.11.

(a) $\dd\epsilon/\dd n = \tfrac23 An^{-1/3} - \tfrac13 Bn^{-2/3} = 0$ bij $n^{1/3} = B/2A$ : een echt minimum. (b) Met $A \sim \hbar^2/m_{\text{e}}$ en $B \sim e^2/4\pi\varepsilon_0$ is de evenwichtsafstand $n^{-1/3} \sim \hbar^2 4\pi\varepsilon_0/ m_{\text{e}}e^2 = a_0$ : metalen zijn dicht omdat de bohrstraal dat zegt. (c) $\epsilon_{\min} \sim -B^2/A \sim -E_{\text{I}}$ — cohesie op de schaal van elektronvolts, zoals gemeten. (d) De ontaardingsdruk is de afstotende helft van de wapenstilstand: zonder haar zou de coulombterm het rooster tot een punt verpletteren — het volume van de materie is dat van Pauli.

Oefening 19.12 ★★★

De schil van Sommerfeld, gekwantificeerd. (a) Beredeneer: van $N$ elektronen zitten er maar $\sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ in de actieve schil, elk met een extra energie $\sim k_{\text{B}}T$ : leid $C_{\text{el}} \sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}^2T$ op een constante na af. (b) Vind met $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ de uitdrukking $C_{\text{el}} \sim Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ terug (de exacte constante is $\pi^2/2$ ). (c) Dezelfde schillogica geeft de van de temperatuur onafhankelijke spinsusceptibiliteit van Pauli: alleen elektronen in de schil kunnen omklappen — maar de schil groeit als $T$ terwijl elke bijdrage als $1/T$ daalt: toon de opheffing aan. (d) Formuleer de algemene moraal voor ontaarde fermionen: elke respons is de klassieke maal $\sim T/T_{\text{F}}$ of haar analogon dat alleen het oppervlak betreft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.12.

(a) Actieve elektronen: $g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ ; energie elk: $\sim k_{\text{B}}T$ ; differentieer $E_{\text{extra}} \sim g k_{\text{B}}^2T^2$ . (b) $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ geeft $C \sim 3Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ — de exacte $\pi^2/2$ vervangt de 3. (c) Omklapbare spins $\propto T$ ; elk draagt een uitlijning $\propto \mu^2B/k_{\text{B}}T$ bij: de $T$ ’s heffen elkaar op — de susceptibiliteit van Pauli is vlak waar die van Curie (Oefening 17.11) als $1/T$ daalt: een diagnose van ontaarding. (d) Ontaarde fermionen reageren alleen aan hun oppervlak: vermenigvuldig elk klassiek antwoord met $\sim T/T_{\text{F}}$ , of beperk het tot de fermischil.

Het eerste bose-einsteincondensaat (NIST/JILA, 1995, publiek domein): snelheidsverdelingen van rubidiumatomen terwijl het gas van links naar rechts afkoelt — de thermische heuvel stort in tot de piek van het condensaat, zeventig jaar na de voorspelling.

19.5 Vraagstuk: De zwaarst mogelijke witte dwerg

Probleem 19.1

Weekendvraagstuk — de grens van Chandrasekhar en de kaarsen die zij aanstak

In 1930 berekende Subrahmanyan Chandrasekhar, negentien jaar oud, op de boot naar Engeland dat de ontaarding van de elektronen een dode ster slechts tot een welbepaalde massa kan dragen. Het resultaat — door Eddington verbeten bestreden — ligt aan de basis van neutronensterren, zwarte gaten en de supernova’s die als “standaardkaarsen” het versnellend uitdijende heelal onthulden. Dit vraagstuk bouwt het met schalingen op. Gegevens: $M_\odot = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; één elektron per $\mu_e = 2$ nucleonen; $m_{\text{n}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ; $\hbar c = 3.16 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ ; $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ .

Deel I — Evenwicht van twee energieën. Behandel voor een ster met massa $M$ en straal $R$ de energieën per eenheid van massa met schalingen.

Zwaartekrachtsenergie: $E_{\text{g}} \sim -GM^2/R$ — haal haar oorsprong op.
Aantal elektronen $N_{\text{e}} = M/\mu_e m_{\text{n}}$ en dichtheid $n \sim N_{\text{e}}/R^3$ : schrijf de schaal van de niet-relativistische fermi-energie als functie van $M$ en $R$ op.
Toon aan dat de totale kinetische (ontaardings)energie schaalt als $E_{\text{k}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}} R^2$ .
Minimaliseer $E_{\text{k}} + E_{\text{g}}$ over $R$ en toon aan dat de evenwichtsstraal $R \sim \hbar^2 N_{\text{e}}^{-1/3}/(G\,m_{\text{e}}\, m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ is.
Lees de schaling $R \propto M^{-1/3}$ af: zwaardere dwergen zijn kleiner. Waarom ruikt dat al naar moeilijkheden?
Reken $R$ uit voor $M = 1\,M_\odot$ en vergelijk met de gemeten $\approx5800\,\mathrm{km}$ van Sirius B.

Deel II — De relativiteitstheorie trekt de vloer weg.

Naarmate $R$ krimpt groeit $E_{\text{F}}$ : schat de dichtheid waarbij $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ , en het bijbehorende massagebied van de dwerg.
In het ultrarelativistische regime is de energie van elk elektron $\sim\hbar c\,n^{1/3}$ : toon aan dat de kinetische energie $E_{\text{k}} \sim \hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3}/R$ wordt.
Beide energieën schalen nu als $1/R$ : concludeer dat het evenwicht geen straal meer uitkiest — vergelijk in plaats daarvan de twee coëfficiënten.
Leid uit $\hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3} \sim GM^2 = G(\mu_em_{\text{n}}N_{\text{e}})^2$ het kritische aantal elektronen en de massa

$M_{\text{Ch}} \sim \Big(\frac{\hbar c}{G\,m_{\text{n}}^2}\Big)^{3/2} \frac{m_{\text{n}}}{\mu_e^2} .$
Reken de dimensieloze verhouding $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2$ uit — een van de grote zuivere getallen van de natuurkunde — en daarna $M_{\text{Ch}}$ in zonsmassa’s (de exacte behandeling geeft $1.4\,M_\odot$ ).
Duid de formule: welke drie constanten spannen samen, en waarom draagt een kwantumgrens aan een ster een $\hbar$ ?

Deel III — Voorbij de grens.

Een dwerg die voorbij $M_{\text{Ch}}$ wordt geduwd (aanwas van een begeleider): wat draagt hem daarna, en op welke straalschaal (vervang $m_{\text{e}}$ door $m_{\text{n}}$ en $\mu_e$ door 1 in de straal van deel I)?
Toon aan dat de eigen relativistische grens van de neutronenster van dezelfde orde $M_{\text{Ch}}$ is — de natuur staat maar een uitstel met een factor twee toe (waargenomen maximum $\approx 2.2\,M_\odot$ ). Wat wacht daarvoorbij?
Tijdens de ineenstorting tot een neutronenster komt $\sim GM^2/R_{ \text{ns}}$ aan zwaartekrachtsenergie vrij: reken haar uit voor $M = 1.4\,M_\odot$ en $R = 11\,\mathrm{km}$ , en vergelijk met de volledige opbrengst van de zon over $10\,\mathrm{Gyr}$ ( $\sim1.2 \times 10^{44}\,\mathrm{J}$ ).
Vrijwel alles vertrekt binnen seconden als neutrino’s: welke waarneming uit 1987 bevestigde dit beeld op spectaculaire wijze?
De terugkaatsing van de instortende kern en de duw van de neutrino’s blazen de mantel weg: een supernova door kerninstorting. Onderscheid haar, elk in één zin, van de thermonucleaire supernova (type Ia) van een witte dwerg die op de drempel van Chandrasekhar ontbrandt.
Waarom maakt een ontbranding bij een universele massa supernova’s van type Ia vrijwel identiek — en daarmee bruikbaar als standaardkaars?

Deel IV — De kaarsen en de kosmos.

De schijnbare helderheid van een standaardkaars geeft haar afstand: formuleer de logica van de omgekeerde kwadratenwet en waarom standaard het beslissende woord is.
In 1998 vonden twee teams verre supernova’s van type Ia zwakker dan verwacht: formuleer de gevolgtrekking (de uitdijing versnelt — donkere energie) en waarom de betrouwbaarheid van de kaars de kern van de zaak was.
Geef de keten van dit vraagstuk in één regel: Pauli $\to$ ontaardingsdruk $\to$ $M_{\text{Ch}}$ $\to$ eenvormige explosies $\to$ kosmische versnelling.
Eddington spotte met het resultaat (“een ster die ongerijmdheden begaat”); Chandrasekhar kreeg drieënvijftig jaar later de Nobelprijs: wat leert die episode over het volgen van vergelijkingen voorbij comfortabele conclusies?
Het spectrum van Sirius B impliceerde in 1915 een ton per kubieke centimeter — “onzin” totdat Fowler, binnen enkele maanden na de statistiek van Fermi in 1926, de ster als een ontaard gas verklaarde: zeg waarom het raadsel het ene jaar onoplosbaar was en het volgende routine.
Overzichten van duizenden witte dwergen vinden massa’s die zich rond $0.6\,M_\odot$ ophopen en geen enkele boven $\approx1.4\,M_\odot$ : welke twee voorspellingen van dit vraagstuk bevestigt dat ene histogram?
Vat het genoemde resultaat samen: $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{ 3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ — drie natuurconstanten die de zwaarst mogelijke witte dwerg vastleggen, de ontstekingsmassa van de geijkte explosies van het heelal.

Oplossing

Oplossing van Probleem 19.1.

1. De energie die vrijkomt bij het samenstellen van de ster uit verspreide materie — negatief, en dieper naarmate zij compacter is. 2. $E_{\text{F}} \sim (\hbar^2/m_{\text{e}}) (N_{\text{e}}/R^3)^{2/3}$ . 3. $E_{\text{k}} \sim N_{\text{e}}E_{\text{F}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}}R^2$ . 4. $A/R^2 - B/R$ minimaliseren geeft $R = 2A/B$ : $R \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{-1/3}/(Gm_{\text{e}}m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ . 5. $N_{\text{e}} \propto M$ : $R \propto M^{-1/3}$ — massa toevoegen laat de ster krimpen, zodat de dichtheid en $E_{\text{F}}$ onbegrensd groeien: de niet-relativistische steun leeft op krediet. 6. $N_{\text{e}} = 6 \times 10^{56}$ : $R \sim 2000\,\mathrm{km}$ — de juiste orde naast de $5800\,\mathrm{km}$ van Sirius B (onze schaling liet factoren van enkele eenheden vallen). 7. $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ bij $n \sim (m_{\text{e}}c/\hbar)^3 \approx 2 \times 10^{37}\,\mathrm{m}^{-3}$ , dus $\rho \sim 10^{10}$ – $10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : het regime van de zwaarste dwergen. 8. Elk elektron: $\epsilon \sim \hbar c\,n^{1/3}$ ; in totaal: $\hbar cN_{\text{e}}^{4/3}/R$ . 9. Met beide termen $\propto 1/R$ valt de straal weg: de stabiliteit wordt beslist door de vraag of de kinetische coëfficiënt de gravitationele overtreft — een zuiver massacriterium. 10. Gelijkstellen: $N_{\text{e,crit}} \sim (\hbar c/ Gm_{\text{n}}^2\mu_e^2)^{3/2}$ , en $M_{\text{Ch}} = \mu_em_{\text{n}}N_{\text{e,crit}}$ : de aangegeven formule. 11. $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2 = 1.7 \times 10^{38}$ ; $M_{\text{Ch}} \sim (1.7 \times 10^{38})^{3/2}m_{\text{n}}/4 \approx 9 \times 10^{29}\,\mathrm{kg} \approx 0.5\,M_\odot$ — de exacte berekening scherpt de orde van grootte aan tot $1.4\,M_\odot$ . 12. $\hbar$ (de druk is kwantummechanisch), $c$ (haar relativistische verzachting) en $G$ (de tegenstander): een getal op sterschaal, uit drie microscopische constanten opgebouwd — de kwantummechanica die wetten stelt voor voorwerpen van $10^{57}$ deeltjes. 13. De ontaarding van de neutronen, bij een straal die met $\sim m_{\text{e}}/m_{\text{n}}$ kleiner is (maal de boekhouding van $\mu_e$ ): kilometers — de neutronenster. 14. Dezelfde drie constanten met overal $m_{\text{n}}$ geven dezelfde massaschaal: neutronensterren houden op nabij $2\,M_\odot$ ; daarvoorbij wint geen enkele drukwet — een zwart gat. 15. $GM^2/R \approx 5 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ : enkele honderden malen de volledige opbrengst van de zon over tien miljard jaar, in seconden vrijgemaakt. 16. Supernova 1987A: twee dozijn neutrino’s, uren voordat het licht opflakkerde aangekomen en precies de voorspelde energie dragend — de ineenstorting rechtstreeks gehoord. 17. Kerninstorting: de ijzeren kern van een zware ster implodeert voorbij elke drukbodem; de mantel wordt weggeblazen. Type Ia: een witte dwerg die tot aan de drempel is gevoed ontsteekt zijn koolstof in een thermonucleaire flits die de hele ster ontbindt. 18. Dezelfde ontstekingsmassa, dezelfde brandstof, dezelfde energieafgifte: vrijwel identieke lichtkrommen — geijkte bommen. 19. Kennen we de absolute helderheid, dan geeft de waargenomen helderheid de afstand volgens de omgekeerde kwadratenwet; zonder “standaard” stort de ladder in. 20. Te zwak betekent te ver: de uitdijing is versneld — donkere energie, bewijsmatig rustend op de eenvormigheid van de kaarsen (vandaar de zorg om hun natuurkunde). 21. Het uitsluitingsbeginsel $\to$ ontaardingsdruk $\to$ een universele grensmassa $\to$ gestandaardiseerde explosies $\to$ de gemeten versnelling van het heelal. 22. Volg de wiskunde waarheen zij ook leidt: het “ongerijmde” gedrag van sterren voorbij de grens bleek neutronensterren en zwarte gaten op te leveren — beide inmiddels bij duizenden gecatalogiseerd. 23. In 1915 stond geen bekende natuurkunde materie een ton per kubieke centimeter toe; in 1926 maakte de statistiek van Fermi en Dirac haar tot de standaardtoestand van elk koud dicht gas: de waarneming wachtte op de statistiek, niet omgekeerd. 24. Dat dwergen over een reeks massa’s stabiel bestaan (de tak $R(M)$ ), en dat die tak bij $1.4\,M_\odot$ ophoudt: beide staan in dat histogram getekend. 25. $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ : drie constanten leggen de zwaarste witte dwerg vast — en daarmee de ontstekingsmassa van de standaardkaarsen die het lot van het heelal wogen.