Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

4Relativistische kinematica

Kosmische straling die de hoge atmosfeer treft maakt op vijftien kilometer hoogte muonen — onstabiele deeltjes die gemiddeld twee microseconden leven. Twee microseconden bij bijna de lichtsnelheid is zeshonderd meter; toch tikken muondetectoren op zeeniveau gestaag door en tellen zij deeltjes die twintig keer hun toegemeten bereik hebben afgelegd. De oplossing van deze paradox is geen detail uit de deeltjesfysica, maar een herziening van de begrippen onder de hele natuurkunde: de tijd verstrijkt voor het bewegende muon anders dan voor ons, en afstanden krimpen langs zijn beweging. Dit hoofdstuk bouwt die herziening — de speciale relativiteitstheorie (Einstein, 1905) — op uit haar twee postulaten: de wetten van de natuurkunde zijn in elk inertiaalstelsel dezelfde, en licht in vacuüm heeft in alle inertiaalstelsels dezelfde snelheid. De rest volgt uit eerlijke kinematica: de verstrengeling van ruimte met tijd in de lorentztransformatie, de rek van de tijd, de krimp van lengten, de nieuwe regel voor het samenstellen van snelheden, en de meetkunde — de ruimtetijd en haar invariante interval — waarin dat alles even vanzelfsprekend wordt als een rotatie.

4.1 Twee postulaten tegen de absolute tijd

Opmerking 4.1 (Waar het conflict vandaan komt)

De mechanica heeft altijd al een relativiteitsbeginsel gehad: in een rustig varend schip verraadt geen enkele proef met ballen en slingers de beweging (Galilei), en de wetten van Newton gelden in elk inertiaalstelsel, de stelsels die ten opzichte van elkaar met constante snelheid bewegen. Maar het elektromagnetisme van het volume van jaar 2 leidt uit natuurconstanten een welbepaalde lichtsnelheid af, $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , zonder te vermelden wie haar meet — en de proeven bevestigen het: de snelheid van sterrenlicht dat op de bewegende aarde aankomt, door de seizoenen heen gemeten, verandert nooit (Michelson en Morley, 1887, en elke opvolger sindsdien). De kinematica van Galilei, waarin snelheden optellen, kan een snelheid die voor iedereen dezelfde is niet verteren. Er moet iets wijken, en dat is onze aanname dat tijd en gelijktijdigheid absoluut zijn.

Stelling 4.2 (De postulaten van de speciale relativiteitstheorie)

(i) Relativiteit: de wetten van de natuurkunde nemen in elk inertiaalstelsel dezelfde vorm aan; geen enkele proef onderscheidt rust van eenparige beweging. (ii) Licht: licht in vacuüm plant zich in elk inertiaalstelsel met dezelfde snelheid $c$ voort, wat de beweging van de bron of de waarnemer ook is.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Definitie 4.3 (Gebeurtenissen en gelijktijdigheid)

Een gebeurtenis is een puntvormig voorval: een bepaalde plaats én een bepaald ogenblik — een vonk, een tik van een detector, een verval. Elk inertiaalstelsel kent een gebeurtenis de coördinaten $(t, x, y, z)$ toe met meetlatten die in het stelsel rusten en gelijkgezette klokken die erover verdeeld staan. Twee gebeurtenissen heten gelijktijdig in een stelsel wanneer de klokken van dat stelsel er dezelfde $t$ aan toekennen — en het eerste slachtoffer van de postulaten is dat dit begrip van het stelsel afhangt.

Voorbeeld 4.4 (De trein en de twee bliksemschichten)

De bliksem slaat in aan beide uiteinden van een snelle trein en laat sporen na op trein en spoor. Voor de waarneemster op de grond, midden tussen de sporen, komen de twee flitsen samen aan: voor haar waren de inslagen gelijktijdig. De passagier die op het midden van de trein zit, beweegt echter naar de ene flits toe en van de andere weg; omdat ook in zijn stelsel het licht met $c$ loopt, bereikt de voorste flits hem eerder — en omdat hij even ver van de twee sporen op de trein zit, moet hij besluiten dat de voorste inslag eerder plaatsvond. Geen van beiden heeft ongelijk: de gelijktijdigheid van gescheiden gebeurtenissen is geen feit over de wereld maar over het stelsel. Elke relativistische “paradox” lost hier op.

Twee inslagen die zowel de trein als het spoor merken. De waarneemster op de grond, midden tussen de sporen, ontvangt de flitsen samen: voor haar gelijktijdig. De passagier loopt flits B tegemoet; die bereikt hem eerder, en — even ver van de sporen in zijn eigen stelsel — besluit hij dat B het eerst insloeg. Gelijktijdigheid is relatief.

4.2 De lorentztransformatie

Stelling 4.5 (Lorentztransformatie)

Laat het stelsel $\mathcal R'$ met snelheid $v$ langs de $x$ -as van het stelsel $\mathcal R$ bewegen, met samenvallende oorsprongen op $t = t' = 0$ . Een gebeurtenis $(t, x)$ van $\mathcal R$ heeft in $\mathcal R'$ de coördinaten

x' = \gamma\,(x - vt) , \qquad t' = \gamma\Big(t - \frac{v\,x}{c^2}\Big) , \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} ,

met $y' = y$ , $z' = z$ ; de omgekeerde transformatie is dezelfde met $v \to -v$ . Voor $v \ll c$ gaat $\gamma \to 1$ en vindt men Galilei’s $x' = x - vt$ , $t' = t$ terug. De factor $\gamma \ge 1$ — nauwelijks $1$ bij alledaagse snelheden, $1.15$ bij $c/2$ , $7.1$ bij $0.99c$ — meet elk relativistisch effect van dit hoofdstuk.

Gedeeltelijk bewijs. De homogeniteit van ruimte en tijd dwingt de transformatie lineair te zijn; de symmetrie tussen de stelsels en het relativiteitspostulaat herleiden haar tot $x' = \gamma(x - vt)$ , $x = \gamma(x' + vt')$ met één onbekende functie $\gamma(v)$ . Volg een lichtflits die in de gemeenschappelijke oorsprong wordt uitgezonden: postulaat (ii) eist $x = ct$ en $x' = ct'$ . Invullen geeft $ct' = \gamma t(c - v)$ en $ct = \gamma t'(c + v)$ ; vermenigvuldiging van de twee vergelijkingen geeft $c^2 = \gamma^2(c^2 - v^2)$ , wat de aangegeven $\gamma$ is. Eliminatie van $x'$ tussen de twee lineaire betrekkingen levert de tijdformule. (De stap van “het licht klopt” naar “de hele transformatie ligt vast” — geen resterende rek van de dwarsrichtingen of herschaling — gebruikt de symmetrieargumenten van Oefening 4.11.) ∎

Propositie 4.6 (Tijdrek)

Een klok die in $\mathcal R'$ rust — die tikt bij vaste $x'$ — loopt gezien vanuit $\mathcal R$ achter: tussen twee van haar tikken, gescheiden door de eigentijd $\Delta\tau$ (de tijd van het stelsel waarin de klok rust), meet het stelsel $\mathcal R$

\Delta t = \gamma\,\Delta\tau \ge \Delta\tau .

Bewegende klokken lopen traag — alle, biologische, atomaire of subatomaire, want het is de tijd zelf die rekt, geen mechaniek.

Bewijs. Twee tikken bij dezelfde $x'$ : de omgekeerde transformatie geeft $\Delta t = \gamma(\Delta t' + v\,\Delta x'/c^2) = \gamma\,\Delta\tau$ omdat $\Delta x' = 0$ . Het beeld van de lichtklok (Oefening 4.2) levert dezelfde $\gamma$ uit Pythagoras alleen. ∎

Propositie 4.7 (Lengtekrimp)

Een staaf met eigenlengte $L_0$ (haar lengte in haar ruststelsel) die in de lengterichting met $v$ beweegt, meet in het laboratorium

L = \frac{L_0}{\gamma} \le L_0 .

Dwarsafmetingen blijven onveranderd. Een bewegende staaf meten betekent haar twee uiteinden op hetzelfde ogenblik van het laboratorium lokaliseren — en omdat gelijktijdigheid van het stelsel afhangt, geldt dat ook voor lengte.

Bewijs. Merk beide uiteinden op dezelfde labtijd $t$ : de transformatie geeft $\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t) = \gamma\,\Delta x$ met $\Delta t = 0$ , en $\Delta x' = L_0$ : dus $\Delta x = L_0/\gamma$ . ∎

De lichtklok: een foton dat tussen twee spiegels heen en weer kaatst. Gezien vanuit het stelsel waarin de klok beweegt, legt het foton met dezelfde snelheid c een langere, schuine weg af: de tik duurt langer, t = \,, louter volgens Pythagoras. — De lichtklok: een foton dat tussen twee spiegels heen en weer kaatst. Gezien vanuit het stelsel waarin de klok beweegt, legt het foton met dezelfde snelheid $c$ een langere, schuine weg af: de tik duurt langer, $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$ , louter volgens Pythagoras.

Voorbeeld 4.8 (Het muon, tweemaal verklaard)

Een muon met $v = 0.995c$ heeft $\gamma = 10$ . In ons stelsel loopt zijn inwendige klok tien keer traag: zijn twee microseconden eigen leven rekken tot twintig, en het legt zes kilometer af in plaats van zeshonderd meter. In het stelsel van het muon duurt zijn leven de gewone $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — maar de berg die op het muon af snelt is tienmaal gekrompen en past er wel binnen. Beide stelsels zijn het eens over het ene natuurkundige feit, of het muon de detector haalt: de relativiteitstheorie schudt tijden en lengten door elkaar, nooit uitkomsten (Probleem 4.1).

Methode 4.9 (De effecten uit elkaar houden)

(1) Benoem de gebeurtenissen (uitzending, aankomst, tik, verval), niet de “voorwerpen”. (2) De eigentijd $\Delta\tau$ hoort bij de ene klok die bij beide gebeurtenissen aanwezig is: elk ander stelsel meet meer, $\gamma\Delta\tau$ . (3) De eigenlengte $L_0$ hoort bij het ruststelsel van de staaf: elk ander stelsel meet minder, $L_0/\gamma$ . (4) Slaat de “paradox” toe, zoek dan de twee ruimtelijk gescheiden gebeurtenissen die stilzwijgend gelijktijdig worden genoemd, en vraag: in welk stelsel? (5) Toets de limiet $v/c \to 0$ , en onthoud $\gamma - 1 \approx \tfrac12 v^2/c^2$ bij lage snelheden — de orde van de alledaagse relativistische correcties.

4.3 Snelheden samenstellen; doppler

Propositie 4.10 (Relativistische samenstelling van snelheden)

Beweegt een lichaam met $u'$ langs $x'$ in het stelsel $\mathcal R'$ , dat zelf met $v$ ten opzichte van $\mathcal R$ beweegt, dan meet $\mathcal R$ niet $u' + v$ maar

u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2} .

Bij alledaagse snelheden is de noemer $1$ en keert Galilei terug; voor $u' = c$ geeft de formule $u = c$ wat $v$ ook is — licht loopt voor iedereen met $c$ , zoals ingebouwd; en geen enkele samenstelling van snelheden onder $c$ bereikt ooit $c$ .

Bewijs. $u = \dd x/\dd t$ met de omgekeerde transformatie: $\dd x = \gamma(\dd x' + v\,\dd t')$ , $\dd t = \gamma(\dd t' + v\,\dd x'/c^2)$ ; deel. ∎

Voorbeeld 4.11 (De coëfficiënt van Fresnel verklaard)

Licht in stilstaand water loopt met $c/n$ . In water dat met $v$ stroomt mat Fizeau (1851) het raadselachtige $c/n + v(1 - 1/n^2)$ : niet de volledige meesleuring $c/n + v$ . Stel $u' = c/n$ met $v$ samen:

u = \frac{c/n + v}{1 + v/nc} \approx \Big(\frac{c}{n} + v\Big)\Big(1 - \frac{v}{nc}\Big) \approx \frac{c}{n} + v\Big(1 - \frac{1}{n^2}\Big) ,

tot op eerste orde in $v/c$ . Een tafelproef uit de negentiende eeuw, toen onverklaarbaar, is de wet voor het samenstellen van snelheden in eerste orde gelezen — een van de stille bevestigingen die Einstein in 1905 aanhaalde.

Propositie 4.12 (Longitudinaal dopplereffect)

Een bron met eigenfrequentie $f_0$ die zich langs de gezichtslijn met snelheid $v = \beta c$ verwijdert, wordt ontvangen op

f = f_0\,\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \qquad \text{(naderend: } \beta \to -\beta\text{)} .

Twee effecten stapelen zich op: het klassieke uitrekken van de aankomsttijden doordat elke golftop verder weg vertrekt, en het relativistische traagheidslopen van de klok van de bron — de $\gamma$ die zelfs bij $90^\circ$ overleeft (het transversale dopplereffect, zuivere tijdrek).

Bewijs. In het stelsel van de ontvanger zendt de bron elke $\gamma/f_0$ een golftop uit (rek), waarvan elke $v\gamma/f_0$ verder weg vertrekt, zodat de toppen elke $\gamma(1 + \beta)/f_0 = \sqrt{(1+\beta)/ (1-\beta)}\,/f_0$ aankomen. ∎

Voorbeeld 4.13 (Het terugwijken van de sterrenstelsels)

De waterstoflijn die op $656.3\,\mathrm{nm}$ wordt uitgezonden komt van een ver sterrenstelsel aan op $689\,\mathrm{nm}$ : $f/f_0 = 0.953$ , dus $\beta \approx 0.048$ — het stelsel wijkt terug met $14\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Over de hele hemel toegepast maakte deze ene formule van spectra een kaart van het uitdijende heelal; het slothoofdstuk van dit boek pakt dat verhaal op.

4.4 Ruimtetijd en het invariante interval

Stelling 4.14 (Het invariante interval)

Voor elk tweetal gebeurtenissen heeft de combinatie

\Delta s^2 = c^2\,\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2

in elk inertiaalstelsel dezelfde waarde — de grootheid die de relativiteitstheorie behoudt terwijl tijden en lengten meegeven. Haar teken deelt het paar in: tijdachtig ( $\Delta s^2 > 0$ ): een stelsel brengt de gebeurtenissen op dezelfde plaats, en $\Delta s/c$ is de eigentijd ertussen; ruimteachtig ( $\Delta s^2 < 0$ ): een stelsel maakt ze gelijktijdig, en geen signaal kan ze verbinden; lichtachtig ( $\Delta s^2 = 0$ ): alleen licht verbindt ze.

Bewijs. Rechtstreeks invullen van de lorentztransformatie: $c^2t'^2 - x'^2 = \gamma^2\big[(ct - \beta x)^2 - (x - \beta ct)^2 \big] = \gamma^2(1 - \beta^2)(c^2t^2 - x^2) = c^2t^2 - x^2$ . Voor de indeling: de gebeurtenissen op dezelfde plaats brengen vergt een stelsel met snelheid $v = \Delta x/\Delta t$ , mogelijk zodra $|\Delta x| < c\,|\Delta t|$ (tijdachtig); ze gelijktijdig maken vergt $v = c^2\Delta t/\Delta x$ , mogelijk zodra $|\Delta x| > c\,|\Delta t|$ (ruimteachtig). ∎

Opmerking 4.15 (Causaliteit heeft een meetkunde)

Door elke gebeurtenis loopt haar lichtkegel: de gebeurtenissen die zij kan beïnvloeden (toekomstkegel), die haar kunnen hebben beïnvloed (verledenkegel), en het ruimteachtige “elders”, causaal afgesneden. Omdat een ruimteachtig paar een van het stelsel afhankelijke volgorde heeft — sommige stelsels zien A vóór B, andere B vóór A — zou elk signaal sneller dan het licht een waarnemer een gevolg aan zijn oorzaak vooraf laten zien gaan. De snelheidslimiet van de relativiteitstheorie gaat niet over motoren; zij is de prijs van een samenhangende geschiedenis.

De ruimtetijd rond één gebeurtenis (de stip in de oorsprong). Haar lichtkegel scheidt wat zij kan beïnvloeden (toekomst), wat haar kan hebben beïnvloed (verleden), en het ruimteachtige elders. Wereldlijnen van materie blijven steiler dan 45 — altijd binnen de kegel. — De ruimtetijd rond één gebeurtenis (de stip in de oorsprong). Haar lichtkegel scheidt wat zij kan beïnvloeden (toekomst), wat haar kan hebben beïnvloed (verleden), en het ruimteachtige elders. Wereldlijnen van materie blijven steiler dan $45^\circ$ — altijd binnen de kegel.

Voorbeeld 4.16 (De reizende tweelingzus)

Eén van een tweeling vliegt naar een ster op $8$ lichtjaar met $0.8c$ ( $\gamma = 5/3$ ) en keert terug. Tijd op aarde: $2 \times 8/0.8 = 20\,\mathrm{yr}$ . De eigentijd van de reizigster: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ — acht jaar jonger, en geen paradox: de situaties van de twee zijn niet symmetrisch, want de ene wereldlijn is recht (overal inertiaal) en de andere heeft een knik bij het keerpunt. Tussen twee vaste gebeurtenissen is de rechte wereldlijn die met de langste eigentijd — in de meetkunde van de ruimtetijd leeft de omweg korter. Het effect wordt routineus gemeten: atoomklokken die de wereld rondvliegen wijken van hun thuisgebleven zusters af met precies het voorspelde aantal nanoseconden (Probleem 4.1).

Een meetstation voor kosmische straling op hoogte. De muonen die het telt, tien kilometer hoger geboren, halen het alleen omdat bewegende klokken traag lopen — tijdrek, elke nacht op bergtoppen gemeten.

4.5 Opgaven

Oefening 4.1 ★

Bereken $\gamma$ voor $v/c = 0.1$ , $0.5$ , $0.9$ , $0.99$ en $0.999$ . Bereken voor het ruimtestation ISS ( $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) de waarde van $\gamma - 1$ met de benadering voor lage snelheden, en de tijd die de bemanning per missie van zes maanden “wint” (of verliest?) ten opzichte van een klok op de grond, zonder rekening te houden met zwaartekracht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

$\gamma = 1.005$ , $1.155$ , $2.294$ , $7.09$ , $22.4$ . ISS: $\beta = 2.57 \times 10^{-5}$ , $\gamma - 1 \approx \beta^2/2 = 3.3 \times 10^{-10}$ ; over zes maanden ( $1.6 \times 10^{7}{}\,\mathrm{s}$ ) loopt de klok van de bemanning $\approx5\,\mathrm{ms}$ achter (alleen het snelheidseffect; op de lage hoogte van het ISS verkleint het zwaartekrachtseffect dit, maar keert het niet om).

Oefening 4.2 ★

De lichtklok van de figuur: (a) schrijf de tik $\Delta\tau = 2d/c$ van de klok in rust op ( $d$ is de spiegelafstand); (b) leid met Pythagoras in het stelsel waarin zij met $v$ beweegt $\Delta t = \gamma\Delta\tau$ af; (c) waarom eist het argument dat de dwarsafstand $d$ in beide stelsels dezelfde is? (d) Geef het argument (twee identieke meetlatten die elkaar passeren) waaruit volgt dat dwarslengten niet kunnen veranderen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

(a) $\Delta\tau = 2d/c$ . (b) Bij elke halve tik legt het foton de schuine zijde af: $(c\Delta t/2)^2 = (v\Delta t/2)^2 + d^2$ met $d = c\Delta\tau/2$ ; oplossen geeft $\Delta t = \Delta\tau/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . (c) Veranderde $d$ met de beweging, dan zou de stap met Pythagoras onjuist zijn. (d) Laat twee identieke meetlatten elkaar passeren, elk met een penseel aan haar tip dat naar de andere wijst. Zou beweging dwarslengten inkorten, dan zou elk stelsel voorspellen dat zijn eigen meetlat een streep voorbij de tip van de andere zet — twee tegenstrijdige feiten over dezelfde penseelstreken bij dezelfde passeergebeurtenis. Een tegenspraak in één gebeurtenis is niet toegestaan: dwarslengten kunnen niet veranderen.

Oefening 4.3 ★

Een muon ontstaat op $15\,\mathrm{km}$ hoogte met $v = 0.999c$ . (a) Zijn $\gamma$ en zijn gemiddelde levensduur in ons stelsel. (b) De gemiddelde afstand die het aflegt. (c) De dikte van de atmosfeer in zijn stelsel. (d) Welk deel van zulke muonen bereikt de grond, met en zonder relativiteitstheorie (vervalwet $\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

$\gamma = 22.4$ . (a) $\gamma\tau = 49\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $v\gamma \tau = 14.8\,\mathrm{km}$ . (c) $15/22.4 = 670\,\mathrm{m}$ . (d) Vluchttijd in het lab $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : zonder relativiteitstheorie $\eu^{-50/2.2} \approx 10^{-10}$ — geen enkel; met relativiteitstheorie is de eigentijd $50/22.4 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ , en de fractie $\eu^{-1} \approx 0.37$ .

Oefening 4.4 ★

Twee gebeurtenissen op de $x$ -as: A in $(t = 0, x = 0)$ , B in $(t = 2\,\text{µ}\mathrm{s}, x = 300\,\mathrm{m})$ . (a) Bereken $\Delta s^2$ : tijdachtig of ruimteachtig? (b) Kan A de oorzaak van B zijn? (c) Bepaal de snelheid van het stelsel waarin A en B op dezelfde plaats gebeuren, en de eigentijd ertussen in dat stelsel. (d) Dezelfde drie vragen voor B in $(1\,\text{µ}\mathrm{s}, 600\,\mathrm{m})$ — welk stelsel bestaat nu wel, en welk niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

(a) $c\Delta t = 600\,\mathrm{m}$ , $\Delta x = 300\,\mathrm{m}$ : $\Delta s^2 = (600^2 - 300^2)\,\mathrm{m}^{2} > 0$ , tijdachtig. (b) Ja: een signaal met $\Delta x/\Delta t = c/2$ volstaat. (c) Diezelfde stelselsnelheid, $v = 0.5c$ ; eigentijd $\Delta s/c = \sqrt{600^2 - 300^2}/c = 520/c = 1.73\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) Nu is $c\Delta t = 300 < \Delta x = 600$ : ruimteachtig; geen causale band mogelijk; geen stelsel brengt ze op dezelfde plaats, maar het stelsel met $v = c^2\Delta t/\Delta x = 0.5c$ maakt ze gelijktijdig.

Oefening 4.5 ★★

GPS-satellieten draaien rond met $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (a) Bereken $\gamma - 1$ . (b) Hoeveel loopt een satellietklok per dag achter op een klok op de grond, alleen door tijdrek? (c) Plaatsbepaling werkt door signalen met $c$ te timen: welke plaatsfout hoort bij één dag ongecorrigeerd speciaal-relativistisch verloop? (d) De volledige correctie (met zwaartekracht, in de geest van het slothoofdstuk behandeld) bedraagt $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag, waarbij de zwaartekrachtsblauwverschuiving het van de tijdrek wint: wat zegt het teken u over welk effect op $20\,200\,\mathrm{km}$ hoogte het grootst is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

(a) $\beta = 1.29 \times 10^{-5}$ : $\gamma - 1 = 8.3 \times 10^{-11}$ . (b) $86400\,\mathrm{s} \times 8.3 \times 10^{-11} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag. (c) $c \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 2.2\,\mathrm{km}$ — de navigatie zou binnen een dag bezwijken. (d) Het netto $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ betekent dat de zwaartekrachtsblauwverschuiving ( $+45.7$ ) het van de kinematische vertraging ( $-7.2$ ) wint: op $20\,200\,\mathrm{km}$ versnelt hoger in de aardpotentiaal zitten een klok meer dan de baansnelheid haar vertraagt.

Oefening 4.6 ★★

(a) Een schip met $0.8c$ lanceert een sonde voorwaarts met $0.8c$ ten opzichte van zichzelf: welke snelheid heeft de sonde voor ons? (b) Twee schepen naderen elkaar, elk met $0.9c$ in ons stelsel: hun onderlinge snelheid? (c) Toon uit de samenstellingswet aan dat uit $u' < c$ en $v < c$ volgt $u < c$ (ontbind de uitdrukking $c - u$ ). (d) Een laserpen die over het gelaat van de maan strijkt kan een vlek schilderen die sneller dan $c$ beweegt: waarom schendt dat geen enkele wet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

(a) $1.6c/1.64 = 0.976c$ . (b) $1.8c/1.81 = 0.994c$ . (c) $c - u = \dfrac{(c - u')(c - v)}{c\,(1 + u'v/c^2)}$ : beide factoren zijn positief, dus $u < c$ . (d) De vlek is een bewegend patroon, geen ding: er reist geen materie, energie of informatie van het ene punt van het maanoppervlak naar het volgende — elk foton ging met $c$ maanwaarts.

Oefening 4.7 ★★

De natriumdubbellijn op $589.0\,\mathrm{nm}$ komt van een ster aan op $575.0\,\mathrm{nm}$ . (a) Naderend of terugwijkend? Met welke snelheid? (b) Bij welke snelheid zou zichtbaar licht ( $550\,\mathrm{nm}$ ) naar het nabije infrarood ( $1100\,\mathrm{nm}$ ) verschuiven? (c) Toon voor $\beta \ll 1$ aan dat $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ en geef de vuistregel in km/s per $\text{Å}$ bij $600\,\mathrm{nm}$ . (d) Een bron die op constante afstand rondcirkelt vertoont een verschuiving zelfs zonder radiale beweging: welk effect is dat, en van welke orde in $\beta$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

(a) Kortere golflengte: naderend. $f/f_0 = 589/575 = 1.024$ ; $(1+\beta)/(1-\beta) = 1.049$ : $\beta = 0.024$ , ongeveer $7200\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (b) Verhouding $2$ : $(1+\beta)/(1-\beta) = 4$ , $\beta = 0.6$ . (c) Ontwikkeling van de wortel geeft $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ ; bij $600\,\mathrm{nm}$ geeft $1\,\text{Å} = 0.1\,\mathrm{nm}$ een $\beta = 1.7 \times 10^{-4}$ : ongeveer $50\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ per angström — de reflex van de astronoom. (d) Het transversale dopplereffect: zuivere tijdrek, van de orde $\beta^2$ — alleen met atomaire nauwkeurigheid meetbaar.

Oefening 4.8 ★★

De polsstok en de schuur. Een polsstok van $20\,\mathrm{m}$ wordt met $\gamma = 2$ naar een schuur van $10\,\mathrm{m}$ met twee deuren gedragen. (a) De lengte van de stok in het stelsel van de schuur: past hij? (b) In het stelsel van de loper is de schuur $5\,\mathrm{m}$ lang: hoe kunnen beide gelijk hebben? Benoem de twee gebeurtenissen (“voordeur sluit”, “achterdeur opent”) en vergelijk hun tijdsvolgorde in de twee stelsels. (c) Bereken de tijd tussen deze gebeurtenissen in elk stelsel voor een sluiting die in de schuur gelijktijdig is. (d) Geef de moraal in één zin (welke stilzwijgende aanname maakte de “paradox”?).

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

(a) $20/2 = 10\,\mathrm{m}$ : hij past, net, en beide deuren kunnen gelijktijdig dicht (stelsel van de schuur). (b) In het stelsel van de loper zijn de gebeurtenissen “voordeur sluit” en “achterdeur opent” niet gelijktijdig: de uitgang gaat open voordat de ingang sluit, en de polsstok van $20\,\mathrm{m}$ rijgt een schuur van $5\,\mathrm{m}$ zonder ooit ingesloten te zijn. (c) Stelsel van de schuur: $\Delta t = 0$ over $\Delta x = 10\,\mathrm{m}$ . Stelsel van de loper: $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 2 \times 0.866c \times 10/c^2 = 58\,\mathrm{ns}$ . (d) “De polsstok is ingesloten” beweert stilzwijgend dat twee gescheiden gebeurtenissen (beide deuren dicht) gelijktijdig zijn — een uitspraak die van het stelsel afhangt, geen feit.

Oefening 4.9 ★★

Een raket met eigenlengte $100\,\mathrm{m}$ passeert een ruimtestation met $0.6c$ . (a) Hoeveel tijd verstrijkt er op de klok van het station tussen de passage van de neus en die van de staart? (b) Dezelfde vraag voor een klok op de raket die het station (eigenlengte $300\,\mathrm{m}$ ) voorbij ziet gaan. (c) Het station schiet twee koppelklemmen gelijktijdig af (in zijn stelsel), $80\,\mathrm{m}$ uit elkaar: hoeveel tijd zit er voor de raket tussen de twee schoten, en welke gaat het eerst af? (d) Ga na dat $\Delta s^2$ voor het paar klemgebeurtenissen in beide stelsels overeenkomt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

$\gamma = 1.25$ bij $0.6c$ . (a) Bewegende lengte $100/1.25 = 80\,\mathrm{m}$ bij $1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $444\,\mathrm{ns}$ . (b) $240/1.8 \times 10^{8} = 1.33\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (c) $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 200\,\mathrm{ns}$ ; uit $t' = \gamma(t - vx/c^2)$ volgt dat de klem bij de grootste $x$ — de voorste — voor de raket het eerst afgaat. (d) Station: $\Delta s^2 = 0 - 80^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ . Raket: $\Delta x' = \gamma\,\Delta x = 100\,\mathrm{m}$ , $c\Delta t' = 60\,\mathrm{m}$ : $60^2 - 100^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ — invariant.

Oefening 4.10 ★★★

De tweeling, volledig. Stella vliegt met $0.8c$ naar een ster op $8\,\mathrm{ly}$ (in het aardstelsel) en keert met $0.8c$ terug; Terra blijft. (a) Bereken de verstreken tijd van elk van beiden. (b) Hoe ver weg ligt de ster in Stella’s heenreisstelsel, en hoe lang duurt de heenreis voor haar? (c) Wat berekent Stella vlak voor en vlak na het keerpunt voor “de tijd die het nu op aarde is” (gebruik de term $vx/c^2$ )? Toon aan dat haar boekhouding bij de knik jaren verspringt — en dat die sprong precies is wat de totalen verzoent. (d) Leg uit waarom er vanuit Stella geen symmetrisch argument te voeren is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

(a) Terra: $20\,\mathrm{yr}$ ; Stella: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ . (b) De afstand krimpt tot $8/\gamma = 4.8\,\mathrm{ly}$ , afgelegd in $4.8/0.8 = 6\,\mathrm{yr}$ van haar tijd — in overeenstemming met $12\,\mathrm{yr}$ voor de heen- en terugreis. (c) Gelijktijdigheid met de keerpuntgebeurtenis $(t = 10\,\mathrm{yr},\ x = 8\,\mathrm{ly})$ : het heenreisstelsel kent de aardklok $t - vx/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\,\mathrm{yr}$ toe; het terugreisstelsel $10 + 6.4 = 16.4\,\mathrm{yr}$ . Haar “nu op aarde” verspringt bij de knik met $12.8\,\mathrm{yr}$ ; haar boekhouding $3.6 + 12.8 + 3.6 = 20\,\mathrm{yr}$ klopt precies met Terra. (d) Stella bezet twee inertiaalstelsels die door een voelbare versnelling worden verbonden; Terra bezet er één. De rechte wereldlijn tussen vertrek en hereniging draagt de langste eigentijd; alleen die van Stella is geknikt.

Oefening 4.11 ★★★

Lorentz eerlijk afgeleid. (a) Beredeneer uit de homogeniteit dat de transformatie lineair moet zijn. (b) Leid, uitgaande van $x' = \gamma(x - vt)$ en, volgens het relativiteitsbeginsel, $x = \gamma(x' + vt')$ , de uitdrukking voor $t'$ in $t$ en $x$ af zonder licht te gebruiken. (c) Toon aan dat de eis $x = ct \Rightarrow x' = ct'$ de $\gamma$ op de aangegeven waarde vastlegt. (d) Waar precies gebruikte het argument elk postulaat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.11.

(a) Was de afbeelding niet-lineair, dan zou een eenparige beweging er in het andere stelsel niet eenparig uitzien, en dat zou punten van een homogene ruimte en tijd onderscheiden. (b) De ene betrekking in de andere invullen: $t' = \gamma t + (1 - \gamma^2)x/\gamma v$ . (c) Stel $x = ct$ , $x' = ct'$ : $\gamma(c - v)t = c\gamma t + c(1 - \gamma^2)ct/\gamma v$ , wat oplost tot $\gamma^2 = 1/(1 - v^2/c^2)$ . (d) De relativiteit gaf dezelfde $\gamma$ voor beide richtingen (geen voorkeursstelsel); het lichtpostulaat maakte van de overgebleven vrije functie de welbepaalde $\gamma(v)$ .

Oefening 4.12 ★★★

Snelheidshoek. Definieer $\varphi$ door $\tanh\varphi = \beta$ . (a) Toon aan dat de lorentztransformatie luidt $ct' = ct\cosh\varphi - x\sinh\varphi$ , $x' = x\cosh\varphi - ct\sinh\varphi$ : een “rotatie” over een imaginaire hoek, die $c^2t^2 - x^2$ behoudt zoals rotaties $x^2 + y^2$ behouden. (b) Toon aan dat het samenstellen van snelheden de snelheidshoeken optelt: $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$ , en vind de samenstellingswet terug uit $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)$ . (c) Een raket versnelt met $g$ in haar eigen stelsel: bepaal, aannemend dat haar snelheidshoek groeit als $\dd\varphi = g\, \dd\tau/c$ , de functie $\beta(\tau)$ en hoeveel eigentijd zij nodig heeft om $0.99c$ te halen. (d) Waarom kan de snelheidshoek eeuwig groeien terwijl $\beta$ dat niet kan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.12.

(a) Met $\cosh\varphi = \gamma$ en $\sinh\varphi = \gamma\beta$ is de transformatie precies de aangegeven hyperbolische rotatie, en $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ behoudt $c^2t^2 - x^2$ . (b) $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = (\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2)/(1 + \tanh\varphi_1\tanh\varphi_2)$ : precies de samenstellingswet — snelheden tellen niet op, snelheidshoeken wel. (c) $\varphi = g\tau/c$ , dus $\beta = \tanh(g\tau/c)$ ; uit $\operatorname{artanh}(0.99) = 2.65$ volgt $\tau = 2.65c/g \approx 8.1 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.6$ jaar scheepstijd. (d) $\varphi$ doorloopt alle reële getallen terwijl $\tanh\varphi$ bij $1$ verzadigt: men kan eeuwig versnellen en lineair snelheidshoek winnen, terwijl de snelheid slechts naar $c$ kruipt.

Albert Einstein (foto van Orren Jack Turner, 1947, publiek domein). Het relativiteitsartikel uit 1905 bouwde de kinematica opnieuw op uit twee postulaten — dit hoofdstuk is, in wezen ongewijzigd, dat artikel met opgaven.

4.6 Vraagstuk: Het experiment aan de hemel

Probleem 4.1

Weekendvraagstuk — muonen, bergklokken en het bewijs dat de tijd rekt

De zuiverste vroege toets van de tijdrek gebruikte geen enkel laboratoriumtoestel: de natuur levert relativistische klokken bij duizenden en laat ze op elke berg regenen. Dit vraagstuk bouwt het experiment van Frisch en Smith (1963) opnieuw op en brengt dezelfde natuurkunde dan omlaag naar verkeersvliegtuigen en navigatiesatellieten. Gegevens: de gemiddelde eigen levensduur van een muon is $\tau = 2.20\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; het verval is exponentieel, waarbij een fractie $\eu^{-t/\tau}$ van de muonen een eigentijd $t$ overleeft; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Mount Washington: hoogteverschil $h = 1907\,\mathrm{m}$ tussen de twee detectoren.

Deel I — Klokken die uit de hemel regenen.

Kosmische protonen treffen kernen hoog in de atmosfeer, en het puin vervalt op zo’n $15\,\mathrm{km}$ hoogte tot muonen. Waarom is een populatie identieke onstabiele deeltjes een klok?
Bereken $c\tau$ , het natuurlijke bereik van de gemiddelde levensduur van een muon.
Welk deel van de muonen die op $15\,\mathrm{km}$ ontstaan en met in wezen $c$ reizen zou zonder relativiteitstheorie de grond bereiken? (Geef de exponent; het getal zelf is absurd.)
Detectoren op zeeniveau tellen muonen bij bosjes: formuleer de tegenspraak in één zin.
De flux op zeeniveau bedraagt ongeveer één muon per vierkante centimeter per minuut: schat hoeveel muonen er elke seconde door uw uitgestrekte hand gaan, en door uw lichaam tussen twee hartslagen.
Het experiment selecteerde muonen met snelheid $0.995c$ : bereken hun $\gamma$ .
Frisch en Smith telden $563 \pm 10$ muonen per uur op de bergtop. Waarom meten op twee hoogten van dezelfde lawine in plaats van op het ontstaansverhaal op $15\,\mathrm{km}$ te vertrouwen?

Deel II — De meting op de berg.

Hoe lang duurt de reis van $1907\,\mathrm{m}$ met $0.995c$ in het stelsel van de berg?
Welk deel overleeft die reis zonder tijdrek, en hoeveel per uur zouden de onderste detector moeten bereiken?
Hoeveel eigen tijd verstrijkt er met tijdrek voor het muon tijdens de reis?
Voorspel met de relativiteitstheorie de overlevende fractie en het aantal per uur.
De gemeten telling onderaan was $408 \pm 9$ per uur. Vergelijk beide voorspellingen met de meting en zeg welke theorie haar ontmoeting met de berg overleeft.
Haal uit de gemeten verhouding $408/563$ de experimentele rekfactor en vergelijk hem met $\gamma = 10$ . (De muonen worden in de gesteenteachtige afscherming iets afgeremd, zodat de effectieve $\gamma$ iets onder de waarde op de bergtop ligt — Frisch en Smith vonden $8.8 \pm 0.8$ .)

Deel III — Het verhaal van het muon zelf.

Hoe hoog is Mount Washington in het stelsel van het muon?
Hoe lang doet de berg erover om voorbij te stromen, en welk deel van de muonen vervalt in die tijd? Ga na dat dit klopt met de voorspelling van deel II.
De twee stelsels zijn het oneens over wat er rekte (onze tijd? zijn berg?) en toch eens over de telling: van welke soort is de telling als grootheid, en waarom moeten alle stelsels het erover eens zijn?
Bereken het interval $\Delta s^2$ tussen het ontstaan bovenaan en de aankomst onderaan in het stelsel van de berg, en ga na dat $\Delta s/c$ gelijk is aan de eigentijd van het muon uit deel II.
Een scepticus werpt tegen: “misschien verandert de hoogte de vervalsnelheid, en niet de snelheid.” Welke controle levert de gemeten afhankelijkheid van $\gamma$ (tragere muonen rekken minder)?
Moderne opslagringen houden muonen bij $\gamma = 29.3$ vast en meten levensduren tot op $10^{-3}$ : wat vinden zij, en wat voegt een cirkelbaan aan de toets toe (welk lid van de tweeling is het muon)?

Deel IV — Terug op aarde: vliegtuigen en satellieten.

Een verkeersvliegtuig kruist met $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op een vlucht van $40\,\mathrm{h}$ rond de wereld. Bereken met $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ de speciaal-relativistische achterstand van zijn klok, in nanoseconden.
Cesiumklokken zien nanoseconden moeiteloos; de vluchten van 1971 bevestigden de voorspelling (zodra de tegengestelde duw van de zwaartekracht, groter op hoogte, was meegenomen). Waarom moeten de twee effecten worden gescheiden door zowel oostwaarts als westwaarts te vliegen?
Welke speciaal-relativistische achterstand bouwt een GPS-satelliet ( $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) per dag op, in microseconden?
Hoeveel kilometer afstandsfout zou één week van dat verloop alleen ongecorrigeerd opleveren?
De volledige GPS-correctie, $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag met zwaartekracht meegerekend, wordt vóór de lancering in de satellietklokken ingebouwd: wat zou een navigator binnen enkele uren merken als dat niet gebeurde?
Vat het genoemde resultaat samen: een berg, twee tellers en klokken van $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ maten in 1963 de tijdrek bij $\gamma \approx 9$ tot op $10\%$ — en voor dezelfde natuurkunde wordt elke seconde gecorrigeerd, in elke telefoon die weet waar zij is.

Oplossing

Oplossing van Probleem 4.1.

1. Alle muonen zijn strikt identiek en vervallen met een vaste statistische snelheid: de overlevende fractie van een populatie meet de verstreken eigentijd even zeker als een wijzer. 2. $c\tau = 3.00 \times 10^{8}\, \times 2.2 \times 10^{-6}\, = 660\,\mathrm{m}$ . 3. $t = 15\,\mathrm{km}/c = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : fractie $\eu^{-50/2.2} = \eu^{-22.7} \approx 1.4 \times 10^{-10}$ . 4. Deeltjes die geen kilometer “kunnen” afleggen doorkruisen er vijftien en komen in groten getale aan. 5. Een hand van $\sim100\,\mathrm{cm}^{2}$ : een paar muonen per seconde; een lichaam met horizontale doorsnede $\sim10^{3}\,\mathrm{cm}^{2}$ : van de orde vijftien tussen twee hartslagen — de relativiteitstheorie regent altijd door iedereen heen. 6. $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.995^2} = 10.0$ . 7. Twee tellingen van dezelfde geselecteerde populatie over een bekend hoogteverschil vergelijken haalt elke aanname weg over waar en hoeveel muonen geboren worden. 8. $t = 1907/(0.995 \times 3 \times 10^{8}) = 6.39\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 9. $\eu^{-6.39/2.2} = 0.055$ : ongeveer $31$ per uur. 10. $t/\gamma = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 11. $\eu^{-0.64/2.2} = 0.75$ : ongeveer $420$ per uur. 12. Gemeten $408 \pm 9$ : de $\approx 420$ van de relativiteitstheorie klopt binnen de lichte afremming van de muonen in de absorber van de detectoren; de $31$ van de klassieke natuurkunde zit er een factor dertien naast. De berg beslist. 13. $408/563 = 0.725 = \eu^{-t_{\text{eigen}}/\tau}$ : $t_{\text{eigen}} = 0.71\,\text{µ}\mathrm{s}$ , dus $\gamma_{\exp} = 6.39/0.71 = 9.0$ — midden in de $8.8 \pm 0.8$ van Frisch en Smith. 14. $1907/10 = 191\,\mathrm{m}$ . 15. $191/(0.995c) = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ : hetzelfde verval van $25\%$ — het relaas van het muon over dezelfde telling. 16. Een telling van tikken is een verzameling lokale coïncidentiegebeurtenissen; gebeurtenissen en hun aantallen zijn stelselinvariant — stelsels mogen het oneens zijn over tijden en lengten, nooit over wat een teller aanwees. 17. $\Delta s^2 = (c \times 6.39\,\text{µ}\mathrm{s})^2 - (1907\,\mathrm{m})^2 = (1917^2 - 1907^2)\,\mathrm{m}^{2} = (196\,\mathrm{m})^2$ : $\Delta s/c = 0.65\,\text{µ}\mathrm{s}$ — de eigentijd, berekend zonder het stelsel van de berg ooit te verlaten. 18. Vervalsnelheden zouden dan voor elke snelheid even sterk van de hoogte afhangen; in plaats daarvan volgt de overleving $\gamma$ — tragere selecties rekken minder, precies zoals $\gamma(v)$ voorschrijft. 19. Levensduren $\gamma\tau$ tot op een duizendste (muonopslagringen bij CERN); de ring maakt van het muon een eeuwig versnelde reiziger — de “reizende tweeling” blijft jong, ook wanneer de reis één eindeloos keerpunt is. 20. $\beta = 8.3 \times 10^{-7}$ : $\Delta t = \tfrac12\beta^2 \times 144\,000\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{ns}$ . 21. De snelheid van het vliegtuig telt op bij of af van die van de draaiende aarde, terwijl het hoogte-effect (de zwaartekracht) in beide richtingen hetzelfde is: de oostwaartse en westwaartse vlucht splitsen de twee bijdragen zuiver (de uitkomst van 1971 klopte met beide). 22. Uit Oefening 4.5: $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag. 23. $7 \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} \times c \approx 15\,\mathrm{km}.$ 24. Posities zouden binnen enkele uren honderden meters verlopen, binnen een dag kilometers — de navigatie zou de eerste ochtend zichtbaar bezwijken. 25. In 1963 maten een berg, twee tellers en klokken van $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ een $\gamma_{\exp} = 9.0$ tegen een voorspelde $10$ (met afremming $8.8 \pm 0.8$ ): de tijdrek bevestigd tot op $10\%$ — en voor dezelfde natuurkunde wordt elke seconde stil gecorrigeerd, in elke navigatiesatelliet boven uw hoofd.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Gebeurtenissen en gelijktijdigheid

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst