Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

6Covariant elektromagnetisme

Een koperdraad voert tien ampère. Zijn elektronen driften met een tiende millimeter per seconde — trager dan een slak — en de draad is tot in fantastische precisie elektrisch neutraal. Toch voelt een lading die ernaast meebeweegt een meetbare trek. Bekeken vanuit het eigen stelsel van die lading verdampt de “magnetische” verklaring: de lading is in rust, en een rustende lading voelt in het geheel geen magnetische kracht. Wat haar in dat stelsel trekt is een elektrisch veld — opgeroepen door de relativiteitstheorie zelf, want de lengtekrimp brengt de twee ladingsstromen in de draad met één deel op $10^{24}$ uit balans. Magnetisme is elektriciteit gezien vanaf een bewegende stoel. Dit hoofdstuk herschrijft het elektromagnetisme van het volume van jaar 2 in de taal van de vorige drie hoofdstukken: viervectoren voor lading en potentiaal, één antisymmetrische tensor die $\vect E$ en $\vect B$ samenhoudt, en de vier vergelijkingen van Maxwell die inklappen tot twee regels die in elk inertiaalstelsel hetzelfde luiden. Behalve elegantie levert dat werkende natuurkunde op: hoe velden transformeren, waarom het veld van een snelle lading tot een pannenkoek platslaat, en waarom het licht van een relativistisch elektron als een koplamp naar voren zwenkt — het beginsel van de synchrotronlichtbronnen die vandaag eiwitten en batterijen doorlichten.

6.1 Viervectoren voor lading en stroom

Definitie 6.1 (Viervectoren)

Een viervector is een viertal $a^\mu = (a^0, \vect a)$ , $\mu = 0, 1, 2, 3$ , waarvan de componenten onder een boost precies zo mengen als $(ct, \vect r)$ :

a'^0 = \gamma(a^0 - \beta a^1) , \qquad a'^1 = \gamma(a^1 - \beta a^0) , \qquad a'^{2,3} = a^{2,3}

voor een boost met $\beta c$ langs $x$ . Elk tweetal viervectoren geeft het invariante scalair product $a\cdot b = a^0b^0 - \vect a\cdot\vect b$ , in elk stelsel hetzelfde getal — het patroon achter $c^2t^2 - x^2$ en $E^2 - p^2c^2$ . De positie $(ct, \vect r)$ en de viererimpuls $(E/c, \vect p)$ hebben we al; het elektromagnetisme levert er nu drie bij: stroom, potentiaal en golfvector.

Propositie 6.2 (De vierstroom en het ladingsbehoud)

De ladingsdichtheid $\rho$ en de stroomdichtheid $\vect\jmath$ vormen de vierstroom

J^\mu = (\rho c,\ \vect\jmath\,) :

een ladingswolk met eigen dichtheid $\rho_0$ die met $\vect u$ beweegt heeft $J^\mu = \rho_0\gamma_u(c, \vect u)$ — de dichtheid groeit met $\gamma_u$ omdat het volume van de wolk krimpt, terwijl de lading zelf invariant is (een beslissend experimenteel feit: atomen met snelle binnenelektronen blijven exact neutraal). Het ladingsbehoud is de invariante uitspraak

\frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)} + \operatorname{div}\vect\jmath = 0 ,

de continuïteitsvergelijking van het volume van jaar 2, nu zichtbaar dezelfde wet voor alle waarnemers.

Gedeeltelijk bewijs. De bewegende wolk: een doos met eigen volume $V_0$ bevat de lading $\rho_0 V_0$ ; in het lab is de doos tot $V_0/\gamma_u$ gekrompen, dus $\rho = \gamma_u\rho_0$ , en $\vect\jmath = \rho\vect u$ volgens de definitie van een stroomdichtheid. Dat $(\rho c, \vect\jmath)$ dan als een viervector transformeert volgt omdat het gelijk is aan $\rho_0/c$ maal de viersnelheid $\gamma_u(c, \vect u)$ , die per constructie zelf een viervector is. De invariantie van de lading is een experimenteel gegeven. ∎

6.2 Eén tensor voor beide velden

Definitie 6.3 (Vierpotentiaal en veldtensor)

De potentialen van het volume van jaar 2 voegen zich samen tot de vierpotentiaal

A^\mu = \Big(\frac{V}{c},\ \vect A\Big) ,

en de meetbare velden $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ en $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ zijn de zes onafhankelijke componenten van één antisymmetrisch schema, de elektromagnetische veldtensor

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c\\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x\\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} .

$\vect E$ en $\vect B$ zijn geen twee velden maar zes gezichten van één voorwerp; welk gezicht een waarnemer “elektrisch” noemt, hangt van zijn beweging af.

Stelling 6.4 (Maxwell, covariant)

De vier vergelijkingen van Maxwell uit het volume van jaar 2 zijn de componentvorm van twee stelselonafhankelijke uitspraken: het paar met bronnen (Gauss en Ampère–Maxwell) luidt

\sum_\mu \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0\,J^\nu ,

en het bronloze paar (geen monopolen, Faraday) is de identiteit die waarborgt dat $F$ uit een vierpotentiaal volgt. De lorentzkracht is $\dd p^\mu/\dd\tau = qF^{\mu\nu}u_\nu$ — de krachtwet, magnetisme inbegrepen, in één regel. Omdat beide leden van elke vergelijking op dezelfde manier transformeren, heeft de theorie van Maxwell geen enkele correctie nodig om relativistisch te zijn: zij was het eerste voltooide stuk van de relativiteitstheorie, geboren in 1865.

Gedeeltelijk bewijs. Werk de component $\nu = 0$ uit: $\sum_i\partial_i(E_i/c) = \mu_0\rho c$ , dat wil zeggen $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (met $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$ ). De component $\nu = 1$ verzamelt $-\partial_t(E_x/c^2) + (\partial_yB_z - \partial_zB_y) = \mu_0 j_x$ : de $x$ -component van Ampère–Maxwell. De overige componenten herhalen het patroon; het bronloze paar is de gelijkheid van gekruiste tweede afgeleiden van $A^\mu$ (nagegaan in Oefening 6.3). Dat $F^{\mu\nu}$ als een tensor met twee indices transformeert — elke index als een viervector — wordt aangenomen; de gevolgen ervan zijn de volgende propositie. ∎

6.3 Hoe de velden transformeren

Propositie 6.5 (Transformatie van de velden)

Voor een boost met snelheid $\vect v = v\,\vect e_x$ : de componenten langs de beweging blijven onaangeroerd, de dwarse mengen,

E'_x = E_x , \qquad E'_y = \gamma(E_y - vB_z) , \qquad E'_z = \gamma(E_z + vB_y) ,

B'_x = B_x , \qquad B'_y = \gamma\Big(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\Big) , \qquad B'_z = \gamma\Big(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\Big) .

Kort samengevat, dwars op de boost: $\vect E' = \gamma(\vect E + \vect v\wedge\vect B)_\perp$ en $\vect B' = \gamma(\vect B - \vect v\wedge\vect E/c^2)_\perp$ . Een zuivere $\vect B$ in het ene stelsel is $\vect E$ én $\vect B$ in een ander: de velden zijn één verschijnsel.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 6.6 (Magnetisme uit een neutrale draad)

Een neutrale draad voert stroom: het positieve rooster in rust, de elektronen driftend. Boost voor een proeflading die ernaast meebeweegt naar haar stelsel: de twee ladingsstromen krimpen verschillend (zij hebben verschillende snelheden), de draad krijgt de netto lijnlading $\lambda' = -\gamma vI/c^2$ , en haar radiale elektrische veld trekt aan de lading met precies de kracht die het lab $q\vect v\wedge\vect B$ noemde. Magnetisme is hoe de tweede-ordeterm $v u/c^2$ van de relativiteitstheorie eruitziet wanneer $10^{28}$ elementaire ladingen per meter samenspannen: elk effect is fantastisch klein, maar de draad is tot in nog grotere precisie neutraal, zodat het minieme onevenwicht het hele verhaal is (Probleem 6.1).

Eén kracht, twee boekhoudingen. Lab: de stroom in de neutrale draad maakt B, en de bewegende lading voelt q v B. Stelsel van de lading: het positieve rooster beweegt nu en krimpt, de elektronen (daar trager) spreiden uit; de draad is netto geladen en zijn E' doet het trekwerk. Zelfde proef, zelfde uitkomst. — Eén kracht, twee boekhoudingen. Lab: de stroom in de neutrale draad maakt $\vect B$ , en de bewegende lading voelt $q\vect v\wedge\vect B$ . Stelsel van de lading: het positieve rooster beweegt nu en krimpt, de elektronen (daar trager) spreiden uit; de draad is netto geladen en zijn $\vect E'$ doet het trekwerk. Zelfde proef, zelfde uitkomst.

Voorbeeld 6.7 (Het platgeslagen veld van een snelle lading)

Transformeer het coulombveld van een lading naar het stelsel waarin zij met $\gamma \gg 1$ beweegt: het veld in de lengterichting blijft ongewijzigd terwijl het dwarse met $\gamma$ wordt vermenigvuldigd. Het ooit bolvormige veld plat af tot een schijf met openingshoek $\sim 1/\gamma$ rond het vlak door de lading — vergezeld, dwars op de beweging, door een magnetische ring $B' = vE'/c^2$ . Voor een stilstaande waarnemer is de passage van een LHC-proton ( $\gamma \approx 7000$ ) een klap van minder dan een picoseconde van vrijwel gekruiste $\vect E$ en $\vect B$ : bijna een lichtpuls — de reden dat snelle bundels met materie praten zoals fotonen dat doen.

Het elektrische veld van een puntlading, in rust en bij hoge snelheid: boosten vermenigvuldigt de dwarse componenten met en laat de componenten in de lengterichting met rust, waardoor het veld tot een schijf loodrecht op de beweging wordt geperst. — Het elektrische veld van een puntlading, in rust en bij hoge snelheid: boosten vermenigvuldigt de dwarse componenten met $\gamma$ en laat de componenten in de lengterichting met rust, waardoor het veld tot een schijf loodrecht op de beweging wordt geperst.

6.4 Invarianten, licht en het koplampeffect

Propositie 6.8 (De twee veldinvarianten)

Uit $F^{\mu\nu}$ zijn precies twee onafhankelijke scalairen te bouwen:

E^2 - c^2B^2 \qquad\text{en}\qquad \vect E\cdot\vect B ,

in elk inertiaalstelsel dezelfde. Gevolgen: is ergens $E > cB$ (met $\vect E\cdot\vect B = 0$ ), dan ziet een of ander stelsel daar een zuiver elektrisch veld; is $E < cB$ , dan ziet een of ander stelsel een zuiver magnetisch veld; en een vlakke lichtgolf, met $E = cB$ en $\vect E\perp\vect B$ , heeft beide invarianten nul — zij is licht in elk stelsel: geen enkele boost maakt er een statisch veld van, alleen een roodverschuiving. Men kan een lichtgolf niet inhalen; de vraag die Einstein zich als jongen stelde beantwoordt zichzelf in twee invarianten.

Gedeeltelijk bewijs. Ga de invariantie onder de standaardboost na door Propositie 6.5 rechtstreeks in te vullen (Oefening 6.6); dat er geen derde onafhankelijke invariant bestaat wordt aangenomen. Voor de golf: uit $E = cB$ en de loodrechtheid volgt dat beide nul zijn; een stelsel met een statisch veld zou een invariant ongelijk nul nodig hebben. ∎

Propositie 6.9 (Viergolfvector, doppler en aberratie)

De frequentie en de richting van een vlakke golf vormen de nulviervector $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ , $\|\vect k\| = \omega/c$ . Hem transformeren geeft in één klap de relativistische dopplerformule van Hoofdstuk 4 en de aberratie van richtingen:

\cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}{1 - \beta\cos\theta} .

Achterstevoren gelezen: een bron die in haar ruststelsel isotroop straalt bundelt in het lab de helft van haar licht in de voorwaartse kegel $\theta \lesssim 1/\gamma$ : het koplampeffect. Een elektron dat met $\gamma \sim 10^4$ in een opslagring rondgaat zwenkt een zoeklicht van röntgenstraling van $0.1\,\mathrm{mrad}$ rond de ring — het synchrotronlicht dat de bundellijnen voor eiwitkristallografie vult.

Gedeeltelijk bewijs. De fase $\omega t - \vect k\cdot\vect r = k^\mu x_\mu$ telt de golftoppen die gebeurtenissen passeren — een invariant — dus moet $k^\mu$ als een viervector transformeren. Pas de boost toe op $(\omega/c, k\cos\theta, k\sin\theta, 0)$ : de tijdcomponent geeft doppler, de verhouding van de ruimtelijke componenten de aberratieformule. Stel $\theta' = 90^\circ$ (de zijwaartse straal in het stelsel van de bron): $\cos\theta = \beta$ , dus $\theta \approx 1/\gamma$ voor $\gamma \gg 1$ — de helft van de bol vouwt in de voorwaartse kegel. ∎

De aberratie vouwt de straling van een snelle bron in een voorwaartse kegel met halve openingshoek 1/: het koplampeffect, en het werkingsbeginsel van synchrotronlichtbronnen. — De aberratie vouwt de straling van een snelle bron in een voorwaartse kegel met halve openingshoek $\sim 1/\gamma$ : het koplampeffect, en het werkingsbeginsel van synchrotronlichtbronnen.

Methode 6.10 (Covariant werken)

(1) Benoem de viervectoren die meespelen ( $x^\mu$ , $P^\mu$ , $J^\mu$ , $A^\mu$ , $k^\mu$ ) en geef de voorkeur aan hun invariante producten boven componenten. (2) Splits om velden te transformeren in componenten langs en dwars op de boost en pas Propositie 6.5 toe. (3) Toets de twee invarianten voor en na — de snelste foutendetector van het vak. (4) Lijkt een magnetisch vraagstuk raadselachtig, rijd dan met de lading mee: in haar stelsel werkt alleen $\vect E'$ . (5) Vertrouw Maxwell: de vergelijkingen hebben nooit relativistische “correcties” nodig, alleen een relativistische lezing.

Een poollicht: ladingen uit de zonnewind, door het magneetveld van de aarde de poolatmosfeer in gestuurd. Wat de ene waarnemer magnetische sturing noemt, noemt de andere elektrische versnelling — de velden mengen onder de transformaties van dit hoofdstuk.

6.5 Opgaven

Oefening 6.1 ★

(a) Boost $a^\mu = (5, 3, 0, 0)$ (in eenheden van een of andere $a_0$ ) met $\beta = 0.6$ : bereken $a'^\mu$ en ga na dat $a\cdot a$ onveranderd blijft. (b) Toon aan dat de som van twee viervectoren een viervector is. (c) Is $(c, \vect v)$ van een deeltje een viervector? En $\gamma(c, \vect v)$ ? (d) Waarom maakt “het elektrische veld” alleen geen deel uit van enige viervector?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.1.

(a) $\gamma = 1.25$ : $a'^0 = 1.25(5 - 1.8) = 4.0$ , $a'^1 = 1.25(3 - 3) = 0$ ; $a\cdot a = 25 - 9 = 16 = 16 - 0$ . (b) De transformatie is lineair en werkt dus term voor term op sommen. (c) $(c, \vect v)$ : nee — de “tijd”component ervan is voor alle deeltjes dezelfde, terwijl de menging iets anders eist; $\gamma(c, \vect v) = \dd x^\mu/\dd\tau$ : ja, een viervector gedeeld door de invariante $\dd\tau$ . (d) De drie componenten van $\vect E$ mengen met die van $\vect B$ , niet met een scalair: de velden vullen een tensor met twee indices, geen viervector.

Oefening 6.2 ★

Een koperdraad met doorsnede $1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ voert $10\,\mathrm{A}$ ; de dichtheid van de geleidingselektronen is $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (a) Bereken de driftsnelheid. (b) Schrijf $J^\mu$ op voor de elektronenvloeistof en voor het rooster. (c) Ga voor elk de continuïteitsvergelijking na. (d) De draad is neutraal: wat is $J^\mu$ voor de hele draad, en welke component overleeft?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.2.

(a) $u = I/nSe = 10/(8.5 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Rooster: $(nec, \vect 0)$ ; elektronen: $(-nec, -ne\vect u)$ — hun stroomdichtheid $\rho_-\vect u = -ne\vect u$ wijst tegen hun drift in, en dat is de richting van de conventionele stroom. (c) Beide zijn statisch en uniform: elke term valt weg. (d) Totaal: $(0, \vect\jmath)$ met $j = I/S = 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ — een zuivere stroom zonder lading, de opstelling die de relativiteitstheorie van de draad zo subtiel maakt.

Oefening 6.3 ★

(a) Lees uit de matrix van $F^{\mu\nu}$ af welke componenten $E_y$ en $B_x$ geven. (b) Schrijf $F^{\mu\nu}$ op voor een zuiver uniform veld $\vect B = B\vect e_z$ , en voor het veld van een vlakke golf ( $\vect E = E\vect e_y$ , $\vect B = (E/c)\vect e_z$ ). (c) Ga op de componenten na dat $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ de betrekking $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ oplevert voor $\mu\nu = 12$ . (d) Waarom moet $F$ antisymmetrisch zijn opdat de kracht $qF^{\mu\nu}u_\nu$ in het eigen stelsel van het deeltje geen arbeid verricht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.3.

(a) $E_y$ : $F^{20} = E_y/c$ ; $B_x$ : $F^{32} = B_x$ . (b) Voor $\vect B = B\vect e_z$ alleen $F^{12} = -B$ en $F^{21} = +B$ ; voor de golf $F^{20} = E/c$ , $F^{12} = -E/c$ (met hun antisymmetrische partners). (c) $F^{12} = \partial^1A^2 - \partial^2A^1 = -\partial_xA_y + \partial_yA_x = -(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = -B_z$ : dat klopt met de matrix. (d) De snelheid waarmee de energie van het deeltje verandert is $\propto F^{0\nu}u_\nu$ ; in het ruststelsel is $u_\nu = (c, \vect 0)$ , en de antisymmetrie maakt $F^{00} = 0$ : een kracht die op een deeltje in rust nooit arbeid kan verrichten — de bepalende eigenschap van het magnetische deel.

Oefening 6.4 ★

Een vlakkeplaatcondensator in rust houdt $\vect E = E_0\vect e_y$ vast, zonder $\vect B$ . Geef $\vect E'$ en $\vect B'$ in een stelsel dat beweegt (a) langs $\vect e_y$ (loodrecht op de platen); (b) langs $\vect e_x$ (evenwijdig aan de platen), en duid de $\vect B'$ die verschijnt als het veld van de bewegende oppervlakteladingen; (c) toets de invarianten in geval (b); (d) in geval (b) krimpen ook de platen: welke grootheden ( $\sigma$ ? $E'$ ? de plaatafstand?) veranderen, en in overeenstemming waarmee?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.4.

(a) Boost langs het veld: de componenten in de lengterichting blijven ongewijzigd, $\vect E' = E_0\vect e_y$ , $\vect B' = \vect 0$ . (b) Boost langs $\vect e_x$ : $E'_y = \gamma E_0$ , $B'_z = -\gamma vE_0/c^2$ — de platen stromen nu als oppervlaktestromen $\pm\sigma'v$ , en twee tegengestelde stroomvlakken omsluiten precies zo’n veld. (c) $E'^2 - c^2B'^2 = \gamma^2E_0^2(1 - \beta^2) = E_0^2$ ; $\vect E'\cdot\vect B' = 0$ : beide blijven behouden. (d) De platen krimpen langs $x$ , dus $\sigma' = \gamma\sigma$ , in overeenstemming met $E' = \sigma'/\varepsilon_0 = \gamma E_0$ ; de afstand ertussen, dwars op de boost, blijft ongemoeid.

Oefening 6.5 ★★

De bewegingsspanning verenigd. Een geleidende staaf glijdt met $\vect v$ over rails door een uniforme $\vect B$ . (a) Boekhouding in het lab: welke kracht drijft de elektronen langs de staaf, en welke spanning volgt daaruit? (b) Boekhouding in het stelsel van de staaf: welk veld drijft ze, en waar komt het vandaan in Propositie 6.5? (c) Toon aan dat de twee spanningen tot op de orde $v/c$ overeenstemmen. (d) De fluxregel van Faraday uit het volume van jaar 1 dekte de gevallen “bewegende kring” en “veranderend veld” met één formule: wat zegt de relativiteitstheorie over waarom die eenmaking wel moest werken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.5.

(a) De magnetische kracht $-e\vect v\wedge\vect B$ duwt de elektronen langs de staaf: spanning $= vBL$ . (b) In het stelsel van de staaf staat de staaf stil — geen magnetische kracht op stilstaande ladingen — maar de transformatie levert $\vect E' = \gamma\,\vect v\wedge\vect B$ : een echt elektrisch veld doet het drijfwerk. (c) $E'L = \gamma vBL \approx vBL$ tot op de orde $v/c$ . (d) Het moest wel werken omdat de “bewegings”- en de “transformator”spanning één verschijnsel zijn dat in twee stelsels wordt gelezen: de fluxregel is covariantie in de kleren van 1831 — het artikel van Einstein uit 1905 opent met precies deze asymmetrie tussen magneet en geleider.

Oefening 6.6 ★★

(a) Ga met Propositie 6.5 door rechtstreeks rekenen na dat $E'^2 - c^2B'^2 = E^2 - c^2B^2$ voor een boost langs $x$ . (b) Ga $\vect E'\cdot\vect B' = \vect E\cdot\vect B$ na. (c) Een gebied bevat loodrecht op elkaar staande $\vect E$ en $\vect B$ met $E = 2cB$ : bepaal het stelsel met een zuiver elektrisch veld (richting en snelheid). (d) Waarom kan geen enkel stelsel het veld van een vlakke lichtgolf zuiver elektrisch of zuiver magnetisch maken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.6.

(a) De $x$ -componenten blijven ongemoeid; voor de dwarse geldt $E_y'^2 + E_z'^2 - c^2(B_y'^2 + B_z'^2) = \gamma^2[(E_y - vB_z)^2 + (E_z + vB_y)^2 - c^2(B_y + vE_z/c^2)^2 - c^2(B_z - vE_y/c^2)^2]$ ; de gemengde termen vallen weg en de kwadraten verzamelen $\gamma^2(1 - \beta^2) = 1$ maal de niet-getransformeerde combinatie. (b) Dezelfde boekhouding op $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z$ . (c) $E^2 - c^2B^2 = 3c^2B^2 > 0$ : boost langs $\vect E\wedge\vect B$ met $v = c^2B/E = c/2$ ; daar is $B' = 0$ en het overblijvende veld $E' = E/\gamma = \sqrt3\,cB$ — wat tot de invariant kwadrateert, zoals het hoort. (d) Een lichtgolf heeft beide invarianten nul: elk stelsel moet $E' = cB' \perp$ opleveren, nooit een zuiver veld.

Oefening 6.7 ★★

Gekruiste velden. In het lab is $\vect E = E\vect e_y$ en $\vect B = B\vect e_z$ met $E < cB$ . (a) Toon aan dat het stelsel dat met $\vect v_{\text{d}} = (E/B)\,\vect e_x$ beweegt een zuiver magnetisch veld ziet. (b) Beschrijf de beweging van een lading die uit rust wordt losgelaten, gezien vanuit dat stelsel en weer terug in het lab (een cycloïde die met $v_{\text{d}}$ meedrijft). (c) Het snelheidsfilter van het volume van jaar 1 liet deeltjes met snelheid $E/B$ onafgebogen door: leid dat in één regel opnieuw af uit (a). (d) Wat gebeurt er kwalitatief wanneer $E > cB$ — en waarom is de truc met het driftstelsel dan onmogelijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.7.

(a) Met $v_{\text{d}} = E/B$ : $E'_y = \gamma(E - v_{\text{d}}B) = 0$ ; $B'_z = \gamma(B - v_{\text{d}}E/c^2) = B/\gamma$ : een zuiver, licht verzwakt magneetveld. (b) Daar: een cirkel met $qB'/\gamma m$ ; terug in het lab: die cirkel plus de eenparige drift — een cycloïde die met $E/B$ loodrecht op beide velden voortkruipt, de baan van de ladingen in een magnetron. (c) Een deeltje dat precies met $v_{\text{d}}$ beweegt staat stil in het driftstelsel, waar het enige veld magnetisch is en het niets voelt: onafgebogen. (d) Voor $E > cB$ overtreft de vereiste drift $c$ : zo’n stelsel bestaat niet; in plaats daarvan bestaat er een stelsel met een zuivere $E$ (vorige opgave) en wordt de lading onbegrensd langs het veld versneld.

Oefening 6.8 ★★

De viergolfvector $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ . (a) Toon aan dat de eis dat de fase invariant is, $k^\mu$ dwingt als viervector te transformeren. (b) Leid de longitudinale dopplerformule uit zijn tijdcomponent af. (c) Leid de aberratieformule af. (d) Aberratie van sterrenlicht: de aarde draait rond met $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; over welke hoek zwenkt de schijnbare stand van een ster in een jaar? (Bradley mat in 1728 $20.5''$ — het eerste rechtstreekse bewijs dat de aarde beweegt.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.8.

(a) De fase $\omega t - \vect k\cdot\vect r$ telt de gebeurtenissen waarbij golftoppen passeren, een invariant getal; zij is gelijk aan $k^\mu x_\mu$ , en de invariantie van dat product voor alle $x^\mu$ dwingt $k^\mu$ als viervector te transformeren. (b) $\omega'/c = \gamma(\omega/c - \beta k_x)$ met $k_x = (\omega/c)\cos\theta$ ; voor $\theta = 0$ geeft dat $\omega' = \omega\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ . (c) $\cos\theta' = k'_x/(\omega'/c)$ : de aangegeven formule. (d) $\beta = 10^{-4}$ : $20.5''$ ; in een jaar doorloopt de schijnbare stand een ellips met die hoekhalfas — de aberratie van Bradley.

Oefening 6.9 ★★

Een lading $q$ beweegt met constante $\vect v = v\vect e_x$ , $\gamma \gg 1$ . (a) Toon door het veld van Coulomb te transformeren aan dat in het dwarsvlak door de lading het veld tot $\gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$ op afstand $b$ wordt opgevoerd, terwijl het pal vooruit en achteruit met $1/\gamma^2$ wordt platgedrukt. (b) Toon aan dat een stilstaande waarnemer op afstand $b$ een veldpuls van duur $\sim b/\gamma v$ ziet. (c) Voor een LHC-proton dat op $b = 1\,\mathrm{cm}$ passeert: piekveld en pulsduur. (d) In welke precieze zin is deze puls “bijna licht”? (Ga $E' \approx cB'$ en de invarianten na.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.9.

(a) In het ruststelsel geldt Coulomb; boosten vermenigvuldigt de dwarse componenten met $\gamma$ (in het dwarsvlak $E'_\perp = \gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$ ), terwijl het veld langs de beweging, vooruit of achteruit op labafstand $r$ geëvalueerd, op een afstand $\gamma r$ in het ruststelsel wordt afgebeeld: met $1/\gamma^2$ verkleind. (b) De pannenkoek met hoekbreedte $1/\gamma$ strijkt met $v$ voorbij: duur $\sim (b/\gamma)/v$ . (c) $E' = 7250 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{9}/10^{-4} \approx 0.1\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , gedurende $2b/\gamma c \approx 9\,\mathrm{fs}$ . (d) $B' = vE'/c^2 \approx E'/c$ en beide invarianten zijn $O(1/\gamma^2)$ : plaatselijk niet van een lichtpuls te onderscheiden — de grondslag van de beschrijving met “equivalente fotonen” van botsingen met snelle ladingen.

Oefening 6.10 ★★★

Een lichtgolf achtervolgen. Een vlakke golf heeft $\vect E = E_0\vect e_y \cos(\omega(t - x/c))$ , $\vect B = (E_0/c)\vect e_z\cos(\omega(t - x/c))$ . Een waarnemer achtervolgt haar met $\beta$ . (a) Transformeer de velden: toon aan dat $E'_0 = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ en $B'_0 = E'_0/c$ . (b) Toon aan dat de frequentie met dezelfde factor transformeert: de golf blijft een golf, roodverschoven, met altijd $E' = cB'$ . (c) Wat wordt er van de energiedichtheid van de golf (evenredig met $E^2$ ) en van het aantal fotonen? (d) Concludeer: wat zou “naast een lichtbundel meerijden” vergen, en welke invariant verbiedt het?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.10.

(a) $E'_y = \gamma(E - vB) = \gamma E_0(1 - \beta)\cos(\cdots) = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\cos(\cdots)$ , en $B'_z = E'_y/c$ volgens dezelfde algebra. (b) De fase transformeert met dezelfde dopplerfactor: dezelfde nulgolf, roder en zwakker. (c) De energiedichtheid daalt met het kwadraat van de dopplerfactor; het aantal fotonen blijft gelijk — de $h\nu$ van elk foton draagt de hele factor. (d) “Ernaast meerijden” betekent dat de factor $\to 0$ gaat met $\beta \to 1$ : de golf wordt nooit statisch omdat haar invarianten nul zijn — er is geen stelsel waarin licht stilstaat, en daar begon de relativiteitstheorie in dit boek.

Oefening 6.11 ★★★

Synchrotronlicht en de dood van de cirkelvormige elektronmachines. Een ultrarelativistische lading op een cirkel met straal $r$ straalt het vermogen $P = q^2c\gamma^4/6\pi\varepsilon_0r^2$ uit (aangenomen — de formule van Larmor uit het volume van jaar 2, geboost). (a) Toon aan dat het energieverlies per omloop $\Delta E = q^2\gamma^4/3\varepsilon_0r$ bedraagt. (b) LEP: elektronen van $100\,\mathrm{GeV}$ op $r = 3.1\,\mathrm{km}$ : bereken $\gamma$ en $\Delta E$ per omloop — welk deel van de bundelenergie wordt elk rondje teruggekocht? (c) LHC: protonen van $6.8\,\mathrm{TeV}$ in dezelfde tunnel: bereken $\Delta E$ per omloop en vergelijk. (d) Verklaar met de factor $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$ waarom de opvolger van de elektronen een lineaire botser of een veel grotere ring is, en waarom protonringen wel overleven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.11.

(a) Per omloop is $\Delta E = P \times 2\pi r/c$ : het aangegeven resultaat. (b) $\gamma = 10^{11}/5.11 \times 10^{5} = 1.96 \times 10^{5}$ : $\Delta E \approx 2.9\,\mathrm{GeV}$ per omloop — drie procent van de bundelenergie die elk rondje opnieuw wordt ingebracht; de klystrons van LEP vormden de grootste radiozender op aarde. (c) Protonen: $\gamma = 7250$ , en $\gamma^4$ kleiner met $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^4 \approx 10^{13}$ : ongeveer $5\,\mathrm{keV}$ per omloop — verwaarloosbaar. (d) $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$ : bij gelijke energie straalt het elektron $10^{13}$ keer meer; vandaar lineaire botsers (die één keer stralen, niet per omloop) of reusachtige ringen voor elektronen, terwijl protonringen moeiteloos tot $27\,\mathrm{km}$ opschalen.

Oefening 6.12 ★★★

Het relativistische cyclotron. Een lading in een uniforme $\vect B$ , bij relativistische snelheid. (a) Toon uit $\dd\vect p/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ met constante $E$ aan dat de baan een cirkel is die met $\omega = qB/\gamma m$ wordt doorlopen: de cyclotronfrequentie daalt met de energie. (b) Een klassiek cyclotron duwt met vaste $\omega_0 = qB/m$ : toon aan dat na $N$ omlopen, waarbij $\gamma - 1$ lineair tot zijn eindwaarde $\Gamma$ groeit, de opgehoopte faseachterstand een kwart RF-periode bereikt zodra $\Gamma \approx 1/2N$ ; welke kinetische energie van een proton is dat voor $N = 100$ omlopen, en hoe verhoudt zij zich tot het historische plafond van klassieke cyclotrons (zo’n $20\,\mathrm{MeV}$ , gekocht met extra marge en spanning)? (c) Er bestaan twee remedies: de frequentie laten meelopen (synchrocyclotron) of $B(r)$ zo vormen dat het als $\gamma$ groeit (isochroon cyclotron): leg elk in één zin uit. (d) Het isochrone cyclotron van het PSI levert protonen van $590\,\mathrm{MeV}$ : met welke factor overtreft zijn veld aan de rand het veld in het midden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.12.

(a) $|\vect p|$ is constant (geen arbeid); $\dot{\vect p} = q\vect v\wedge\vect B$ draait $\vect p$ met snelheid $qvB/p = qB/\gamma m$ . (b) De achterstand per omloop is $2\pi(\gamma - 1)$ ; groeit $\gamma - 1$ lineair tot $\Gamma$ , dan is de totale achterstand $\approx \pi N\Gamma$ ; een kwart periode is $\pi/2$ : $\Gamma \approx 1/2N$ . Voor $N = 100$ : $\Gamma = 5 \times 10^{-3}$ , $E_k \approx 4.7\,\mathrm{MeV}$ — de juiste schaal; echte machines rekten dat tot $\sim20\,\mathrm{MeV}$ op met hoge dee-spanningen (minder omlopen). (c) Synchrocyclotron: laat de RF tijdens elke puls omlaag lopen om $qB/\gamma m$ te volgen. Isochroon cyclotron: laat $B(r)$ groeien $\propto\gamma(r)$ , zodat de verhouding nooit verandert en de bundel continu blijft. (d) $\gamma = 1 + 590/938 = 1.63$ : het veld aan de rand moet het middenveld met die factor overtreffen.

6.6 Vraagstuk: Magnetisme op slakkengang

Probleem 6.1

Weekendvraagstuk — hoe een onevenwicht van $10^{-24}$ elke motor laat draaien

Elektronen driften trager door een lampsnoer dan honing kruipt, en $v^2/c^2$ voor die drift is $10^{-24}$ — en toch tilt de magnetische kracht die zij voortbrengt auto’s op sloopterreinen. Dit vraagstuk maakt de volledige boekhouding in twee stelsels op voor een rechte draad en een bewegende lading, en vindt de relativiteitstheorie in elke elektromagneet terug. Gegevens: koperdraad, doorsnede $S = 1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ , stroom $I = 10\,\mathrm{A}$ , dichtheid van de geleidingselektronen $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; proeflading $q = 1\,\text{µ}\mathrm{C}$ op afstand $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ , die evenwijdig aan de draad met $v = 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ beweegt (de snelheid van een ionenbundel, om de getallen zichtbaar te houden); $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ .

Deel I — De boekhouding in het lab.

Bereken de driftsnelheid $u$ van de elektronen, en $u^2/c^2$ .
Modelleer de draad als twee over elkaar heen liggende lijnladingen: het rooster $+\lambda$ in rust en de elektronen $-\lambda$ driftend met $u$ , met $I = \lambda u$ . Bereken $\lambda$ .
Bereken $B$ op de plaats van de lading en de magnetische kracht $F = qvB$ erop — inclusief richting, voor een $v$ evenwijdig aan de conventionele stroom $I$ (denk eraan: evenwijdige stromen trekken elkaar aan).
Waarom is er in het lab geen elektrische kracht?
Het elektrische veld van dezelfde draad als die per meter een netto overschot van één elektron droeg: vergelijk de kracht die dat op $q$ zou uitoefenen met de magnetische kracht uit vraag 3, en concludeer hoe nauwkeurig “neutraal” moet worden gemeten voordat men iets aan magnetisme mag toeschrijven.
Een lading van $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ met $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : is de kracht uit vraag 3 meetbaar? (Vergelijk met het gewicht van een zandkorrel, $\sim10^{-6}\,\mathrm{N}$ .)

Deel II — Van stoel wisselen. Boost naar het stelsel van de proeflading (snelheid $v$ langs de draad).

Welke snelheden hebben in dat stelsel het rooster en de elektronen (die tegen $I$ in driften en in deze boost dus sneller worden — stel ze netjes samen)?
Over de doorsnede van de draad geïntegreerd is de vierstroom per eenheid van lengte $(c\lambda_{\text{tot}}, I, 0, 0)$ , hier met $\lambda_{\text{tot}} = 0$ . Transformeer haar en toon aan dat de lijnlading van de draad in het nieuwe stelsel

$\lambda' = -\gamma_v\,\frac{vI}{c^2} .$
Bereken $\lambda'$ , in coulomb per meter en in elektronladingen per meter. Welke stroom werd dichter, en waarom (krimp desgewenst elke stroom afzonderlijk)?
Bereken het elektrische veld $E' = \lambda'/2\pi\varepsilon_0d$ op de lading, en de elektrische kracht $qE'$ erop.
Vergelijk $qE'$ met de $qvB$ van het lab uit deel I, en verklaar de resterende factor $\gamma_v \approx 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ (de transformatiewet van welke viervector verbindt de krachten?).
In dit stelsel is er ook een magnetisch veld (de draad voert nog steeds stroom): waarom oefent dat hier geen kracht uit?

Deel III — De moraal van de getallen.

Het relatieve onevenwicht $|\lambda'|/\lambda$ : bereken het en schrijf het als $\gamma_v vu/c^2$ .
Hoe kan een effect van de orde $10^{-19}$ van de lading van de draad een macroscopische kracht opleveren? (Welk enorm getal vermenigvuldigt het?)
Twee evenwijdige draden met elk $10\,\mathrm{A}$ op $1\,\mathrm{cm}$ : bereken de kracht per meter en toets haar aan de definitiewaarde $2 \times 10^{-7}\,I_1I_2/d$ newton per meter.
Een elektromagneet is tienduizend windingen van dit verhaal: schat het veld van een spoel met $10^{4}\,$ windingen per meter die $10\,\mathrm{A}$ voert (de solenoïdeformule van het volume van jaar 1), en de kracht per vierkante centimeter die zij op ijzer uitoefent ( $\sim B^2/2\mu_0$ ).
Zou de relativiteitstheorie worden uitgeschakeld ( $c \to \infty$ in de transformatie), wat bleef er dan over van $\lambda'$ , van de kracht van $B$ , van motoren en sloopmagneten?
Waarom voelt de proeflading die in rust bij de draad ligt niets, hoewel de elektronen langs haar stromen? (Welke opheffing beschermt haar, en tot op welke nauwkeurigheid?)

Deel IV — Voorbij de draad.

Het volume van jaar 2 leidde magneetvelden af uit de wet van Ampère met stromen als gegeven bronnen. Wat voegt dit hoofdstuk daaraan toe — wat is het magneetveld, gezien vanuit dit vraagstuk?
IJzeren magneten hebben geen batterij: wat speelt bij permanent magnetisme de rol van de stroom (één zin; het eerlijke microscopische antwoord is kwantummechanisch en wacht vijf hoofdstukken)?
Eén enkele elektronenbundel in vacuüm (zonder rooster): ziet een meebewegende waarnemer haar zichzelf sterker aantrekken of afstoten dan een waarnemer in het lab? Verzoen de boekhouding van de twee stelsels over het samenknijpen van een bundel.
Maak dat laatste punt kwantitatief: toon aan dat twee evenwijdige gelijkgeladen bundels die samen met $\beta$ bewegen elkaar afstoten met een netto kracht (elektrische afstoting min magnetische aantrekking) die precies met $1/\gamma^2$ onder haar rustwaarde ligt — en zeg in welk stelsel die factor vanzelfsprekend is.
De energie voor een lamp komt met bijna $c$ aan, terwijl haar elektronen een meter per uur driften: wat draagt de energie in werkelijkheid langs het snoer (denk aan de poyntingvector van het volume van jaar 2)?
Schat $vu/c^2$ voor de elektronen van dit vraagstuk en een proeflading op wandeltempo ( $v = 1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): zelfs daar is de kracht in eerste orde meetbaar met een kompasnaald — wie toonde aan dat stroom een kompas afbuigt, en in welk jaar?
Vat het genoemde resultaat samen: een neutrale draad van $10\,\mathrm{A}$ , bekeken vanaf een stoel die met $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ beweegt, draagt $-10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ aan relativistische lading — en die boekhoudfout van de orde $10^{-24}$ door lengtekrimp, vermenigvuldigd met $10^{28}$ elektronen, is de volledige magnetische kracht van het lab.

Oplossing

Oplossing van Probleem 6.1.

1. $u = I/nSe = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $u^2/c^2 = 6 \times 10^{-24}$ . 2. $\lambda = I/u = nSe = 1.36 \times 10^{4}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ — veertien kilocoulomb per meter in elke stroom. 3. $B = \mu_0I/2\pi d = 2.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{5} \times 2 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , gericht naar de draad toe (evenwijdige stromen trekken elkaar aan). 4. De twee lijnladingen heffen elkaar exact op: $\lambda_{\text{tot}} = 0$ , dus geen veld in nulde orde. 5. Eén elektron te veel per meter: $E = 2k\lambda_1/d = 2.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , kracht $2.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{N}$ — $10^8$ keer kleiner dan de magnetische kracht. De draad zou honderd miljoen verdwaalde elektronen per meter kunnen verbergen voordat de elektrostatica het magnetisme evenaart: de kracht aan $\vect B$ toeschrijven is veilig. 6. $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ is het gewicht van twintig zandkorrels: moeiteloos meetbaar. 7. Rooster: $-v$ . Elektronen (die met $u$ tegen $I$ in driften, dus tegen de boost in): snelheid $(u + v)/(1 + uv/c^2)$ — sneller dan het rooster. 8. $\lambda' = \gamma_v(\lambda_{\text{tot}} - vI/c^2) = -\gamma_v vI/c^2$ . 9. $\lambda' = -10^{5} \times 10/9 \times 10^{16} = -1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ : ongeveer $7 \times 10^7$ elektronen te veel per meter. De elektronenstroom, in dit stelsel de snelste, is de dichtste — elke stroom krimpt met zijn eigen $\gamma$ . 10. $E' = 2k|\lambda'|/d = 2 \times 9 \times 10^{9} \times 1.1 \times 10^{-11}/0.01 = 20\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , naar de draad gericht; de kracht $qE' = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , aantrekkend. 11. Gelijk aan $qvB$ op de factor $\gamma_v = 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ na: precies de transformatiewet van een dwarse kracht (de vierkracht), $F_{\text{rust}} = \gamma F_{\text{lab}}$ . 12. De draad voert nog steeds een (grotere) stroom, dus $\vect B' \neq 0$ — maar onze lading is hier in rust, en een magneetveld grijpt alleen bewegende ladingen aan. 13. $|\lambda'|/\lambda = \gamma_v vu/c^2 = 8.2 \times 10^{-16}$ . 14. Het vermenigvuldigt $\lambda/e \approx 8.5 \times 10^{22}$ elementaire ladingen per meter: $8.2 \times 10^{-16} \times 8.5 \times 10^{22} \approx 7 \times 10^{7}$ elektronen per meter — macroscopisch. Materie is zo ontzaglijk geladen dat haar neutraliteit op het scherp van de snede balanceert; de relativiteitstheorie kantelt die snede. 15. $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.01 = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — de formule die ooit de ampère definieerde. 16. $B = \mu_0nI = 4\pi\times10^{-7} \times 10^{4} \times 10 = 0.13\,\mathrm{T}$ ; de magnetische druk $B^2/2\mu_0 \approx 6300\,\mathrm{Pa} \approx 0.6\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2}$ : hele auto’s hangen aan geïntegreerde relativiteitstheorie. 17. $c \to \infty$ doodt $\lambda'$ , en daarmee de kracht, het magnetische deel van het veld, motoren, dynamo’s en sloopkranen: magnetisme heeft geen niet-relativistisch bestaan. 18. In rust ziet de lading de neutrale draad van het lab: de twee stromen heffen elkaar op tot op de nauwkeurigheid waarmee materie neutraal is — experimenteel fantastisch nauwkeurig bekend — en er werkt geen kracht. 19. Dat het beeld van de “gegeven bronnen” één plak van één tensor was, gesneden door één stelsel: $\vect B$ is het deel van het elektromagnetische veld dat de beweging van een gegeven waarnemer aan stromen toeschrijft in plaats van aan ladingen. 20. De spin van het elektron: elk elektron is een elementaire magneet (een intrinsieke, kwantummechanische “stroom”), en ijzer is materie waarin die zich uitlijnen — Hoofdstuk 12 en Hoofdstuk 22 pakken dit op. 21. In het ruststelsel van de bundel is de afstoting zuiver coulombs en maximaal; in het lab heft de magnetische aantrekking van de evenwijdige stromen haar bijna op. Geen tegenspraak: de dwarse kracht van het lab is die van het ruststelsel gedeeld door $\gamma$ , en de tragere dynamica (tijdrek) maakt de boekhouding rond. 22. Netto kracht in het lab $= qE_{\text{lab}} - qvB_{\text{lab}} = (1 - \beta^2)qE_{\text{lab}} = F_{\text{Coulomb}}/\gamma^2$ volgens de transformatie; in het ruststelsel is de factor doorzichtig: zuivere elektrostatica, waarvan het uiteenvliegen door gerekte tijd wordt bekeken. 23. De poyntingvector: de energie stroomt met bijna $c$ door de velden rond de geleiders, terwijl de elektronen haar slechts in goede banen leiden; het koper van het snoer is een geleider, geen pijp. 24. $vu/c^2 \approx 8 \times 10^{-21}$ — en toch zag Ørsted zijn kompas in 1820 naast een draad uitslaan: de vermenigvuldiger van $10^{22}$ ladingen was al een eeuw aan het werk voordat iemand hem kon benoemen. 25. Een neutrale draad van $10\,\mathrm{A}$ , bekeken vanaf $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , draagt $-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ : het boekhoudverschil van $10^{-16}$ door lengtekrimp, vermenigvuldigd met $10^{23}$ ladingen per meter, is de magnetische kracht — het hele magnetisme is relativiteitstheorie, gecontroleerd op slakkengang.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst