Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

25Kernfysica

Het volume voor de middelbare school vertelde de hoofdlijn: atomen hebben kernen; sommige kernen brokkelen af, op schema’s van microseconden tot miljarden jaren; en grammen materie verbergen megatonnen energie. Dit hoofdstuk opent de kern opnieuw met het gereedschap van jaar 3. Een druppelmodel met vijf termen voorspelt de binding van honderden nucliden tot op een procent; kwantumtunneling — het barrièreprobleem uit het volume van jaar 2, bevorderd — verklaart hoe één formule vijfentwintig ordegrootten aan $\alpha$ -vervaltijden overspant; en het stille maximum van de bindingsenergiekromme bij ijzer verdeelt de hele kerntechnologie in twee kampen: splijt het zware (reactoren) of voeg het lichte samen (sterren, en ooit elektriciteitscentrales). Het hoofdstuk eindigt naast een reactorbassin, gloeiend in cherenkovblauw.

25.1 De kern: een verzadigde druppel

Definitie 25.1 (Nucliden, grootte en dichtheid)

Een nuclide $^{A}_{Z}\text{X}$ bevat $Z$ protonen en $N = A - Z$ neutronen, gebonden door de sterke wisselwerking: intens (bij contact ${\sim}100\,\times$ Coulomb), van korte dracht ( ${\sim}1\,\mathrm{fm}$ , alleen gevoeld door rakende buren) en blind voor lading (zij grijpt protonen en neutronen even goed). Verstrooiingsexperimenten geven elke kern hetzelfde recept: straal

R = r_0A^{1/3} , \qquad r_0 \approx 1.2\,\mathrm{fm} ,

zodat het volume als $A$ groeit en de dichtheid een universele $\rho \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ is — een regendruppel ervan zou wegen als een vloot tankers, en Hoofdstuk 27 zal hele sterren met deze dichtheid tegenkomen. Isotopen delen $Z$ maar verschillen in $N$ : dezelfde chemie, andere nucleaire lotgevallen.

Propositie 25.2 (Massadefect en bindingsenergie)

Een gebonden kern weegt minder dan zijn onderdelen; volgens Hoofdstuk 5 is de ontbrekende massa de bindingsenergie,

B = \big(Zm_{\text{p}} + Nm_{\text{n}} - m_{\text{kern}}\big)c^2 ,

doorgaans ${\sim}8\,\mathrm{MeV}$ per nucleon — een miljoen keer de chemie. Per nucleon uitgezet klimt $B/A$ steil door de lichte kernen (de oppervlakte-effecten verbleken), piekt bij $\approx8.8\,\mathrm{MeV}$ vlak bij ijzer-56, en zakt dan weg naarmate de coulombafstoting, van lange dracht en onverzadigbaar, de zwaargewichten belast. Beide hellingen zijn energiemijnen: fusie beklimt de linkerhelling (het bedrijf van de Zon), splijting rolt de rechter af (dat van de reactor) — en ijzer, op de top, is voor beide nucleaire as.

De bindingsenergiekromme — misschien wel de meest ingrijpende grafiek in de fysica. Lichte kernen winnen door samen te gaan, zware door te splijten; per kilogram betaalt de linkerhelling ongeveer vier keer beter, en de Zon zit erop.

Propositie 25.3 (De semi-empirische massaformule)

Modelleer de kern als een geladen vloeistofdruppel en de hele kromme volgt uit vijf termen:

B = a_{\text{V}}A - a_{\text{S}}A^{2/3} - a_{\text{C}}\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{\text{A}}\frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A) ,

met (in $\mathrm{MeV}$ ) $a_{\text{V}} = 15.8$ (elk nucleon bindt zijn buren: volume), $a_{\text{S}} = 17.8$ (nucleonen aan het oppervlak binden er minder: de “oppervlaktespanning” van de druppel), $a_{\text{C}} = 0.71$ (Coulomb, de saboteur van lange dracht), $a_{\text{A}} = 23.7$ (asymmetrie: volgens Hoofdstuk 19 vullen protonen en neutronen twee aparte fermiladders, het goedkoopst als ze even vol zijn), en $\delta$ een kleine paringsbonus voor even aantallen (Hoofdstuk 14). Minimaliseren bij vaste $A$ tekent de stabiliteitsvallei: $N \approx Z$ voor lichte kernen, neutronenrijk buigend ( $N/Z \to 1.5$ ) naarmate Coulomb de protonen straft — en nucliden buiten de vallei rollen er via $\beta$ -verval weer in.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De stabiliteitsvallei. Lichte kernen brengen hun twee fermiladders in evenwicht (N = Z); zware verdunnen hun coulombrekening met extra neutronen. Een nuclide buiten de valleibodem -vervalt er weer naartoe — en splijtingsfragmenten, ver boven de lijn geboren, zijn juist daarom razend radioactief. — De stabiliteitsvallei. Lichte kernen brengen hun twee fermiladders in evenwicht ( $N = Z$ ); zware verdunnen hun coulombrekening met extra neutronen. Een nuclide buiten de valleibodem $\beta$ -vervalt er weer naartoe — en splijtingsfragmenten, ver boven de lijn geboren, zijn juist daarom razend radioactief.

25.2 Radioactiviteit, met de klok in de hand

Stelling 25.4 (De vervalwet)

Een onstabiele kern heeft geen geheugen en veroudert niet: in elke seconde dat hij leeft, vervalt hij met dezelfde kans $\lambda$ . Voor $N$ kernen geldt $\dd N = -\lambda N\,\dd t$ , dus

N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t} = N_0\,2^{-t/T_{1/2}} , \qquad T_{1/2} = \frac{\ln2}{\lambda} ,

en de activiteit $\mathcal A = \lambda N$ (vervallen per seconde, $\mathrm{Bq}$ ) dooft op dezelfde exponentiële uit. Halveringstijden lopen van microseconden tot miljarden jaren; de statistiek van Hoofdstuk 16 garandeert dat één kern volstrekt onvoorspelbaar is, terwijl een mol ervan exponentieel beter de tijd houdt dan welke klok ook — de grondslag van de radiometrische datering.

Bewijs. Een constante kans per seconde betekent $N(t + \dd t) = N(t)(1 - \lambda\dd t)$ ; integreer. $N/N_0 = \tfrac12$ stellen geeft $T_{1/2}$ . ∎

Exponentieel verval: geheugenloze individuen, een stipte populatie. Twee halveringstijden laten een kwart over; tien laten een duizendste — de meetlat waarmee fysici houtskool, gletsjers en de aarde dateren.

Opmerking 25.5 (Drie deuren uit een kern)

$\boldsymbol\alpha$ : een zware kern zendt een cluster $^4$ He uit. Klassiek onmogelijk — de coulombbarrière reikt tot $25\,\mathrm{MeV}$ en het $\alpha$ -deeltje vertrekt met $5\,$ – $9\,\mathrm{MeV}$ — gebeurt het door tunneling (de barrière uit het volume van jaar 2, gekromd): de exponentiële gevoeligheid van Gamow maakt van een factor twee in energie twintig ordegrootten in levensduur, precies het patroon van Geiger–Nuttall (Oefening 25.8). $\boldsymbol\beta$ : een neutron wordt een proton (of omgekeerd), waarbij het een elektron (of positron) en een neutrino uitzendt — de zwakke wisselwerking aan het werk, de kracht die de vallei herstelt; het verhaal van het neutrino wacht op Hoofdstuk 26. $\boldsymbol\gamma$ : een aangeslagen kern werpt fotonen van $\mathrm{MeV}$ af, het nucleaire analogon van de spectraallijnen uit Hoofdstuk 11. Vervalstappen ketenen tot de valleibodem is bereikt: de ladder van uranium eindigt, veertien sporten later, bij stabiel lood.

25.3 De hellingen af: splijting en fusie

Propositie 25.6 (Splijting en de kettingreactie)

Een langzaam neutron dat door $^{235}$ U wordt opgenomen maakt een wiebelende druppel die splijt: twee fragmenten van middelmatige massa, twee tot drie verse neutronen, en $\approx200\,\mathrm{MeV}$ — het gat in $B/A$ tussen de $7.6\,\mathrm{MeV}$ van uranium en de $8.5\,\mathrm{MeV}$ van de fragmenten, maal 235. De vrijgekomen neutronen kunnen verdere kernen splijten: met vermenigvuldigingsfactor $k$ (neutronen per neutron, één generatie later) groeit een populatie als $k^n$ — subkritisch ( $k < 1$ ) dooft uit, kritisch ( $k = 1$ ) blijft gelijk, superkritisch explodeert. Een reactor remt neutronen tot lage snelheden af (het voorkeursdieet van de splijting), leunt op de 0.7 % van de neutronen die seconden te laat uit fragmentverval komen — de vertraging die $k \approx 1$ menselijk regelbaar maakt — en laat regelstaven het overschot opeten (Probleem 25.1).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Splijting als vloeistofdruppel: een langzaam neutron zet 235U aan het wiebelen; de coulombafstoting van de vervormde druppel verslaat haar oppervlaktespanning, en hij scheurt in neutronenrijke fragmenten plus de losse neutronen die een keten mogelijk maken. — Splijting als vloeistofdruppel: een langzaam neutron zet $^{235}$ U aan het wiebelen; de coulombafstoting van de vervormde druppel verslaat haar oppervlaktespanning, en hij scheurt in neutronenrijke fragmenten plus de losse neutronen die een keten mogelijk maken.

Opmerking 25.7 (Fusie: de moeilijkere, betere helling)

Lichte kernen samenvoegen betaalt per kilogram $\sim4\times$ meer dan zware splijten, zonder langlevende fragmenten — maar de reactanten, allebei positief, moeten door hun onderlinge coulombbarrière tunnelen, wat temperaturen van $10^7$ – $10^8\,\mathrm{K}$ vergt (Oefening 25.11). Sterren doen het door enorm te zijn (Hoofdstuk 27: de Zon maakt elke seconde $600\,$ miljoen ton waterstof tot helium); laboratoria doen het met magnetisch ingesloten plasma’s en, tot dusver, een energiegrootboek dat nog achterblijft bij zijn ambities om quitte te spelen.

Marie Curie (foto van Henri Manuel, ca. 1920, publiek domein): tweemaal Nobelprijswinnares voor het openen van het onderwerp van dit hoofdstuk — de gram radium van was van haar. — Marie Curie (foto van Henri Manuel, ca. 1920, publiek domein): tweemaal Nobelprijswinnares voor het openen van het onderwerp van dit hoofdstuk — de gram radium van Oefening 25.4 was van haar.

25.4 Opgaven

Oefening 25.1 ★

Boekhouding. (a) Geef $Z$ , $N$ , $A$ voor $^{12}$ C, $^{14}$ C, $^{235}$ U, $^{238}$ U. (b) Welke paren zijn isotopen? (c) Waarom delen isotopen de chemie maar niet de nucleaire stabiliteit? (d) $^{14}$ C en $^{14}$ N delen $A = 14$ : hoe heten zulke nucliden, en welk verval verbindt ze?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.1.

(a) $^{12}$ C: $6, 6, 12$ ; $^{14}$ C: $6, 8, 14$ ; $^{235}$ U: $92, 143, 235$ ; $^{238}$ U: $92, 146, 238$ . (b) De koolstoffen; de uraniums. (c) De chemie is de elektronenwolk, vastgelegd door $Z$ ; de stabiliteit is het evenwicht tussen $N$ en $Z$ binnenin. (d) Isobaren — verbonden door $\beta^-$ -verval: $^{14}\text{C} \to {}^{14}\text{N} + \text{e}^- + \bar\nu$ , de tik van de radiokoolstofklok.

Oefening 25.2 ★

De universele dichtheid. (a) Toon vanuit $R = r_0A^{1/3}$ aan dat de kerndichtheid onafhankelijk is van $A$ en evalueer haar. (b) Bereken de massa van een theelepel ( $5\,\mathrm{mL}$ ) kernmaterie. (c) Welke fractie van het volume van een atoom vult zijn kern (neem $R_{\text{atoom}} = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ , $A = 60$ )? (d) Wat zegt de wet $A^{1/3}$ zelf over de dracht van de sterke kracht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.2.

(a) $\rho = Am_{\text{u}}/\tfrac43\pi r_0^3A = 3m_{\text{u}}/4\pi r_0^3 \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $A$ valt weg. (b) $5\,\mathrm{mL} \to 1.2 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ — een miljard ton in een theelepel. (c) $(R/R_{\text{atoom}})^3 \approx (4.7\times10^{-5})^3 \approx 10^{-13}$ : het atoom is lege ruimte met een zwaar spikkeltje. (d) Volume $\propto A$ betekent dat elk nucleon vaste ruimte opeist en alleen zijn rakende buren bindt: de kracht verzadigt op een dracht van $\mathrm{fm}$ .

Oefening 25.3 ★

De lijm wegen. Kernmassa’s: $m_{\text{p}} = 1.007\,276\,\mathrm{u}$ , $m_{\text{n}} = 1.008\,665\,\mathrm{u}$ , $m(^4\text{He}) = 4.001\,506\,\mathrm{u}$ ; $1\,\mathrm{u}\,c^2 = 931.5\,\mathrm{MeV}$ . (a) Bereken het massadefect en de bindingsenergie van $^4$ He. (b) Geef $B/A$ . (c) Vergelijk $B$ met de $13.6\,\mathrm{eV}$ van Hoofdstuk 11: hoeveel ordegrootten scheiden de nucleaire van de atomaire lijm? (d) Waarom maakt de uitzonderlijke binding van $^4$ He (de piek in de figuur) hem tot de munt van het $\alpha$ -verval?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.3.

(a) $\Delta m = 2(1.007276 + 1.008665) - 4.001506 = 0.030\,376\,\mathrm{u}$ : $B = 28.3\,\mathrm{MeV}$ . (b) $B/A = 7.07\,\mathrm{MeV}$ . (c) $28.3\,\text{MeV}/13.6\,\text{eV} \approx 2\times10^6$ : zes ordegrootten — daarom overtreft nucleaire brandstof de chemische met een miljoen. (d) Het $\alpha$ -deeltje is een voorgemonteerd, uitzonderlijk goedkoop pakketje: het uitzenden ervan voert vier nucleonen uit met een koopje van $28.3\,\mathrm{MeV}$ korting, wat geen enkel afzonderlijk nucleon kan evenaren.

Oefening 25.4 ★

De eerste curie. Radium-226: $T_{1/2} = 1600$ jaar, molaire massa $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Voor één gram: (a) tel de kernen; (b) bereken $\lambda$ ; (c) bereken de activiteit en vergelijk met de historische eenheid $1\,\text{Ci} = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ (gedefinieerd als precies deze gram); (d) hoeveel van de gram is er na 4800 jaar over?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.4.

(a) $N = N_{\text{A}}/226 = 2.66 \times 10^{21}\,$ . (b) $\lambda = \ln2/(1600\times3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (c) $\mathcal A = \lambda N = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ : één curie, per constructie — de eigen gram van de Curies. (d) Drie halveringstijden: $0.125\,\mathrm{g}$ radium (de rest nu radon en zijn dochters, op mars naar lood).

Oefening 25.5 ★★

De formule aan het werk. Met $a_{\text{V}} = 15.75$ , $a_{\text{S}} = 17.8$ , $a_{\text{C}} = 0.711$ , $a_{\text{A}} = 23.7$ ( $\mathrm{MeV}$ ) en paring $+12/\sqrt A$ voor even-even kernen: (a) bereken de vier hoofdtermen van $B$ voor $^{56}$ Fe ( $Z = 26$ ). (b) Tel op (met paring) en vergelijk $B/A$ met de gemeten $8.79\,\mathrm{MeV}$ . (c) Welke twee termen vechten het hardst, en wat legt hun evenwicht vast? (d) Waarom moet juist de coulombterm sneller groeien dan $A$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.5.

(a) Volume $+882$ ; oppervlak $-261$ ; Coulomb $-0.711\times676/3.83 = -126$ ; asymmetrie $-23.7\times16/56 = -6.8$ ( $\mathrm{MeV}$ ). (b) Met paring $+12/\sqrt{56} = +1.6$ : $B \approx 490\,\mathrm{MeV}$ , $B/A = 8.76$ tegenover de gemeten $8.79$ — drie promille ernaast, uit een vloeistofdruppel. (c) Volume tegen oppervlak $+$ Coulomb: de kruising van hun groeitempo’s houwt het maximum bij ijzer uit. (d) Coulomb heeft lange dracht: elk proton stoot elk ander af, $\propto Z^2$ , terwijl de verzadigende sterke kracht nooit meer betaalt dan $\propto A$ — de uiteindelijke nederlaag van de zwaargewichten.

Oefening 25.6 ★★

De valleibodem. (a) Houd alleen de van $Z$ afhangende termen over, minimaliseer de massa bij vaste $A$ en leid $Z^* = \dfrac{A/2}{1 + a_{\text{C}}A^{2/3}/4a_{\text{A}}}$ af. (b) Evalueer voor $A = 101$ en vergelijk met ruthenium ( $Z = 44$ ). (c) Toon aan dat de limiet voor lichte $A$ gelijk is aan $Z^* = A/2$ en interpreteer dat met de twee fermiladders. (d) Een splijtingsfragment heeft $A = 95$ , $Z = 36$ : hoe ver ligt het van de vallei, en welke reeks vervalstappen volgt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.6.

(a) $\partial/\partial Z$ van de coulomb- en asymmetrieterm geeft $2a_{\text{C}}Z/A^{1/3} = 4a_{\text{A}}(A - 2Z)/A$ ; los op. (b) $Z^* = 50.5/1.163 = 43.4$ : de keuze van de natuur bij $A = 101$ is ruthenium, $Z = 44$ . (c) Zonder Coulomb is $Z^* = A/2$ : twee fermiladders (Hoofdstuk 19), het goedkoopst tot gelijke hoogte gevuld. (d) De valleizetel van het fragment is $Z^* \approx 41$ : vijf protonen te weinig — een cascade van vijf $\beta^-$ -vervalstappen klimt hem terug, waarbij er telkens een neutron wordt omgezet en een elektron en antineutrino worden uitgezonden.

Oefening 25.7 ★★

Radiokoolstof. Levende materie houdt haar $^{14}$ C ( $T_{1/2} = 5730$ jaar) op peil bij 1 atoom per $10^{12}$ koolstofatomen; de dood stopt de aanvulling. (a) Een houtskoolmonster vertoont 30 % van de levende activiteit: hoe oud is het vuur? (b) Eén gram levende koolstof: bereken zijn $^{14}$ C-activiteit (verwacht $\approx0.23\,\mathrm{Bq}$ ). (c) Waarom is de methode nutteloos voorbij $\sim50\,000\,$ jaar? (d) En waarom is zij nutteloos voor het dateren van gesteenten (welke klokken nemen het over)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.7.

(a) $t = T_{1/2}\ln(1/0.3)/\ln2 = 5730\times1.74 \approx 10^{4}\,$ jaar: een vuur uit het einde van de ijstijd. (b) $N_{^{14}\text{C}} = (N_{\text{A}}/12)\times10^{-12} = 5.0 \times 10^{10}\,$ ; $\lambda = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $\mathcal A \approx 0.2\,\mathrm{Bq}$ — een stuk of tien vervallen per minuut per gram, het werktempo van elk dateringslaboratorium. (c) Na negen halveringstijden zakt de activiteit onder de achtergrond: de klok loopt nog maar is niet meer af te lezen. (d) Gesteenten hebben nooit koolstof uit de atmosfeer ingeademd; hun klokken zijn de oorspronkelijke — uranium–lood, kalium–argon — met halveringstijden van miljarden jaren.

Oefening 25.8 ★★

De klif van Gamow. Polonium-212 zendt een $\alpha$ van $8.78\,\mathrm{MeV}$ uit; zijn barrière reikt tot $\approx26\,\mathrm{MeV}$ . (a) Toon aan dat klassieke ontsnapping onmogelijk is, en klassieke binnenkomst ook — en toch vervalt het in $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) Het $\alpha$ -deeltje van uranium-238 draagt $4.2\,\mathrm{MeV}$ en zijn halveringstijd is $4.5\times10^9$ jaar: bereken de verhouding van de twee vervalconstanten. (c) Leg met de tunnelexponentiële uit hoe een factor twee in energie $\sim10^{24}$ in tempo koopt. (d) Waarom legt dezelfde fysica de eis aan de kerntemperatuur van de Zon vast?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.8.

(a) De $8.78\,\mathrm{MeV}$ van het $\alpha$ -deeltje ligt ver onder de rand van $26\,\mathrm{MeV}$ : klassiek kan het er niet uit en had het er ook niet in kunnen komen — en toch is de halveringstijd $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $\lambda_1 = \ln2/3 \times 10^{-7}\,\mathrm{s} = 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\lambda_2 = \ln2/1.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 4.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ : verhouding $\approx 5\times10^{23}$ . (c) Het tunneltempo is $\eu^{-2G}$ met de gamowexponent $\propto Z/\sqrt E$ : $E$ halveren verhoogt $2G$ met een stuk of vijfenvijftig eenheden, en $\eu^{55} \approx 10^{24}$ — de schandalige rechte lijn van Geiger–Nuttall, uit één exponentiële. (d) Zonneprotonen tunnelen ook: de kerntemperatuur moet net hoog genoeg zijn opdat de maxwellstaart maal de gamowfactor het branden onderhoudt — dezelfde klif, van de andere kant beklommen.

Oefening 25.9 ★★

Tweehonderd miljoen elektronvolt. (a) Onderbouw de $200\,\mathrm{MeV}$ per splijting vanuit de $B/A$ -kromme. (b) Bereken de energie in één kilogram volledig gespleten $^{235}$ U, in joule en in ton olie-equivalent ( $42\,\mathrm{GJ}/\mathrm{t}$ ). (c) Een centrale van $1\,\mathrm{GW}_{e}$ met 33 % rendement: hoeveel kilogram $^{235}$ U per jaar? (d) Waarom dragen de fragmenten, en niet de neutronen, het meeste van de $200\,\mathrm{MeV}$ , en in welke vorm gaat die onmiddellijk over?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.9.

(a) De splitsing brengt ${\sim}235$ nucleonen van $7.6\,$ naar ${\sim}8.5\,\mathrm{MeV}$ binding: $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ . (b) $N = 2.56 \times 10^{24}\,$ kernen: $E = 8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J} \approx 2000$ ton olie — per kilogram. (c) Thermisch $3\,\mathrm{GW}$ gedurende een jaar is $9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$ : ongeveer $1.2\,\mathrm{t}$ $^{235}$ U. (d) De twee positieve fragmenten springen onder hun eigen coulombafstoting uiteen en dragen ${\sim}170\,\mathrm{MeV}$ als kinetische energie mee, die binnen micrometers warmte wordt — een reactor is een waterkoker waarvan de vlam elektrostatische terugslag is.

Oefening 25.10 ★★★

$k$ temmen. In een reactor planten prompte neutronen zich voort in $\ell \approx 10^{-4}\,\mathrm{s}$ . (a) Bereken met $k = 1.001$ op alleen prompte neutronen de vermogensvermenigvuldiging in één seconde — en het oordeel over mechanische regeling. (b) Een fractie $\beta = 0.7\,\%$ van de neutronen is $\sim10\,\mathrm{s}$ vertraagd: leg uit waarom de effectieve klok van de keten voor $k - 1 < \beta$ seconden wordt. (c) Bereken dezelfde vermenigvuldiging over één seconde met de effectieve generatietijd $\sim0.1\,\mathrm{s}$ . (d) Zeg in één zin wat de operators van Tsjernobyl kwijtraakten toen hun reactor prompt-superkritisch werd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.10.

(a) $10^4$ generaties: $(1.001)^{10^4} = \eu^{10} \approx 22000$ — van megawatts naar tientallen gigawatts binnen een seconde; geen motor beweegt een staaf zo snel. (b) Met $k - 1 < \beta$ kan de keten zich niet op alleen prompte neutronen voortplanten: elke groeistap wacht op de achterblijvers van ${\sim}10\,\mathrm{s}$ , zodat de effectieve generatietijd een fractie van een seconde of meer is. (c) $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ : een halve procent per seconde — het terrein van staaf en operator. (d) $k - 1$ voorbij $\beta$ drijven zette de reactor op de prompte klok van $10^{-4}\,\mathrm{s}$ : zij verloren de respijt van de vertraagde neutronen die reactoren stuurbaar maakt.

Oefening 25.11 ★★★

Het rekenwerk van de Zon. In totaal zet $4\,^1\text{H} \to {}^4\text{He}$ $0.71\,\%$ van de massa om in energie ( $26.7\,\mathrm{MeV}$ , neutrino’s inbegrepen). (a) Bereken uit $L_\odot = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ de massa die per seconde wordt omgezet, en de waterstof die per seconde wordt verbruikt. (b) Schat met $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ zon, waarvan een tiende brandbare kernwaterstof (neem de waterstoffractie $\approx0.75$ ), de levensduur. (c) Twee protonen bij $1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ : vergelijk $k_{\text{B}}T$ met hun coulombbarrière bij $1\,\mathrm{fm}$ en concludeer wie de oversteek maakt (Oefening 25.8). (d) Waarom laat fusie, anders dan splijting, vrijwel geen radioactieve as achter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.11.

(a) $\dot m = L_\odot/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ aan pure massa; waterstofdoorzet $\dot m/0.0071 \approx 6 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ — zeshonderd miljoen ton per seconde. (b) Brandbare waterstof ${\sim}2\times10^{30}\times0.1\times0.75 = 1.5 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}$ : $t \approx 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 8$ miljard jaar — de Zon is van middelbare leeftijd. (c) Barrière ${\sim}1.4\,\mathrm{MeV}$ tegenover $k_{\text{B}}T \approx 1.3\,\mathrm{keV}$ : een tekort van duizendvoudig — alleen de snelste protonen uit de maxwellstaart, die tunnelen (Oefening 25.8), fuseren ooit; vandaar dat de Zon gigajaren brandt in plaats van te ontploffen. (d) De as is $^4$ He — stabiel, dubbelmagische tevredenheid; er zijn geen neutronenrijke fragmenten die eeuwenlang $\beta$ -vervallen.

Oefening 25.12 ★★★

Nucleaire geneeskunde. (a) Technetium-99m ( $T_{1/2} = 6\,\mathrm{h}$ , $\gamma$ van $140\,\mathrm{keV}$ ) is het werkpaard van de geneeskunde: bereken het aantal kernen, en hun massa, achter een geïnjecteerde $500\,\mathrm{MBq}$ . (b) Leg uit waarom een halveringstijd van zes uur en een zuivere $\gamma$ elk precies zijn wat een diagnose wil. (c) PET: een positron uit $^{18}$ F annihileert met een elektron — gebruik Hoofdstuk 5 om de energie en de meetkunde van de twee fotonen te geven, en daarmee het principe van de detector. (d) Radiotherapie levert $2\,\mathrm{Gy}$ ( $\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ) aan een tumor: vergelijk de energie met een slok warm water, en breng de onschadelijkheid van de joules in overeenstemming met de dodelijkheid van de ionisatie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.12.

(a) $\lambda = \ln2/21\,600\,\mathrm{s} = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $N = \mathcal A/\lambda = 1.6 \times 10^{13}\,$ kernen — $2.6\,\mathrm{ng}$ . Geneeskunde bij de nanogram. (b) Zes uur overleeft de scan maar niet het weekend: de dosis schakelt zichzelf uit; een zuivere $\gamma$ van $140\,\mathrm{keV}$ verlaat het lichaam richting de camera zonder de weefselverbrandende tol van $\alpha$ of $\beta$ . (c) Een elektron en een positron in rust annihileren tot twee fotonen van $511\,\mathrm{keV}$ , rug aan rug (energie en impuls, Hoofdstuk 5): elk gelijktijdig paar bepaalt een lijn door de tumor, en duizenden lijnen trianguleren hem — tomografie op grond van een behoudswet. (d) $2\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ verwarmt weefsel een halve millikelvin — thermisch een slok lauw water; maar geleverd als ${\sim}10^{17}$ ionisaties per kilogram, die elk chemische bindingen van de orde $\mathrm{eV}$ doorknippen, is het chemisch dodelijk voor een delende cel. Joules meten warmte; gray meet sabotage.

Het reactorbassin van het weekendvraagstuk: -elektronen uit fragmenten die het licht in water voorbijlopen, hullen de kern in cherenkovblauw — de afscherming, zichtbaar aan het werk. — Het reactorbassin van het weekendvraagstuk: $\beta$ -elektronen uit fragmenten die het licht in water voorbijlopen, hullen de kern in cherenkovblauw — de afscherming, zichtbaar aan het werk.

25.5 Vraagstuk: Open dag bij de onderzoeksreactor

Probleem 25.1

Open dag bij de onderzoeksreactor. Het nationale laboratorium stelt zijn onderzoeksreactor van $20\,\mathrm{MW}$ van het bassintype open voor bezoekers, en u hebt uzelf het balkon op gepraat: beneden, door acht meter helder water, gloeit de kern bovenaards blauw. De gids — een reactorfysicus die met pensioen gaat — heeft u toegestaan het rekenwerk te doen.

Deel I — Het energiegrootboek.

Elke splijting van $^{235}$ U komt op ongeveer $200\,\mathrm{MeV}$ . Reken om naar joule en bereken de splijtingen per seconde die $20\,\mathrm{MW}$ in stand houden.
Reken om naar grammen $^{235}$ U die per dag worden verbruikt.
Dezelfde $20\,\mathrm{MW}$ uit steenkool ( $30\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ): tonnen per dag? Vorm de massaverhouding en verbind die met de schalen $\mathrm{MeV}$ tegenover $\mathrm{eV}$ van dit hoofdstuk en van de chemie.
De fragmenten worden geboren bij een binding van $\sim8.5\,\mathrm{MeV}$ per nucleon, uranium bij $7.6\,\mathrm{MeV}$ : controleer dat $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ consistent is.
De fragmenten komen binnen micrometers van hun geboorteplaats tot stilstand. Waarin zetten zij hun $200\,\mathrm{MeV}$ om, en op welke tijdschaal bereikt die het koelwater?
Waarom zijn de fragmenten (bijv. $A = 95$ , $Z = 36$ ) onvermijdelijk radioactief? Gebruik de stabiliteitsvallei.

Deel II — $k = 1$ vasthouden.

Definieer de vermenigvuldigingsfactor $k$ en geef aan wat $k = 0.999$ , $1.000$ en $1.001$ voor de neutronenpopulatie betekenen.
Het bassinwater remt af. Leg in twee zinnen uit waarom neutronen tot thermische snelheden afremmen de splijting van $^{235}$ U helpt, en waarom waterstof de beste moderator is (denk aan de elastische botsingen uit het volume van jaar 1).
Regelstaven zijn van boorstaal. Wat doet boor, en hoe stuurt het heffen of laten zakken van de staven $k$ ?
Bereken met alleen prompte neutronen ( $\ell = 10^{-4}\,\mathrm{s}$ ) en $k = 1.0005$ de vermogensgroei over één seconde en trek uw conclusie.
De 0.7 % vertraagde neutronen rekken de effectieve generatietijd tot $\sim0.1\,\mathrm{s}$ : reken opnieuw, en formuleer de ontwerpregel die $k - 1$ veilig onder de vertraagde fractie houdt.
Het water is ook het koelmiddel. Leg de intrinsieke veiligheidseigenschap uit: wat gebeurt er met het afremmen — en dus met $k$ — als het water wegkookt?
Waarom heeft de reactor na uitschakeling toch nog noodkoeling nodig? (Noem de warmtebron waar regelstaven niets aan kunnen doen.)

Deel III — Het blauwe licht.

De gloed is cherenkovstraling: de lichtsnelheid in water is $c/n$ met $n = 1.33$ . Wat moet een geladen deeltje doen om haar uit te zenden?
Bereken de drempelsnelheid, en met Hoofdstuk 5 de drempelwaarde van de kinetische energie voor een elektron.
Welke deeltjes in de reactor komen daarvoor in aanmerking? Volg de keten van splijtingsfragment tot snel $\beta$ -elektron in het water.
De intensiteit van het spectrum groeit naar korte golflengten toe: waarom gloeit het bassin blauw en niet rood?
De gids zegt: “de gloed is de afscherming die werkt.” Leg uit — wat doet acht meter water met de straling van de kern, en waarom is het balkon ruwweg veilig?
Na uitschakeling dooft het blauw in minuten, maar het verdwijnt pas na dagen. Leg het verband met vraag 6 van deel I.

Deel IV — Waar de reactor voor is.

Het dagelijkse werk van deze reactor is molybdeen-99 maken ( $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ ), de ouder van het technetium-99m van de geneeskunde. Waarom moeten de ziekenhuizen ter wereld wekelijks worden bevoorraad, en waarom kan geen enkel magazijn het inslaan?
Een zending Mo-99 van $100\,\mathrm{GBq}$ vertrekt op maandag; het ziekenhuis elueert Tc-99m op vrijdag (96 uur later). Welke activiteit van de ouder is er over?
Neutronenbundels uit de kern voeden ook de diffractie-instrumenten van Hoofdstuk 23: waarom worden reactorneutronen, eenmaal thermisch, met de juiste golflengte geboren?
Het afscheidsvraagstuk van de gids: een splijtstofelement brengt vijf jaar in het bassin door voordat het wordt verscheept. Leg met de mengeling van halveringstijden van de fragmenten de logica uit — wat hebben vijf jaar bassintijd gekocht?
Schat de vervalwarmte één uur na uitschakeling ( $\approx1\,\%$ van $20\,\mathrm{MW}$ ) en vergelijk die met een elektrische kachel in huis: is passieve bassinkoeling aannemelijk?
Sluit het grootboek in vier regels: $B/A$ betaalt $200\,\mathrm{MeV}$ per splijting; vertraagde neutronen lenen de seconden die $k$ stuurbaar maken; water remt af, koelt, schermt af en gloeit; en het echte product van de dag vertrekt in medische flesjes, niet in megawatts.

Oplossing

Oplossing van Probleem 25.1.

1. $200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ : $20\times10^6/3.2\times10^{-11} = 6.3 \times 10^{17}\,$ splijtingen per seconde. 2. $5.4\times10^{22}$ splijtingen per dag $\times 235/N_{\text{A}}$ : ongeveer $21\,\mathrm{g}$ $^{235}$ U per dag. 3. Steenkool: $1.7 \times 10^{12}\,\mathrm{J}/3 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} \approx 58$ ton per dag — een massaverhouding van $\sim3\times10^{6}$ , en dat is de verhouding $\mathrm{MeV}$ tot $\mathrm{eV}$ van nucleaire tot chemische bindingen. 4. $235\times(8.5 - 7.6) \approx 210\,\mathrm{MeV}$ : consistent, met het kleingeld geboekt op neutronen en neutrino’s. 5. Kinetische energie van de fragmenten $\to$ ionisatie $\to$ warmte, binnen micrometers en microseconden; geleiding geeft haar aan het water door — de reactor is een waterkoker die fragmenten afremt. 6. Zij erven de $N/Z \approx 1.55$ van uranium, ver boven de valleibodem bij hun $A$ : elk moet een keten $\beta^-$ -vervallen naar beneden aflopen — ingebouwde radioactiviteit, door de meetkunde van de vallei. 7. $k$ = het aantal neutronen verwekt per neutron, één generatie verder: $0.999$ dooft uit, $1.000$ blijft gelijk (een reactor in bedrijf), $1.001$ groeit. 8. Langzame neutronen blijven langer bij de kern hangen en de splijtingsgretigheid van $^{235}$ U groeit steil bij thermische energieën. Elastische botsingen staan hun energie het snelst af aan gelijke massa’s — en waterstof heeft precies de massa van het neutron: water is een moderator op maat. 9. Boor-10 verslindt neutronen ( $\text{n} + {}^{10} \text{B} \to \alpha + {}^{7}\text{Li}$ ): staven erin, neutronen opgegeten, $k$ omlaag; staven eruit, $k$ omhoog — het gaspedaal. 10. $(1.0005)^{10^4} = \eu^{5} \approx 150$ : honderdvijftig keer zoveel vermogen per seconde — hopeloos voor machines. 11. Op de vertraagde klok van $0.1\,\mathrm{s}$ : $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ , een halve procent per seconde. Regel: houd $|k - 1|$ ruim onder $\beta = 0.007$ , zodat de vertraagde neutronen altijd de doorslaggevende stem hebben. 12. Koken verwijdert de moderator: de neutronen blijven snel, de splijting verhongert, $k$ daalt — het watergemodereerde ontwerp knijpt zichzelf af (een negatieve terugkoppeling die zijn grafietneven misten). 13. Vervalwarmte: de radioactiviteit van de fragmenten — vraag 6 van deel I — gehoorzaamt aan halveringstijden, niet aan regelstaven, en levert vlak na het uitschakelen nog altijd megawatts. 14. Het licht in het water voorbijlopen: $v > c/n$ . 15. $v > 0.752c$ : $\gamma = 1.51$ , dus $E_{\text{k}} > 0.51\times511\,\mathrm{keV} \approx 0.26\,\mathrm{MeV}$ . 16. $\beta$ -elektronen uit fragmentverval dragen $\mathrm{MeV}$ ’s mee, en $\gamma$ ’s uit de kern schoppen elektronen via Compton naar vergelijkbare energieën: beide varen langs $0.26\,\mathrm{MeV}$ — het bassin zit vol elektronen die in aanmerking komen. 17. Het cherenkovspectrum wordt sterker naar korte golflengten toe (in intensiteit $\propto1/\lambda^2$ ): het oog krijgt blauw en violet aangereikt — de kleur is de helling van het spectrum. 18. Water verzwakt $\gamma$ ’s en neutronen exponentieel; acht meter is tientallen halveringslengtes, zodat het balkon op achtergronddosis zit. De gloed is het water dat de energie van de straling absorbeert — zichtbaar bewijs dat het schild haar opeet. 19. De kortlevende fragmenten sterven binnen minuten (het doven); de langlevende staart — dezelfde vervalwarmte uit vraag 13 — houdt dagenlang een flauwe gloed en een reële warmtelast in stand. 20. Met $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ verliest de ouder een factor ${\sim}6$ per week: voorraden vervallen vanzelf weg, zodat ziekenhuizen leven van een wekelijkse “technetiumkoe” geleverd door reactoren als deze. 21. $96/66 = 1.45$ halveringstijden: $2^{-1.45} \approx 0.36$ — ongeveer $36\,\mathrm{GBq}$ blijft over. 22. Getemperd tot kamertemperatuur is $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$ (Oefening 23.5): geboren op maat van de roosterafstanden. 23. Vijf jaar doodt elke halveringstijd tot maanden: activiteit en vervalwarmte dalen met ordegrootten, tot het element in een afgeschermde container kan reizen in plaats van in een zwembad. 24. ${\sim}200\,\mathrm{kW}$ — honderd huishoudkachels in een bassin van honderd ton: hoogstens tientallen kelvin per dag, comfortabel afgevoerd door natuurlijke convectie — passieve veiligheid door pure warmtecapaciteit. 25. $B/A$ betaalt $200\,\mathrm{MeV}$ per splijting en $21\,\mathrm{g}$ per dag; vertraagde neutronen lenen de seconden die $k$ stuurbaar maken; het water remt af, koelt, schermt af — en gloeit juist blauw omdat het werkt; en het product dat er het meest toe doet vertrekt in flesjes naar de ziekenhuizen van maandag.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Nucliden, grootte en dichtheid

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst