Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

27Astrofysica

Elk hoofdstuk van dit boek heeft voor dit ene gerepeteerd. Sterren zijn zelfzwaartekrachtige gasballen die door de hydrostatica van het deel van jaar 1 worden bestuurd, aangestoken door de tunneling van Hoofdstuk 25 en schijnend volgens de wet van Planck uit Hoofdstuk 20; dode sterren zijn de ontaarde fermigassen van Hoofdstuk 19 ter grootte van steden; en het heelal zelf is een afkoelend thermisch systeem waarvan de babyfoto — de microgolfachtergrond — het volmaaktste zwarte lichaam is dat ooit is gemeten. Dit slothoofdstuk bouwt het hele deel om tot het grootst denkbare laboratorium: hoe sterren leven, hoe ze sterven, wat ze achterlaten, en hoe het uitdijende heelal dat ze bevat begon als fysica die we al hebben gedaan.

27.1 Een ster is een evenwicht

Propositie 27.1 (Hydrostatisch evenwicht)

Een ster stort niet in en waaiert niet uiteen: op elke straal draagt de drukgradiënt het gewicht van het gas erboven. Voor de massa $m(r)$ binnen straal $r$ geldt

\frac{\dd P}{\dd r} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} .

Over de hele Zon geschat is $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \sim 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ en, via de ideale gaswet, $T_{\text{c}} \sim 10^7\,\mathrm{K}$ (Oefening 27.1) — precies de temperatuur waarbij de protonen van Oefening 25.11 beginnen te tunnelen. Dat is geen toeval maar een thermostaat: een ster moet samentrekken en opwarmen tot zijn kern ontsteekt, en de fusie houdt daarna miljoenen tot miljarden jaren het evenwicht. Sterren hebben een negatieve warmtecapaciteit — verlies energie, trek samen, word heter (Oefening 27.5) — en daarom wint de zwaartekracht uiteindelijk altijd.

Bewijs. Een schil $[r, r + \dd r]$ met oppervlak $A$ voelt van onderen de druk $P(r)A$ , van boven $P(r + \dd r)A$ , en het gewicht $g\rho A\,\dd r$ met $g = Gm(r)/r^2$ (alleen de massa binnenin trekt, volgens de stelling van Gauss voor de zwaartekracht). Het evenwicht van de drie geeft de genoemde vergelijking. ∎

Een ster, getekend als haar eigen krachtendiagram. De fusie voedt de druk die het eigen gewicht van de ster draagt; de twee krachten onderhandelen tien miljard jaar — en elk sterlot in dit hoofdstuk is wat er gebeurt als een van beide zonder argumenten komt te zitten.

27.2 Het leven van sterren

Definitie 27.2 (Het hertzsprung-russelldiagram)

Zet sterren uit naar oppervlaktetemperatuur (heet links, per afspraak) tegen lichtkracht, beide uit de zwartelichaamwetten van Hoofdstuk 20, en zij weigeren te verstrooien: negentig procent verdringt zich op de hoofdreeks, de diagonale band van waterstofverbranders, uitsluitend geordend naar massa — zwaarder betekent heter en onevenredig helderder ( $L \propto M^{3.5}$ ), en dus korter levend ( $t \propto M/L \propto M^{-2.5}$ : Oefening 27.4). Buiten de band wonen de uitzonderingen en de eindes van het diagram: koele maar enorme reuzen (rechtsboven) en hete maar piepkleine witte dwergen (linksonder) — want bij vaste temperatuur is de lichtkracht, via $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , een maat voor grootte. Het HR-diagram is geen kaart van soorten maar van leeftijden: het stipje van een ster schuift eroverheen naarmate haar brandstof opraakt.

Het hertzsprung-russelldiagram. De hoofdreeks is de band van waterstofverbranders, een massaladder die van linksboven (blauw, verkwistend, in megajaren dood) naar rechtsonder (rood, zuinig, tot nu toe langer levend dan het heelal) wordt gelezen. Reuzen en witte dwergen zijn geen curiositeiten maar hoofdstukken: dezelfde ster bezoekt alle drie de gebieden.

Opmerking 27.3 (Hoe sterren verouderen, en wat zij achterlaten)

Wanneer de waterstof van de kern op is, speelt de thermostaatlogica opnieuw: de kern trekt samen en warmt op, het helium ontsteekt (en fuseert tot koolstof en zuurstof), de mantel zwelt honderdvoudig op — een rode reus. Een zonachtige ster houdt daar op: zij werpt haar mantel af en gaat als witte dwerg met pensioen. Een ster boven $\approx8M_\odot$ blijft nieuwe brandstoffen ontsteken in uienschillen tot de kern ijzer is — de top van Propositie 25.2, waarvandaan geen enkele fusie nog energie oplevert. De dode kern stort in één seconde in; de terugstuit en de neutrinovloed blazen de ster uiteen: een supernova, die even haar sterrenstelsel overstraalt, de elementen voorbij ijzer smeedt door neutronenvangst en de hele oogst uitzendt in de wolken die de volgende generatie sterren en planeten bouwen. Het calcium in uw botten en het ijzer in uw bloed hebben deze route genomen (Probleem 27.1): de chemie is gerecyclede astrofysica.

27.3 De lijken: materie op haar grenzen

Propositie 27.4 (Witte dwergen en neutronensterren)

Wat houdt een ster overeind die niet meer brandt? De kwantummechanica. Een witte dwerg is een zonsmassa koolstof en zuurstof, gestut door zijn elektronenontaardingsdruk — de fermidruk bij $T = 0$ uit Hoofdstuk 19 — met de grootte van de aarde en een ton per theelepel. De steun van Pauli heeft een plafond: boven de chandrasekharmassa $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ worden de elektronen relativistisch en verliest de druk de wedloop (een resultaat dat we vermelden, niet afleiden). Daarboven worden elektronen in protonen geperst en ontstaat er een neutronenster: neutronenontaarding plus nucleaire afstoting die $\sim1.4\,M_\odot$ vasthouden in een dozijn kilometer bij de kerndichtheid van Definitie 25.1 — een kern zo groot als een stad, die tot in de milliseconden opdraait en als een vuurtoren straalt (een pulsar). En boven ongeveer $3\,M_\odot$ biedt niets bekends weerstand: de ster valt binnen de straal waarbij ontsnappen lichtsnelheid vergt,

R_{\text{s}} = \frac{2GM}{c^2} \qquad (3\,\mathrm{km}\text{ per zonsmassa}) ,

een zwart gat — het laatste woord van de zwaartekracht, en de drempel van de algemene relativiteitstheorie, één deel voorbij dit.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Eén zonsmassa, vier afmetingen. Thermische druk houdt de Zon overeind; elektronenontaarding de witte dwerg; neutronenontaarding de neutronenster; het zwarte gat wordt door niets gehouden. Elke stap vermenigvuldigt de oppervlaktezwaartekracht met een factor tienduizend of zo — en ook de fysica die nodig is om erop te staan.

27.4 Het uitdijende heelal

Definitie 27.5 (De wet van Hubble en het hete begin)

Elk ver sterrenstelsel wijkt terug, met een snelheid evenredig aan de afstand:

v = H_0d , \qquad H_0 \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \text{ per megaparsec} .

Dit is geen explosie in de ruimte maar een uitdijing van de ruimte — draai haar terug en alles was ooit dicht en heet: $1/H_0 \approx 14$ miljard jaar geleden (Oefening 27.9). Het vroege heelal is dit boek op snelheid afgespeeld. Bij één seconde is het een deeltjessoep van $\mathrm{MeV}$ (Hoofdstuk 26); in de eerste minuten gaat Hoofdstuk 25 tekeer en vriest er een kwart helium naar massa uit — voorspeld door een boltzmannfactor, overal waargenomen (Oefening 27.11). Bij 380 000 jaar en $3000\,\mathrm{K}$ laat de vergelijking van Saha (Propositie 18.5) de elektronen zich eindelijk op de protonen nestelen; de mist trekt op, en dat laatst verstrooide licht — duizendvoudig opgerekt door de uitdijing — komt vandaag aan als de kosmische achtergrondstraling: een planckspectrum van $2.725\,\mathrm{K}$ (Hoofdstuk 20), de oudste foto die er is. Wat het beeld ook laat zien: sterrenstelsels draaien en klonteren alsof ze worden gestuurd door donkere materie die geen detector heeft gevangen, en de uitdijing versnelt onder een donkere energie die niemand heeft verklaard — de vijfennegentig procent van de begroting die dit boek nog niet kan opschrijven.

De wet van Hubble: terugwijksnelheid tegen afstand, elke stip een sterrenstelsel (snelheden uit dopplerverschuivingen, ; afstanden uit standaardkaarsen). De helling is H_0; haar omgekeerde is, ruwweg, de leeftijd van het heelal. — De wet van Hubble: terugwijksnelheid tegen afstand, elke stip een sterrenstelsel (snelheden uit dopplerverschuivingen, Hoofdstuk 4; afstanden uit standaardkaarsen). De helling is $H_0$ ; haar omgekeerde is, ruwweg, de leeftijd van het heelal.

Een open sterrenhoop: blauwwitte verkwisters en zuinige oranje dwergen, samen geboren, die met wild verschillende tempo’s verouderen — het hertzsprung-russelldiagram, gefotografeerd.

27.5 Opgaven

Oefening 27.1 ★

De Zon, geschat. $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ , $R = 7 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . (a) Schat $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4$ . (b) Schat met de gemiddelde dichtheid en de ideale gaswet ( $P = \rho k_{\text{B}}T/ m_{\text{p}}$ ) de waarde van $T_{\text{c}}$ . (c) Vergelijk met de ontstekingsdrempel van $10^7\,\mathrm{K}$ uit Oefening 25.11. (d) Waarom is deze overeenstemming een thermostaat en geen toeval?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.1.

(a) $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \approx 1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ — tien miljard atmosfeer. (b) $\bar\rho \approx 1400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $T \sim P m_{\text{p}}/\rho k_{\text{B}} \approx 10^{8}\,\mathrm{K}$ — grof, een ordegrootte boven de werkelijke $1.6 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ , maar de schaal klopt. (c) Precies op de tunneldrempel. (d) Een protoster trekt samen en warmt op tot de kern ontsteekt, en houdt dan op met samentrekken: elke gasbal die massief genoeg is moet bij de ontsteking uitkomen — de ster stemt zichzelf af op de nucleaire thermostaat.

Oefening 27.2 ★

Licht wegen. (a) Bereken uit de zonneconstante $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ op $d = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ de waarde van $L_\odot$ . (b) Bereken uit $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ de oppervlaktetemperatuur. (c) Controleer de piek van Wien tegen het zichtbare geelgroen van de Zon. (d) Van welk hoofdstuk gebruikte elke stap de wet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.2.

(a) $L = 4\pi d^2\times1360 \approx 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ . (b) $T = (L/4\pi R^2\sigma)^{1/4} \approx 5800\,\mathrm{K}$ . (c) Wien: $\lambda_{\text{piek}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ — het oog is naar de piek van de Zon toe geëvolueerd. (d) De omgekeerdekwadraatflux (jaar 1); Stefan–Boltzmann en Wien: het zwarte lichaam van Hoofdstuk 20, uit de fotonenstatistiek afgeleid.

Oefening 27.3 ★

Het diagram lezen. Sirius B: $T \approx 25\,000\,\mathrm{K}$ , $L \approx 0.026\,L_\odot$ ; Betelgeuze: $T \approx 3500\,\mathrm{K}$ , $L \approx 10^5\,L_\odot$ . (a) Plaats beide op het HR-diagram. (b) Bereken uit $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ elke straal in zonseenheden. (c) Betelgeuze in het zonnestelsel: welke planeten zitten erin? (d) Wat moet Sirius B overeind houden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.3.

(a) Sirius B: uiterst links, ver omlaag; Betelgeuze: uiterst rechts, ver omhoog. (b) $R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot}\,(T_\odot/T)^2$ : Sirius B $\approx 0.009\,R_\odot \approx$ een aardstraal; Betelgeuze $\approx 860\,R_\odot \approx 4\,\mathrm{au}$ . (c) Mercurius, Venus, de aarde en Mars zouden er binnenin rondgaan. (d) Zo groot als de aarde en toch zo zwaar als de Zon: alleen de elektronenontaardingsdruk (Hoofdstuk 19) — Sirius B is de klassieke witte dwerg.

Oefening 27.4 ★

Leef snel, sterf jong. Bereken met $L \propto M^{3.5}$ en levensduur $t \propto M/L$ , en de tien miljard jaar van de Zon: (a) de levensduur van een ster van $10\,M_\odot$ ; (b) van een rode dwerg van $0.5\,M_\odot$ — vergelijk met de leeftijd van het heelal; (c) waarom sterven zwaardere sterren, met meer brandstof, eerder? (d) Wat impliceert de kortheid van massieve levens over waar (in een sterrenstelsel) supernova’s voorkomen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.4.

(a) $10\,\text{Gyr}\times10^{-2.5} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (b) $0.5^{-2.5} \approx 5.7$ : ongeveer 57 miljard jaar — elke rode dwerg die ooit geboren is brandt nog. (c) De lichtkracht groeit als $M^{3.5}$ maar de tank alleen als $M$ : de rijken verbranden hun fortuin sneller dan zij het opzijzetten. (d) Massieve sterren sterven binnen een paar miljoen jaar na hun geboorte — voordat ze ergens heen zijn gedreven: supernova’s ontploffen in de stervormende spiraalarmen die ze hebben gemaakt.

Oefening 27.5 ★★

De vreemde thermodynamica van de zwaartekracht. Voor een zelfzwaartekrachtige gasbal geeft het viriaaltheorema (Hoofdstuk 1) de totale energie $E = -K$ (min de kinetische of thermische energie). (a) Leid af: energie wegstralen maakt de ster heter — een negatieve warmtecapaciteit. (b) Schat de gravitatie-energie $GM^2/R$ van de Zon. (c) Hoe lang had bij de huidige $L_\odot$ alleen samentrekking haar kunnen voeden (de kelvin-helmholtztijd)? (d) De geologie dateert de aarde op 4.5 miljard jaar: formuleer de negentiende-eeuwse paradox en haar nucleaire oplossing.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.5.

(a) $E = -K$ : uitstralen maakt $E$ negatiever, dus stijgt $K$ — dat wil zeggen de temperatuur: de thermodynamische handtekening van de zwaartekracht. (b) $GM^2/R \approx 3.8 \times 10^{41}\,\mathrm{J}$ . (c) $E/L_\odot \approx 10^{15}\,\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (d) De Zon van Kelvin kon niet ouder zijn dan tientallen megajaren, terwijl de wormen van Darwin en de rotsen van Lyell miljarden eisten: de oplossing was een brandstof die niemand kende — Hoofdstuk 25, zeventig jaar te vroeg.

Oefening 27.6 ★★

Anatomie van een witte dwerg. Neem $M = 1\,M_\odot$ bij $R = R_{\text{aarde}} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . (a) Bereken de gemiddelde dichtheid, en de massa van een theelepel ( $5\,\mathrm{mL}$ ). (b) Bereken de oppervlaktezwaartekracht. (c) De ontaardingsdruk van Hoofdstuk 19 schaalt als $n^{5/3}$ , de eis van de zwaartekracht als $M^2/R^4 \propto n^{4/3}M^{2/3}$ : toon aan dat dit het bizarre $R \propto M^{-1/3}$ impliceert — zwaardere dwergen zijn kleiner. (d) Leg fysisch uit waarom massa erbij stapelen de ster laat krimpen, en wat dat bij de chandrasekharmassa voorspelt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.6.

(a) $\bar\rho \approx 1.8 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : een theelepel van negen ton. (b) $g = GM/R^2 \approx 3.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — driehonderdduizend keer de zwaartekracht op aarde. (c) $n \propto M/R^3$ : de ontaarding levert $P \propto M^{5/3}/R^5$ , de zwaartekracht eist $P \propto M^2/R^4$ ; gelijkstellen geeft $R \propto M^{-1/3}$ . (d) Meer gewicht vergt meer fermidruk, en die komt alleen van compressie — dus laat massa de ster krimpen; de spiraal heeft een muur: zodra de elektronen relativistisch worden verzwakt de drukwet tot $n^{4/3}$ , faalt het evenwicht bij elke straal, en is $M_{\text{Ch}} = 1.4\,M_\odot$ de rand van de klif.

Oefening 27.7 ★★

Anatomie van een neutronenster. (a) Bereken bij de kerndichtheid $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ de straal die $1.4\,M_\odot$ bevat. (b) De kern draaide vóór de ineenstorting eens per 25 dagen rond bij $R \sim 10^5\,\mathrm{km}$ : gebruik het behoud van impulsmoment om de uiteindelijke omwentelingstijd te schatten. (c) Bereken de oppervlaktezwaartekracht. (d) Fluxbevriezing versterkt het magneetveld als $B \propto 1/R^2$ (Hoofdstuk 22): welk oppervlakteveld volgt uit een stellaire $10^{-2}\,\mathrm{T}$ , en waarom stralen pulsars in bundels?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.7.

(a) $V = M/\rho_{\text{nuc}} \approx 1.2 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$ : $R \approx 14\,\mathrm{km}$ — een kern met een skyline. (b) $\omega \propto 1/R^2$ : opdraaien met $(10^8/1.4\times10^4)^2 \approx 5\times10^{7}$ , zodat 25 dagen krimpt tot ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ : pulsargebied. (c) $g \approx 10^{12}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : een berg hier zou daar millimeters zijn. (d) $B \approx 10^{-2}\times5\times10^{7} \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — en de magnetische as, scheef op de draaias, trechtert radiostraling langs haar polen: de bundel strijkt als een vuurtoren rond, en wij noemen de flitsen een pulsar.

Oefening 27.8 ★★

Het punt van geen terugkeer. (a) Leid $R_{\text{s}} = 2GM/c^2$ af uit de newtoniaanse voorwaarde voor de ontsnappingssnelheid $v_{\text{esc}} = c$ (de eerlijke afleiding vergt de algemene relativiteitstheorie; het antwoord komt, beroemd genoeg, overeen). (b) Evalueer voor de Zon en voor de aarde. (c) Het centrale zwarte gat van het Melkwegstelsel: $M = 4\times10^6\,M_\odot$ — bereken $R_{\text{s}}$ en vergelijk met de afstand Zon–Mercurius ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). (d) Toon aan dat de gemiddelde dichtheid binnen $R_{\text{s}}$ daalt als $1/M^2$ — een groot genoeg zwart gat is minder dicht dan water: wat zegt dat over intuïties over “verpletteren”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.8.

(a) $\tfrac12mc^2 = GMm/R$ geeft $R = 2GM/c^2$ . (b) Zon: $3.0\,\mathrm{km}$ ; aarde: $8.9\,\mathrm{mm}$ — pers een van beide daarbinnen en het licht kan er niet uit. (c) $R_{\text{s}} \approx 1.2 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ : een vijfde van de baan van Mercurius — en er worden sterren waargenomen die eromheen zwiepen. (d) $\bar\rho \propto M/R_{\text{s}}^3 \propto 1/M^2$ : een gat van $10^8\,M_\odot$ is minder dicht dan water. Bij de horizon hoeft niets “verpletterd” te worden — het is een punt van geen terugkeer, geen oppervlak van rots.

Oefening 27.9 ★★★

Rekenen met Hubble. $H_0 = 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ per Mpc; $1\, \text{Mpc} = 3.09 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$ . (a) Reken $H_0$ om naar SI. (b) Bereken $1/H_0$ in jaren. (c) Een sterrenstelsel op $200\,\mathrm{Mpc}$ : zijn terugwijksnelheid, en de factor waarmee de golflengte van zijn licht is opgerekt (doppler bij kleine $z$ , Hoofdstuk 4). (d) Waarom is $1/H_0$ maar bij benadering de leeftijd van het heelal — wat heeft de uitdijingssnelheid intussen gedaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.9.

(a) $H_0 = 7\times10^4/3.09\times10^{22} \approx 2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (b) $1/H_0 \approx 4.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 14$ miljard jaar. (c) $v = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $z \approx v/c \approx 0.047$ : de golflengten komen 5 % opgerekt aan. (d) Het tempo is niet constant geweest — vroeg afgeremd door materie, sindsdien versneld door de donkere energie: dat $1/H_0$ toch binnen een gigajaar van de werkelijke 13.8 uitkomt is een klein kosmisch toeval.

Oefening 27.10 ★★★

Het oudste licht. De CMB is een zwart lichaam van $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) Bereken haar piekgolflengte (Hoofdstuk 20) en onderbouw “microgolf”. (b) Zij werd uitgezonden als licht van $3000\,\mathrm{K}$ : welke uitdijingsfactor heeft haar opgerekt, en waarom $3000\,\mathrm{K}$ (denk aan Saha, Propositie 18.5)? (c) Haar fotonendichtheid is $\sim4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3}$ : vergelijk met de dichtheid van baryonen, $\sim0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ , en geef de verhouding foton tot baryon. (d) Een klassieke controle aan tafel: een paar procent van de sneeuw op een niet-afgestemde analoge tv was de CMB — waarom ontvangt een antenne haar, waar zij ook op is gericht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.10.

(a) $\lambda_{\text{piek}} = b/T \approx 1.1\,\mathrm{mm}$ : microgolven, zoals aangekondigd. (b) Opgerekt met $3000/2.725 \approx 1100$ — het heelal is sindsdien elfhonderd keer groter in elke richting. De recombinatie wacht tot $3000\,\mathrm{K}$ , ver onder $13.6\,\mathrm{eV}/k_{\text{B}}$ , omdat het evenwicht van Saha (Propositie 18.5) scheefgetrokken wordt door twee miljard fotonen per baryon: de ioniserende staart houdt waterstof nog lang opengebroken nadat de naïeve energetica anders zegt. (c) Ongeveer $1.6\times10^{9}$ fotonen per baryon — het heelal is, naar aantal, vrijwel geheel licht. (d) De CMB is geen plek maar de hele hemel: elke zichtlijn eindigt op de mist van de laatste verstrooiing, zodat elke antenne haar ontvangt, waar zij ook op wordt gericht.

Oefening 27.11 ★★★

Een kwart helium, uit een boltzmannfactor. Rond $t \sim 1\,\mathrm{s}$ , $T \sim 10^{10}\,\mathrm{K}$ ( $k_{\text{B}}T \approx 0.8\,\mathrm{MeV}$ ), lieten de uitvriezende zwakke reacties de verhouding neutron tot proton op haar boltzmannwaarde achter (Hoofdstuk 17). (a) Bereken met $\Delta mc^2 = 1.29\,\mathrm{MeV}$ de waarde van $n/p$ bij het uitvriezen. (b) Neutronenverval tijdens de eerste minuten sneed haar terug tot $\approx1/7$ : toon aan dat elke overlevende in $^4$ He binden een massafractie helium $2(n/p)/(1 + n/p) = 25\,\%$ geeft. (c) Zeg waarom dit getal, overal in de sterren gemeten, een krachtig bewijs is voor het hete begin. (d) Waarom hield het oorspronkelijke koken op bij helium (met sporen lithium) en liet het koolstof en al het overige aan Opmerking 27.3?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.11.

(a) $n/p = \eu^{-1.29/0.8} \approx 0.20$ . (b) Met $n/p = 1/7$ : 14 protonen per 2 neutronen; de 2 neutronen grissen 2 protonen mee tot één $^4$ He (massa 4) en laten 12 losse protonen achter: $4/16 = 25\,\%$ naar massa. (c) Geen enkele ster heeft de tijd gehad om een kwart van alles helium te maken; die bodem terugvinden in het oudste, metaalarmste gas is het hete vroege heelal op heterdaad betrapt — een boltzmannfactor over de hemel geschreven. (d) Er is geen stabiele kern bij $A = 5$ of $8$ , en de dichtheid en de temperatuur zakten binnen minuten: de brug naar koolstof (drie heliumkernen tegelijk) gaat alleen open in de dichte, geduldige kernen van rode reuzen.

Oefening 27.12 ★★★

De ontbrekende materie. De omloopsnelheid van een spiraalstelsel blijft vlak op $v = 220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tot $r = 50\,\mathrm{kpc}$ ( $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ ), ver buiten zijn zichtbare rand. (a) Toon voor een cirkelbaan aan dat $M(r) = v^2r/G$ . (b) Evalueer bij $50\,\mathrm{kpc}$ , in zonsmassa’s. (c) De zichtbare sterren en het gas komen op $\sim5\times10^{10}\,M_\odot$ : welke fractie is daarmee verantwoord? (d) De kepleriaanse verwachting voorbij de zichtbare rand is $v \propto r^{-1/2}$ (het patroon van het zonnestelsel): wat impliceert de vlakheid over de verdeling van de ongeziene massa?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.12.

(a) $mv^2/r = GM(r)m/r^2$ . (b) $M = v^2r/G \approx 1.1 \times 10^{42}\,\mathrm{kg} \approx 5\times10^{11}\,M_\odot$ . (c) Ruwweg een tiende: negentig procent van het sterrenstelsel straalt niet en absorbeert niet. (d) Een vlakke $v$ betekent $M(r) \propto r$ — de ongeziene massa blijft zich ver buiten de zichtbare schijf ophopen, een uitgestrekte donkere halo (dichtheid $\sim1/r^2$ ) waarin het lichtgevende sterrenstelsel maar de verlichte kern is.

Een schotel voor millimetergolven onder de Melkweg: het sterrenstelsel waarnaar zij luistert, hangend boven haar. De radioastronomie vond de kosmische achtergrondstraling — het gesis van 2.7\, K dat het begin bleek te zijn. — Een schotel voor millimetergolven onder de Melkweg: het sterrenstelsel waarnaar zij luistert, hangend boven haar. De radioastronomie vond de kosmische achtergrondstraling — het gesis van $2.7\,\mathrm{K}$ dat het begin bleek te zijn.

De Krabnevel (NASA, ESA, J. Hester en A. Loll, publiek domein): het wrak van de supernova van 1054, nog altijd uitdijend, met de vuurtoren op millisecondentempo van een neutronenster in het hart — het weekendvraagstuk, negen eeuwen later gefotografeerd.

27.6 Vraagstuk: De nacht dat de ster stierf

Probleem 27.1

De nacht dat de ster stierf. Op 23 februari 1987 werd een blauwe superreus in de Grote Magelhaense Wolk — $d \approx 50\,\mathrm{kpc} \approx 1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ — SN 1987A, de dichtstbijzijnde supernova in vier eeuwen. Uren voordat enige telescoop haar zag opklaren, telden drie ondergrondse detectoren twee dozijn neutrino’s. Jij reconstrueert die nacht vanaf de grondbeginselen.

Deel I — De ster die er was.

De voorloper woog ${\sim}20\,M_\odot$ . Schat met de schaling van Oefening 27.4 haar levensduur en vergelijk die met die van de Zon.
Op haar laatste dag was de ster een ui: schillen H, He, C, O en Si rond een ijzeren kern. Waarom vergt elke volgende brandstof een hetere kern?
Waarom stopt de reeks blijvend bij ijzer? (Propositie 25.2.)
De inerte ijzeren kern groeit naar $1.4\,M_\odot$ . Wat is er bijzonder aan dat getal, en welke druk faalt daar?
Siliciumverbranding houdt de ster ongeveer een dag in stand: wat zegt dat over hoe de klok van een ster naar het einde toe versnelt?
Hoe lang duurt de vrije val ruwweg, zodra de druksteun wegvalt, voor een kern met dichtheid $\sim10^{12}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ( $t \sim 1/\sqrt{G\rho}$ )?

Deel II — De neutrinoflits.

De kern ( $M \approx 1.4\,M_\odot = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) stort in tot $R \approx 12\,\mathrm{km}$ : bereken de vrijgekomen gravitatie-energie, $E \sim GM^2/R$ .
Vergelijk met het licht van een miljard zonnen die een maand schijnen ( $L \sim 10^{9}L_\odot$ gedurende $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ ): toon aan dat de fotonen een afrondingsfout zijn — waar gaat de 99 % heen, en waarom kunnen alleen neutrino’s een instortende kern meteen verlaten?
Spreid $E \approx 3 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ uit over een bol met straal $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ : bereken de energiefluentie bij de aarde.
Bereken met $\sim15\,\mathrm{MeV}$ per neutrino de aantalfluentie (neutrino’s per $\mathrm{m}^{2}$ ).
Een detector bevat $2000\,\mathrm{t}$ water: ${\sim}1.5\times10^{32}$ vrije protonen. Schat met een wisselwerkingskans per proton van $\sigma \approx 1 \times 10^{-46}\,\mathrm{m}^{2}$ per antineutrino (gegeven) het verwachte aantal tellingen — en vergelijk dat met de elf die één detector noteerde.
De neutrino’s waren het licht uren voor. Verklaar beide klokken: wat vertraagt de fotonen (waar wordt het opklaren eigenlijk geboren?), en wat zegt de bijna-gelijktijdigheid over de massa en de snelheid van het neutrino?
Vijfentwintig getelde neutrino’s: noem in telkens één zin twee dingen die zij over de supernovatheorie bevestigden.

Deel III — Wat er over is.

Bereken de gemiddelde dichtheid van het overblijfsel van $12\,\mathrm{km}$ en $1.4\,M_\odot$ en vergelijk die met de kerndichtheid van Definitie 25.1.
De kern van de voorloper draaide eens per 30 dagen rond bij $R \sim 10^{5}\,\mathrm{km}$ : schat de omwentelingstijd van het overblijfsel.
Zijn magneetveld, fluxbevroren, wordt versterkt met $(R_0/R)^2$ : bereken uit $10^{-2}\,\mathrm{T}$ het oppervlakteveld.
Verklaar de vuurtoren: wat draait rond, wat straalt in bundels, en waarom flitst de krabpulsar (geboren in 1054, opgetekend als een “gastster” bij daglicht) nog altijd dertig keer per seconde?
Als het overblijfsel de ${\sim}3\,M_\odot$ had overschreden: bereken $R_{\text{s}}$ voor $3\,M_\odot$ en geef zijn lot.
Pulsartiming is stabiel tot op $10^{-15}$ : noem één fysische toepassing van een klok die zo goed is en aan de hemel draait.

Deel IV — Wat het betekent.

De zuurstof die u inademt en het ijzer in uw bloed: schets in twee zinnen de biografie van elk atoom, van oerknalwaterstof tot uw bloedbaan.
Supernova’s van type Ia (witte dwergen die voorbij $M_{\text{Ch}}$ zijn geduwd) ontploffen allemaal bij dezelfde massa en dus met vrijwel dezelfde helderheid. Leg uit waarom dat ze standaardkaarsen maakt, en hoe het diagram van Definitie 27.5 eruit wordt opgebouwd.
In 1998 kwamen verre Ia-supernova’s flauwer uit dan de rechte lijn van Hubble voorspelt: formuleer de conclusie die de Nobelprijs van 2011 opleverde.
Schat hoe ver het licht van SN 1987A had gereisd toen het aankwam, in jaren — en merk op wat er op de aarde gebeurde toen het vertrok.
De neutrino’s uit de GMW gingen ook door u heen (door iedereen die die dag leefde). Hoeveel staken er ruwweg elk mens ( ${\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}$ ) over? Heeft iemand het gevoeld (Oefening 26.10)?
Sluit het grootboek van het boek in vier regels: een ster die tien miljoen jaar door tunneling in evenwicht werd gehouden; een ineenstorting die in neutrino’s werd uitbetaald; een lijk dat door Pauli overeind wordt gehouden; en het puin — de lezer inbegrepen — dat nog altijd op de uitdijing van Hubble meerijdt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 27.1.

1. $t \sim 10\,\text{Gyr}\times20^{-2.5} \approx 6\,\mathrm{Myr}$ : de Zon zal tweeduizend van zulke levens leven. 2. Zwaardere kernen dragen meer lading: hogere coulombbarrières vergen hetere kernen om de tunnelkansen (Oefening 25.8) bij te laten blijven. 3. IJzer zit boven op de $B/A$ -kromme: het fuseren ervan kost energie — de brandstofladder van de oven eindigt op as. 4. De chandrasekharmassa: het meeste dat de elektronenontaardingsdruk kan dragen; de kern is een witte dwerg die binnen een levende ster is gegroeid, en bij $1.4\,M_\odot$ faalt haar steun. 5. Waterstof: megajaren; helium: honderden millennia; silicium: een dag — elke fase betaalt minder per kilogram terwijl de ster, steeds heter, steeds sneller uitgeeft (grotendeels aan neutrino’s): de klok gaat logaritmisch op hol. 6. $t \sim 1/\sqrt{G\rho} = 1/\sqrt{6.7\times10^{-11}\times10^{12}} \approx 0.1\,\mathrm{s}$ : de kern valt in een tiende seconde onder de ster vandaan. 7. $E \sim GM^2/R \approx 4 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ . 8. De fotonenshow is $10^9\times3.8\times10^{26} \times2.6\times10^{6} \approx 10^{42}\,\mathrm{J}$ — één deel op tien duizend. De rest vertrekt als neutrino’s: instortende kernmaterie is voor al het andere ondoorzichtig, maar (Hoofdstuk 26) vrijwel doorzichtig voor de eigen deeltjes van de zwakke kracht, die de energie in seconden wegtappen. 9. $E/4\pi d^2 = 4\times10^{46}/2.8\times10^{43} \approx 1.4 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ . 10. Bij $15\,\mathrm{MeV} = 2.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}$ per stuk: ${\sim}6\times10^{14}$ neutrino’s per vierkante meter — door elke vierkante meter van de aarde. 11. $6\times10^{14}\times10^{-46}\times1.5\times 10^{32} \approx 9$ : de detector noteerde er elf — een voltreffer op een ordegrootte na, voor een ster die 160 000 jaar geleden stierf. 12. De neutrino’s verlaten de kern bij de ineenstorting; het licht wordt pas geboren wanneer de schok uren later door de mantel van de ster breekt. Dat beide na 160 millennia onderweg dezelfde nacht aankwamen, begrenst het neutrino tot op delen in $10^{9}$ op de lichtsnelheid — en zijn massa tot vrijwel niets. 13. De energiebegroting ( $\sim10^{46}\,\mathrm{J}$ , 99 % in neutrino’s) en de duur van de uitbarsting van ${\sim}10$ seconden — beide kwamen overeen met de instortende kern van de theorie, waarmee het supernovamechanisme van het schoolbord naar de waarneming werd bevorderd. 14. $\bar\rho = 2.8\times10^{30}/(\tfrac43\pi (1.2\times10^4)^3) \approx 4 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : kerndichtheid — de theelepel van Definitie 25.1, nu zo groot als een stad. 15. Opdraaien met $(10^8/1.2\times10^4)^2 \approx 7\times10^{7}$ : 30 dagen $\to$ ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ . 16. $B \approx 10^{-2}\times7\times10^{7} \approx 7 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — honderd miljoen teslameter flux, behouden tot in een postzegel. 17. De magnetische as, scheef op de draaias, straalt radiogolven langs haar polen; de bundel strijkt als een vuurtoren over de hemel. Het overblijfsel van de Krab — de gastster van 1054 — draait nog altijd dertig keer per seconde, met een millennium van afremmen dat amper begonnen is. 18. $R_{\text{s}} = 3\times3\,\mathrm{km} \approx 9\,\mathrm{km}$ — van de orde van de ster zelf: met geen druk meer over om tegenin te gaan, gaat de ineenstorting door de horizon heen en is het overblijfsel een zwart gat. 19. Rijen van zulke klokken zijn zwaartekrachtgolfdetectoren met een opening ter grootte van het Melkwegstelsel (en de beste laboratoria van de relativiteitstheorie: de banen van dubbelpulsars vervallen precies zoals de zwaartekrachtstraling voorspelt). 20. Zijn zuurstof werd in de schil van een massieve ster gefuseerd en door een supernova naar buiten geslingerd; het ijzer werd in het explosieve einde zelf gesmeed; beide dreven door de interstellaire wolken, voegden zich bij de zonnenevel, de aarde, de zee, de voedselketen — en de lezer. De waterstof uit de oerknal is echter altijd al van u geweest. 21. Dezelfde ontploffingsmassa $\to$ dezelfde intrinsieke helderheid $\to$ de schijnbare helderheid leest de afstand af: een kaars met bekend vermogen die over miljarden lichtjaren zichtbaar is — de meetlat die het verre einde van het hubblediagram tekent. 22. De uitdijing versnelt: een of andere “donkere energie” duwt het heelal uiteen — de Nobelprijs van 2011, en de grootste openstaande rekening van de fysica. 23. $50\,\mathrm{kpc} \approx 163000$ lichtjaar: het licht vertrok toen Homo sapiens net Afrika verliet. 24. $6\times10^{14}\times0.03 \approx 2\times10^{13}$ door elk levend mens — en volgens de kansen van Oefening 26.10 had nog geen mens op een miljoen er ook maar één wisselwerking mee: de flits die een sterrenstelsel overstraalde ging ongevoeld door de mensheid heen. 25. Een ster die tien miljoen jaar op tunnelende protonen in evenwicht bleef; een ineenstorting van een tiende seconde die $10^{46}$ joule aan neutrino’s uitbetaalde; het principe van Pauli dat het lijk op kerndichtheid houdt; en het verstrooide puin — zuurstof, ijzer, lezer — dat nog altijd op de uitdijing van Hubble meerijdt, in een heelal waarvan de babyfoto een planckkromme is. De fysica, voorlopig compleet: het deel is gesloten.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst