26Deeltjesfysica

Oplossing van Oefening 26.1.

(a) uud: $\tfrac23 + \tfrac23 - \tfrac13 = +1$; udd: $\tfrac23 - \tfrac13 - \tfrac13 = 0$. (b) $\tfrac23 + \tfrac13 = +1$ (de antidown draagt $+\tfrac13$). (c) $\pi^- = \bar{\text{u}}\text{d}$; $\Delta^{++} =$ uuu ($3\times\tfrac23 = +2$ — de toestand waarvan de statistiek mede de uitvinding van kleur afdwong). (d) Het uitgerekte gluonveld slaat energie op $\propto$ lengte; lang voordat een quark vrij is, overstijgt de opgeslagen energie $2m_{\text{q}}c^2$ en knapt het touwtje tot een vers paar: u trekt er een meson uit, nooit een kaal quark.

Oplossing van Oefening 26.2.

(a) Leptonen: e$^-$, $\nu_\mu$, $\mu^-$; baryonen: p, n; meson: $\pi^+$. (b) Alleen de hadronen: $\pi^+$, p, n. (c) Alleen stabiel: e$^-$, p en de neutrino’s (het vrije neutron leeft vijftien minuten; $\mu$ en $\pi$ sterven in microseconden en minder). (d) De neutrale: $\nu_\mu$ en n.

Oplossing van Oefening 26.3.

(a) Toegestaan — gewoon $\beta^-$-verval (het vrije neutron doet het, $T_{1/2} \approx 10\,\mathrm{min}$). (b) Verboden door de energie: de producten wegen meer dan het vrije proton (in een kern kan de bindingsenergie betalen, en gebonden $\beta^+$-verval komt voor). (c) Verboden: het baryongetal gaat van $1 \to 0$ (en het leptongetal van $0 \to -1$). (d) Verboden door het leptongetal per familie: muonheid zou verdwijnen en elektronheid verschijnen — nooit waargenomen, en juist daarom opgejaagd.

Oplossing van Oefening 26.4.

(a) $6\times0.938 \approx 5.6\,\mathrm{GeV}$. (b) Een kinetische energie $m_{\text{p}}c^2 \approx 0.94\,\mathrm{GeV}$ per bundel ($\sqrt s = 4m_{\text{p}}c^2$ frontaal). (c) Ongeveer $3:1$: impulsbehoud veroordeelt het meeste van de energie op een vast trefplaatje tot nutteloze voorwaartse beweging van het puin — frontale bundels besteden alles. (d) De machine van 1955 was ontworpen om net boven de drempel van $5.6\,\mathrm{GeV}$ te komen: versnellerbegrotingen worden in invariante massa geschreven, en het antiproton kwam op tijd.

Oplossing van Oefening 26.5.

(a) $c\tau = 660\,\mathrm{m}$. (b) Een opgerekt bereik van ${\sim}15\,\mathrm{km}$ vergt $\gamma \sim 23$: $E = \gamma m_\mu c^2 \sim 2.4\,\mathrm{GeV}$ — precies de kosmische schaal. (c) In zijn eigen stelsel leeft het muon zijn gewone $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ terwijl de atmosfeer voorbijraast, samengetrokken tot ${\sim}650\,\mathrm{m}$: hetzelfde overleven, een ander grootboek. (d) Het baryongetal: er is geen baryon licht genoeg, en het muon is een lepton; zijn verval moet van smaak veranderen, en dat doet alleen de zwakke kracht — vandaar statige microseconden in plaats van yoctoseconden van de sterke kracht.

Oplossing van Oefening 26.6.

(a) $\text{d} \to \text{u} + \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}}$: lading $-\tfrac13 = \tfrac23 - 1 + 0$; baryongetal $\tfrac13 = \tfrac13$; elektronfamiliegetal $0 = 1 - 1$. (b) Een tweelichamenverval legt de energie van het elektron vast; het waargenomen continuüm betekende dat óf het energiebehoud faalde (Bohr overwoog het) óf een derde, onzichtbaar lichaam het budget deelde — Pauli’s neutrino, vijfentwintig jaar later gedetecteerd. (c) $\hbar/m_{\text{W}}c = 197/80400 \approx 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{fm}$ — een duizendste van een proton. (d) Bij lage energie moet de wisselwerking een gat overbruggen dat haar zware mediator absurd kort maakt, dus zijn de amplitudes piepklein; rond $100\,\mathrm{GeV}$ is de W betaalbaar en toont de “zwakke” kracht haar ware elektrozwakke sterkte.

Oplossing van Oefening 26.7.

(a) De sterke kracht behoudt strangeness, dus kan zij $+1$ en $-1$ alleen samen maken: een kaon met zijn hyperon. (b) Dertien ordegrootten te traag voor de sterke kracht: de zwakke kracht, de enige breker van smaak, tekent de overlijdensakte. (c) $10^{13}$: één seconde tegenover driehonderdduizend jaar. (d) De overvloedige geboorte zei “sterk”; de aarzelende dood zei “niet sterk” — alleen een nieuw behouden getal, door de sterke kracht in paren gemaakt en door de zwakke gebroken, verzoent de twee: de boekhouding was de ontdekking.

Oplossing van Oefening 26.8.

(a) In het ruststelsel van het paar is de totale impuls nul: één foton kan nooit impuls nul hebben, twee rug aan rug wel — het behoud schrijft de meetkunde van PET. (b) $E = mc^2 = 0.002\times(3\times10^8)^2 = 1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$: twee gram annihilatie overtreft een gespleten kilogram uranium. (c) Uit $\beta^+$-isotopen uit een cyclotron — $^{18}$F, ingebouwd in glucose: de eigen chemie van het lichaam plaatst de positronbron in de hongerigste cellen. (d) Een brandstof die een miljoen keer haar opbrengst kost, zonder natuurlijke mijnen: antimaterie is een detectorijking en een motor voor verhalenvertellers, geen energiebron.

Oplossing van Oefening 26.9.

(a) De higgspotentiaal is een dubbele put (een Mexicaanse hoed): het symmetrische punt $\phi = 0$ is een top, en het vacuüm is de rand in gerold — de grondtoestand van het heelal brak zijn eigen symmetrie, precies als de magneet die het noorden kiest. (b) De keuze breekt maar een deel van de symmetrie: de combinatie die overleeft is het elektromagnetisme, zodat zijn drager — het foton — massa nul houdt, terwijl W en Z, dragers van de gebroken richtingen, de bijbehorende stijfheid als massa opeten. (c) De radiale trilling van de ordeparameter — in de magneet de fluctuatie van $|m|$ rond zijn evenwichtswaarde vlak bij $T_{\text{c}}$. (d) In de eerste $10^{-11}$ seconde van het heelal (Hoofdstuk 27): boven de elektrozwakke temperatuur was elk deeltje massaloos en waren de twee krachten één.

Oplossing van Oefening 26.10.

(a) Elke $26.7\,\mathrm{MeV}$ $= 4.28 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}$ levert twee neutrino’s: flux $= 2\times1360/4.28\times10^{-12} \approx 6.4 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Door een duimnagel: $6\times10^{10}$ per seconde. Passages in een mensenleven door uw lichaam van ${\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}$ en $0.3\,\mathrm{m}$ dik gedurende ${\sim}2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$: ongeveer $5\times10^{22}$, maal $10^{-22}\,\mathrm{m}^{-1}\times0.3\,\mathrm{m}$: van de orde één — één zonneneutrino zal u in uw hele leven aanraken. (c) De ontbrekende $\nu_{\text{e}}$ waren onderweg naar $\nu_\mu$ en $\nu_\tau$ geoscilleerd; oscillatie vergt massaverschillen, dus hebben neutrino’s massa — de eerste laboratoriumbarst in het standaardmodel met massaloze neutrino’s. (d) De berg filtert al het andere weg: alleen neutrino’s komen erdoor, zodat kilometers rots van de luidruchtigste hemel het stilste laboratorium maken.

Oplossing van Oefening 26.11.

(a) $\gamma = 6.8\times10^{12}/9.38\times10^{8} \approx 7250$: $1 - v/c \approx 1/2\gamma^2 \approx 10^{-8}$ — drie meter per seconde onder het licht. (b) $\lambda \approx hc/E \approx 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{fm}$: een dertigduizendste van een protonstraal — quarkgebied. (c) $13.6\,\text{TeV}/938\,\text{MeV} \approx 14500$ protonmassa’s — als alles omzetbaar was. (d) Bij vaste energie is $\gamma_{\text{e}}/\gamma_{\text{p}} = m_{\text{p}}/m_{\text{e}} \approx 1836$, dus zijn de elektronverliezen $1836^4 \sim 10^{13}$ maal erger: protonen voor ringen met brute kracht, elektronen (schoon, puntvormig) voor precisie bij lagere energie.

Oplossing van Oefening 26.12.

(a) $3\times10^{20}\times1.6\times10^{-19} \approx 48\,\mathrm{J}$: een hard geserveerde tennisbal — in één proton. (b) $\gamma \approx 3\times10^{11}$; de $10^{5}$ lichtjaar van het Melkwegstelsel krimpen tot ${\sim}10$ lichtseconden: het steekt de Melkweg volgens zijn eigen klok in seconden over. (c) In het stelsel van het proton komen de zachtmoedige microgolven van de CMB blauwverschoven aan als $\gamma$-stralen die energiek genoeg zijn om er pionen af te slaan: boven de drempel is het heelal zelf een absorbeerder, en zulke protonen moeten van dichtbij komen. (d) Eén zo’n deeltje per vierkante kilometer per eeuw, van onbekende soort, door niemand gericht: de $10^{9}$ botsingen per seconde van de LHC, met bekende bundels bij bekende energie, kopen statistiek en beheersing die geen kosmisch geschenk kan evenaren.