Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

20Fotonen en fononen

De kwantumtheorie is uit het onderwerp van dit hoofdstuk geboren. In 1900 weigerde het spectrum van gloeiende lichamen de klassieke natuurkunde te gehoorzamen — erger nog, de klassieke natuurkunde voorspelde oneindige energie bij korte golflengten, de “ultravioletcatastrofe” — en de wanhoopsremedie van Planck, energie in pakjes $h\nu$ , bleek de hoofdsleutel van de eeuw. Nu het gereedschap klaarligt — het tellen van modi uit Hoofdstuk 7, de oscillatorthermodynamica uit Hoofdstuk 17 — kost de wet van Planck een halve bladzijde: een gas van fotonen, één bosonisch bezette oscillator per modus van de holte. Dezelfde halve bladzijde, met geluid in plaats van licht, is de theorie van Debye voor vaste stoffen en de warmtecapaciteit $T^3$ die het model van Einstein miste. En elke kubieke centimeter van het heelal is gevuld met het meesterwerk van dit onderwerp: de kosmische achtergrondstraling van 2,725 kelvin, het volmaaktste zwarte lichaam dat ooit is gemeten — de warmtestraling van het jonge heelal zelf, die nog steeds aankomt.

20.1 De wet van Planck, afgeleid

Stelling 20.1 (Het spectrum van het zwarte lichaam)

Een holte op temperatuur $T$ draagt elektromagnetische modi — staande golven, precies geteld als in Propositie 7.5, tweemaal voor de polarisatie:

g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu .

Elke modus is een kwantumoscillator die in evenwicht $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ fotonen bevat (Oefening 17.5; gelijkwaardig: bosonen bij $\mu = 0$ ). De energie per volume en per frequentie is daarom

u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\, \frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} :

de wet van Planck (1900). Haar gevolgen, alle zoals gemeten: de piek bij $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (de verschuivingswet van Wien uit het volume van jaar 2, nu afgeleid); de totale flux van een zwart oppervlak $\Phi = \sigma T^4$ met

\sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}

(Stefan–Boltzmann, met haar constante nu uit $h$ , $c$ en $k_{\text{B}}$ opgebouwd); en de fotondichtheid $n_\gamma \approx 2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ per kubieke meter.

Gedeeltelijk bewijs. Vermenigvuldig de modustelling met $h\nu\,\bar n$ . De integraal voor de totale energie geeft, met $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ en $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (aangenomen), $u_{\text{tot}} = aT^4$ en, met de standaard fluxfactor $c/4$ , de aangegeven $\sigma$ . De wet van Wien is de maximalisatie van Oefening 20.1. Bij lage frequentie ( $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ ) draagt elke modus $k_{\text{B}}T$ — Rayleigh–Jeans, juist voor de radioband en catastrofaal als men haar tot alle $\nu$ uitbreidt: de afsnijding van Planck is de vergunning van de equipartitie (Stelling 17.5) die modus voor modus wordt ingetrokken. ∎

Planckspectra bij drie temperaturen (elk tot een vergelijkbare hoogte geschaald: de ware oppervlakten groeien als T4). De klassieke rechte van Rayleigh en Jeans volgt de flank bij lage frequentie en schiet dan naar de ultravioletcatastrofe omhoog; de tol h van Planck sluit de modi bij hoge frequentie en buigt de kromme omlaag. — Planckspectra bij drie temperaturen (elk tot een vergelijkbare hoogte geschaald: de ware oppervlakten groeien als $T^4$ ). De klassieke rechte van Rayleigh en Jeans volgt de flank bij lage frequentie en schiet dan naar de ultravioletcatastrofe omhoog; de tol $h\nu$ van Planck sluit de modi bij hoge frequentie en buigt de kromme omlaag.

Voorbeeld 20.2 (Drie thermometers)

De zon ( $T = 5800\,\mathrm{K}$ ): een piek bij $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ — onze ogen zijn op haar maximum geëvolueerd. Een lichaam bij $310\,\mathrm{K}$ : een piek nabij $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dat vanaf elke vierkante meter huid $\sigma T^4 \approx 520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ uitstraalt (gelukkig straalt de kamer terug; Oefening 20.2). Het heelal ( $T = 2.725\,\mathrm{K}$ ): een piek nabij $1.9\,\mathrm{mm}$ , in frequentievorm $160\,\mathrm{GHz}$ , met $411$ fotonen per kubieke centimeter — de kosmische achtergrondstraling, het grote voorbeeld van dit hoofdstuk (Probleem 20.1).

Propositie 20.3 (Thermodynamica van het licht)

Het fotonengas heeft energiedichtheid $u = aT^4$ (met $a = 4\sigma/c$ ), druk

P = \frac u3 ,

entropiedichtheid $\tfrac43 aT^3$ en fotonaantal $\propto T^3$ . Gevolgen: een adiabatisch uitzettende doos vol straling koelt af als $T \propto 1/L$ — de fotonen van het uitdijende heelal koelden van $3000$ K tot de huidige $2.725$ K door een rekfactor $\approx1100$ terwijl zij een volmaakt planckspectrum behielden; en in zware sterren laat de groei als $T^4$ de stralingsdruk met de gasdruk wedijveren, wat een bovengrens aan de massa van sterren stelt (Hoofdstuk 27).

Gedeeltelijk bewijs. $P = u/3$ : een isotroop gas van deeltjes met snelheid $c$ levert een derde van zijn energiedichtheid als druk (de factor $\langle \cos^2\theta\rangle = 1/3$ , als in de kinetische gastheorie van het volume van jaar 1). De entropie volgt uit $\dd U = T\dd S - P\dd V$ toegepast op $U = aT^4V$ . Adiabatisch: constante $S \propto T^3V$ geeft $T \propto V^{-1/3}$ . ∎

20.2 Fononen: de voltooiing door Debye

Stelling 20.4 (Het model van Debye)

De trillingen van een kristal zijn elastische golven die precies als licht zijn gekwantiseerd: fononen, met drie polarisaties bij geluidssnelheid $c_{\text{s}}$ , geteld als fotonen maar met een totaal dat op $3N$ modi is begrensd — die begrenzing definieert de debyetemperatuur

k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}} (6\pi^2n)^{1/3} .

De warmtecapaciteit interpoleert tussen de twee klassieke wetten:

C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}}) \qquad\text{(Dulong--Petit)} , \qquad C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}} \Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3 \;(T \ll \theta_{\text{D}}) :

de wet $T^3$ die de calorimetrie bij lage temperatuur eiste en die de ene frequentie van Einstein niet kon geven (Oefening 17.6). De reden is dezelfde als bij het licht: hoe koud het kristal ook is, er bestaan willekeurig goedkope geluidsquanta met lange golflengte, en hun fotonachtige telling geeft de fotonachtige $T^3$ .

Gedeeltelijk bewijs. Herhaal de fotonberekening met $c \to c_{\text{s}}$ , drie polarisaties en het modustotaal $\int g\,\dd\nu = 3N$ dat de afsnijding vastlegt. Bij $T \ll \theta_{\text{D}}$ is de afsnijding onzichtbaar en geeft de energie-integraal in $T^4$ dat $C \propto T^3$ ; bij hoge $T$ draagt elk van de $3N$ modi $k_{\text{B}}T$ . De volledige interpolatie-integraal wordt aangenomen. ∎

De warmtecapaciteit van een kristal: beide modellen halen Dulong–Petit, maar bij lage temperatuur sterft de kromme van Einstein met haar ene frequentie exponentieel weg, terwijl de goedkope langgolvige fononen van Debye de gemeten T3 in stand houden — het gebied van lage T is zuivere “fotonfysica” met geluid. — De warmtecapaciteit van een kristal: beide modellen halen Dulong–Petit, maar bij lage temperatuur sterft de kromme van Einstein met haar ene frequentie exponentieel weg, terwijl de goedkope langgolvige fononen van Debye de gemeten $T^3$ in stand houden — het gebied van lage $T$ is zuivere “fotonfysica” met geluid.

Voorbeeld 20.5 (Fononen zijn echte deeltjes)

Fononen verstrooien neutronen en röntgenstraling met behoud van energie en (kristal)impuls — de gemeten dispersiekrommen $\omega(\vect k)$ van Hoofdstuk 23 zijn hun spectroscopie. Zij dragen warmte: de warmtegeleiding van een isolator is de $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$ van een fononengas, en diamant — stijf, licht, zuiver — geleidt bij kamertemperatuur vijfmaal beter dan koper, uitsluitend met fononen (Oefening 20.12). En zij sterven bij lage temperatuur als $T^3$ uit, en daarom zeggen cryogeningenieurs dat kristallen “akoestisch stil” worden.

Methode 20.6 (Ambacht met stralingsgassen)

(1) Tel de modi ( $\propto\nu^2$ per polarisatie in 3D); bezet ze met $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$ ; integreer — verwacht energieën in $T^4$ en aantallen en capaciteiten in $T^3$ . (2) Pieken via Wien; totalen via Stefan; per modus de klassieke $k_{\text{B}}T$ alleen onder $h\nu \sim k_{\text{B}}T$ . (3) Begrens voor vaste stoffen de modi op $3N$ ( $\theta_{\text{D}}$ ); de vorm van Einstein voor optische takken, die van Debye voor akoestische. (4) Adiabatische straling: $T \propto V^{-1/3}$ . (5) Toets de twee constanten van het vak: $\lambda_{ \max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ en $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$ .

Een huis door een warmtebeeldcamera: elk oppervlak straalt zijn planckspectrum uit, en de camera leest de temperatuur zo van het infrarood af — Stefan, Boltzmann en Wien die de stookrekening controleren.

20.3 Opgaven

Oefening 20.1 ★

(a) Toon uit de wet van Planck in golflengtevorm aan dat de piek voldoet aan $\lambda_{\max}T =$ const (de transcendente vergelijking mag worden aangehaald: $x = 4.965$ ). (b) Bereken de piekgolflengten voor de zon, een gloeidraad van $2700\,\mathrm{K}$ , een lichaam van $310\,\mathrm{K}$ en de hemel van $2.725\,\mathrm{K}$ . (c) Welke van de vier bemonstert het menselijk oog goed, en welk deel van de uitvoer van een gloeidraad is zichtbaar (schat: klein)? (d) Waarom zijn “infraroodcamera’s” het juiste gereedschap voor mensen en gebouwen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

(a) Uit $\dd u/\dd\lambda = 0$ volgt $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$ , $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$ : $\lambda_{\max}T = hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (b) $0.50$ , $1.07$ , $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ en $1.06\,\mathrm{mm}$ . (c) Alleen die van de Zon; een gloeidraad piekt in het nabije infrarood en levert maar een paar procent van zijn vermogen als licht — de inefficiëntie die hem uit de handel nam. (d) Mensen en gebouwen “stralen” bij tien micrometer: warmtebeeldcamera’s zijn camera’s voor de tweede piek.

Oefening 20.2 ★

Stralingsbalansen. (a) Een persoon ( $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , huid $306\,\mathrm{K}$ ) in een kamer van $293\,\mathrm{K}$ : het netto uitgestraalde vermogen $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$ . (b) Vergelijk met de $100\,\mathrm{W}$ stofwisseling van het lichaam: waarom verdragen wij dat (kleding, en de kamer die terugstraalt)? (c) De aarde absorbeert zonlicht over $\pi R^2$ en straalt over $4\pi R^2$ uit: leid $T_{\text{eff}} = [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ af met $\Phi_\odot = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en albedo $A = 0.30$ , en reken haar uit. (d) Het gemeten oppervlaktegemiddelde is $288\,\mathrm{K}$ : noem het mechanisme achter het verschil van $33\,\mathrm{K}$ (Probleem 9.1).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

(a) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$ . (b) De retourflux van de kamer zit al in het verschil verwerkt; kleding schuift warme tussenoppervlakken in — straling is een grootboek met twee zijden. (c) $T_{\text{eff}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} = 255\,\mathrm{K}$ . (d) De bonus van $33\,\mathrm{K}$ is het broeikaseffect: de infrarode deken van Probleem 9.1, gekwantificeerd in Oefening 20.9.

Oefening 20.3 ★

Fotonen tellen. (a) Met $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ per kubieke meter: de fotondichtheid van de achtergrond van $2.725\,\mathrm{K}$ . (b) Zonlicht op aarde: bereken uit $\Phi_\odot$ en een gemiddelde fotonenergie $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$ de fotonflux per vierkante meter per seconde. (c) Een gloeilamp van $60\,\mathrm{W}$ (5% zichtbaar): zichtbare fotonen per seconde. (d) Waarom is “fotonen tellen” voor astronomen routine maar voor kachels absurd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

(a) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} = 411$ per cm $^3$ . (b) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 6 \times 10^{21}$ fotonen per vierkante meter per seconde. (c) $3\,\mathrm{W}/ 3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ per seconde. (d) Astronomische signalen komen foton voor foton binnen — tempo’s die een teller kan onderscheiden; de $10^{22}$ per seconde van een kachel zijn voor elke detector een continuüm.

Oefening 20.4 ★

De catastrofe en haar staart. (a) Toon aan dat de klassieke equipartitie ( $k_{\text{B}}T$ per modus) $u(\nu) = 8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$ geeft, divergent bij integratie. (b) Waar herleidt de wet van Planck zich daartoe? (c) Radioastronomen meten de CMB bij $1.4\,\mathrm{GHz}$ : ga daar $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ na en rechtvaardig hun gewoonte om intensiteiten als “antennetemperatuur” in kelvin op te geven. (d) Reken bij de piek van de CMB op $160\,\mathrm{GHz}$ de waarde $h\nu/k_{\text{B}}T$ uit: is de piek klassiek?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

(a) $k_{\text{B}}T$ per mode maal het aantal moden $\nu^2$ : geïntegreerd oneindig — de catastrofe. (b) Voor $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ . (c) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$ : diep in de klassieke staart, waar de intensiteit $\propto T$ is — vandaar de “helderheidstemperatuur” in kelvin. (d) $2.8$ : bij de piek werkt Plancks kwantumkorting op volle kracht.

Oefening 20.5 ★★

Stralingsdruk. (a) Leid $P = u/3$ uit de isotropie af (of neem de kinetische factor aan) en reken de druk van het zonlicht in de baan van de aarde uit; vergelijk met de luchtdruk. (b) In de zon ( $T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ ): bereken $P_{\text{rad}} = aT^4/3$ en vergelijk met de gasdruk $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$ . (c) De stralingsdruk groeit als $T^4$ en de gasdruk als $T$ : toon aan waarom voldoende zware (en dus hetere) sterren door straling worden overheerst en onstabiel worden — het plafond van Eddington nabij $\sim100\,M_\odot$ . (d) Lasers: welke kracht levert een bundel van $1\,\mathrm{kW}$ die gefocust duwt? Waarom blijven “trekstralen” in de film terwijl optische pincetten (gradiënten, piconewton) echt gereedschap zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

(a) Voor de gerichte zonnebundel is $P \approx \Phi/c = 4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : elf ordegrootten onder de atmosfeer — zeilen werken alleen doordat de ruimte al het andere aftrekt. (b) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$ : minder dan één duizendste van de gasdruk — de Zon wordt door gas gedragen. (c) $P_{\text{rad}}/P_{\text{gas}} \propto T^3/n$ : zwaardere sterren branden heter, en de $T^4$ -vloed gaat uiteindelijk wedijveren met de greep van de zwaartekracht op het gas — lichtsterke instabiliteit begrenst sterren rond $\sim100\,M_\odot$ . (d) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ : trekstralen blijven fictie; pincetten gebruiken veldgradiënten op microscopische objecten, waar piconewtons regeren (Probleem 16.1).

Oefening 20.6 ★★

De rek van het heelal. De CMB werd bij de recombinatie uitgezonden ( $T \approx 3000\,\mathrm{K}$ , het terrein van Oefening 18.12) en komt aan bij $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) Bepaal uit $T \propto 1/a$ de rekfactor van alle lengten sinds de uitzending. (b) Toon aan dat een planckspectrum onder het uniform uitrekken van elke golflengte planck blijft (wat gebeurt er met $T$ ?). (c) Waar komt de uitgezonden piek (zichtbaar oranje licht!) aan? (d) Waarom is de hemel daardoor donker voor het oog en toch verblindend voor een microgolfontvanger?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

(a) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . (b) De $\lambda$ van elke mode rekt met dezelfde factor: de vorm $\nu^3$ beeldt op zichzelf af met $T \to T/(1+z)$ — een planckkromme laat zich niet ont-plancken door uitdijing. (c) De diepdode piek bij $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$ komt aan bij $1.06\,\mathrm{mm}$ . (d) Dezelfde hemel is leeg bij $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ en verzadigd bij een millimeter: duisternis is een uitspraak over golflengte.

Oefening 20.7 ★★

Debyetemperaturen uit geluid. (a) Reken $\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ uit voor koper ( $c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) en vergelijk met de calorimetrische $343\,\mathrm{K}$ . (b) Diamant: $c_{\text{s}} \approx 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$ : bereken en vergelijk met $\approx2200\,\mathrm{K}$ . (c) Lood: zacht en zwaar — verklaar zijn $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$ in één zin. (d) Formuleer de regel die de stijfheid van een vaste stof, de atoommassa en haar kwantumbevriezingstemperatuur verbindt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

(a) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ tegenover de gefitte $343\,\mathrm{K}$ : de juiste schaal (een net gemiddelde over longitudinale en transversale snelheden dicht het gat). (b) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — kloppend: diamant is het uiterste geval. (c) Een lage geluidssnelheid (zacht) en zware atomen drukken $\theta_{\text{D}}$ allebei omlaag: het rooster van lood is vrijwel meteen klassiek. (d) $\theta_{\text{D}} \propto c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$ -achtig: stijf en licht bevriest laat, zacht en zwaar bevriest vroeg.

Oefening 20.8 ★★

Koper bij één kelvin. (a) Bereken met $C = \gamma T + \beta T^3$ , met $\gamma$ uit Voorbeeld 19.3 en de debyecoëfficiënt van $T^3$ voor $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ , beide termen per mol bij $1\,\mathrm{K}$ . (b) Welke wint, en met hoeveel? (c) Bij welke temperatuur kruisen zij elkaar? (d) Waarom is dit regime het venster van de calorimetrist op de toestandsdichtheid van de elektronen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

(a) Elektronisch: $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ geeft $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; rooster: $1944R\dots$ — de $T^3$ -term van Debye geeft $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . (b) De elektronen, met een ordegrootte verschil. (c) Rond $3\,\mathrm{K}$ (Oefening 19.5). (d) Onder de omslag is het gemeten snijpunt van $C/T$ gelijk aan $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$ : een experiment met een thermometer en een verwarmingselement leest de toestandsdichtheid aan het fermioppervlak af.

Oefening 20.9 ★★

Broeikas met één laag. Laat het oppervlak (temperatuur $T_s$ ) onder één dunne atmosferische laag (temperatuur $T_a$ ) liggen die doorzichtig is voor zonlicht maar ondoorzichtig voor thermisch infrarood. (a) Schrijf de energiebalans voor de laag op (die $\sigma T_s^4$ absorbeert en $2\sigma T_a^4$ uitstraalt) en voor het oppervlak (dat zonlicht $S$ plus $\sigma T_a^4$ absorbeert). (b) Toon aan dat $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{eff}}$ met $\sigma T_{\text{eff}}^4 = S$ . (c) Reken met $T_{\text{eff}} = 255\,\mathrm{K}$ de waarde $T_s$ uit en vergelijk met $288\,\mathrm{K}$ (de echte atmosfeer is een gedeeltelijke deken van vele lagen). (d) Leg het verband met Probleem 9.1: welke moleculaire natuurkunde maakt de laag ondoorzichtig in het infrarood en toch doorzichtig in het zichtbare?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

(a) Laag: absorbeert $\sigma T_s^4$ , straalt $2\sigma T_a^4$ uit (beide zijden): $T_s^4 = 2T_a^4$ . Oppervlak: $S + \sigma T_a^4 = \sigma T_s^4$ . (b) Elimineer $T_a$ : $S = \tfrac12\sigma T_s^4$ , dus $T_s = 2^{1/4}T_{\text{eff}}$ . (c) $1.19 \times 255 = 303\,\mathrm{K}$ — ruim boven de werkelijke $288\,\mathrm{K}$ , omdat de echte deken gedeeltelijk en gelaagd is. (d) De vibratiekwanta van drieatomige sporengassen: doorzichtig bij $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , ondoorzichtig bij $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — het molecuul van Probleem 9.1.

Oefening 20.10 ★★★

De constante van Stefan vanaf nul. (a) Stel $u_{\text{tot}} = \int u(\nu)\dd\nu$ samen met $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ en de gegeven $\pi^4/15$ , en verkrijg $u = aT^4$ met $a = 8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$ . (b) De flux van een zwart oppervlak is $c\,u/4$ (neem het meetkundige kwart aan): vorm $\sigma$ en reken haar numeriek uit uit $h$ , $c$ en $k_{\text{B}}$ . (c) Vergelijk met $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ . (d) Historische omkering: Planck paste zijn wet aan de spectra aan en haalde er in 1900 zowel $h$ als $k_{\text{B}}$ (en dus het getal van Avogadro) uit — zeg waarom de kromme van het zwarte lichaam twee constanten tegelijk vastlegt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

(a) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x = 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$ . (b–c) $\sigma = ac/4 = 2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — uit drie constanten, precies goed. (d) De vorm van de kromme legt $h/k_{\text{B}}$ vast (via $h\nu/k_{\text{B}}T$ ) en haar absolute schaal legt $k_{\text{B}}^4/h^3$ vast: twee vergelijkingen, twee constanten — Planck las $h$ en $N_{\text{A}} = R/k_{\text{B}}$ uit één fit af, jaren voor de korreltjes van Perrin.

Oefening 20.11 ★★★

De A en B van Einstein (1917). Atomen met twee niveaus (energieën $0, h\nu_0$ ; bezettingen $N_1, N_2$ ) bevinden zich in straling met spectrale dichtheid $u(\nu_0)$ . Absorptietempo: $B_{12}uN_1$ ; gestimuleerde emissie: $B_{21}uN_2$ ; spontane: $AN_2$ . (a) Schrijf de evenwichtsbalans op. (b) Eis dat de boltzmannverhouding $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ en de $u$ van Planck voor alle $T$ tegelijk gelden: leid $B_{12} = B_{21}$ af en

\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} .

(c) Duid dit: waarom dwingt het thermische evenwicht de spontane emissie te bestaan, en legt het haar tempo uit dat van de gestimuleerde vast? (d) De $\nu^3$ : breng dit in verband met de levensduren van Oefening 13.8 en met de vraag waarom laseren bij röntgenfrequenties zo moeilijk is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

(a) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$ . (b) Los $u$ op: $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$ ; overeenstemming met Plancks vorm voor alle $T$ dwingt $B_{12} = B_{21}$ en $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$ af. (c) Zonder $A$ is er geen evenwicht mogelijk tegen de wet van Planck in: het evenwicht zelf eist dat aangeslagen atomen ongevraagd vervallen, met een tempo dat aan het gestimuleerde vastzit — Einstein voorspelde spontane emissie uit de thermodynamica, tien jaar voordat de kwantummechanica haar afleidde. (d) $A \propto \nu^3$ : ultraviolette toestanden vervallen in nanoseconden (Oefening 13.8), zodat inversies bij korte golflengten ruïneus duur zijn — het probleem van de röntgenlaser.

Oefening 20.12 ★★★

Diamant, de fononsnelweg. De warmtegeleiding van een isolator is $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ per volume, met $\ell$ de gemiddelde vrije weglengte van de fononen. (a) Voor diamant bij $300\,\mathrm{K}$ ( $C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$ , dus gedeeltelijk bevroren; $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\ell \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): bereken $\kappa$ en vergelijk met de $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ van koper. (b) Waarom is $\ell$ in diamant zo lang (stijf, licht, isotopisch zuiver — wat verstrooit fononen?). (c) Isotopisch gezuiverde diamant verdubbelt $\kappa$ bijna: wat onthult dat over de verstrooiing van fononen aan wanorde in de isotopenmassa? (d) Twee toepassingen: warmtespreiders in de elektronica; en waarom een diamant koud aanvoelt tegen de lip — verklaar de gewaarwording.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

(a) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4} \times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ : vijf keer koper. (b) Stijf en licht betekent snelle fononen; een zuiver, perfect, licht rooster biedt weinig om ze aan te verstrooien — $\ell$ haalt duizenden roosterconstanten. (c) Zelfs het massaverschil van $^{13}$ C-atomen verstrooit fononen meetbaar: isotopenwanorde is een echte weerstand, die met zuivering verdwijnt. (d) Warmtespreiders onder vermogenschips; en de warmte van uw lip stroomt zo snel weg dat een echte diamant verrassend koud aanvoelt — de tastproef van de juwelier is een fononmeting.

De hele hemel in microgolven (NASA/WMAP, publiek domein): de planckstraling van 2.7\, K van de kosmische achtergrond, in kaart gebracht. De vlekkerigheid bedraagt één deel op 105 — de kiemen van sterrenstelsels, op het zwarte lichaam van dit hoofdstuk afgedrukt. — De hele hemel in microgolven (NASA/WMAP, publiek domein): de planckstraling van $2.7\,\mathrm{K}$ van de kosmische achtergrond, in kaart gebracht. De vlekkerigheid bedraagt één deel op $10^5$ — de kiemen van sterrenstelsels, op het zwarte lichaam van dit hoofdstuk afgedrukt.

20.4 Vraagstuk: Het oudste licht

Probleem 20.1

Weekendvraagstuk — de kosmische achtergrondstraling lezen

Richt een willekeurige ontvanger voor millimetergolven op een willekeurig stukje hemel en hij meldt hetzelfde signaal: een planckspectrum bij $T = 2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$ , gladder dan enige oven die de mensheid heeft gebouwd. Het is de flits van de recombinatie van het heelal (Oefening 18.12), elfhonderdvoudig uitgerekt, en zij draagt de volkstelling van de kosmos. Gegevens: $T_0 = 2.725\,\mathrm{K}$ ; $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $u = aT^4$ , $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$ ; de baryondichtheid vandaag $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ ; de kritische dichtheid $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Deel I — Het spectrum.

Bereken de piekgolflengte (Wien) van de CMB en haar fotondichtheid per kubieke centimeter.
Bereken haar energiedichtheid, in $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ en in $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ , en het massa-equivalente aandeel daarvan in de kritische dichtheid.
Het spectrum van COBE (1990) kwam op enkele delen per $10^4$ met Planck overeen — het publiek applaudisseerde voor de grafiek. Waarom is een volmaakt thermisch spectrum uit een lege hemel zo moeilijk anders te verklaren dan met een heet, dicht verleden?
Bij de uitzending vormden dezelfde fotonen een zwart lichaam van $3000\,\mathrm{K}$ : ga de rekfactor $1 + z = T_{\text{toen}}/T_0$ na.
Waarom werd het heelal juist bij die temperatuur doorzichtig (haal op welk evenwicht uit Hoofdstuk 18 werd uitgeschakeld)?
De nachthemel is donker (de paradox van Olbers uit de oude sterrenkunde): in welke precieze zin is zij in werkelijkheid helder — bij welke golflengte en temperatuur?

Deel II — De volkstelling.

Bereken de verhouding van fotonen tot baryonen $\eta^{-1} = n_\gamma/n_{\text{b}}$ .
Dat getal — ongeveer twee miljard fotonen per proton — is een van de fundamentele gegevens van de kosmologie: zeg wat het meet over de asymmetrie tussen materie en antimaterie (denk aan Oefening 18.12: de fotonen zijn grotendeels annihilatieproducten).
Vergelijk de energiedichtheid van de CMB met die van het sterrenlicht ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , over het heelal gemiddeld): welk licht overheerst de kosmos?
De CMB overtreft in fotonen alles wat de sterren ooit hebben uitgestraald: waarom maakt dat het jonge heelal “stralingsgedomineerd”, en wat nam het later over (de schalingen $T^4$ tegen $T^3$ tegenover de $a^{-3}$ van de materie)?
Schat het tijdperk waarin materie en straling gelijk werden: vind met een stralingsdichtheid die als $(1+z)^4$ schaalt en materie als $(1+z)^3$ , en met de huidige verhouding $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ , de waarde $z_{\text{eq}}$ .
Neutrino’s ontkoppelden eerder en koelden iets verder af (zij misten de opwarming door de annihilatie $e^+e^-$ uit Oefening 18.12): de voorspelde $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — reken haar uit, en verbaas u over een voorspelde neutrinozee van $1.95\,\mathrm{K}$ die nog niemand rechtstreeks heeft aangetoond.

Deel III — De anisotropieën.

De CMB is in één richting $3.4\,\mathrm{mK}$ heter en in de tegenovergestelde koeler: duid dat met de dopplerfysica van Hoofdstuk 4 en haal er onze snelheid uit ( $\Delta T/T = v/c$ ).
Na het verwijderen van die dipool blijven rimpels van $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ over (COBE in 1992, daarna WMAP en Planck): wat brengen zij bij $z = 1100$ in kaart?
Die dichtheidskiemen van $10^{-5}$ groeiden uit tot sterrenstelsels: waarom versterkt de zwaartekracht overdichtheden (welke instabiliteit), en waarom moest de groei op de gelijkheid van materie en straling wachten om echt te beginnen?
De sterkste rimpelmaat (ongeveer één graad aan de hemel) is een akoestische golflengte — geluid in het plasma van fotonen en baryonen (het gas van dit hoofdstuk plus de golven van Hoofdstuk 3!): wat legt haar schaal vast (de afstand die het geluid vóór de recombinatie aflegt)?
Die hoek meten tegen de bekende fysische schaal peilt de meetkunde van het heelal: geef het resultaat (vlak, tot op procenten nauwkeurig).
De monopool van $2.7\,\mathrm{K}$ , de dipool van $3\,\mathrm{mK}$ en de rimpels van $10^{-5}$ : rangschik wat elk heeft geleerd (een heet verleden; onze beweging; de kiemen en de meetkunde van alles).

Deel IV — Het erfstuk.

Penzias en Wilson vonden het signaal in 1965 als onverwijderbare antenneruis (nadat zij de duiven hadden verjaagd): waarom was een isotroop, van het seizoen onafhankelijk overschot bij $3\,\mathrm{K}$ niet als een lokale of galactische bron te verklaren?
Ongeveer $1\%$ van de sneeuw op een niet-afgestemde analoge televisie was dit signaal: sta daar in één zin bij stil.
De CMB gaat door clusters sterrenstelsels heen en wordt door hete elektronen licht naar hogere frequentie geschopt (het effect van Sunyaev en Zeldovitsj): waarom maakt dit clusters bij lage frequentie als schaduwen zichtbaar, en wat is de bijzondere verdienste van zo’n schaduw (onafhankelijk van de afstand)?
Het front van vandaag jaagt in de polarisatie van de CMB op de afdruk van oergravitatiegolven: welke hoofdstukken van dit boek zou die ontdekking huwen (de polarisatie van Hoofdstuk 6 en de golven van de zwaartekracht)?
Bereken de flux van CMB-fotonen door uw lichaam ( $n_\gamma c/4$ per eenheid van oppervlak, met een lichaamsdoorsnede van $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ): hoeveel relicten van de oerknal passeren u per seconde?
De CMB zondert één ruststelsel uit (dat waarin de dipool verdwijnt): leg uit waarom dat de relativiteitstheorie niet tegenspreekt — wat voor stelsel wordt door de materie-inhoud bevoorrecht en niet door de wetten?
Vat het genoemde resultaat samen: een planckkromme van $2.725$ kelvin die de hele hemel vult — $411$ fotonen per kubieke centimeter, twee miljard per baryon, met een piek bij $160\,\mathrm{GHz}$ — is het thermische bewijsstuk van het hete begin: de statistische fysica als hoeksteen van de kosmologie.

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$ ; $411$ fotonen per cm $^3$ . 2. $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx 0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ; massa-equivalent $u/c^2 \approx 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : ongeveer $5\times10^{-5}$ van de kritieke waarde. 3. Een thermisch spectrum vereist dat de bron en de straling in evenwicht zijn gekomen — onmogelijk voor welke verzameling sterren, stof of plasma’s ook die langs verschillende zichtlijnen wordt opgeteld; alleen een heelal dat ooit zelf een hete ondoorzichtige holte was, past. 4. $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . 5. Saha’s evenwicht sloeg om naar neutrale atomen: de vrije elektronen verdwenen, de thomsonverstrooiing hield op, en de fotonen vliegen sindsdien onaangeroerd verder. 6. Helder bij millimetergolflengten, bij $2.725\,\mathrm{K}$ : de hemel van Olbers staat in lichterlaaie — de roodverschuiving heeft de gloed uit het zichtbare gehaald. 7. $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ fotonen per baryon. 8. De fotonen zijn de as van de annihilatie van materie en antimaterie; de baryonen zijn het overschot van één op een miljard dat overleefde: $\eta$ meet de oorspronkelijke asymmetrie — nog altijd onverklaard. 9. $4.2 \times 10^{-14}\,$ tegenover $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : het relictlicht overtreft in energiedichtheid alles wat de sterren ooit hebben uitgezonden. 10. Straling verdunt als $a^{-4}$ (aantal $a^{-3}$ , elk foton uitgerekt met $a^{-1}$ ), materie als $a^{-3}$ : vroeg regeerde de straling; de materie nam het over bij de gelijkheid, waarna structuur kon groeien. 11. $1 + z_{\text{eq}} \approx 3400$ . 12. $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 = 1.95\,\mathrm{K}$ : een voorspelde kosmische neutrinoachtergrond, de stoutmoedigste niet-geïnde cheque van de thermische fysica. 13. $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3} \approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : de beweging van het zonnestelsel door het relictstelsel. 14. De rimpelingen in temperatuur (en dus in dichtheid en snelheid) van het heelal op de leeftijd van 380 000 jaar: een foto van de zaden. 15. Te dichte plekken trekken harder en groeien (de gravitationele instabiliteit); vóór de gelijkheid veerde de stralingsdruk ze terug — de groei wachtte tot de materie regeerde. 16. De afstand die het geluid ( $c/\sqrt3$ in de foton–baryonvloeistof) had afgelegd bij de recombinatie — de geluidshorizon, een akoestische meetlat begraven in de hemel. 17. De hoek komt tot op ongeveer een procent overeen met de meetkunde van een vlak heelal: evenwijdige lijnen blijven, kosmisch gezien, evenwijdig. 18. Monopool: het hete begin. Dipool: onze $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Rimpelingen: de oorsprong van structuur en de meetkunde van de ruimte — elke decimaal een ontdekking. 19. Hij was in elke richting gelijk, dag en nacht, zomer en winter, duivenvrij: niets plaatselijks, galactisch of instrumenteels is zo isotroop — alleen de hemel zelf. 20. Een sissen op elk niet-afgestemd toestel: de oerknal was al die tijd op televisie. 21. Hete clusterelektronen schoppen CMB-fotonen via comptonverstrooiing omhoog in frequentie: onder de omslag haalt de cluster fotonen weg — een silhouet waarvan de diepte niet van de afstand afhangt, zodat surveys clusters bij elke roodverschuiving vinden. 22. Oorspronkelijke zwaartekrachtgolven zouden de polarisatie van de CMB tot “B-moden” verdraaien: de golven van de relativiteitstheorie afgelezen in thomsonverstrooid licht — twee draden van dit boek in één knoop. 23. $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$ : ongeveer $10^{16}$ oerknalfotonen passeren u per seconde, ongevoeld. 24. Het is een stelsel dat door de inhoud wordt uitgezonderd (waar de straling isotroop is), niet door de wetten: de relativiteitstheorie verbiedt alleen stelsels die door de wetten bevoorrecht worden — bewegen door de CMB is waarneembaar, bewegen door de ruimtetijd niet. 25. Een planckkromme van $2.725\,\mathrm{K}$ op elke zichtlijn — $411$ fotonen per kubieke centimeter, $10^9$ per baryon, rimpelingen op $10^{-5}$ : het zwarte lichaam van de statistische fysica, verheven tot het grondwettelijke document van de kosmologie.