Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

24Elektronen in vaste stoffen

Koper geleidt elektriciteit een miljoen miljard miljard keer beter dan kwarts — het grootste bereik van welke fysische eigenschap ook, gecommandeerd door materialen die er hoe dan ook als grijze klompen uitzien. Het geraamte van het vorige hoofdstuk verklaart er niets van; de elektronen die erin worden gegoten verklaren alles. Dit hoofdstuk loopt de drie aanvallen van de eeuw op het probleem door, die elk het wrak van de vorige erven: het klassieke flipperspel van Drude (1900), dat de wet van Ohm goed krijgt en de warmtecapaciteit schandalig fout; het fermigas van Sommerfeld, dat Hoofdstuk 19 zijn cheque laat innen; en het inzicht van Bloch dat een elektrongolf in een periodiek rooster net als elke andere golf braggreflectie ondergaat — waardoor bandkloven opengaan die alle vaste stoffen sorteren in metalen, isolatoren en de middenkinderen met een smalle kloof, de halfgeleiders, waarop het hele elektronische tijdperk is gebouwd. Het hoofdstuk eindigt in een zonnepaneel.

24.1 Het flippermetaal van Drude

Propositie 24.1 (De geleidbaarheid van Drude)

Behandel de valentie-elektronen van een metaal als een klassiek gas met dichtheid $n$ , dat om de $\tau$ seconden tegen hindernissen botst. Een veld $\vect E$ versnelt elk elektron tussen de botsingen; de gemiddelde driftsnelheid is $\vect v_{\text{d}} = -e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ , piepklein naast de thermische beweging. De stroomdichtheid $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}}$ gehoorzaamt dan plaatselijk aan de wet van Ohm, $\vect j = \sigma\vect E$ , met

\sigma = \frac{ne^2\tau}{m_{\text{e}}} .

De gemeten $\sigma$ van koper eist $\tau \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — en de twee glorierijke resultaten van het model volgen: het verklaart waarom weerstanden warm worden (de arbeid van het veld wordt bij elke botsing thermisch), en het voorspelt de wet van Wiedemann–Franz, dat $\kappa/\sigma T$ voor alle metalen dezelfde constante is — elektronen dragen zowel lading als warmte (Oefening 24.5).

Bewijs. Tussen de botsingen geldt $\dot{\vect v} = -e\vect E/m_{\text{e}}$ ; als het elektron bij elke botsing opnieuw begint, is de gemiddelde snelheid die het in een gemiddelde tijd $\tau$ opdoet $-e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ . Dan is $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}} = (ne^2\tau/m_{\text{e}})\vect E$ . ∎

Het beeld van Drude: een elektron ketst met 106\, m/ s heen en weer, terwijl het veld er een drift van fracties van een millimeter per seconde bovenop legt (). De wet van Ohm rolt eruit; de mislukkingen van het model leerden nog meer. — Het beeld van Drude: een elektron ketst met $\sim10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ heen en weer, terwijl het veld er een drift van fracties van een millimeter per seconde bovenop legt (Oefening 24.2). De wet van Ohm rolt eruit; de mislukkingen van het model leerden nog meer.

Opmerking 24.2 (De redding door Sommerfeld)

Het gas van Drude zou $\tfrac32k_{\text{B}}$ per elektron aan de warmtecapaciteit van een metaal moeten toevoegen; het experiment vindt honderd keer minder. Hoofdstuk 19 sprak de elektronen al vrij: zij vormen een ontaard fermigas, $T_{\text{F}} \sim 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ , en alleen de thermische schil binnen $k_{\text{B}}T$ van het fermioppervlak kan reageren — op warmte en op verstrooiing. Sommerfelds herhaling van Drude met fermi-diracstatistiek behoudt de formule voor de geleidbaarheid (met $\tau$ nu de levensduur van de elektronen aan het fermioppervlak, waarvan de $10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $v_{\text{F}}$ is en niet de thermische snelheid), zet de warmtecapaciteit terug op haar gemeten flintertje $T/T_{\text{F}}$ , en repareert zelfs de getalsconstante van Wiedemann–Franz. Eén raadsel overleeft elk vrije-elektronmodel: waarom kwarts helemaal niet geleidt.

24.2 Bloch: het rooster spreekt

Stelling 24.3 (Blochtoestanden en bandkloven)

In een perfect periodieke potentiaal zijn de stationaire toestanden blochgolven $\psi_k(x) = u_k(x)\eu^{\iu kx}$ — vlakke golven aangekleed met de eigen periodiciteit $u_k$ van het rooster — die zich zonder verstrooiing voortplanten: een perfect kristal heeft weerstand nul, en echte weerstand komt van onvolkomenheden (trillingen, onzuiverheden). Maar niet alle energieën overleven. Bij $k = \pi/a$ is de golflengte van het elektron $2a$ : de braggvoorwaarde op het rooster zelf (Stelling 23.6 deed dezelfde ontdekking voor geluid). De weerkaatste en de invallende golf vormen twee staande patronen — lading opgestapeld op de ionen (lagere energie) of ertussen (hogere) — zodat de parabool $E = \hbar^2k^2/2m_{\text{e}}$ van het vrije elektron openscheurt: een interval van verboden energieën, de bandkloof $E_{\text{g}}$ , scheidt een volgemaakte band van toegestane toestanden van de volgende. De elektronische identiteit van een kristal is zijn ladder van banden en kloven.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Het bijna vrije elektron. Ver van de zonerand merkt het elektron het rooster nauwelijks; bij k = π/a splijt zijn eigen braggreflectie de parabool en verbiedt de energieën in de kloof. Geluidsgolven deden in het vorige hoofdstuk precies dit — hetzelfde rooster, dezelfde interferentie, een nieuwe huurder. — Het bijna vrije elektron. Ver van de zonerand merkt het elektron het rooster nauwelijks; bij $k = \pi/a$ splijt zijn eigen braggreflectie de parabool en verbiedt de energieën in de kloof. Geluidsgolven deden in het vorige hoofdstuk precies dit — hetzelfde rooster, dezelfde interferentie, een nieuwe huurder.

Definitie 24.4 (Metalen, isolatoren, halfgeleiders)

Vul de banden met de elektronen van het kristal, twee per toestand (Hoofdstuk 14), de koudste eerst. Als de bovenste bezette band gedeeltelijk gevuld is, kan een oneindig kleine energie elektronen in netto beweging brengen: een metaal (natrium: één valentie-elektron, een halve band; tweewaardige metalen geleiden via overlappende banden). Als hij precies vol is, met een brede kloof erboven, kan geen klein duwtje iets herschikken: een isolator (diamant, $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ ). Is de kloof klein — $1.12\,\mathrm{eV}$ in silicium — dan hijst de thermische onrust een paar elektronen erover, die er elk een beweeglijk gat onder achterlaten: een halfgeleider, waarvan het aantal ladingsdragers $\propto\eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ om de paar graden verdubbelt. Vandaar de grote scheidslijn: metalen geleiden slechter als ze warm worden (meer trillingen om aan te verstrooien), halfgeleiders beter (exponentieel meer ladingsdragers) — één tekenwissel die de klasse van een materiaal in één meting vaststelt.

De bandvulling beslist alles. Een gedeeltelijk gevulde band geleidt; een volle band onder een brede kloof kan het niet; een smalle kloof laat de temperatuur (of licht, of dotering) onderhandelen — het hele nut van de halfgeleider is dat zijn geleidbaarheid regelbaar is. — De bandvulling beslist alles. Een gedeeltelijk gevulde band geleidt; een volle band onder een brede kloof kan het niet; een smalle kloof laat de temperatuur (of licht, of dotering) onderhandelen — het hele nut van de halfgeleider is dat zijn geleidbaarheid *regelbaar* is.

24.3 De kloof ontwerpen: dotering en de junctie

Definitie 24.5 (Dotering)

Vervang één siliciumatoom op een miljoen door fosfor (vijf valentie-elektronen): vier bindingen zijn verzadigd en het vijfde elektron, dat met een schamele $45\,\mathrm{meV}$ gebonden is (Oefening 24.10), is bij kamertemperatuur vrij. Zulke donoren maken een n-type halfgeleider, met geleiding door elektronen; boor (drie elektronen) is een acceptor, die een bindingselektron grijpt en een beweeglijk gat vrijmaakt — een ontbrekend elektron dat beweegt, op velden reageert en net zo echt positieve lading draagt als een bel opwaartse kracht draagt: p-type. Dotering laat de ladingsdragersdichtheid — en daarmee de geleidbaarheid — naar believen over zes ordegrootten zwaaien: de knop die zand in schakelingen verandert.

Propositie 24.6 (De p–n-junctie)

Voeg p-type aan n-type. Elektronen stromen naar de gaten toe en vernietigen ze vlak bij het grensvlak, waardoor een depletiezone van vaste geïoniseerde doteringsatomen bloot komt te liggen, waarvan de dubbellaag een inwendig veld opbouwt — evenwicht bij de ingebouwde spanning $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e) \ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/n_{\text{i}}^2) \approx 0.7\,\mathrm{V}$ in silicium. De junctie gelijkricht dan: voorwaartse spanning verlaagt de barrière en de stroom groeit als $\eu^{eV/k_{\text{B}}T}$ ; tegenspanning verhoogt hem en er vloeit alleen een lekstroom $I_0$ :

I = I_0\big(\eu^{eV/k_{\text{B}}T} - 1\big) .

Deze asymmetrie is de diode — en in haar varianten de led (recombinerende paren zenden fotonen met de kloofenergie uit), de zonnecel (fotonen met de kloofenergie maken paren die het ingebouwde veld naar buiten veegt: Probleem 24.1), en, verdubbeld tot sandwiches, de transistor: de schakelaar waarvan een moderne chip er honderden miljarden drukt.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De diodewet. Voorwaartse spanning wordt exponentieel terugbetaald; tegenspanning koopt alleen de lekstroom I_0. Eén junctie gelijkricht; twee maken een transistor; een vierkante meter ervan, in de zon, maakt een elektriciteitscentrale. — De diodewet. Voorwaartse spanning wordt exponentieel terugbetaald; tegenspanning koopt alleen de lekstroom $I_0$ . Eén junctie gelijkricht; twee maken een transistor; een vierkante meter ervan, in de zon, maakt een elektriciteitscentrale.

Een afgewerkte siliciumwafer: honderden chips, elk met miljarden juncties, gedrukt in één gedoteerd kristal — de bandentheorie als het meest ingrijpende fabricagerecept van de twintigste eeuw.

24.4 Opgaven

Oefening 24.1 ★

Het koper van Drude. $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , soortelijke weerstand $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Bereken (a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho$ ; (b) de gemiddelde vrije weglengte met de fermisnelheid $v_{\text{F}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (c) die weglengte in roosterconstanten ( $a = 3.61\,\text{Å}$ ); (d) leg uit waarom zo’n lange vlucht er al op wijst dat de ionen zelf niet voor de verstrooiing zorgen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

(a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ . (b) $\ell = v_{\text{F}}\tau \approx 39\,\mathrm{nm}$ . (c) Ongeveer 110 roosterconstanten. (d) Een elektron dat honderd ionen passeert zonder te verstrooien, kan niet tegen de ionen zelf ketsen — het rooster moet er doorzichtig voor zijn, precies wat het theorema van Bloch (Stelling 24.3) later bewijst.

Oefening 24.2 ★

De slak in de draad. Een koperdraad van $1\,\mathrm{mm}^{2}$ voert $10\,\mathrm{A}$ . (a) Bereken de driftsnelheid. (b) Hoe lang zou een elektron erover doen om een lampsnoer van $1\,\mathrm{m}$ over te steken? (c) Waarom gaat de lamp toch onmiddellijk aan? (d) Vergelijk $v_{\text{d}}$ met $v_{\text{F}}$ en becommentarieer het flipperbeeld van Drude.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

(a) $v_{\text{d}} = I/neA = 7.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — minder dan een millimeter per seconde. (b) Ongeveer 23 minuten. (c) Het veld vestigt zich langs de draad met bijna lichtsnelheid en zet de hele elektronenzee in één keer aan het driften: de marcheerders zijn traag, het bevel om te marcheren niet. (d) $v_{\text{d}}/v_{\text{F}} \sim 10^{-9}$ : geleiding is een onmerkbare voorkeur in een heftige kwantumbeweging, geen kalme klassieke stroming.

Oefening 24.3 ★

Sorteren op banden. Classificeer met de bandvullingsregel: (a) natrium (één valentie-elektron); (b) magnesium (twee — en toch een metaal: wat moeten zijn banden doen?); (c) diamant ( $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ ); (d) silicium ( $1.12\,\mathrm{eV}$ ) — en geef voor elk het teken van $\dd\rho/\dd T$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

(a) Halfgevulde band: metaal, $\dd\rho/\dd T > 0$ . (b) Twee elektronen zouden zijn band precies vullen — magnesium geleidt doordat zijn volle band de volgende lege overlapt: metaal, $\dd\rho/\dd T > 0$ . (c) Volle band, kloof van $5.5\,\mathrm{eV}$ : isolator (formeel $\dd\rho/\dd T < 0$ , maar met vrijwel geen ladingsdragers om te tellen). (d) Halfgeleider: $\dd\rho/\dd T < 0$ , de exponentiële tekenwissel die de klasse verraadt.

Oefening 24.4 ★

Kloven en fotonen. (a) Welke fotongolflengte past bij de kloof van silicium, en in welk spectraalgebied wordt silicium doorzichtig? (b) Idem voor diamant: waarom is hij helder in het zichtbare? (c) Een led van galliumnitride heeft $E_{\text{g}} = 3.4\,\mathrm{eV}$ : welke kleurgrens legt dat vast, en waarom hadden blauwe leds dit materiaal nodig? (d) Waarom sterft een rode led donker in plaats van flauw wit te gloeien als u hem te ver opdrijft?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

(a) $\lambda = hc/E_{\text{g}} = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : silicium is daarvoorbij doorzichtig in het infrarood — en daarom kunnen infraroodcamera’s lenzen van silicium krijgen. (b) $225\,\mathrm{nm}$ , in het ultraviolet: geen enkel zichtbaar foton kan worden geabsorbeerd, dus diamant is waterhelder. (c) $365\,\mathrm{nm}$ : een kloof die breed genoeg is voor blauw ( $2.8\,\mathrm{eV}$ ) bestaat in nitriden en vrijwel nergens anders in de praktijk — de blauwe led wachtte decennia op de kristalgroei. (d) Zijn kloof legt zijn foton vast: te ver opdrijven voegt warmte toe, geen kloofbreedte, en de diode kookt donker — de kleur van een led is een materiaalconstante, geen helderheidsinstelling.

Oefening 24.5 ★★

Wiedemann–Franz. (a) Bereken uit de $\kappa = 400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ en $\sigma = 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ van koper bij $300\,\mathrm{K}$ de waarde van $\kappa/\sigma T$ . (b) Vergelijk met de sommerfeldwaarde $L = \pi^2k_{\text{B}}^2/3e^2 = 2.44 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ . (c) Leg in één zin uit waarom één soort ladingsdrager de twee geleidbaarheden aan elkaar knoopt. (d) Kookpannen en hun handvatten: gebruik de wet om de materiaalkeuzes in een keuken te verklaren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

(a) $\kappa/\sigma T = 400/(5.9\times10^7\times300) = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ . (b) Binnen tien procent van $L$ . (c) Dezelfde elektronen aan het fermioppervlak dragen zowel de lading als de warmte, zodat hun verstrooiingstijd in de verhouding wegvalt. (d) De stalen pan geleidt warmte naar het eten omdat haar elektronen bewegen; het houten handvat, in beide betekenissen een isolator, houdt ze — en de warmte — uit uw hand.

Oefening 24.6 ★★

De vrijspraak van de warmtecapaciteit. (a) Drude voorspelt $\tfrac32nk_{\text{B}}$ van de elektronen: welke fractie zou dat met de $n$ van koper toevoegen aan de $3nk_{\text{B}}$ van het rooster (één geleidingselektron per atoom)? (b) Hoofdstuk 19 geeft in plaats daarvan $C_{\text{el}} \sim \tfrac{\pi^2}{2}nk_{\text{B}}(T/T_{\text{F}})$ : evalueer de onderdrukking $T/T_{\text{F}}$ bij $300\,\mathrm{K}$ ( $T_{\text{F}} = 8.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (c) Waarom wint de elektronische term toch bij vloeibaarheliumtemperaturen (denk aan de $T^3$ van het rooster)? (d) Welke meting, uitgezet als $C/T$ tegen $T^2$ , ontwart de twee?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

(a) Vijftig procent extra — schandelijk afwezig in het experiment. (b) $T/T_{\text{F}} \approx 0.004$ : de elektronische term wordt tot onder een procent gesmoord. (c) De $T^3$ van het rooster stort sneller in dan de $T$ van de elektronen: onder een paar kelvin zijn de “verwaarloosbare” elektronen het enige wat overblijft. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ : het snijpunt $\gamma$ weegt de elektronen, de helling $\beta$ het rooster — één grafiek, beide huurders.

Oefening 24.7 ★★

Het fermioppervlak ontmoet de zone. (a) Bereken voor koper de fermigolflengte $\lambda_{\text{F}} = 2\pi/k_{\text{F}}$ met $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3}$ . (b) Vergelijk met $2a$ : hoe dicht ligt het fermioppervlak bij de braggvoorwaarde? (c) Leg fysisch uit waarom de twee staande golven bij $k = \pi/a$ (lading op de ionen tegenover ertussen) in energie moeten verschillen. (d) Welk experimentele feit uit Oefening 24.1 verklaart het niet-verstrooiingstheorema van Bloch eindelijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

(a) $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3} = 1.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $\lambda_{\text{F}} = 4.6\,\text{Å}$ . (b) $2a = 7.2\,\text{Å}$ : dezelfde orde — het fermioppervlak van koper reikt naar de zonegrens, en de fysica die de kloof opent gebeurt bij de energieën die ertoe doen. (c) De ene staande golf stapelt haar lading op de positieve ionen (lagere elektrostatische energie), de andere ertussen (hogere): dezelfde golflengte, twee energieën — de kloof. (d) De vrije weglengte van 110 roosterconstanten: blochgolven verstrooien niet aan een perfect rooster, zodat alleen trillingen en onzuiverheden overblijven om weerstand te bieden.

Oefening 24.8 ★★

De exponentiële thermometer. Intrinsiek silicium heeft $n_{\text{i}} \propto \eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ . (a) Bereken de verhouding van de ladingsdragersdichtheden tussen $400\,\mathrm{K}$ en $300\,\mathrm{K}$ . (b) Schets daaruit de weerstand van een thermistor tegen de temperatuur en zet die af tegen die van een platinadraad. (c) Waarom de factor 2 in de exponent (wat wordt er in paren gemaakt)? (d) Schat de temperatuur waarbij silicium-elektronica faalt doordat intrinsieke ladingsdragers een dotering van $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ overspoelen ( $n_{\text{i}}(300\,\text{K}) \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

(a) $E_{\text{g}}/2k_{\text{B}} = 6500\,\mathrm{K}$ : $\exp[6500(1/300 - 1/400)] \approx 230$ . (b) De weerstand van de thermistor duikt exponentieel omlaag — een steile, gevoelige kromme; die van platina klimt zachtjes en lineair (meer fononen). De een is een thermometer op ladingsdragersaantal, de ander op verstrooiing. (c) Ladingsdragers worden in elektron-gatparen geboren, en het evenwicht $np = n_{\text{i}}^2$ verdeelt de prijs van de kloof over de twee — vandaar $E_{\text{g}}/2$ . (d) $n_{\text{i}}$ bereikt $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ rond $760\,\mathrm{K}$ : de dotering verdrinkt en de schakeling vergeet haar ontwerp. Echte componenten geven het eerder op — hun lekstromen in de sperrichting, die om de tien kelvin verdubbelen, gaan het eerst de mist in.

Oefening 24.9 ★★

Doteringsrekenwerk. Silicium heeft $5 \times 10^{28}\,\mathrm{atomen}/\mathrm{m}^{3}$ . (a) Eén fosforatoom per miljoen siliciumatomen: welke ladingsdragersdichtheid, en welke verhouding tot $n_{\text{i}} \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ ? (b) Met welke factor heeft één ppm vuil de geleidbaarheid veranderd? (c) Leg uit waarom de halfgeleiderfabricage eerst tot delen per miljard zuivert voordat er opzettelijk wordt gedoteerd. (d) Schat de gemiddelde afstand tussen donoren en vergelijk die met de baan van $2.4\,\mathrm{nm}$ uit Oefening 24.10.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

(a) $5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ — vijf miljoen keer $n_{\text{i}}$ . (b) Dezelfde factor $\sim5\times10^6$ : één spikkeltje per miljoen atomen bezit de geleidbaarheid volledig. (c) Omdat toevallige ppm’s hetzelfde ongevraagd zouden doen: alleen een kristal dat tot ppb zuiver is heeft een geleidbaarheid die aan de ontwerper toebehoort. (d) $d \sim n^{-1/3} \approx 27\,\mathrm{nm}$ , tien keer de baan van $2.4\,\mathrm{nm}$ : donoren zijn geïsoleerde waterstofatomen; voer de dotering honderdvoudig op en de banen raken elkaar — een onzuiverheidsband, en uiteindelijk een metaal.

Oefening 24.10 ★★★

De donor als waterstofatoom. Het vijfde fosforelektron draait om zijn ion met lading $+e$ binnen silicium: scherm de coulombkracht af met $\varepsilon_{\text{r}} = 11.7$ (Hoofdstuk 22) en maak het elektron lichter tot zijn effectieve bandmassa $m^* = 0.26\,m_{\text{e}}$ . (a) Schaal de waterstofresultaten van Hoofdstuk 11: toon aan dat $E = 13.6\,\mathrm{eV}\times(m^*/m_{\text{e}})/ \varepsilon_{\text{r}}^2$ en evalueer dat. (b) Vergelijk met $k_{\text{B}}T$ bij $300\,\mathrm{K}$ : zijn de donoren geïoniseerd? (c) Schaal de bohrstraal op dezelfde manier. (d) De baan omspant tientallen roostercellen: leg uit waarom dat zelfconsistent rechtvaardigt dat we $\varepsilon_{\text{r}}$ en $m^*$ überhaupt gebruiken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.10.

(a) $E = 13.6\times0.26/11.7^2 \approx 26\,\mathrm{meV}$ (de gemeten waarde voor fosfor, $45\,\mathrm{meV}$ , houdt de schaal eerlijk). (b) Vergelijkbaar met $k_{\text{B}}T = 26\,\mathrm{meV}$ : in wezen zijn alle donoren bij kamertemperatuur geïoniseerd — het uitgangspunt van Definitie 24.5. (c) $a = 0.53\,\text{Å}\times\varepsilon_{\text{r}}/(m^*/ m_{\text{e}}) \approx 2.4\,\mathrm{nm}$ . (d) Een baan die tientallen cellen omspant ziet het kristal als een glad medium — en dat is precies de voorwaarde waaronder een macroscopische $\varepsilon_{\text{r}}$ en een over de band gemiddelde $m^*$ geoorloofd zijn: de benadering bewijst zichzelf.

Oefening 24.11 ★★★

Junctiegetallen. Een siliciumdiode heeft $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $T = 300\,\mathrm{K}$ . (a) Bereken $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e)\ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/ n_{\text{i}}^2)$ . (b) Bereken uit de diodewet de verhouding van de stromen bij $+0.5\,\mathrm{V}$ en $-0.5\,\mathrm{V}$ . (c) Waarom verdubbelt $I_0$ — en daarmee de lekstroom in de sperrichting — ruwweg om de $10\,\mathrm{K}$ ? (d) Een brug van vier zulke diodes maakt van wisselstroom gelijkstroom: schets het idee van de schakeling in woorden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.11.

(a) $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . (b) $eV/k_{\text{B}}T = 19.3$ : verhouding $\eu^{19.3} \approx 2\times10^{8}$ — de diode is een eenrichtingsstraat tot acht cijfers. (c) $I_0 \propto n_{\text{i}}^2 \propto \eu^{-E_{\text{g}}/k_{\text{B}}T}$ : dezelfde exponentiële functie als in Oefening 24.8, vandaar de vuistregel van het verdubbelen. (d) De vier diodes vormen een ruit: elke halve periode stuurt het paar dat in de doorlaatrichting staat de stroom in dezelfde richting door de belasting — wisselstroom erin, hobbelige gelijkstroom eruit.

Oefening 24.12 ★★★

De zonnekloof ontwerpen. (a) Fotonen onder $E_{\text{g}}$ gaan er doorheen; fotonenergie boven $E_{\text{g}}$ gaat binnen picoseconden als warmte verloren. Leg de afweging uit die daaruit volgt bij het kiezen van $E_{\text{g}}$ . (b) Het optimum rond $1.3\,\mathrm{eV}$ begrenst het rendement van één junctie op ongeveer een derde (Shockley–Queisser): waar staat silicium ( $1.12\,\mathrm{eV}$ )? (c) Waarom verslaan tandemstapels (een cel met brede kloof boven een met smalle kloof) die grens? (d) Waarom is een heet zonnepaneel een slechter paneel? (Twee redenen die het hoofdstuk eerlijk geeft: de $I_0$ van de diodewet, en het lichte krimpen van de kloof met $T$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.12.

(a) Versmal de kloof en meer fotonen halen hem, maar elk levert alleen de kleine kloofenergie; verbreed hem en elk foton betaalt meer maar minder komen in aanmerking: oogst $\times$ spanning piekt ertussenin. (b) Net onder het optimum van $1.3\,\mathrm{eV}$ : het ideale plafond van silicium is $\sim30\,\%$ — dichtbij genoeg dat zijn goedkoopte wint. (c) De bovenste cel met brede kloof neemt het blauw bij hoge spanning en geeft het rood door aan de cel met smalle kloof eronder: elk foton wordt vlak bij zijn eigen energie geoogst, de thermalisatie krimpt, en het plafond van de stapel klimt richting de veertig. (d) Warmte verhoogt $I_0$ exponentieel en trekt zo de nullaststroomspanning $\sim(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ omlaag; en de kloof zelf versmalt licht, waarmee spanning wordt ingeruild voor stroom die dat niet volledig goedmaakt.

Replica van de eerste transistor (Bell Laboratories, 1947, publiek domein): twee gouden contacten gedrukt op een splinter germanium. De eerste machine van de bandentheorie — en, in rechte lijn, alle andere.

24.5 Vraagstuk: Het dakreferendum

Probleem 24.1

Het dakreferendum. Je buurman weegt af of hij zijn huis met zonnepanelen zal bedekken en heeft u, de fysicus, tot scheidsrechter benoemd. Het kandidaat-paneel: silicium, $2\,\mathrm{m}^{2}$ , zestig cellen in serie, met een nominaal vermogen van $400\,\mathrm{W}$ onder het standaard zonlicht van $1000\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ op het middaguur.

Deel I — Zonlicht ontmoet de kloof.

Zonlicht is ruwweg een thermisch spectrum van $5800\,\mathrm{K}$ (Hoofdstuk 20): bereken de energie van zijn piekfotonen (Wien) in eV.
De kloof van silicium is $1.12\,\mathrm{eV}$ : wat is de langste golflengte die een siliciumcel kan oogsten?
Ruwweg een vijfde van het zonnevermogen komt aan in fotonen onder de kloof. Wat gebeurt daarmee in het paneel?
Een groen foton van $2.5\,\mathrm{eV}$ wordt geabsorbeerd: hoeveel van zijn energie overleeft als energie van een elektron-gatpaar, en waar gaat de rest heen, en hoe snel?
Voeg de punten 3 en 4 samen tot het oordeel over het spectrum: ongeveer de helft van het invallende vermogen is weg voordat er ook maar elektronica begint. Noem de twee verliesroutes in telkens één zin.
Waarom heeft een foton überhaupt $\ge E_{\text{g}}$ nodig — wat verbiedt het om in gewoon silicium twee fotonen van een halve kloof snel na elkaar te absorberen?

Deel II — De junctie als motor.

Elke cel is een p–n-junctie. Leg in drie zinnen uit hoe het ingebouwde veld van de depletiezone een gemaakt paar in uitwendige stroom omzet — welke ladingsdrager gaat welke kant op, en waarom recombineren ze niet gewoon.
Bereken met $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ de waarde van $V_{\text{bi}}$ bij $300\,\mathrm{K}$ .
Een werkende cel levert ongeveer $0.6\,\mathrm{V}$ . Zestig in serie: de bedrijfsspanning van het paneel?
Leid uit het nominale vermogen van $400\,\mathrm{W}$ de bedrijfsstroom af.
Schat de fotonenflux (fotonen per seconde) die het paneel nuttig absorbeert, uitgaande van $\sim2\,\mathrm{eV}$ per geabsorbeerd foton, en vergelijk die met de elektronenflux die uw stroom impliceert: welke fractie van de geabsorbeerde fotonen levert een verzameld elektron op?
Het nominale rendement: $400\,\mathrm{W}$ uit $2000\,\mathrm{W}$ invallend. Breng 20 % in overeenstemming met het “de helft verloren vóór de elektronica” van deel I: waar gaan de resterende dertig punten heen?
Waarom levert de cel $0.6\,\mathrm{V}$ en niet de volle $1.12\,\mathrm{V}$ van de kloof? (Noem de boosdoener in de diodewet.)

Deel III — Echte daken.

Een wolkeloos wintermiddaguur op breedtegraad $50^\circ$ levert licht onder een hoogte van $30^\circ$ . Bereken de meetkundige factor ten opzichte van loodrechte inval op een horizontaal paneel.
Het gegevensblad van het paneel vermeldt $-0.4\,\%/\text{K}$ van de opbrengst: een zwart dakpaneel bereikt in de zomer $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Hoeveel van het nominale vermogen overleeft?
Verklaar het temperatuurverlies met Oefening 24.12(d).
Een schoorsteen beschaduwt één van de zestig cellen. Waarom kan dat de hele serieketen wurgen — en wat doet de diodenatuur van de cel zelf met de arme beschaduwde cel?
Fabrikanten schakelen een omloopdiode over elke deelketen: leg haar taak in één zin uit.
Gemiddeld over dagen en weer levert het dak $15\,\%$ van het nominale vermogen. Schat de jaarlijkse energie van het paneel van $400\,\mathrm{W}$ in kilowattuur.

Deel IV — Het oordeel.

Wat verdient het paneel bij $0.25\,\mathrm{euro}$ per kWh per jaar? Wat is bij aanschaf- en installatiekosten van $300\,\mathrm{euro}$ de terugverdientijd?
Het paneel kostte ruwweg $500\,\mathrm{kWh}$ om te maken (silicium wordt door smelten gezuiverd): hoe lang tot het zijn eigen energie heeft terugbetaald?
Je buurman vraagt waarom het paneel niet “gewoon zwart gemaakt” kan worden om het vijfde deel onder de kloof te vangen. Antwoord met de bandentheorie in twee zinnen.
Vervolgens vraagt hij waarom er niet een tweede paneel met kleinere kloof onder wordt gestapeld: antwoord met Oefening 24.12(c) — en noem de praktische adder onder het gras.
Dertig jaar later is het paneel vervaagd tot 85 % van zijn nominale vermogen. Welke microscopische boosdoeners uit dit hoofdstuk (denk aan wat $\tau$ begrenst en waar juncties bang voor zijn) laten een cel plausibel verouderen?
Geef de samenvatting van de scheidsrechter in vier regels: de fysica van de kloof bepaalt de oogst, de junctie zet die om, de seriebedrading en de temperatuur belasten haar, en het grootboek — energie en euro’s — sluit in het voordeel van het paneel.

Oplossing

Oplossing van Probleem 24.1.

1. $\lambda_{\text{piek}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ : ongeveer $2.5\,\mathrm{eV}$ . 2. $hc/E_{\text{g}} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . 3. Het vaart door de cellen heen (geen eindtoestand om in te absorberen) en eindigt als warmte in de achterkant — die het dak opwarmt, niet de draden. 4. $1.12\,\mathrm{eV}$ overleeft als het paar; het overschot van $1.4\,\mathrm{eV}$ lekt binnen picoseconden naar fononen weg — sneller dan welke schakeling het ook zou kunnen onderscheppen. 5. Doorzichtigheid onder de kloof ( $\sim20\,\%$ van het vermogen) en thermalisatie boven de kloof ( $\sim30\,\%$ ): het spectrum wordt voor de helft belast voordat de junctie ook maar één elektron ziet. 6. Absorptie is een kwantumsprong met één foton die een echte eindtoestand nodig heeft; bij een halve kloof is er geen om te pauzeren, en tweefotongebeurtenissen zijn bij de fotonendichtheid van zonlicht verwaarloosbaar. 7. Paren die in of vlak bij de depletiezone ontstaan voelen het ingebouwde veld: elektronen worden naar de n-kant geveegd, gaten naar de p-kant, en het veld scheidt ze sneller dan ze elkaar kunnen vinden om te recombineren — er hoopt zich lading op tot een uitwendige schakeling die als stroom afvoert. 8. $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . 9. $60\times0.6\,\mathrm{V} = 36\,\mathrm{V}$ . 10. $I = 400/36 \approx 11\,\mathrm{A}$ . 11. Over het hele paneel is het licht boven de kloof $\sim1400\,\mathrm{W}$ bij $\sim2\,\mathrm{eV}$ per stuk: $4\times10^{21}$ fotonen per seconde — maar de zestig cellen staan in serie, dus de $11\,\mathrm{A}$ (een elektronenflux $I/e \approx 7\times10^{19}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) gaat door elke cel, waarvan het eigen deel van de fotonen $4\times10^{21}/60 \approx 7\times10^{19}$ per seconde is: vrijwel elk geabsorbeerd foton levert een verzameld elektron op. Het kwantumrendement is uitstekend; de verliezen zijn energetisch, niet numeriek. 12. Na de 50 % van het spectrum betaalt de cel het spanningstekort ( $0.6/1.12 \approx 54\,\%$ ) en een paar punten reflectie en recombinatie: $0.5\times0.54 \approx 27\,\%$ , teruggesnoeid tot de nominale 20 %. 13. De lekstroom $I_0$ : de nullaststroomspanning $(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ houdt op waar fotostroom en diodelek in evenwicht zijn — rond $0.6\,\mathrm{V}$ , ver onder de kloof. 14. $\sin30^\circ = 0.5$ : alleen al door de meetkunde de helft van het nominale middagvermogen — nog vóór de wolken. 15. $\Delta T = 40\,\mathrm{K}$ : $-16\,\%$ , zodat er $\approx335\,\mathrm{W}$ overblijft — de zonnigste dagen zijn niet de beste dagen per watt. 16. Warmte blaast $I_0$ exponentieel op, en de nullaststroomspanning — het verwijt van een logaritme — zakt een fractie van een procent per kelvin; de licht gekrompen kloof maakt het karwei af. 17. Seriebedrading dwingt één gemeenschappelijke stroom af: de beschaduwde cel, die er geen opwekt, wordt door haar negenenvijftig collega’s in de sperrichting gedreven en dissipeert hun vermogen als een hete plek — de keten wordt tot de zwakste cel afgeknepen. 18. De omloopdiode geeft de stroom een pad in de doorlaatrichting om de beschaduwde deelketen heen en offert haar spanning op in plaats van de opbrengst van het hele paneel. 19. $400\,\mathrm{W}\times0.15\times8760\,\mathrm{h} \approx 530\,\mathrm{kWh}$ per jaar. 20. $\approx130\,\mathrm{euro}$ per jaar: terugverdiend in ruwweg $300/130 \approx 2.5$ jaar, gevolgd door twee decennia winst. 21. $500/530 \approx$ één jaar: het paneel betaalt zijn fabricage-energie ongeveer even snel terug als zijn prijs. 22. Zwartheid is geen keuze maar een bandenstructuur: absorptie vergt een lege toestand één fotonenergie boven een volle, en onder de kloof heeft silicium er eenvoudigweg geen te bieden — verf kan geen toestanden toevoegen. 23. Zet er een cel met brede kloof bovenop om het blauw bij hoge spanning te nemen en het rood door te geven: de tandem verslaat het plafond van één junctie. De adder onder het gras: de seriestapel moet de stromen (en de prijzen) tussen de lagen op elkaar afstemmen. 24. Alles wat $\tau$ verkort en juncties vergiftigt: door uv gemaakte defecten en ingediffundeerde onzuiverheden verstrooien en vangen ladingsdragers, vocht tast contacten aan, en hete plekken laten de diodes verouderen — de trage entropie van een kristal dat dertig jaar in de zon moet zitten. 25. De kloof oogst de helft van de zon; de junctie zet paren om in $36\,\mathrm{V}$ geordende stroom; serieketens, schaduw en zomerhitte nemen hun deel; en bij $\sim530\,\mathrm{kWh}$ per jaar tegenover een terugverdientijd van één jaar aan energie en drie jaar aan geld luidt het oordeel van de scheidsrechter: leg dat dak.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst