22Elektromagnetisme in materie

Oplossing van Oefening 22.1.

(a) $+P$ op het vlak waar $\vect P$ naartoe wijst, $-P$ op het andere. (b) Twee oneindige vlakken $\pm P$ leveren $P/\varepsilon_0$ ertussen, gericht van $+$ naar $-$, dat wil zeggen tegen $\vect P$ in. (c) $\vect D = \varepsilon_0\vect E + \vect P = 0$ — zoals het moet: geen vrije lading, en de normale component van $\vect D$ sluit continu aan op het vacuüm buiten. (d) Een staafmagneet: ingevroren dipooldichtheid, met een veld dat door zijn eigen gebonden bronnen in stand wordt gehouden.

Oplossing van Oefening 22.2.

(a) $C = \varepsilon_{\text{r}}C_0 = 400\,\mathrm{pF}$. (b) $Q = 1.2\,\mathrm{nC}$ zit gevangen: $V = Q/C = 3\,\mathrm{V}$. (c) $\tfrac12C_0V_0^2 = 7.2\,\mathrm{nJ}$ ervoor, $1.8\,\mathrm{nJ}$ erna: de ontbrekende $5.4\,\mathrm{nJ}$ werd mechanische arbeid — het randveld trekt de plaat naar binnen. (d) Met batterij aangesloten: $V$ blijft $12\,\mathrm{V}$, $Q$ verviervoudigt, de energie stijgt tot $28.8\,\mathrm{nJ}$ — de batterij betaalt zowel de nieuwe veldenergie als het trekken.

Oplossing van Oefening 22.3.

Water: diamagnetisch — alle elektronen gepaard, alleen door Larmor geïnduceerde tegenwerking. Aluminium: paramagnetisch (de spins van de geleidingselektronen). Vloeibare zuurstof: sterk paramagnetisch — O$_2$ draagt twee ongepaarde elektronen (vulling volgens de regel van Hund van zijn antibindende orbitalen, Hoofdstuk 14); zij blijft zichtbaar tussen magneetpolen hangen. Nikkel: ferromagnetisch. De magneet trekt zichtbaar nikkel en vloeibare zuurstof aan en stoot water ietwat af — de kuil die een sterke magneet in een wateroppervlak maakt.

Oplossing van Oefening 22.4.

(a) $H = nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (b) $M = B/\mu_0 - H = 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (c) $B/\mu_0H \approx 420$. (d) De gelijkwaardige gebonden vlakstroom is $M \approx 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}$ per meter — vierhonderd keer de $nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ van de spoel zelf: het ijzer doet vrijwel al het werk.

Oplossing van Oefening 22.5.

(a) Een cilindrisch gaussoppervlak omsluit alleen vrije lading: $D = \lambda/2\pi r$, radiaal. (b) $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}r$, $P = (\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/2\pi\varepsilon_{\text{r}}r$. (c) $\sigma_{\text{b}}(a) = -P(a)$: per lengte-eenheid $-(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$; bij $r = b$ is het $+P(b)$: per lengte-eenheid $+(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ — som nul, zoals gebonden lading moet. (d) $V = \int E\,\dd r = (\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}})\ln(b/a)$, dus $C/\ell = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}/\ln(b/a)$: vermenigvuldigd met $\varepsilon_{\text{r}}$.

Oplossing van Oefening 22.6.

(a) $n = P/k_{\text{B}}T = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, dus $\alpha/\varepsilon_0 = \chi/n \approx 2.2 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$ — het volume van een bol met straal $\approx1.7\,\text{Å}$: polariseerbaarheid is atomair volume, in eenheden van $\varepsilon_0$. (b) $n\alpha/3\varepsilon_0 = 0.15$, dus $(\varepsilon_{\text{r}} - 1)/(\varepsilon_{\text{r}} + 2) = 0.15$ geeft $\varepsilon_{\text{r}} = 1.53$ — precies de gemeten waarde. (c) De correctie voor het lokale veld is hier een effect van 15 %; argon is niet-polair, dus er is geen oriëntatiebijdrage die kan ontsporen. (d) Polaire moleculen (water, HCl): permanente dipolen overheersen en werken op elkaar in; de theorie van Langevin–Debye (en, voor dichte vloeistoffen, Onsager) komt in de plaats van het eenvoudige holteargument.

Oplossing van Oefening 22.7.

(a) $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T \approx 11.5$. (b) $E = k_{\text{B}}T/p \approx 6.7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — tien keer het doorslagveld: water werkt altijd diep in het lineaire regime. (c) Bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ houden de dipolen het bijna bij maar lopen ze achter: het deel van het antwoord dat uit fase is verricht elke cyclus netto arbeid op het water — diëlektrische verhitting. In ijs zitten de moleculen aan het rooster vast; hun rotatierelaxatie ligt bij kilohertz, zodat ijs bij gigahertz nauwelijks absorbeert (ontdooiprogramma’s pulseren zachtjes en laten gesmolten water het verwarmen doen). (d) Water: negatief (oriëntatieantwoord in $1/T$); argon: in wezen nul — geïnduceerde polariseerbaarheid trekt zich niets van de temperatuur aan.

Oplossing van Oefening 22.8.

(a) De larmorverschuiving verandert de rondgaande stroom met $\Delta I = -e\Delta\omega/2\pi = -e^2B/4\pi m_{\text{e}}$, dus $\Delta\mu = \Delta I\cdot\pi r^2 = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$, tegengesteld aan $\vect B$, welke kant het elektron ook rondgaat — de wet van Lenz op atomaire schaal. (b) Met de gegeven getallen is $\chi_{\text{m}} \approx -9.5\times10^{-6}$: de gemeten $-9\times10^{-6}$, uit een ringmodel. (c) Het geïnduceerde moment komt van vervorming van de baan, niet van een boltzmannwedstrijd tussen richting en wanorde — nergens een $T$. (d) Water is diamagnetisch, dus de kikker wordt naar zwak veld geduwd; de krachtdichtheid $\propto \chi\,\nabla(B^2/2\mu_0)$ verdwijnt in een uniform veld — zweven vergt een $B\,\dd B/\dd z$ die groot genoeg is om $\rho g$ in evenwicht te houden, vandaar de boring van $16\,\mathrm{T}$.

Oplossing van Oefening 22.9.

(a) $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu_{\text{B}}^2/3k_{\text{B}}T \approx 1.7\times10^{-5}$ bij $300\,\mathrm{K}$, $5\times10^{-3}$ bij $1\,\mathrm{K}$. (b) Geëxtrapoleerd gaat $\chi \to 1$ rond $5\,\mathrm{mK}$ — maar dipool- en uitwisselingskoppelingen ordenen (of bevriezen) echte zouten eerder: de wet van Curie is een wet voor hoge temperaturen. (c) Gemagnetiseerd bij $1\,\mathrm{K}$ wordt de spinentropie het bad in geperst; geïsoleerd ligt $S$ vast, en $B$ verlagen laat de spins elk hun $k_{\text{B}}\ln 2$ terugvorderen — de energie komt van het rooster, waarvan de temperatuur daalt (in de praktijk millikelvins). (d) De spins van een ferromagneet ordenen zichzelf onder $T_{\text{c}}$: hun entropie is niet langer met het veld te regelen, en de hysterese zou dissiperen in plaats van koelen.

Oplossing van Oefening 22.10.

(a) $NI = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$: met een equivalent van $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.15\,\mathrm{mm}$ tegenover $e = 4\,\mathrm{mm}$ wordt $NI \approx 3960$ ampèrewindingen, $I \approx 7.9\,\mathrm{A}$. (b) $4/4.15 \approx 96\,\%$ van de moeite gaat de spleet over. (c) $\Phi = NI/(\mathcal R_{\text{ijzer}} + \mathcal R_{\text{spleet}})$ met $\mathcal R = \ell/\mu A$: de magnetomotorische kracht $NI$ speelt spanning, de flux speelt stroom, de reluctantie speelt weerstand — hier is $\mathcal R_{\text{spleet}} \approx 2.0\times10^{6}\,\mathrm{H}^{-1} \approx 27\,\mathcal R_{\text{ijzer}}$. (d) Voorbij $1.8\,\mathrm{T}$ zakt de incrementele $\mu_{\text{r}}$ van het ijzer richting 1: zijn reluctantie schiet omhoog, extra stroom koopt vrijwel geen extra flux, en een motor die daar overheen wordt geduwd wint geen koppel meer terwijl zijn wikkelingen gaar koken.

Oplossing van Oefening 22.11.

(a) $P = wfV = 40\times50\times4 \times 10^{-3} = 8\,\mathrm{W}$ — aanvaardbaar. (b) $1.2\,\mathrm{kW}$: de kern zou gloeien; hard staal diskwalificeert zichzelf voor wisselstroom door zijn eigen deugd. (c) Wervel-EMK’s schalen met lusoppervlak en $f$; lamelleren (of poederen, of isolerende ferrieten gebruiken) hakt de lussen door en snijdt het verlies in $f^2$ weg — en daarom bezitten ferrieten het megahertzbereik. (d) Geheugen wil dat de barrière van het opgeslagen bit $\sim\mu_0H_{\text{c}}M_{\text{s}}V \gg k_{\text{B}}T$ blijft voor een decennium (de superparamagnetische grens), dat wil zeggen $H_{\text{c}}$ zo groot als beschrijfbaar is; een transformator wil $H_{\text{c}} \to 0$ voor een dunne lus. Eén materiaal kan niet aan beide uiteinden zitten: zachte magneten voor machines, harde voor geheugen.

Oplossing van Oefening 22.12.

(a) Een lange, axiaal gemagnetiseerde naald is een lange solenoïde van gebonden stroom: binnenin is $H \approx 0$ (alle $B$ komt van $M$). Een dunne plaat die dwars op haar vlakken is gemagnetiseerd, is de kortste, dikste solenoïde die er is: haar inwendige retourveld geeft $H = -M$. (b) De gedrongen magneet werkt bij $H = -N_{\text{d}}M$, ver op zijn demagnetisatiekromme: wandbeweging knabbelt de remanentie weg; een naald zit bij $H \approx 0$ en houdt wat zij heeft. (c) Vandaar kompasnaalden en de langgerekte eendomeinkorrels van magneetband en vroege harde schijven — vormanisotropie als geheugenverzekering. (d) Fluxbehoud en $\oint\vect H\cdot \dd\vect\ell = 0$ geven binnen een bol $H_{\text{in}} = H_0 - M/3$; als $\mu_{\text{r}}\to\infty$ drijft het ijzer $H_{\text{in}}\to0$, dus $M \to 3H_0 = 3B_0/\mu_0$: de bol kan het veld maar drievoudig concentreren, hoe “goed” het ijzer ook is.