Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Bachelor Year 3

5Relativistische dynamica

In 1964 filmde William Bertozzi elektronen die door een lineaire versneller raasden: elke puls kreeg een gemeten energie mee, en zijn snelheid werd over $8.4\,\mathrm{m}$ vluchtweg geklokt. Newton voorspelde dat elektronen van $15\,\mathrm{MeV}$ met acht keer de lichtsnelheid zouden vliegen; de stopwatch zei $0.9999c$ en weigerde verder te gaan, hoe hard de elektronen ook werden geduwd. De kinematica vertelde ons in het vorige hoofdstuk dat $c$ een grens is; de dynamica moet nu verklaren wat er met het duwen gebeurt — waar de arbeid heen gaat wanneer de snelheid niet meer groeit. Het antwoord herordent de mechanica rond een nieuwe impuls en een nieuwe energie, verenigd in de beroemdste vergelijking van de natuurkunde: opgeslagen energie is massa, en massa is energie die ergens woont, $E = mc^2$ . Dit hoofdstuk bouwt die dynamica op en zet haar dan aan het werk waar zij dagelijks leeft — radioactief verval, deeltjesbotsingen en de versnellers die beweging in nieuwe materie omzetten.

5.1 Impuls en energie, opnieuw opgebouwd

Opmerking 5.1 (Waarom $m\vect v$ moest wijken)

De klassieke impuls $m\vect v$ blijft in elk stelsel behouden als snelheden zich à la Galilei transformeren. Dat doen zij niet (Propositie 4.10): een botsing die in het ene stelsel $\sum m\vect v$ behoudt, doet dat in een ander niet, zodat de oude impuls geen natuurwet kan zijn — hooguit een schaduw van een wet bij lage snelheid. De herstelling is de snelheid met de eigen klok van het deeltje te meten: $\dd\vect r/\dd\tau = \gamma\,\vect v$ transformeert netjes, en $m\,\dd\vect r/\dd\tau$ blijkt in alle stelsels tegelijk behouden te blijven.

Definitie 5.2 (Relativistische impuls en energie)

Een deeltje met massa $m$ en snelheid $\vect v$ ( $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ ) draagt de impuls en de energie

\vect p = \gamma m\vect v , \qquad E = \gamma mc^2 .

In rust is $E_0 = mc^2$ : de rustenergie. De kinetische energie is wat de beweging toevoegt, $E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$ , wat voor $v \ll c$ herleidt tot de vertrouwde $\tfrac12 mv^2$ (ontwikkel $\gamma$ ). In elk geïsoleerd proces blijven de totale $\vect p$ en de totale $E$ — rustenergieën inbegrepen — behouden.

Stelling 5.3 (De energie–impulsbetrekking)

Voor elk deeltje geldt

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 , \qquad \vect v = \frac{\vect p\,c^2}{E} :

de combinatie $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ heeft in elk stelsel dezelfde waarde — zij is voor energie en impuls wat het interval voor tijd en ruimte is. Twee regimes: bij lage snelheid $E \approx mc^2 + p^2/2m$ ; bij hoge energie ( $E \gg mc^2$ ) is $E \approx pc$ en $v \to c$ : harder duwen voegt energie en impuls toe, en vrijwel geen snelheid.

Bewijs. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$ ; en $pc^2/E = \gamma mvc^2/\gamma mc^2 = v$ . De stelselinvariantie volgt omdat $m$ en $c$ niet van het stelsel afhangen. ∎

Propositie 5.4 (Massaloze deeltjes)

Een deeltje met massa nul heeft $E = pc$ en beweegt in elk stelsel exact met $c$ ; het kan niet worden afgeremd, alleen roodverschoven. Het foton is het standaardgeval: $E = h\nu$ en $p = h\nu/c = h/\lambda$ — de betrekkingen van Planck en Einstein uit het volume van jaar 1, nu gezien als de hoek $m = 0$ van de mechanica.

Bewijs. Stel $m = 0$ in Stelling 5.3: $E = pc$ en $v = pc^2/E = c$ . ∎

Links: het experiment van Bertozzi over de “uiterste snelheid” — de gemeten elektronsnelheden (stippen) volgen de relativistische kromme en verzadigen bij c, terwijl de rechte van Newton er straal voorbij zeilt. Rechts: de energie–impulshyperbool; haar afstand tot nul bij p = 0 is de rustenergie, haar asymptoot de E = pc van het foton. — Links: het experiment van Bertozzi over de “uiterste snelheid” — de gemeten elektronsnelheden (stippen) volgen de relativistische kromme en verzadigen bij $c$ , terwijl de rechte van Newton er straal voorbij zeilt. Rechts: de energie–impulshyperbool; haar afstand tot nul bij $p = 0$ is de rustenergie, haar asymptoot de $E = pc$ van het foton.

Voorbeeld 5.5 (Ordes van grootte)

De deeltjesfysica telt energie in elektronvolt en massa’s in $\mathrm{MeV}/c^2$ : elektron $0.511$ , proton $938.3$ , muon $105.7$ , pion $139.6$ . Een elektron met kinetische energie $1\,\mathrm{MeV}$ heeft $\gamma = 2.96$ en $v = 0.94c$ — al volledig relativistisch, en daarom blijft de elektronica klassiek ( $\mathrm{eV}$ ) en de kernfysica niet ( $\mathrm{MeV}$ ). Een LHC-proton van $6.8\,\mathrm{TeV}$ heeft $\gamma = 7250$ en blijft slechts $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ achter op een foton.

5.2 Massa is energie die ergens woont

Stelling 5.6 (Gelijkwaardigheid van massa en energie)

De massa van een lichaam is de totale energie van zijn inhoud, gedeeld door $c^2$ , gemeten in zijn ruststelsel: verwarm een lichaam, span zijn veer op, breng zijn atomen in aangeslagen toestand, en het weegt $\Delta E/c^2$ meer; bind zijn delen samen, en het weegt minder met de bindingsenergie gedeeld door $c^2$ — het massadefect. Omgekeerd kan rustenergie vrijkomen: telkens wanneer de eindmassa’s samen minder zijn dan de beginmassa’s, komt het verschil $\Delta m\,c^2$ als kinetische energie of straling tevoorschijn.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 5.7 (De boekhouding van $c^2$ )

$c^2 = 9 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : één gram massaverschil is $9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ , de energie van een kleine stad voor een dag. Chemische bindingen (enkele eV per molecuul) verschuiven massa’s met delen op $10^{10}$ — voor altijd onweegbaar, en daarom heeft de scheikunde het nooit gemerkt. De kernbinding verschuift ze met bijna $1\%$ : helium weegt $0.7\%$ minder dan zijn vier waterstofbestanddelen, en die ontbrekende fractie, die als licht van de zon stroomt, kost haar elke seconde $\Delta m = L_\odot/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ — vier miljoen ton zonneschijn. Annihilatie vereffent de hele rekening: een elektron dat een positron ontmoet laat niets achter dan twee fotonen van elk $511\,\mathrm{keV}$ , het signaal waarmee PET-scanners een levend brein bekijken.

Opmerking 5.8 (Wat “omzetting” betekent)

Er “verandert” niets stoffelijks in energie: de totale energie bleef aldoor behouden. Wat verandert is haar woonplaats — van rustenergie, die weegt, naar kinetische energie en straling, die vliegen. De diepe uitspraak van $E = mc^2$ is dat traagheid zelf een energie-inhoud is: een doos heet gas verzet zich meer tegen versnelling dan dezelfde doos koud.

5.3 Botsingen en vervallen

Definitie 5.9 (Viererimpuls en invariante massa)

Bundel de energie en de impuls van een deeltje tot zijn viererimpuls $P = (E/c, \vect p)$ . Voor een stelsel deeltjes telt men componentsgewijs op: $E_{\text{tot}} = \sum E_i$ , $\vect p_{\text{tot}} = \sum\vect p_i$ . De invariante massa $M$ van het stelsel wordt gedefinieerd door

M^2c^4 = E_{\text{tot}}^2 - \|\vect p_{\text{tot}}\|^2c^2 :

in elk stelsel hetzelfde getal, gelijk aan de totale energie (gedeeld door $c^2$ ) in het impulsmiddelpuntstelsel, waar $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ . Merk op dat $M$ de som van de massa’s van de delen overtreft zodra die ten opzichte van elkaar bewegen — twee fotonen die uiteenvliegen hebben $M > 0$ , hoewel elk ervan massaloos is.

Methode 5.10 (Een relativistische botsing oplossen)

(1) Schrijf het behoud van viererimpuls op: $E$ en $\vect p$ samen, nooit één van beide alleen. (2) Bereken de invariant $E^2 - p^2c^2$ van welke bundel dan ook die handig is — zij mag in het eenvoudigste stelsel worden uitgerekend en in elk ander gebruikt. (3) Drempels: een reactie is mogelijk zodra de invariante massa van de begintoestand de opgetelde rustmassa’s van de eindtoestand haalt. (4) Verval in rust: de impulsen van de producten zijn tegengesteld en even groot; hun energieën volgen uit de massa’s alleen. (5) Reken pas op het allerlaatst, als ernaar gevraagd wordt, om naar snelheden via $v = pc^2/E$ .

Voorbeeld 5.11 (De vingerafdruk van het pion)

Een geladen pion in rust vervalt volgens $\pi^+ \to \mu^+ + \nu$ (het neutrino is in de praktijk massaloos). Behoud van impuls stuurt de producten rug aan rug weg met dezelfde $p$ ; het energiebehoud luidt $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ . Oplossen geeft

pc = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2m_\pi} = 29.8\,\mathrm{MeV} ,

zodat elk muon uit een pion dat in rust vervalt met precies $4.1\,\mathrm{MeV}$ kinetische energie geboren wordt — een mono-energetische lijn, en de waarneming ervan (Powell, 1947) is hoe de massa van het pion voor het eerst werd gewogen. Tweelichaamsvervallen geven altijd zulke lijnen; drielichaamsvervallen smeren ze uit tot spectra, en precies zo werd het neutrino in het kernverval $\beta$ voor het eerst vermoed.

Propositie 5.12 (Drempels: de tirannie van het vaste trefplaatje)

Om nieuwe deeltjes te maken is alleen de energie $Mc^2$ in het impulsmiddelpuntstelsel beschikbaar. Een bundel met energie $E$ die een trefplaatje met massa $m_{\text{t}}$ in rust treft, levert

M^2c^4 = m_{\text{b}}^2c^4 + m_{\text{t}}^2c^4 + 2\,E\,m_{\text{t}}c^2 :

de bruikbare energie groeit slechts als $\sqrt E$ — de rest gaat verloren aan het vooruitduwen van het puin. Twee identieke bundels die frontaal botsen leveren $Mc^2 = 2E$ : alles bruikbaar. Deze ene formule is de reden dat de machines aan de grens botsers zijn (Probleem 5.1).

Bewijs. Bereken $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ in het lab: $(E + m_{\text{t}}c^2)^2 - p^2c^2$ met $p$ de bundelimpuls; werk uit en gebruik $E^2 - p^2c^2 = m_{\text{b}}^2c^4$ . Voor de botser is $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ en $Mc^2 = E_{\text{tot}}$ . ∎

Materie uit beweging maken: op een vast trefplaatje dwingt het impulsbehoud de producten door te vliegen, en de bruikbare energie in het impulsmiddelpuntstelsel groeit slechts als √ E; bij een frontale botsing is zij de volle 2E. — Materie uit beweging maken: op een vast trefplaatje dwingt het impulsbehoud de producten door te vliegen, en de bruikbare energie in het impulsmiddelpuntstelsel groeit slechts als $\sqrt E$ ; bij een frontale botsing is zij de volle $2E$ .

5.4 Kracht en de machines

Propositie 5.13 (Relativistische bewegingsvergelijking)

De wet van Newton overleeft in de vorm

\vect F = \frac{\dd\vect p}{\dd t} = \frac{\dd(\gamma m\vect v)} {\dd t} , \qquad \frac{\dd E}{\dd t} = \vect F\cdot\vect v .

Een magneetveld, dat altijd loodrecht op $\vect v$ staat, verandert de energie niet en buigt de baan tot een cirkel met straal

r = \frac{p}{qB}

— dezelfde formule als in het volume van jaar 1, met de relativistische $p$ . Maar de omloopfrequentie $qB/\gamma m$ daalt nu naarmate het deeltje energie wint: het duwtje met vaste frequentie van het cyclotron raakt rond de schaal van de MeV uit de pas, en de machines voor hoge energie — de synchrotrons — laten in plaats daarvan hun veld en hun frequentie meelopen met $\gamma$ , zodat de bundel op één ring blijft.

Gedeeltelijk bewijs. De krachtwet is de definitie van een dynamica die bij de nieuwe impuls past ( $\dd E/\dd t$ volgt uit $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ : $E\,\dot E = c^2\vect p\cdot\dot{\vect p}$ ). Voor de cirkel: $|\dd\vect p/\dd t| = qvB$ met constante $|\vect p|$ betekent dat de impulsvector met snelheid $qvB/p$ ronddraait, zodat de straal $v/(qvB/p) = p/qB$ is. ∎

Voorbeeld 5.14 (De LHC lezen als een opgave)

Protonen met $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ in dipolen met $B = 8.3\,\mathrm{T}$ : $p \approx E/c$ (ultrarelativistisch), dus $r = p/qB = 2.7\,\mathrm{km}$ — en inderdaad is de magnetische buigstraal van de ring $2.8\,\mathrm{km}$ , waarbij de omtrek van $27\,\mathrm{km}$ grotendeels uit magneten bestaat. Frontale botsingen leveren $Mc^2 = 13.6\,\mathrm{TeV}$ ; om dat op een vast trefplaatje te halen zou een bundel van $2E^2/m_{\text{p}}c^2 \approx 10^{17}\,\mathrm{eV}$ nodig zijn — honderdmaal het bereik van elke machine die ooit is gebouwd. Niet sterkere magneten maar de formule van de botser heeft de moderne energiegrens gekocht.

Geladen deeltjes die een nevelvat doorkruisen. Sporen als deze — krullend in magneetvelden, in paren verschijnend — maakten van E = mc2 een formule die dagelijkse boekhouding werd: het positron is op zo’n foto ontdekt. — Geladen deeltjes die een nevelvat doorkruisen. Sporen als deze — krullend in magneetvelden, in paren verschijnend — maakten van $E = mc^2$ een formule die dagelijkse boekhouding werd: het positron is op zo’n foto ontdekt.

5.5 Opgaven

Oefening 5.1 ★

Een elektron ( $mc^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ ) beweegt met $0.99c$ . Bereken $\gamma$ , zijn impuls in $\mathrm{MeV}/c$ , en zijn totale en kinetische energie. Dezelfde vragen voor een proton ( $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ) met kinetische energie $1\,\mathrm{GeV}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

Elektron: $\gamma = 7.09$ ; $pc = \gamma\beta\,mc^2 = 3.59\,\mathrm{MeV}$ , dus $p = 3.59\,\mathrm{MeV}/c$ ; $E = 3.62\,\mathrm{MeV}$ , $E_k = 3.11\,\mathrm{MeV}$ . Proton: $E = 938 + 1000 = 1938\,\mathrm{MeV}$ , $\gamma = 2.07$ , $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2} = 1696\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = pc/E = 0.875$ .

Oefening 5.2 ★

(a) Hoeveel energie sluimert er in één gram materie? (b) De explosie van Hiroshima maakte ongeveer $6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ vrij: welk massaverschil is dat? (c) De zon straalt $L = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ uit: hoeveel massa verliest zij per seconde, en welk deel van haar $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ in tien miljard jaar? (d) De accu van uw telefoon slaat $5 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ op: hoeveel zwaarder is een opgeladen telefoon?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

(a) $10^{-3} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ . (b) $6 \times 10^{13}/ 9 \times 10^{16} \approx 0.7\,\mathrm{g}$ — de bom zette minder dan een gram om. (c) $L/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; over $10^{10}\,\mathrm{yr}$ ( $3.2 \times 10^{17}{}\,\mathrm{s}$ ): $1.3 \times 10^{27}{}\,\mathrm{kg}$ , ongeveer $0.07\%$ van de zon. (d) $5 \times 10^{4}/9 \times 10^{16} \approx 0.6\,\mathrm{ng}$ — werkelijk, en voor altijd onweegbaar.

Oefening 5.3 ★

(a) Hoeveel impuls draagt de bundel van een laserpen van $5\,\mathrm{mW}$ per seconde, en welke kracht voelt de pen? (b) Welke kracht oefent zonlicht ( $1.4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ) uit op een perfect spiegelend zonnezeil van $100\,\mathrm{m}^{2}$ ? (c) Hoe snel beweegt een zeilschip van $10\,\mathrm{kg}$ na een maand vanuit rust? (d) Waarom wijst de stofstaart van een komeet van de zon af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

(a) $p = P/c$ per seconde: een terugstootkracht $F = P/c = 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ . (b) Reflectie verdubbelt de overdracht: $F = 2\Phi A/c = 2 \times 1400 \times 100/3 \times 10^{8} \approx 0.9\,\mathrm{mN}$ . (c) $a \approx 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; na $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v \approx 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — traag op gang, maar de motor raakt nooit leeg. (d) De impuls van het zonlicht (samen met de zonnewind) duwt het stof onophoudelijk naar buiten: de staart stroomt van de zon weg, niet achter de komeet aan.

Oefening 5.4 ★

Oefening met eenheden. (a) Toon aan dat $\mathrm{MeV}/c^2$ een massa-eenheid is en zet de elektronmassa om naar kilogram. (b) Hoeveel is $1\,\mathrm{GeV}/\mathrm{c}$ in $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ? (c) Een kwadraat van een invariante massa komt uit op $s = 16\,\mathrm{GeV}^{2}$ (in eenheden met $c = 1$ ): welke energie in het impulsmiddelpuntstelsel is dat? (d) Waarom stellen deeltjesfysici $c = 1$ , en wat moet een lezer terugzetten om SI-getallen te krijgen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

(a) $m = E_0/c^2$ : $0.511 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}/9 \times 10^{16} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ . (b) $10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 5.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\sqrt s = 4\,\mathrm{GeV}$ aan energie in het impulsmiddelpuntstelsel. (d) Met $c = 1$ delen energie, impuls en massa één eenheid en verliest elke formule haar $c$ ’s; om naar SI terug te keren zet men de unieke macht van $c$ terug die de dimensies herstelt.

Oefening 5.5 ★★

De elektronen van Bertozzi hadden kinetische energieën $0.5$ , $1$ , $4.5$ en $15\,\mathrm{MeV}$ . (a) Bereken voor elk de voorspelling van Newton $v^2 = 2E_k/m$ , in eenheden $c^2$ . (b) Bereken de relativistische $v^2/c^2$ . (c) Zijn vluchttijd over $8.4\,\mathrm{m}$ bij $15\,\mathrm{MeV}$ : wat wees de klok aan, en wat zou Newton hebben voorspeld? (d) De energie van de elektronen werd ook calorimetrisch gemeten — aan hun warmte bij de inslag: waarom was die stap het eigenlijke punt van het experiment?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

(a) $2E_k/mc^2$ : $1.96$ , $3.9$ , $17.6$ , $59$ — vanaf de tweede absurd. (b) $1 - (1 + E_k/mc^2)^{-2}$ : $0.74$ , $0.89$ , $0.990$ , $0.9989$ . (c) $8.4/0.99946c = 28.0\,\mathrm{ns}$ ; de $7.7c$ van Newton zou $3.7\,\mathrm{ns}$ hebben opgeleverd. (d) De calorimeter bewees dat de elektronen werkelijk de volle $15\,\mathrm{MeV}$ het trefplaatje in droegen: de energie was er wel degelijk, en toch was de snelheid opgehouden te groeien — arbeid koopt nu impuls en energie, geen snelheid.

Oefening 5.6 ★★

Het geladen pion vervalt in rust: $\pi^+ \to \mu^+\nu$ , $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ , $m_\mu c^2 = 105.7\,\mathrm{MeV}$ , $m_\nu \approx 0$ . (a) Toon aan dat $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2$ en reken het uit. (b) De kinetische energie en de snelheid van het muon. (c) De energie van het neutrino. (d) Wat zijn in vlucht bij $\gamma_\pi = 50$ de maximale en de minimale labenergie van het vervalmuon (verval voorwaarts en achterwaarts)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

(a) $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ ; isoleer de wortel en kwadrateer: $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2 = (139.6^2 - 105.7^2)/(2 \times 139.6) = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (b) $E_\mu = \sqrt{29.8^2 + 105.7^2} = 109.8\,\mathrm{MeV}$ : $E_k = 4.1\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = 29.8/109.8 = 0.27$ . (c) $E_\nu = pc = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (d) Boosten geeft $E_{\text{lab}} = \gamma(E^* \pm \beta p^*c)$ met $\beta \approx 1$ : tussen $50 \times (109.8 - 29.8) = 4.0\,\mathrm{GeV}$ en $50 \times (109.8 + 29.8) = 7.0\,\mathrm{GeV}$ .

Oefening 5.7 ★★

Invariante massa in actie. (a) Twee fotonen van elk $200\,\mathrm{MeV}$ vliegen onder $60^\circ$ ten opzichte van elkaar: bereken de invariante massa van het paar. (b) Een neutraal pion ( $m_{\pi^0}c^2 = 135\,\mathrm{MeV}$ ) vervalt in twee fotonen: wat is de invariante massa van het fotonpaar, in elk stelsel? (c) Leg uit hoe een experiment een deeltje “ontdekt” als een bult in de verdeling van de invariante massa van zijn vervalproducten. (d) Twee fotonen met gelijke energie vliegen precies evenwijdig: invariante massa? Wat zegt dit over het ruststelsel van een lichtbundel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

(a) Voor twee massaloze quanta is $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta) = 2 \times 200^2 \times \tfrac12$ : $M = 200\,\mathrm{MeV}/c^2$ . (b) Precies $m_{\pi^0}$ — de invariante massa is de massa van het deeltje, in elk stelsel. (c) Bereken $M$ voor elk fotonpaar in de gebeurtenis: willekeurige paren spreiden vlak uit, echte dochters van een deeltje hopen zich op bij zijn massa — de bult. (d) $\theta = 0$ : $M = 0$ ; een evenwijdige lichtbundel heeft geen ruststelsel — zij beweegt als geheel met $c$ , net als elk van haar fotonen.

Oefening 5.8 ★★

Boekhouding van de LHC (protonen met $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ ). (a) $\gamma$ , en het snelheidstekort $c - v$ (gebruik $c - v \approx c/2\gamma^2$ ). (b) De omloopfrequentie op de ring van $27\,\mathrm{km}$ en het aantal rondjes per seconde. (c) De opgeslagen energie van een bundel van $3 \times 10^{14}$ protonen, in kilogram TNT ( $4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ). (d) Het massa-equivalent van de kinetische energie van de twee bundels, in microgram — materie die op het punt staat gemaakt te worden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

(a) $\gamma = 6.8 \times 10^{12}/9.38 \times 10^{8} = 7250$ ; $c - v \approx c/2\gamma^2 = 2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $f = v/L \approx 3 \times 10^{8}/27000 = 11.1\,\mathrm{kHz}$ : elfduizend rondjes per seconde. (c) $3 \times 10^{14} \times 6.8\,\mathrm{TeV} = 3.3 \times 10^{8}\,\mathrm{J} \approx 78\,\mathrm{kg}$ TNT — in een haardunne bundel. (d) $2 \times 3.3 \times 10^{8}/9 \times 10^{16} \approx 7\,\text{µ}\mathrm{g}$ : de werkvoorraad toekomstige materie.

Oefening 5.9 ★★

Botsende fotonen. (a) Toon aan dat één foton in vacuüm niet in een paar elektron–positron kan vervallen, hoe energierijk ook (gebruik de invariant). (b) Toon aan dat paarvorming tegen een tweede foton met energie $\epsilon$ frontaal $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ vergt. (c) Welke partner heeft een foton van $511\,\mathrm{keV}$ nodig? En een röntgenfoton van $50\,\mathrm{keV}$ ? (d) Het heelal is gevuld met sterrenlicht en met de kosmische achtergrondstraling: wat voorspelt (b) voor het bereik van $\gamma$ -straling van TeV door de intergalactische ruimte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

(a) De invariante massa van een foton is $0$ ; die van een paar $e^+e^-$ is minstens $2m_{\text{e}}c^2$ . De invariant kan bij een geïsoleerd verval niet veranderen: verboden. (Gelijkwaardig: in geen enkel stelsel kan de impuls kloppen.) (b) Frontaal is $M^2c^4 = 4E\epsilon$ ; paarvorming vergt $Mc^2 \ge 2m_{\text{e}}c^2$ , dus $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (c) Nog een foton van $511\,\mathrm{keV}$ ; voor $50\,\mathrm{keV}$ een partner van $0.511^2/0.05 = 5.2\,\mathrm{MeV}$ . (d) Een foton van een TeV haalt de drempel $(m_{\text{e}}c^2)^2/E \sim 0.3\,\mathrm{eV}$ al op gewoon sterrenlicht: de hemel zelf slikt $\gamma$ -straling van TeV over kosmologische afstanden op — het heelal is niet bij elke energie doorzichtig.

Oefening 5.10 ★★★

Compton, met viererimpulsen. Een foton met golflengte $\lambda$ treft een elektron in rust en verstrooit onder de hoek $\theta$ . (a) Schrijf het behoud van viererimpuls op en isoleer de invariant van het uiteindelijke elektron. (b) Leid af dat

\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{\text{e}}c}\,(1 - \cos\theta) .

(c) Bereken $h/m_{\text{e}}c$ en de maximale verschuiving; waarom is het effect met zichtbaar licht onzichtbaar maar bij röntgenstraling doorslaggevend? (d) Wat stelde Comptons meting van 1923 over het licht vast dat het foto-elektrisch effect niet had vastgesteld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

(a) $P_{e'} = P_\gamma + P_e - P_{\gamma'}$ ; kwadrateer beide leden (invarianten): $m_{\text{e}}^2c^4 = m_{\text{e}}^2c^4 + 2P_\gamma\! \cdot\!P_e - 2P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e - 2P_\gamma\!\cdot\!P_{\gamma'}$ . (b) Met $P_\gamma\!\cdot\!P_e = E m_{\text{e}}$ , $P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e = E'm_{\text{e}}$ en $P_\gamma\!\cdot\! P_{\gamma'} = EE'(1 - \cos\theta)/c^2$ volgt $m_{\text{e}}c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta)$ , wat in golflengten ( $E = hc/\lambda$ ) de aangegeven verschuiving is. (c) $h/m_{\text{e}}c = 2.43\,\mathrm{pm}$ , hoogstens $4.9\,\mathrm{pm}$ : één deel op $10^5$ van zichtbaar licht (onzichtbaar), enkele procenten van een röntgengolf van $100\,\mathrm{pm}$ (meetbaar). (d) Dat een foton botst als een biljartbal — en daarbij impuls $h/\lambda$ overdraagt in afzonderlijke gebeurtenissen, niet slechts energie in brokjes.

Oefening 5.11 ★★★

Het einde van het spectrum van de kosmische straling. Het heelal baadt in microgolffotonen met een typische energie $\epsilon = 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . Een proton met energie $E$ dat er frontaal een treft kan tot de $\Delta$ -resonantie worden aangeslagen ( $m_\Delta c^2 = 1232\,\mathrm{MeV}$ ) en verliest daarbij telkens energie. (a) Toon aan dat de drempelvoorwaarde bij benadering $4E\epsilon = (m_\Delta^2 - m_{\text{p}}^2)c^4$ luidt. (b) Bereken de drempel $E$ . (c) Daarboven is het heelal ondoorzichtig voor protonen voorbij zo’n $100\,\mathrm{Mly}$ : wat voorspelt dit voor het waargenomen spectrum van de kosmische straling (de afsnijding van Greisen, Zatsepin en Kuzmin)? (d) Er is kosmische straling van $3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ geregistreerd — “Oh-My-God”-deeltjes: wat eist hun bestaan van hun bronnen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.11.

(a) Frontaal is $M^2c^4 = m_{\text{p}}^2c^4 + 4E\epsilon$ (met het proton ultrarelativistisch); de drempel ligt bij $M = m_\Delta$ . (b) $E = (1232^2 - 938^2)\,\mathrm{MeV}^{2}/(4 \times 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}) \approx 2.7 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ voor het gemiddelde foton — de thermische staart van de achtergrondstraling brengt de effectieve afsnijding op $\sim6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ . (c) Protonen boven de afsnijding verliezen energie aan de $\Delta$ binnen $\sim10^{8}\,\mathrm{ly}$ : het spectrum zou voor verre bronnen bij ongeveer $6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ moeten eindigen — de waargenomen GZK-onderdrukking. (d) Hun bronnen moeten zowel buitengewone versnellers zijn als kosmisch dichtbij — binnen onze superhoop — en mede daarom wordt hun oorsprong nog steeds gezocht.

Oefening 5.12 ★★★

De fotonraket. Een raket met beginmassa $m_{\text{i}}$ stoot haar uitlaatstroom als een gebundelde lichtstraal uit en haalt de snelheid $\beta c$ . (a) Toon met behoud van energie en impuls tussen begin en eind aan dat

\frac{m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \eu^{\varphi} ,

de exponentiële functie van de snelheidshoek — de relativistische vergelijking van Tsiolkovski met de best mogelijke uitlaat. (b) Massaverhouding om $0.9c$ te halen? En om $0.9c$ te halen én op de bestemming te stoppen? (c) De bundel moet ergens vandaan komen: hoeveel kilogram antimaterie per kilogram nuttige lading kost de enkele reis naar $0.9c$ bij annihilatie van materie en antimaterie met perfect rendement? (d) De wereldproductie van antiprotonen bedraagt nanogrammen per jaar: concludeer in één zin over fotonraketten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.12.

(a) Energie: $m_{\text{i}}c^2 = \gamma m_{\text{f}}c^2 + E_\ell$ ; impuls: $\gamma m_{\text{f}}\beta c = E_\ell/c$ . Elimineer $E_\ell$ : $m_{\text{i}} = \gamma(1 + \beta)m_{\text{f}} = m_{\text{f}}\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$ . (b) $\sqrt{19} = 4.4$ ; versnellen en afremmen kwadrateert dat: $19$ . (c) De verbruikte massa $m_{\text{i}} - m_{\text{f}} = 3.4\,m_{\text{f}}$ moet geannihileerde brandstof zijn, waarvan de helft antimaterie: $1.7\,\mathrm{kg}$ antimaterie per afgeleverde kilogram (enkele reis, zonder afremmen). (d) Bij een wereldproductie van nanogrammen per jaar blijven fotonraketten rekenkunde, geen techniek.

De ontdekking van de antimaterie (Carl D. Anderson, 1932, publiek domein): één positron dat door de loden plaat van het nevelvat omhoog klimt, de verkeerde kant op krommend voor een elektron en te strak voor een proton — de boekhouding van E = mc2 betrapt op achteruitlopen. — De ontdekking van de antimaterie (Carl D. Anderson, 1932, publiek domein): één positron dat door de loden plaat van het nevelvat omhoog klimt, de verkeerde kant op krommend voor een elektron en te strak voor een proton — de boekhouding van $E = mc^2$ betrapt op achteruitlopen.

5.6 Vraagstuk: Materie maken — het antiproton en het Bevatron

Probleem 5.1

Weekendvraagstuk — hoe het impulsbehoud de antiwereld beprijsde

De vergelijkingen van Dirac eisten vanaf 1931 dat het proton een spiegeltweeling met tegengestelde lading had. Er een maken betekende zijn rustenergie met bundelenergie kopen — en het impulsbehoud stelde de prijs. Dit vraagstuk beprijst haar, ontwerpt de machine die haar betaalde en volgt de ontdekking van 1955. Gegevens: $m_{\text{p}}c^2 = 938.3\,\mathrm{MeV}$ ; lading en baryongetal (protonen en neutronen $+1$ , antiprotonen $-1$ ) blijven in elke reactie behouden.

Deel I — Het gereedschap van de viererimpuls.

Toon voor één deeltje aan dat $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ uit de definities van $E$ en $\vect p$ volgt.
Waarom is $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ voor een stelsel in alle stelsels hetzelfde, en waaraan is het gelijk in het impulsmiddelpuntstelsel?
Een protonbundel met energie $E$ treft een proton in rust: toon aan dat $M^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2E\,m_{\text{p}}c^2$ .
Toets de twee limieten: bij lage energie $Mc^2 \to 2m_{\text{p}}c^2$ ; bij hoge energie $Mc^2 \approx \sqrt{2E\,m_{\text{p}}c^2}$ — de wortelwet.
Een reactie is alleen toegestaan als $Mc^2$ de opgetelde rustmassa’s van de producten haalt, waarbij bij de drempel alle producten in het impulsmiddelpuntstelsel in rust zijn: rechtvaardig die laatste toevoeging.
Waarom kan de kinetische energie van de producten in het lab bij een vast trefplaatje nooit voor deeltjesvorming worden teruggewonnen?

Deel II — Het antiproton beprijzen.

Bij botsingen $p + p$ moet de goedkoopste reactie die een antiproton $\bar p$ maakt ook een extra proton maken: schrijf haar op en rechtvaardig dit met lading en baryongetal.
Toon aan dat de drempel $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ vergt.
Leid de vereiste bundelenergie $E = 7m_{\text{p}}c^2$ en de kinetische energie $T = 6m_{\text{p}}c^2$ af; bereken $T$ .
Welk deel van de kinetische energie van de bundel werd bij de drempel werkelijk nieuwe rustmassa ( $2m_{\text{p}}c^2$ ervan)? Waar zit de rest?
Welke kinetische energie per bundel zou dezelfde reactie in een frontale botser $p$ – $p$ nodig hebben? Vergelijk de twee ontwerpen.
In 1954 bestond er geen botser (de bundels waren te ijl om elkaar te raken): welk praktisch feit dwong tot de keuze voor een vast trefplaatje, en wat kostte dat aan bundelenergie?

Deel III — Het Bevatron ontwerpen. De machine die in Berkeley werd gebouwd haalde $T = 6.2\,\mathrm{GeV}$ — ruim boven de drempel — met dipoolvelden van $B = 1.56\,\mathrm{T}$ .

Bereken de totale energie en de impuls van de bundel bij topenergie.
Bereken de buigstraal $r = p/qB$ en vergelijk met de $15.2\,\mathrm{m}$ van de machine.
Bereken de snelheid van het proton en de omloopfrequentie op de ring met omtrek $2\pi r$ .
Bij injectie komen de protonen aan met $10\,\mathrm{MeV}$ kinetische energie: bereken hun snelheid en leg uit waarom de versnelfrequentie tijdens elke cyclus moest meelopen (welke twee grootheden veranderen als $E$ groeit?).
Met ongeveer $1.5\,\mathrm{kV}$ winst per omloop: hoeveel omlopen duurt één versnelcyclus, en hoe lang?
De naam “Bevatron” kwam van BeV, miljarden elektronvolt: formuleer in één regel welke natuurkunde het ontwerpgetal van $6$ en een fractie BeV vastlegde.

Deel IV — De ontdekking, 1955.

Een magneet buigt elke kandidaat op een cirkel: leg uit waarom dit deeltjes op impuls selecteert ( $r = p/qB$ ) en niet op energie of snelheid — en waarom een op impuls geselecteerde bundel toch soorten mengt.
De bundel op een koperen trefplaatje maakte stromen negatieve pionen ( $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ ) waartussen enkele antiprotonen schuilgingen. De spectrometer selecteerde negatieve deeltjes met impuls $p = 1.19\,\mathrm{GeV}/c$ : bereken bij die impuls de snelheid van een antiproton en die van een pion.
Bereken de twee vluchttijden over het traject van $12\,\mathrm{m}$ : welke tijdsresolutie had de ontdekking nodig?
Een tweede, onafhankelijke handtekening gebruikte čerenkovtellers, die pas boven een snelheidsdrempel aanslaan: welk deeltje werd geacht ze te laten aanslaan, en waarom telt redundantie bij een ontdekking?
Chamberlain en Segrè telden ongeveer één antiproton per $44\,000$ pionen: waarom garandeerde het drempelargument dat het tempo ook boven de drempel minuscuul zou zijn?
Een antiproton ontmoet uiteindelijk een proton en annihileert: hoeveel energie komt er per gebeurtenis vrij, en typisch waarin?
Vat het genoemde resultaat samen: het behoud van viererimpuls beprijsde het antiproton op $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ op een vast trefplaatje; een synchrotron van $6.2\,\mathrm{GeV}$ en $15\,\mathrm{m}$ betaalde die prijs, en de antiwereld werd laboratoriumfeit — de Nobelprijs van 1959.

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - \beta^2) = m^2c^4$ . 2. $E_{\text{tot}}$ en $\vect p_{\text{tot}}$ transformeren als de $E$ en $\vect p$ van één deeltje (het zijn sommen), dus geeft dezelfde algebra een invariant; waar $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ is het het kwadraat van de totale energie: $Mc^2 = E_{\text{CM}}$ . 3. $(E + m_{\text{p}}c^2)^2 - p^2c^2 = m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2 + m_{\text{p}}^2c^4$ . 4. $E \to m_{\text{p}}c^2$ geeft $M = 2m_{\text{p}}$ ; $E \gg m_{\text{p}}c^2$ geeft $Mc^2 \to \sqrt{2Em_{\text{p}}c^2}$ . 5. Elke onderlinge beweging van de producten voegt in het CM-stelsel kinetische energie toe boven op hun rustmassa’s; de minimale $Mc^2$ — de drempel — laat ze alle onderling in rust. 6. De labimpuls $\vect p_{\text{tot}} \neq \vect 0$ moet de botsing overleven: de producten zijn veroordeeld tot bewegen, en hun kinetische energie blijft voor het maken van massa afgesloten. 7. $p + p \to p + p + p + \bar p$ : lading $+2 \to +2$ ; baryongetal $+2 \to 1 + 1 + 1 - 1 = +2$ . Alleen een $\bar p$ maken, of met minder dan een volledig extra baryon, breekt een van beide. 8. Vier protonmassa’s onderling in rust: $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ . 9. $16m_{\text{p}}^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2$ : $E = 7m_{\text{p}}c^2$ , $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.63\,\mathrm{GeV}$ . 10. Nieuwe rustmassa: $2m_{\text{p}}c^2$ van de $T = 6m_{\text{p}}c^2$ — een derde; de andere twee derde vliegt door als kinetische energie van de producten, beschermd door het impulsbehoud. 11. Frontaal is $Mc^2 = 2(T' + m_{\text{p}}c^2) = 4m_{\text{p}}c^2$ : $T' = m_{\text{p}}c^2 = 0.94\,\mathrm{GeV}$ per bundel — zes keer minder dan de bundel op een vast trefplaatje, twaalf keer minder totale kinetische energie. 12. De bundels van de jaren vijftig waren veel te ijl om bruikbaar met elkaar te botsen; een vast trefplaatje biedt $10^{22}$ protonen per kubieke centimeter. De prijs: $5.6\,\mathrm{GeV}$ in plaats van $2 \times 0.94\,\mathrm{GeV}$ . 13. $E = 6.2 + 0.94 = 7.14\,\mathrm{GeV}$ ; $pc = \sqrt{7.14^2 - 0.938^2} = 7.08\,\mathrm{GeV}$ . 14. $p = 7.08 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 3.8 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $r = p/qB = 15.1\,\mathrm{m}$ — de machine zoals zij gebouwd is. 15. $\beta = pc/E = 0.991$ ; de baan $2\pi r = 95\,\mathrm{m}$ : $f = 3.1\,\mathrm{MHz}$ . 16. Bij $10\,\mathrm{MeV}$ is $\beta = 0.145$ : $f = 0.46\,\mathrm{MHz}$ . Naarmate de energie klimt veranderen zowel de snelheid (en dus $f$ ) als de impuls (en dus het veld dat bij vaste straal nodig is): veld en radiofrequentie moeten samen meelopen — de bepalende truc van het synchrotron. 17. $6.19 \times 10^{9}/1500 \approx 4 \times 10^{6}$ omlopen; bij een gemiddelde frequentie op de schaal van megahertz een versnelcyclus van de orde van één à twee seconden. 18. De drempel voor het antiproton, $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ , plus marge: de boekhouding van dit vraagstuk is letterlijk waarvoor de energie — en de naam — van de machine gekozen zijn. 19. $r = p/qB$ bevat geen massa: de magneet buigt gelijke impulsen even sterk, welk deeltje het ook is — dus mengt de geselecteerde bundel nog steeds pionen, kaonen en (zelden) antiprotonen, alle bij $1.19\,\mathrm{GeV}/c$ . 20. $\bar p$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.938^2} = 1.51\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.79$ . $\pi^-$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.140^2} = 1.20\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.993$ . 21. $t_{\bar p} = 12/(0.785c) = 51\,\mathrm{ns}$ ; $t_\pi = 40\,\mathrm{ns}$ : het gat van $11\,\mathrm{ns}$ vergde timing op de nanoseconde — in 1955 net beschikbaar. 22. De tellers waren zo afgesteld dat zij op de snelle pionen aansloegen en voor de trage antiprotonen donker bleven (een snelheidsveto); bij een naald van $1$ op $44000$ konden alleen twee onafhankelijke handtekeningen (vluchttijd en cerenkovdrempel) toevallige nabootsingen uitsluiten. 23. Net boven de drempel worden de producten vrijwel onderling in rust geboren: de reactie heeft nauwelijks faseruimte, terwijl pionproductie, ver boven haar drempel, overvloedig is — zeldzaamheid was gegarandeerd door dezelfde kinematica die de prijs bepaalde. 24. $2m_{\text{p}}c^2 = 1.9\,\mathrm{GeV}$ per annihilatie, doorgaans in een handvol pionen die verder vervallen tot fotonen, muonen en neutrino’s. 25. Het behoud van viererimpuls beprijsde het antiproton op $6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ op een vast trefplaatje; het Bevatron van $6.2\,\mathrm{GeV}$ en $15.1\,\mathrm{m}$ betaalde die prijs; vluchttijd en een cerenkovveto vonden één deeltje uit de antiwereld per $44000$ bedriegers — en de Nobelprijs van 1959 keurde de boekhouding goed.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst