Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

18Probabilidad y variables aleatorias

La probabilidad modeliza experimentos cuyo resultado es incierto: lanzar un dado, sacar una carta, jugar una partida. Este capítulo monta el vocabulario sobre conjuntos finitos y presenta después al personaje central de toda la teoría de la probabilidad: la variable aleatoria y su esperanza. Estas nociones se repasan y se profundizan en el Capítulo 33, y las probabilidades condicionadas llegan en el Capítulo 32.

18.1 Probabilidad sobre un conjunto finito

Definición 18.1 (Modelo probabilístico)

Un experimento con un número finito de resultados se modeliza mediante su espacio muestral $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (el conjunto de los resultados) junto con una probabilidad $\P$ que asigna a cada resultado $\omega_i$ un número $p_i \geq 0$ , con $p_1 + \dots + p_n = 1$ . Un suceso es un subconjunto $A \subseteq \Omega$ , y

\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .

Cuando todos los resultados son equiprobables ( $p_i = \frac1n$ : el modelo uniforme),

\P(A) = \frac{\text{número de resultados de } A} {\text{número de resultados de } \Omega}.

Ejemplo 18.2

Lanzamos dos dados distinguibles: $\Omega$ es el conjunto de las $36$ parejas ordenadas $(i, j)$ con $1 \leq i, j \leq 6$ , todas equiprobables. El suceso $S$ = “la suma es $7$ ” contiene las $6$ parejas $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ , luego $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$ . El suceso “la suma es $12$ ” contiene solo $(6,6)$ : probabilidad $\frac{1}{36}$ . Elegir el espacio muestral adecuado (parejas ordenadas, no desordenadas) es lo que hace aplicable el modelo uniforme.

Proposición 18.3 (Reglas de la probabilidad)

Para sucesos $A, B \subseteq \Omega$ :

\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A),

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),

donde $\bar A$ es el suceso contrario de $A$ (todos los resultados que no están en $A$ ). En particular, $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ cuando $A$ y $B$ son incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ).

Demostración. El suceso vacío no contiene ningún resultado (suma vacía) y $\Omega$ los contiene todos (suma total $1$ ). Cada resultado está exactamente en uno de $A$ o $\bar A$ , luego $\P(A) + \P(\bar A) = 1$ . Para la unión: sumar los $p_i$ sobre $A$ y después sobre $B$ cuenta dos veces los resultados de $A \cap B$ ; restar $\P(A \cap B)$ corrige ese doble recuento. ∎

Ejemplo 18.4

En una clase, el $60\,\%$ estudia música ( $M$ ), el $45\,\%$ practica algún deporte ( $S$ ) y el $25\,\%$ hace las dos cosas. La proporción que hace al menos una es $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$ , así que el $20\,\%$ no hace ninguna (suceso contrario).

18.2 Variables aleatorias

Definición 18.5 (Variable aleatoria, distribución)

Una variable aleatoria sobre $\Omega$ es una función $X$ que asigna un número a cada resultado. Su distribución es la tabla de sus valores posibles $x_1, \dots, x_k$ junto con sus probabilidades

\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr), \qquad \sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .

Ejemplo 18.6

Un juego: pagas $2$ euros, lanzas un dado no trucado y recibes el valor que salga si es al menos $5$ , y nada en los demás casos. Sea $G$ la ganancia (lo recibido menos lo pagado). Los resultados $1, 2, 3, 4$ dan $G = -2$ ; el resultado $5$ da $G = 3$ ; el resultado $6$ da $G = 4$ . La distribución de $G$ :

$g$	$-2$	$3$	$4$
$\P(G = g)$	$\dfrac46$	$\dfrac16$	$\dfrac16$

Método 18.7 (Construir una tabla de distribución)

Enumera los valores posibles de $X$ ; para cada valor, reúne los resultados que lo producen y suma sus probabilidades; y comprueba que la fila de probabilidades suma $1$ .

18.3 Esperanza

Definición 18.8 (Esperanza)

La esperanza (o media) de $X$ es el promedio de sus valores ponderado por sus probabilidades:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Observación 18.9

$\E(X)$ es lo que sería la media de un número enorme de repeticiones independientes del experimento; la versión precisa de esta afirmación es la ley de los grandes números, que se demuestra en el Capítulo 34. Fíjate en la analogía formal con la media de un conjunto de datos con frecuencias (Definición 17.1): las probabilidades hacen el papel de las frecuencias relativas $\frac{n_i}{n}$ .

Ejemplo 18.10

Para el juego del Ejemplo 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

De media, el jugador pierde unos $17$ céntimos por partida: el juego es desfavorable. Un juego se llama equitativo cuando la ganancia esperada es $0$ .

Proposición 18.11 (Linealidad)

Para todos los reales $a, b$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .

Demostración. La variable $aX + b$ toma el valor $a x_i + b$ con probabilidad $\P(X = x_i)$ , luego

\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b) = a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X = x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .

∎

18.4 Varianza y desviación típica

Definición 18.12 (Varianza)

La varianza de $X$ mide la dispersión de sus valores alrededor de la esperanza $m = \E(X)$ :

\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

Proposición 18.13 (Fórmula abreviada)

\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Demostración. Desarrollamos $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ dentro de la suma:

\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2 - 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i) = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,

que es $\E(X^2) - m^2$ . Es la versión para variables aleatorias de la identidad demostrada para conjuntos de datos en la Proposición 17.7. ∎

Proposición 18.14 (Transformación afín)

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ y $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$ .

Demostración. Por linealidad, $aX + b$ se aparta de su esperanza $a m + b$ en $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ : cada desviación queda multiplicada por $a$ , luego cada desviación al cuadrado por $a^2$ , y su media ponderada también. El desplazamiento $b$ ha desaparecido: desplazar una variable no cambia su dispersión. ∎

Ejemplo 18.15

Para el juego del Ejemplo 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , luego

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

La pérdida media de $0.17$ por partida viene acompañada de vaivenes de tamaño típico $2.6$ euros: la esperanza sin desviación típica solo cuenta la mitad de la historia.

La distribución de la ganancia G del y su esperanza (G) = -1/6 (línea discontinua): el punto de equilibrio de las masas de probabilidad. — La distribución de la ganancia $G$ del Ejemplo 18.6 y su esperanza $\E(G) = -\frac16$ (línea discontinua): el punto de equilibrio de las masas de probabilidad.

18.5 Ejercicios

Ejercicio 18.1 ★

Se saca una carta de una baraja de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de sacar: una carta de corazones; un rey; una carta de corazones o un rey; ni corazones ni rey.

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

Modelo uniforme sobre $52$ cartas. Corazones: $\frac{13}{52} = \frac14$ . Reyes: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Corazones o rey: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (el rey de corazones se cuenta una sola vez). Ninguna de las dos cosas: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ .

Ejercicio 18.2 ★

Se lanzan dos dados no trucados y se anota su suma $S$ . Usando el modelo de $36$ resultados del Ejemplo 18.2, calcula $\P(S = 6)$ , $\P(S \geq 10)$ y $\P(S \text{ es par})$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

$S = 6$ : las parejas $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ , luego $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$ .

$S \geq 10$ : tres parejas para $10$ , dos para $11$ y una para $12$ : $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

$S$ par: las sumas $2, 4, 6, 8, 10, 12$ tienen $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ parejas: probabilidad $\frac{18}{36} = \frac12$ .

Ejercicio 18.3 ★

Una variable aleatoria tiene la distribución

$x$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$\P(X=x)$	$0.3$	$0.2$	$0.4$	$p$

Halla $p$ y calcula después $\E(X)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Las probabilidades suman $1$ : $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$ . Entonces

\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5 = -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .

Ejercicio 18.4 ★

$X$ cumple $\E(X) = 3$ y $\V(X) = 4$ . Da la esperanza, la varianza y la desviación típica de $Y = 2X - 5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ; $\sigma(Y) = 4$ .

Ejercicio 18.5 ★★

Una ruleta de la fortuna tiene $10$ sectores iguales: $5$ marcan $0$ euros, $3$ marcan $2$ euros y $2$ marcan $5$ euros. Jugar cuesta $2$ euros. Da la distribución de la ganancia $G$ (lo ganado menos la apuesta), calcula $\E(G)$ y decide si el juego es favorable.

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

Lo ganado es $0$ , $2$ o $5$ euros con probabilidades $0.5$ , $0.3$ y $0.2$ ; restando la apuesta de $2$ euros, $G$ toma los valores $-2, 0, 3$ :

$g$	$-2$	$0$	$3$
$\P(G=g)$	$0.5$	$0.3$	$0.2$

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : el jugador pierde $40$ céntimos por partida de media; desfavorable.

Ejercicio 18.6 ★★

Una urna contiene $3$ bolas rojas y $2$ azules; se sacan dos bolas sin devolución. Sea $X$ el número de bolas rojas extraídas. Construye la distribución de $X$ (enumerando las $20$ extracciones ordenadas o con un árbol) y calcula $\E(X)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

Extrayendo en orden: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (roja y roja); $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (azul y azul); por tanto, $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$ . Entonces

\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10} = \frac{12}{10} = 1.2 ,

coherente con la intuición: de media, $\frac35$ de las dos extracciones son rojas.

Ejercicio 18.7 ★★

Para la ruleta del Ejercicio 18.5, calcula $\V(G)$ y $\sigma(G)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$ , así que por la fórmula abreviada $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ y $\sigma(G) \approx 1.9$ euros.

Ejercicio 18.8 ★★

Una compañía de seguros vende una póliza por $80$ euros. Con probabilidad $0.05$ el cliente reclama $1000$ euros, con probabilidad $0.01$ reclama $5000$ euros y, en los demás casos, nada. Sea $B$ el beneficio de la compañía en una póliza. Da la distribución de $B$ , calcula $\E(B)$ e interpreta el resultado.

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

El beneficio son los $80$ menos la reclamación:

$b$	$80$	$-920$	$-4920$
$\P(B=b)$	$0.94$	$0.05$	$0.01$

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : a ese precio, la compañía pierde $20$ euros por póliza de media. La prima es demasiado baja para los riesgos cubiertos (tendría que pasar de $100$ euros para que el beneficio esperado fuera positivo).

Ejercicio 18.9 ★★

Una pregunta de tipo test tiene $4$ respuestas, una correcta. Una respuesta correcta puntúa $+1$ ; para desincentivar el azar, una respuesta equivocada puntúa $x < 0$ . Un alumno responde al azar. ¿Para qué valor de $x$ es nula la puntuación esperada del alumno?

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

La puntuación aleatoria es $+1$ con probabilidad $\frac14$ y $x$ con probabilidad $\frac34$ :

\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .

Con la penalización $-\frac13$ , responder al azar no aporta nada de media.

Ejercicio 18.10 ★★

Se lanzan dos monedas no trucadas. Ana propone: “si las dos monedas coinciden, te pago $1$ euro; si son distintas, me pagas $1$ euro”. Calcula la ganancia esperada de cada jugador. ¿Es equitativo el juego? La misma pregunta con tres monedas, en la que Ana paga $2$ euros si las tres coinciden.

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Dos monedas: coinciden (CC o XX) con probabilidad $\frac24 \times 2 = \frac12$ . La ganancia del jugador es $+1$ o $-1$ con la misma probabilidad: esperanza $0$ para los dos jugadores; el juego es equitativo.

Tres monedas: las tres coinciden (CCC o XXX) con probabilidad $\frac{2}{8} = \frac14$ . El jugador recibe $2$ con probabilidad $\frac14$ y paga $1$ con probabilidad $\frac34$ : $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$ . El juego favorece a Ana en $25$ céntimos por ronda; sería equitativo si pagase $3$ euros por un triple.

Ejercicio 18.11 ★★★

Una rifa vende $1000$ papeletas a $5$ euros cada una. Una papeleta gana $2000$ euros, cinco papeletas ganan $200$ euros y veinte papeletas ganan $25$ euros.

Da la distribución de la recaudación total del organizador menos los premios, y la de la ganancia $G$ de un jugador cualquiera.
Calcula $\E(G)$ y el beneficio total esperado del organizador. Comprueba que las dos respuestas son coherentes.

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

1. El organizador recibe $1000 \times 5 = 5000$ euros y reparte $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euros en total: el beneficio es la constante $1500$ (no hay azar una vez vendidas todas las papeletas). La ganancia $G$ de un jugador (premio menos los $5$ euros de la papeleta):

$g$	$1995$	$195$	$20$	$-5$
$\P(G=g)$	$\dfrac{1}{1000}$	$\dfrac{5}{1000}$	$\dfrac{20}{1000}$	$\dfrac{974}{1000}$

\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000} = \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .

Cada jugador espera perder $1.50$ euros; con $1000$ jugadores son $1500$ euros, exactamente el beneficio del organizador. Las cuentas cuadran: lo que los jugadores pierden de media es justo lo que el organizador recauda.

18.6 Problema: La partida interrumpida

Problema 18.1

Problema de fin de semana — Pascal, Fermat y el reparto justo de una apuesta interrumpida: el nacimiento de la esperanza, la magia de la linealidad y lo que la esperanza no ve

En 1654, el caballero de Méré, el mismo jugador cuyas apuestas con dados abrieron el problema de probabilidad del volumen anterior, le planteó a Blaise Pascal una pregunta más profunda: dos jugadores igual de hábiles tienen que interrumpir su serie con el marcador $5$ a $3$ , y seis victorias se llevan el bote de $64$ pistolas. ¿Cómo hay que repartir el bote de forma justa? Las cartas entre Pascal y Fermat que la respondieron fundaron el concepto que está en el corazón de este capítulo: la esperanza (Definición 18.8). Vas a rehacer su respuesta por los dos caminos, y después conocerás el truco de fiesta de la linealidad y el único punto ciego de la esperanza.

Parte I — Soltura con la esperanza.

Lanzas un dado no trucado; tu ganancia es (cara $- 3$ ) euros. Construye la tabla de distribución de la ganancia $G$ (Método 18.7) y calcula $\E(G)$ .
Calcula $V(G)$ con la fórmula abreviada (Proposición 18.13) y $\sigma(G)$ (con dos decimales).
Sin ninguna tabla nueva, da $\E(2G - 1)$ y $V(2G - 1)$ (Proposición 18.14).
Un puesto cobra $m$ euros por lanzar dos dados y te entrega la suma en euros. ¿Cuál es el precio justo $m$ ? El puesto cobra $8$ : ¿cuál es tu pérdida esperada por partida?
Un ordenador portátil que vale $800$ euros tiene un $5\,\%$ de probabilidad de destrucción cada año. Calcula la prima de seguro justa y el beneficio esperado de la aseguradora por póliza si cobra $60$ euros.

Parte II — Repartir el bote. Marcador $5$ – $3$ , gana el bote de $64$ pistolas el primero que llegue a $6$ , y cada ronda equivale a lanzar una moneda no trucada.

Dos respuestas equivocadas muy tentadoras: repartir $5 : 3$ (proporcionalmente a las rondas ganadas) o dárselo todo al que va por delante. Di en una frase qué tiene de injusta cada una.
El método de Fermat: el jugador A necesita $1$ victoria más y B necesita $3$ ; imagina que se juegan exactamente $3$ rondas más pase lo que pase. Enumera los $8$ resultados equiprobables, marca quién gana la serie en cada uno y deduce el reparto justo de las $64$ pistolas.
El punto delicado que Fermat tuvo que defender: la partida real podría acabarse tras una sola ronda; ¿por qué es legítimo, a pesar de ello, razonar sobre las $3$ rondas imaginarias?
El método de Pascal, hacia atrás desde el final: calcula la parte justa de A en los marcadores (hipotéticos) $5$ – $5$ , después $5$ – $4$ y después $5$ – $3$ , promediando cada vez los dos futuros equiprobables. Compara con la pregunta 7.
La misma pregunta con el marcador $4$ – $3$ : ¿cuántas rondas imaginarias hacen falta, qué resultados dan la serie a B y cuál es el reparto justo?
Enuncia el principio que comparten los dos métodos (el valor justo de un futuro incierto es su esperanza) y nombra dos industrias modernas que funcionan enteramente sobre él (la pregunta 5 muestra una).
Una comprobación válida para cualquier marcador: explica, con la linealidad de la esperanza (Proposición 18.11), por qué las partes justas de los dos jugadores tienen que sumar exactamente el bote de $64$ pistolas.

Parte III — El truco de fiesta de la linealidad.

Recupera $\E(\text{suma de dos dados}) = 7$ en una línea con la linealidad (Proposición 18.11), sin ninguna tabla de $36$ casillas. Para la varianza de la suma, la regla $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ exige que los dados sean independientes (se admite): calcúlala.
La fiesta de los sombreros: $n$ invitados tiran sus sombreros a un montón y cada uno recoge uno al azar. Sea $X$ el número de invitados que recuperan su propio sombrero. Para un invitado fijado, ¿cuál es la probabilidad de recuperar el suyo? Sumando esas $n$ probabilidades (¡linealidad!), calcula $\E(X)$ . La respuesta debería sorprenderte: no depende de $n$ .
Comprueba $\E(X) = 1$ por fuerza bruta para $n = 2$ y $n = 3$ (enumera los $2$ y los $6$ repartos equiprobables de sombreros y promedia los recuentos).
Los aciertos de los invitados están lejos de ser independientes (si $n - 1$ invitados han recuperado el suyo, el último también lo recupera por fuerza). ¿En qué punto exacto del cálculo de la pregunta 14 no hizo falta la independencia? Enuncia el superpoder de la linealidad.

Parte IV — Lo que la esperanza no ve.

Dos rascas de $5$ euros: el rasca A gana $10$ euros con probabilidad $\frac12$ ; el rasca B gana $1\,000$ euros con probabilidad $0.005$ . Comprueba que las dos ganancias tienen la misma esperanza y calcula después las dos varianzas. ¿Qué rasca compra la gente de verdad y qué es lo que está comprando?
El juego de San Petersburgo: lanzas una moneda hasta la primera cruz; si la primera cruz sale en el lanzamiento $n$ , recibes $2^n$ euros. Calcula la aportación de cada $n$ a la esperanza y la esperanza misma. ¿Pagarías $1\,000$ euros por jugar una vez? ¿Qué enseña este choque sobre la esperanza?
El seguro desde el lado del cliente: ¿pagar $20$ euros o afrontar un riesgo del $1\,\%$ de perder $1\,000$ ? Compara las dos esperanzas y explica por qué contratar el seguro puede ser racional de todos modos (¿sobre qué no puede “promediar” una sola familia?).
Final: la biografía de la esperanza, una frase por capítulo: nació en 1654 para repartir un bote; su superpoder es la linealidad, que suma esperanzas sin preguntar por la independencia (los sombreros); su punto ciego es el riesgo, que mide la varianza (los rascas, San Petersburgo, el seguro); y su coronación llega el año que viene, cuando la ley de los grandes números explique exactamente por qué la banca siempre gana.

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. $G$ toma los valores $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ , cada uno con probabilidad $\frac16$ : $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{6} = \frac12$ euro.

2. $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{19}{6}$ ; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12} \approx 2.92$ ; $\sigma(G) \approx 1.71$ .

3. $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$ ; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$ .

4. $\E(\text{suma}) = 7$ : precio justo, $7$ euros. A $8$ , la pérdida esperada es de $1$ euro por partida.

5. Prima justa: $0.05 \times 800 = 40$ euros. Cobrando $60$ : un beneficio esperado de $20$ euros por póliza.

6. Repartir $5:3$ premia el pasado, pero el bote es de quien gane el futuro, y B todavía podría ganar. Dárselo todo a A trata una victoria probable como si fuera segura: la pequeña opción de B vale algo.

7. Rondas por jugar: $3$ ; resultados (victoria de A o de B por ronda): AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. B se lleva la serie solo si gana las tres: únicamente BBB. A gana la serie en $7$ de los $8$ casos: reparto justo, $64 \times \frac78 = 56$ pistolas para A y $8$ para B.

8. Jugar rondas de más, ya inútiles, no cambia la victoria de nadie: una vez que A tiene su sexta victoria, las rondas posteriores son pura ceremonia. Pero fijar el horizonte en exactamente $3$ rondas hace equiprobables los $8$ resultados; contar con honradez exige historias de la misma longitud, y alargarlas no cuesta nada.

9. En $5$ – $5$ : una ronda decisiva, $32$ para cada uno. En $5$ – $4$ : A obtiene $\frac{64 + 32}{2} = 48$ . En $5$ – $3$ : la ronda siguiente lleva a $64$ (si la gana A) o a la posición $5$ – $4$ , que vale $48$ : la parte de A es $\frac{64 + 48}{2} = 56$ ; el $56 : 8$ de Fermat, deducido caminando hacia atrás.

10. A necesita $2$ y B necesita $3$ : se juegan $4$ rondas imaginarias ( $16$ resultados). B se lleva la serie con $3$ o $4$ victorias suyas: $4 + 1 = 5$ resultados. Reparto: B: $64 \times \frac{5}{16} = 20$ ; A: $44$ .

11. El valor presente justo de un pago futuro incierto es su esperanza, o sea, el promedio de lo que puede venir ponderado por las probabilidades. Los seguros (pregunta 5) y las finanzas (valorar pagos inciertos) son esa frase convertida en industrias; y los casinos también, desde el otro lado de la mesa.

12. El bote acaba siempre en algún sitio: las dos partes son variables aleatorias cuya suma es la constante $64$ , así que por linealidad $\E_A + \E_B = 64$ ; las partes justas agotan el bote, sea cual sea el marcador.

13. Linealidad: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$ , sin tabla, y cierto incluso con dos dados pegados. Varianza de un dado: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ ; para dados independientes, $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ .

14. Cada invitado fijado recupera su propio sombrero con probabilidad $\frac1n$ (el suyo es uno entre $n$ ). Sumando sobre los $n$ invitados: $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ ; un invitado afortunado de media, tenga la fiesta dos sombreros o dos mil.

15. $n = 2$ : los repartos son “los dos aciertan” ( $X = 2$ ) o “intercambiados” ( $X = 0$ ): $\E = 1$ . $n = 3$ : los seis repartos dan $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$ : $\E = \frac{6}{6} = 1$ .

16. El cálculo sumó las esperanzas de los $n$ indicadores individuales (“el invitado $i$ recuperó su sombrero”), y la linealidad suma esperanzas sin condiciones: la dependencia arruinaría un producto o una varianza, pero nunca una suma de esperanzas. Ese es el superpoder de la linealidad: no hace preguntas sobre independencia.

17. Las dos ganancias: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ y $0.005 \times 1000 - 5 = 0$ . Varianzas (de la ganancia): A: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$ ; B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$ : $\sigma_A = 5$ y $\sigma_B \approx 70.5$ . La gente compra el B: lo que compra no es esperanza (nula en los dos casos), sino dispersión: una pequeña opción de una cola derecha que cambia la vida.

18. Que la primera cruz salga en el lanzamiento $n$ tiene probabilidad $2^{-n}$ y paga $2^n$ : cada $n$ aporta $2^{-n} \times 2^n = 1$ a la esperanza, que es por tanto $1 + 1 + 1 + \dots$ : infinita. Y, sin embargo, nadie en su sano juicio paga $1\,000$ por jugar una vez: con probabilidad $\frac{15}{16}$ el pago es como mucho $16$ . La esperanza resume el largo plazo de apuestas repetibles; un juego único con una cola descontrolada no se valora con su media.

19. Esperanzas: asegurarse, $-20$ ; ir a pecho descubierto, $-0.01 \times 1000 = -10$ . La estrategia sin seguro gana de media, para quien pueda absorber la pérdida y repetir la apuesta muchas veces. Una familia que no sobrevive al $-1\,000$ no está en el negocio de promediar: paga $10$ de más para borrar la varianza. Las aseguradoras promedian; las familias compran certeza.

20. Nació repartiendo un bote entre dos jugadores impacientes; la fortalece la linealidad, que suma esperanzas sin pedirle permiso a la dependencia (los sombreros); es ciega al riesgo, que tiene que medir la varianza (las rifas, el juego de San Petersburgo, la póliza de la familia); y la corona el año que viene la ley de los grandes números, que explica por qué los promedios siempre acaban cobrando.

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