Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

18Probabilidad y variables aleatorias

Probabilidad modela experimentos cuyo resultado es incierto: una tirada de dado, una carta extraída, un juego jugado. Este capítulo establece el vocabulario sobre finitos. conjuntos, luego presenta el carácter central de toda la teoría probabilidad: el variable aleatoria y su expectativa. Estas nociones son revisado y profundizado en Capítulo 33, y condicional las probabilidades siguen en Capítulo 32.

18.1 Probabilidad en un conjunto finito

Definición 18.1 (Modelo de probabilidad)

Un experimento con un número finito de resultados está modelado por su muestra espacio $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (el conjunto de resultados) junto con una asignación probabilidad $\P$ a cada resultado $\omega_i$ un número $p_i \geq 0$ , con $p_1 + \dots + p_n = 1$ . un evento es un subconjunto $A \subseteq \Omega$ , y

\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .

Cuando todos los resultados son igualmente probables ( $p_i = \frac1n$ : el uniforme modelo),

\P(A) = \frac{\text{number of outcomes in } A} {\text{number of outcomes in } \Omega}.

Ejemplo 18.2

Tira dos dados distinguibles: $\Omega$ es el conjunto de los pares ordenados $36$ $(i, j)$ con $1 \leq i, j \leq 6$ , todos igualmente probables. El evento $S$ = “la suma es $7$ ” contiene los pares $6$ $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ , entonces $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$ . El evento “la suma es $12$ ” contiene sólo $(6,6)$ : probabilidad $\frac{1}{36}$ . Eligiendo el bien espacio muestral — pares ordenados, no desordenados — es lo que hace que el modelo uniforme aplicable.

Proposición 18.3 (Reglas de probabilidad)

Para eventos $A, B \subseteq \Omega$ :

\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A),

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),

donde $\bar A$ es complementar de $A$ (todos los resultados no están en $A$ ). En particular, $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ cuando $A$ y $B$ son incompatible ( $A \cap B = \emptyset$ ).

Demostración. El evento vacío no contiene ningún resultado (suma vacía) y el $\Omega$ contiene todos ellos (suma total $1$ ). Cada resultado está exactamente en uno de $A$ , $\bar A$ , entonces $\P(A) + \P(\bar A) = 1$ . Para el unión: sumando el $p_i$ sobre $A$ y luego sobre $B$ cuenta los resultados de $A \cap B$ dos veces; restar $\P(A \cap B)$ corrige el conteo doble. ∎

Ejemplo 18.4

En una clase, $60\%$ estudia música ( $M$ ), $45\%$ practica un deporte ( $S$ ) y $25\%$ haz ambas cosas. La proporción que hace al menos uno es $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$ , entonces $20\%$ no hace ninguna de las dos cosas (complementar).

18.2 variables aleatorias

Definición 18.5 (Variable aleatoria, distribución.)

Un variable aleatoria en $\Omega$ es un función $X$ asignando un número a cada resultado. su distribución es la tabla de sus posibles valores $x_1, \dots, x_k$ junto con sus probabilidades

\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr), \qquad \sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .

Ejemplo 18.6

Un juego: paga $2$ euros, tira un dado justo, recibe el valor mostrado si es al menos $5$ , nada más. Sea $G$ el ganar (recibido menos pagado). Los resultados $1, 2, 3, 4$ dan $G = -2$ ; el resultado $5$ da $G = 3$ ; el resultado $6$ da $G = 4$ . El distribución de $G$ :

$g$	$-2$	$3$	$4$
$\P(G = g)$	$\dfrac46$	$\dfrac16$	$\dfrac16$

Método 18.7 (Construyendo una tabla de distribución)

Enumere los posibles valores de $X$ ; Para cada valor, recopile los resultados. producirlo y sumar sus probabilidades; comprobar que la fila de Las probabilidades suman $1$ .

18.3 Expectativa

Definición 18.8 (expectativa)

El expectativa (o significar) de $X$ es el promedio de sus valores ponderados por sus probabilidades:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Observación 18.9

$\E(X)$ es lo que el significar de una enorme cantidad de repeticiones independientes de el experimento sería — la versión precisa de esta afirmación es la ley de los grandes números, demostrada en Capítulo 34. Tenga en cuenta lo formal analogía con el significar de un conjunto de datos con frecuencias (Definición 17.1): las probabilidades juegan el papel de relativo frecuencias $\frac{n_i}{n}$ .

Ejemplo 18.10

Para el juego de Ejemplo 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

En promedio, el jugador pierde aproximadamente $17$ centavos por juego: el juego es desfavorable. Un juego se llama justo cuando la ganancia esperada es $0$ .

Proposición 18.11 (Linealidad)

Para todos los reales $a, b$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .

Demostración. La variable $aX + b$ toma el valor $a x_i + b$ con probabilidad $\P(X = x_i)$ , entonces

\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b) = a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X = x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .

∎

18.4 Varianza y desviación estándar

Definición 18.12 (variación)

El diferencia de $X$ mide la propagación de su valores alrededor de expectativa $m = \E(X)$ :

\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

Proposición 18.13 (Fórmula de acceso directo)

\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Demostración. Expande $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ dentro de la suma:

\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2 - 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i) = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,

que es $\E(X^2) - m^2$ . Esta es la versión de variable aleatoria del Identidad probada para conjuntos de datos en Proposición 17.7. ∎

Proposición 18.14 (Transformación afín)

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ y $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$ .

Demostración. Por linealidad, $aX + b$ se desvía de su expectativa $a m + b$ en $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ : cada desviación se escala en $a$ , por lo tanto cada desviación al cuadrado por $a^2$ , y también lo es su significar ponderado. el shift $b$ ha desaparecido — cambiar una variable no cambia su difundir. ∎

Ejemplo 18.15

Para el juego de Ejemplo 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , entonces

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

La pérdida de $0.17$ por juego en promedio viene con cambios de tamaño típicos. $2.6$ euros — expectativa sin desviación estándar dice solo la mitad la historia.

El distribución de la ganancia G de y su expectativa (G) = -1/6 (discontinuo): el punto de equilibrio de las masas probabilidad. — El distribución de la ganancia $G$ de Ejemplo 18.6 y su expectativa $\E(G) = -\frac16$ (discontinuo): el punto de equilibrio de las masas probabilidad.

18.5 Ceremonias

Ejercicio 18.1 ★

Se extrae una carta de una baraja de cartas estándar $52$ . Calcular el probabilidad del dibujo: un corazón; un rey; un corazón o un rey; ni un corazón ni un rey.

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

modelo uniforme en tarjetas $52$ . Corazones: $\frac{13}{52} = \frac14$ . Reyes: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Corazón o rey: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (el rey de corazones se cuenta una vez). Ninguno de los dos: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ .

Ejercicio 18.2 ★

Se lanzan dos dados justos y se registra su suma $S$ . Usando el $36$ : modelo de resultado de Ejemplo 18.2, cálculo $\P(S = 6)$ , $\P(S \geq 10)$ y $\P(S \text{ is even})$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

$S = 6$ : los pares $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ , entonces $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$ .

$S \geq 10$ : tres pares para $10$ , dos para $11$ , uno para $12$ : $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

$S$ par: las sumas $2, 4, 6, 8, 10, 12$ tienen $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ pares: probabilidad $\frac{18}{36} = \frac12$ .

Ejercicio 18.3 ★

Un variable aleatoria tiene distribución

$x$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$\P(X=x)$	$0.3$	$0.2$	$0.4$	$p$

Encuentre $p$ y luego calcule $\E(X)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Las probabilidades suman $1$ : $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$ . entonces

\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5 = -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .

Ejercicio 18.4 ★

$X$ satisface $\E(X) = 3$ y $\V(X) = 4$ . Dar el expectativa, diferencia y desviación estándar de $Y = 2X - 5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ; $\sigma(Y) = 4$ .

Ejercicio 18.5 ★★

Una rueda de la fortuna tiene $10$ sectores iguales: $5$ muestra $0$ euros, $3$ muestra $2$ euros, $2$ muestra $5$ euros. Jugar cuesta $2$ euros. Dale el distribución de la ganancia $G$ (ganancias menos apuesta), calcule $\E(G)$ , y decidir si el juego es favorable.

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

Las ganancias son $0$ , $2$ , $5$ euros con probabilidades $0.5$ , $0.3$ , $0.2$ ; restando la apuesta $2$ -euro, $G$ toma los valores $-2, 0, 3$ :

$g$	$-2$	$0$	$3$
$\P(G=g)$	$0.5$	$0.3$	$0.2$

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : el jugador pierde $40$ centavos por juego en promedio — desfavorable.

Ejercicio 18.6 ★★

Una urna contiene bolas rojas $3$ y bolas azules $2$ ; se extraen dos bolas Reemplazo sin. Sea $X$ el número de bolas rojas extraídas. Construya el distribución de $X$ (enumere los sorteos ordenados $20$ o use un árbol) y calcular $\E(X)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

Dibujo en orden: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (rojo luego rojo); $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (azul luego azul); por lo tanto $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$ . entonces

\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10} = \frac{12}{10} = 1.2 ,

Consistente con la intuición: $\frac35$ de los dos sorteos son rojos en promedio.

Ejercicio 18.7 ★★

Para la rueda de Ejercicio 18.5, calcule $\V(G)$ y $\sigma(G)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$ , así que por el fórmula de atajo $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ y $\sigma(G) \approx 1.9$ euros.

Ejercicio 18.8 ★★

Una compañía de seguros vende una póliza por $80$ euros. Con probabilidad $0.05$ el cliente reclama $1000$ euros, con probabilidad $0.01$ el cliente reclama $5000$ euros, de lo contrario nada. Sea $B$ el beneficio de la empresa. en una sola política. Proporcione distribución de $B$ , calcule $\E(B)$ y interpretar.

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

El beneficio es $80$ menos el reclamo:

$b$	$80$	$-920$	$-4920$
$\P(B=b)$	$0.94$	$0.05$	$0.01$

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : a este precio la empresa pierde $20$ euros por póliza de media. La prima es demasiado baja para los riesgos. cubierto (tendría que exceder $100$ euros para una expectativa positiva beneficio).

Ejercicio 18.9 ★★

Una pregunta de opción múltiple tiene respuestas $4$ , una correcta. una respuesta correcta puntuaciones $+1$ ; Para desalentar las adivinanzas, una respuesta incorrecta puntúa $x < 0$ . Un estudiante responde al azar. ¿Para qué valor de $x$ es el del estudiante? puntuación esperada cero?

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

La puntuación aleatoria es $+1$ con probabilidad $\frac14$ y $x$ con probabilidad $\frac34$ :

\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .

Con la penalización $-\frac13$ , las adivinanzas aleatorias no aportan nada en promedio.

Ejercicio 18.10 ★★

Se lanzan dos monedas justas. Ann propone: “si ambas monedas coinciden, te pago $1$ euros; si difieren, me pagas $1$ euro.” Calcule el valor esperado ganancia de cada jugador. ¿Es el juego justo? Misma pregunta con tres monedas, donde Ann paga $2$ euros si los tres coinciden.

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Dos monedas: coinciden (HH o TT) con probabilidad $\frac24 \times 2 = \frac12$ . La ganancia del jugador es $+1$ o $-1$ con probabilidades iguales: expectativa $0$ para ambos jugadores — el juego es justo.

Tres monedas: todas coinciden (HHH o TTT) con probabilidad $\frac{2}{8} = \frac14$ . El jugador recibe $2$ con probabilidad $\frac14$ y paga $1$ con probabilidad $\frac34$ : $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$ . El juego favorece a Ann por $25$ centavos por ronda; Sería justo que pagara $3$ euros por un partido triple.

Ejercicio 18.11 ★★★

Una lotería vende billetes $1000$ a $5$ euros cada uno. Un boleto gana $2000$ euros, ganan cinco entradas $200$ euros, ganan veinte entradas $25$ euros.

Da el distribución de los ingresos totales del organizador menos premios, y de la ganancia de un solo jugador $G$ .
Calcule $\E(G)$ y el beneficio total esperado del organizador. Comprueba que las dos respuestas sean consistentes.

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

1. El organizador recibe $1000 \times 5 = 5000$ euros y paga en total $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euros: el beneficio es el constante $1500$ (sin aleatoriedad una vez vendidos todos los boletos). Ganancia de un solo jugador $G$ (premio menos el billete en euros $5$ ):

$g$	$1995$	$195$	$20$	$-5$
$\P(G=g)$	$\dfrac{1}{1000}$	$\dfrac{5}{1000}$	$\dfrac{20}{1000}$	$\dfrac{974}{1000}$

\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000} = \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .

Cada jugador espera perder $1.50$ euros; más de $1000$ jugadores, es decir $1500$ euros — exactamente el beneficio del organizador. El saldo de los libros: lo que los jugadores pierden en promedio es precisamente lo que el organizador recoge.

18.6 Problema: el juego inacabado

Problema 18.1

Problema del fin de semana — Pascal, Fermat y la feria Escisión de una apuesta interrumpida: el nacimiento de la expectativa, la magia de linealidad, y lo que la expectativa no puede ver

En 1654, el Chevalier de Méré — el mismo jugador cuyos dados las apuestas abrieron el problema probabilidad del volumen de la escuela secundaria — le hizo a Blaise Pascal una pregunta más profunda: dos personas igualmente hábiles los jugadores deben detener su serie con el puntaje de $5$ a $3$ , seis gana llevándose el bote de pistola $64$ . ¿Cómo debe ser la olla? dividir de manera justa? Las cartas entre Pascal y Fermat contestándola fundó el concepto central de este capítulo: expectativa (Definición 18.8). Volverás a derivar su Responde en ambos sentidos, luego conoce el truco de fiesta de la linealidad y El único punto ciego de expectativa.

Parte I — Expectativa fluency.

Tira un dado justo; tu ganancia es (cara $- 3$ ) euros. construir la tabla distribución de la ganancia $G$ (Método 18.7) y calcular $\E(G)$ .
Calcular $V(G)$ con la fórmula de acceso directo (Proposición 18.13) y $\sigma(G)$ (dos decimales).
Sin ninguna tabla nueva, proporcione $\E(2G - 1)$ y $V(2G - 1)$ (Proposición 18.14).
Un puesto cobra $m$ euros por tirar dos dados y casillas te la suma en euros. ¿Cuál es el precio justo? $m$ ? El puesto cobra $8$ : ¿cuál es su pérdida esperada? por juego?
Un portátil que vale $800$ euros tiene una $5\,\%$ posibilidades de destrucción cada año. Calcular el seguro justo prima y el beneficio esperado del asegurador por póliza si cobra $60$ euros.

Parte II — Splitting the pot. Puntuación $5$ – $3$ , el primero en llegar a $6$ gana las pistolas $64$ , las rondas son lanzamientos de moneda justos.

Dos tentadoras respuestas incorrectas: dividir $5 : 3$ (proporcionalmente a las rondas ganadas), o dar todo a el líder. Di en una frase cada uno lo que es injusto. sobre ellos.
Método de Fermat: el jugador A necesita $1$ más victorias, B necesita $3$ ; Imagínese jugar exactamente $3$ más rondas independientemente. Enumere los resultados $8$ igualmente probables, marque quién gana el serie en cada uno, y deducir la división justa del $64$ pistolas.
El punto sutil que Fermat tuvo que defender: el verdadero juego podría detenerse después de una ronda — ¿por qué sigue siendo así? ¿Es legítimo razonar en todas las rondas imaginarias $3$ ?
Método de Pascal, hacia atrás desde el final: calcular A participación justa en las puntuaciones (hipotéticas) $5$ – $5$ , luego $5$ – $4$ , luego $5$ – $3$ , cada vez promediando los dos futuros igualmente probables. Compárese con la pregunta 7.
Misma pregunta en la partitura $4$ – $3$ : ¿cuántos imaginarios rondas, qué resultados le dan a B la serie y cuál es la división justa?
Indique el principio que comparten los dos métodos — la feria El valor de un futuro incierto es su expectativa. — y nombre dos industrias modernas que funcionan enteramente con (la pregunta 5 muestra uno).
Un control de cordura para cada puntuación: explica, con el linealidad de expectativa (Proposición 18.11), ¿por qué los dos jugadores las partes justas siempre deben sumar exactamente el $64$ - Olla de pistola.

Parte III — Linearity’s party trick.

Recuperar $\E(\text{sum of two dice}) = 7$ en una línea con linealidad (Proposición 18.11), no XXXP0206Tabla de celdas XXX. Para el diferencia de la suma, la regla $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ necesita que los dados sean independiente (admitido): computarlo.
La fiesta del check-check: $n$ los invitados tiran sus sombreros en una apila y cada uno toma uno al azar. Deja que $X$ cuente los invitados que recuperan su propio sombrero. por uno fijo invitado, ¿cuál es el probabilidad de recuperar lo suyo? sombrero? Sumando estas probabilidades $n$ (¡linealidad!), calcule $\E(X)$ . La respuesta debería sorprenderte: no Depende de $n$ .
Verificar $\E(X) = 1$ por fuerza bruta para $n = 2$ y $n = 3$ (enumere $2$ y $6$ con la misma probabilidad asignaciones de sombreros y promediar los conteos).
Las recuperaciones de los invitados están lejos de ser independientes (si $n - 1$ los invitados recuperaron sus propios sombreros, el último también debe hacerlo). ¿Dónde exactamente se realizó el cálculo de la pregunta 14? no ¿requiere independencia? Linealidad del estado superpotencia.

Parte IV — What expectativa cannot see.

Dos tarjetas rasca y gana de $5$ euros: la tarjeta A gana $10$ euros con probabilidad $\frac12$ ; la tarjeta B gana $1\,000$ euros con probabilidad $0.005$ . Compruebe que ambas ganancias tengan la mismo expectativa, luego calcule ambos variaciones. cual ¿Qué compran las personas reales y qué compran?
El juego de San Petersburgo: voltear hasta la primera cruz; si la primera cruz aparece en el giro $n$ , recibirás $2^n$ euros. Calcule la contribución de cada $n$ a el expectativa y el propio expectativa. ¿Quieres pagar $1\,000$ euros para jugar una vez? ¿Qué significa el choque? enseñar sobre expectativa?
Seguro por parte del cliente: pagar $20$ euros, o ¿Enfrenta un riesgo $1\,\%$ de perder $1\,000$ ? comparar los dos esperanzas de heredar y explique por qué comprar el seguro puede seguir siendo racional (¿qué no puede hacer una sola familia?) “promedio superior”?).
Finale — biografía de expectativa, una frase por capítulo: nacido en 1654 para dividir una olla; su superpotencia, linealidad, que agrega esperanzas de heredar sin preguntar independencia (los sombreros); su punto ciego, el riesgo, que medidas diferencia (tarjetas, San Petersburgo, seguros); y su coronación el próximo año, cuando la ley de los grandes Los números explican exactamente por qué la casa siempre gana.

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. $G$ toma $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ , cada uno con probabilidad $\frac16$ : $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{6} = \frac12$ euros.

2. $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{19}{6}$ ; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12} \approx 2.92$ ; $\sigma(G) \approx 1.71$ .

3. $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$ ; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$ .

4. $\E(\text{sum}) = 7$ : precio justo $7$ euros. En $8$ , la pérdida esperada es de $1$ euros por partido.

5. Prima justa: $0.05 \times 800 = 40$ euros. Cobro $60$ : beneficio esperado $20$ euros por póliza.

6. Dividir $5:3$ recompensa al pasado — pero el El bote pertenece a quien gane el futuro, y B podría todavía gana. Darle todo a A considera segura una probable victoria — La pequeña oportunidad de B vale algo.

7. Rondas a jugar: $3$ ; resultados (ganancia A/ganancia B por ronda): AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. El jugador B toma la serie sólo ganando los tres: BBB solo. A gana el serie en $7$ de casos $8$ : división justa Pistolas $64 \times \frac78 = 56$ para A, $8$ para B.

8. Jugar las rondas extra sin sentido cambia victoria de nadie: una vez que A logra su sexta victoria, las rondas posteriores son ceremonia. Pero fijar el horizonte exactamente en $3$ rondas hace todos los resultados $8$ tienen la misma probabilidad — se necesita un conteo honesto historias de la misma extensión y completarlas no cuesta nada.

9. En $5$ – $5$ : una ronda decisiva, $32$ cada una. en $5$ – $4$ : A obtiene $\frac{64 + 32}{2} = 48$ . En $5$ – $3$ : el La siguiente ronda conduce a $64$ (A gana) o a $5$ – $4$ . valor de posición $48$ : participación A $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — $56 : 8$ de Fermat, rederivado caminando hacia atrás.

10. A necesita $2$ , B necesita $3$ : juega $4$ imaginario rondas (resultados $16$ ). B toma la serie con $3$ o $4$ Victorias B: resultados $4 + 1 = 5$ . Dividir: $B$ : $64 \times \frac{5}{16} = 20$ ; $A$ : $44$ .

11. El valor razonable presente de un futuro incierto el pago es su expectativa — promedio ponderado por probabilidad de lo que pueda venir. Seguros (pregunta 5) y finanzas (precios recompensas inciertas) ¿esta frase se convierte en industrias; también lo son los casinos, desde el otro lado de la mesa.

12. El bote siempre acaba en alguna parte: las dos acciones son variables aleatorias sumando la constante $64$ , por lo que por linealidad $\E_A + \E_B = 64$ — las acciones justas agotan el bote, en cada puntuación.

13. Linealidad: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$ , sin tabla — cierto incluso para dados pegados. Diferencia de un dado: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ ; para dados independientes $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ .

14. Cada invitado fijo recupera su propio sombrero con probabilidad $\frac1n$ (su sombrero es uno de los $n$ ). sumando sobre los invitados $n$ : $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — un invitado afortunado en promedio, si el partido tiene dos sombreros o dos mil.

15. $n = 2$ : asignaciones: ambas a la derecha ( $X = 2$ ) o intercambiado ( $X = 0$ ): $\E = 1$ . $n = 3$ : las seis asignaciones dan $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$ : $\E = \frac{6}{6} = 1$ .

16. El cómputo sumó el esperanzas de heredar del $n$ indicadores individuales ("el invitado $i$ obtuvo su sombrero"), y la linealidad agrega esperanzas de heredar incondicionalmente — La dependencia arruinaría un producto o un diferencia, pero nunca un suma de esperanzas de heredar. Ese es el superpoder de la linealidad: no preguntas de independencia formuladas.

17. Ambas ganancias: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ y $0.005 \times 1000 - 5 = 0$ . Variaciones (de la ganancia): R: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$ ; B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$ : $\sigma_A = 5$ , $\sigma_B \approx 70.5$ . La gente compra B: ¿qué? que compran no es expectativa (cero en ambos) sino el desparramar — una pequeña posibilidad de un derecho que cambiará la vida cola.

18. Primera cruz en el flip $n$ tiene probabilidad $2^{-n}$ y paga $2^n$ : cada $n$ aporta $2^{-n} \times 2^n = 1$ al expectativa, que por lo tanto es $1 + 1 + 1 + \dots$ : infinito. Sin embargo, ninguna persona en su sano juicio paga $1\,000$ para jugar una vez: con probabilidad $\frac{15}{16}$ el el pago es como máximo $16$ . Expectativa resume el largo plazo de apuestas repetible; un juego único en la vida con un comodín la cola no tiene precio por su significar.

19. Esperanzas de heredar: asegurar $-20$ ; ir desnudo $-0.01 \times 1000 = -10$ . La estrategia desnuda gana en promedio — para alguien que pueda absorber la pérdida y repetir la apuesta muchas veces. Una familia que no puede sobrevivir al $-1\,000$ no lo es en el negocio de promediación: paga $10$ extra para eliminar el diferencia. Promedio de aseguradoras; los hogares compran certeza.

20. Nació repartiendo un bote entre dos impacientes jugadores; potenciado por la linealidad, que suma esperanzas sin pedir permiso a la dependencia; ciego al riesgo, que diferencia — las loterías, el juego de San Petersburgo, la política familiar — debe medir en su lugar; y coronado el año próximo por la ley de números grandes, lo que explica por qué los promedios siempre, eventualmente, recoger.