Qu'est-ce que « espace probabilisé » ? — Mathématiques

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Définition 22.1 Mathématiques universitaires — Licence 3 · অধ্যায় 22 — Probabilités : fondements et loi des grands nombres

Un espace probabilisé est un espace mesuré $(\Omega, \mathcal A, \P)$ avec $\P(\Omega) = 1$ ; les éléments de $\mathcal A$ sont les événements, et une propriété vaut presque sûrement (p.s.) si son événement a pour probabilité $1$ . Une variable aléatoire est une application mesurable $X \colon \Omega \to \R$ (ou $\R^d$ : un vecteur aléatoire) ; sa loi est la mesure de probabilité image $\P_X = X_*\P$ sur $\R$ (Exercice 11.9), déterminée par la fonction de répartition $F_X(t) = \P(X \leq t)$ (Exercice 9.3). $X$ a une densité $f$ si $\P_X = f\,\dd\lambda$ ; elle est discrète si $\P_X$ est une combinaison dénombrable de masses de Dirac. L’espérance est

\E[X] = \int_\Omega X\,\dd\P \qquad (X \geq 0 \text{ ou } X \in L^1(\P)),

et le théorème de transfert (Exercice 11.9) la calcule dans la loi : $\E[g(X)] = \int_\R g\,\dd\P_X$ — $= \sum g(x_k)p_k$ dans le cas discret, $= \int g(x)f(x)\dd x$ dans le cas à densité : les formules de l’année 2, désormais théorèmes d’une seule théorie. La variance est $\V(X) = \E[(X - \E X)^2] = \E[X^2] - (\E X)^2$ pour $X \in L^2$ .

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Exemple 22.2

Les lois standard et leurs transformées d’intérêt : Bernoulli $\mathcal B(p)$ , binomiale $\mathcal B(n, p)$ , géométrique, Poisson $\mathcal P(\lambda)$ (discrètes : les tables de l’année 2 restent valides) ; uniforme sur $\intcc01$ (la mesure de Lebesgue elle-même) ; exponentielle $\mathcal E(\lambda)$ (densité $\lambda\eu^{-\lambda x}\mathbf 1_{x>0}$ ) ; la gaussienne $\mathcal N(m, \sigma^2)$ de densité $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ — une densité de probabilité par le Problème 10.1, d’espérance $m$ et de variance $\sigma^2$ (moments gaussiens, Exercice 11.10).

Exemple 22.14 (Ce que la loi forte achète)

(a) Fréquences : pour des piles ou faces i.i.d., la fréquence observée de faces converge p.s. vers $p$ — la justification empirique de la probabilité elle-même. (b) Monte-Carlo : pour $g \in L^1(\intcc01)$ et $(U_n)$ i.i.d. uniformes (Théorème 22.6), $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ p.s. : intégrales par échantillonnage, en toute dimension, au taux indépendant de la dimension $\sim n^{-1/2}$ précisé au Chapitre 23. (c) Nombres normaux : presque tout nombre réel a, dans son développement binaire, une fréquence asymptotique $\frac12$ de uns (appliquer la loi forte aux variables chiffres du Théorème 22.6) — le théorème de Borel, un énoncé sur les nombres de tous les jours prouvé par la mesure : le Problème 22.1 le complète dans toutes les bases.

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