प्रत्याशा क्या है? — गणित

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परिभाषा 18.8 उच्च माध्यमिक गणित · অধ্যায় 18 — प्रायिकता और यादृच्छिक चर

$X$ की प्रत्याशा (या माध्य) उसके मानों का वह औसत है जो उनकी प्रायिकताओं से भारित हो:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

উদাহরণ

उदाहरण 18.10

उदाहरण 18.6 के खेल के लिए:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

खिलाड़ी औसतन प्रति खेल लगभग $17$ सेंट गँवाता है: खेल प्रतिकूल है। जिस खेल में प्रत्याशित लाभ $0$ हो उसे न्यायसंगत कहते हैं।

उदाहरण 18.15

उदाहरण 18.6 के खेल के लिए: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , इसलिए

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

प्रति खेल औसतन $0.17$ की हानि के साथ लगभग $2.6$ यूरो के प्रारूपिक झूले भी आते हैं — मानक विचलन के बिना अकेली प्रत्याशा आधी ही कहानी कहती है।

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परिभाषा 22.6 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · অধ্যায় 22 — विविक्त यादृच्छिक चर

$(\Omega, \P)$ पर किसी वास्तविक यादृच्छिक चर $X$ की प्रत्याशा विद्यमान है यदि कुल $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ योग्य हो (अध्याय 7); तब उसकी प्रत्याशा है

\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) .

উদাহরণ

उदाहरण 22.10 (अंतरण, काम करता हुआ)

$X \sim \mathcal P(\lambda)$ के लिए $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ परिकलित कीजिए — $\frac1{1+X}$ का नियम स्वयं भद्दा है, पर अंतरण उसे कभी माँगता ही नहीं:

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

दो सीख। परिकलन की दृष्टि से: किसी खिसकी हुई चरघातांकी श्रेणी को पहचान लेना ही पूरा काम है — अंतरण $f(X)$ की प्रत्याशाओं को श्रेणी के हेर-फेर तक सिमटा देता है। संरचना की दृष्टि से: भोला प्रतिस्थापन-मान $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ होता, और सच्चा उत्तर उससे बड़ा है,

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

ठीक वैसा ही जैसा उत्तल फलन $t \mapsto \frac1{1+t}$ के लिए जेनसन असमिका माँगती है। उत्तल प्रतिबिंबों की प्रत्याशाएँ भोले प्रतिस्थापन-मान से ऊपर बैठती हैं, और अंतरण के साथ कोई श्रेणी-जाँच उस अमूर्त असमिका को मूर्त बना देती है।

उदाहरण 22.12 (गुणनफल, स्वतंत्रता के साथ और बिना)

दो निष्पक्ष पासे फेंकिए। यदि $Y$ दूसरा पासा हो (जो पहले से स्वतंत्र है), तो $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ । और यदि इसके बदले $Y = X$ हो (पासे का स्वयं से “गुणनफल”), तो

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

अर्थात् दोनों परिदृश्यों में सीमांत नियम वही, संयुक्त नियम भिन्न, और गुणनफल-प्रत्याशाएँ भिन्न। खुदवा लेने योग्य सार: $\E(XY)$ युग्म का फलनिक है, दोनों सीमांतों का नहीं — और अंतराल $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ ठीक कोनिग–हाइगेंस से पासे का प्रसरण $\frac{35}{12}$ है।

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উদাহরণ

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ