उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

18प्रायिकता और यादृच्छिक चर

प्रायिकता ऐसे प्रयोगों का प्रतिरूप बनाती है जिनका परिणाम अनिश्चित हो: पासे का एक फेंक, निकाला गया एक पत्ता, खेला गया एक खेल। यह अध्याय पहले परिमित समुच्चयों पर शब्दावली खड़ी करता है, फिर पूरे प्रायिकता-सिद्धांत का केंद्रीय पात्र प्रस्तुत करता है: यादृच्छिक चर और उसकी प्रत्याशा। इन धारणाओं का पुनरावलोकन और गहराई अध्याय 33 में है, और सप्रतिबंध प्रायिकताएँ अध्याय 32 में आती हैं।

18.1 परिमित समुच्चय पर प्रायिकता

परिभाषा 18.1 (प्रायिकता प्रतिरूप)

परिमित परिणामों वाले प्रयोग का प्रतिरूप उसकी प्रतिदर्श समष्टि $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (परिणामों का समुच्चय) और उसके साथ एक प्रायिकता $\P$ से बनता है, जो हर परिणाम $\omega_i$ को एक संख्या $p_i \geq 0$ देती है, जहाँ $p_1 + \dots + p_n = 1$ हो। घटना कोई उपसमुच्चय $A \subseteq \Omega$ है, और

\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .

जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों ( $p_i = \frac1n$ : एकसमान प्रतिरूप), तब

\P(A) = \frac{A \text{ में परिणामों की संख्या}} {\Omega \text{ में परिणामों की संख्या}}.

उदाहरण 18.2

दो अलग-अलग पहचाने जा सकने वाले पासे फेंकिए: $\Omega$ $1 \leq i, j \leq 6$ वाले $36$ क्रमित युग्मों $(i, j)$ का समुच्चय है, और सभी समान रूप से संभावित हैं। घटना $S$ = “योग $7$ है” में $6$ युग्म $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ आते हैं, इसलिए $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$ । घटना “योग $12$ है” में केवल $(6,6)$ है: प्रायिकता $\frac{1}{36}$ । एकसमान प्रतिरूप तभी लागू होता है जब सही प्रतिदर्श समष्टि चुनी जाए — क्रमित युग्म, अक्रमित नहीं।

प्रतिज्ञप्ति 18.3 (प्रायिकता के नियम)

घटनाओं $A, B \subseteq \Omega$ के लिए:

\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A),

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),

जहाँ $\bar A$ $A$ का पूरक है (वे सभी परिणाम जो $A$ में नहीं हैं)। विशेष रूप से, जब $A$ और $B$ असंगत हों ( $A \cap B = \emptyset$ ), तब $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ ।

उपपत्ति. रिक्त घटना में कोई परिणाम नहीं है (रिक्त योग), और $\Omega$ में सब हैं (कुल योग $1$ )। हर परिणाम $A$ , $\bar A$ में से ठीक एक में है, इसलिए $\P(A) + \P(\bar A) = 1$ । सम्मिलन के लिए: $p_i$ को $A$ पर और फिर $B$ पर जोड़ने से $A \cap B$ के परिणाम दो बार गिने जाते हैं; $\P(A \cap B)$ घटाने से यह दोहरी गिनती सुधर जाती है। ∎

उदाहरण 18.4

किसी कक्षा में $60\%$ संगीत पढ़ते हैं ( $M$ ), $45\%$ कोई खेल खेलते हैं ( $S$ ), और $25\%$ दोनों करते हैं। कम से कम एक करने वालों का अनुपात $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$ है, इसलिए $20\%$ कुछ भी नहीं करते (पूरक)।

18.2 यादृच्छिक चर

परिभाषा 18.5 (यादृच्छिक चर, बंटन)

$\Omega$ पर यादृच्छिक चर वह फलन $X$ है जो हर परिणाम को एक संख्या दे देता है। उसका बंटन उसके संभव मानों $x_1, \dots, x_k$ और उनकी प्रायिकताओं की सारणी है:

\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr), \qquad \sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .

उदाहरण 18.6

एक खेल: $2$ यूरो दीजिए, एक न्यायसंगत पासा फेंकिए, और यदि आया हुआ मान कम से कम $5$ हो तो वही मान पाइए, अन्यथा कुछ नहीं। मान लीजिए $G$ लाभ है (मिला हुआ घटा दिया हुआ)। परिणाम $1, 2, 3, 4$ से $G = -2$ मिलता है; परिणाम $5$ से $G = 3$ ; और परिणाम $6$ से $G = 4$ । $G$ का बंटन:

$g$	$-2$	$3$	$4$
$\P(G = g)$	$\dfrac46$	$\dfrac16$	$\dfrac16$

विधि 18.7 (बंटन-सारणी बनाना)

$X$ के संभव मान गिनाइए; हर मान के लिए उसे देने वाले परिणाम इकट्ठे कीजिए और उनकी प्रायिकताएँ जोड़िए; और जाँचिए कि प्रायिकताओं की पंक्ति का योग $1$ है।

18.3 प्रत्याशा

परिभाषा 18.8 (प्रत्याशा)

$X$ की प्रत्याशा (या माध्य) उसके मानों का वह औसत है जो उनकी प्रायिकताओं से भारित हो:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

टिप्पणी 18.9

$\E(X)$ वही है जो प्रयोग की बहुत बड़ी संख्या में स्वतंत्र पुनरावृत्तियों का माध्य होगा — इस कथन का सुनिश्चित रूप बृहत् संख्याओं का नियम है, जो अध्याय 34 में सिद्ध होता है। बारंबारताओं वाले आँकड़ा-समुच्चय के माध्य (परिभाषा 17.1) से औपचारिक समानता पर ध्यान दीजिए: प्रायिकताएँ आपेक्षिक बारंबारताओं $\frac{n_i}{n}$ की भूमिका निभाती हैं।

उदाहरण 18.10

उदाहरण 18.6 के खेल के लिए:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

खिलाड़ी औसतन प्रति खेल लगभग $17$ सेंट गँवाता है: खेल प्रतिकूल है। जिस खेल में प्रत्याशित लाभ $0$ हो उसे न्यायसंगत कहते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 18.11 (रैखिकता)

सभी वास्तविक $a, b$ के लिए:

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .

उपपत्ति. चर $aX + b$ प्रायिकता $\P(X = x_i)$ के साथ मान $a x_i + b$ लेता है, इसलिए

\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b) = a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X = x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .

∎

18.4 प्रसरण और मानक विचलन

परिभाषा 18.12 (प्रसरण)

$X$ का प्रसरण प्रत्याशा $m = \E(X)$ के आसपास उसके मानों का प्रसार नापता है:

\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

प्रतिज्ञप्ति 18.13 (संक्षिप्त सूत्र)

\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .

उपपत्ति. योग के भीतर $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ का प्रसार कीजिए:

\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2 - 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i) = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,

जो $\E(X^2) - m^2$ है। यही उस सर्वसमिका का यादृच्छिक-चर वाला रूप है जो आँकड़ों के लिए प्रतिज्ञप्ति 17.7 में सिद्ध हुई थी। ∎

प्रतिज्ञप्ति 18.14 (एकघात रूपांतरण)

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ और $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$ ।

उपपत्ति. रैखिकता से $aX + b$ अपनी प्रत्याशा $a m + b$ से $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ जितना हटता है: हर विचलन $a$ गुना हो जाता है, अतः हर वर्ग-विचलन $a^2$ गुना, और उनका भारित माध्य भी। खिसकाव $b$ ग़ायब हो गया — किसी चर को खिसकाने से उसका प्रसार नहीं बदलता। ∎

उदाहरण 18.15

उदाहरण 18.6 के खेल के लिए: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , इसलिए

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

प्रति खेल औसतन $0.17$ की हानि के साथ लगभग $2.6$ यूरो के प्रारूपिक झूले भी आते हैं — मानक विचलन के बिना अकेली प्रत्याशा आधी ही कहानी कहती है।

के लाभ G का बंटन, और उसकी प्रत्याशा (G) = -1/6 (बिंदुदार): यही प्रायिकता-द्रव्यमानों का संतुलन-बिंदु है। — उदाहरण 18.6 के लाभ $G$ का बंटन, और उसकी प्रत्याशा $\E(G) = -\frac16$ (बिंदुदार): यही प्रायिकता-द्रव्यमानों का संतुलन-बिंदु है।

18.5 अभ्यास

अभ्यास 18.1 ★

$52$ पत्तों की मानक गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। ये प्रायिकताएँ निकालिए: पान का पत्ता निकलना; बादशाह निकलना; पान या बादशाह निकलना; न पान न बादशाह निकलना।

हल

हल — अभ्यास 18.1.

$52$ पत्तों पर एकसमान प्रतिरूप। पान: $\frac{13}{52} = \frac14$ । बादशाह: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ । पान या बादशाह: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (पान का बादशाह एक ही बार गिना जाता है)। न पान न बादशाह: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ ।

अभ्यास 18.2 ★

दो न्यायसंगत पासे फेंके जाते हैं और उनका योग $S$ दर्ज किया जाता है। उदाहरण 18.2 के $36$ -परिणाम वाले प्रतिरूप का उपयोग करके $\P(S = 6)$ , $\P(S \geq 10)$ और $\P(S \text{ सम है})$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 18.2.

$S = 6$ : युग्म $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ , इसलिए $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$ ।

$S \geq 10$ : $10$ के लिए तीन युग्म, $11$ के लिए दो, $12$ के लिए एक: $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$ ।

$S$ सम: योग $2, 4, 6, 8, 10, 12$ के $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ युग्म हैं: प्रायिकता $\frac{18}{36} = \frac12$ ।

अभ्यास 18.3 ★

किसी यादृच्छिक चर का बंटन यह है:

$x$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$\P(X=x)$	$0.3$	$0.2$	$0.4$	$p$

$p$ ज्ञात कीजिए, फिर $\E(X)$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 18.3.

प्रायिकताओं का योग $1$ है: $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$ । तब

\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5 = -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .

अभ्यास 18.4 ★

$X$ $\E(X) = 3$ और $\V(X) = 4$ को संतुष्ट करता है। $Y = 2X - 5$ की प्रत्याशा, प्रसरण और मानक विचलन बताइए।

हल

हल — अभ्यास 18.4.

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ; $\sigma(Y) = 4$ ।

अभ्यास 18.5 ★★

एक भाग्य-चक्र में $10$ बराबर खंड हैं: $5$ पर $0$ यूरो, $3$ पर $2$ यूरो, और $2$ पर $5$ यूरो लिखा है। खेलने का शुल्क $2$ यूरो है। लाभ $G$ (जीत घटा दाँव) का बंटन बताइए, $\E(G)$ निकालिए, और तय कीजिए कि खेल अनुकूल है या नहीं।

हल

हल — अभ्यास 18.5.

जीत $0$ , $2$ , $5$ यूरो हैं, जिनकी प्रायिकताएँ $0.5$ , $0.3$ , $0.2$ हैं; $2$ यूरो का दाँव घटाने पर $G$ मान $-2, 0, 3$ लेता है:

$g$	$-2$	$0$	$3$
$\P(G=g)$	$0.5$	$0.3$	$0.2$

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : खिलाड़ी औसतन प्रति खेल $40$ सेंट गँवाता है — प्रतिकूल।

अभ्यास 18.6 ★★

एक कलश में $3$ लाल और $2$ नीली गेंदें हैं; दो गेंदें बिना वापसी के निकाली जाती हैं। मान लीजिए $X$ निकली हुई लाल गेंदों की संख्या है। $X$ का बंटन बनाइए ( $20$ क्रमित निकालों को गिनाकर, या वृक्ष से), और $\E(X)$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 18.6.

क्रम से निकालने पर: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (लाल फिर लाल); $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (नीली फिर नीली); अतः $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$ । तब

\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10} = \frac{12}{10} = 1.2 ,

जो अंतर्ज्ञान के अनुकूल है: दोनों निकालों में औसतन $\frac35$ लाल होती हैं।

अभ्यास 18.7 ★★

अभ्यास 18.5 के भाग्य-चक्र के लिए $\V(G)$ और $\sigma(G)$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 18.7.

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$ , इसलिए संक्षिप्त सूत्र से $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ और $\sigma(G) \approx 1.9$ यूरो।

अभ्यास 18.8 ★★

एक बीमा कंपनी $80$ यूरो में एक बीमा-पत्र बेचती है। प्रायिकता $0.05$ से ग्राहक $1000$ यूरो का दावा करता है, प्रायिकता $0.01$ से $5000$ यूरो का, और अन्यथा कुछ नहीं। मान लीजिए $B$ एक बीमा-पत्र पर कंपनी का लाभ है। $B$ का बंटन बताइए, $\E(B)$ निकालिए, और उसकी व्याख्या कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 18.8.

लाभ $80$ में से दावा घटाकर मिलता है:

$b$	$80$	$-920$	$-4920$
$\P(B=b)$	$0.94$	$0.05$	$0.01$

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : इस दाम पर कंपनी औसतन प्रति बीमा-पत्र $20$ यूरो गँवाती है। ढके गए जोखिमों के लिए प्रीमियम बहुत कम है (धनात्मक प्रत्याशित लाभ के लिए उसे $100$ यूरो से अधिक होना चाहिए)।

अभ्यास 18.9 ★★

एक बहुविकल्पीय प्रश्न में $4$ उत्तर हैं, जिनमें एक सही है। सही उत्तर पर $+1$ अंक मिलते हैं; अनुमान लगाने से रोकने के लिए ग़लत उत्तर पर $x < 0$ अंक मिलते हैं। एक विद्यार्थी यादृच्छिक रूप से उत्तर देता है। $x$ के किस मान के लिए विद्यार्थी के अंकों की प्रत्याशा शून्य है?

हल

हल — अभ्यास 18.9.

यादृच्छिक अंक प्रायिकता $\frac14$ से $+1$ और प्रायिकता $\frac34$ से $x$ होते हैं:

\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .

दंड $-\frac13$ के साथ यादृच्छिक अनुमान औसतन कुछ नहीं देता।

अभ्यास 18.10 ★★

दो न्यायसंगत सिक्के उछाले जाते हैं। ऐन प्रस्ताव रखती है: “यदि दोनों सिक्के मेल खाएँ तो मैं आपको $1$ यूरो दूँगी; यदि अलग-अलग हों तो आप मुझे $1$ यूरो देंगे।” दोनों खिलाड़ियों का प्रत्याशित लाभ निकालिए। क्या खेल न्यायसंगत है? यही प्रश्न तीन सिक्कों के साथ, जहाँ तीनों मेल खाने पर ऐन $2$ यूरो देती है।

हल

हल — अभ्यास 18.10.

दो सिक्के: वे प्रायिकता $\frac24 \times 2 = \frac12$ से मेल खाते हैं (HH या TT)। खिलाड़ी का लाभ बराबर प्रायिकताओं से $+1$ या $-1$ है: दोनों खिलाड़ियों के लिए प्रत्याशा $0$ — खेल न्यायसंगत है।

तीन सिक्के: तीनों प्रायिकता $\frac{2}{8} = \frac14$ से मेल खाते हैं (HHH या TTT)। खिलाड़ी प्रायिकता $\frac14$ से $2$ पाता है और प्रायिकता $\frac34$ से $1$ देता है: $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$ । खेल प्रति दौर $25$ सेंट से ऐन के पक्ष में है; यदि वह तीनों के मेल पर $3$ यूरो देती तो वह न्यायसंगत होता।

अभ्यास 18.11 ★★★

एक लॉटरी $5$ यूरो प्रति टिकट के हिसाब से $1000$ टिकट बेचती है। एक टिकट पर $2000$ यूरो, पाँच टिकटों पर $200$ यूरो और बीस टिकटों पर $25$ यूरो जीते जाते हैं।

आयोजक की कुल आय घटा पुरस्कार का, और किसी एक खिलाड़ी के लाभ $G$ का बंटन बताइए।
$\E(G)$ और आयोजक का कुल प्रत्याशित लाभ निकालिए। जाँचिए कि दोनों उत्तर आपस में मेल खाते हैं।

हल

हल — अभ्यास 18.11.

1. आयोजक $1000 \times 5 = 5000$ यूरो पाता है और कुल $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ यूरो पुरस्कार में देता है: लाभ अचर $1500$ है (सारे टिकट बिक जाने के बाद कोई यादृच्छिकता नहीं बचती)। किसी एक खिलाड़ी का लाभ $G$ (पुरस्कार घटा $5$ -यूरो का टिकट):

$g$	$1995$	$195$	$20$	$-5$
$\P(G=g)$	$\dfrac{1}{1000}$	$\dfrac{5}{1000}$	$\dfrac{20}{1000}$	$\dfrac{974}{1000}$

\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000} = \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .

हर खिलाड़ी $1.50$ यूरो गँवाने की अपेक्षा करता है; $1000$ खिलाड़ियों पर यह $1500$ यूरो हुआ — ठीक आयोजक का लाभ। बही-खाता बराबर है: खिलाड़ी औसतन जो गँवाते हैं वही आयोजक बटोरता है।

18.6 समस्या: अधूरा खेल

समस्या 18.1

सप्ताहांत समस्या — पास्कल, फ़र्मा और बीच में रुके दाँव का न्यायसंगत बँटवारा: प्रत्याशा का जन्म, रैखिकता का जादू, और वह जो प्रत्याशा नहीं देख पाती

1654 में शेवालिये दे मेरे — वही जुआरी जिसके पासों के दाँवों से माध्यमिक विद्यालय खंड की प्रायिकता वाली समस्या शुरू हुई थी — ने ब्लेज़ पास्कल से एक गहरा प्रश्न पूछा: बराबर कौशल वाले दो खिलाड़ियों को अपनी शृंखला $5$ और $3$ के स्कोर पर रोक देनी पड़ती है, जबकि छह जीतें $64$ -पिस्टोल का पूरा दाँव ले जातीं। दाँव का न्यायसंगत बँटवारा कैसे हो? इसका उत्तर देने वाले पास्कल और फ़र्मा के पत्रों ने इस अध्याय के हृदय में बसी धारणा को जन्म दिया: प्रत्याशा (परिभाषा 18.8)। आप उनका उत्तर दोनों तरीक़ों से फिर से निकालेंगे, फिर रैखिकता का तमाशा देखेंगे और प्रत्याशा का इकलौता अंधा कोना भी।

भाग I — प्रत्याशा में प्रवाह।

एक न्यायसंगत पासा फेंकिए; आपका लाभ (फलक $- 3$ ) यूरो है। लाभ $G$ की बंटन-सारणी बनाइए (विधि 18.7) और $\E(G)$ निकालिए।
संक्षिप्त सूत्र (प्रतिज्ञप्ति 18.13) से $V(G)$ और $\sigma(G)$ निकालिए (दो दशमलव स्थान)।
बिना कोई नई सारणी बनाए $\E(2G - 1)$ और $V(2G - 1)$ बताइए (प्रतिज्ञप्ति 18.14)।
एक दुकान दो पासे फेंकने के लिए $m$ यूरो लेती है और आपको योग के बराबर यूरो दे देती है। न्यायसंगत दाम $m$ क्या है? दुकान $8$ लेती है: प्रति खेल आपकी प्रत्याशित हानि कितनी है?
$800$ यूरो का एक लैपटॉप हर वर्ष $5\,\%$ संभावना से नष्ट हो सकता है। न्यायसंगत बीमा प्रीमियम निकालिए, और यदि बीमाकर्ता $60$ यूरो ले तो प्रति बीमा-पत्र उसका प्रत्याशित लाभ भी।

भाग II — दाँव का बँटवारा। स्कोर $5$ – $3$ , और $64$ पिस्टोल पहले $6$ जीतने वाला ले जाएगा; हर दौर न्यायसंगत सिक्के का उछाल है।

दो लुभावने ग़लत उत्तर: $5 : 3$ के अनुपात में बाँट देना (जीते गए दौरों के अनुपात में), या सब कुछ आगे चल रहे खिलाड़ी को दे देना। एक-एक वाक्य में बताइए कि हर एक में अन्याय क्या है।
फ़र्मा की विधि: खिलाड़ी A को $1$ और जीत चाहिए, B को $3$ ; कल्पना कीजिए कि चाहे जो हो, ठीक $3$ दौर और खेले जाते हैं। $8$ समसंभावी परिणाम गिनाइए, हर एक में शृंखला का विजेता अंकित कीजिए, और $64$ पिस्टोल का न्यायसंगत बँटवारा निकालिए।
वह सूक्ष्म बात जिसका बचाव फ़र्मा को करना पड़ा: असली खेल एक ही दौर के बाद रुक सकता है — फिर भी सभी $3$ काल्पनिक दौरों पर तर्क करना उचित क्यों है?
पास्कल की विधि, अंत से पीछे की ओर: (काल्पनिक) स्कोरों $5$ – $5$ , फिर $5$ – $4$ , फिर $5$ – $3$ पर A का न्यायसंगत हिस्सा निकालिए, और हर बार दोनों समसंभावी भविष्यों का औसत लीजिए। प्रश्न 7 से तुलना कीजिए।
यही प्रश्न स्कोर $4$ – $3$ पर: कितने काल्पनिक दौर, कौन-से परिणाम B को शृंखला दिलाते हैं, और न्यायसंगत बँटवारा क्या है?
दोनों विधियों में साझा सिद्धांत बताइए — किसी अनिश्चित भविष्य का न्यायसंगत मूल्य उसकी प्रत्याशा है — और आज के दो ऐसे उद्योग गिनाइए जो पूरी तरह इसी पर चलते हैं (प्रश्न 5 एक दिखा देता है)।
हर स्कोर के लिए एक जाँच: प्रत्याशा की रैखिकता (प्रतिज्ञप्ति 18.11) से समझाइए कि दोनों खिलाड़ियों के न्यायसंगत हिस्सों का योग सदा ठीक $64$ -पिस्टोल के दाँव के बराबर क्यों होना चाहिए।

भाग III — रैखिकता का तमाशा।

$36$ -ख़ानों वाली सारणी बनाए बिना, रैखिकता (प्रतिज्ञप्ति 18.11) से $\E(\text{दो पासों का योग}) = 7$ एक पंक्ति में फिर निकालिए। योग के प्रसरण के लिए नियम $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ को पासों का स्वतंत्र होना चाहिए (स्वीकृत): उसे निकालिए।
टोपी वाली दावत: $n$ अतिथि अपनी टोपियाँ एक ढेर में फेंक देते हैं और हर एक यादृच्छिक रूप से एक टोपी उठा लेता है। मान लीजिए $X$ उन अतिथियों की गिनती करता है जिन्हें अपनी ही टोपी वापस मिलती है। किसी एक नियत अतिथि के लिए अपनी टोपी वापस पाने की प्रायिकता क्या है? इन $n$ संभावनाओं को जोड़कर (रैखिकता!) $\E(X)$ निकालिए। उत्तर आपको चौंका देगा: वह $n$ पर निर्भर ही नहीं करता।
$n = 2$ और $n = 3$ के लिए $\E(X) = 1$ की जाँच सीधे गिनकर कीजिए ( $2$ और $6$ समसंभावी टोपी-बँटवारे गिनाइए और गिनतियों का औसत लीजिए)।
अतिथियों की वापसियाँ स्वतंत्र होने से कोसों दूर हैं (यदि $n - 1$ अतिथियों को अपनी टोपी मिल गई, तो अंतिम को भी मिलनी ही है)। प्रश्न 14 की गणना में स्वतंत्रता की आवश्यकता ठीक-ठीक कहाँ नहीं पड़ी? रैखिकता की महाशक्ति बताइए।

भाग IV — वह जो प्रत्याशा नहीं देख पाती।

$5$ यूरो के दो खुरचन-टिकट: टिकट A प्रायिकता $\frac12$ से $10$ यूरो जिताता है; टिकट B प्रायिकता $0.005$ से $1\,000$ यूरो। जाँचिए कि दोनों लाभों की प्रत्याशा एक ही है, फिर दोनों प्रसरण निकालिए। असली लोग कौन-सा टिकट ख़रीदते हैं, और वे असल में ख़रीद क्या रहे हैं?
सेंट पीटर्सबर्ग खेल: पहली पट आने तक उछालते जाइए; यदि पहली पट उछाल $n$ पर आए तो आपको $2^n$ यूरो मिलते हैं। प्रत्याशा में हर $n$ का योगदान और फिर प्रत्याशा स्वयं निकालिए। क्या आप एक बार खेलने के लिए $1\,000$ यूरो देंगे? यह टकराव प्रत्याशा के बारे में क्या सिखाता है?
ग्राहक की ओर से बीमा: $20$ यूरो दीजिए, या $1\,000$ गँवाने का $1\,\%$ जोखिम उठाइए? दोनों प्रत्याशाओं की तुलना कीजिए, और समझाइए कि बीमा ख़रीदना फिर भी विवेकपूर्ण क्यों हो सकता है (एक अकेला परिवार किस चीज़ पर “औसत” नहीं ले सकता?)।
समापन — प्रत्याशा की जीवनी, हर अध्याय पर एक वाक्य: 1654 में एक दाँव बाँटने के लिए जन्म; उसकी महाशक्ति, रैखिकता, जो स्वतंत्रता पूछे बिना प्रत्याशाएँ जोड़ लेती है (टोपियाँ); उसका अंधा कोना, जोखिम, जिसे प्रसरण नापता है (टिकट, सेंट पीटर्सबर्ग, बीमा); और अगले वर्ष उसका राज्याभिषेक, जब बृहत् संख्याओं का नियम ठीक-ठीक समझा देगा कि जुआघर हमेशा क्यों जीतता है।

हल

हल — समस्या 18.1.

1. $G$ $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ मान लेता है, और हर एक की प्रायिकता $\frac16$ है: $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{6} = \frac12$ यूरो।

2. $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{19}{6}$ ; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12} \approx 2.92$ ; $\sigma(G) \approx 1.71$ ।

3. $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$ ; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$ ।

4. $\E(\text{योग}) = 7$ : न्यायसंगत दाम $7$ यूरो। $8$ पर प्रत्याशित हानि प्रति खेल $1$ यूरो है।

5. न्यायसंगत प्रीमियम: $0.05 \times 800 = 40$ यूरो। $60$ लेने पर: प्रति बीमा-पत्र प्रत्याशित लाभ $20$ यूरो।

6. $5:3$ के अनुपात में बाँटना बीते को पुरस्कार देता है — पर दाँव उसका है जो आगे जीते, और B अब भी जीत सकता है। सब कुछ A को दे देना किसी संभावित जीत को निश्चित मान लेता है — B की छोटी संभावना भी कुछ मूल्य रखती है।

7. खेले जाने वाले दौर: $3$ ; परिणाम (हर दौर में A-जीत/B-जीत): AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB। B शृंखला केवल तीनों जीतकर ले जाता है: अकेला BBB। A $8$ में से $7$ स्थितियों में शृंखला जीतता है: न्यायसंगत बँटवारा A के लिए $64 \times \frac78 = 56$ पिस्टोल और B के लिए $8$ ।

8. अतिरिक्त, निरर्थक दौर खेलने से किसी की जीत नहीं बदलती: A को उसकी छठी जीत मिल जाने के बाद के दौर केवल औपचारिकता हैं। पर सीमा ठीक $3$ दौरों पर तय कर देने से सभी $8$ परिणाम समसंभावी हो जाते हैं — ईमानदार गिनती को एक ही लंबाई की कहानियाँ चाहिए, और उन्हें भर देने में कुछ नहीं जाता।

9. $5$ – $5$ पर: एक निर्णायक दौर, हर एक को $32$ । $5$ – $4$ पर: A को $\frac{64 + 32}{2} = 48$ । $5$ – $3$ पर: अगला दौर या तो $64$ तक ले जाता है (A उसे जीत लेता है) या $5$ – $4$ की स्थिति तक, जिसका मूल्य $48$ है: A का हिस्सा $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — वही फ़र्मा का $56 : 8$ , पीछे की ओर चलकर फिर निकाला हुआ।

10. A को $2$ चाहिए, B को $3$ : $4$ काल्पनिक दौर खेलिए ( $16$ परिणाम)। B शृंखला $3$ या $4$ B-जीतों के साथ ले जाता है: $4 + 1 = 5$ परिणाम। बँटवारा: $B$ : $64 \times \frac{5}{16} = 20$ ; $A$ : $44$ ।

11. किसी अनिश्चित भावी प्राप्ति का न्यायसंगत वर्तमान मूल्य उसकी प्रत्याशा है — जो आने वाला है उसका प्रायिकता-भारित औसत। बीमा (प्रश्न 5) और वित्त (अनिश्चित प्राप्तियों का दाम लगाना) इसी वाक्य के उद्योग बन गए रूप हैं; और मेज़ की दूसरी ओर से, जुआघर भी।

12. दाँव अंततः कहीं न कहीं जाता ही है: दोनों हिस्से ऐसे यादृच्छिक चर हैं जिनका योग अचर $64$ है, इसलिए रैखिकता से $\E_A + \E_B = 64$ — न्यायसंगत हिस्से हर स्कोर पर दाँव को पूरा चुका देते हैं।

13. रैखिकता: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$ , बिना किसी सारणी के — और यह जुड़े हुए पासों के लिए भी सच है। एक पासे का प्रसरण: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ ; और स्वतंत्र पासों के लिए $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ ।

14. हर नियत अतिथि अपनी टोपी प्रायिकता $\frac1n$ से वापस पाता है (उसकी टोपी $n$ में से एक है)। $n$ अतिथियों पर जोड़ने पर: $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — औसतन एक भाग्यशाली अतिथि, चाहे दावत में दो टोपियाँ हों या दो हज़ार।

15. $n = 2$ : बँटवारे: दोनों सही ( $X = 2$ ) या आपस में बदले हुए ( $X = 0$ ): $\E = 1$ । $n = 3$ : छहों बँटवारे $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$ देते हैं: $\E = \frac{6}{6} = 1$ ।

16. गणना ने $n$ अलग-अलग सूचकों (“अतिथि $i$ को अपनी टोपी मिली”) की प्रत्याशाएँ जोड़ीं, और रैखिकता प्रत्याशाएँ बेशर्त जोड़ती है — परावलंबन किसी गुणनफल या प्रसरण का सत्यानाश कर देता, पर प्रत्याशाओं के योग का कभी नहीं। यही रैखिकता की महाशक्ति है: स्वतंत्रता के बारे में कोई प्रश्न नहीं।

17. दोनों लाभ: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ और $0.005 \times 1000 - 5 = 0$ । (लाभ के) प्रसरण: A: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$ ; B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$ : $\sigma_A = 5$ , $\sigma_B \approx 70.5$ । लोग B ख़रीदते हैं: वे प्रत्याशा (जो दोनों में शून्य है) नहीं, बल्कि प्रसार ख़रीद रहे हैं — जीवन बदल देने वाली दाहिनी पूँछ की एक छोटी-सी संभावना।

18. उछाल $n$ पर पहली पट आने की प्रायिकता $2^{-n}$ है और वह $2^n$ देती है: हर $n$ प्रत्याशा में $2^{-n} \times 2^n = 1$ जोड़ता है, इसलिए प्रत्याशा $1 + 1 + 1 + \dots$ है: अनंत। फिर भी कोई समझदार व्यक्ति एक बार खेलने के लिए $1\,000$ नहीं देता: प्रायिकता $\frac{15}{16}$ से भुगतान अधिक से अधिक $16$ ही होता है। प्रत्याशा दोहराए जा सकने वाले दाँवों के दीर्घ काल का सारांश है; जीवन में एक बार खेला जाने वाला और जंगली पूँछ वाला खेल अपने माध्य से दाम नहीं पाता।

19. प्रत्याशाएँ: बीमा कराने पर $-20$ ; बिना बीमा $-0.01 \times 1000 = -10$ । बिना बीमा वाली रणनीति औसतन जीतती है — उसके लिए जो हानि सह सके और दाँव बार-बार लगा सके। जो परिवार $-1\,000$ के बाद टिक ही न सके वह औसत लेने के धंधे में है ही नहीं: वह प्रसरण मिटाने के लिए $10$ अतिरिक्त देता है। बीमाकर्ता औसत लेते हैं; परिवार निश्चितता ख़रीदते हैं।

20. जन्म दो अधीर जुआरियों के बीच दाँव बाँटते हुए; शक्ति रैखिकता से, जो परावलंबन से अनुमति लिए बिना आशाएँ जोड़ लेती है; जोखिम के प्रति अंधी, जिसे प्रसरण — लॉटरियाँ, पीटर्सबर्ग का खेल, परिवार का बीमा-पत्र — नापता है; और अगले वर्ष राज्याभिषेक बृहत् संख्याओं के नियम से, जो बता देगा कि औसत सदा, अंततः, वसूल क्यों कर लेते हैं।