Apa itu Transpos; trace? — Matematika

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Bahasa Indonesia সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Definisi 21.5 Matematika Universitas — Tahun 1 · অধ্যায় 21 — Matriks

Transpos $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ adalah $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ ; yang memenuhi $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ dan $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$ . Sedangkan trace sebuah matriks persegi adalah $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$ ; yang bersifat linear, dan

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).

উদাহরণ

Contoh 21.6 (Trace dalam kerja)

Proyeksi pada Bab 20 ke $\operatorname{Vect}(1,1)$ sepanjang $\operatorname{Vect}(0,1)$ , yaitu $p(x, y) = (x, x)$ , bermatriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ pada basis kanoniknya: memang $A^2 = A$ , dan

\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,

yang memperlihatkan Latihan 21.8: bahwa bagi yang idempoten tracenya mencacah dimensi petanya, pada basis semiring apa pun matriksnya ditulis. Adapun mekanisme kekekalannya adalah kesamaan $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ :

\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,

sehingga semua matriks yang serupa dengan $A$ berbagi tracenya — yaitu invarian numerik yang pertama bagi sebuah endomorfisma, yang akan disusul oleh determinan pada Bab 22 (yakni pasangan $(s, p)$ pada soal akhir pekan di bawah).

Contoh 21.7 (Setangkup tambah antisetangkup)

Sebutlah $A$ setangkup bila $A^{\mathsf T} = A$ , dan antisetangkup bila $A^{\mathsf T} = -A$ . Maka setiap matriks persegi terbelah secara tunggal menjadi yang satu tambah yang lain:

A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{setangkup}} + \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{antisetangkup}},

dan matriks yang sekaligus keduanya bernilai nol (karena $A = -A$ ): sehingga kedua himpunannya merupakan subruang yang saling melengkapi pada $\mathcal{M}_n(K)$ — yaitu padanan yang persis bagi pembelahan genap/ganjil fungsi (Contoh 18.11), dengan transposisi memainkan peran $x \mapsto -x$ . Adapun dimensinya: matriks setangkup bersifat bebas pada dan di atas diagonalnya, sedangkan yang antisetangkup tegas di atasnya (karena diagonalnya nol):

\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,

dan cacah yang berimbang itu merupakan penegasan Grassmann atas kelangsungannya. Untuk $n = 2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ . Adapun matriks setangkup kembali sebagai data turunan kedua pada Bab 25 (yaitu tripel Monge $r, s, t$ ), sedangkan yang setangkup sekaligus ortogonal digolongkan pada Latihan 23.12.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ