全部书籍

专业

应用 关于 Coach 登录 开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Nederlands 版。

Wiskunde · 术语表

什么是 Oppervlakte？

又称： oppervlakte van een oppervlak

Definitie 43.5 Wiskunde basisschool en onderbouw · 第 43 章 — Omtrek, oppervlakte, volume

De oppervlakte van een figuur meet het oppervlak dat ze bedekt: hoeveel eenheidsvierkantjes er in passen. Eenheden: cm2^2 (een vierkantje met zijde 11 cm), m2^2, km2^2, … Let op:

1 m2=100×100 cm2=10 000 cm21 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— een vierkante meter is een vierkant van 100100 cm bij 100100 cm, dus is elke stap op de maatladder 100100 waard en niet 1010.

De oppervlakte van een rechthoek: 7 kolommen van elk 4 eenheidsvierkantjes, dus 7 × 4 = 28 vierkantjes in totaal. Daarom is oppervlakte = lengte × breedte.
De oppervlakte van een rechthoek: 77 kolommen van elk 44 eenheidsvierkantjes, dus 7×4=287 \times 4 = 28 vierkantjes in totaal. Daarom is oppervlakte == lengte ×\times breedte.

示例

Voorbeeld 43.7 (Samengestelde figuren)

Een L-vormige kamer is een rechthoek van 66 m ×\times 44 m met een vierkante hoek van 22 m ×\times 22 m eruit. Haar oppervlakte, stap voor stap:

  1. de volle rechthoek: 6×4=246 \times 4 = 24 m2^2;
  2. het weggehaalde vierkant: 2×2=42 \times 2 = 4 m2^2;
  3. wat overblijft: 24−4=2024 - 4 = 20 m2^2.

Haar omtrek is geen 2020 van wat dan ook: als je om de L heen loopt, meet de rand nog steeds 6+4+6+4=206 + 4 + 6 + 4 = 20 m — de twee sneden in de hoek vervangen twee even lange stukken muur. Bij toeval hetzelfde getal, maar vierkante meters voor het ene en meters voor het andere!

在原文中阅读 →
Definitie 19.20 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · 第 19 章 — Oppervlakken

Zij σ ⁣:U→R3\sigma \colon U \to \R^3 een regulier injectief C1\mathcal{C}^1-oppervlak en K⊆UK \subseteq U een compact gebied waarop dubbele integralen zin hebben (Hoofdstuk 20). De oppervlakte van het stuk σ(K)\sigma(K) is

A=∬K∥σu∧σv∥  ⁣du  ⁣dv=∬KEG−F2   ⁣du  ⁣dv.\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .
Het zadel z = x2 - y2 nabij de oorsprong, met zijn coördinaatkrommen (u-krommen in het blauw, v-krommen in het groen), het raakvlak in M_0 = (0,0,0) (gestreept) en de eenheidsnormaal n. Het oppervlak kruist zijn raakvlak — het tweedimensionale analogon van een buigpunt.
Figuur 19.1. Het zadel z=x2−y2z = x^2 - y^2 nabij de oorsprong, met zijn coördinaatkrommen (uu-krommen in het blauw, vv-krommen in het groen), het raakvlak in M0=(0,0,0)M_0 = (0,0,0) (gestreept) en de eenheidsnormaal nn. Het oppervlak kruist zijn raakvlak — het tweedimensionale analogon van een buigpunt.
Vier van de negen kwadrieken die in de weekendopgave worden geklasseerd, geschetst met hun silhouetten en een niveaukromme (rood): de begrensde ellipsoïde, de dubbel beschreven eenbladige hyperboloïde met haar taille, de kom van de elliptische paraboloïde, en het zadel, waarvan de twee parabolische doorsneden in tegengestelde richtingen buigen. Vier van de negen kwadrieken die in de weekendopgave worden geklasseerd, geschetst met hun silhouetten en een niveaukromme (rood): de begrensde ellipsoïde, de dubbel beschreven eenbladige hyperboloïde met haar taille, de kom van de elliptische paraboloïde, en het zadel, waarvan de twee parabolische doorsneden in tegengestelde richtingen buigen. Vier van de negen kwadrieken die in de weekendopgave worden geklasseerd, geschetst met hun silhouetten en een niveaukromme (rood): de begrensde ellipsoïde, de dubbel beschreven eenbladige hyperboloïde met haar taille, de kom van de elliptische paraboloïde, en het zadel, waarvan de twee parabolische doorsneden in tegengestelde richtingen buigen. Vier van de negen kwadrieken die in de weekendopgave worden geklasseerd, geschetst met hun silhouetten en een niveaukromme (rood): de begrensde ellipsoïde, de dubbel beschreven eenbladige hyperboloïde met haar taille, de kom van de elliptische paraboloïde, en het zadel, waarvan de twee parabolische doorsneden in tegengestelde richtingen buigen.
Vier van de negen kwadrieken die in de weekendopgave worden geklasseerd, geschetst met hun silhouetten en een niveaukromme (rood): de begrensde ellipsoïde, de dubbel beschreven eenbladige hyperboloïde met haar taille, de kom van de elliptische paraboloïde, en het zadel, waarvan de twee parabolische doorsneden in tegengestelde richtingen buigen.

示例

Voorbeeld 19.22 (Twee verschillende grafieken, één oppervlakte)

Vergelijk boven de eenheidsschijf de kom z=12(x2+y2)z = \frac12(x^2 + y^2) met het zadel z=xyz = xy. Hun oppervlakte-integranden (Oefening 19.5) zijn

1+x2+y2en1+y2+x2:\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{en}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

identiek. De twee oppervlakken — het ene in alle richtingen dezelfde kant op gekromd, het andere zadelvormig — hebben boven elk gebied precies gelijke oppervlakten, 2π3(22−1)\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1) boven de eenheidsschijf. Het oppervlakte-element ziet alleen de lengte van de gradiënt, niet de schikking van de buiging; de kom van het zadel onderscheiden vereist gegevens van tweede orde (de tekenstructuur uit Figuur 19.1), die geen enkele oppervlaktemeting opmerkt. De eerste fundamentaalvorm: metrisch, blind voor de vorm; de tweede vorm, die de vorm wél ziet, hoort bij bachelorjaar 3.

Voorbeeld 19.23 (Oppervlakte van de bol)

Voor de bolkaart uit Voorbeeld 19.2:

σθ=R(−sin⁡θcos⁡φ, cos⁡θcos⁡φ, 0),σφ=R(−cos⁡θsin⁡φ, −sin⁡θsin⁡φ, cos⁡φ),\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

dus E=R2cos⁡2φE = R^2\cos^2\varphi, F=0F = 0, G=R2G = R^2 en EG−F2=R2cos⁡φ\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi. Bijgevolg is

A=∫−π/2π/2 ⁣ ⁣∫02πR2cos⁡φ   ⁣dθ  ⁣dφ=2πR2 [sin⁡φ]−π/2π/2=4πR2.\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Voorbeeld 19.24 (De kegel, getoetst aan de schoolformule)

Voor de kegel z=x2+y2z = \sqrt{x^2 + y^2} boven de ring a≤ρ≤ba \leq \rho \leq b geeft de grafiekformule van Oefening 19.5 dat 1+fx2+fy2=21 + f_x^2 + f_y^2 = 2 (bereken fx=x/ρf_x = x/\rho, fy=y/ρf_y = y/\rho), dus

A=2 π (b2−a2).\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Controle met de formule πρℓ\pi\rho\ell voor de schuine hoogte uit Voorbeeld 19.26: de volledige kegels met grondstralen bb en aa hebben manteloppervlakten πb⋅b2\pi b\cdot b\sqrt2 en πa⋅a2\pi a\cdot a\sqrt2, waarvan het verschil precies 2π(b2−a2)\sqrt2\pi(b^2 - a^2) is. Twee kaarten, twee formules, één oppervlakte — de invariantie bewezen in Oefening 19.8, in het wild waargenomen.

在原文中阅读 →

相关术语