Biologie universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

22Génétique des populations et sélection naturelle

En 1848, une phalène du bouleau noire fut capturée près de Manchester ; en 1895, dix-neuf phalènes sur vingt étaient noires dans la ville, et vers 1970, à mesure que la suie disparaissait, la forme claire était de retour. Les phalènes n’avaient pas changé : les proportions de deux allèles dans une population de millions d’individus avaient changé, sous les yeux des oiseaux, en quelques dizaines de générations. Darwin avait vu que la sélection devait transformer les espèces, mais n’avait aucun moyen de la chiffrer ; ce chiffrage est la génétique des populations, et c’est l’arithmétique de ce chapitre. Elle se demande comment se comportent les fréquences alléliques lorsque rien n’agit sur elles, puis à quelle vitesse la sélection, la mutation, la migration, le hasard et la consanguinité les déplacent — et elle se termine sur les caractères qui dépendent non d’un gène mais de nombreux gènes, c’est-à-dire la plus grande partie de ce que la sélection voit réellement.

22.1 Le pool génique au repos

Définition 22.1 (Population, pool génique, fréquences)

Une population est un groupe d’individus d’une même espèce qui se reproduisent entre eux ; son pool génique est l’ensemble de tous leurs allèles. Pour un locus à deux allèles $A$ et $a$ dans une population diploïde de $N$ individus, les fréquences alléliques sont $p = (2N_{AA} + N_{Aa})/2N$ et $q = 1 - p$ , et les fréquences génotypiques sont les proportions de $AA$ , $Aa$ et $aa$ . L’évolution, au sens le plus étroit, est une variation des fréquences alléliques d’une génération à l’autre ; la question de ce chapitre est de savoir ce qui les fait varier, et de combien.

Théorème 22.2 (Hardy–Weinberg)

Dans une grande population où les accouplements se font au hasard, sans sélection, mutation ni migration, les fréquences alléliques ne varient pas d’une génération à l’autre, et après une seule génération d’accouplements au hasard les fréquences génotypiques valent

AA : p^{2}, \qquad Aa : 2pq, \qquad aa : q^{2},

et le restent. La dominance ne fait pas se répandre un allèle dominant, et un allèle récessif rare n’est pas perdu : il se cache chez les hétérozygotes, plus nombreux que les homozygotes dans un rapport de $2p/q$ à un — pour $q = 0.01$ , deux cents contre un. La loi est l’hypothèse nulle de la génétique des populations : un écart à cette loi dans une population réelle, ou une variation de $p$ entre générations, est la signature de l’une des forces décrites ci-dessous.

Démonstration. Les accouplements au hasard reviennent à une union au hasard des gamètes : un gamète porte $A$ avec la probabilité $p$ et $a$ avec la probabilité $q$ , indépendamment de son partenaire, si bien que le zygote est $AA$ avec la probabilité $p^{2}$ , $Aa$ avec la probabilité $2pq$ , $aa$ avec la probabilité $q^{2}$ . La fréquence allélique à la génération suivante est $p' = p^{2} + \tfrac12(2pq) = p(p + q) = p$ : inchangée. Comme les fréquences génotypiques ne dépendent que de $p$ , elles sont les mêmes à chaque génération après la première. ∎

Exemple 22.3 (Lire une fréquence)

La mucoviscidose, récessive, touche un enfant européen sur 2500 : $q^{2} = 1/2500$ , $q = 0.02$ , et la fréquence des porteurs est $2pq \approx 0.04$ — une personne sur 25 porte un allèle qui tue ses homozygotes, et $98\,\%$ des copies de l’allèle se trouvent chez des porteurs sains, où la sélection ne peut pas les voir. C’est pourquoi un récessif létal est éliminé si lentement, et pourquoi les programmes eugénistes visant à éliminer les maladies récessives en stérilisant les malades n’auraient jamais pu fonctionner : l’arithmétique de la section suivante montre avec quelle lenteur.

22.2 La sélection

Définition 22.4 (Valeur sélective)

La valeur sélective $w$ d’un génotype est sa contribution relative en descendants à la génération suivante — la survie jusqu’à la reproduction multipliée par la fécondité, rapportée au meilleur génotype, qui a $w = 1$ . Le coefficient de sélection $s$ d’un génotype est son déficit, $w = 1 - s$ . La valeur sélective est une propriété d’un génotype dans un environnement, non d’un allèle en soi : l’allèle mélanique de la phalène avait $w > 1$ par rapport à l’allèle clair sur une écorce couverte de suie et $w < 1$ sur les lichens.

Théorème 22.5 (La sélection modifie la fréquence allélique)

Avec des valeurs sélectives génotypiques $w_{AA}$ , $w_{Aa}$ , $w_{aa}$ , la valeur sélective moyenne est $\bar w = p^{2}w_{AA} + 2pq\,w_{Aa} + q^{2}w_{aa}$ et la fréquence allélique à la génération suivante vaut

p' = \frac{p^{2}w_{AA} + pq\,w_{Aa}}{\bar w}, \qquad \Delta p = p' - p = \frac{pq\,\bigl[p(w_{AA} - w_{Aa}) + q(w_{Aa} - w_{aa})\bigr]}{\bar w}.

Deux conséquences. D’abord, $\Delta p$ est proportionnel à $pq$ : la sélection est la plus rapide aux fréquences intermédiaires et la plus lente lorsqu’un allèle est rare ou presque fixé — il y a alors peu de variation sur laquelle agir. Ensuite, contre un allèle récessif ( $w_{AA} = w_{Aa} = 1$ , $w_{aa} = 1 - s$ ), la variation vaut $\Delta q = -s\,pq^{2}/\bar w$ , proportionnelle à $q^{2}$ : un récessif rare est presque invisible pour la sélection, et diviser par deux sa fréquence à partir de $0.01$ demande une centaine de générations, même lorsque ses homozygotes sont létaux. Un allèle dominant favorable se répand vite au début puis stagne à la fin, pour la même raison.

Démonstration. Parmi les descendants, une fraction $p^{2}w_{AA}/\bar w$ sont $AA$ et $2pq\,w_{Aa}/\bar w$ sont $Aa$ (la fréquence de chaque génotype pondérée par sa valeur sélective et renormalisée) ; les allèles $A$ qu’ils portent sont tous ceux du premier groupe et la moitié de ceux du second, ce qui donne $p'$ . Retrancher $p = p\bar w/\bar w$ et développer $\bar w$ donne $\Delta p$ . Pour un récessif létal ( $s = 1$ ) : $q' = q^{2}\cdot 0 + pq$ divisé par $\bar w = 1 - q^{2}$ , donc $q' = q/(1 + q)$ , d’où $1/q' = 1/q + 1$ et, au bout de $t$ générations, $1/q_t = 1/q_0 + t$ : passer de $q_0 = 0.01$ à $0.005$ demande $t = 100$ . ∎

La sélection à l’œuvre avec un avantage de 10\,\%. Un allèle dominant favorisé passe de 1\,\% à la majorité en soixante-dix générations puis ralentit, son rival récessif rare se cachant chez les hétérozygotes ; un allèle récessif favorisé à 1\,\% bouge à peine dans le même temps, car il n’est presque jamais exposé. — La sélection à l’œuvre avec un avantage de $10\,\%$ . Un allèle dominant favorisé passe de $1\,\%$ à la majorité en soixante-dix générations puis ralentit, son rival récessif rare se cachant chez les hétérozygotes ; un allèle récessif favorisé à $1\,\%$ bouge à peine dans le même temps, car il n’est presque jamais exposé.

Proposition 22.6 (Les types de sélection)

La sélection directionnelle favorise un extrême et entraîne un allèle vers la fixation (la phalène mélanique dans un bois couvert de suie ; la résistance aux antibiotiques ; la taille du bec d’un pinson lors d’une sécheresse). La sélection stabilisante favorise le milieu et élimine les extrêmes (le poids de naissance humain : les bébés qui meurent sont les plus petits et les plus gros) ; elle maintient une population là où elle est et c’est la plus commune. La sélection disruptive favorise les deux extrêmes contre le milieu, et peut scinder une population (Chapitre 23). La sélection balancée maintient deux allèles dans la population indéfiniment : par avantage des hétérozygotes, lorsque $Aa$ a une valeur sélective supérieure à celle des deux homozygotes — avec $w_{AA} = 1 - s$ , $w_{aa} = 1 - t$ , $w_{Aa} = 1$ , la fréquence se stabilise à $\hat p = t/(s + t)$ — ou par sélection fréquence-dépendante, lorsqu’un génotype est d’autant plus avantagé qu’il est plus rare (les allèles $S$ rares du Chapitre 6, les proies qu’un prédateur n’a pas appris à reconnaître, les deux côtés de bouche d’un poisson mangeur d’écailles).

Faits expérimentaux. L’hémoglobine drépanocytaire tue la plupart des homozygotes avant qu’ils se reproduisent, et pourtant l’allèle atteint $10\,\%$ à $20\,\%$ dans toute l’Afrique impaludée. Allison (1954) montra que les enfants hétérozygotes avaient des accès palustres bien moins nombreux et moins graves que les deux homozygotes, et la fréquence de l’allèle se calque sur la répartition historique du paludisme à falciparum ; dans les populations d’ascendance africaine vivant là où il n’y a pas de paludisme, la fréquence n’a cessé de diminuer depuis. Avec $t \approx 0.8$ pour l’homozygote drépanocytaire et $s \approx 0.1$ pour l’homozygote normal dans une région impaludée, $\hat q = s/(s + t) \approx 0.11$ — ce qu’on observe. ∎

22.3 Mutation, migration et équilibre

Théorème 22.7 (L’équilibre mutation–sélection)

Un allèle délétère est alimenté par la mutation au taux $\mu$ par gamète et par génération, et éliminé par la sélection. À l’équilibre, les deux se compensent : pour un allèle récessif dont le désavantage homozygote vaut $s$ ,

\hat q = \sqrt{\mu/s}\,;

pour un allèle dominant (ou partiellement dominant) dont le désavantage hétérozygote vaut $hs$ , $\hat q = \mu/hs$ . La fréquence d’équilibre d’un récessif est donc importante, même pour un létal : avec $\mu = 10^{-5}$ et $s = 1$ , $\hat q = 3\times 10^{-3}$ , et $0.6\,\%$ de la population le porte. Toute population porte un tel fardeau génétique en des milliers de loci, pour l’essentiel récessif et caché, et l’équilibre de l’argument du cliquet du Chapitre 7 — une fraction $e^{-U/s}$ d’individus exempts de mutations délétères — est le même équilibre sommé sur tout le génome.

Démonstration. À chaque génération, la mutation ajoute $\mu p \approx \mu$ à $q$ et la sélection retire $s\,pq^{2}/\bar w \approx sq^{2}$ (pour $q$ petit) ; poser $\mu = s\hat q^{2}$ donne le résultat récessif. Pour un allèle dominant, la sélection retire $hs\,q$ par génération (chaque copie est exposée chez un hétérozygote), et $\mu = hs\hat q$ . ∎

Proposition 22.8 (La migration et la règle d’un migrant)

Si une fraction $m$ d’une population est formée à chaque génération d’immigrants venus d’une population de fréquence allélique $p_{m}$ , la fréquence se rapproche de $p_{m}$ de $\Delta p = m(p_{m} - p)$ : l’écart entre les deux populations décroît comme $(1 - m)^{t}$ . Le flux génique homogénéise ; il défait l’adaptation locale à moins que la sélection ne soit plus forte que $m$ , et c’est la force qui maintient une espèce en une seule espèce. Inversement, des populations qui n’échangent aucun migrant divergent par dérive et par leurs mutations propres, et un seul migrant par génération — quelle que soit la taille de la population — suffit à les empêcher de dériver jusqu’à la fixation d’allèles différents.

22.4 Le hasard : la dérive génétique

Théorème 22.9 (La dérive génétique)

Dans une population de $N$ individus diploïdes, la fréquence allélique de chaque génération est un échantillon aléatoire de $2N$ gamètes tiré de la précédente, si bien que $p$ fluctue au hasard avec une variance de $p(1 - p)/2N$ par génération. L’hétérozygotie $H = 2pq$ décroît en moyenne d’un facteur $(1 - 1/2N)$ à chaque génération,

H_t = H_0\left(1 - \frac{1}{2N}\right)^{t} \approx H_0\,e^{-t/2N},

et tout allèle finit par être perdu ou fixé, avec une probabilité égale à sa fréquence actuelle : une nouvelle mutation neutre, à la fréquence $1/2N$ , est fixée avec la probabilité $1/2N$ et, si elle l’est, met environ $4N$ générations pour y parvenir. La dérive est négligeable dans une population de millions d’individus et prépondérante dans une population de quelques dizaines : un goulot d’étranglement ou un effet fondateur — quelques colons sur une île, une espèce réduite à une centaine d’individus par la chasse — fait perdre des allèles par hasard en une génération et laisse une population uniforme, appauvrie et riche en homozygotes. Le $N$ qui compte est l’effectif efficace, le nombre d’individus qui se reproduisent réellement, en général bien inférieur à l’effectif recensé.

Démonstration. Les $2N$ copies de gènes de la génération suivante sont tirées avec remise dans un pool où $A$ a la fréquence $p$ : le nombre de copies $A$ suit une loi binomiale de moyenne $2Np$ et de variance $2Np(1 - p)$ , donc $p'$ a pour moyenne $p$ et pour variance $p(1 - p)/2N$ . Deux copies tirées au hasard à la génération suivante proviennent de la même copie parentale avec la probabilité $1/2N$ et sont alors identiques, si bien que la probabilité que deux copies diffèrent (l’hétérozygotie) est multipliée par $1 - 1/2N$ à chaque génération. Probabilité de fixation : la fréquence d’un allèle neutre est une martingale — son espérance ne change jamais — et elle finit à 0 ou à 1, donc la probabilité de finir à 1 est égale à sa valeur de départ. ∎

La dérive. Deux populations de dix individus partant de p = 0.5 fixent des allèles opposés en moins de vingt-cinq générations ; deux populations de mille individus fluctuent de quelques pour cent en soixante générations. — La dérive. Deux populations de dix individus partant de $p = 0.5$ fixent des allèles opposés en moins de vingt-cinq générations ; deux populations de mille individus fluctuent de quelques pour cent en soixante générations.

Proposition 22.10 (La consanguinité)

Les accouplements entre apparentés ne modifient pas les fréquences alléliques mais augmentent la proportion d’homozygotes : le coefficient de consanguinité $F$ d’un individu est la probabilité que ses deux allèles à un locus soient identiques par ascendance, et les fréquences génotypiques deviennent $p^{2} + Fpq$ , $2pq(1 - F)$ , $q^{2} + Fpq$ . Pour les enfants de cousins germains $F = 1/16$ , de frère et sœur $1/4$ , d’autofécondation $1/2$ . Comme les allèles récessifs du fardeau génétique sont exposés chez les homozygotes supplémentaires, les descendants consanguins souffrent de dépression de consanguinité : un récessif létal à $q = 0.01$ apparaît chez $q^{2} = 10^{-4}$ des descendants d’accouplements au hasard, mais chez $q^{2} + Fpq = 7\times 10^{-4}$ des enfants de cousins, sept fois plus ; sommée sur des milliers de loci, la mortalité infantile des enfants de cousins est environ le double de celle des autres, et une petite population qui se reproduit en consanguinité pendant des générations perd fertilité et vigueur — le sort du guépard, de la panthère de Floride et des maisons royales d’Europe.

22.5 De nombreux gènes : les caractères quantitatifs

Théorème 22.11 (L’héritabilité et la réponse à la sélection)

Un caractère comme la taille, le rendement ou la hauteur du bec est déterminé par de nombreux gènes à petit effet et par l’environnement, et varie de façon continue. Sa variance dans une population se décompose en une part génétique $V_G$ et une part environnementale $V_E$ , et l’héritabilité $h^{2} = V_A/V_P$ est la fraction de la variance phénotypique due aux effets additifs des gènes (la part qui se transmet). Si les parents de la génération suivante sont sélectionnés avec une moyenne qui dépasse celle de la population de $S$ (la différentielle de sélection), leurs descendants la dépassent de

R = h^{2}\,S

— l’équation du sélectionneur. C’est toute l’amélioration animale et végétale en une ligne : une héritabilité de $0.5$ et des parents à un écart-type au-dessus de la moyenne donnent des descendants à un demi-écart-type au-dessus, et le gain s’accumule génération après génération. L’héritabilité est une propriété d’une population dans un environnement, non d’un caractère : elle ne dit rien de la fixité d’un caractère, et un caractère d’héritabilité $h^{2} = 0.8$ dans une population peut avoir $h^{2} = 0$ dans une autre, où tous les individus ont le même génotype.

Démonstration. Le phénotype attendu des descendants se régresse sur celui du parent moyen avec une pente $h^{2}$ (la covariance génétique additive entre apparentés divisée par la variance phénotypique), si bien qu’un écart parental $S$ donne un écart des descendants $h^{2}S$ . En pratique, $h^{2}$ se mesure à partir de cette régression, ou de la ressemblance des jumeaux et des germains, ou à partir de la réponse elle-même. ∎

Faits expérimentaux. L’expérience de l’Illinois sur le maïs, commencée en 1896, sélectionna chaque année les épis les plus riches et les plus pauvres en huile : au bout de cent générations, la lignée haute était passée de $5\,\%$ à $20\,\%$ d’huile et la lignée basse était tombée sous $1\,\%$ , toutes deux répondant encore — la variation de nombreux gènes n’est pas épuisée par un siècle de sélection. Aux Galápagos, les Grant mesurèrent tous les pinsons d’une île pendant la sécheresse de 1977 : les survivants avaient des becs plus hauts de $4\,\%$ que les morts, le caractère avait une héritabilité $h^{2} \approx 0.7$ , et les oisillons de l’année suivante avaient des becs plus hauts de $3\,\%$ que ceux de la génération précédente — la sélection observée, mesurée, et sa réponse prédite par l’équation ci-dessus. ∎

L’équation du sélectionneur dans une population de pinsons. La sécheresse a laissé des survivants au bec plus haut en moyenne de S = 0.5\, mm ; avec h2 = 0.7, leurs descendants avaient un bec plus haut de R = 0.35\, mm que la génération précédente. — L’équation du sélectionneur dans une population de pinsons. La sécheresse a laissé des survivants au bec plus haut en moyenne de $S = 0.5\,\mathrm{mm}$ ; avec $h^{2} = 0.7$ , leurs descendants avaient un bec plus haut de $R = 0.35\,\mathrm{mm}$ que la génération précédente.

Exemple 22.12 (L’arithmétique de la phalène)

L’allèle mélanique de la phalène du bouleau est dominant. D’une fréquence d’environ $10^{-3}$ en 1848 à $90\,\%$ de phalènes mélaniques (une fréquence voisine de $0.7$ ) en 1895, il y a cinquante générations ; l’équation de la sélection le reproduit avec $s$ entre $0.2$ et $0.3$ contre la forme claire — et les expériences de lâcher de Kettlewell, dans les années 1950, où les oiseaux prélevaient les phalènes claires sur les troncs couverts de suie et les sombres sur les troncs propres dans à peu près ce rapport, mesurèrent directement le coefficient. Le retour après les lois sur la qualité de l’air, de $90\,\%$ de mélaniques en 1960 à moins de $10\,\%$ en 2000, s’est fait à la même vitesse en sens inverse. L’épisode entier — une grande population, un allèle dominant, un agent sélectif puissant et réversible — est la génétique des populations en train de se faire sous les yeux de tous.

À gauche : les deux formes de la phalène du bouleau sur des lichens — celle que trouve un oiseau dépend de l’écorce. À droite : le polymorphisme de la coquille de l’escargot des bois, couleurs et bandes maintenues dans chaque population par des prédateurs qui apprennent à reconnaître la forme commune.

22.6 Exercices

Exercice 22.1 ★

Dans un échantillon de 1000 personnes, 640 sont $MM$ , 320 $MN$ et 40 $NN$ . Calculer les fréquences alléliques et les effectifs attendus sous Hardy–Weinberg. La population est-elle à l’équilibre ?

Solution

Solution de Exercice 22.1.

$p(M) = (1280 + 320)/2000 = 0.8$ , $q(N) = 0.2$ . Attendus $MM$ : $0.64\times 1000 = 640$ ; $MN$ : $2\times 0.8\times 0.2\times 1000 = 320$ ; $NN$ : 40 — exactement les effectifs observés. La population est à l’équilibre pour ce locus.

Exercice 22.2 ★

L’albinisme est récessif et touche une personne sur $20\,000$ . Calculer la fréquence allélique et la fréquence des porteurs.

Solution

Solution de Exercice 22.2.

$q = \sqrt{1/20000} = 0.0071$ ; porteurs $2pq \approx 0.014$ , une personne sur 70. Les porteurs sont plus nombreux que les personnes atteintes dans un rapport de $2p/q \approx 280$ à un.

Exercice 22.3 ★

Définir valeur sélective, coefficient de sélection et héritabilité, et donner les cinq forces qui modifient les fréquences alléliques.

Solution

Solution de Exercice 22.3.

Valeur sélective : le nombre attendu de descendants d’un génotype rapporté à celui du meilleur. Coefficient de sélection $s$ : le déficit de valeur sélective, $w = 1 - s$ . Héritabilité $h^{2}$ : la fraction de la variance phénotypique qui est génétique additive, ou, de façon équivalente, la pente de la régression des descendants sur les parents. Forces : mutation, sélection, dérive, migration, accouplements non aléatoires (cette dernière modifie les fréquences génotypiques, non les fréquences alléliques).

Exercice 22.4 ★

Donner un exemple de sélection directionnelle, un de sélection stabilisante et un de sélection balancée, avec l’agent de la sélection dans chaque cas.

Solution

Solution de Exercice 22.4.

Directionnelle : le mélanisme de la phalène du bouleau, l’agent étant les oiseaux qui chassent à vue sur les troncs noircis par la suie. Stabilisante : le poids de naissance humain, l’agent étant la mortalité des bébés très petits et très gros. Balancée : la drépanocytose, les agents étant à la fois le paludisme (contre $AA$ ) et l’anémie (contre $SS$ ).

Exercice 22.5 ★★

Un allèle récessif létal a une fréquence de $0.02$ . Combien de générations faut-il pour la diviser par deux ? Pour atteindre $0.001$ ? Qu’est-ce que cela dit de l’effet d’empêcher les individus atteints de se reproduire ?

Solution

Solution de Exercice 22.5.

$q_t = q_0/(1 + tq_0)$ : la division par deux demande $1/q_0 = 50$ générations ; atteindre $0.001$ demande $1/0.001 - 1/0.02 = 950$ générations. Presque toutes les copies de l’allèle se trouvent chez des hétérozygotes, invisibles pour la sélection ; empêcher les malades de se reproduire (ce que fait déjà la nature, puisqu’ils meurent) ne change rien de mesurable à l’échelle d’une vie humaine.

Exercice 22.6 ★★

Avec $w_{AA} = 1$ , $w_{Aa} = 1$ , $w_{aa} = 0.8$ et $p = 0.3$ , calculer $\bar w$ , $p'$ et $\Delta p$ . Recommencer pour $p = 0.9$ . Pourquoi la seconde variation est-elle tellement plus petite ?

Solution

Solution de Exercice 22.6.

$p = 0.3$ : $\bar w = 0.09 + 0.42 + 0.8\times 0.49 = 0.902$ ; $p' = (0.09 + 0.21)/0.902 = 0.333$ ; $\Delta p = +0.033$ . $p = 0.9$ : $\bar w = 0.998$ , $p' = 0.9018$ , $\Delta p = +0.0018$ . À $p = 0.9$ , seule une fraction $q^{2} = 0.01$ de la population est $aa$ : l’allèle contre lequel agit la sélection se cache chez les hétérozygotes, et $\Delta p = spq^{2}/\bar w$ contient le facteur $q^{2}$ .

Exercice 22.7 ★★

Dans une région impaludée, l’homozygote drépanocytaire a $w = 0.2$ et l’homozygote normal $w = 0.88$ , les hétérozygotes $w = 1$ . Calculer la fréquence d’équilibre de l’allèle drépanocytaire et la fraction des enfants qui naissent malades à l’équilibre.

Solution

Solution de Exercice 22.7.

Avec $s = 0.12$ contre $AA$ et $t = 0.8$ contre $SS$ , $\hat q = s/(s + t) = 0.12/0.92 = 0.13$ . Naissances d’enfants malades $\hat q^{2} = 0.017$ , environ un enfant sur 60 — le prix de la protection dont bénéficient les hétérozygotes.

Exercice 22.8 ★★

Un létal récessif apparaît par mutation au taux $\mu = 2 \times 10^{-5}\,$ par gamète. Calculer sa fréquence d’équilibre et la fraction des naissances atteintes. Un létal dominant (avant la reproduction) au même taux : quelle fraction des naissances ?

Solution

Solution de Exercice 22.8.

Létal récessif : $\hat q = \sqrt{\mu} = \sqrt{2\times 10^{-5}} = 0.0045$ ; naissances atteintes $\hat q^{2} = \mu = 2\times 10^{-5}$ , une sur $50\,000$ . Létal dominant : chaque copie est éliminée dans la génération où elle apparaît, si bien que les naissances atteintes sont simplement les nouvelles mutations, $2\mu = 4\times 10^{-5}$ (deux gamètes par naissance), une sur $25\,000$ — le récessif cache ses allèles dans un rapport de deux cents à un, le dominant ne cache rien.

Exercice 22.9 ★★

Une population de 50 reproducteurs part de $H = 0.5$ . Calculer son hétérozygotie après 10, 50 et 200 générations. Quelle doit être la taille d’une population pour conserver $90\,\%$ de son hétérozygotie sur 100 générations ?

Solution

Solution de Exercice 22.9.

$H_t = 0.5\,(1 - 1/100)^{t}$ : après 10 générations, $0.45$ ; après 50, $0.30$ ; après 200, $0.067$ . Pour $(1 - 1/2N)^{100} = 0.9$ : $100/(2N) \approx -\ln 0.9 = 0.105$ , donc $N \approx 475$ , environ 500 reproducteurs.

Exercice 22.10 ★★★

Une île est colonisée par 10 oiseaux venus d’une population continentale dans laquelle un allèle a la fréquence $0.1$ . Calculer la probabilité que l’allèle soit absent chez les fondateurs, et la probabilité qu’il soit finalement fixé sur l’île s’il y est présent en une copie. Comparer avec le continent.

Solution

Solution de Exercice 22.10.

Vingt copies de gènes : $P(\text{absent}) = 0.9^{20} = 0.12$ . Une copie unique parmi 20 a la fréquence $0.05$ , et un allèle neutre se fixe avec une probabilité égale à sa fréquence : $0.05$ . Sur un continent de, disons, $100\,000$ oiseaux, une copie unique a une probabilité de $5\times 10^{-6}$ de se fixer. L’île est un lieu où les allèles rares sont perdus et où ceux qui survivent peuvent l’emporter : la dérive à la fois appauvrit et différencie.

Exercice 22.11 ★★★

La production laitière a une héritabilité $h^{2} = 0.3$ et un écart-type de $1000\,\mathrm{L}$ . Un éleveur garde comme mères les $20\,\%$ meilleures vaches (leur moyenne est $1.4$ écart-type au-dessus de celle du troupeau). Calculer la réponse par génération. Si les taureaux sont choisis parmi le $1\,\%$ meilleur (moyenne $2.7$ écarts-types au-dessus), quelle est la réponse ? Pourquoi la réponse ralentit-elle au bout de nombreuses générations ?

Solution

Solution de Exercice 22.11.

$R = h^{2}S = 0.3\times 1.4\times 1000\,\mathrm{L} = 420\,\mathrm{L}$ par génération. Avec des taureaux choisis parmi le $1\,\%$ meilleur, la différentielle moyenne vaut $(1.4 + 2.7)/2 = 2.05$ écarts-types et $R = 0.3\times 2050 = 615\,\mathrm{L}$ . La réponse ralentit parce que la sélection épuise la variance additive — les allèles favorables se fixent et $h^{2}$ diminue — et parce que les modifications corrélées d’autres caractères (fertilité, santé) imposent des coûts qu’une sélection sur le seul rendement ne voit pas.

Exercice 22.12 ★★★

« La sélection est aveugle à ce qu’elle ne voit pas. » Discuter, à l’aide de l’allèle récessif chez les hétérozygotes, de la mutation neutre et du caractère d’héritabilité nulle, ce sur quoi la sélection peut et ne peut pas agir.

Solution

Solution de Exercice 22.12.

La sélection voit des phénotypes. Un allèle récessif chez un hétérozygote ne produit aucun phénotype, si bien que la sélection ne peut pas l’éliminer, et sa fréquence diminue comme $1/t$ , de plus en plus lentement. Une mutation neutre ne produit aucune différence de valeur sélective ; son sort dépend de la seule dérive, et elle se fixe avec la probabilité $1/2N$ . Un caractère d’héritabilité nulle peut être fortement sélectionné — les survivants peuvent différer beaucoup de la population — et pourtant la génération suivante est inchangée, parce que les différences n’étaient pas héritées. La sélection ne peut agir que sur des différences héritables qui modifient la valeur sélective ; tout le reste évolue par hasard, ou n’évolue pas.

22.7 Problème : la phalène, l’île et le troupeau

Problème 22.1

Problème du week-end — l’essor de la phalène du bouleau calculé à partir de l’équation de la sélection, la dérive et la consanguinité d’une population fondatrice suivies, un équilibre mutation–sélection établi et un programme d’amélioration prédit, jusqu’au coefficient de sélection de la phalène, à l’hétérozygotie de l’île et au gain du troupeau

Phalène du bouleau : allèle mélanique $M$ dominant, de fréquence $p_0 = 0.001$ en 1848 ; $90\,\%$ de phalènes mélaniques 50 générations plus tard ; on suppose $w_{MM} = w_{Mm} = 1$ et $w_{mm} = 1 - s$ . Île : fondée par 12 oiseaux venus d’un continent où $H = 0.4$ et où un allèle récessif délétère a $q = 0.05$ ; l’île compte ensuite 40 oiseaux reproducteurs. Mutation : $\mu = 1 \times 10^{-5}\,$ . Troupeau : $h^{2} = 0.4$ , écart-type $800\,\mathrm{L}$ .

Partie I — La phalène.

En 1848, quelle fraction des phalènes était mélanique, et quelle fraction des allèles $M$ se trouvait chez des hétérozygotes ?
Montrer que, $M$ étant dominant, la fréquence de l’allèle clair obéit à $q' = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$ .
En partant de $q_0 = 0.999$ , calculer $q$ après une génération pour $s = 0.3$ .
$90\,\%$ de mélaniques signifie $q^{2} = 0.1$ . Que vaut alors $q$ ?
Par essais successifs avec la relation de récurrence (ou l’approximation $\Delta q \approx -sq^{2}p$ tant que $q$ est voisin de 1), estimer le nombre de générations nécessaires, pour $s = 0.3$ , pour faire passer $q$ de $0.999$ à $0.32$ , et comparer aux 50 observées.
Après les lois sur la qualité de l’air, la forme claire a l’avantage : $s = 0.3$ contre $mm$ devient $s = 0.3$ contre $M\_$ . Montrer que $\Delta p = -spq^{2}/\bar w$ , et expliquer pourquoi le retour de la forme claire est d’abord lent et se termine par un déclin exponentiel de $M$ , alors que l’essor avait commencé de façon exponentielle et s’était terminé par une lente reptation.

Partie II — L’île.

Calculer la probabilité qu’aucun des 12 fondateurs ne porte l’allèle délétère.
Calculer l’hétérozygotie attendue après la génération fondatrice (tirée de $H = 0.4$ par 12 individus, soit 24 copies de gènes).
Calculer l’hétérozygotie après 100 générations avec $N = 40$ , en fraction de celle du continent.
Une mutation neutre apparaît chez un oiseau. Calculer sa probabilité de fixation et le temps attendu jusqu’à la fixation si elle se fixe.
Les oiseaux de l’île s’accouplent au hasard mais sont tous apparentés. Avec $F = 1/(2N)$ s’accumulant à chaque génération jusqu’à environ $0.3$ après 30 générations, calculer la fréquence des homozygotes atteints pour l’allèle à $q = 0.05$ , avec et sans consanguinité.
Un oiseau du continent arrive à chaque génération. Expliquer l’effet sur la divergence de l’île et sur son fardeau.

Partie III — L’équilibre.

Calculer la fréquence d’équilibre d’un récessif létal alimenté par $\mu = 10^{-5}$ , et la fraction des naissances atteintes.
Faire le même calcul pour $s = 0.1$ (un récessif légèrement délétère).
Calculer l’équilibre d’un allèle dominant de désavantage hétérozygote $hs = 0.05$ .
La médecine soigne le létal, si bien que $s$ tombe à $0.1$ . Comment l’équilibre change-t-il, et combien de temps (ordre de grandeur) la population met-elle pour l’atteindre ?
Le génome compte $20\,000$ gènes, chacun mutant vers un récessif létal au taux $10^{-5}$ . Combien d’allèles létaux une personne moyenne porte-t-elle à l’état hétérozygote ? (À l’équilibre, chaque locus compte $2\hat q$ copies par personne.)
Expliquer pourquoi ce nombre est compatible avec une population en bonne santé et pourquoi il rend coûteux les mariages entre cousins.

Partie IV — Le troupeau.

L’éleveur garde les $30\,\%$ meilleures vaches (moyenne $1.16$ écart-type au-dessus du troupeau). Calculer la différentielle de sélection en litres et la réponse.
Après cinq générations de la même sélection, quel est le gain attendu, et pourquoi le gain réel pourrait-il être plus faible ?
Les taureaux apportent la moitié des gènes et sont choisis parmi les $2\,\%$ meilleurs ( $2.4$ écarts-types). Calculer la réponse lorsque vaches et taureaux sont sélectionnés comme ci-dessus (faire la moyenne des deux différentielles).
Un troupeau dont toutes les vaches sont des clones d’un même animal : que valent $h^{2}$ et la réponse ? Qu’est-ce que cela dit de l’héritabilité ?
Une population de pinsons a une héritabilité $h^{2} = 0.7$ pour la hauteur du bec, et la sécheresse laisse des survivants au bec plus haut de $0.6\,\mathrm{mm}$ . Prévoir la génération suivante.
L’éleveur passe à un caractère d’héritabilité $h^{2} = 0.1$ . Quelle différentielle de sélection, en écarts-types, donne la même réponse qu’à la question 19 ?
Énoncer le résultat : le $s$ de la phalène et le temps nécessaire pour atteindre $90\,\%$ de mélaniques, l’hétérozygotie de l’île après 100 générations, et la réponse du troupeau par génération.

Solution

Solution de Problème 22.1.

1. Fraction mélanique $1 - q^{2} = 1 - 0.999^{2} = 0.002$ , une phalène sur 500 ; la fraction des allèles $M$ portés par des hétérozygotes vaut $2pq/(2pq + 2p^{2}) = q = 0.999$ : pratiquement tous. 2. Avec $\bar w = 1 - sq^{2}$ , les copies de l’allèle clair après sélection sont $pq\cdot 1 + q^{2}(1 - s)$ sur $\bar w$ , donc $q' = (pq + q^{2} - sq^{2})/(1 - sq^{2}) = q(1 - sq)/(1 - sq^{2})$ . 3. $q_1 = 0.999\times(1 - 0.2997)/(1 - 0.2994) = 0.99857$ : une variation de $-0.0014$ . 4. $q = \sqrt{0.1} = 0.32$ . 5. La récurrence, itérée, demande 28 générations pour $s = 0.3$ ; l’approximation donne le même ordre de grandeur (la variation vaut $-0.0003$ au début, puis s’accélère à mesure que $p$ augmente). Les 50 générations observées correspondent à un $s$ plus faible, environ $0.2$ (la récurrence donne 45 générations pour $s = 0.2$ ) : une sélection de $20\text{ à }30\,\%$ par génération, énorme au regard de la plupart des allèles. 6. Avec $w_{MM} = w_{Mm} = 1 - s$ , $w_{mm} = 1$ : $\bar w = 1 - s(1 - q^{2})$ et $p' = p(1 - s)/\bar w$ , donc $\Delta p = p[(1 - s) - \bar w]/\bar w = -spq^{2}/\bar w$ . La forme claire n’est favorisée que chez l’homozygote $mm$ , une fraction $q^{2} = 0.1$ au départ : le retour commence lentement. Quand $q \to 1$ , $\Delta p \approx -sp$ et $M$ décline exponentiellement, d’un facteur $1 - s$ à chaque génération : un allèle dominant n’a nulle part où se cacher. L’essor était l’image inverse : $\Delta p \approx +sp$ tant que $M$ était rare (début exponentiel), puis $\Delta q \approx -sq^{2}p \to$ une lente reptation, l’allèle clair se cachant chez les hétérozygotes. La récurrence donne 27 générations pour le retour de $p = 0.68$ à $0.001$ , dont 16 pour amener l’allèle à $5\,\%$ . 7. $24$ copies de gènes : $0.95^{24} = 0.29$ . 8. $H_1 = 0.4\,(1 - 1/24) = 0.383$ . 9. $H_{100} = 0.383\,(1 - 1/80)^{100} = 0.383\times 0.284 = 0.109$ : $27\,\%$ du $0.4$ du continent. 10. $P(\text{fixation}) = 1/(2N) = 1/80 = 0.0125$ ; temps attendu jusqu’à la fixation $4N = 160$ générations. 11. Sans consanguinité, $q^{2} = 0.0025$ ; avec $F = 0.3$ , $q^{2} + Fpq = 0.0025 + 0.3\times 0.95\times 0.05 = 0.017$ : sept fois plus d’oiseaux atteints. 12. Un migrant par génération ( $m = 1/40$ ) suffit à empêcher l’île de diverger aux loci neutres et à reconstituer les allèles que la dérive a perdus ; il importe aussi les allèles délétères du continent à leur fréquence continentale, qui, sous l’effet de la consanguinité de l’île, sont exposés chez des homozygotes — le fardeau est fixé par l’équilibre entre immigration et exposition. 13. $\hat q = \sqrt{10^{-5}} = 0.0032$ ; naissances atteintes $\hat q^{2} = 10^{-5}$ . 14. $\hat q = \sqrt{10^{-5}/0.1} = 0.01$ ; naissances atteintes $10^{-4}$ : une sélection dix fois plus faible rend l’allèle trois fois plus commun et la maladie dix fois plus. 15. $\hat p = \mu/(hs) = 10^{-5}/0.05 = 2\times 10^{-4}$ ; porteurs $2\hat p = 4\times 10^{-4}$ . 16. De $\hat q = 0.0032$ à $0.01$ : l’allèle augmente à un rythme fixé par la mutation, $\mu = 10^{-5}$ par génération, si bien que l’approche prend de l’ordre de $\Delta q/\mu \approx 700$ générations — $20\,000$ ans : toute décision prise aujourd’hui se fera sentir dans une population qui ne ressemblera en rien à la nôtre. 17. Chaque locus apporte $2\hat q = 0.0063$ copie létale par personne ; sur $20\,000$ loci, environ $130$ — mais cela suppose que tout gène peut muter en un récessif létal ; avec l’estimation habituelle de quelques milliers de gènes essentiels, une personne porte de plusieurs à quelques dizaines d’équivalents létaux à l’état hétérozygote. 18. Chacun se trouve à un locus différent et chacun est rare, si bien que la probabilité que les deux membres d’un couple pris au hasard portent le même est faible ; des cousins partagent un huitième de leurs gènes par ascendance, si bien que, pour chacun des létaux d’un cousin, le risque que l’enfant soit homozygote est de $1/16$ par létal partagé — l’excès de mortalité infantile des mariages entre cousins est mesuré à quelques pour cent. 19. $S = 1.16\times 800\,\mathrm{L} = 930\,\mathrm{L}$ ; $R = 0.4\times 930 = 370\,\mathrm{L}$ . 20. Cinq générations : environ $1860\,\mathrm{L}$ ; moins en pratique, parce que la variance additive s’épuise, parce que $h^{2}$ a été estimée dans le troupeau d’origine, et parce que l’environnement (alimentation, logement) qui a fait les meilleures vaches peut ne pas se transmettre. 21. Différentielle moyenne $(1.16 + 2.4)/2 = 1.78$ écart-type, $S = 1424\,\mathrm{L}$ , $R = 0.4\times 1424 = 570\,\mathrm{L}$ . 22. Des clones n’ont aucune variance génétique, donc $h^{2} = 0$ et $R = 0$ quel que soit $S$ : l’héritabilité est une propriété d’une population, la part de sa variance qui est génétique, et non une propriété du caractère. 23. $R = 0.7\times 0.6 = 0.42\,\mathrm{mm}$ de plus. 24. La même réponse de $370\,\mathrm{L}$ exige $S = 370/0.1 = 3700\,\mathrm{L}$ , soit $4.6$ écarts-types — en ne gardant qu’une vache sur plus de dix mille : irréalisable, et c’est pourquoi les caractères peu héritables s’améliorent lentement ou par d’autres moyens (testage sur descendance, familles plus nombreuses). 25. Phalène : $s \approx 0.2$ à $0.3$ , 28 générations pour $0.3$ et 45 pour $0.2$ , contre 50 observées ; île : $H_{100} \approx 0.11$ , $27\,\%$ de celle du continent ; troupeau : $370\,\mathrm{L}$ par génération avec les vaches seules, $570\,\mathrm{L}$ avec des taureaux sélectionnés.

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