La chimie à l’école — Années 1 à 12 · Grades 1–12

25La mole et la masse molaire

En fin de journée, une banque ne compte pas ses pièces une à une : elle les pèse. Si une pièce a une masse de $7.5\,\mathrm{g}$ , un sac de pièces de $7.5\,\mathrm{kg}$ en contient mille, et c’est la balance qui a compté. Les chimistes ont le même problème avec les atomes, en bien pire : une cuillerée d’eau contient plus de molécules qu’il n’y a de grains de sable sur toutes les plages d’une côte. Ils le résolvent de la même façon, en pesant, et le sac qu’ils utilisent contient $602\,214\,076\,000\,000\,000\,000\,000$ entités. Ce chapitre définit ce sac, la mole, et montre comment passer d’une masse lue sur une balance à un nombre d’atomes ou de molécules.

Rappel

La masse d’un atome est concentrée dans son noyau ; un proton et un neutron ont chacun une masse d’environ $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , si bien qu’un atome de nombre de masse $A$ a une masse d’environ $A \times 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ . Les très grands et les très petits nombres s’écrivent en écriture scientifique (Chapitre 16). Une formule chimique donne le nombre d’atomes de chaque élément dans une molécule (Chapitre 11).

Une banque compte les pièces en les pesant. Les chimistes comptent les atomes de la même façon.

25.1 Compter en pesant

Exemple 25.1 (Un sac de pièces)

Une pièce a une masse de $7.5\,\mathrm{g}$ . Un sac de ces pièces a une masse de $1.80\,\mathrm{kg}$ , soit $1800\,\mathrm{g}$ , la masse du sac lui-même étant mise à part. Il contient

\frac{1800\,\mathrm{g}}{7.5\,\mathrm{g}} = 240 \text{ pièces.}

Pour compter, la banque divise la masse totale par la masse d’une pièce.

Exemple 25.2 (Une cuillerée d’eau)

Une molécule d’eau, $\ce{H2O}$ , compte $2 + 16 = 18$ nucléons (les atomes d’oxygène 16 et d’hydrogène 1 forment presque toute l’eau naturelle) ; sa masse est donc d’environ $18 \times 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} = 3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , soit $3.0 \times 10^{-23}\,\mathrm{g}$ . Une cuillerée de $5.0\,\mathrm{g}$ d’eau contient donc

\frac{5.0\,\mathrm{g}}{3.0 \times 10^{-23}\,\mathrm{g}} \approx 1.7 \times 10^{23} \text{ molécules.}

La division se fait comme pour les pièces, mais le résultat est un nombre que personne ne peut se représenter. Les chimistes ont besoin d’un paquet d’atomes adapté aux échantillons du laboratoire.

Définition 25.3 (Quantité de matière et mole)

La quantité de matière $n$ d’un échantillon compte les entités qu’il contient (atomes, molécules ou ions, à préciser chaque fois). Son unité est la mole, de symbole $\mathrm{mol}$ : une mole contient exactement $6.022\,140\,76 \times 10^{23}$ entités.

Remarque 25.4 (Une douzaine, une rame, une mole)

La mole est une unité de comptage, comme une douzaine d’œufs (12) ou une rame de papier (500 feuilles), en beaucoup plus grand. « Deux moles de molécules d’eau » signifie $2 \times 6.022\,140\,76 \times 10^{23} = 1.20 \times 10^{24}$ molécules, de même que « deux douzaines d’œufs » signifie 24 œufs. Il faut toujours préciser quelles entités on compte : une mole de molécules de dioxygène $\ce{O2}$ contient deux moles d’atomes d’oxygène.

Histoire des sciences — L’hypothèse d’Avogadro, 1811

En 1811, le physicien Amedeo Avogadro proposa que des volumes égaux de gaz différents, à la même température et à la même pression, contiennent le même nombre de particules. Il comprit aussi qu’un gaz comme le dioxygène est fait de molécules de deux atomes. Son idée fut négligée pendant près de cinquante ans, jusqu’à ce que Stanislao Cannizzaro l’utilise en 1860 pour obtenir un ensemble cohérent de masses atomiques. La constante qui compte les entités d’une mole reçut plus tard le nom d’Avogadro ; il n’en connut jamais la valeur.

25.2 La constante d’Avogadro

Définition 25.5 (Constante d’Avogadro)

La constante d’Avogadro $N_A$ est le nombre d’entités par mole :

N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} .

Sa valeur est exacte, fixée par définition. Dans les calculs, on l’arrondit à $6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ .

Proposition 25.6 (Nombre d’entités et quantité de matière)

Un échantillon contenant $N$ entités contient la quantité de matière

n = \frac{N}{N_A}, \qquad\text{soit}\qquad N = n \times N_A .

Démonstration. Chaque mole contient $N_A$ entités, donc $n$ moles contiennent $n \times N_A$ entités ; en divisant par $N_A$ , on obtient $n$ . ∎

Exemple 25.7 (Molécules et moles)

Un échantillon contient $1.5 \times 10^{24}$ molécules de dioxyde de carbone. Sa quantité de dioxyde de carbone est $n = 1.5 \times 10^{24} / 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 2.5\,\mathrm{mol}$ . Inversement, $0.20\,\mathrm{mol}$ de fer contiennent $N = 0.20\,\mathrm{mol} \times 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 1.2 \times 10^{23}$ atomes de fer.

Remarque 25.8 (D’où vient ce nombre)

Pendant plus de cinquante ans, la mole a été définie comme le nombre d’atomes contenus dans exactement $12\,\mathrm{g}$ de carbone 12, et $N_A$ devait être mesurée. Depuis 2019, c’est le nombre lui-même qui est fixé, ce qui fait de la mole un pur comptage. L’ancienne et la nouvelle définition concordent à mieux qu’une partie sur cent millions : douze grammes de carbone 12 contiennent donc toujours une mole d’atomes, comme le vérifie la section suivante.

25.3 La masse molaire

Définition 25.9 (Masse molaire)

La masse molaire $M$ d’une espèce chimique est la masse d’une mole de ses entités, en grammes par mole ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ). La masse molaire d’un élément, prise sur son mélange naturel d’isotopes, est sa masse molaire atomique ; elle figure dans le tableau périodique.

Exemple 25.10 (Une mole d’atomes de carbone)

Un atome de carbone 12 a une masse d’environ $12 \times 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} = 2.00 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ . Une mole de ces atomes a une masse de

2.00 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} \times 6.02 \times 10^{23} = 1.20 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg} = 12.0\,\mathrm{g}.

La mole a été choisie pour que la masse molaire d’un atome, en grammes par mole, soit proche de son nombre de masse : environ $1\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ pour l’hydrogène, $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ pour le carbone, $16\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ pour l’oxygène.

élément	symbole	$M$ ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )	élément	symbole	$M$ ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )
hydrogène	$\ce{H}$	1.0	silicium	$\ce{Si}$	28.1
carbone	$\ce{C}$	12.0	soufre	$\ce{S}$	32.1
azote	$\ce{N}$	14.0	chlore	$\ce{Cl}$	35.5
oxygène	$\ce{O}$	16.0	potassium	$\ce{K}$	39.1
sodium	$\ce{Na}$	23.0	calcium	$\ce{Ca}$	40.1
magnésium	$\ce{Mg}$	24.3	fer	$\ce{Fe}$	55.8
aluminium	$\ce{Al}$	27.0	cuivre	$\ce{Cu}$	63.5
			or	$\ce{Au}$	197.0

Masses molaires atomiques d’éléments courants, arrondies à

0.1\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}

. Ce sont les valeurs utilisées dans ce livre.

Remarque 25.11 (Pourquoi le chlore vaut 35.5)

Le chlore naturel est un mélange de deux isotopes : environ les trois quarts de ses atomes sont du chlore 35, un quart du chlore 37 (Chapitre 16). Sa masse molaire atomique est la moyenne pondérée par ces proportions, qui se situe entre 35 et 37 : $35.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . C’est pourquoi certaines masses molaires atomiques sont loin d’être des nombres entiers.

Proposition 25.12 (Masse molaire d’une molécule)

La masse molaire d’une molécule est la somme des masses molaires atomiques de tous ses atomes, chacun compté autant de fois qu’il apparaît dans la formule. La même règle donne la masse molaire d’un solide ionique à partir de son unité de formule.

Démonstration. Une mole de molécules $\ce{A_xB_y}$ contient $x$ moles d’atomes $\ce{A}$ et $y$ moles d’atomes $\ce{B}$ , et rien d’autre ; sa masse est la somme de leurs masses, $x\,M(\ce{A}) + y\,M(\ce{B})$ . ∎

Exemple 25.13 (Trois masses molaires)

\begin{align*} M(\ce{H2O}) &= 2 \times 1.0 + 16.0 = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol},\\ M(\ce{NaCl}) &= 23.0 + 35.5 = 58.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol},\\ M(\ce{C12H22O11}) &= 12 \times 12.0 + 22 \times 1.0 + 11 \times 16.0 = 342.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}. \end{align*}

La dernière est celle du saccharose, le sucre de table.

25.4 De la masse à la quantité de matière, et retour

Proposition 25.14 (Masse et quantité de matière)

Un échantillon de masse $m$ d’une espèce de masse molaire $M$ contient la quantité de matière

n = \frac{m}{M}, \qquad\text{soit}\qquad m = n \times M .

Avec $m$ en grammes et $M$ en grammes par mole, $n$ est en moles.

Démonstration. Chaque mole a une masse $M$ , donc $n$ moles ont une masse $n \times M$ ; c’est le comptage des pièces de la banque, avec la mole pour pièce. ∎

Méthode 25.15 (D’une masse à un nombre d’entités)

Écrire la formule de l’espèce et calculer sa masse molaire $M$ à l’aide du tableau.
Convertir la masse en grammes si nécessaire, puis $n = m / M$ .
Si l’on cherche le nombre d’entités, $N = n \times N_A$ .
Vérifier l’ordre de grandeur : quelques grammes d’une petite molécule représentent de l’ordre d’un dixième de mole, soit $10^{22}$ à $10^{23}$ entités.

La quantité de matière n est au centre : la balance donne m, la masse molaire conduit à n, et la constante d’Avogadro conduit ensuite au nombre d’entités. — La quantité de matière $n$ est au centre : la balance donne $m$ , la masse molaire conduit à $n$ , et la constante d’Avogadro conduit ensuite au nombre d’entités.

Exemple 25.16 (Neuf grammes d’eau)

Combien y a-t-il de molécules dans $9.0\,\mathrm{g}$ d’eau ? $M(\ce{H2O}) = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , donc

n = \frac{9.0\,\mathrm{g}}{18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}} = 0.50\,\mathrm{mol}, \qquad N = 0.50\,\mathrm{mol} \times 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 3.0 \times 10^{23} \text{ molécules.}

Exemple 25.17 (Une mole sur la paillasse)

Une mole d’eau, c’est $18.0\,\mathrm{g}$ , environ une cuillerée à soupe. Une mole de sel, $58.5\,\mathrm{g}$ , forme un petit tas ; une mole de sucre, $342.0\,\mathrm{g}$ , remplit une grande tasse ; une mole de fer, $55.8\,\mathrm{g}$ , est un cube d’un peu moins de $2\,\mathrm{cm}$ de côté. Les quatre contiennent le même nombre d’entités : les molécules de sucre sont simplement bien plus lourdes que celles d’eau, et les atomes de fer sont bien plus serrés.

Une mole d’eau, de sel (chlorure de sodium), de sucre (saccharose) et de fer, dessinées sous forme de cubes de leur volume réel, toutes à la même échelle. Chacune contient 6.02 × 1023 entités. — Une mole d’eau, de sel (chlorure de sodium), de sucre (saccharose) et de fer, dessinées sous forme de cubes de leur volume réel, toutes à la même échelle. Chacune contient $6.02 \times 10^{23}$ entités.

25.5 Les gaz : le volume molaire

Définition 25.18 (Volume molaire)

Le volume molaire $V_m$ d’un gaz est le volume occupé par une mole de ce gaz, à une température et une pression données. Il s’exprime en litres par mole ( $\mathrm{L}/\mathrm{mol}$ ).

Proposition 25.19 (Tous les gaz ont le même volume molaire)

À température et pression données, une mole de n’importe quel gaz occupe très sensiblement le même volume, quel que soit le gaz. À $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et sous la pression atmosphérique normale,

V_m = 24.1\,\mathrm{L}/\mathrm{mol};

à $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et sous la même pression, $V_m = 22.4\,\mathrm{L}/\mathrm{mol}$ . La quantité de matière d’un gaz de volume $V$ vaut alors $n = V / V_m$ .

Démonstration. Admis ici : c’est l’hypothèse d’Avogadro de 1811, devenue une loi de la physique, et la valeur de $V_m$ découle des lois des gaz étudiées dans le livre de physique. ∎

Trois ballons à 20\, C, contenant chacun une mole d’un gaz différent. Les volumes sont les mêmes ; les masses, non. — Trois ballons à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , contenant chacun une mole d’un gaz différent. Les volumes sont les mêmes ; les masses, non.

Exemple 25.20 (Un ballon de dioxyde de carbone)

Un ballon contient $2.4\,\mathrm{L}$ de dioxyde de carbone à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Sa quantité de matière est $n = 2.4\,\mathrm{L} / 24.1\,\mathrm{L}/\mathrm{mol} = 0.10\,\mathrm{mol}$ , et sa masse $m = 0.10\,\mathrm{mol} \times 44.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol} = 4.4\,\mathrm{g}$ . Le même ballon rempli de dihydrogène contiendrait les mêmes $0.10\,\mathrm{mol}$ , mais seulement $0.20\,\mathrm{g}$ de gaz.

Remarque 25.21 (Gaz lourds et gaz légers)

Comme un litre de n’importe quel gaz contient la même quantité de matière, la masse d’un litre de gaz est proportionnelle à sa masse molaire. L’air, un mélange d’environ quatre cinquièmes de diazote ( $28.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) et d’un cinquième de dioxygène ( $32.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), se comporte comme un gaz de masse molaire voisine de $29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Un gaz de masse molaire plus grande, comme le dioxyde de carbone ( $44.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), est plus dense que l’air et s’accumule au fond d’une cave fermée ; un gaz de masse molaire plus petite, comme l’hélium ( $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), s’élève.

25.6 Exercices

Exercice 25.1 ★

Calculer les masses molaires du dioxygène $\ce{O2}$ , du diazote $\ce{N2}$ , du méthane $\ce{CH4}$ , de l’ammoniac $\ce{NH3}$ et du dioxyde de carbone $\ce{CO2}$ .

Solution

Solution de Exercice 25.1.

$M(\ce{O2}) = 2 \times 16.0 = 32.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{N2}) = 2 \times 14.0 = 28.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{CH4}) = 12.0 + 4 \times 1.0 = 16.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{NH3}) = 14.0 + 3 \times 1.0 = 17.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{CO2}) = 12.0 + 2 \times 16.0 = 44.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .

Exercice 25.2 ★

Quelle quantité de matière contiennent $36.0\,\mathrm{g}$ d’eau ? Et $4.0\,\mathrm{g}$ de méthane ?

Solution

Solution de Exercice 25.2.

Eau : $n = 36.0 / 18.0 = 2.00\,\mathrm{mol}$ . Méthane : $n = 4.0 / 16.0 = 0.25\,\mathrm{mol}$ .

Exercice 25.3 ★

Quelle est la masse de $0.25\,\mathrm{mol}$ de chlorure de sodium $\ce{NaCl}$ ? Et celle de $2.0\,\mathrm{mol}$ de dioxyde de carbone ?

Solution

Solution de Exercice 25.3.

$m(\ce{NaCl}) = 0.25 \times 58.5 = 14.6\,\mathrm{g}$ , environ $15\,\mathrm{g}$ ; $m(\ce{CO2}) = 2.0 \times 44.0 = 88\,\mathrm{g}$ .

Exercice 25.4 ★

Combien y a-t-il de molécules dans $0.50\,\mathrm{mol}$ de dioxygène ? Quelle quantité de fer contient $3.0 \times 10^{24}$ atomes de fer ?

Solution

Solution de Exercice 25.4.

$N = 0.50 \times 6.02 \times 10^{23} = 3.0 \times 10^{23}$ molécules de dioxygène. $n = 3.0 \times 10^{24} / 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 5.0\,\mathrm{mol}$ de fer.

Exercice 25.5 ★

À $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et sous la pression atmosphérique normale, quel volume occupent $0.50\,\mathrm{mol}$ de diazote ? Quelle quantité de dioxygène y a-t-il dans $12\,\mathrm{L}$ de ce gaz ?

Solution

Solution de Exercice 25.5.

$V = n \times V_m = 0.50 \times 24.1 = 12\,\mathrm{L}$ . $n = V / V_m = 12 / 24.1 = 0.50\,\mathrm{mol}$ .

Exercice 25.6 ★★

Une goutte d’eau a un volume de $0.050\,\mathrm{mL}$ , et $1\,\mathrm{mL}$ d’eau a une masse de $1.0\,\mathrm{g}$ . Combien de molécules d’eau la goutte contient-elle ?

Solution

Solution de Exercice 25.6.

La goutte a une masse de $0.050\,\mathrm{g}$ , donc $n = 0.050 / 18.0 = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$ et $N = 2.8 \times 10^{-3} \times 6.02 \times 10^{23} = 1.7 \times 10^{21}$ molécules.

Exercice 25.7 ★★

Qu’est-ce qui contient le plus d’atomes, $10\,\mathrm{g}$ d’aluminium ou $10\,\mathrm{g}$ de fer ? Répondre d’abord sans calcul, puis vérifier par le calcul.

Solution

Solution de Exercice 25.7.

Un atome d’aluminium ( $27.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) est environ deux fois plus léger qu’un atome de fer ( $55.8\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) : une même masse d’aluminium contient donc environ deux fois plus d’atomes. Vérification : aluminium $10/27.0 = 0.370\,\mathrm{mol}$ , soit $2.23 \times 10^{23}$ atomes ; fer $10/55.8 = 0.179\,\mathrm{mol}$ , soit $1.08 \times 10^{23}$ atomes. L’aluminium l’emporte, d’un facteur 2.1 environ.

Exercice 25.8 ★★

À $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , calculer la masse d’un litre de dioxyde de carbone et celle d’un litre de diazote. Pourquoi le dioxyde de carbone s’accumule-t-il au fond d’une cave fermée où fermente du jus de raisin ?

Solution

Solution de Exercice 25.8.

Un litre correspond à $1/24.1 = 0.0415\,\mathrm{mol}$ de gaz. Dioxyde de carbone : $0.0415 \times 44.0 = 1.83\,\mathrm{g}$ ; diazote : $0.0415 \times 28.0 = 1.16\,\mathrm{g}$ . Le dioxyde de carbone est environ une fois et demie plus dense que l’air, dont la masse molaire est proche de celle du diazote. Le jus en fermentation dégage du dioxyde de carbone, qui descend et s’accumule près du sol d’une cave fermée, où il peut asphyxier quiconque y entre.

Exercice 25.9 ★★

À l’aide de la figure des trois cases $m$ , $n$ , $N$ , donner la masse de $1.0 \times 10^{22}$ molécules de glucose $\ce{C6H12O6}$ . Indiquer les deux flèches suivies.

Solution

Solution de Exercice 25.9.

$M(\ce{C6H12O6}) = 6 \times 12.0 + 12 \times 1.0 + 6 \times 16.0 = 180.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Flèche $\div N_A$ : $n = 1.0 \times 10^{22} / 6.02 \times 10^{23} = 1.66 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ ; flèche $\times M$ : $m = 1.66 \times 10^{-2} \times 180.0 = 3.0\,\mathrm{g}$ .

Exercice 25.10 ★★

Un morceau de sucre (saccharose, $\ce{C12H22O11}$ ) a une masse de $5.0\,\mathrm{g}$ . Calculer la quantité de saccharose qu’il contient, puis le nombre de molécules de saccharose, puis le nombre d’atomes de carbone.

Solution

Solution de Exercice 25.10.

$M = 342.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , donc $n = 5.0 / 342.0 = 1.46 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ ; $N = 1.46 \times 10^{-2} \times 6.02 \times 10^{23} = 8.8 \times 10^{21}$ molécules. Chacune a 12 atomes de carbone : $12 \times 8.8 \times 10^{21} = 1.1 \times 10^{23}$ atomes de carbone.

Exercice 25.11 ★★

Qu’est-ce qui contient la plus grande quantité de molécules : $1.0\,\mathrm{kg}$ d’eau $\ce{H2O}$ ou $1.0\,\mathrm{kg}$ d’éthanol $\ce{C2H6O}$ ? Dans quel rapport ?

Solution

Solution de Exercice 25.11.

Eau : $1000 / 18.0 = 55.6\,\mathrm{mol}$ . Éthanol : $M = 2 \times 12.0 + 6 \times 1.0 + 16.0 = 46.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , donc $1000 / 46.0 = 21.7\,\mathrm{mol}$ . L’eau a la plus grande quantité de matière, d’un facteur $55.6 / 21.7 \approx 2.6$ , qui n’est autre que $46.0 / 18.0$ .

Exercice 25.12 ★★★

Une bague en or a une masse de $5.0\,\mathrm{g}$ ; les trois quarts de sa masse sont de l’or, le reste du cuivre. Combien d’atomes d’or contient-elle ? Combien d’atomes de cuivre ? Quel métal a le plus d’atomes dans la bague ?

Solution

Solution de Exercice 25.12.

Or : $3.75\,\mathrm{g}$ , $n = 3.75 / 197.0 = 1.90 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ , soit $1.15 \times 10^{22}$ atomes. Cuivre : $1.25\,\mathrm{g}$ , $n = 1.25 / 63.5 = 1.97 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ , soit $1.19 \times 10^{22}$ atomes. Chose surprenante, la bague contient un peu plus d’atomes de cuivre que d’atomes d’or : un atome d’or est environ trois fois plus lourd qu’un atome de cuivre.

Exercice 25.13 ★★★

Une salle de classe mesure $8.0\,\mathrm{m}$ sur $6.0\,\mathrm{m}$ sur $3.0\,\mathrm{m}$ , et l’air qu’elle contient est à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Quelle quantité de gaz contient-elle ( $1\,\mathrm{m}^{3} = 1000\,\mathrm{L}$ ) ? Combien de molécules ?
En considérant l’air comme formé, sur cent molécules, de 78 molécules de diazote, 21 de dioxygène et 1 d’argon ( $40.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), calculer la masse molaire moyenne de l’air.
Quelle est la masse de l’air de la salle ?

Solution

Solution de Exercice 25.13.

$V = 8.0 \times 6.0 \times 3.0 = 144\,\mathrm{m}^{3} = 1.44 \times 10^{5}\,\mathrm{L}$ ; $n = 1.44 \times 10^{5} / 24.1 = 5.98 \times 10^{3}\,\mathrm{mol}$ ; $N = 5.98 \times 10^{3} \times 6.02 \times 10^{23} = 3.6 \times 10^{27}$ molecules.
$M = (78 \times 28.0 + 21 \times 32.0 + 1 \times 40.0) / 100 = 2896 / 100 = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .
$m = 5.98 \times 10^{3} \times 29.0 = 1.73 \times 10^{5}\,\mathrm{g}$ , environ $173\,\mathrm{kg}$ : l’air d’une salle de classe pèse autant que deux ou trois adultes.

Exercice 25.14 ★★★

Une sphère de silicium pur a une masse d’exactement $1.000\,\mathrm{kg}$ .

Combien d’atomes de silicium contient-elle ?
En déduire la masse d’un atome de silicium.
Avant 2019, la constante d’Avogadro n’était pas fixée mais mesurée. Expliquer comment un comptage indépendant des atomes d’une telle sphère, dont la quantité de matière est connue par sa masse, en donnerait une valeur.

Solution

Solution de Exercice 25.14.

$n = 1000 / 28.1 = 35.6\,\mathrm{mol}$ , donc $N = 35.6 \times 6.02 \times 10^{23} = 2.14 \times 10^{25}$ atomes.
$m = 1.000\,\mathrm{kg} / 2.14 \times 10^{25} = 4.67 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ .
La masse de la sphère et la masse molaire donnent sa quantité de matière, $n = m / M$ . Si l’on compte indépendamment les atomes $N$ (à partir du volume de la sphère et de l’espacement des atomes dans le cristal), le rapport $N / n$ est la constante d’Avogadro.

Exercice 25.15 ★★★

Le chlore naturel contient $75.8\,\%$ d’atomes de chlore 35, de masse molaire très proche de $35.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , et $24.2\,\%$ d’atomes de chlore 37, de masse molaire très proche de $37.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Calculer la masse molaire atomique du chlore naturel, et la comparer à la valeur du tableau.

Solution

Solution de Exercice 25.15.

$M = 0.758 \times 35.0 + 0.242 \times 37.0 = 26.53 + 8.95 = 35.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ : la valeur du tableau.

25.7 Problème : le verre d’eau de Kelvin

Problème 25.1

Problème du week-end — verser un verre d’eau dans la mer, attendre qu’il se mélange à tous les océans, puis remplir de nouveau le verre : combien des premières molécules reviennent ?

Une célèbre expérience de pensée, souvent attribuée au physicien Lord Kelvin, se déroule ainsi. On marque chaque molécule d’un verre d’eau, on verse le verre dans la mer, et on attend que les molécules marquées se soient réparties uniformément dans tous les océans du monde. On replonge alors le verre dans la mer, n’importe où. Rapportera-t-il des molécules marquées ? Le verre contient $250\,\mathrm{mL}$ , et $1\,\mathrm{mL}$ d’eau a une masse de $1.0\,\mathrm{g}$ . Les océans contiennent environ $1.335 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$ d’eau. On assimilera l’eau de mer à de l’eau pure pour le décompte.

Partie I — L’eau d’un verre.

Calculer la masse molaire de l’eau.
Quelle est la masse de l’eau du verre ?
Calculer la quantité de molécules d’eau du verre.
Quelle quantité d’atomes d’hydrogène le verre contient-il ? Et d’atomes d’oxygène ?

Partie II — Les molécules du verre.

Combien de molécules d’eau le verre contient-il ?
Calculer la masse d’une molécule d’eau, en grammes.
Vérifier les réponses aux questions 5 et 6 en les multipliant : que doit valoir le produit ?
En comptant une molécule par seconde, jour et nuit, combien d’années faudrait-il pour compter les molécules du verre ? (Une année dure environ $3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ .)

Partie III — L’océan.

Convertir le volume des océans en mètres cubes ( $1\,\mathrm{km}^{3} = 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$ ), puis en litres.
Une fois les molécules marquées réparties uniformément, combien y en a-t-il dans chaque litre d’océan ?
Combien de molécules marquées le second verre rapporte-t-il ?
Seconde méthode. Calculer la quantité d’eau des océans, en prenant $1.0\,\mathrm{kg}$ pour la masse d’un litre.
Quelle fraction de toutes les molécules d’eau de l’océan est marquée ?
Multiplier cette fraction par le nombre de molécules du second verre, et comparer avec la réponse à la question 11.

Partie IV — Ce que cela signifie.

Combien de verres de $250\,\mathrm{mL}$ pourrait-on remplir avec l’eau des océans ?
Comparer ce nombre au nombre de molécules d’un verre. Expliquer en une phrase pourquoi le second verre rapporte autant de molécules marquées.
Quel volume d’eau de mer faut-il prélever, en moyenne, pour rapporter une seule molécule marquée ? Comparer avec une goutte de $0.05\,\mathrm{mL}$ .
La réponse à la question 11 comporte beaucoup de chiffres. Pourquoi ne faut-il la donner qu’en ordre de grandeur ? Donner deux raisons.
Donner la réponse finale : environ combien de molécules du premier verre reviennent dans le second ?

Solution

Solution de Problème 25.1.

1. $M(\ce{H2O}) = 2 \times 1.0 + 16.0 = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .

2. $m = 250 \times 1.0\,\mathrm{g} = 250\,\mathrm{g}$ .

3. $n = 250 / 18.0 = 13.9\,\mathrm{mol}$ .

4. Chaque molécule a deux atomes d’hydrogène et un atome d’oxygène : $27.8\,\mathrm{mol}$ d’atomes d’hydrogène, $13.9\,\mathrm{mol}$ d’atomes d’oxygène.

5. $N = 13.9 \times 6.02 \times 10^{23} = 8.36 \times 10^{24}$ molécules.

6. $m = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol} / 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 2.99 \times 10^{-23}\,\mathrm{g}$ .

7. $8.36 \times 10^{24} \times 2.99 \times 10^{-23}\,\mathrm{g} = 250\,\mathrm{g}$ , la masse de l’eau du verre, comme il se doit.

8. $8.36 \times 10^{24} / 3.16 \times 10^{7} = 2.6 \times 10^{17}$ ans : un nombre d’années à dix-sept zéros, bien au-delà de tout comptage possible.

9. $1.335 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3} \times 10^{9} = 1.335 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$ , et avec $1\,\mathrm{m}^{3} = 1000\,\mathrm{L}$ , $1.335 \times 10^{21}\,\mathrm{L}$ .

10. $8.36 \times 10^{24} / 1.335 \times 10^{21} = 6.26 \times 10^{3}$ molécules marquées par litre.

11. $6.26 \times 10^{3} \times 0.250 = 1.57 \times 10^{3}$ molécules marquées dans le second verre.

12. Masse $1.335 \times 10^{21} \times 1.0\,\mathrm{kg} = 1.335 \times 10^{21}\,\mathrm{kg} = 1.335 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ ; $n = 1.335 \times 10^{24} / 18.0 = 7.42 \times 10^{22}\,\mathrm{mol}$ .

13. $13.9 / 7.42 \times 10^{22} = 1.87 \times 10^{-22}$ .

14. $1.87 \times 10^{-22} \times 8.36 \times 10^{24} = 1.57 \times 10^{3}$ : la même réponse qu’à la question 11, comme il se doit.

15. $1.335 \times 10^{21} / 0.250 = 5.34 \times 10^{21}$ verres.

16. $8.36 \times 10^{24} / 5.34 \times 10^{21} \approx 1570$ . Un verre contient environ 1600 fois plus de molécules que les océans ne contiennent de verres d’eau ; une fois réparties uniformément, les molécules d’un verre en laissent environ 1600 dans chaque verre d’eau de mer.

17. $1 / 6.26 \times 10^{3} = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{L} = 0.16\,\mathrm{mL}$ , environ trois gouttes.

18. Le volume des océans est une estimation connue à trois ou quatre chiffres au mieux, et il a été arrondi ; l’eau de mer n’est pas de l’eau pure (elle contient des sels) ; le verre ne contient pas exactement $250\,\mathrm{mL}$ ; et le mélange dans tous les océans ne serait jamais parfaitement uniforme. Seul l’ordre de grandeur est fiable.

19. Environ 1600 molécules du premier verre reviennent dans le second.

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