5البلورات (1): البلورة المثالية والفلزات

حل التمرين 5.1.

المكعب البسيط: $8 \times \frac18 = 1$ ذرة، والتناسق 6. الممركز الجسم: $8 \times \frac18 + 1 = 2$، والتناسق 8. الممركز الأوجه: $8 \times \frac18 + 6 \times \frac12 = 4$، والتناسق 12.

حل التمرين 5.2.

تتماس الذرات على امتداد الحرف: $a = 2R$، $Z = 1$، $C = \frac43\pi R^3/(2R)^3 = \pi/6 \approx 0.52$، وهو أقل من الممركز الجسم (0.68) والممركز الأوجه (0.74).

حل التمرين 5.3.

$R = a\sqrt2/4 = 405.0 \times 0.3536 = 143.2\,\mathrm{pm}$؛ $\rho = 4 \times 26.98/(6.022 \times 10^{23} \times (4.050 \times 10^{-8})^3) = 2.70\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$.

حل التمرين 5.4.

$R = a\sqrt3/4 = 185.8\,\mathrm{pm}$؛ $\rho = 2 \times 22.99/(6.022 \times 10^{23} \times (4.291 \times 10^{-8})^3) = 0.966\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$، وهو متفق مع القيمة المقيسة $0.97\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$.

حل التمرين 5.5.

$a^3 = 4M/(\rho N_A) = 4 \times 107.87/(10.50 \times 6.022 \times 10^{23}) = 6.824 \times 10^{-23}\,\mathrm{cm}^{3}$، فيكون $a = 4.086 \times 10^{-8}\,\mathrm{cm} = 408.6\,\mathrm{pm}$ و$R = a\sqrt2/4 = 144.5\,\mathrm{pm}$.

حل التمرين 5.6.

البرهان هو برهان القضية 5.11. المغنيسيوم: $c/a = 521.0/320.9 = 1.624$. والموشور الذي حجمه $\frac{3\sqrt3}{2}a^2c$ يحوي 6 ذرات، فيكون $\rho = 6M/(N_A \cdot \frac{3\sqrt3}{2}a^2c) = 6 \times 24.31/(6.022 \times 10^{23} \times 2.598 \times (3.209 \times 10^{-8})^2 \times 5.210 \times 10^{-8}) = 1.74\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$.

حل التمرين 5.7.

الذرات: $(0,0,0)$، $(\frac a2,\frac a2,0)$، $(\frac a2,0,\frac a2)$، $(0,\frac a2,\frac a2)$. المواقع الثمانية الأوجه: $(\frac a2,\frac a2,\frac a2)$، $(\frac a2,0,0)$، $(0,\frac a2,0)$، $(0,0,\frac a2)$. المواقع الرباعية الأوجه: النقاط الثماني التي كل إحداثية منها $\frac a4$ أو $\frac{3a}{4}$. أي موقع ثماني الأوجه واحد وموقعان رباعيا الأوجه لكل ذرة.

حل التمرين 5.8.

$R(\ce{Cu}) = 361.5\sqrt2/4 = 127.8\,\mathrm{pm}$، $R(\ce{Ni}) = 352.4\sqrt2/4 = 124.6\,\mathrm{pm}$: نصفا قطرين في حدود 3 % والبنية نفسها، فتستطيع كل ذرة أن تحل محل الأخرى على الشبكة. أما الهيدروجين، الأصغر بكثير، فلا يستطيع إلا أن يستقر في المواقع البينية: فهو يكوّن سبيكة بينية.

حل التمرين 5.9.

$R = 316.5\sqrt3/4 = 137.0\,\mathrm{pm}$؛ $\rho = 2 \times 183.84/(6.022 \times 10^{23} \times (3.165 \times 10^{-8})^3) = 19.26\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$؛ وعدد الذرات في كل $\mathrm{cm}^{3}$: $2/a^3 = 2/(3.165 \times 10^{-8})^3 = 6.31 \times 10^{22}$.

حل التمرين 5.10.

يبعد مركز الوجه $(\frac a2,\frac a2,0)$ مسافة $a/2$ عن مركزي جسمي الخليتين اللتين فوقه وتحته: $r_O = \frac a2 - R = \frac a2 - \frac{a\sqrt3}{4} = \frac{2-\sqrt3}{4}a$. والنقطة $(\frac a2,\frac a4,0)$ على مسافة $\sqrt{a^2/4 + a^2/16} = \frac{a\sqrt5}{4}$ من الرأسين $(0,0,0)$ و$(a,0,0)$ ومن مركزي الجسمين $(\frac a2,\frac a2,\pm\frac a2)$: $r_T = \frac{\sqrt5 - \sqrt3}{4}a$. ومع $a = 4R/\sqrt3$: $r_O = \frac{2-\sqrt3}{\sqrt3}R = 0.155\,R$ و$r_T = \frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt3}R = 0.291\,R$. فالموقع الرباعي الأوجه هو الأكبر في المكعب الممركز الجسم.

حل التمرين 5.11.

$C = Z\cdot\frac43\pi R^3/a^3$ و$Z/a^3 = \rho N_A/M$، فيكون $C = \frac{4\pi R^3\rho N_A}{3M} = \frac{\pi\rho N_A}{6M}(2R)^3$. النحاس: $\pi \times 8.93 \times 6.022 \times 10^{23}/(6 \times 63.55) \times (2.556 \times 10^{-8})^3 = 0.740$.

حل التمرين 5.12.

$a \approx (407.8 + 408.6)/2 = 408.2\,\mathrm{pm}$؛ والكتلة المولية المتوسطة $(196.97 + 107.87)/2 = 152.42\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$؛ $\rho = 4 \times 152.42/(6.022 \times 10^{23} \times (4.082 \times 10^{-8})^3) = 14.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$.