Kimia Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

13Orbital Atom: Bentuk, Energi, dan Ukuran

Atom hidrogen tidak mempunyai tepi: elektronnya dapat ditemukan pada jarak berapa pun dari inti, dengan peluang yang cepat menurun tetapi tidak pernah mencapai nol. Namun atom mempunyai ukuran, dan atom natrium sekitar dua kali lebih lebar daripada atom klor, walaupun mengandung lebih sedikit elektron. Jilid Tahun 1 menamai keadaan-keadaan elektron dengan tiga bilangan kuantum; di sini setiap keadaan menjadi fungsi posisi, dengan bentuk, simpul, tanda, dan ukuran, dan seperangkat aturan sederhana mengubahnya menjadi energi orbital untuk atom apa pun. Bentuk dan tanda inilah yang digabungkan oleh empat bab berikutnya menjadi orbital molekul.

Yang sudah kamu ketahui

Jilid Tahun 1: bilangan kuantum $n$ , $l$ , $m_l$ , $m_s$ ; orbital atom sebagai keadaan $(n, l, m_l)$ ; kulit dan subkulit; penapisan dan muatan inti efektif (secara kualitatif); konfigurasi elektron; tingkat-tingkat energi hidrogen, $-E_R/n^2$ dengan $E_R = 13.6\,\mathrm{eV}$ . Dari fisika: fungsi gelombang, yang kuadrat modulusnya merupakan kepadatan peluang.

13.1 Fungsi gelombang atom hidrogen

Definisi 13.1 (Fungsi gelombang)

Keadaan sebuah elektron diperikan oleh fungsi gelombang $\psi(x, y, z)$ ; $|\psi|^2$ adalah kepadatan peluangnya: peluang menemukan elektron dalam volume kecil $dV$ di sekitar suatu titik adalah $|\psi|^2\,dV$ , dan $\int|\psi|^2\,dV = 1$ di seluruh ruang (fungsi itu ternormalisasi). Orbital atom adalah fungsi gelombang satu elektron dalam sebuah atom.

Definisi 13.2 (Bagian radial dan bagian sudut)

Dalam koordinat bola $(r, \theta, \varphi)$ di sekitar inti, orbital-orbital atom mirip hidrogen dapat difaktorkan sebagai $\psi_{nlm}(r, \theta, \varphi) = R_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta, \varphi)$ : bagian radial $R_{nl}$ bergantung pada $n$ dan $l$ , bagian sudut $Y_{lm}$ hanya pada $l$ dan $m_l$ .

Teorema 13.3 (Orbital-orbital mirip hidrogen)

Untuk atom berelektron satu dengan muatan inti $Ze$ , dengan $\rho = Zr/a_0$ dan $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ jari-jari Bohr, bagian radial untuk $n \leq 3$ adalah, dalam satuan $(Z/a_0)^{3/2}$ :

\begin{array}{ll} R_{1s} = 2\,\mathrm e^{-\rho} & R_{2s} = \dfrac{1}{2\sqrt2}\,(2 - \rho)\,\mathrm e^{-\rho/2} \\[2ex] R_{2p} = \dfrac{1}{2\sqrt6}\,\rho\,\mathrm e^{-\rho/2} & R_{3s} = \dfrac{2}{81\sqrt3}\,(27 - 18\rho + 2\rho^2)\,\mathrm e^{-\rho/3} \\[2ex] R_{3p} = \dfrac{4}{81\sqrt6}\,(6\rho - \rho^2)\,\mathrm e^{-\rho/3} & R_{3d} = \dfrac{4}{81\sqrt{30}}\,\rho^2\,\mathrm e^{-\rho/3} \end{array}

dan bagian sudut yang real adalah $Y_s = 1/\sqrt{4\pi}$ ; $Y_{p_x}, Y_{p_y}, Y_{p_z} = \sqrt{3/(4\pi)}\,(x, y, z)/r$ ; $Y_{d_{xy}} = \sqrt{15/(4\pi)}\,xy/r^2$ (demikian pula $xz$ , $yz$ ), $Y_{d_{x^2-y^2}} = \sqrt{15/(16\pi)}\,(x^2 - y^2)/r^2$ , $Y_{d_{z^2}} = \sqrt{5/(16\pi)}\,(3z^2 - r^2)/r^2$ . Energinya adalah $E_n = -Z^2E_R/n^2$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Fungsi-fungsi ini adalah penyelesaian persamaan Schrödinger untuk satu elektron dan satu inti, yang diperoleh dalam jilid Tahun 3. Fungsi $p$ dan $d$ yang real adalah kombinasi fungsi-fungsi kompleks yang diberi label $m_l$ ; fungsi-fungsi real itu mengarah sepanjang sumbu-sumbu dan dipakai untuk membangun ikatan.

Erwin Schrödinger, yang pada tahun 1926 menuliskan persamaan gelombang yang penyelesaiannya untuk atom hidrogen adalah orbital-orbital bab ini, dan memperoleh kembali darinya tingkat-tingkat energi yang dipostulatkan Bohr. Ia berbagi Hadiah Nobel Fisika pada tahun 1933. (Foto: Yayasan Nobel, domain publik, Wikimedia Commons.)

13.2 Bagian radial

Peluang menemukan elektron di antara bola berjari-jari $r$ dan $r + dr$ adalah $|\psi|^2$ yang diintegrasikan pada kulit bervolume $4\pi r^2\,dr$ ; untuk orbital apa pun, setelah sudut-sudutnya diintegrasikan, peluang itu adalah $r^2R^2\,dr$ .

Definisi 13.4 (Distribusi radial)

Yang disebut fungsi distribusi radial sebuah orbital adalah $P(r) = r^2R_{nl}(r)^2$ : $P(r)\,dr$ adalah peluang elektron berada di antara $r$ dan $r + dr$ dari inti. Yang disebut jari-jari paling mungkin adalah nilai $r$ pada maksimum terbesarnya.

Proposisi 13.5 (Normalisasi 1s)

$\int_0^\infty P_{1s}(r)\,dr = 1$ .

Bukti. Dengan $Z = 1$ dan $r$ dalam satuan $a_0$ , $P_{1s} = 4r^2\mathrm e^{-2r}$ . Dengan integrasi parsial dua kali, $\int_0^\infty r^2\mathrm e^{-2r}\,dr = \frac22\int_0^\infty r\,\mathrm e^{-2r}\,dr = \frac12\int_0^\infty\mathrm e^{-2r}\,dr = \frac14$ , dan $4 \times \frac14 = 1$ . ∎

Proposisi 13.6 (Jari-jari paling mungkin)

Untuk orbital 1s, jari-jari paling mungkin adalah $a_0/Z$ . Untuk orbital dengan $l = n - 1$ (1s, 2p, 3d, …), jari-jari itu adalah $n^2a_0/Z$ .

Bukti. Untuk $l = n - 1$ , bagian radial tidak mempunyai simpul: $R \propto \rho^{n-1}\mathrm e^{-\rho/n}$ , sehingga $P \propto \rho^{2n}\mathrm e^{-2\rho/n}$ dan $d\ln P/d\rho = 2n/\rho - 2/n$ , yang nol untuk $\rho = n^2$ , yaitu $r = n^2a_0/Z$ . Dengan $n = 1$ , $r = a_0/Z$ . ∎

Proposisi 13.7 (Jari-jari rata-rata 1s)

Jarak rata-rata elektron 1s dari inti adalah $\langle r\rangle = 3a_0/(2Z)$ , lebih besar daripada jari-jari paling mungkinnya.

Bukti. Dengan $Z = 1$ : $\langle r\rangle = \int_0^\infty r\,P(r)\,dr = 4\int_0^\infty r^3\mathrm e^{-2r} \,dr = 4 \times 3!/2^4 = 3/2$ . Distribusinya mempunyai ekor panjang pada $r$ besar, yang menarik rata-ratanya melampaui maksimumnya. ∎

Definisi 13.8 (Simpul)

Yang disebut permukaan simpul sebuah orbital adalah permukaan tempat fungsi gelombang bernilai nol dan berganti tanda. Permukaan itu disebut simpul radial (sebuah bola) jika bagian radialnya lenyap, dan simpul sudut (sebuah bidang atau kerucut yang melalui inti) jika bagian sudutnya yang lenyap.

Proposisi 13.9 (Menghitung simpul)

Orbital $(n, l)$ mempunyai $n - l - 1$ simpul radial dan $l$ simpul sudut, seluruhnya $n - 1$ .

Bukti. Pada fungsi-fungsi di Teorema 13.3: $R_{2s}$ lenyap pada $\rho = 2$ , $R_{3s}$ pada kedua akar $2\rho^2 - 18\rho + 27$ ( $\rho = 1.90$ dan $7.10$ ), $R_{3p}$ pada $\rho = 6$ ; $R_{1s}$ , $R_{2p}$ , $R_{3d}$ tidak lenyap. Bagian sudut orbital p lenyap pada satu bidang ( $z = 0$ untuk $p_z$ ), bagian sudut orbital d pada dua bidang atau, untuk $d_{z^2}$ , pada sebuah kerucut. Kasus umumnya diterima tanpa bukti. ∎

Kiri: distribusi radial P(r) = r2R2 orbital-orbital hidrogen sampai n = 3; makin besar n, makin jauh elektronnya, dan orbital-orbital s mempunyai maksimum dalam yang kecil (penetrasi). Kanan: R_2s dan R_3s berganti tanda pada simpul-simpul radialnya (r = 2a_0; 1.90a_0 dan 7.10a_0). — Kiri: distribusi radial $P(r) = r^2R^2$ orbital-orbital hidrogen sampai $n = 3$ ; makin besar $n$ , makin jauh elektronnya, dan orbital-orbital s mempunyai maksimum dalam yang kecil (penetrasi). Kanan: $R_{2s}$ dan $R_{3s}$ berganti tanda pada simpul-simpul radialnya ( $r = 2a_0$ ; $1.90a_0$ dan $7.10a_0$ ).

Gambar kerapatan titik orbital 1s dan 2s hidrogen pada sebuah bidang yang melalui inti: kerapatan titik mengikuti | |2 (pencuplikan deterministik). Awan 2s mempunyai cincin kosong, yaitu simpul radial pada 2a_0 (putus-putus); bingkainya selebar 12 dan 28 a_0. — Gambar kerapatan titik orbital 1s dan 2s hidrogen pada sebuah bidang yang melalui inti: kerapatan titik mengikuti $|\psi|^2$ (pencuplikan deterministik). Awan 2s mempunyai cincin kosong, yaitu simpul radial pada $2a_0$ (putus-putus); bingkainya selebar 12 dan 28 $a_0$ .

13.3 Bagian sudut

Bagian sudut menetapkan bentuk. Orbital s berbentuk bola; orbital p mempunyai dua cuping dengan tanda berlawanan di sepanjang sumbunya, yang dipisahkan oleh bidang simpul; orbital d mempunyai empat cuping dengan tanda berselang-seling (atau, untuk $d_{z^2}$ , dua cuping dan sebuah cincin). Tanda sebuah cuping sendiri tidak mempunyai makna fisis — $\psi$ dan $-\psi$ memerikan keadaan yang sama — tetapi tanda relatif dua orbital menentukan, pada bab berikutnya, apakah keduanya bergabung membentuk ikatan.

Orbital-orbital atom real, skematis: cuping-cuping menunjukkan daerah tempat | | besar, diwarnai menurut tanda (biru positif, oranye negatif). Orbital d_xz dan d_yz mempunyai bentuk d_xy pada bidang-bidang yang ditunjukkan namanya. — Orbital-orbital atom real, skematis: cuping-cuping menunjukkan daerah tempat $|\psi|$ besar, diwarnai menurut tanda $\psi$ (biru positif, oranye negatif). Orbital $\mathrm d_{xz}$ dan $\mathrm d_{yz}$ mempunyai bentuk $\mathrm d_{xy}$ pada bidang-bidang yang ditunjukkan namanya.

Metode 13.10 (Membuat sketsa orbital dari bilangan kuantumnya)

Dari $l$ , bentuknya: s (bola), p (dua cuping), d (empat cuping, atau dua cuping dan sebuah cincin untuk $d_{z^2}$ ); dari indeksnya, orientasinya.
Hitunglah $l$ simpul sudut (bidang yang melalui inti) dan berilah cuping-cuping yang bersebelahan tanda yang berlawanan.
Hitunglah $n - l - 1$ simpul radial: kulit-kulit dalam bertanda berlawanan di dalam cuping utama (biasanya tidak digambar dalam sketsa).
Skalakan dengan $n^2a_0/Z$ : makin tinggi $n$ , makin besar orbitalnya; makin besar $Z$ , makin kecil.

13.4 Atom berelektron banyak

Dalam atom dengan beberapa elektron, setiap elektron merasakan inti yang ditapis oleh elektron-elektron lain. Orbital-orbitalnya mempertahankan bentuk orbital hidrogen, dengan muatan efektif $Z^*$ menggantikan $Z$ , dan energi sebuah subkulit kini bergantung pada $l$ dan juga pada $n$ : elektron s, yang distribusi radialnya mempunyai maksimum dalam dekat inti, kurang ditapis daripada elektron p dari kulit yang sama, dan elektron p kurang ditapis daripada elektron d.

Definisi 13.11 (Aturan Slater)

Yang disebut aturan Slater adalah aturan yang memperkirakan muatan inti efektif $Z^* = Z - \sigma$ yang dirasakan sebuah elektron. Elektron-elektron dikelompokkan sebagai (1s) (2s, 2p) (3s, 3p) (3d) (4s, 4p) (4d) (4f) (5s, 5p) …; tetapan penapisan $\sigma$ sebuah elektron adalah jumlah sumbangan elektron-elektron lainnya: 0.35 untuk setiap elektron lain dalam kelompok yang sama (0.30 di dalam 1s); untuk elektron s atau p, 0.85 untuk setiap elektron kulit $n - 1$ dan 1.00 untuk setiap elektron kulit yang lebih dalam; untuk elektron d atau f, 1.00 untuk setiap elektron kelompok di bawah kelompoknya sendiri. Kelompok di atasnya tidak menyumbang apa pun.

elektron yang ditinjau	kelompok sama	kulit $n - 1$	kulit lebih dalam
1s	0.30	—	—
$n$ s, $n$ p	0.35	0.85	1.00
$n$ d, $n$ f	0.35	1.00	1.00

Tetapan penapisan Slater, per elektron penapis. Bilangan kuantum utama efektifnya adalah

n^* = 1, 2, 3, 3.7, 4.0, 4.2

untuk

n = 1

sampai 6.

Metode 13.12 (Menghitung muatan efektif)

Tuliskan konfigurasinya dalam kelompok-kelompok Slater, menurut urutan $n$ , dengan s dan p bersama-sama serta d dan f tersendiri.
Pilihlah elektronnya; tambahkan 0.35 untuk setiap elektron lain dalam kelompoknya.
Tambahkan 0.85 (elektron s atau p) atau 1.00 (d atau f) per elektron kulit tepat di bawahnya, dan 1.00 per elektron yang lebih dalam.
$Z^* = Z - \sigma$ .

Definisi 13.13 (Energi dan jari-jari orbital)

Dalam model Slater, energi orbital sebuah elektron dengan muatan efektif $Z^*$ dan bilangan kuantum utama efektif $n^*$ adalah $\varepsilon = -E_RZ^{*2}/n^{*2}$ , dan jari-jari orbitalnya adalah $n^{*2}a_0/Z^*$ , yaitu jari-jari paling mungkin orbital mirip hidrogen bermuatan $Z^*$ .

Proposisi 13.14 (Energi Slater)

Energi sekelompok $k$ elektron dengan muatan efektif $Z^*$ kira-kira $k\varepsilon = -kE_RZ^{*2}/n^{*2}$ , dan energi elektronik total atom itu adalah jumlahnya atas semua kelompoknya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 13.15 (Besi: 4s atau 3d lebih dahulu?)

Besi adalah $[\ce{Ar}]\,3\mathrm d^6\,4\mathrm s^2$ . Elektron 4s: $\sigma = 0.35 + 14 \times 0.85 + 10 \times 1.00 = 22.25$ , $Z^* = 3.75$ , $\varepsilon = -13.6 \times 3.75^2/3.7^2 = -14.0\,\mathrm{eV}$ . Elektron 3d: $\sigma = 5 \times 0.35 + 18 \times 1.00 = 19.75$ , $Z^* = 6.25$ , $\varepsilon = -13.6 \times 6.25^2/9 = -59\,\mathrm{eV}$ . Elektron-elektron 3d jauh lebih kuat terikat: walaupun 4s diisi lebih dahulu dalam urutan pengisian, elektron 4s-lah yang pergi ketika besi diionisasi, dan ion besi(II) adalah $[\ce{Ar}]\,3\mathrm d^6$ .

13.5 Memakai energi dan ukuran orbital

Proposisi 13.16 (Energi ionisasi dari energi Slater)

Dalam model Slater, energi ionisasi pertama sebuah atom adalah selisih antara energi total ion dan energi total atom, yang dihitung kelompok demi kelompok dengan muatan efektif masing-masing.

Bukti. Energi ionisasi adalah $E(\text{ion}) - E(\text{atom})$ ; menurut Proposisi 13.14, keduanya merupakan jumlah energi kelompok, dan hanya kelompok yang kehilangan elektron yang berubah (kelompok-kelompok dalam tidak ditapis oleh elektron-elektron luar). ∎

Contoh 13.17 (Karbon)

Karbon, (2s, 2p) $^4$ : $Z^* = 6 - 2 \times 0.85 - 3 \times 0.35 = 3.25$ ; energi kelompoknya $4 \times (-13.6 \times 3.25^2/4) = -143.6\,\mathrm{eV}$ . Ion $\ce{C+}$ , (2s, 2p) $^3$ : $Z^* = 3.60$ , $3 \times (-13.6 \times 3.60^2/4) = -132.2\,\mathrm{eV}$ . Energi ionisasinya $11.5\,\mathrm{eV}$ , dibandingkan dengan $11.26\,\mathrm{eV}$ yang terukur.

Muatan efektif Slater elektron valensi dan jari-jari orbital n*2a_0/Z*. Sepanjang periode 2, Z* bertambah 0.65 per unsur dan atom-atomnya menyusut; menuruni golongan 1, Z* tetap 1.30 lalu 2.20 sementara n* bertambah, dan atom-atomnya membesar. — Muatan efektif Slater elektron valensi dan jari-jari orbital $n^{*2}a_0/Z^*$ . Sepanjang periode 2, $Z^*$ bertambah 0.65 per unsur dan atom-atomnya menyusut; menuruni golongan 1, $Z^*$ tetap 1.30 lalu 2.20 sementara $n^*$ bertambah, dan atom-atomnya membesar.

Model ini mereproduksi kecenderungan-kecenderungan dari jilid Tahun 1. Sepanjang periode, setiap proton tambahan hanya ditapis sebesar 0.35 oleh elektron yang ditambahkan bersamanya: $Z^*$ naik, orbital terluar menyusut dan mengikat lebih kuat. Menuruni golongan, $Z^*$ hampir tidak berubah sementara kulit terluar bergerak keluar: atom-atom membesar dan energi ionisasinya turun. Natrium, dengan $Z^* = 2.20$ untuk elektron 3s-nya, mempunyai jari-jari orbital $9/2.2 = 4.1a_0$ ; klor, dengan $Z^* = 6.10$ untuk elektron 3p, $9/6.1 = 1.5a_0$ .

13.6 Latihan

Latihan 13.1 ★

Berikan bilangan kuantum $n$ dan $l$ , jumlah simpul radial, dan jumlah simpul sudut orbital 3p dan orbital 4d.

Solusi

Solusi Latihan 13.1.

3p: $n = 3$ , $l = 1$ ; satu simpul radial ( $n - l - 1$ ) dan satu simpul sudut. 4d: $n = 4$ , $l = 2$ ; satu simpul radial dan dua simpul sudut.

Latihan 13.2 ★

Tunjukkan dari $R_{2p}$ bahwa jari-jari paling mungkin elektron 2p hidrogen adalah $4a_0$ , lalu nyatakan dalam pikometer.

Solusi

Solusi Latihan 13.2.

$P_{2p} \propto r^4\mathrm e^{-r}$ ( $r$ dalam $a_0$ ): $d\ln P/dr = 4/r - 1 = 0$ untuk $r = 4$ : $4a_0 = 212\,\mathrm{pm}$ .

Latihan 13.3 ★

Hitunglah peluang menemukan elektron 1s hidrogen lebih dekat ke inti daripada $a_0$ .

Solusi

Solusi Latihan 13.3.

$1 - \mathrm e^{-2}(1 + 2 + 2) = 1 - 5\mathrm e^{-2} = 0.323$ .

Latihan 13.4 ★

Sketsalah orbital $3\mathrm d_{xy}$ : cuping, tanda, bidang simpul. Berapa simpul radial yang dimilikinya?

Solusi

Solusi Latihan 13.4.

Empat cuping yang mengarah di antara sumbu $x$ dan $y$ , pada bidang $xy$ , dengan tanda berselang-seling (positif di tempat $xy > 0$ ); bidang-bidang simpulnya adalah $xz$ dan $yz$ . Simpul radial: $n - l - 1 = 0$ .

Latihan 13.5 ★★

Hitunglah muatan efektif Slater untuk elektron 2p oksigen dan jari-jari orbital yang diberikannya.

Solusi

Solusi Latihan 13.5.

Oksigen, $(1\mathrm s)^2(2\mathrm s, 2\mathrm p)^6$ : $\sigma = 5 \times 0.35 + 2 \times 0.85 = 3.45$ , $Z^* = 4.55$ ; jari-jari $4/4.55 = 0.88a_0$ , $47\,\mathrm{pm}$ .

Latihan 13.6 ★★

Dengan contoh besi, jelaskan mengapa konfigurasi $\ce{Fe^3+}$ adalah $[\ce{Ar}]\,3\mathrm d^5$ dan bukan $[\ce{Ar}]\,3\mathrm d^3 4\mathrm s^2$ .

Solusi

Solusi Latihan 13.6.

Ionisasi mengambil elektron yang paling lemah terikat. Elektron-elektron 4s ( $-14\,\mathrm{eV}$ ) jauh lebih lemah terikat daripada elektron-elektron 3d ( $-59\,\mathrm{eV}$ ): kedua elektron 4s pergi lebih dahulu, lalu satu elektron 3d, sehingga diperoleh $[\ce{Ar}]\,3\mathrm d^5$ .

Latihan 13.7 ★★

Perkirakan dengan aturan Slater energi ionisasi pertama litium dan natrium, lalu bandingkan dengan nilai terukur 5.39 dan $5.14\,\mathrm{eV}$ . Berilah komentar.

Solusi

Solusi Latihan 13.7.

Litium, 2s: $Z^* = 3 - 2 \times 0.85 = 1.30$ , $I = 13.6 \times 1.30^2/4 = 5.75\,\mathrm{eV}$ (terukur 5.39, 7 % terlalu tinggi). Natrium, 3s: $Z^* = 11 - 8 \times 0.85 - 2 \times 1.00 = 2.20$ , $I = 13.6 \times 2.20^2/9 = 7.3\,\mathrm{eV}$ (terukur 5.14): aturan-aturan itu, sebuah model kasar, melebih-lebihkan ikatan elektron terluar, makin lama makin besar menuruni golongan.

Latihan 13.8 ★★

Hitunglah $Z^*$ dan jari-jari orbital elektron terluar natrium dan klor, lalu jelaskan mengapa atom natrium lebih besar.

Solusi

Solusi Latihan 13.8.

Natrium: $Z^* = 2.20$ , jari-jari $9/2.20 = 4.1a_0$ ( $216\,\mathrm{pm}$ ). Klor, 3p: $\sigma = 6 \times 0.35 + 8 \times 0.85 + 2 \times 1.00 = 10.90$ , $Z^* = 6.10$ , jari-jari $9/6.10 = 1.5a_0$ ( $78\,\mathrm{pm}$ ). Kulitnya sama, tetapi elektron terluar klor merasakan muatan hampir tiga kali lebih besar, dan tertarik ke dalam.

Latihan 13.9 ★★

Tunjukkan bahwa orbital 1s dan 2s hidrogen ortogonal, $\int\psi_{1s}\psi_{2s}\,dV = 0$ .

Solusi

Solusi Latihan 13.9.

Keduanya mempunyai bagian sudut $1/\sqrt{4\pi}$ , sehingga integralnya menjadi

\int_0^\infty R_{1s}R_{2s}r^2\,dr \propto \int_0^\infty (2 - r)r^2\mathrm e^{-3r/2}\,dr = 2 \times \frac{2!}{(3/2)^3} - \frac{3!}{(3/2)^4} = \frac{32}{27} - \frac{32}{27} = 0 .

Latihan 13.10 ★★★

Tuliskan $R_{2p} = N\rho\,\mathrm e^{-\rho/2}$ dan tentukan tetapan $N$ yang menormalisasikannya ( $Z = 1$ , $r$ dalam satuan $a_0$ ).

Solusi

Solusi Latihan 13.10.

$\int_0^\infty N^2r^2\mathrm e^{-r}r^2\,dr = N^2 \times 4! = 1$ : $N = 1/\sqrt{24} = 1/(2\sqrt6)$ , seperti pada tabel.

Latihan 13.11 ★★★

Bandingkan jari-jari rata-rata dan jari-jari paling mungkin elektron 1s, lalu jelaskan dari bentuk $P(r)$ mengapa keduanya berbeda.

Solusi

Solusi Latihan 13.11.

$\langle r\rangle = 1.5a_0$ , jari-jari paling mungkin $a_0$ . $P(r) = 4r^2\mathrm e^{-2r}$ naik tajam dari nol dan turun perlahan: ekor panjang pada $r$ besar lebih berbobot dalam rata-rata daripada dalam posisi maksimum.

Latihan 13.12 ★★★

Tentukan permukaan simpul orbital $\mathrm p_z$ dan tunjukkan bahwa $\psi_{2p_z}$ berganti tanda saat melintasinya. Berapa kepadatan peluang pada permukaan itu?

Solusi

Solusi Latihan 13.12.

$Y_{p_z} \propto z/r = \cos\theta$ lenyap untuk $\theta = \pi/2$ : bidang $xy$ . $\psi$ bertanda sama dengan $z$ , positif di atas, negatif di bawah. Pada bidang itu kepadatan peluangnya nol.

13.7 Soal: Di Manakah Elektron Itu?

Soal 13.1

Soal akhir pekan — orbital 1s hidrogen dan jari-jarinya, peluang menemukan elektron di luar jarak tertentu, simpul dan maksimum 2s dan 2p, serta perkiraan Slater untuk energi ionisasi karbon, nitrogen, dan oksigen

Data: $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ ; $E_R = 13.6\,\mathrm{eV}$ ; energi ionisasi pertama terukur ( $\mathrm{eV}$ ): C 11.26, N 14.53, O 13.62. $\psi_{1s} = \pi^{-1/2}a_0^{-3/2}\, \mathrm e^{-r/a_0}$ .

Bagian I — Orbital 1s.

Periksalah bahwa $\psi_{1s}$ ternormalisasi, dengan $dV = 4\pi r^2\,dr$ .
Tuliskan fungsi distribusi radial $P(r)$ .
Tentukan jari-jari paling mungkin.
Hitunglah jari-jari rata-rata.
Mengapa rata-ratanya lebih besar daripada jari-jari paling mungkin?
Kepadatan peluang paling besar di inti, tetapi $P(0) = 0$ . Jelaskan.
Berikan jari-jari paling mungkin dalam pikometer.

Bagian II — Di luar sebuah jari-jari.

Tunjukkan bahwa peluang menemukan elektron lebih jauh daripada $r_0 = xa_0$ adalah $\mathrm e^{-2x}(1 + 2x + 2x^2)$ .
Hitunglah peluang itu untuk $r_0 = a_0$ .
Hitunglah peluang itu untuk $r_0 = 2a_0$ .
Tentukan dengan coba-coba jari-jari bola yang memuat elektron dengan peluang 0.90.
Dalam arti apa atom tidak mempunyai tepi, dan dalam arti apa atom mempunyai ukuran?

Bagian III — 2s dan 2p.

Berikan simpul-simpul 2s dan 2p (jumlah, jenis, posisi).
Di mana $R_{2s}$ berganti tanda?
Tentukan jari-jari paling mungkin 2p.
Tentukan kedua maksimum $P_{2s} \propto r^2(2 - r)^2\mathrm e^{-r}$ ( $r$ dalam satuan $a_0$ ).
Di antara 2s dan 2p, manakah yang kepadatan elektronnya lebih dekat ke inti? Apa akibatnya dalam atom berelektron banyak?
Bagaimana jari-jari ini berubah untuk ion mirip hidrogen $\ce{C^5+}$ ?

Bagian IV — Karbon, nitrogen, oksigen.

Hitunglah $Z^*$ Slater elektron 2p dalam C, N, dan O.
Hitunglah energi-energi orbital yang bersesuaian.
Perkirakan energi ionisasi pertama karbon sebagai selisih energi kelompok.
Hal yang sama untuk nitrogen.
Hal yang sama untuk oksigen, lalu bandingkan ketiganya dengan nilai terukur.
Ciri manakah dari nilai-nilai terukur yang luput dari model ini, dan mengapa?
Nyatakan peluang menemukan elektron 1s hidrogen lebih jauh daripada $2a_0$ .

Solusi

Solusi Soal 13.1.

1. $\int|\psi|^2\,dV = \frac{4\pi}{\pi a_0^3}\int_0^\infty r^2\mathrm e^{-2r/a_0}\,dr = \frac{4}{a_0^3} \times \frac{a_0^3}{4} = 1$ . 2. $P(r) = 4\pi r^2|\psi|^2 = (4/a_0^3)\,r^2\mathrm e^{-2r/a_0}$ . 3. $dP/dr = 0$ : $2/r - 2/a_0 = 0$ , $r = a_0$ . 4. $\langle r\rangle = (4/a_0^3)\int_0^\infty r^3\mathrm e^{-2r/a_0}\,dr = (4/a_0^3) \times 6(a_0/2)^4 = 1.5a_0$ . 5. Distribusinya miring, dengan ekor panjang pada $r$ besar. 6. $|\psi|^2$ adalah kepadatan per satuan volume, yang paling besar di inti; $P(r)$ memperhitungkan volume kulit, $4\pi r^2\,dr$ , yang lenyap pada $r = 0$ . 7. $52.9\,\mathrm{pm}$ . 8. Dengan $x = r/a_0$ : $\int_{x_0}^\infty 4x^2\mathrm e^{-2x}\,dx$ ; dengan integrasi parsial dua kali, $= \mathrm e^{-2x_0}(2x_0^2 + 2x_0 + 1)$ . 9. $5\mathrm e^{-2} = 0.677$ . 10. $13\mathrm e^{-4} = 0.238$ . 11. $\mathrm e^{-2x}(1 + 2x + 2x^2) = 0.10$ untuk $x \approx 2.66$ : $141\,\mathrm{pm}$ . 12. Kepadatannya tidak pernah lenyap pada jarak berapa pun: tidak ada tepi. Tetapi 90 % peluangnya terletak di dalam $141\,\mathrm{pm}$ : sebuah ukuran praktis. 13. 2s: satu simpul radial (bola berjari-jari $2a_0$ ), tanpa simpul sudut. 2p: satu simpul sudut (sebuah bidang), tanpa simpul radial. 14. Pada $r = 2a_0$ . 15. $4a_0$ (latihan 2). 16. $d\ln P/dr = 2/r - 2/(2 - r) - 1 = 0$ memberikan $r^2 - 6r + 4 = 0$ , $r = 3 \pm \sqrt5$ : $0.76a_0$ (maksimum dalam yang kecil) dan $5.24a_0$ (maksimum utama). 17. 2s, melalui maksimum dalamnya. Dalam atom berelektron banyak, elektron 2s menembus kulit 1s, kurang ditapis daripada elektron 2p, dan energinya lebih rendah. 18. Semua jari-jari dibagi dengan $Z = 6$ : 2p pada $0.67a_0$ ( $35\,\mathrm{pm}$ ); maksimum 2s pada $0.13a_0$ dan $0.87a_0$ . 19. C 3.25, N 3.90, O 4.55. 20. $\varepsilon = -13.6\,Z^{*2}/4$ : C $-35.9\,\mathrm{eV}$ , N $-51.7\,\mathrm{eV}$ , O $-70.4\,\mathrm{eV}$ . 21. Seperti dalam bab ini: $11.5\,\mathrm{eV}$ (terukur 11.26). 22. N: atom $5 \times (-13.6 \times 3.90^2/4) = -258.6\,\mathrm{eV}$ ; $\ce{N+}$ , $Z^* = 4.25$ , $4 \times (-13.6 \times 4.25^2/4) = -245.7\,\mathrm{eV}$ ; $I = 12.9\,\mathrm{eV}$ . 23. O: atom $6 \times (-13.6 \times 4.55^2/4) = -422.3\,\mathrm{eV}$ ; $\ce{O+}$ , $Z^* = 4.90$ , $5 \times (-13.6 \times 4.90^2/4) = -408.2\,\mathrm{eV}$ ; $I = 14.2\,\mathrm{eV}$ . Model 11.5, 12.9, 14.2; terukur 11.26, 14.53, 13.62. 24. Energi terukur oksigen lebih rendah daripada energi nitrogen: dalam oksigen, elektron 2p keempat harus berbagi orbital dengan elektron lain, dan tolakan keduanya membuatnya lebih mudah dilepaskan, sedangkan ketiga elektron p nitrogen yang tidak berpasangan membentuk subkulit setengah penuh yang stabil. Aturan Slater memperlakukan semua elektron dalam satu kelompok secara sama dan tidak mengenal pemasangan. 25. Elektron 1s hidrogen berada lebih jauh daripada $2a_0$ dengan peluang $\boldsymbol{13\mathrm e^{-4} \approx 0.238}$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 852 istilah di glosarium