13जटिल बलगतिकी: शृंखलाएँ, एंज़ाइम और दोलन

उपपत्ति. H के लिए स्थायी अवस्था: $k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] = k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}]$। Br के लिए स्थायी अवस्था: $2k_1[\ce{Br2}] - k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] + k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}] - 2k_{-1}[\ce{Br}]^2 = 0$। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर संचरण पद निरस्त हो जाते हैं: $k_1[\ce{Br2}] = k_{-1}[\ce{Br}]^2$, अतः $[\ce{Br}] = (k_1/k_{-1})^{1/2}[\ce{Br2}]^{1/2}$। तब $[\ce{H}] = k_2[\ce{Br}][\ce{H2}]/(k_3[\ce{Br2}] + k_4[\ce{HBr}])$ और

पहले समीकरण का उपयोग करके; $[\ce{Br}]$ प्रतिस्थापित करने पर परिणाम मिलता है। ∎

उपपत्ति. रैखिक समीकरण का हल $n(t) = \frac{v_i}{g - f}\bigl(1 - \eu^{-(g - f)t}\bigr)$ है, जो $v_i/(g - f)$ की ओर प्रवृत्त होता है जब $g > f$; जब $f > g$, तो घातांक धनात्मक है और $n$ असीमित रूप से $\eu^{(f - g)t}$ की तरह बढ़ता है (जब तक अभिकारक समाप्त न हो जाएँ)। ∎

उपपत्ति. $\dd[\mathrm{A^*}]/\dd t = k_1[\mathrm A][\mathrm M] - k_{-1}[\mathrm{A^*}][\mathrm M] - k_2[\mathrm{A^*}] = 0$ से $[\mathrm{A^*}] = k_1[\mathrm A][\mathrm M]/(k_{-1}[\mathrm M] + k_2)$ और $v = k_2[\mathrm{A^*}]$। यदि $k_{-1}[\mathrm M] \gg k_2$, तो निष्क्रियण अभिक्रिया से आगे निकल जाता है और $\mathrm{A^*}$ पूर्व-साम्य में है: $k_{\mathrm{uni}} \to k_1k_2/k_{-1}$। यदि $k_{-1}[\mathrm M] \ll k_2$, तो हर सक्रियित अणु अभिक्रिया करता है और सक्रियण दर-निर्धारक है: $k_{\mathrm{uni}} \to k_1[\mathrm M]$। ∎

उपपत्ति. स्थायी अवस्था: $k_1[\mathrm E][\mathrm S] = (k_{-1} + k_2)[\mathrm{ES}]$, और $[\mathrm E] = [\mathrm E]_0 - [\mathrm{ES}]$ (मुक्त क्रियाधार व्यावहारिक रूप से पूरा क्रियाधार है, क्योंकि $[\mathrm S] \gg [\mathrm E]_0$)। अतः $[\mathrm{ES}] = [\mathrm E]_0[\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ और $v = k_2[\mathrm{ES}]$। ∎

उपपत्ति. व्युत्क्रम लीजिए: $1/v = (K_M + [\mathrm S])/(V_{\max}[\mathrm S])$। $1/v = 0$ पर $1/[\mathrm S] = -1/K_M$। ∎

उपपत्ति. मिश्र स्थिति (बाकी इसकी सीमाएँ $K_i' \to \infty$ और $K_i \to \infty$ हैं): एंज़ाइम E, EI, ES और ESI में बँटा है, जहाँ $[\mathrm{EI}] = [\mathrm E][\mathrm I]/K_i$, $[\mathrm{ESI}] = [\mathrm{ES}][\mathrm I]/K_i'$ और स्थायी अवस्था $[\mathrm E][\mathrm S] = K_M[\mathrm{ES}]$। अतः $[\mathrm E]_0 = [\mathrm E]\alpha + [\mathrm{ES}]\alpha' = [\mathrm{ES}](\alpha K_M/[\mathrm S] + \alpha')$ और $v = k_2[\mathrm{ES}] = V_{\max}[\mathrm S]/(\alpha K_M + \alpha'[\mathrm S])$; अंश और हर को $\alpha'$ से भाग देने पर बताया गया रूप मिलता है। ∎

उपपत्ति. $\dd x/\dd t = kx(N - x)$, क्योंकि $a = N - x$। चरों को पृथक करने पर $\frac{\dd x}{x(N - x)} = \frac1N\bigl(\frac1x + \frac{1}{N - x}\bigr)\dd x = k\,\dd t$, अतः $\ln\frac{x}{N - x} = kNt + \ln\frac{x_0}{N - x_0}$, जो पुनर्व्यवस्थित होकर बताया गया रूप देता है; $x = N/2$ जब $(N/x_0 - 1)\eu^{-kNt} = 1$। ∎

उपपत्ति. $\dot V = (d - c/x)\dot x + (b - a/y)\dot y = (dx - c)(a - by) + (by - a)(dx - c) = 0$। $V$, $(c/d, a/b)$ पर एकमात्र निम्निष्ठ वाले दो उत्तल फलनों का योग है, अतः उसके समस्तर वक्र उस बिंदु के चारों ओर संवृत वक्र हैं; प्रक्षेप-पथ उनमें से एक पर बना रहता है और, क्योंकि वेग अन्यत्र कभी लुप्त नहीं होता, उसका आवर्ती रूप से चक्कर लगाता है। ∎

उपपत्ति. दोनों अवकलजों को शून्य रखने पर: $BX = X^2Y$ से $XY = B$, और फिर $A - X = 0$। $(A, B/A)$ पर जैकोबी आव्यूह यह है:

जिसका अनुरेख $B - 1 - A^2$ और सारणिक $A^2 > 0$ है। छोटे विचलन $\eu^{\lambda t}$ के रूप में विकसित होते हैं, जहाँ $\lambda$ अभिलक्षणिक मान हैं, जिनका गुणनफल सारणिक (धनात्मक) और योग अनुरेख है: दोनों के वास्तविक भाग ऋणात्मक हैं जब अनुरेख ऋणात्मक हो, धनात्मक जब वह धनात्मक हो। $B > 1 + A^2$ के लिए सीमा चक्र का अस्तित्व (प्रक्षेप-पथ एक परिबद्ध क्षेत्र में सीमित रहते हैं) स्वीकार किया गया है। ∎

उपपत्ति. $[\mathrm C] = [\mathrm C]_e + x$, $[\mathrm A] = [\mathrm A]_e - x$, $[\mathrm B] = [\mathrm B]_e - x$ लिखिए। तब $\dot x = k_1([\mathrm A]_e - x)([\mathrm B]_e - x) - k_{-1}([\mathrm C]_e + x)$; $x$ रहित पद साम्य पर निरस्त हो जाते हैं, और $x^2$ छोड़ने पर: $\dot x = -[k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1}]x$। ∎