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Ciencias de la Tierra y del espacio de bachillerato · শ্রেণি 10–12

1Medir la Tierra

Ponte en una playa y mira cómo un barco se aleja mar adentro. No se limita a encogerse hasta hacerse demasiado pequeño para verlo: primero desaparece el casco, como si se hundiera, luego la parte baja de la superestructura, y lo último que se pierde es la punta del mástil. El mar que hay entre tú y el barco no es plano: se abomba. Hace más de veintidós siglos, un sabio de Alejandría convirtió una observación parecida —la longitud de una sombra a mediodía— en una medida del tamaño del planeta entero. Este capítulo sigue esa medida y las que vinieron después: las cadenas de triángulos que los topógrafos tendieron a través de países enteros, las expediciones enviadas al Ártico y al ecuador para saber si la Tierra está achatada, el nacimiento del metro y los satélites con los que hoy se mide el planeta.

La Tierra fotografiada por la tripulación del Apolo 17 camino de la Luna, en diciembre de 1972: África, Arabia y el hielo de la Antártida. Fotografía: NASA (dominio público).

Lo que ya sabes

Un lugar de la Tierra se localiza por su latitud, su ángulo al norte o al sur del ecuador, y por su longitud, su ángulo al este o al oeste de un meridiano de referencia; los meridianos unen los polos, y los paralelos rodean la Tierra paralelos al ecuador (Libro 1). En un medio homogéneo la luz se propaga en línea recta, y los rayos que llegan a la Tierra desde el lejanísimo Sol son paralelos (los libros de física). En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa, su coseno el cateto contiguo dividido entre la hipotenusa, y su tangente el cateto opuesto dividido entre el contiguo (los libros de matemáticas).

1.1 Una Tierra redonda

Mucho antes de que nadie pudiera mirar la Tierra desde el espacio, varias observaciones mostraban que es redonda.

Barcos tras el horizonte. Un barco que se aleja desaparece de abajo arriba, en cualquier dirección y en cualquier mar: la superficie del mar es curva en todas partes.
La sombra sobre la Luna. Durante un eclipse de Luna, la sombra de la Tierra cae sobre la Luna. Su borde es siempre un arco de circunferencia, sea cual sea la hora de la noche; solo una esfera proyecta una sombra redonda en todas las direcciones.
Las estrellas cambian con la latitud. Un viajero que va hacia el norte ve subir la estrella Polar sobre el horizonte, y las estrellas del cielo austral desaparecen por debajo de él: el horizonte del viajero se inclina a medida que avanza sobre una superficie curva.
La vuelta al mundo y la vista desde el espacio. Barcos, y después aviones, han dado la vuelta al mundo en todas las direcciones; desde los años sesenta se ha fotografiado el planeta entero, redondo.

Por qué un barco desaparece de abajo arriba: el observador solo ve lo que queda por encima de la línea de visión que roza el mar en el horizonte. La curvatura está muy exagerada.

1.2 Eratóstenes mide la Tierra

Eratóstenes de Cirene (276–194 a. C.) fue bibliotecario de Alejandría. Había oído que en Siena, la actual Asuán, muy arriba en el Nilo, el Sol iluminaba a mediodía todo el fondo de un pozo el día del solsticio de verano: estaba entonces exactamente en el cenit. En Alejandría, en ese mismo momento, un palo vertical proyectaba una sombra corta: los rayos del Sol formaban un ángulo de unos $7.2{}^{\circ}$ con la vertical, la cincuentava parte de una vuelta completa.

El razonamiento de Eratóstenes. En Siena el Sol está en el cenit: sus rayos apuntan al centro de la Tierra. En Alejandría, un palo vertical, que también apunta al centro, forma un ángulo con los rayos. El ángulo en el centro entre los dos lugares es el mismo . El ángulo está exagerado: solo medía 7.2. — El razonamiento de Eratóstenes. En Siena el Sol está en el cenit: sus rayos apuntan al centro de la Tierra. En Alejandría, un palo vertical, que también apunta al centro, forma un ángulo $\alpha$ con los rayos. El ángulo en el centro entre los dos lugares es el mismo $\alpha$ . El ángulo está exagerado: solo medía $7.2{}^{\circ}$ .

Proposición 1.1 (Relación de Eratóstenes)

Si dos lugares están sobre el mismo meridiano, a una distancia $d$ uno de otro, y a mediodía los rayos del Sol forman con la vertical ángulos que difieren en $\alpha$ (en grados), la circunferencia de la Tierra es

C = \frac{360{}^{\circ}}{\alpha}\, d .

Demostración. El Sol está tan lejos que los rayos que llegan a los dos lugares son paralelos. En cada lugar, la vertical apunta hacia el centro de la Tierra. En la figura, el rayo que llega al palo y el radio que pasa por Siena son dos rectas paralelas, y el radio que pasa por Alejandría corta a ambas: el ángulo $\alpha$ entre el palo y el rayo y el ángulo en el centro entre los dos radios son alternos internos, luego iguales. El arco $d$ es la misma fracción de la circunferencia completa que el ángulo $\alpha$ de una vuelta entera: $d/C = \alpha/360{}^{\circ}$ . ∎

Método 1.2 (Medir una circunferencia con dos sombras)

Elige dos lugares situados (casi) sobre el mismo meridiano y mide la distancia norte–sur $d$ entre ellos.
A mediodía local del mismo día, mide en cada lugar el ángulo entre un palo vertical y los rayos del Sol: $\tan \theta = s/h$ , donde $h$ es la altura del palo y $s$ la longitud de su sombra. No mires nunca al Sol: el ángulo se lee solo en la sombra.
Calcula la diferencia $\alpha$ entre los dos ángulos y aplica $C = (360/\alpha)\,d$ .

Ejemplo 1.3 (Los números de Eratóstenes)

Eratóstenes tomó como distancia de Alejandría a Siena 5000 estadios, una unidad griega de longitud. Con $\alpha = 1/50$ de vuelta,

C = 50 \times 5000 = 250\,000 \text{ estadios}.

¿Cuánto medía un estadio? Los historiadores todavía lo discuten. Con $157.2\,\mathrm{m}$ , $C \approx 39\,300\,\mathrm{km}$ ; con $166.7\,\mathrm{m}$ , $C \approx 41\,700\,\mathrm{km}$ . La circunferencia meridiana real es de $40\,008\,\mathrm{km}$ : en ambos casos, Eratóstenes acertó con un error de pocos puntos porcentuales.

Observación 1.4 (Lo que se supuso)

Eratóstenes supuso una Tierra esférica, un Sol lo bastante lejano para que sus rayos fueran paralelos, Siena exactamente sobre el trópico (donde el Sol puede estar en el cenit) y Siena justo al sur de Alejandría. Todo ello era casi cierto, pero no del todo: Asuán está unos $3{}^{\circ}$ de longitud al este de Alejandría. Lo que cuenta es la componente norte–sur de la distancia, la que va a lo largo del meridiano.

1.3 La triangulación

Medir una distancia larga sobre el terreno con una cadena o una regla es lento, y a través de ríos, bosques y montañas, imposible. Los ángulos, en cambio, se miden con gran precisión con un anteojo montado sobre un círculo graduado, que se apunta por turnos a dos señales lejanas. A partir del siglo XVIII, los topógrafos se valieron de ello para medir países enteros.

Definición 1.5 (Geodesia)

La geodesia es la ciencia que mide la forma y el tamaño de la Tierra y la posición de los puntos de su superficie, y que sigue cómo cambian con el tiempo.

Definición 1.6 (Triangulación)

La triangulación localiza puntos lejanos mediante una cadena de triángulos: un lado, la base, se mide sobre el terreno con gran cuidado; todos los ángulos de los triángulos se miden desde sus vértices; todos los demás lados se calculan después.

El cálculo se apoya en una relación entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo. En un triángulo $ABC$ , se llama $a$ , $b$ , $c$ a los lados opuestos a los vértices $A$ , $B$ , $C$ , y también $A$ , $B$ , $C$ a los ángulos en esos vértices.

Proposición 1.7 (El teorema de los senos)

En todo triángulo $ABC$ ,

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Demostración. Traza la altura desde $C$ , que corta la recta $AB$ en $H$ (panel derecho de la figura de abajo), y llama $h = CH$ . En el triángulo rectángulo $AHC$ , $\sin A = h/b$ , luego $h = b \sin A$ . En el triángulo rectángulo $BHC$ , $\sin B = h/a$ , luego $h = a \sin B$ . Por tanto $b \sin A = a \sin B$ , es decir, $a/\sin A = b/\sin B$ . (Si el ángulo en $B$ es obtuso, $H$ cae más allá de $B$ , y el ángulo del triángulo rectángulo en $B$ es $180{}^{\circ} - B$ , que tiene el mismo seno.) El mismo razonamiento con la altura desde $A$ da $b/\sin B = c/\sin C$ . ∎

Izquierda: una cadena de triángulos tendida a lo largo de un meridiano a partir de una base medida AB; los arcos marcan dos de los muchos ángulos medidos con el instrumento. Derecha: la altura h desde C, escrita de dos maneras, da el teorema de los senos. — Izquierda: una cadena de triángulos tendida a lo largo de un meridiano a partir de una base medida $AB$ ; los arcos marcan dos de los muchos ángulos medidos con el instrumento. Derecha: la altura $h$ desde $C$ , escrita de dos maneras, da el teorema de los senos.

Método 1.8 (Calcular una cadena de triangulación)

En el primer triángulo $ABC$ se miden la base $c = AB$ y los ángulos en $A$ y en $B$ ; el tercer ángulo es $C = 180{}^{\circ} - A - B$ (y su medida sirve para comprobar las otras).
El teorema de los senos da los otros dos lados: $b = AC = c \sin B / \sin C$ y $a = BC = c \sin A / \sin C$ .
Un lado calculado se convierte en el lado conocido del triángulo siguiente, y así sucesivamente a lo largo de la cadena.
Por último, la componente norte–sur de cada lado se calcula con el coseno de su ángulo con el meridiano, y se suman las componentes.

Ejemplo 1.9 (Un triángulo)

Se mide una base $AB = 8.000\,\mathrm{km}$ ; desde $A$ , la señal $C$ se ve a $70{}^{\circ}$ de la dirección de $B$ , y desde $B$ , a $60{}^{\circ}$ de la dirección de $A$ . Entonces $C = 50{}^{\circ}$ y

AC = \frac{8.000 \times \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{8.000 \times 0.8660}{0.7660} \approx 9.044\,\mathrm{km}, \qquad BC = \frac{8.000 \times \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 9.814\,\mathrm{km}.

No se recorrió a pie ninguna distancia salvo la base.

Ejemplo 1.10 (El meridiano del metro)

En marzo de 1791 se definió el metro como la diezmillonésima parte de la distancia del polo al ecuador a lo largo de un meridiano. Para hallar esa distancia, dos astrónomos, Jean-Baptiste Delambre y Pierre Méchain, midieron por triangulación el arco de meridiano de Dunkerque, en el mar del Norte, a Barcelona, en el Mediterráneo: casi siete años de trabajo, Delambre en los dos tercios del norte y Méchain en el tercio del sur. Las dos ciudades difieren en $9.646{}^{\circ}$ de latitud; sobre el elipsoide moderno, el arco entre sus paralelos mide $1072.2\,\mathrm{km}$ . Conocer la longitud de un arco y su diferencia de latitud da la longitud de un grado; la forma de la Tierra da después el cuarto de meridiano entero. En 1799 se fabricaron patrones de platino del nuevo metro, que se guardaron en los Archivos nacionales.

Historia — El círculo repetidor

Los ángulos del meridiano del metro se midieron con un círculo repetidor, un instrumento construido por Jean-Charles de Borda: dos anteojos sobre un círculo graduado, apuntados alternativamente a dos señales muchas veces seguidas, de modo que los errores de lectura de la graduación quedan divididos por el número de repeticiones.

Un círculo repetidor montado para medir ángulos horizontales, tal como aparece grabado en el relato de la medición de Delambre (1807). Dominio público (Wikimedia Commons).

1.4 Una Tierra achatada

Hacia 1687, Isaac Newton dedujo de su teoría de la gravitación que una Tierra en rotación tiene que ser un esferoide achatado por los polos y abultado en el ecuador. Las medidas de grados de meridiano realizadas por los astrónomos del Observatorio de París parecían decir lo contrario: una Tierra alargada hacia los polos. La cuestión se zanjó midiendo la longitud de un grado de latitud en lugares lo más alejados posible.

Una Tierra achatada, con el achatamiento muy exagerado (el real es demasiado pequeño para verse a esta escala). La vertical de un lugar es perpendicular a la superficie; no apunta exactamente al centro. La latitud del lugar es el ángulo entre su vertical y el plano del ecuador. — Una Tierra achatada, con el achatamiento muy exagerado (el real es demasiado pequeño para verse a esta escala). La vertical de un lugar es perpendicular a la superficie; no apunta exactamente al centro. La latitud $\varphi$ del lugar es el ángulo entre su vertical y el plano del ecuador.

La latitud se mide con las estrellas: es el ángulo entre la vertical del lugar y el plano del ecuador. En una Tierra achatada, la superficie está menos curvada cerca de los polos que cerca del ecuador. Donde la superficie está menos curvada, hay que recorrer más camino sobre ella para que la vertical gire un grado: un grado de latitud es más largo cerca de los polos.

Historia — Laponia y Perú

En 1735, la Academia de Ciencias de París envió una expedición al ecuador, a la provincia española del Perú (hoy Ecuador), que trabajó allí nueve años, hasta 1744. En 1736–1737, una segunda expedición, dirigida por Pierre-Louis Moreau de Maupertuis con el joven matemático Alexis Clairaut, midió un grado de meridiano en Laponia, cerca del círculo polar ártico. El grado de Laponia dio 57 437 toesas (la antigua unidad de longitud; unos $111.95\,\mathrm{km}$ ), y el de Perú solo 56 737 toesas: el grado es más largo cerca del polo, y Newton tenía razón. Los dos números implicaban un achatamiento de alrededor de $1/205$ —demasiado grande, como mostraron mediciones posteriores—, pero la cuestión del signo quedó resuelta.

Longitud de un grado de latitud sobre el elipsoide de referencia de la , del ecuador al polo. Calculada a partir del elipsoide WGS 84. — Longitud de un grado de latitud sobre el elipsoide de referencia de la Definición 1.11, del ecuador al polo. Calculada a partir del elipsoide WGS 84.

Definición 1.11 (Elipsoide de referencia y achatamiento)

Un elipsoide de referencia es la superficie que se obtiene al hacer girar una elipse alrededor de su eje corto, elegida para ajustarse lo mejor posible a la forma de la Tierra. Su radio ecuatorial es $a$ , su radio polar $b$ , y su achatamiento es

f = \frac{a-b}{a}.

Proposición 1.12 (Las dimensiones de la Tierra)

El elipsoide de referencia que usa el posicionamiento por satélite (WGS 84) tiene

a = 6378.137\,\mathrm{km}, \qquad b = 6356.752\,\mathrm{km}, \qquad f = \frac{1}{298.257}.

El radio polar es $21.4\,\mathrm{km}$ más corto que el radio ecuatorial. El ecuador mide $40\,075\,\mathrm{km}$ y un meridiano, de polo a polo y vuelta, $40\,008\,\mathrm{km}$ ; el cuarto de meridiano, del ecuador a un polo, mide $10\,001.966\,\mathrm{km}$ . Un grado de latitud mide $110.574\,\mathrm{km}$ en el ecuador y $111.694\,\mathrm{km}$ en los polos. Un grado de longitud mide $111.32\,\mathrm{km}$ sobre el ecuador y se acorta hacia los polos aproximadamente como $\cos \varphi$ .

Ejemplo 1.13 (Un grado de longitud)

Un paralelo de latitud $\varphi$ es una circunferencia cuyo radio es la distancia al eje, aproximadamente $R \cos \varphi$ . A $60{}^{\circ}$ N, su longitud es más o menos la mitad de la del ecuador, y un grado de longitud mide unos $111.32 \times \cos 60^\circ \approx 55.7\,\mathrm{km}$ (el elipsoide da $55.80\,\mathrm{km}$ ).

Observación 1.14 (¿Hasta qué punto es redonda?)

Un achatamiento de $1/298$ es pequeño. En un globo de $30\,\mathrm{cm}$ de diámetro, el diámetro polar solo sería $1\,\mathrm{mm}$ más corto que el ecuatorial: invisible. La fosa oceánica más profunda, a casi $11\,\mathrm{km}$ bajo el nivel del mar, sería un arañazo de apenas un cuarto de milímetro de profundidad. Para la mayoría de los usos, la Tierra es una esfera de radio medio $6371\,\mathrm{km}$ ; para posiciones precisas, hace falta el elipsoide.

1.5 La geodesia hoy

Un topógrafo trabajando con un instrumento moderno que mide ángulos y, con un haz de luz, distancias; en la colina del fondo se alza una señal geodésica.

Las grandes triangulaciones de los siglos XVIII y XIX han sido sustituidas por los satélites. Un receptor en el suelo capta las señales de varios satélites cuyas posiciones se conocen en cada instante, y calcula su propia posición a partir de los tiempos de viaje de las señales (Libro 1). Redes de receptores permanentes, fijados a la roca de todo el mundo, miden sus posiciones sin interrupción. Definen el marco de referencia en el que se da cada mapa y cada posición por satélite, y se mueven: muestran cómo las placas de la litosfera derivan unos pocos centímetros al año (Capítulo 13).

Sobre el terreno — Medir el terreno hoy

Los geodestas anclan antenas sobre pilares de hormigón asentados en la roca, lejos de edificios y árboles, y registran sus posiciones cada pocos segundos durante años. Las combinan con medidas de radiotelescopios que observan galaxias muy lejanas y con haces láser disparados hacia satélites que llevan espejos. Los topógrafos de las obras y del campo siguen midiendo ángulos y distancias con instrumentos sobre trípodes, y los enlazan con el marco de los satélites.

1.6 Ejercicios

Ejercicio 1.1 ★

Da tres observaciones, posibles sin despegarse del suelo, que muestren que la Tierra es redonda. Para cada una, explica en una frase por qué una Tierra plana no podría producirla.

Solución

Solución de Ejercicio 1.1.

Un barco desaparece empezando por el casco: sobre un mar plano solo se haría más pequeño y seguiría viéndose entero. La sombra de la Tierra sobre la Luna durante un eclipse es siempre un arco de circunferencia: un disco plano visto de canto proyectaría una sombra alargada. Al viajar hacia el norte, la estrella Polar sube sobre el horizonte: en una Tierra plana su altura apenas cambiaría.

Ejercicio 1.2 ★

¿Qué es la geodesia? ¿Qué es la triangulación, y qué única longitud hay que medir sobre el terreno en una triangulación?

Solución

Solución de Ejercicio 1.2.

La geodesia mide la forma y el tamaño de la Tierra y la posición de los puntos de su superficie, y cómo cambian con el tiempo. La triangulación localiza puntos mediante una cadena de triángulos en la que se miden todos los ángulos; solo una longitud, la base, se mide sobre el terreno.

Ejercicio 1.3 ★

Eratóstenes halló que el ángulo entre los rayos del Sol y la vertical en Alejandría era $1/50$ de vuelta completa cuando el Sol estaba en el cenit en Siena, a 5000 estadios. Calcula la circunferencia en estadios y después en kilómetros, tomando un estadio de $157.2\,\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 1.3.

$C = 50 \times 5000 = 250\,000$ estadios; $250\,000 \times 157.2\,\mathrm{m} = 39\,300\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 1.4 ★

Un grado de latitud mide unos $111\,\mathrm{km}$ . ¿Cuánto mide un minuto de latitud ( $1/60$ de grado)? ¿Cuánto mide, aproximadamente, el meridiano del ecuador al polo?

Solución

Solución de Ejercicio 1.4.

$111/60 \approx 1.85\,\mathrm{km}$ . Cuarto de meridiano: $90 \times 111 \approx 10\,000\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 1.5 ★

Con el radio ecuatorial $6378.137\,\mathrm{km}$ y el radio polar $6356.752\,\mathrm{km}$ , calcula la diferencia entre los dos radios y el achatamiento $f = (a-b)/a$ . Expresa $f$ como uno dividido entre un número entero.

Solución

Solución de Ejercicio 1.5.

$a - b = 6378.137 - 6356.752 = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 0.003353 \approx 1/298$ .

Ejercicio 1.6 ★★

Dos ciudades están sobre el mismo meridiano, a $500\,\mathrm{km}$ una de otra. A mediodía del mismo día, un palo vertical de $1.00\,\mathrm{m}$ de altura proyecta una sombra de $0.364\,\mathrm{m}$ en la ciudad del sur y de $0.456\,\mathrm{m}$ en la del norte. Calcula el ángulo entre los rayos del Sol y la vertical en cada ciudad y, después, la circunferencia de la Tierra.

Solución

Solución de Ejercicio 1.6.

Sur: $\tan\theta_1 = 0.364$ , $\theta_1 \approx 20.0{}^{\circ}$ . Norte: $\tan\theta_2 = 0.456$ , $\theta_2 \approx 24.5{}^{\circ}$ . $\alpha = 4.5{}^{\circ}$ , luego $C = (360/4.5) \times 500 = 80 \times 500 = 40\,000\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 1.7 ★★

En un triángulo $ABC$ , la base $AB = 10.00\,\mathrm{km}$ , el ángulo en $A$ mide $62{}^{\circ}$ y el ángulo en $B$ mide $71{}^{\circ}$ . Calcula el ángulo en $C$ y las longitudes $AC$ y $BC$ .

Solución

Solución de Ejercicio 1.7.

$C = 180 - 62 - 71 = 47{}^{\circ}$ . $AC = 10.00 \sin 71^\circ/\sin 47^\circ = 10.00 \times 0.9455/0.7314 \approx 12.93\,\mathrm{km}$ ; $BC = 10.00 \sin 62^\circ/\sin 47^\circ \approx 12.07\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 1.8 ★★

Un avión vuela hacia el oeste a lo largo del paralelo $60{}^{\circ}$ N, desde la longitud $10{}^{\circ}$ E hasta la longitud $20{}^{\circ}$ O. Con un grado de longitud de $111.3 \cos \varphi$ km, calcula la distancia que recorre. ¿Cuánto mediría el mismo cambio de longitud sobre el ecuador?

Solución

Solución de Ejercicio 1.8.

El cambio de longitud es $10 + 20 = 30{}^{\circ}$ . A $60{}^{\circ}$ N un grado mide $111.3 \times 0.5 = 55.65\,\mathrm{km}$ , así que la distancia es $30 \times 55.65 \approx 1670\,\mathrm{km}$ . Sobre el ecuador: $30 \times 111.3 \approx 3340\,\mathrm{km}$ , el doble.

Ejercicio 1.9 ★★

El ojo de un observador está a $h = 2\,\mathrm{m}$ sobre un mar en calma. La visual hacia el horizonte roza el mar en $T$ ; el centro de la Tierra es $O$ y el ojo, $E$ . Explica por qué el triángulo $OTE$ tiene un ángulo recto en $T$ y usa después el teorema de Pitágoras con $R = 6371\,\mathrm{km}$ para demostrar que la distancia al horizonte es de aproximadamente $\sqrt{2Rh}$ ; calcúlala.

Solución

Solución de Ejercicio 1.9.

La visual toca el mar en $T$ : la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto, así que el ángulo en $T$ es recto. Por Pitágoras, $(R+h)^2 = R^2 + d^2$ , luego $d^2 = 2Rh + h^2$ ; $h$ es diminuto frente a $R$ , así que $d \approx \sqrt{2Rh} = \sqrt{2 \times 6\,371\,000 \times 2} \approx 5050\,\mathrm{m}$ , unos $5\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 1.10 ★★

Lee la curva de las longitudes de un grado. ¿Entre qué latitudes cambia más deprisa la longitud de un grado? Explica en dos frases por qué un grado de latitud es más largo cerca de los polos que cerca del ecuador.

Solución

Solución de Ejercicio 1.10.

La curva es más empinada en las latitudes medias, de unos $30{}^{\circ}$ a $60{}^{\circ}$ , y casi plana cerca del ecuador y del polo. En una Tierra achatada, la superficie está menos curvada cerca de los polos; cuanto menos curvada está la superficie, más hay que recorrer para que la vertical (y, con ella, la latitud) gire un grado.

Ejercicio 1.11 ★★

El arco de meridiano de Dunkerque a Barcelona abarca $9.646{}^{\circ}$ de latitud y mide $1072.2\,\mathrm{km}$ . Calcula la longitud media de un grado a lo largo de él. Si todos los grados tuvieran esa longitud, ¿cuánto mediría el cuarto de meridiano? Compáralo con $10\,002.0\,\mathrm{km}$ y explica la pequeña diferencia.

Solución

Solución de Ejercicio 1.11.

$1072.2/9.646 \approx 111.15\,\mathrm{km}$ por grado; $90 \times 111.15 \approx 10\,004\,\mathrm{km}$ , $2\,\mathrm{km}$ más que el verdadero cuarto de meridiano. El arco está centrado cerca de $46{}^{\circ}$ , donde un grado es algo más largo que el grado medio del ecuador al polo ( $10\,002.0/90 \approx 111.13\,\mathrm{km}$ ).

Ejercicio 1.12 ★★★

Eratóstenes midió un ángulo de $7.2{}^{\circ}$ y una distancia de 5000 estadios. Si su ángulo hubiera tenido un error de $0.1{}^{\circ}$ (por defecto), ¿en qué porcentaje se habría equivocado su circunferencia, y en qué sentido? ¿Cuál de sus dos medidas crees que era la menos precisa?

Solución

Solución de Ejercicio 1.12.

Con $7.1{}^{\circ}$ : $C = (360/7.1) \times 5000 \approx 253\,500$ estadios en lugar de $250\,000$ : alrededor de un 1.4 % de más (un ángulo menor para la misma distancia significa una Tierra mayor). La distancia, medida a pasos por caminantes a lo largo del Nilo, era mucho menos precisa que el ángulo.

Ejercicio 1.13 ★★★

Una cadena de dos triángulos: en $ABC$ , $AB = 6.000\,\mathrm{km}$ , $A = 55{}^{\circ}$ , $B = 75{}^{\circ}$ . En el triángulo siguiente, $ACD$ , construido sobre el lado $AC$ , el ángulo en $A$ mide $50{}^{\circ}$ y el ángulo en $C$ , $68{}^{\circ}$ . Calcula $AC$ y después $AD$ .

Solución

Solución de Ejercicio 1.13.

En $ABC$ : $C = 50{}^{\circ}$ , $AC = 6.000 \sin 75^\circ/\sin 50^\circ \approx 7.566\,\mathrm{km}$ . En $ACD$ : el ángulo en $D$ es $180 - 50 - 68 = 62{}^{\circ}$ , y $AD = 7.566 \sin 68^\circ/\sin 62^\circ \approx 7.945\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 1.14 ★★★

¿A qué latitud mide un grado de longitud la mitad que sobre el ecuador? ¿A qué latitud mide la décima parte? Explica por qué ninguna de las dos respuestas depende del tamaño de la Tierra.

Solución

Solución de Ejercicio 1.14.

$\cos\varphi = 1/2$ da $\varphi = 60{}^{\circ}$ ; $\cos\varphi = 0.1$ da $\varphi \approx 84.3{}^{\circ}$ . Un grado de longitud a la latitud $\varphi$ es el grado del ecuador multiplicado por $\cos\varphi$ : la razón depende solo del ángulo, no del radio.

Ejercicio 1.15 ★★★

Usa los valores del elipsoide: un grado de latitud mide $110.574\,\mathrm{km}$ en el ecuador y $111.694\,\mathrm{km}$ en el polo. Sobre una esfera del mismo radio medio, un grado mediría $111.195\,\mathrm{km}$ en todas partes. ¿En cuántos metros se equivocaría un topógrafo que supusiera una esfera en un grado en el ecuador, y en un grado en el polo? ¿Por qué un mapa que da posiciones al metro tiene que calcularse sobre el elipsoide?

Solución

Solución de Ejercicio 1.15.

En el ecuador: $111.195 - 110.574 = 0.621\,\mathrm{km} = 621\,\mathrm{m}$ ; en el polo: $111.694 - 111.195 = 0.499\,\mathrm{km} = 499\,\mathrm{m}$ . Errores de varios cientos de metros por grado, que se acumulan grado tras grado, son muchísimo mayores que el metro: las posiciones calculadas a partir de latitudes y longitudes tienen que usar el elipsoide.

1.7 Problema: el metro y el meridiano

Problema 1.1

Problema de fin de semana — de la sombra de Eratóstenes a la longitud del primer metro

Un estudiante reconstruye la historia de la medición de la Tierra con números modernos. Asuán, la antigua Siena, está a la latitud $24.09{}^{\circ}$ N y Alejandría a $31.20{}^{\circ}$ N; sobre el elipsoide moderno, el arco de meridiano entre sus dos paralelos mide $788\,\mathrm{km}$ . Sobre el elipsoide, un grado de latitud mide $110.57\,\mathrm{km}$ en el ecuador, $111.13\,\mathrm{km}$ a $45{}^{\circ}$ y $111.51\,\mathrm{km}$ a $66{}^{\circ}$ , y el cuarto de meridiano mide $10\,001.966\,\mathrm{km}$ .

Parte I — Otra vez Eratóstenes.

Calcula la diferencia de latitud entre Asuán y Alejandría.
¿Qué fracción de una vuelta completa representa? Compárala con el $1/50$ de Eratóstenes.
Calcula la circunferencia de la Tierra que da el método de Eratóstenes con estos números modernos.
Las dos ciudades no están sobre el mismo meridiano: Asuán está unos $3{}^{\circ}$ de longitud al este de Alejandría. ¿Qué distancia hay que usar en el método: la distancia en línea recta entre las ciudades o el arco de meridiano entre sus paralelos? ¿Por qué?
¿Por qué hay que medir las dos sombras el mismo día, a mediodía local?

Parte II — Una pequeña triangulación. Se mide una base $AB = 12.000\,\mathrm{km}$ . Desde $A$ , la señal $C$ se ve a $58{}^{\circ}$ de $B$ ; desde $B$ , a $66{}^{\circ}$ de $A$ . En el triángulo siguiente, $ACD$ , el ángulo en $A$ mide $47{}^{\circ}$ y el ángulo en $C$ , $75{}^{\circ}$ . El lado $AD$ apunta $8{}^{\circ}$ al este del norte.

Calcula el ángulo en $C$ del triángulo $ABC$ .
Calcula el lado $AC$ .
Calcula el lado $BC$ .
Calcula el ángulo en $D$ del triángulo $ACD$ y después el lado $AD$ .
Calcula la distancia norte–sur entre $A$ y $D$ .
Con la longitud del grado a $45{}^{\circ}$ , calcula la diferencia de latitud entre $A$ y $D$ , en grados y en minutos de arco.

Parte III — Una Tierra achatada.

¿En cuántos metros es más largo un grado de latitud a $66{}^{\circ}$ que uno en el ecuador?
Explica qué muestra esta diferencia sobre la forma de la Tierra.
Sobre el elipsoide, $a = 6378.137\,\mathrm{km}$ y $b = 6356.752\,\mathrm{km}$ . Calcula $a - b$ y el achatamiento.
Explica por qué, en una Tierra achatada, la plomada en un lugar de latitud $45{}^{\circ}$ no apunta exactamente al centro de la Tierra.

Parte IV — El primer metro.

Según la definición de 1791, ¿cuánto debería medir el cuarto de meridiano, en metros?
El metro de platino de 1799 se fabricó a partir de un valor medido del meridiano. Si el cuarto de meridiano mide en realidad $10\,001.966\,\mathrm{km}$ , ¿cuánto mide su diezmillonésima parte?
¿Era el metro de 1799 demasiado largo o demasiado corto respecto a su propia definición? ¿En qué fracción?
La barra de platino copiaba fielmente la longitud calculada en la década de 1790. ¿Era el cuarto de meridiano calculado entonces demasiado largo o demasiado corto? Explícalo.
¿En cuántos milímetros era el primer metro más corto que la diezmillonésima parte del verdadero cuarto de meridiano? Compáralo con el grosor de una hoja de papel, unos $0.1\,\mathrm{mm}$ .

Solución

Solución de Problema 1.1.

1. $31.20 - 24.09 = 7.11{}^{\circ}$ .

2. $7.11/360 \approx 0.0198 = 1/50.6$ , muy cerca del $1/50$ de Eratóstenes.

3. $C = 788 \times 360/7.11 \approx 39\,900\,\mathrm{km}$ .

4. El arco de meridiano entre los paralelos: la diferencia entre los ángulos de mediodía es la diferencia de latitud, que solo mide la separación norte–sur de los dos lugares; la componente este–oeste de la distancia no interviene.

5. A mediodía local el Sol está en el plano del meridiano, el mismo para los dos lugares; el mismo día ocupa la misma posición entre las estrellas, de modo que los dos ángulos solo difieren por la curvatura de la Tierra.

6. $180 - 58 - 66 = 56{}^{\circ}$ .

7. $AC = 12.000 \sin 66^\circ/\sin 56^\circ = 12.000 \times 0.9135/0.8290 \approx 13.223\,\mathrm{km}$ .

8. $BC = 12.000 \sin 58^\circ/\sin 56^\circ \approx 12.275\,\mathrm{km}$ .

9. El ángulo en $D$ es $180 - 47 - 75 = 58{}^{\circ}$ ; $AD = 13.223 \sin 75^\circ/\sin 58^\circ \approx 15.061\,\mathrm{km}$ .

10. $15.061 \cos 8^\circ \approx 14.914\,\mathrm{km}$ .

11. $14.914/111.13 \approx 0.1342{}^{\circ}$ , es decir, $0.1342 \times 60 \approx 8.05$ minutos de arco.

12. $111.51 - 110.57 = 0.94\,\mathrm{km}$ : $940\,\mathrm{m}$ .

13. Cerca del polo, la vertical gira más despacio con la distancia: allí la superficie está menos curvada. La Tierra está achatada por los polos y abultada en el ecuador.

14. $a - b = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 1/298$ .

15. La plomada es perpendicular a la superficie del elipsoide. En una elipse, la perpendicular a la curva solo pasa por el centro en el ecuador y en los polos; a $45{}^{\circ}$ corta el eje por debajo del centro.

16. $10\,000\,000$ metros, es decir, $10\,000\,\mathrm{km}$ .

17. $10\,001\,966/10\,000\,000 \approx 1.000\,196\,6\,\mathrm{m}$ .

18. Demasiado corto: la verdadera diezmillonésima parte es $1.0001966$ veces el metro de 1799, así que al metro de 1799 le falta alrededor de $1.97 \times 10^{-4}$ de su longitud, un 0.02 %.

19. Demasiado corto. La barra es la diezmillonésima parte del cuarto de meridiano tal como se calculó en la década de 1790; como la barra es más corta que la diezmillonésima parte del verdadero cuarto de meridiano, el cuarto de meridiano calculado era más corto que el verdadero.

20. $1.0001966 - 1 = 0.0001966$ m: el primer metro era unos $0.2\,\mathrm{mm}$ demasiado corto, el grosor de unas dos hojas de papel en un metro, una precisión asombrosa para una medición hecha con anteojos y ángulos a través de un país entero.

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