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Ciencias de la Tierra y del espacio de bachillerato · 10–12 年级

12Litosfera y astenosfera

Nueve décimas partes de un iceberg están bajo el agua: el hielo flota porque es un poco menos denso que el mar, y se hunde en el agua hasta que el agua que aparta pesa tanto como todo el iceberg. Las cordilleras se comportan más o menos igual. Bajo las más altas, la corteza tiene casi el doble del espesor habitual, y la mayor parte de esa corteza de más queda oculta debajo, como el hielo bajo la línea de flotación. Pero un iceberg flota en un líquido, y el manto que hay bajo una cordillera es roca sólida. Este capítulo muestra cómo un sólido puede comportarse como un fluido sobre el que flota la capa externa de la Tierra, y qué es esa capa.

Lo que ya sabes

La Tierra tiene una corteza, un manto y un núcleo (Libro 1, año 6). El Moho, en la base de la corteza, está de media a unos $41\,\mathrm{km}$ de profundidad bajo los continentes y a pocos kilómetros bajo el fondo oceánico; las velocidades sísmicas y las densidades se conocen a cada profundidad gracias a un modelo terrestre de referencia (el Capítulo 11). La roca se calienta con la profundidad, unos 25 a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro cerca de la superficie (Libro 1, año 6). Un cuerpo que flota en un líquido aparta un peso de líquido igual a su propio peso, y la presión en el fondo de una columna de material es el peso de la columna dividido entre su área (los libros de física).

Un iceberg visto justo por encima del agua: el hielo sumergido, que se transparenta en el mar claro, es mucho mayor que la parte que asoma al aire. Fotografía: NOAA (dominio público).

12.1 Dos maneras de dividir la Tierra en capas

La corteza, el manto y el núcleo son capas de materiales distintos: la corteza está hecha de rocas ricas en silicio, aluminio y oxígeno; el manto, de una roca más densa; el núcleo, de metal. Pero la parte externa de la Tierra también puede dividirse según cómo se comporta su roca cuando actúan sobre ella fuerzas durante muchísimo tiempo.

Definición 12.1 (Litosfera; astenosfera)

La litosfera es la capa externa rígida de la Tierra: la corteza y la parte más alta y más fría del manto, que juntas se rompen en las placas tectónicas y no fluyen. La astenosfera es la capa del manto situada bajo la litosfera, más caliente y más débil, que fluye lentamente a lo largo de mucho tiempo, como una pasta muy espesa.

El límite entre las dos está a unos 70 a $100\,\mathrm{km}$ de profundidad bajo los océanos y la mayoría de los continentes, y más hondo bajo las partes más antiguas de los continentes; a lo ancho de Estados Unidos, por ejemplo, la litosfera pasa de unos $40\,\mathrm{km}$ de espesor en el oeste a más de $200\,\mathrm{km}$ en el centro del continente. La base de la litosfera no es el Moho: la mayor parte de la litosfera es roca del manto.

Los 400\, km superiores de la Tierra bajo un continente, a escala. A la izquierda: las capas según el material. A la derecha: las capas según el comportamiento. La litosfera rígida contiene toda la corteza y la parte alta del manto; la astenosfera no tiene un límite inferior neto. — Los $400\,\mathrm{km}$ superiores de la Tierra bajo un continente, a escala. A la izquierda: las capas según el material. A la derecha: las capas según el comportamiento. La litosfera rígida contiene toda la corteza y la parte alta del manto; la astenosfera no tiene un límite inferior neto.

12.2 La zona de baja velocidad

Las ondas sísmicas muestran la astenosfera. En casi todo el interior de la Tierra, las velocidades sísmicas aumentan con la profundidad, porque la roca está cada vez más comprimida. Bajo la litosfera ocurre lo contrario.

Definición 12.2 (Zona de baja velocidad)

La zona de baja velocidad es la capa del manto superior, bajo la litosfera, en la que las ondas sísmicas viajan más despacio que en la roca de encima y de debajo.

En el modelo terrestre de referencia, la velocidad S baja lentamente desde el Moho hasta $220\,\mathrm{km}$ , y luego salta hacia arriba. Los estudios sísmicos de todo el mundo encuentran una caída brusca de la velocidad en algún punto entre 70 y $100\,\mathrm{km}$ : el techo de la astenosfera. La roca está allí lo bastante caliente como para estar cerca de fundirse, y puede contener una cantidad ínfima de fundido; también puede contener más agua que la roca de encima. Una roca cercana a la fusión es débil: frena las ondas sísmicas y puede fluir.

La velocidad S en los 400\, km superiores del modelo terrestre de referencia. Bajo la corteza, la velocidad disminuye lentamente con la profundidad hasta 220\, km (sombreado a partir de 80\, km), y luego vuelve a aumentar con saltos bruscos. — La velocidad S en los $400\,\mathrm{km}$ superiores del modelo terrestre de referencia. Bajo la corteza, la velocidad disminuye lentamente con la profundidad hasta $220\,\mathrm{km}$ (sombreado a partir de $80\,\mathrm{km}$ ), y luego vuelve a aumentar con saltos bruscos.

12.3 La geoterma

Definición 12.3 (Geoterma; gradiente geotérmico)

Una geoterma es la curva de la temperatura en función de la profundidad bajo un lugar. El gradiente geotérmico es el aumento de la temperatura por unidad de profundidad, en grados por kilómetro.

Los sondeos solo miden la geoterma en los primeros kilómetros, donde la temperatura sube de 25 a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro (Libro 1, año 6). Más abajo se calcula a partir del calor que sale por la superficie y de las propiedades de las rocas; el Capítulo 24 muestra de dónde viene ese calor. Dos hechos determinan el resultado. Parte del calor se produce dentro de la propia corteza superior, así que el gradiente es más fuerte cerca de la superficie y menor bajo la corteza. Y en la astenosfera, que fluye, el lento movimiento de la roca transporta el calor e iguala la temperatura: solo sube unos $0.45\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro. La base de la litosfera se sitúa donde la geoterma empinada de la litosfera se encuentra con la geoterma suave de la astenosfera, hacia los $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Una geoterma modelo bajo un continente (azul) y la temperatura a la que la roca del manto (peridotita, sin agua) empieza a fundirse (naranja). La geoterma se calcula a partir del flujo de calor medio de los continentes y de propiedades medidas de las rocas; en la astenosfera (gris) sube despacio. La línea discontinua muestra cómo seguiría la subida más empinada de la litosfera. Las dos curvas se acercan más, a unos 140\, C una de otra, cerca de la base de la litosfera. — Una geoterma modelo bajo un continente (azul) y la temperatura a la que la roca del manto (peridotita, sin agua) empieza a fundirse (naranja). La geoterma se calcula a partir del flujo de calor medio de los continentes y de propiedades medidas de las rocas; en la astenosfera (gris) sube despacio. La línea discontinua muestra cómo seguiría la subida más empinada de la litosfera. Las dos curvas se acercan más, a unos $140\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ una de otra, cerca de la base de la litosfera.

La temperatura de fusión de la roca del manto sube con la profundidad, porque la roca está cada vez más comprimida (Libro 1, año 6): unos $1120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la superficie, casi $1500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $100\,\mathrm{km}$ . En el modelo, la geoterma se acerca más a ella justo bajo la litosfera, a unos $140\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por debajo. Un poco de agua, o un manto algo más caliente, cierra la diferencia: en el oeste de Estados Unidos, donde la litosfera es delgada, una pequeña parte del manto de debajo está parcialmente fundida.

12.4 La isostasia

12.4.1 Flotar sobre un sólido

Durante los pocos segundos que dura una onda sísmica, la astenosfera es un sólido. A lo largo de mucho tiempo, fluye. Una carga colocada sobre la litosfera — una cordillera, un casquete de hielo — aparta lentamente la astenosfera hasta que la carga flota, como un bloque de madera en el agua.

Definición 12.4 (Isostasia; profundidad de compensación)

La isostasia es el equilibrio en el que las capas externas de la Tierra flotan sobre la astenosfera: a una profundidad del manto llamada profundidad de compensación, todas las columnas de roca de la misma sección, desde la superficie hasta esa profundidad, tienen el mismo peso, sea cual sea el relieve que haya encima.

El modelo de isostasia de Airy (sin escala). La corteza tiene en todas partes la misma densidad; donde está alta, es gruesa y tiene una raíz que se hunde profundamente en el manto, más denso. Bajo el océano, la corteza es delgada. Las tres columnas pesan lo mismo hasta la profundidad de compensación.

12.4.2 La raíz de una cordillera

Proposición 12.5 (Isostasia de Airy)

Supongamos que la corteza tiene una densidad uniforme $\rho_c$ , y el manto de debajo una densidad $\rho_m > \rho_c$ . Si una región está a una altura $h$ por encima de otra y las dos están en equilibrio isostático, su corteza es más gruesa en

\Delta H = h\,\frac{\rho_m}{\rho_m - \rho_c},

de los que $h$ sobresalen por encima de la otra región y una raíz $r = h\,\rho_c/(\rho_m - \rho_c)$ se hunde por debajo de su corteza.

Demostración. Tomemos dos columnas de la misma área $S$ : la llanura, con una corteza de espesor $T$ , y la cordillera, cuya corteza sobresale $h$ más arriba y llega $r$ más abajo, de modo que su espesor es $T + h + r$ . Hasta una profundidad de compensación situada por debajo de los dos Mohos, la columna de la cordillera tiene $h + r$ más de corteza; la columna de la llanura tiene, en cambio, manto en el espesor $r$ . Con $g$ la aceleración de la gravedad, los dos pesos son iguales cuando

\rho_c\,(h + r)\,S\,g = \rho_m\,r\,S\,g, \qquad\text{es decir}\qquad r = h\,\frac{\rho_c}{\rho_m - \rho_c}.

La corteza es más gruesa en $h + r = h\,\bigl(1 + \rho_c/(\rho_m - \rho_c)\bigr) = h\,\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ . ∎

Con la densidad media de la corteza continental, $\rho_c = 2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , y la del manto justo bajo el Moho, $\rho_m = 3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , la raíz es $2830/550 \approx 5.1$ veces la altura, y la corteza es más gruesa en unas $6.1$ veces la altura: una cordillera que se eleva $3\,\mathrm{km}$ sobre sus alrededores tiene una raíz de unos $15\,\mathrm{km}$ .

Método 12.6 (Calcular una raíz)

Busca la altura $h$ de la región por encima de una región de referencia cuyo espesor de corteza se conoce.
Calcula $\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ con las densidades de la corteza y del manto.
La corteza es más gruesa que la de referencia en $h\,\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ ; la raíz sola es eso menos $h$ .

Ejemplo 12.7 (Una meseta de $2\,\mathrm{km}$ de altura)

Una meseta se eleva $2\,\mathrm{km}$ sobre una llanura cuya corteza tiene $37\,\mathrm{km}$ de espesor. Su corteza es más gruesa en $2 \times 3380/550 \approx 12.3\,\mathrm{km}$ : unos $49\,\mathrm{km}$ en total, con una raíz de unos $10\,\mathrm{km}$ .

12.4.3 Por qué los continentes están altos

Definición 12.8 (Curva hipsométrica)

La curva hipsométrica de la Tierra da, para cada altitud, la fracción de la superficie de la Tierra que está por encima de ella. Su pendiente muestra cuánta superficie hay a cada altitud.

Si la superficie se hubiera modelado al azar, casi toda estaría cerca de un nivel medio. No es así.

Proposición 12.9 (Dos niveles)

Las altitudes de la superficie de la Tierra se agrupan en torno a dos niveles: uno a pocos cientos de metros del nivel del mar, en los continentes, y otro a unos 4 a $5\,\mathrm{km}$ por debajo del nivel del mar, en el fondo oceánico profundo. Las tierras emergidas cubren el $29\,\%$ de la superficie; más de la mitad de la superficie está a más de $3\,\mathrm{km}$ por debajo del nivel del mar, y solo el $3\,\%$ se eleva a más de $2\,\mathrm{km}$ .

Parte de la superficie de la Tierra en cada franja de 500\, m de altitud (según ETOPO1, a un grado; sobre la Antártida y Groenlandia, la parte alta del hielo). Los dos picos son los continentes y el fondo oceánico profundo. — Parte de la superficie de la Tierra en cada franja de $500\,\mathrm{m}$ de altitud (según ETOPO1, a un grado; sobre la Antártida y Groenlandia, la parte alta del hielo). Los dos picos son los continentes y el fondo oceánico profundo.

La isostasia explica los dos niveles. Los continentes están hechos de una corteza gruesa, de unos $41\,\mathrm{km}$ de media, de roca ligera; el fondo oceánico, de una corteza delgada de roca más densa, de solo unos $5\,\mathrm{km}$ de espesor. Las dos flotan sobre la astenosfera: la corteza continental, gruesa y ligera, flota alta; la corteza oceánica, delgada y densa, flota baja, y los océanos llenan las tierras bajas.

12.5 Una tapa flexible

La isostasia necesita que la astenosfera fluya. La litosfera de encima no fluye: se dobla. Una carga más estrecha que el espesor de la litosfera, como una sola isla volcánica, la sostiene la rigidez de la placa, como un peso sobre un tablón, y la placa se hunde a su alrededor. Una carga mucho más ancha que ese espesor, como toda una cordillera o un casquete de hielo, se hunde hasta flotar. Cuando se retira la carga, la litosfera vuelve a subir lentamente (el Capítulo 23).

12.6 Ejercicios

Ejercicio 12.1 ★

Define la litosfera y la astenosfera. ¿Cuáles de los siguientes forman parte de la litosfera: la corteza oceánica, la corteza continental, la parte más alta del manto, el núcleo externo?

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

La litosfera es la capa externa rígida de la Tierra, formada por la corteza y la parte más alta del manto; la astenosfera es el manto más caliente y más débil que hay debajo, que fluye lentamente a lo largo de mucho tiempo. La corteza oceánica, la corteza continental y la parte más alta del manto forman parte de la litosfera; el núcleo externo, no.

Ejercicio 12.2 ★

Un iceberg de densidad $910\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ flota en agua de mar de densidad $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ . ¿Qué fracción de su volumen está bajo el agua? Si un iceberg de paredes verticales sobresale $20\,\mathrm{m}$ del agua, ¿cuál es su altura total?

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

El iceberg se hunde hasta apartar su propio peso de agua: la fracción sumergida es $910/1025 \approx 0.888$ , alrededor del $89\,\%$ . La fracción que asoma es de alrededor del $11.2\,\%$ , así que la altura total es de $20/0.112 \approx 180\,\mathrm{m}$ , de los que unos $160\,\mathrm{m}$ están bajo el agua.

Ejercicio 12.3 ★

El suelo está a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y el gradiente geotérmico es de $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro. ¿Qué temperatura hay en el fondo de un sondeo de $3\,\mathrm{km}$ de profundidad? ¿Por qué no se puede usar el mismo gradiente hasta $100\,\mathrm{km}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

$15 + 26 \times 3 = 93\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . A $100\,\mathrm{km}$ , el mismo gradiente daría más de $2600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , muy por encima de la temperatura de fusión de la roca del manto; pero las ondas S atraviesan el manto superior, que por tanto es sólido. El gradiente tiene que hacerse mucho menor con la profundidad.

Ejercicio 12.4 ★

A partir de la figura de las altitudes de la superficie de la Tierra, da las dos franjas de altitud más frecuentes y la parte de la superficie de cada una.

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

La franja de 0 a $500\,\mathrm{m}$ sobre el nivel del mar, con alrededor del $16\,\%$ de la superficie, y la franja de 4000 a $4500\,\mathrm{m}$ bajo el nivel del mar, con alrededor del $11\,\%$ (la franja de 4500 a $5000\,\mathrm{m}$ por debajo es casi igual de grande).

Ejercicio 12.5 ★

Con la fórmula $T = -5.104\,P^2 + 132.899\,P + 1120.661$ (temperatura en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ , presión $P$ en gigapascales), calcula la temperatura a la que la roca seca del manto empieza a fundirse en la superficie ( $P = 0$ ) y a $3\,\mathrm{GPa}$ , a unos $95\,\mathrm{km}$ de profundidad.

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

Con $P = 0$ : $1121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . A $3\,\mathrm{GPa}$ : $-5.104 \times 9 + 132.899 \times 3 + 1120.661 \approx -45.9 + 398.7 + 1120.7 \approx 1473\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Ejercicio 12.6 ★★

En la figura de la geoterma modelo, lee la temperatura a 50, 150 y $250\,\mathrm{km}$ . ¿En qué capa, litosfera o astenosfera, está cada profundidad? ¿Entre cuáles de estas profundidades sube más la temperatura?

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

Unos $730\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $50\,\mathrm{km}$ (litosfera), unos $1370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $150\,\mathrm{km}$ y $1410\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $250\,\mathrm{km}$ (astenosfera). La temperatura sube más entre 50 y $150\,\mathrm{km}$ , más de $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , porque la mayor parte de ese intervalo está en la litosfera; entre 150 y $250\,\mathrm{km}$ solo sube unos $45\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Ejercicio 12.7 ★★

Una cordillera se eleva $3\,\mathrm{km}$ sobre una llanura; toma $\rho_c = 2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ y $\rho_m = 3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ . Calcula su raíz y el espesor adicional de su corteza.

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

Raíz: $3 \times 2830/550 \approx 15.4\,\mathrm{km}$ . Espesor adicional: $3 \times 3380/550 \approx 18.4\,\mathrm{km}$ , es decir, los $3\,\mathrm{km}$ de la cordillera más su raíz.

Ejercicio 12.8 ★★

Una región tiene una corteza de $55\,\mathrm{km}$ de espesor. Con las densidades del Ejercicio 12.7, ¿a qué altura está por encima de una región cuya corteza tiene $41.1\,\mathrm{km}$ de espesor?

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

La corteza es más gruesa en $55 - 41.1 = 13.9\,\mathrm{km}$ , y $\Delta H = h \times 3380/550$ , luego $h = 13.9 \times 550/3380 \approx 2.3\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 12.9 ★★

En el modelo de referencia, la velocidad S es de $4.470\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a $80\,\mathrm{km}$ , $4.419\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ justo por encima de $220\,\mathrm{km}$ y $4.644\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ justo por debajo. Calcula, en porcentaje, la disminución entre 80 y $220\,\mathrm{km}$ y el salto en $220\,\mathrm{km}$ . ¿Por qué sorprende una disminución de la velocidad con la profundidad?

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

Disminución: $(4.470 - 4.419)/4.470 \approx 1.1\,\%$ . Salto: $(4.644 - 4.419)/4.419 \approx 5.1\,\%$ . Con la profundidad, la roca está cada vez más comprimida, lo que hace más rápidas las ondas sísmicas; una disminución significa que otra cosa se impone: la roca está caliente, cerca de la fusión, y es más débil.

Ejercicio 12.10 ★★

En la geoterma modelo, la temperatura es de $610\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en el Moho, a $40\,\mathrm{km}$ de profundidad, y de $1345\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la base de la litosfera, a $100\,\mathrm{km}$ . (1) Calcula el gradiente medio entre los dos. (2) Compáralo con el gradiente en la superficie, $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro, y explica la diferencia.

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

(1) $(1345 - 610)/60 \approx 12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro. (2) Es más o menos la mitad del gradiente en la superficie. Parte del calor se produce dentro de la corteza superior; ese calor también tiene que atravesar las capas altas para escapar, lo que hace más fuerte el gradiente cerca de la superficie. Bajo la corteza, solo atraviesa la roca el calor que llega de más abajo, y el gradiente es menor.

Ejercicio 12.11 ★★

En la astenosfera, la temperatura se toma igual a $1300 + 0.45\,z$ (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ , $z$ en kilómetros). Calcúlala a 200 y a $400\,\mathrm{km}$ . ¿Cuánto sube entre las dos? Compáralo con la subida a lo largo de los primeros $100\,\mathrm{km}$ , de $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la superficie a $1345\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la base de la litosfera.

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

A $200\,\mathrm{km}$ : $1300 + 90 = 1390\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; a $400\,\mathrm{km}$ : $1300 + 180 = 1480\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . La subida es de $90\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $200\,\mathrm{km}$ . A través de la litosfera, la temperatura sube $1345 - 15 = 1330\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en solo $100\,\mathrm{km}$ : unas treinta veces más por kilómetro.

Ejercicio 12.12 ★★★

Por debajo de la corteza superior, la geoterma modelo se acerca a $T \approx 118 + G\,z$ (en ${}^{\circ}\mathrm{C}$ , $z$ en kilómetros), donde el gradiente $G$ depende del calor que llega de más abajo. (1) Para $G = 12.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro, como el calculado para el este de Estados Unidos, halla la profundidad a la que se encuentra con $1300 + 0.45\,z$ . (2) Haz lo mismo para $G = 21.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro, como el calculado para la provincia de Basin and Range, en el oeste. (3) Compáralo con los espesores medidos, de unos $40\,\mathrm{km}$ en el oeste a más de $200\,\mathrm{km}$ en el centro del continente.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

(1) $118 + 12.3\,z = 1300 + 0.45\,z$ da $z = 1182/11.85 \approx 100\,\mathrm{km}$ . (2) $118 + 21.5\,z = 1300 + 0.45\,z$ da $z = 1182/21.05 \approx 56\,\mathrm{km}$ . (3) El oeste, más caliente, tiene una litosfera mucho más delgada, como se mide (unos $40\,\mathrm{km}$ donde es más delgada); la litosfera muy gruesa del centro del continente necesita un gradiente todavía menor.

Ejercicio 12.13 ★★★

(1) Demuestra que, en el modelo de Airy, una región cuya corteza es $\Delta H$ más gruesa que la de una región de referencia está más alta en $\Delta H\,(\rho_m - \rho_c)/\rho_m$ . (2) ¿Qué fracción de cualquier espesor adicional de corteza aparece como altura? (3) Compárala con la fracción de un iceberg que sobresale del agua.

Solución

Solución de Ejercicio 12.13.

(1) Por la proposición, $\Delta H = h\,\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ , luego $h = \Delta H\,(\rho_m - \rho_c)/\rho_m$ . (2) $550/3380 \approx 0.16$ : alrededor de una sexta parte de cualquier corteza adicional aparece como altura, y cinco sextas partes como raíz. (3) En el iceberg, la fracción que sobresale del agua es $(1025 - 910)/1025 \approx 0.11$ : la misma regla, (densidad del fluido $-$ densidad del cuerpo que flota)/densidad del fluido.

Ejercicio 12.14 ★★★

A $100\,\mathrm{km}$ , la roca seca del manto empieza a fundirse a $1489\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , y la geoterma modelo está a $1345\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (1) ¿Cuántos grados tendría que bajar el agua la temperatura de fusión para que la roca empezara a fundirse allí? (2) ¿Por qué incluso una fracción muy pequeña de fundido haría débil la roca y frenaría las ondas sísmicas?

Solución

Solución de Ejercicio 12.14.

(1) $1489 - 1345 = 144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (2) Un poco de fundido se reúne en películas finas entre los granos de la roca. Los granos dejan entonces de estar firmemente trabados: la roca resiste peor la cizalla, así que las ondas S se frenan, y puede deformarse y fluir con mucha más facilidad.

Ejercicio 12.15 ★★★

Solo el $3\,\%$ de la superficie de la Tierra se eleva a más de $2\,\mathrm{km}$ , mientras que el $53\,\%$ está a más de $3\,\mathrm{km}$ por debajo del nivel del mar. (1) Si todas las tierras emergidas se aplanaran y su roca se vertiera en los océanos, ¿quedaría la superficie cerca del nivel del mar? Usa la isostasia para explicar tu respuesta. (2) ¿Qué nos dice sobre la corteza la existencia de dos niveles?

Solución

Solución de Ejercicio 12.15.

(1) No. Aplanar las tierras emergidas adelgazaría un poco la corteza continental, pero seguiría siendo gruesa y ligera, y seguiría flotando mucho más alta que la corteza delgada y densa del fondo oceánico; los océanos seguirían llenando las cuencas entre los continentes. (2) Hay dos tipos de corteza, de espesor y densidad distintos: una corteza continental gruesa y ligera y una corteza oceánica delgada y densa.

12.7 Problema: por qué el Tíbet está a cinco kilómetros de altura

Problema 12.1

Problema de fin de semana — pesar una meseta

La meseta del Tíbet es la región alta más extensa de la Tierra. Entre las latitudes $31{}^{\circ}$ y $35{}^{\circ}$ N y las longitudes $80{}^{\circ}$ y $95{}^{\circ}$ E, su altitud media es de $5010\,\mathrm{m}$ ; la altitud media de todas las tierras emergidas fuera de la Antártida es de $670\,\mathrm{m}$ . La corteza continental tiene de media $41.1\,\mathrm{km}$ de espesor y una densidad media $\rho_c = 2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; el manto justo bajo el Moho tiene la densidad $\rho_m = 3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Parte I — La meseta y un continente medio.

¿Cuánto más alta que el continente medio está la meseta?
¿En qué porcentaje es la corteza menos densa que el manto de debajo?
Un bloque de corteza que flotara libremente sobre roca del manto se hundiría hasta que ¿qué fracción de su espesor quedara por debajo de la superficie del manto? Compáralo con el iceberg ( $910$ de $1025$ ).
El manto es sólido. ¿A lo largo de qué intervalos de tiempo se comporta como un sólido, y a lo largo de cuáles puede comportarse como el agua que rodea a un iceberg?
¿Por qué la profundidad de compensación tiene que elegirse por debajo del Moho de las dos columnas?

Parte II — El equilibrio de Airy para dos columnas.

Dibuja las dos columnas, el continente medio y la meseta, desde su superficie hasta una profundidad de $70\,\mathrm{km}$ bajo el nivel del mar, con la corteza de la meseta más gruesa en $\Delta H$ .
Escribe que las dos columnas pesan lo mismo, y deduce $\Delta H$ en función de la diferencia de altura $h$ y de las densidades.
Calcula $\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ .
Calcula la raíz de la meseta por debajo del Moho del continente medio.
¿A qué profundidad bajo el nivel del mar está el Moho del continente medio, y a cuál el de la meseta?

Parte III — El espesor de la corteza.

Calcula el espesor de la corteza bajo la meseta.
Comprueba el equilibrio: calcula, para cada columna, la masa de roca que hay sobre un metro cuadrado hasta $70\,\mathrm{km}$ bajo el nivel del mar, en toneladas.
¿Qué espesor tendría la corteza bajo una llanura al nivel del mar?
¿Cuántas veces más gruesa que la corteza continental media es la corteza bajo el Tíbet?
Si el manto fuera algo más ligero, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , ¿qué espesor daría el modelo? ¿Es el resultado muy sensible a las densidades?

Parte IV — Comparación con las medidas sísmicas.

Las ondas sísmicas convertidas en el Moho lo sitúan a unos $70\,\mathrm{km}$ de profundidad bajo el norte del Tíbet. Compáralo con la pregunta 11.
Justo al norte de la meseta, la cuenca de Qaidam tiene una altitud media de $3230\,\mathrm{m}$ , y su Moho está a unos $50\,\mathrm{km}$ de profundidad. ¿Qué espesor de corteza predice allí el modelo de Airy?
La cuenca de Qaidam está rellena de varios kilómetros de sedimentos, más ligeros que la corteza media. ¿Hace eso que la corteza real sea más delgada o más gruesa que la del modelo? Explícalo.
¿Qué propiedad de la astenosfera hace posible un equilibrio así?
Concluye: ¿qué espesor tiene la corteza bajo el Tíbet, y por qué la meseta está a cinco kilómetros de altura?

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $5.01 - 0.67 = 4.34\,\mathrm{km}$ .

2. $(3380 - 2830)/3380 \approx 16\,\%$ .

3. Quedaría por debajo la fracción $2830/3380 \approx 0.84$ ; el iceberg se hunde algo más, $910/1025 \approx 0.89$ , porque la densidad del hielo está más cerca de la del agua que la de la corteza de la del manto.

4. Durante los segundos de una onda sísmica, o el tiempo de un terremoto, el manto es un sólido; solo a lo largo de muchísimo tiempo fluye la astenosfera y deja flotar la corteza.

5. Por debajo del Moho más profundo, las dos columnas están hechas de la misma roca del manto a las mismas profundidades, y allí pesan lo mismo; todas las diferencias están por encima de esa profundidad y hay que incluirlas.

6. El continente medio: corteza desde $0.67\,\mathrm{km}$ por encima hasta $40.4\,\mathrm{km}$ por debajo del nivel del mar, y luego manto hasta $70\,\mathrm{km}$ . La meseta: corteza desde $5.01\,\mathrm{km}$ sobre el nivel del mar hasta un Moho más profundo en el valor de la raíz, y luego manto hasta $70\,\mathrm{km}$ .

7. La columna de la meseta tiene $h + r$ más de corteza; la del continente tiene, en cambio, manto en el espesor $r$ : $\rho_c\,(h + r) = \rho_m\,r$ , luego $r = h\,\rho_c/(\rho_m - \rho_c)$ y $\Delta H = h + r = h\,\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ .

8. $3380/550 \approx 6.15$ .

9. $\Delta H = 4.34 \times 6.15 \approx 26.7\,\mathrm{km}$ ; la raíz es $26.7 - 4.34 \approx 22.3\,\mathrm{km}$ .

10. El Moho del continente medio está a $41.1 - 0.67 \approx 40.4\,\mathrm{km}$ bajo el nivel del mar; el de la meseta, a $40.4 + 22.3 \approx 62.8\,\mathrm{km}$ bajo el nivel del mar.

11. $41.1 + 26.7 \approx 67.8\,\mathrm{km}$ .

12. Un kilómetro de roca sobre un metro cuadrado tiene una masa de $\rho \times 1000\,\mathrm{m}^{3}$ : $2830$ toneladas de corteza o $3380$ toneladas de manto. Continente: $41.1 \times 2830 + (70 - 40.43) \times 3380 \approx 116\,300 + 99\,900 \approx 216\,300$ toneladas. Meseta: $67.77 \times 2830 + (70 - 62.76) \times 3380 \approx 191\,800 + 24\,500 \approx 216\,300$ toneladas. Las dos son iguales.

13. $41.1 - 0.67 \times 6.15 \approx 37.0\,\mathrm{km}$ .

14. $67.8/41.1 \approx 1.65$ veces.

15. $3300/470 \approx 7.02$ , $\Delta H \approx 4.34 \times 7.02 \approx 30.5\,\mathrm{km}$ , y una corteza de unos $71.6\,\mathrm{km}$ . Un cambio de alrededor del $2\,\%$ en la densidad del manto cambia el espesor en unos $4\,\mathrm{km}$ : el resultado depende de forma apreciable de las densidades, pero se mantiene cerca de $70\,\mathrm{km}$ .

16. El modelo da unos $68\,\mathrm{km}$ , y las ondas sísmicas unos $70\,\mathrm{km}$ : concuerdan con un margen de pocos puntos porcentuales.

17. $h = 3.23 - 0.67 = 2.56\,\mathrm{km}$ , $\Delta H = 2.56 \times 6.15 \approx 15.7\,\mathrm{km}$ , y una corteza de unos $56.8\,\mathrm{km}$ , unos $7\,\mathrm{km}$ más de lo medido.

18. Más delgada. Una columna cuya parte alta es más ligera que la media pesa menos con el mismo espesor, así que flota más alta: una corteza más ligera necesita una raíz menor para estar a una altura dada. Por tanto, la corteza real puede ser más delgada que la del modelo, como se mide.

19. A lo largo de mucho tiempo, la astenosfera fluye: se aparta bajo una columna pesada y vuelve bajo una ligera, hasta que las columnas se equilibran.

20. La corteza bajo el Tíbet tiene unos $70\,\mathrm{km}$ de espesor, mucho más que los $41\,\mathrm{km}$ de un continente medio: la meseta está a cinco kilómetros de altura porque su corteza, gruesa y ligera, flota sobre el manto, más denso, con una raíz de más de $20\,\mathrm{km}$ .

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