24El calor interno de la Tierra

Entre 1987 y 1995, cerca del pueblo de Windischeschenbach, en Baviera, unos geólogos perforaron un pozo de $9101\,\mathrm{m}$ de profundidad en la corteza continental. En el fondo, la roca estaba a unos $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, demasiado caliente para seguir perforando.

De unos $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la superficie a $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $9.1\,\mathrm{km}$ hay una subida de unos $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro, un valor típico. En todas partes de la Tierra hace más calor hacia abajo, así que el calor sale de la Tierra continuamente. Este capítulo mide ese flujo, se pregunta de dónde viene el calor y muestra cómo se desplaza.

Lo que ya sabes

La geoterma es la curva de la temperatura frente a la profundidad bajo un lugar, y el gradiente geotérmico, la subida de la temperatura por kilómetro; los sondeos miden de 25 a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro cerca de la superficie (el Capítulo 12). Algunos átomos son radiactivos: se desintegran al azar, el número de los que quedan se reduce a la mitad en cada periodo de semidesintegración, y cada desintegración libera energía, que acaba en forma de calor (los libros de física). Una celda de convección es un circuito de fluido calentado desde abajo, que asciende, se extiende, se enfría y se hunde (Libro 1, año 8). En un punto caliente, una placa se desplaza sobre una pluma de manto caliente (el Capítulo 13).

24.1 Gradiente y flujo de calor

Definición 24.1 (Flujo de calor)

El flujo de calor (o flujo térmico) en un lugar es la potencia que sale del interior de la Tierra por cada metro cuadrado de su superficie en ese lugar. Se mide en milivatios por metro cuadrado ($\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$).

El calor fluye de lo caliente a lo frío, y cuanto más pronunciado es el gradiente de temperatura, más deprisa fluye. Cuánto fluye depende también de la roca: cada roca tiene una conductividad térmica $k$, en vatios por metro y por kelvin, que definen los libros de física.

Proposición 24.2 (Flujo de calor y gradiente)

A través de una roca de conductividad térmica $k$ en la que la temperatura aumenta con la profundidad según un gradiente $G$ (en kelvins por metro), el flujo de calor hacia la superficie es

$$q = k\,G .$$

Esta ley de la conducción, debida a Fourier, se admite aquí; los libros de física la demuestran en una forma general.

Método 24.3 (Un flujo de calor a partir de un sondeo)

1. Mide la temperatura a varias profundidades de un sondeo, una vez que el pozo ha tenido tiempo de volver a la temperatura de la roca.
2. Representa la temperatura frente a la profundidad y toma la pendiente: el gradiente $G$, convertido a kelvins por metro.
3. Mide la conductividad $k$ de la roca en testigos, en el laboratorio.
4. Multiplica: $q = kG$, en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, y luego convierte a $\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

Ejemplo 24.4 (Un sondeo en granito)

Un sondeo en un granito de conductividad $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ mide un gradiente de $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro, es decir, $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$. Entonces $q = 2.72 \times 0.029 \approx 0.079\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, unos $79\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

Se han combinado más de 38 000 medidas de este tipo en un mapa de toda la Tierra. Los continentes pierden por término medio $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, el fondo oceánico $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; sobre toda la superficie, $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. Multiplicado por la superficie de la Tierra, $5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, el total es

unos 47 teravatios, con un margen de 2.

El fondo oceánico pierde más donde es más joven. La litosfera nueva sale caliente de una dorsal y se enfría a medida que se aleja; su flujo de calor disminuye como uno dividido por la raíz cuadrada de su edad.

24.2 De dónde viene el calor

El calor tiene dos fuentes. La primera es la radiactividad.

Definición 24.5 (Producción de calor radiogénico)

La producción de calor radiogénico de una roca es el calor que libera en su interior la desintegración de sus átomos radiactivos, por unidad de volumen y de tiempo, en microvatios por metro cúbico ($\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$). Casi toda procede de cuatro isótopos: el uranio 238, el uranio 235, el torio 232 y el potasio 40.

Estos elementos están concentrados en las rocas de la corteza continental. Según 2188 análisis, la producción de calor mediana del granito es de $2.43\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, la del basalto de $0.21\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, y la de las rocas ultramáficas del manto de solo $0.11\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, unas veinte veces menos que el granito. Una capa de granito de $10\,\mathrm{km}$ de espesor produce $2.43 \times 10^{-6} \times 10\,000 \approx 0.024\,\mathrm{W}$ bajo cada metro cuadrado, $24\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$: un tercio del flujo de calor de los continentes.

¿Cuánto calor produce la radiactividad en toda la Tierra? KamLAND, un detector subterráneo de Japón que contiene 1000 toneladas de líquido, capta los geoneutrinos, los antineutrinos liberados por la desintegración del uranio y el torio del interior de la Tierra: detectó los primeros en 2005 y, en 2135 días de registro, unos 106 de ellos entre 841 sucesos candidatos. A partir de ese recuento, junto con el de un detector de Italia, el uranio 238 y el torio 232 liberan juntos unos 20 teravatios. El potasio 40 escapa al detector; se sabe que añade unos $4\,\mathrm{TW}$, y el uranio 235, escalado a partir del uranio 238, unos $0.4\,\mathrm{TW}$. La radiactividad aporta, pues, unos $24\,\mathrm{TW}$, aproximadamente la mitad de los $47\,\mathrm{TW}$ que pierde la Tierra.

Definición 24.6 (Enfriamiento secular)

El enfriamiento secular de la Tierra es la lenta pérdida del calor almacenado en su interior desde que se formó, el calor primordial: la parte del flujo de calor que la radiactividad no repone, por la que el manto y el núcleo se van enfriando con las eras.

La radiactividad era más intensa en el pasado. Cada isótopo se desintegra, así que hace mucho había más: un periodo de semidesintegración atrás, el doble, y el doble de calor. Retroceder $t$ años multiplica el calor de un isótopo de periodo de semidesintegración $T$ por $2^{t/T}$.

Proposición 24.7 (El calor radiogénico en el pasado)

Si un isótopo de periodo de semidesintegración $T$ libera hoy una potencia $H_0$, liberaba

$$H(t) = H_0 \, 2^{t/T} = H_0\, e^{\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T},$$

hace un tiempo $t$.

Hace cuatro mil quinientos millones de años, la radiactividad liberaba unos $116\,\mathrm{TW}$, casi cinco veces el valor actual, y la mayor parte procedía del uranio 235 y del potasio 40, los dos isótopos de vida corta, que desde entonces casi han desaparecido. La Tierra joven estaba por dentro mucho más caliente que hoy.

24.3 Conducción y convección

El calor solo puede atravesar un sólido por conducción, de átomo en átomo, y en la roca eso es muy lento. El calor atraviesa por conducción una distancia $L$ en un tiempo de unos $L^2/\kappa$, donde $\kappa$, la difusividad térmica de la roca, es de unos $1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Para los $2891\,\mathrm{km}$ del manto,

unos 260 000 millones de años, casi sesenta veces la edad de la Tierra. Si el manto solo condujera el calor, el calor de sus profundidades seguiría casi todo allí.

El manto es sólido, pero a lo largo de millones de años repta, muy despacio, como un fluido muy rígido: la astenosfera fluye (el Capítulo 12). Así que el manto pierde su calor como el aire que hay sobre un radiador: transportándolo.

Definición 24.8 (Convección térmica; convección del manto)

La convección térmica es el transporte de calor por el movimiento del propio material: el material más caliente y ligero asciende, y el más frío y denso se hunde, como en una celda de convección. La convección del manto es la convección térmica del manto sólido de la Tierra, que repta a unos pocos centímetros al año y lleva el calor del interior hacia la superficie.

Las placas son la parte superior de esta convección. En las dorsales, el manto caliente asciende y se añade a las placas; la litosfera se enfría a medida que se aleja, se vuelve densa y se hunde por su propio peso en las zonas de subducción: las losas son la parte fría y descendente del flujo, y las imágenes sísmicas las muestran hundiéndose hasta muy hondo en el manto. Se cree que bajo los puntos calientes ascienden plumas de roca caliente desde lo profundo del manto, quizá desde justo encima del núcleo.

Así, la mayor parte del calor sale del manto por convección, y solo las últimas decenas de kilómetros, a través de la litosfera rígida, se atraviesan por conducción: la conducción que miden los sondeos.

24.4 La energía geotérmica

Definición 24.9 (Energía geotérmica)

La energía geotérmica es el calor del interior de la Tierra que aprovecha el ser humano: agua caliente o vapor procedentes de roca caliente, extraídos por pozos para calefacción o para producir electricidad.

El calor que sale de la Tierra es minúsculo allí donde llega a la superficie, unos $0.1\,\mathrm{W}$ bajo cada metro cuadrado, demasiado poco para aprovecharlo directamente. Se vuelve aprovechable donde se concentra a poca profundidad. Cerca de los volcanes, los rifts y los puntos calientes, y a lo largo de los límites de placas, la roca caliente se acerca a la superficie, y el agua que circula por la roca permeable vuelve caliente. Una central eléctrica necesita agua muy caliente o vapor, de unos 150 a $370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; algunos campos dan vapor seco, que mueve directamente las turbinas. La primera electricidad obtenida del calor de la Tierra se produjo en 1904 en Larderello, en la Toscana: encendió cinco bombillas. En otros lugares, el agua caliente de poca profundidad se lleva por tuberías a los edificios para calentarlos.

Un campo geotérmico no es inagotable a la escala de una vida humana. En The Geysers, en California, demasiados pozos extrajeron el vapor más deprisa de lo que el lento flujo de calor y la lluvia podían reponerlo: la presión del vapor cayó a menos de la mitad de su máximo, y se perdió más del $40\,\%$ de la capacidad de las centrales. Hoy se vuelve a inyectar agua en el campo para frenar el declive.

24.5 Ejercicios

Ejercicio 24.1 ★

Da la palabra: (a) la potencia que sale del interior por cada metro cuadrado de superficie; (b) el calor liberado por la desintegración de los átomos radiactivos en una unidad de volumen de roca; (c) la pérdida del calor almacenado desde que se formó la Tierra; (d) el transporte de calor por el movimiento del propio material; (e) el calor interno de la Tierra que aprovecha el ser humano.

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

(a) el flujo de calor; (b) la producción de calor radiogénico; (c) el enfriamiento secular; (d) la convección térmica; (e) la energía geotérmica.

Ejercicio 24.2 ★

Convierte: (1) $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; (2) $46.7\,\mathrm{TW}$ en vatios; (3) $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro en kelvins por metro.

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

(1) $0.0916\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (2) $4.67 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$. (3) $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$: una diferencia de un grado Celsius es una diferencia de un kelvin.

Ejercicio 24.3 ★

Nombra los cuatro isótopos que producen casi todo el calor radiogénico, y di cuáles dos puede ver el detector KamLAND.

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

Torio 232, uranio 238, potasio 40 y uranio 235. KamLAND solo ve los geoneutrinos del torio 232 y del uranio 238.

Ejercicio 24.4 ★

Con $q = 490/\sqrt{t}$, calcula el flujo de calor a través de un fondo oceánico de 1, 4, 25 y 49 millones de años.

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

$490/\sqrt{1} = 490\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/2 = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/5 = 98\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/7 = 70\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, más o menos la media de los continentes.

Ejercicio 24.5 ★

¿Por qué el flujo de calor se mide en sondeos y no en la propia superficie? ¿Por qué hay que esperar tras la perforación antes de medir?

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

Cerca de la superficie, la temperatura del suelo sigue los días y las estaciones; solo por debajo de unos metros se mantiene en la temperatura media del año, y solo a más profundidad aún muestra el calor que llega de abajo. La perforación remueve la roca y el agua del pozo y cambia su temperatura, así que se espera a que el pozo haya vuelto a la temperatura de la roca.

Ejercicio 24.6 ★★

En el sondeo KTB, la roca estaba a unos $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $9.1\,\mathrm{km}$. (1) Tomando $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la superficie, calcula el gradiente medio. (2) Con una conductividad de $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$, ¿qué flujo de calor da? (3) Compáralo con la media de los continentes.

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

(1) $(265 - 10)/9.1 \approx 28.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro, es decir, $0.0280\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$. (2) $q = 2.72 \times 0.0280 \approx 0.0762\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, unos $76\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (3) Algo por encima de la media de los continentes, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, alrededor de un $7\,\%$: un valor continental típico.

Ejercicio 24.7 ★★

Los continentes cubren $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ con un flujo de calor medio de $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, y los océanos $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ con $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. Calcula la potencia que pierde cada uno, el total y la fracción que se pierde a través del fondo oceánico.

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

Continentes: $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 1.47 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.7\,\mathrm{TW}$. Océanos: $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 3.19 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 31.9\,\mathrm{TW}$. Total, unos $46.6\,\mathrm{TW}$, de los que $31.9/46.6 \approx 68\,\%$, dos tercios, salen a través del fondo oceánico.

Ejercicio 24.8 ★★

Una capa de granodiorita de $8\,\mathrm{km}$ de espesor tiene una producción de calor de $1.88\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$. (1) ¿Qué flujo de calor produce en la superficie? (2) ¿Qué fracción es de $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$?

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

(1) $1.88 \times 10^{-6} \times 8000 \approx 0.0150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 15.0\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (2) $15.0/70.9 \approx 21\,\%$, una quinta parte del flujo de calor.

Ejercicio 24.9 ★★

¿A qué edad pierde el fondo oceánico tanto calor como el continente medio, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, según $q = 490/\sqrt{t}$?

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

$\sqrt{t} = 490/70.9 \approx 6.91$, así que $t \approx 47.8$ millones de años: el fondo oceánico de más de unos 48 millones de años pierde menos calor que el continente medio.

Ejercicio 24.10 ★★

¿Cuánto más calor liberaba el uranio 235 hace 1400 millones de años que hoy? ¿Y el potasio 40 hace 2500 millones de años?

Solución

Solución de Ejercicio 24.10.

Uranio 235: $2^{1.4/0.704} = 2^{1.99} \approx 4$ veces más. Potasio 40: $2^{2.5/1.248} = 2^{2.00} \approx 4$ veces más. En los dos casos se retroceden dos periodos de semidesintegración.

Ejercicio 24.11 ★★

Con $t \approx L^2/\kappa$ y $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, ¿cuánto tarda el calor en atravesar por conducción (1) una colada de lava de $10\,\mathrm{m}$ de espesor; (2) una litosfera de $100\,\mathrm{km}$ de espesor; (3) el manto? Expresa cada resultado en unidades razonables.

Solución

Solución de Ejercicio 24.11.

(1) $10^2/10^{-6} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, unos 3 años. (2) $(10^5)^2/10^{-6} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{s}$, unos 320 millones de años. (3) $(2.891 \times 10^{6})^2/10^{-6} \approx 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, unos 265 000 millones de años. El tiempo crece como el cuadrado de la distancia: diez veces más grueso, cien veces más largo.

Ejercicio 24.12 ★★★

Hoy, el torio 232 libera unos $10.4\,\mathrm{TW}$, el uranio 238 $9.6\,\mathrm{TW}$, el potasio 40 $4.0\,\mathrm{TW}$ y el uranio 235 $0.42\,\mathrm{TW}$. Con los periodos de semidesintegración de la figura, calcula el calor de cada uno hace 3000 millones de años, el total y la fracción de los dos isótopos de vida corta.

Solución

Solución de Ejercicio 24.12.

Multiplica cada uno por $2^{3/T}$: torio 232, $10.4 \times 2^{3/14.0} \approx 12.1\,\mathrm{TW}$; uranio 238, $9.6 \times 2^{3/4.468} \approx 15.3\,\mathrm{TW}$; potasio 40, $4.0 \times 2^{3/1.248} \approx 21.2\,\mathrm{TW}$; uranio 235, $0.42 \times 2^{3/0.704} \approx 8.1\,\mathrm{TW}$. Total, unos $56.7\,\mathrm{TW}$, más del doble de los $24.4\,\mathrm{TW}$ actuales. Los dos isótopos de vida corta aportan $(21.2 + 8.1)/56.7 \approx 52\,\%$, frente a $4.42/24.4 \approx 18\,\%$ hoy.

Ejercicio 24.13 ★★★

La central de Nesjavellir puede suministrar hasta $300\,\mathrm{MW}$ de calor, transportados por unos $1640\,\mathrm{L}$ de agua caliente por segundo. Con un calor específico de $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ y una masa de $1\,\mathrm{kg}$ por litro, ¿cuántos grados se ha calentado esta agua? ¿Qué superficie de continente medio pierde $300\,\mathrm{MW}$ de calor?

Solución

Solución de Ejercicio 24.13.

La potencia es la masa por segundo por el calor específico por el calentamiento: $3 \times 10^{8} = 1640 \times 4180 \times \Delta T$, así que $\Delta T = 3 \times 10^{8}/(1640 \times 4180) \approx 44\,\mathrm{K}$. El continente medio pierde $0.0709\,\mathrm{W}$ por metro cuadrado, así que $300\,\mathrm{MW}$ son la pérdida natural de calor de $3 \times 10^{8}/0.0709 \approx 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, unos $4200\,\mathrm{km}^{2}$: la central recoge un calor que la Tierra deja escapar de forma natural a lo largo de miles de kilómetros cuadrados.

Ejercicio 24.14 ★★★

Supón que una placa tarda 100 millones de años en ir de una dorsal a una fosa, y un circuito de convección por todo el manto unos 200 millones de años. (1) Compara estos tiempos con los 260 000 millones de años de la conducción a través del manto. (2) ¿Por qué la convección puede transportar el calor mucho más deprisa, aunque el manto solo se mueva unos centímetros al año?

Solución

Solución de Ejercicio 24.14.

(1) 100 millones de años son $2.6 \times 10^{11}/1 \times 10^{8} = 2600$ veces menos que 260 000 millones de años; 200 millones de años, 1300 veces menos. (2) La convección lleva el calor con la roca en movimiento: el tiempo para atravesar el manto es su espesor dividido por la velocidad, $2891\,\mathrm{km}$ a unos pocos centímetros al año, unos cien millones de años. La conducción no tiene ese vehículo: su tiempo crece como el cuadrado de la distancia, y a lo largo de miles de kilómetros se vuelve enorme.

Ejercicio 24.15 ★★★

Supón que el núcleo pierde unos $10\,\mathrm{TW}$ de calor hacia el manto a través del límite núcleo–manto, a $2891\,\mathrm{km}$ de profundidad. (1) ¿Qué fracción del enfriamiento secular, $22.3\,\mathrm{TW}$, sería? ¿De dónde viene el resto? (2) Calcula el flujo de calor medio a través del límite núcleo–manto, y compáralo con el flujo de calor medio en la superficie, $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (3) ¿Por qué el núcleo caliente puede calentar la base del manto aunque el manto sea sólido?

Solución

Solución de Ejercicio 24.15.

(1) $10/22.3 \approx 45\,\%$; el resto es el enfriamiento del propio manto, que pierde su propio calor almacenado. (2) El límite está a un radio de $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$; su superficie es $4\pi (3.48 \times 10^{6})^2 \approx 1.52 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, y $1 \times 10^{13}/1.52 \times 10^{14} \approx 0.066\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, unos $66\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, alrededor del $72\,\%$ de la media en la superficie. (3) El calor atraviesa el límite por conducción hasta la capa más baja del manto; al calentarse, esta roca se vuelve más ligera que el manto que tiene encima y puede ascender, llevando el calor hacia arriba: así se cree que nacen las plumas, en lo profundo.

Problema 24.1

Problema de fin de semana — El balance de calor de la Tierra

El flujo de calor de la Tierra se ha medido en más de 38 000 lugares. Por término medio, los continentes pierden $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, y el fondo oceánico $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$.

Parte I — Flujo de calor y superficies.

1. Comprueba que las dos superficies suman la superficie de una esfera de $6371\,\mathrm{km}$ de radio.
2. ¿Qué fracción de la superficie es fondo oceánico?
3. ¿Por qué el fondo oceánico pierde más calor por metro cuadrado que los continentes?
4. Con $q = 490/\sqrt{t}$, calcula el flujo de calor a través de un fondo oceánico de 4 millones de años.
5. Un sondeo en granito ($2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$) mide $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro. ¿Está su flujo de calor por encima o por debajo de la media continental?

Parte II — El total.

6. Calcula la potencia que se pierde a través de los continentes.
7. Calcula la potencia que se pierde a través del fondo oceánico.
8. Súmalas: el flujo de calor total de la Tierra, en teravatios.
9. ¿Cuál es el flujo de calor medio sobre toda la superficie?
10. Si bajo cada continente hubiera $10\,\mathrm{km}$ de granito ($24.3\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$), ¿cuántos teravatios produciría? Compáralo con la potencia que se pierde a través de los continentes.

Parte III — El calor radiogénico.

11. KamLAND cuenta los geoneutrinos del uranio 238 y del torio 232: juntos liberan unos $20.0\,\mathrm{TW}$, con $3.9\,\mathrm{kg}$ de torio en la Tierra por cada kilogramo de uranio. Un kilogramo de uranio libera $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ con su uranio 238 y $4.10\,\text{µ}\mathrm{W}$ con su uranio 235; un kilogramo de torio, $26.3\,\text{µ}\mathrm{W}$. Calcula el calor del uranio 238 y luego el del uranio 235.
12. El potasio 40 añade unos $4\,\mathrm{TW}$. Calcula el calor radiogénico total.
13. ¿Qué tipo de roca lleva la mayor parte de estos elementos, y dónde está?
14. ¿Era el calor radiogénico mayor o menor hace 3000 millones de años? ¿Por qué?

Parte IV — El enfriamiento secular.

15. ¿Qué potencia no aporta la radiactividad?
16. ¿De dónde procede?
17. Calcula la fracción del flujo de calor que aporta el enfriamiento secular.
18. Los modelos de la composición de la Tierra dan un calor radiogénico de 11 a $38\,\mathrm{TW}$. ¿Entre qué fracciones se encuentra entonces la parte radiogénica?
19. ¿Qué transporta la mayor parte de este calor a través del manto?
20. En resumen: ¿qué fracción de la pérdida de calor de la Tierra aporta hoy la radiactividad?

Solución

Solución de Problema 24.1.

1. $4\pi (6.371 \times 10^{6})^2 \approx 5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, y $2.073 + 3.028 = 5.101$: sí.

2. $3.028/5.101 \approx 59\,\%$, unas tres quintas partes.

3. El fondo oceánico es joven: se forma caliente en las dorsales y se enfría a medida que se aleja, y la litosfera joven pierde mucho calor.

4. $490/\sqrt{4} = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

5. $2.72 \times 0.026 \approx 0.0707\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 70.7\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$: justo por debajo de la media, prácticamente igual a ella.

6. $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 14.7\,\mathrm{TW}$.

7. $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 31.9\,\mathrm{TW}$.

8. $14.7 + 31.9 \approx 46.6\,\mathrm{TW}$, los $47\,\mathrm{TW}$ de la estimación publicada (la media global del capítulo da $46.7\,\mathrm{TW}$, el valor que se usa a continuación).

9. $4.66 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} \approx 0.0914\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, unos $91\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

10. $0.0243 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 5.0\,\mathrm{TW}$, un tercio de los $14.7\,\mathrm{TW}$ que se pierden a través de los continentes: la radiactividad de la corteza continental es una gran parte de su flujo de calor.

11. Por cada kilogramo de uranio, la Tierra contiene $3.9\,\mathrm{kg}$ de torio, que liberan $3.9 \times 26.3 \approx 102.6\,\text{µ}\mathrm{W}$, frente a los $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ del uranio 238. El uranio 238 aporta, pues, $94.4/(94.4 + 102.6) \approx 0.479$ de los $20.0\,\mathrm{TW}$: unos $9.6\,\mathrm{TW}$. Uranio 235: $9.59 \times 4.10/94.4 \approx 0.42\,\mathrm{TW}$.

12. $20.0 + 0.42 + 4 \approx 24.4\,\mathrm{TW}$.

13. El granito y las demás rocas de la corteza continental, unas veinte veces más ricas que las rocas ultramáficas del manto.

14. Mayor: cada isótopo era entonces más abundante, el doble por cada periodo de semidesintegración hacia atrás; hace 3000 millones de años, el total era más del doble del actual.

15. $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$.

16. Del calor almacenado desde que se formó la Tierra: el enfriamiento secular del manto y del núcleo.

17. $22.3/46.7 \approx 48\,\%$.

18. Del $11/46.7 \approx 24\,\%$ al $38/46.7 \approx 81\,\%$: los geoneutrinos estrechan mucho este intervalo.

19. La convección del manto, que transporta la mayor parte del calor; solo las últimas decenas de kilómetros se atraviesan por conducción.

20. $24.4/46.7 \approx 0.52$: la radiactividad aporta hoy alrededor de la mitad de la pérdida de calor de la Tierra, y el lento enfriamiento del planeta, la otra mitad.