11Las ondas sísmicas revelan el interior

El 8 de octubre de 1909, un terremoto sacudió el valle del río Kupa, a unos $40\,\mathrm{km}$ al sureste de Zagreb, en Croacia. Unos meses antes, Andrija Mohorovičić había instalado un sismógrafo nuevo en el Observatorio Meteorológico de Zagreb, que registró todo el suceso. Después pidió sus registros a otros observatorios y reunió los de 41 estaciones. En los registros de las estaciones más lejanas encontró algo inesperado: dos ondas P separadas, una débil y luego otra más fuerte, donde debería haber habido una sola. De ese par de ondas dedujo que la roca situada bajo la corteza es distinta, y midió la profundidad del límite. Este capítulo muestra cómo los instantes en que llegan las ondas de los terremotos revelan las capas de la Tierra: la base de la corteza, el núcleo y su parte externa líquida, y todo el interior, profundidad a profundidad.

Lo que ya sabes

Un terremoto empieza en un punto del interior de la Tierra, el hipocentro; el punto de la superficie situado justo encima es el epicentro. Un sismómetro registra las sacudidas del suelo, y la magnitud mide el tamaño de un terremoto (Libro 1, año 7). La Tierra tiene una corteza, un manto y un núcleo; el núcleo tiene una parte externa líquida y una parte interna sólida. Las ondas de los terremotos son de dos tipos principales, las ondas P, más rápidas, y las ondas S, más lentas, y las ondas S no pueden atravesar un líquido (Libro 1, año 6). Una onda que atraviesa el límite entre dos materiales en los que viaja a las velocidades $v_1$ y $v_2$ se refracta: $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$, donde los ángulos se miden respecto a la perpendicular al límite (ley de Snell; los libros de física).

11.1 Las ondas sísmicas y los tiempos de recorrido

11.1.1 Dos tipos de ondas internas

Un terremoto envía ondas en todas las direcciones. Unas viajan por la superficie; otras, las ondas internas, viajan por el interior de la Tierra, y son ellas las que lo revelan.

Definición 11.1 (Onda P; onda S)

Una onda P es una onda sísmica que comprime y estira alternativamente la roca: la roca se mueve hacia delante y hacia atrás en la dirección en la que viaja la onda. Atraviesa sólidos, líquidos y gases, y es la onda sísmica más rápida, así que llega la primera. Una onda S cizalla la roca: la roca se mueve perpendicularmente a la dirección en la que viaja la onda. Solo atraviesa sólidos, y llega después de la onda P.

Un líquido fluye y no opone resistencia a un cambio de forma, así que no puede transmitir una cizalla: por eso las ondas S se detienen en la superficie de un líquido. En la mayoría de las rocas, una onda P viaja unas $\sqrt 3 \approx 1.7$ veces más deprisa que una onda S. En la corteza superior, una onda P viaja a unos $5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y una onda S a unos $3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; justo debajo de la corteza alcanzan unos $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

11.1.2 Las curvas de tiempos de recorrido

La distancia de un terremoto a una estación lejana se mide como un ángulo: el ángulo $\Delta$ en el centro de la Tierra entre el epicentro y la estación, la distancia epicentral. Un grado de esta distancia equivale a $111.2\,\mathrm{km}$ a lo largo de la superficie.

Definición 11.2 (Tiempo de recorrido; curva de tiempos de recorrido)

El tiempo de recorrido de una onda sísmica en una estación es el tiempo que tarda en ir del hipocentro a la estación. La curva de tiempos de recorrido de una onda es la gráfica de su tiempo de recorrido en función de la distancia epicentral de la estación.

Una estación registra el instante en que llega cada onda; cuando se conoce el instante del terremoto, la diferencia es el tiempo de recorrido. Miles de terremotos registrados por miles de estaciones han dado las curvas de tiempos de recorrido con mucha precisión. En la figura, las curvas se han calculado con el modelo terrestre de referencia de la Sección 11.4, y los puntos son tiempos de recorrido observados en terremotos reales: los dos concuerdan en todas partes con un margen del dos por ciento, y casi siempre con uno o dos segundos.

La curva S sube con más pendiente que la curva P, así que el retraso entre las dos llegadas crece con la distancia. Esto da la distancia de un terremoto a partir de un solo registro.

Método 11.3 (Distancia de un terremoto a partir del retraso S–P)

1. En el registro, lee el instante de la primera onda P y el de la primera onda S; su diferencia es el retraso S–P.
2. En las curvas de tiempos de recorrido (o en una tabla de ellas), busca la distancia epicentral a la que la curva S está ese retraso por encima de la curva P.
3. Si hace falta, conviértela a kilómetros con $111.2\,\mathrm{km}$ por grado.

Con tres estaciones, el epicentro es el punto que está a la distancia correcta de las tres.

Ejemplo 11.4 (Un terremoto a $60{}^{\circ}$)

Los tiempos de recorrido observados son de $608\,\mathrm{s}$ para la P y $1101\,\mathrm{s}$ para la S a $60{}^{\circ}$, y de $536\,\mathrm{s}$ y $967\,\mathrm{s}$ a $50{}^{\circ}$. Una estación que registra una onda S $493\,\mathrm{s}$ (8 minutos 13 segundos) después de la onda P está, por tanto, a $60{}^{\circ}$ del epicentro: unos $60 \times 111.2 \approx 6670\,\mathrm{km}$. A $50{}^{\circ}$, el retraso solo sería de $431\,\mathrm{s}$.

11.2 La refracción y el Moho

11.2.1 La onda que corre a lo largo de un límite

En el interior de la Tierra, la velocidad de las ondas sísmicas cambia con la profundidad, casi siempre de forma gradual, pero en algunos lugares de golpe.

Definición 11.5 (Discontinuidad sísmica)

Una discontinuidad sísmica es una superficie del interior de la Tierra a través de la cual la velocidad de las ondas sísmicas cambia bruscamente — en un espesor mucho menor que la longitud de las ondas.

En una discontinuidad, parte de la onda se refleja y parte se refracta. Tomemos una capa de espesor $h$ en la que las ondas P viajan a $v_1$, sobre una capa en la que son más rápidas, $v_2 > v_1$. Un rayo que baja con el ángulo $i$ respecto a la vertical se refracta con el ángulo $r$ dado por $\sin r = (v_2/v_1)\sin i$: se aparta de la vertical. Cuando $\sin i$ llega a $v_1/v_2$, el rayo refractado corre exactamente a lo largo del límite. El ángulo

es el ángulo crítico. La onda refractada con el ángulo crítico viaja por la parte alta de la capa más rápida a la velocidad $v_2$ y, a medida que avanza, devuelve ondas hacia arriba, a la capa superior, todas con el ángulo $i_c$: llegan a la superficie como la onda de cabeza.

Proposición 11.6 (Tiempo de recorrido de la onda de cabeza)

Para una fuente en la superficie, una estación situada a la distancia $x \ge 2h\tan i_c$ recibe la onda de cabeza al cabo de

$$t(x) = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}.$$

Su curva de tiempos de recorrido es una recta de pendiente $1/v_2$ que, prolongada hacia atrás, corta el eje de tiempos en el tiempo de intercepción $t_i = 2h\cos i_c/v_1$.

La onda directa llega al cabo de $x/v_1$: su curva es una recta que pasa por el origen, con más pendiente que la recta de la onda de cabeza. Cerca de la fuente llega primero la onda directa; lejos, la onda de cabeza, que ha hecho la mayor parte del camino a la velocidad más alta, la adelanta.

Proposición 11.7 (Distancia de cruce)

La onda de cabeza llega antes que la onda directa más allá de la distancia de cruce

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

11.2.2 La base de la corteza

Definición 11.8 (Moho)

La discontinuidad de Mohorovičić, o Moho, es la discontinuidad sísmica de la base de la corteza, donde la velocidad de las ondas P salta de, como mucho, unos $7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a unos $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, la velocidad de la parte más alta del manto.

Historia — Mohorovičić y las dos ondas P, 1909

Andrija Mohorovičić (1857–1936) descubrió, en los registros del terremoto de 1909, que más allá de cierta distancia — en general entre 100 y $150\,\mathrm{km}$ — una onda P débil y más rápida llegaba antes que la onda P fuerte. La explicó como una onda que había viajado por una roca más rápida situada bajo la corteza. Llamó a las dos ondas Pg (la onda directa en la corteza) y Pn (la onda de cabeza a lo largo de la parte alta del manto), hizo lo mismo con las ondas S y dedujo las velocidades de las dos capas y la profundidad del límite entre ellas. La onda Pn viaja a unos $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, la velocidad de la parte más alta del manto. Sus artículos de 1910 demostraron que la corteza y el manto son distintos; el límite lleva su nombre.

Método 11.9 (Profundidad del Moho a partir de un diagrama de tiempos de recorrido)

1. Representa los instantes de las primeras llegadas en función de la distancia al epicentro.
2. Traza la recta de la onda directa (que pasa por el origen) y la recta de la onda de cabeza; sus pendientes son $1/v_1$ y $1/v_2$.
3. Prolonga hacia atrás la recta de la onda de cabeza hasta el eje de tiempos: lo corta en el tiempo de intercepción $t_i$.
4. Con $\sin i_c = v_1/v_2$, el espesor de la corteza es $h = \dfrac{v_1\,t_i}{2\cos i_c}$.

Ejemplo 11.10 (Una corteza de $30\,\mathrm{km}$ de espesor)

Con $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\sin i_c = 0.765$, $i_c \approx 49.9{}^{\circ}$ y $\cos i_c \approx 0.644$. Un tiempo de intercepción de $6.23\,\mathrm{s}$ da $h = 6.2 \times 6.23/(2 \times 0.644) \approx 30\,\mathrm{km}$. La onda de cabeza llega por primera vez a la superficie a $2h\tan i_c \approx 71\,\mathrm{km}$ y adelanta a la onda directa más allá de $x_c = 60\sqrt{14.3/1.9} \approx 165\,\mathrm{km}$.

Medido así en todo el mundo, el Moho está solo a unos $5\,\mathrm{km}$ por debajo del fondo de los océanos. Bajo los continentes está de media a unos $41\,\mathrm{km}$ de profundidad: unos $30\,\mathrm{km}$ donde la corteza se ha estirado, más de $45\,\mathrm{km}$ bajo las cordilleras y hasta unos $100\,\mathrm{km}$ bajo las cordilleras más altas. La corteza es una piel delgada: incluso $41\,\mathrm{km}$ son menos del uno por ciento del radio de la Tierra.

11.3 El núcleo

11.3.1 Rayos que se curvan

En el manto, la velocidad de las ondas sísmicas aumenta con la profundidad. Un rayo que baja atraviesa rocas cada vez más rápidas y, por la ley de Snell, se aparta un poco más de la vertical a cada paso: su trayectoria se curva y vuelve a subir hacia la superficie. Cuanto más hondo da la vuelta un rayo, más lejos del terremoto vuelve a salir. La figura muestra rayos así, calculados con las velocidades del modelo terrestre de referencia.

11.3.2 La zona de sombra y el núcleo externo líquido

En 1906, el sismólogo Oldham observó que las ondas P registradas en el lado de la Tierra opuesto a un terremoto llegaban con retraso respecto a los tiempos esperados, y propuso un núcleo central en el que viajan más despacio. En 1912, Gutenberg mostró que las ondas P no alcanzan toda una franja de distancias, entre unos $105{}^{\circ}$ y $143{}^{\circ}$, con llegadas fuertes justo más allá de $143{}^{\circ}$; en 1914 situó el techo del núcleo a $2900\,\mathrm{km}$ de profundidad.

Definición 11.11 (Zona de sombra)

La zona de sombra de una onda sísmica es el intervalo de distancias epicentrales que la onda no puede alcanzar directamente desde un terremoto, porque el núcleo la desvía o la detiene.

Los rayos lo explican. Los rayos P que dan la vuelta justo por encima del núcleo vuelven a salir a unos $100{}^{\circ}$ del terremoto. Un rayo que baja un poco más inclinado entra en el núcleo, donde la velocidad P cae bruscamente de $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a unos $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: por la ley de Snell se desvía hacia la vertical, atraviesa el núcleo y sale mucho más lejos, más allá de unos $144{}^{\circ}$. Ningún rayo P que dé la vuelta en el manto y ningún rayo P que atraviese el núcleo cae entre medias. En el modelo de referencia, la zona de sombra de las ondas P va de $98.5{}^{\circ}$ a $143.8{}^{\circ}$, cerca de los $105{}^{\circ}$–$143{}^{\circ}$ de Gutenberg.

Las ondas S dicen más. Ninguna onda S atraviesa el núcleo externo: el núcleo externo no transmite ondas de cizalla, así que es líquido. Como resultado, ninguna onda S llega directamente más allá de unos $103{}^{\circ}$ en el modelo de referencia — en todo el lado opuesto de la Tierra.

Definición 11.12 (Límite núcleo–manto; límite del núcleo interno)

El límite núcleo–manto es la discontinuidad sísmica entre el manto sólido y el núcleo externo líquido, a una profundidad de $2891\,\mathrm{km}$; allí la velocidad P cae de unos $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a unos $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, y las ondas S se detienen. El límite del núcleo interno, a una profundidad de $5150\,\mathrm{km}$, separa el núcleo externo líquido del núcleo interno sólido; allí la velocidad P salta de unos $10.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a unos $11.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

La zona de sombra no está del todo en silencio: en ella llegan ondas P débiles. Inge Lehmann las explicó en 1936 con un núcleo interno sólido en el que las ondas P viajan más deprisa (Libro 1, año 6). Los rayos muestran cómo. Un rayo P que llega al núcleo interno se aparta de la vertical donde la velocidad salta hacia arriba, como en el Moho, y sale antes del núcleo: en el modelo de referencia, los rayos que atraviesan el núcleo interno llegan a la superficie a partir de unos $121{}^{\circ}$, dentro de la zona de sombra (curva punteada de la figura de los tiempos de recorrido).

11.4 Un modelo terrestre de referencia

Reunidos, millones de tiempos de recorrido dan la velocidad de las ondas P y S a cada profundidad. Esas velocidades dependen de la roca y de su densidad, y la masa total de la Tierra fija su densidad media; juntas dan también la densidad a cada profundidad.

Definición 11.13 (Modelo terrestre de referencia)

Un modelo terrestre de referencia es una tabla de la velocidad de las ondas P, la velocidad de las ondas S y la densidad en función de la profundidad, igual en todas las direcciones, elegida para concordar con los tiempos de recorrido observados de las ondas sísmicas y con la masa de la Tierra.

El más usado es el Preliminary Reference Earth Model (PREM), publicado por A. M. Dziewonski y D. L. Anderson en 1981. Los rayos y los tiempos de recorrido de este capítulo se han calculado con él: el tiempo de recorrido P a $60{}^{\circ}$, por ejemplo, sale de $607\,\mathrm{s}$, frente a los $608\,\mathrm{s}$ observados.

Leyendo el modelo desde arriba:

• la corteza, con velocidades P de 5.8 a $6.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, termina en el Moho (a $24.4\,\mathrm{km}$ en este modelo medio);
• en el manto, las velocidades aumentan con la profundidad, con saltos bruscos más pequeños, los mayores hacia $400\,\mathrm{km}$ y $670\,\mathrm{km}$;
• a $2891\,\mathrm{km}$, la velocidad S cae a cero y la velocidad P baja más de $5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: el núcleo externo líquido;
• a $5150\,\mathrm{km}$, vuelven a existir ondas S: el núcleo interno sólido, de $1220\,\mathrm{km}$ de radio.

La densidad sube de $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ en la corteza a $5.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ en la base del manto, salta después a $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ en el techo del núcleo y llega a $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ en el centro. La densidad media de todo el modelo es de $5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, el doble que la de las rocas de la corteza: el interior profundo, y sobre todo el núcleo, está hecho de un material mucho más denso que el de la superficie. El núcleo contiene alrededor de un tercio de la masa de la Tierra.

11.5 Ejercicios

Ejercicio 11.1 ★

Da dos diferencias entre las ondas P y las ondas S. ¿Cuál registra primero un sismómetro, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 11.1.

Una onda P comprime y estira la roca, que se mueve en la dirección de propagación; una onda S la cizalla, y la roca se mueve perpendicularmente a esa dirección. Las ondas P atraviesan sólidos y líquidos; las ondas S, solo sólidos. La onda P se registra primero, porque es la más rápida de las dos.

Ejercicio 11.2 ★

Una estación está a $40{}^{\circ}$ de un epicentro. ¿A qué distancia está, medida a lo largo de la superficie? ¿A cuántos grados está una estación situada a $8900\,\mathrm{km}$ de un epicentro?

Solución

Solución de Ejercicio 11.2.

$40 \times 111.2 = 4448\,\mathrm{km}$, unos $4450\,\mathrm{km}$. $8900/111.2 \approx 80{}^{\circ}$.

Ejercicio 11.3 ★

Los tiempos de recorrido observados a $40{}^{\circ}$ son de $456\,\mathrm{s}$ para la P y de $822\,\mathrm{s}$ para la S. Conviértelos a minutos y segundos, y da el retraso S–P.

Solución

Solución de Ejercicio 11.3.

$456\,\mathrm{s}$ son 7 minutos 36 segundos; $822\,\mathrm{s}$ son 13 minutos 42 segundos. El retraso S–P es de $822 - 456 = 366\,\mathrm{s}$, es decir, 6 minutos 6 segundos.

Ejercicio 11.4 ★

Una corteza en la que las ondas P viajan a $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ descansa sobre un manto donde viajan a $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcula el ángulo crítico.

Solución

Solución de Ejercicio 11.4.

$\sin i_c = 6.0/8.0 = 0.75$, luego $i_c \approx 48.6{}^{\circ}$.

Ejercicio 11.5 ★

En el modelo de referencia, el límite núcleo–manto está a $2891\,\mathrm{km}$ de profundidad y el límite del núcleo interno a $5150\,\mathrm{km}$; el radio de la Tierra es de $6371\,\mathrm{km}$. Calcula el espesor del núcleo externo, el radio del núcleo y el radio del núcleo como fracción del radio de la Tierra.

Solución

Solución de Ejercicio 11.5.

El núcleo externo tiene $5150 - 2891 = 2259\,\mathrm{km}$ de espesor. El radio del núcleo es $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$, y $3480/6371 \approx 0.55$: algo más de la mitad del radio de la Tierra.

Ejercicio 11.6 ★★

Los retrasos S–P observados son de $224\,\mathrm{s}$ a $20{}^{\circ}$, $298\,\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}$, $366\,\mathrm{s}$ a $40{}^{\circ}$, $431\,\mathrm{s}$ a $50{}^{\circ}$ y $493\,\mathrm{s}$ a $60{}^{\circ}$. Una estación registra una onda S 6 minutos 6 segundos después de la onda P. ¿A qué distancia está el terremoto, en grados y en kilómetros? ¿Por qué una sola estación no puede decir dónde está el terremoto?

Solución

Solución de Ejercicio 11.6.

6 minutos 6 segundos son $366\,\mathrm{s}$: el terremoto está a $40{}^{\circ}$, es decir, a $40 \times 111.2 \approx 4450\,\mathrm{km}$. Un solo retraso solo da la distancia: el epicentro puede estar en cualquier punto de un círculo de ese radio alrededor de la estación. Hacen falta otras dos estaciones para encontrar el único punto que está a la distancia correcta de las tres.

Ejercicio 11.7 ★★

Con las velocidades del Ejercicio 11.4 y una corteza de $35\,\mathrm{km}$ de espesor, calcula los tiempos de recorrido de la onda directa y de la onda de cabeza en una estación situada a $200\,\mathrm{km}$ del epicentro. ¿Cuál llega primero?

Solución

Solución de Ejercicio 11.7.

$i_c \approx 48.6{}^{\circ}$ y $\cos i_c \approx 0.661$. Onda directa: $200/6.0 \approx 33.3\,\mathrm{s}$. Onda de cabeza: $200/8.0 + 2 \times 35 \times 0.661/6.0 \approx 25.0 + 7.7 = 32.7\,\mathrm{s}$. La onda de cabeza llega primero, unos $0.6\,\mathrm{s}$ antes.

Ejercicio 11.8 ★★

Para la corteza del Ejercicio 11.7, calcula la distancia crítica $2h\tan i_c$ y la distancia de cruce. Comprueba que la respuesta del Ejercicio 11.7 concuerda.

Solución

Solución de Ejercicio 11.8.

$\tan i_c \approx 1.134$: la distancia crítica es $2 \times 35 \times 1.134 \approx 79\,\mathrm{km}$. La distancia de cruce es $2 \times 35 \times \sqrt{14.0/2.0} = 70\sqrt 7 \approx 185\,\mathrm{km}$. La estación del Ejercicio 11.7 está a $200\,\mathrm{km}$, más allá del cruce: la onda de cabeza llega primero, como se encontró.

Ejercicio 11.9 ★★

Bajo un océano, una corteza de $6\,\mathrm{km}$ de espesor, en la que las ondas P viajan a $6.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, descansa sobre un manto a $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcula el ángulo crítico, el tiempo de intercepción y la distancia de cruce. ¿Por qué las estaciones tienen que estar mucho más juntas para encontrar el Moho bajo un océano que bajo un continente?

Solución

Solución de Ejercicio 11.9.

$\sin i_c = 6.5/8.0 = 0.8125$, $i_c \approx 54.3{}^{\circ}$ y $\cos i_c \approx 0.583$. Tiempo de intercepción: $2 \times 6 \times 0.583/6.5 \approx 1.1\,\mathrm{s}$. Distancia de cruce: $12\sqrt{14.5/1.5} \approx 37\,\mathrm{km}$. Bajo un continente, el cruce está hacia $165\,\mathrm{km}$, así que unas estaciones separadas unas decenas de kilómetros captan las dos rectas; bajo el océano, la onda de cabeza ya llega primero más allá de unos $37\,\mathrm{km}$, y la recta de la onda directa solo mide unas decenas de kilómetros: las estaciones tienen que estar a pocos kilómetros unas de otras para trazarla.

Ejercicio 11.10 ★★

Un rayo P en la parte más baja del manto, donde viaja a $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, llega al límite núcleo–manto formando $30{}^{\circ}$ con la perpendicular. Por debajo del límite, la velocidad P es de $8.06\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcula el ángulo del rayo refractado. ¿Se acerca el rayo a la perpendicular o se aleja de ella? Úsalo para explicar por qué los rayos P que entran en el núcleo salen lejos del terremoto.

Solución

Solución de Ejercicio 11.10.

$\sin r = (8.06/13.7)\sin30{}^{\circ} \approx 0.294$, luego $r \approx 17.1{}^{\circ}$: el rayo se acerca a la perpendicular, es decir, hacia el centro de la Tierra. Por eso atraviesa el núcleo por un camino largo cerca de su centro, y vuelve a salir muy lejos, al otro lado: los rayos P que entran en el núcleo salen mucho más lejos del terremoto que los rayos que lo rozan sin entrar.

Ejercicio 11.11 ★★

En el modelo de referencia, una onda P que baja en línea recta pasando por el centro tarda $1210\,\mathrm{s}$ en llegar al punto opuesto de la Tierra. ¿Cuánto tardaría si recorriera todo el diámetro ($12\,742\,\mathrm{km}$) a $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, la velocidad P en la base del manto? ¿Qué concluyó Oldham de retrasos así?

Solución

Solución de Ejercicio 11.11.

$12\,742/13.7 \approx 930\,\mathrm{s}$, unos 15.5 minutos, mientras que la onda tarda $1210\,\mathrm{s}$, unos 20 minutos: llega con unos 280 segundos de retraso. Incluso a la velocidad más alta del manto la onda llegaría mucho antes, así que el centro de la Tierra tiene que frenarla. Oldham concluyó que la Tierra tiene un núcleo central en el que las ondas P viajan más despacio que en el manto.

Ejercicio 11.12 ★★★

(1) A partir de la Proposición 11.6, demuestra que el espesor de la corteza es

$$h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) Aplícalo a $t_i = 6.23\,\mathrm{s}$, $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

Solución

Solución de Ejercicio 11.12.

(1) Por la proposición, $t_i = 2h\cos i_c/v_1$, y $\cos i_c = \sqrt{1 - v_1^2/v_2^2} = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$. Así que

$$t_i = \frac{2h\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}{v_1 v_2}, \qquad\text{de donde}\qquad h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) $h = 6.23 \times 6.2 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 38.44}\bigr) \approx 312.9/10.43 \approx 30.0\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 11.13 ★★★

La densidad media de la Tierra es de $5.52\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. Considera la Tierra como un núcleo de radio $3480\,\mathrm{km}$ y densidad uniforme $\rho_c$, dentro de un manto y una corteza de densidad uniforme $4.45\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ (la media del modelo de referencia). (1) ¿Qué fracción del volumen de la Tierra es el núcleo? (2) Calcula $\rho_c$. (3) Compárala con la densidad del techo del núcleo en el modelo de referencia, $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, y con la densidad de la corteza.

Solución

Solución de Ejercicio 11.13.

(1) $(3480/6371)^3 \approx 0.163$: el núcleo representa alrededor del $16\,\%$ del volumen. (2) La densidad media es la media ponderada por los volúmenes: $5.52 = 0.163 \rho_c + 0.837 \times 4.45$, luego $\rho_c \approx (5.52 - 3.72)/0.163 \approx 11.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. (3) Es más que $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, como debe ser, porque la densidad del núcleo aumenta hacia el centro (hasta $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$); es unas cuatro veces la densidad de la corteza, $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. El núcleo está hecho de un material mucho más denso que las rocas de la superficie.

Ejercicio 11.14 ★★★

La zona de sombra de las ondas P de Gutenberg va de $105{}^{\circ}$ a $143{}^{\circ}$. (1) Da sus límites en kilómetros a lo largo de la superficie. (2) En una esfera, la superficie comprendida entre las distancias angulares $a$ y $b$ de un punto es la fracción $(\cos a - \cos b)/2$ de la superficie total. ¿Qué fracción de la superficie de la Tierra no recibe ninguna onda P directa de un terremoto dado? (3) ¿Por qué cada terremoto tiene su propia zona de sombra?

Solución

Solución de Ejercicio 11.14.

(1) $105 \times 111.2 \approx 11\,700\,\mathrm{km}$ y $143 \times 111.2 \approx 15\,900\,\mathrm{km}$. (2) $(\cos105{}^{\circ} - \cos143{}^{\circ})/2 \approx (-0.259 + 0.799)/2 \approx 0.27$: alrededor del $27\,\%$ de la superficie, un anillo alrededor del punto opuesto al terremoto. (3) La zona de sombra es un intervalo de distancias al epicentro: se desplaza con el terremoto. Cada terremoto tiene su propio anillo.

Ejercicio 11.15 ★★★

Bajo una cordillera alta, un estudio de refracción encuentra $v_1 = 6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y un tiempo de intercepción de $9.5\,\mathrm{s}$. (1) Calcula allí el espesor de la corteza. (2) ¿Qué tiempo de intercepción daría una corteza de $30\,\mathrm{km}$ de espesor con las mismas velocidades? (3) Compáralo con el espesor medio de la corteza continental.

Solución

Solución de Ejercicio 11.15.

(1) $h = 9.5 \times 6.3 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 39.69}\bigr) \approx 484.8/10.18 \approx 48\,\mathrm{km}$. (2) $\sin i_c = 6.3/8.1 \approx 0.778$, $\cos i_c \approx 0.629$, y $t_i = 2 \times 30 \times 0.629/6.3 \approx 6.0\,\mathrm{s}$. (3) La corteza bajo la cordillera tiene unos $48\,\mathrm{km}$ de espesor, más que la media continental de unos $41\,\mathrm{km}$ y cerca de la media de las cordilleras: las cordilleras altas se apoyan en una corteza gruesa.

11.6 Problema: encontrar el Moho

Problema 11.1

Problema de fin de semana — la profundidad de la corteza a partir de quince estaciones

Un pequeño terremoto se produce a muy poca profundidad bajo un continente. Quince estaciones dispuestas en línea recta a partir del epicentro registran los instantes de llegada de la primera onda P y, cuando se puede leer, de una segunda. Las lecturas siguientes son inventadas, pero calculadas como las encontraría un estudio real, con una precisión de una décima de segundo. Pg es la onda que viaja por la corteza; Pn, la que ha corrido a lo largo de la parte alta del manto.

distancia ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)	distancia ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)
20	3.3	—	180	29.0	28.5
40	6.5	—	200	32.3	30.9
60	9.7	—	220	—	33.3
80	12.8	16.2	240	—	35.8
100	16.1	18.6	260	—	38.3
120	19.3	21.1	280	—	40.8
140	22.6	23.6	300	—	43.2
160	25.8	26.0

Parte I — La onda directa.

1. En papel milimetrado, representa los tiempos Pg y Pn en función de la distancia ($1\,\mathrm{cm}$ por $20\,\mathrm{km}$ y por $5\,\mathrm{s}$). ¿Cómo se disponen los puntos Pg?
2. ¿Por qué la recta Pg pasa cerca del origen?
3. Con las estaciones de 20 y $200\,\mathrm{km}$, calcula la pendiente de la recta Pg en segundos por kilómetro.
4. Deduce la velocidad $v_1$ de las ondas P en la corteza.
5. Si la corteza continuara, ¿cuándo llegaría la onda Pg a la estación de $300\,\mathrm{km}$?

Parte II — La onda refractada.

6. Con las estaciones de 100 y $300\,\mathrm{km}$, calcula la pendiente de la recta Pn y la velocidad $v_2$ de las ondas P bajo la corteza.
7. Compara $v_2$ con la velocidad de la onda Pn que midió Mohorovičić, unos $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. ¿Qué roca hay bajo la corteza?
8. Calcula el ángulo crítico $i_c$.
9. Ninguna estación situada a menos de $80\,\mathrm{km}$ registra una onda Pn. Con la Proposición 11.6, explica por qué hay una distancia mínima a la que puede registrarse la onda de cabeza.
10. Entre 80 y $160\,\mathrm{km}$, la Pn llega después de la Pg. ¿Por qué se registra de todos modos?

Parte III — El cruce.

11. Según la tabla, ¿entre qué dos estaciones la primera onda en llegar pasa de ser la Pg a ser la Pn?
12. Escribe las ecuaciones de las dos rectas, con los puntos de $20\,\mathrm{km}$ (Pg) y de $100\,\mathrm{km}$ (Pn).
13. Calcula la distancia a la que se cruzan las dos rectas.
14. Más allá de $200\,\mathrm{km}$, ninguna estación registra la Pg como onda separada. ¿Qué onda registra primero una estación situada a $250\,\mathrm{km}$, y cuándo?

Parte IV — La profundidad del Moho.

15. Prolonga hacia atrás la recta Pn hasta el eje de tiempos: ¿cuál es el tiempo de intercepción $t_i$?
16. Calcula $\cos i_c$, y el espesor $h$ de la corteza con el Método 11.9.
17. Comprobación: con este $h$, calcula la distancia de cruce con la Proposición 11.7 y compárala con la pregunta 13.
18. Segunda comprobación: calcula la distancia crítica $2h\tan i_c$ y compárala con la estación más cercana que registra la Pn.
19. Los sismólogos solo dan $h$ con una precisión de unos pocos kilómetros. ¿Por qué no está justificado un valor más fino?
20. Concluye: ¿a qué profundidad está el Moho bajo esta región? ¿Es aquí la corteza delgada o gruesa para un continente?

Solución

Solución de Problema 11.1.

1. Los puntos Pg están en una recta; los puntos Pn están en otra recta, de menor pendiente.

2. El terremoto está a muy poca profundidad bajo el epicentro: una estación a distancia cero registraría la onda al instante.

3. $(32.3 - 3.3)/(200 - 20) = 29.0/180 \approx 0.161$ $\mathrm{s}$ por kilómetro.

4. $v_1 = 180/29.0 \approx 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

5. $3.3 + 280 \times 0.161 \approx 48.4\,\mathrm{s}$.

6. $(43.2 - 18.6)/(300 - 100) = 24.6/200 = 0.123$ $\mathrm{s}$ por kilómetro, luego $v_2 = 200/24.6 \approx 8.13\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

7. Está cerca de $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: bajo la corteza está la roca de la parte más alta del manto.

8. $\sin i_c = 6.21/8.13 \approx 0.763$, luego $i_c \approx 49.8{}^{\circ}$.

9. La onda de cabeza baja con el ángulo $i_c$ y vuelve a subir con el mismo ángulo. El primer punto en el que puede volver a la superficie está a $h\tan i_c$ más allá del punto en el que llegó al Moho, que a su vez está a $h\tan i_c$ de la fuente: ninguna estación situada a menos de $2h\tan i_c$ puede recibirla.

10. Un sismómetro registra todas las ondas que le llegan, no solo la primera; la onda Pn llega después de la onda Pg, pero se sigue viendo en el registro como una onda separada.

11. A $160\,\mathrm{km}$, la Pg ($25.8\,\mathrm{s}$) llega antes que la Pn ($26.0\,\mathrm{s}$); a $180\,\mathrm{km}$, la Pn ($28.5\,\mathrm{s}$) llega antes que la Pg ($29.0\,\mathrm{s}$). El cambio se produce entre estas dos estaciones.

12. Pg: $t = 3.3 + 0.1611\,(x - 20) \approx 0.08 + 0.1611\,x$. Pn: $t = 18.6 + 0.123\,(x - 100) = 6.30 + 0.123\,x$ ($x$ en kilómetros, $t$ en segundos).

13. $0.08 + 0.1611\,x = 6.30 + 0.123\,x$ da $x \approx 6.22/0.0381 \approx 163\,\mathrm{km}$.

14. La Pn, al cabo de $6.30 + 0.123 \times 250 \approx 37.1\,\mathrm{s}$.

15. $t_i \approx 6.3\,\mathrm{s}$.

16. $\cos i_c \approx 0.646$, luego $h = 6.21 \times 6.3/(2 \times 0.646) \approx 30.3\,\mathrm{km}$.

17. $x_c = 2 \times 30.3 \times \sqrt{14.34/1.92} \approx 60.6 \times 2.73 \approx 165\,\mathrm{km}$, a menos de $2\,\mathrm{km}$ de los $163\,\mathrm{km}$ de la pregunta 13.

18. $\tan i_c \approx 1.18$: $2 \times 30.3 \times 1.18 \approx 72\,\mathrm{km}$. La estación más cercana que registra la Pn está a $80\,\mathrm{km}$, y la de $60\,\mathrm{km}$ no la registra: las dos cosas concuerdan.

19. Los tiempos se leen con $0.1\,\mathrm{s}$ de precisión, y un error de $0.1\,\mathrm{s}$ solo en $t_i$ cambia $h$ en unos $0.5\,\mathrm{km}$; las velocidades, sacadas de pendientes, también son inciertas, y el terremoto no estaba exactamente en la superficie. Además, la corteza no es perfectamente uniforme. Una precisión de uno o dos kilómetros es lo máximo que permiten los datos.

20. El Moho está a unos $30\,\mathrm{km}$ bajo esta región: la corteza es aquí más bien delgada para un continente, cuya corteza tiene de media unos $41\,\mathrm{km}$; $30\,\mathrm{km}$ es lo típico de las regiones donde la corteza se ha estirado.