25La datación radiométrica y la edad de la Tierra

En 1862, el físico William Thomson, más tarde lord Kelvin, calculó la edad de la Tierra a partir de su forma de enfriarse. Supuso que se había formado fundida y que desde entonces había ido perdiendo su calor, y se preguntó cuánto tiempo tardaría el gradiente de temperatura cerca de la superficie en bajar hasta su valor actual. Su respuesta fue 96 millones de años, entre 20 y 400 millones; en 1897 había reducido el intervalo a entre 20 y 40 millones. Los geólogos lo consideraron demasiado corto para la historia que leían en las rocas. La respuesta llegó de la radiactividad, que Kelvin no conocía.

Lo que ya sabes

La datación relativa ordena las rocas y los sucesos; una edad absoluta es un número de años (Libro 1, año 7). Un isótopo radiactivo, el padre, se desintegra al azar en un isótopo hijo: el número $N$ de átomos padre que quedan disminuye según $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, donde $\lambda$ es la constante de desintegración, y se reduce a la mitad en cada periodo de semidesintegración $T = \ln 2/\lambda$ (los libros de física). Los minerales más antiguos que se conocen, unos circones de Australia Occidental, tienen 4400 millones de años (el Capítulo 19). La Tierra pierde además un calor que la radiactividad sigue produciendo, y su manto tiene convección (el Capítulo 24).

25.1 Una historia de estimaciones

Antes de la radiactividad, cada estimación de la edad de la Tierra se basaba en un proceso cuyo ritmo se suponía conocido.

Historia — El calor que le faltaba a Kelvin

En 1903, Pierre Curie y Albert Laborde mostraron que el radio desprende calor, y varios científicos sostuvieron pronto que ese calor echaba por tierra la conclusión de Kelvin. Un año después, Ernest Rutherford, en una conferencia con Kelvin entre el público, le recordó que había limitado la edad de la Tierra “siempre que no se descubriera ninguna nueva fuente de calor”. La radiactividad parecía ser esa fuente. Sin embargo, no fue el error principal de Kelvin: lo que más alarga el enfriamiento de la Tierra es la convección del manto, que mantiene caliente el manto superior y alto el gradiente de la corteza durante mucho más tiempo del que lo haría la conducción sola.

La radiactividad aportó además un reloj. En 1907, Bertram Boltwood mostró que los minerales de uranio de la misma edad contienen la misma cantidad de plomo por cada gramo de uranio: el plomo lo produce el uranio. En 1913, Arthur Holmes pudo escribir que las rocas más antiguas datadas tenían $1600$ millones de años, y en 1927 situó la edad de la Tierra entre 1600 y 3000 millones de años. En 1956, Clair Patterson midió 4550 millones de años. El valor actual es de 4540 millones de años, con un margen de un uno por ciento.

25.2 Un reloj radiactivo

Un reloj radiactivo solo funciona si no se le ha añadido ni quitado nada desde que se puso en marcha.

Definición 25.1 (Sistema cerrado)

Una roca o un mineral es un sistema cerrado para un isótopo padre y su hijo si, desde el momento en que su reloj se puso en marcha, ningún átomo del padre ni del hijo ha entrado en él ni ha salido de él, salvo por la desintegración del padre en el hijo.

En un mineral, el reloj se pone en marcha cuando cristaliza a partir de un magma o, más exactamente, cuando se ha enfriado lo suficiente para que los átomos dejen de entrar y salir de él. Un calentamiento, un fluido caliente o la meteorización pueden volver a abrir el sistema, y la edad que se mide entonces es falsa, o data ese suceso posterior.

Contar los átomos hijos de un sistema cerrado da la edad, siempre que se sepa cuántos había al principio. Normalmente no se sabe. El rubidio 87 se desintegra en estroncio 87, pero cada mineral incorporó también algo de estroncio 87 al formarse. El método de la isócrona resuelve esto midiendo varios minerales de una misma roca.

25.3 La isócrona

El estroncio tiene un isótopo, el estroncio 86, que es estable y no procede de ninguna desintegración: en un sistema cerrado su número no cambia, y sirve de patrón. Las razones isotópicas $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ y $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ son lo que mide un espectrómetro de masas.

Teorema 25.2 (La ecuación de la isócrona)

En un mineral que ha sido un sistema cerrado durante un tiempo $t$,

$$\left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{hoy}} = \left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{0} + \left(\frac{^{87}\mathrm{Rb}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{hoy}} \left(e^{\lambda t} - 1\right),$$

donde el índice 0 indica el valor cuando el reloj se puso en marcha y $\lambda$ es la constante de desintegración del rubidio 87.

Los minerales de un granito cristalizaron a partir de un mismo magma, así que todos empezaron con la misma razón $(^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})_0$. Pero incorporaron cantidades muy distintas de rubidio. Como todos comparten el mismo $t$ y la misma razón inicial, la ecuación dice que sus puntos están sobre una misma recta.

Definición 25.3 (Isócrona)

Una isócrona es la recta sobre la que se encuentran los puntos de minerales o rocas que se formaron al mismo tiempo a partir de la misma fuente y han seguido siendo sistemas cerrados desde entonces, cuando se representa la razón del isótopo hijo al isótopo estable frente a la razón del isótopo padre al isótopo estable. Su pendiente da su edad, y el punto donde corta el eje vertical da su razón inicial.

Proposición 25.4 (La edad a partir de la pendiente)

Si una isócrona tiene una pendiente $m$, la edad es

$$t = \frac{\ln(1+m)}{\lambda}.$$

Para el rubidio 87, $\lambda = 1.3972 \times 10^{-11}$ por año, un periodo de semidesintegración de $\ln 2/\lambda \approx 49.6$ mil millones de años: más de diez veces la edad de la Tierra.

Método 25.5 (Datar una roca con una isócrona)

1. Separa varios minerales de la roca (o toma varias muestras de ella) con cantidades distintas de rubidio.
2. Mide en cada uno las razones $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($x$) y $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($y$).
3. Representa $y$ frente a $x$ y comprueba que los puntos están sobre una recta: si uno no lo está, esa muestra no fue un sistema cerrado.
4. Toma la pendiente $m$ de la recta y calcula $t = \ln(1+m)/\lambda$.
5. Lee la razón inicial donde la recta corta el eje vertical.

Ejemplo 25.6 (El granito de Varden)

El granito de las Varden Hills, la región inventada de la serie, da estas razones (datos de ejercicio):

muestra	$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$
plagioclasa	0.35	0.70952
hornblenda	1.20	0.71321
roca total	3.10	0.72146
feldespato K	6.40	0.73578
biotita	24.0	0.81218

A través de la plagioclasa y la biotita, la pendiente es $m = (0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) \approx 0.004341$. Entonces $t = \ln(1.004341)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ años: el granito tiene 310 millones de años. La recta corta el eje vertical en $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$, la razón inicial.

En el laboratorio — Pesar átomos

Las razones se miden con un espectrómetro de masas. Se disuelven en ácido unos miligramos de un mineral, y el estroncio se separa del rubidio por vía química, ya que si no se contarían juntos los dos isótopos de masa 87. El estroncio, depositado sobre un filamento metálico y calentado en el vacío, emite iones; un campo eléctrico los acelera y un imán curva sus trayectorias, más las de los iones ligeros que las de los pesados, de modo que cada isótopo llega a su propio colector. Sus corrientes dan las razones.

La razón inicial es también una pista sobre el origen del magma. El rubidio prefiere el fundido cuando el manto se funde, así que con las eras se ha concentrado en la corteza continental, que por eso ha producido más estroncio 87: las rocas de la corteza tienen una razón $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ más alta que las del manto. Un magma procedente de corteza fundida hereda esa razón alta.

25.4 La edad de la Tierra

Ninguna roca de la Tierra se remonta al origen del planeta: la roca más antigua que se conoce, el gneis de Acasta, tiene 4030 millones de años, y los circones más antiguos, 4400 millones. La superficie se ha fundido, erosionado y reciclado desde entonces. La datación de la propia Tierra procede de los meteoritos, fragmentos de los pequeños cuerpos que se formaron con los planetas, algunos de los cuales han seguido siendo sistemas cerrados desde entonces.

Definición 25.7 (Edad de la Tierra)

La edad de la Tierra es el tiempo transcurrido desde que la Tierra se formó por acreción de cuerpos más pequeños, en el nacimiento del sistema solar. Medida en meteoritos por datación radiométrica, es de $4.54$ mil millones de años, con un margen de un uno por ciento.

En 1956, Clair Patterson midió los isótopos del plomo en tres meteoritos rocosos y dos meteoritos metálicos. Dos isótopos del plomo proceden de la desintegración del uranio, el plomo 206 del uranio 238 y el plomo 207 del uranio 235, mientras que el plomo 204 no procede de ninguna desintegración. Como con el estroncio, los puntos de los meteoritos que se formaron al mismo tiempo están sobre una recta cuando se representa $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ frente a $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$. El meteorito metálico de Canyon Diablo, en Arizona, casi no contiene uranio: su plomo no ha cambiado desde que se formó, y marca el extremo inferior de la recta, el plomo con el que empezó el sistema solar.

Para el plomo, la pendiente $m$ depende de la edad a través de los dos isótopos del uranio; la relación se admite aquí. Con las constantes que usó Patterson,

lo que da:

Una recta trazada por los cinco puntos tiene una pendiente de unos 0.603, entre las pendientes de 4550 y 4600 millones de años de la tabla. El resultado del propio Patterson, teniendo en cuenta los errores de las medidas y de las constantes de desintegración, fue de 4550 millones de años, con un margen de 70 millones. Después midió el plomo de un sedimento oceánico moderno, que mezcla plomo de una gran masa de la corteza terrestre: está sobre la misma recta. El plomo de la Tierra ha evolucionado como el de los meteoritos, durante el mismo tiempo: la Tierra es tan antigua como ellos.

Desde entonces, cientos de medidas lo han confirmado. Los meteoritos dan edades de 4530 a 4580 millones de años, y los sólidos más antiguos del sistema solar, pequeñas inclusiones ricas en calcio y aluminio que se encuentran en algunos meteoritos, se formaron hace $4567.30$ millones de años, con un margen de 0.16 millones. La Tierra se formó más tarde a partir de ese material, y por eso su edad, 4540 millones de años, es algo menor que la de ellos.

25.5 Ejercicios

Ejercicio 25.1 ★

Da la palabra: (a) un mineral en el que no ha entrado ni del que ha salido ningún átomo padre o hijo desde que su reloj se puso en marcha; (b) la recta sobre la que se sitúan los minerales de una misma edad y una misma fuente; (c) el tiempo transcurrido desde que la Tierra se formó por acreción.

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

(a) un sistema cerrado; (b) una isócrona; (c) la edad de la Tierra.

Ejercicio 25.2 ★

Con la tabla del granito de Varden, ordena sus cinco muestras según su razón de rubidio 87 a estroncio 86, de la más baja a la más alta. ¿Cuál de ellas queda más arriba en la isócrona, y por qué ha producido más estroncio 87?

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

Plagioclasa (0.35), hornblenda (1.20), roca total (3.10), feldespato K (6.40), biotita (24.0). La biotita queda más arriba: es la que contiene más rubidio 87 por cada estroncio 86, así que su rubidio ha producido más estroncio 87 desde que se formó el granito.

Ejercicio 25.3 ★

Calcula el periodo de semidesintegración del rubidio 87 a partir de su constante de desintegración, $1.3972 \times 10^{-11}$ por año. ¿Cuántas veces la edad de la Tierra es?

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

$T = \ln 2/\lambda = 0.6931/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.96 \times 10^{10}$ años, 49 600 millones de años: $49.6/4.54 \approx 11$ veces la edad de la Tierra.

Ejercicio 25.4 ★

Calcula $e^{\lambda t} - 1$ para el rubidio 87 con $t = 310$ millones de años y $t = 480$ millones de años.

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

$\lambda t = 1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8} \approx 0.004331$, y $e^{0.004331} - 1 \approx 0.004341$. Para 480 millones de años, $\lambda t \approx 0.006707$ y $e^{\lambda t} - 1 \approx 0.006729$. Los dos valores son cercanos al propio $\lambda t$, porque $\lambda t$ es pequeño.

Ejercicio 25.5 ★

Ordena por fecha las estimaciones de Phillips, Holmes (1927), Joly, Kelvin (1862) y Patterson. ¿Cuántas veces mayor que el extremo superior de la estimación de Joly es la edad actual de la Tierra?

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

Phillips (1860), Kelvin (1862), Joly (1899), Holmes (1927), Patterson (1956). $4540/100 \approx 45$ veces.

Ejercicio 25.6 ★★

Un mineral del granito de Varden (310 millones de años, razón inicial 0.7080) tiene $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 10.0$. ¿Cuál es hoy su $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$? ¿Cuál era cuando se formó el granito?

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

$0.7080 + 10.0 \times 0.004341 \approx 0.7514$ hoy; 0.7080 cuando se formó el granito, como todos los minerales del granito.

Ejercicio 25.7 ★★

Cuatro muestras del esquisto de Varden dan $(x, y)$ = (0.90, 0.71806), (2.60, 0.72950), (5.10, 0.74632) y (9.40, 0.77525), con $x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ y $y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$. (1) A partir de la primera y la última muestra, calcula la pendiente y la edad. (2) Comprueba que las dos muestras intermedias están sobre la misma recta. (3) ¿Es el resultado coherente con los 310 millones de años del granito y con el principio de intersección?

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

(1) $m = (0.77525 - 0.71806)/(9.40 - 0.90) = 0.05719/8.50 \approx 0.006728$; $t = \ln(1.006728)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.80 \times 10^{8}$ años, 480 millones de años. (2) $0.71806 + 1.70 \times 0.006728 \approx 0.72950$ y $0.71806 + 4.20 \times 0.006728 \approx 0.74632$: las dos están sobre la recta. (3) Sí: el granito corta el esquisto, así que es más joven, y 310 es menos que 480 millones de años.

Ejercicio 25.8 ★★

¿Por qué una roca en la que todos los minerales tienen la misma razón de rubidio a estroncio no da isócrona? ¿Por qué la biotita, en el granito de Varden, fija la pendiente mejor que los demás minerales?

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

Todos sus puntos caerían en el mismo lugar: un solo punto no define ni una recta ni una pendiente. La biotita está muy a la derecha de los demás; un pequeño error en cualquier punto cambia entonces la pendiente de la recta que pasa por él y por la plagioclasa mucho menos de lo que la cambiaría con dos puntos muy próximos.

Ejercicio 25.9 ★★

Mucho después de que se formara el granito de Varden, un fluido caliente hizo que su biotita perdiera parte de su estroncio 87. (1) ¿Hacia dónde se desplaza su punto en el diagrama de la isócrona? (2) ¿Qué edad darían entonces la biotita y la plagioclasa solas: demasiado antigua o demasiado joven? (3) ¿Cómo revela el problema el método de la isócrona?

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

(1) Su rubidio no cambia, así que conserva su $x$; tiene menos estroncio 87, así que su $y$ baja: el punto se desplaza en vertical hacia abajo. (2) La recta que pasa por él y por la plagioclasa es menos inclinada, y da una edad demasiado joven. (3) La biotita ya no está sobre la recta que pasa por los demás minerales: los puntos no están alineados, señal de que una muestra no ha sido un sistema cerrado.

Ejercicio 25.10 ★★

(1) ¿Cuántas veces mayor que los 96 millones de años de Kelvin es la edad de la Tierra? (2) Joly supuso que los ríos llevan sal al mar a un ritmo constante y que nada de ella sale del mar. ¿Cuál de estas hipótesis hace su edad demasiado corta si es falsa, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 25.10.

(1) $4540/96 \approx 47$ veces. (2) Si una parte de la sal sale del mar, por ejemplo enterrada en sedimentos, el mar contiene menos sal de la que trajeron en total los ríos: dividir la sal presente por el aporte anual da un tiempo demasiado corto.

Ejercicio 25.11 ★★

Con los valores de Patterson para Canyon Diablo (9.46, 10.34) y Nuevo Laredo (50.28, 34.86), calcula la pendiente de la recta que pasa por los dos meteoritos, y lee la edad en la tabla de pendientes.

Solución

Solución de Ejercicio 25.11.

$m = (34.86 - 10.34)/(50.28 - 9.46) = 24.52/40.82 \approx 0.601$, entre las pendientes de 4550 (0.590) y 4600 millones de años (0.610): unos 4580 millones de años.

Ejercicio 25.12 ★★★

Un basalto de la región de Varden, también de 310 millones de años, tiene una razón inicial de 0.7035, frente a 0.7080 la del granito. (1) ¿Qué roca es más probable que proceda de manto fundido, y cuál de corteza fundida? (2) Explica por qué con lo que sabes del rubidio. (3) ¿Pudieron cristalizar las dos a partir de un mismo magma?

Solución

Solución de Ejercicio 25.12.

(1) El basalto, con la razón más baja, procede del manto; el granito, con la más alta, al menos en parte de corteza fundida. (2) El rubidio pasa al fundido cuando el manto se funde, así que se ha concentrado en la corteza, que ha producido más estroncio 87 con las eras. (3) No: los minerales que cristalizan a partir de un mismo magma comparten su razón inicial, y estas dos rocas no.

Ejercicio 25.13 ★★★

(1) ¿Qué fracción del rubidio 87 presente cuando se formó la Tierra queda hoy? ¿Y del uranio 238 (periodo de semidesintegración de 4470 millones de años)? (2) ¿Cuál sería la pendiente de una isócrona rubidio–estroncio para una roca de un millón de años? ¿Por qué el rubidio–estroncio es un mal reloj para las rocas jóvenes?

Solución

Solución de Ejercicio 25.13.

(1) Rubidio 87: $2^{-4.54/49.61} \approx 0.94$, alrededor del $94\,\%$; uranio 238: $2^{-4.54/4.47} \approx 0.49$, más o menos la mitad. (2) $m = e^{\lambda t} - 1 \approx 1.3972 \times 10^{-11} \times 10^6 \approx 1.4 \times 10^{-5}$: incluso la biotita del granito de Varden ($x = 24$) solo subiría $0.0003$ por encima de la razón inicial. Se ha formado tan poco estroncio 87 que la pendiente apenas se distingue de cero: un reloj lento conviene a las rocas antiguas.

Ejercicio 25.14 ★★★

La recta que pasa por los cinco meteoritos de Patterson es $y = 4.438 + 0.6026\,x$. (1) ¿Qué $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ predice para el sedimento oceánico, en $x = 19.0$? Patterson midió 15.5: ¿en qué porcentaje difieren? (2) ¿Qué edad da la pendiente 0.6026, según la tabla? Compárala con los $4.55 \pm 0.07$ miles de millones de años de Patterson.

Solución

Solución de Ejercicio 25.14.

(1) $4.438 + 0.6026 \times 19.0 \approx 15.89$; $15.5$ es menor en $0.39$, alrededor de un $2.4\,\%$: el sedimento está cerca de la recta. (2) 0.6026 está entre 0.590 (4.55) y 0.610 (4.60): unos 4580 millones de años, dentro del intervalo de Patterson, de 4480 a 4620 millones de años.

Ejercicio 25.15 ★★★

Kelvin supuso que todo el calor que pierde la Tierra, $46.7\,\mathrm{TW}$ hoy, es calor almacenado. (1) La radiactividad repone unos $24.4\,\mathrm{TW}$ de él. ¿Cuánto alarga eso, por sí solo, el tiempo necesario para perder una reserva dada de calor? (2) Partiendo de 96 millones de años, ¿basta para llegar a la edad real? (3) ¿Qué pasó por alto Kelvin que importa más?

Solución

Solución de Ejercicio 25.15.

(1) La reserva solo pierde entonces $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$ netos, así que la misma reserva dura $46.7/22.3 \approx 2.1$ veces más. (2) $96 \times 2.1 \approx 200$ millones de años, todavía más de veinte veces demasiado poco. (3) La convección del manto, que sube calor desde el interior profundo y mantiene alto el gradiente cerca de la superficie durante mucho más tiempo que la conducción sola.

Problema 25.1

Problema de fin de semana — Datar el granito de Varden

El granito de las Varden Hills, la región inventada de la serie, corta el esquisto que lo rodea. Un laboratorio midió cinco de sus muestras (ejemplo anterior): plagioclasa (0.35, 0.70952), hornblenda (1.20, 0.71321), roca total (3.10, 0.72146), feldespato K (6.40, 0.73578) y biotita (24.0, 0.81218), cada una como $(^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr},\ ^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})$. La constante de desintegración del rubidio 87 es $1.3972 \times 10^{-11}$ por año.

Parte I — Las muestras.

1. ¿Qué muestra es la más rica en rubidio respecto al estroncio?
2. ¿Por qué todos los minerales empezaron con la misma $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$?
3. ¿Por qué se toman las razones respecto al estroncio 86?
4. ¿Cuál de los tres isótopos ha aumentado desde que se formó el granito, y por qué?
5. ¿Qué aspecto tenían los cinco puntos en el diagrama cuando el granito se acababa de formar?

Parte II — La recta isócrona.

6. Calcula la pendiente a través de la plagioclasa y la biotita.
7. Calcula la pendiente a través de la plagioclasa y la roca total.
8. Compara las dos pendientes. ¿Cuál es más fiable, y por qué?
9. Halla dónde corta la recta de la pregunta 6 el eje vertical.
10. Comprueba que el feldespato K está sobre esa recta.

Parte III — La pendiente y la edad.

11. Escribe la relación entre la pendiente y $e^{\lambda t}$.
12. Calcula $\lambda t$.
13. Calcula la edad $t$.
14. El esquisto se ha datado en 480 millones de años. ¿Es el orden de las dos edades el que exigen las relaciones de campo?
15. El Carbonífero va de hace 358.9 a hace 298.9 millones de años. ¿En qué periodo se formó el granito?

Parte IV — La razón inicial y la fuente.

16. ¿Qué representa la ordenada en el origen, 0.7080?
17. Un basalto de la región se formó con una razón de 0.7035. ¿Qué roca tiene la razón inicial más alta?
18. ¿Por qué las rocas de la corteza tienen razones más altas que el manto?
19. ¿Qué sugiere la razón inicial del granito sobre la roca que se fundió para formarlo?
20. En resumen: ¿qué edad tiene el granito de Varden?

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. La biotita ($x = 24.0$).

2. Cristalizaron a partir de un mismo magma, y los minerales que cristalizan a partir de un mismo fundido incorporan su estroncio con su razón de isótopos.

3. El estroncio 86 es estable y no procede de ninguna desintegración: en un sistema cerrado su número no cambia, así que es un patrón fijo.

4. El estroncio 87, producido por la desintegración del rubidio 87; el rubidio 87 ha disminuido y el estroncio 86 no ha cambiado.

5. Una recta horizontal en $y = 0.7080$: la misma razón, distintos $x$.

6. $(0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) = 0.10266/23.65 \approx 0.004341$.

7. $(0.72146 - 0.70952)/(3.10 - 0.35) = 0.01194/2.75 \approx 0.004342$.

8. Coinciden con un margen de 1 entre 4000. La primera es la más fiable: sus dos puntos están muy separados, así que el redondeo de las razones importa menos.

9. $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$.

10. $0.7080 + 6.40 \times 0.004341 \approx 0.73578$: exactamente el valor medido.

11. $e^{\lambda t} = 1 + m = 1.004341$.

12. $\lambda t = \ln 1.004341 \approx 0.004331$.

13. $t = 0.004331/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ años.

14. Sí: el granito corta el esquisto, así que, por el principio de intersección, es más joven, y 310 es menos que 480 millones de años.

15. 310 millones de años está entre 358.9 y 298.9 millones de años: el Carbonífero.

16. La razón $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ del magma cuando cristalizó el granito.

17. El granito: $0.7080 > 0.7035$.

18. El rubidio pasa al fundido cuando el manto se funde, así que se ha concentrado en la corteza; con más rubidio, la corteza ha producido más estroncio 87.

19. Que el magma procedía, al menos en parte, de corteza continental fundida y no solo del manto.

20. El granito de Varden tiene 310 millones de años.