3El balance energético de la Tierra

El día más largo del año, el Sol no se pone en el Polo Norte. Da vueltas por el cielo todo el día a la misma altura, unos $23{}^{\circ}$ sobre el horizonte, y la parte alta de la atmósfera sobre el polo recibe en un día más luz solar por metro cuadrado que en ningún otro lugar de la Tierra: $13.0\,\mathrm{kWh}$, frente a $9.5\,\mathrm{kWh}$ sobre el ecuador. Y sin embargo, el mar que rodea el polo sigue cubierto de hielo todo el verano. En cambio, a lo largo de un año entero, el ecuador recibe dos veces y media más luz solar que el polo, y los trópicos siguen siendo cálidos todo el año. Este capítulo sigue la energía de la luz del Sol: cuánta llega, dónde y cuándo; cuánta se refleja directamente hacia el espacio; cómo se reparte el resto entre el aire y el suelo, cómo se transporta de los trópicos hacia los polos y cómo vuelve finalmente al espacio en forma de luz infrarroja, y qué parte diminuta acaban almacenando los seres vivos.

Lo que ya sabes

Las estaciones se deben a la inclinación del eje de la Tierra, $23.44{}^{\circ}$ respecto a la perpendicular al plano de su órbita: en junio, el hemisferio norte se inclina hacia el Sol, que sube más alto en su cielo y permanece más tiempo sobre el horizonte (los libros de física y el Libro 1). La irradiancia a la distancia de la Tierra, $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, el albedo de Bond de un planeta y su temperatura de equilibrio se vieron en el Capítulo 2. Los gases de efecto invernadero absorben parte del infrarrojo que emite la superficie (los libros de química). El aire caliente sube y el frío baja, lo que pone el aire a girar en células de convección y mueve los vientos globales (Libro 1, año 8). Las plantas, las algas y algunas bacterias fabrican azúcares a partir de dióxido de carbono y agua con la energía de la luz: es la fotosíntesis (los libros de biología).

3.1 La luz solar recibida

Vista desde el Sol, la Tierra es un disco. Cada segundo intercepta la luz solar que cae sobre un disco de radio $R$, su propio radio; pero esa luz se reparte entre todos los puntos de una esfera, la mitad de los cuales están de noche.

Proposición 3.1 (Un cuarto de la constante solar)

Promediada sobre toda la superficie de la Tierra y sobre el día y la noche, la potencia de la luz solar que llega a la parte alta de la atmósfera es

$$\frac{S_0}{4} = \frac{1361}{4} \approx 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.$$

La media oculta grandes diferencias de un lugar a otro. Un haz de luz solar que llega al suelo de forma oblicua se reparte sobre una superficie mayor que un haz que llega de frente.

Proposición 3.2 (La luz solar sobre una superficie horizontal)

Cuando el Sol está a una altura $h$ sobre el horizonte, un metro cuadrado horizontal de la parte alta de la atmósfera recibe la potencia $S_0 \sin h$.

La altura del Sol cambia a lo largo del día, y la duración del día cambia con las estaciones; ambas cosas cuentan en la energía que recibe un lugar.

Definición 3.3 (Insolación)

La insolación de un lugar es la potencia de la luz solar que recibe un metro cuadrado horizontal en la parte alta de la atmósfera situada sobre él. Promediada sobre las veinticuatro horas de un día, es la insolación media diaria; promediada sobre un año, la insolación media anual; ambas se miden en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

Calcular la media diaria exige conocer la altura del Sol en cada momento del día, lo que requiere matemáticas que van más allá de este libro; lo hizo el ordenador que trazó las curvas de abajo. Dos casos son sencillos. En el ecuador, en un equinoccio, el Sol sale justo por el este, pasa por el cenit a mediodía y se pone justo por el oeste al cabo de doce horas; promediado sobre veinticuatro horas, esto da $S_0/\pi \approx 433\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (se admite). En el Polo Norte, el Sol simplemente da vueltas por el cielo a una altura constante, lo que aprovecha el ejemplo siguiente.

Ejemplo 3.4 (El polo en junio)

En el solsticio de junio, el Sol está todo el día a $23.44{}^{\circ}$ sobre el horizonte del Polo Norte. La insolación media diaria allí es $1361 \times \sin 23.44^\circ \approx 541\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; en veinticuatro horas, esto supone $541 \times 24 \approx 13\,000\,\mathrm{Wh}$, $13.0\,\mathrm{kWh}$ por metro cuadrado. Ese mismo día, el ecuador recibe una media diaria de $397\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, es decir, $9.5\,\mathrm{kWh}$ por metro cuadrado: allí el Sol sube más alto a mediodía, pero pasa doce horas bajo el horizonte.

Observación 3.5 (Cómo leer las curvas)

La insolación del ecuador apenas cambia: dos máximos suaves en los equinoccios, cuando el Sol pasa por el cenit a mediodía. Cuanto más al norte, mayor es la oscilación entre el verano y el invierno. Más allá de $90^\circ - 23.44^\circ = 66.56{}^{\circ}$, el Sol permanece bajo el horizonte en el solsticio de diciembre: es la noche polar. Desde el 10 de mayo, aproximadamente, hasta finales de julio, el Polo Norte y la latitud $60{}^{\circ}$ N reciben ambos más que el ecuador.

A lo largo de un año entero el panorama cambia: la insolación media anual, representada más abajo en la sección sobre excedente y déficit, baja de $416\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en el ecuador a $172\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en los polos. La abundancia estival de las regiones polares no compensa su larga noche ni la poca altura de su Sol.

Observación 3.6 (La distancia al Sol no produce las estaciones)

La órbita de la Tierra no es exactamente una circunferencia: su distancia al Sol varía entre $147.1$ y $152.1$ millones de kilómetros, alrededor de un $3\,\%$, así que la luz solar varía alrededor de un $7\,\%$. La Tierra está más cerca del Sol a principios de enero, en pleno invierno boreal. Las curvas de arriba desprecian este pequeño cambio; las estaciones se deben a la inclinación del eje, y están invertidas en los dos hemisferios.

3.2 El albedo

Parte de la luz solar que llega a la Tierra no calienta nunca nada: las nubes, el aire, la nieve y el mar la devuelven al espacio.

Definición 3.7 (Albedo)

El albedo de una superficie es la fracción de la luz solar que cae sobre ella y que refleja, un número entre 0 (toda la luz absorbida) y 1 (toda reflejada). El albedo de Bond del Capítulo 2 es el albedo de un planeta tomado en su conjunto.

La nieve reciente devuelve la mayor parte de la luz que recibe; el océano abierto, casi nada. Por eso el hielo marino de la fotografía inicial conserva su frío durante el verano polar: la nieve que lo cubre refleja hasta nueve décimas partes de la luz solar, mientras que el agua oscura que hay entre los témpanos absorbe alrededor del 94 por ciento. Cuando el hielo se funde, el agua oscura ocupa su lugar y absorbe más luz solar, lo que funde más hielo: un bucle que se refuerza a sí mismo y que el Capítulo 28 sopesa entre las retroalimentaciones del clima.

Para la Tierra en conjunto, los satélites miden directamente la luz solar reflejada hacia el espacio: por término medio, $100\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de los $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ que llegan, un albedo de $100/340 \approx 0.29$. Las nubes son el principal reflector: las mismas medidas, eliminando las nubes por cálculo, dan solo $53\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ reflejados.

Ejemplo 3.8 (La luz solar que absorbe la Tierra)

Con un albedo de Bond de 0.294, cada metro cuadrado absorbe por término medio $340 \times (1 - 0.294) \approx 240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Sobre toda la esfera, de área $4\pi R^2 = 4\pi \times (6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m})^2 \approx 5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, la Tierra absorbe $240 \times 5.10\times10^{14} \approx 1.22 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ de luz solar: esta potencia mueve los vientos, las corrientes oceánicas y el ciclo del agua.

3.3 El balance energético global

¿Adónde van esos $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$? Las medidas de satélites, de instrumentos en tierra y de barcos, combinadas con modelos de la atmósfera, dan hoy una respuesta coherente, promediada sobre todo el globo y sobre varios años. La evaluación científica de 2021 la resume en el diagrama de abajo, y afirma que las componentes medias globales se conocen ahora con más exactitud, en la parte alta de la atmósfera y en la superficie (confianza alta).

Definición 3.9 (Balance energético)

El balance energético de un sistema —la Tierra entera, su superficie o su atmósfera— es la cuenta de toda la energía que entra en él y sale de él, con cada flujo dado como una potencia media por metro cuadrado de superficie terrestre. El balance está equilibrado cuando lo que entra es igual a lo que sale; si no, el sistema gana o pierde energía y se calienta o se enfría.

La superficie también pierde energía sin ninguna radiación: el agua se evapora del mar y de las hojas, y el suelo calienta el aire que está en contacto con él.

Definición 3.10 (Calor latente; calor sensible)

El calor latente de una sustancia es la energía que absorbe cuando cambia de estado sin cambiar de temperatura —al fundirse o al evaporarse— y que devuelve cuando vuelve a cambiar. Para el agua que se evapora a $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ es de unos $2.47\,\mathrm{MJ}$ por kilogramo. En el balance energético, el flujo de calor latente es la energía que la evaporación toma de la superficie y que el vapor de agua libera en el aire, allí donde se condensa en nubes. El flujo de calor sensible es la energía que la superficie cede al aire en contacto con ella, calentándolo, y que el aire ascendente transporta hacia arriba.

Método 3.11 (Leer un diagrama de balance energético)

1. Elige el sistema: la Tierra entera (una línea por encima de la atmósfera), la superficie o la atmósfera (la capa entre ambas).
2. Haz la lista de las flechas que entran en él y súmalas; haz la lista de las flechas que salen de él y súmalas.
3. Compara las dos sumas. Si son iguales, salvo por el redondeo de los números, el sistema está en equilibrio; la diferencia es lo que gana (o pierde) cada segundo por metro cuadrado.

Proposición 3.12 (El balance cuadra)

Salvo por el redondeo de las cifras, el balance del diagrama de arriba está equilibrado para la Tierra en conjunto, para la superficie y para la atmósfera, aparte de un pequeño excedente de unos $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ que la Tierra absorbe y no devuelve.

El diagrama muestra también el efecto invernadero en acción. La superficie recibe del aire, en forma de infrarrojo, $342\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: más del doble de la luz solar que absorbe, $160\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Por eso puede emitir $398\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, la emisión de un cuerpo a unos $15{}^{\circ}\mathrm{C}$, mientras que la Tierra solo envía $239\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ al espacio. Los libros de física construyen el modelo que relaciona estos números con la temperatura; este libro usa los flujos medidos.

Ejemplo 3.13 (Un metro de agua al año)

El flujo de calor latente, $82\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, evapora cada segundo $82/2.47\times 10^6 \approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$ de agua por metro cuadrado. En un año, $3.16\times10^7$ segundos, esto suma unos $1050\,\mathrm{kg}$, una capa de agua de $1.05\,\mathrm{m}$ de espesor sobre toda la Tierra. El aire solo contiene un poco de agua a la vez, así que prácticamente toda ella vuelve a caer como lluvia y nieve: el flujo de calor latente y la precipitación anual del planeta son dos caras del mismo ciclo del agua.

Observación 3.14 (El desequilibrio)

El excedente de $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ parece minúsculo al lado de flujos de cientos de vatios, pero sobre toda la Tierra supone $0.7 \times 5.10\times10^{14} \approx 3.6 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$, almacenados sobre todo en el océano, que se calienta. No es una constante natural: ha crecido en las últimas décadas, como explica el Capítulo 28.

3.4 Excedente y déficit

El balance cuadra para la Tierra en conjunto, pero no en cada latitud.

Los trópicos absorben mucha más luz solar que las regiones polares, y su bajo albedo agranda la diferencia. El infrarrojo que envían al espacio también es mayor, porque están más calientes, pero varía mucho menos con la latitud. En consecuencia, las regiones próximas al ecuador absorben por término medio unos $200\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ más de lo que reflejan y radian, y las regiones cercanas a los polos radian unos $200\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ más de lo que absorben.

Definición 3.15 (Transporte de calor hacia los polos)

El transporte de calor hacia los polos es el flujo de energía que los movimientos de la atmósfera y del océano llevan de los trópicos hacia los polos. Se mide, a través de un círculo de latitud, en petavatios ($1\,\mathrm{PW}$ = $10^{15}\,\mathrm{W}$).

Sin él, los trópicos se calentarían y los polos se enfriarían hasta que cada latitud equilibrara su propio balance. La atmósfera hace la mayor parte del transporte: aire caliente que se desplaza hacia los polos y aire frío que vuelve hacia el ecuador, y vapor de agua que libera su calor latente lejos de donde se evaporó. Las corrientes oceánicas transportan el resto. Las estimaciones a partir de medidas sitúan el transporte atmosférico hacia los polos en un máximo de unos $5.0\,\mathrm{PW}$ cerca de $43{}^{\circ}$ N, con valores parecidos cerca de $40{}^{\circ}$ S; el océano transporta más que la atmósfera solo cerca del ecuador, entre $0{}^{\circ}$ y $17{}^{\circ}$ N, y a $35{}^{\circ}$ N, donde el transporte total es máximo, la atmósfera lleva el $78\,\%$. El total es máximo allí porque $35{}^{\circ}$ es, más o menos, donde el excedente da paso al déficit: hacia el ecuador, el transporte sigue recogiendo el excedente de cada latitud que atraviesa; hacia los polos, cada latitud se nutre de él.

Este transporte es el motor del tiempo atmosférico. Las células de convección y los vientos globales del Libro 1, las tormentas del Capítulo 5 y las grandes corrientes oceánicas del Capítulo 6 trasladan calor de donde el Sol da demasiado a donde da demasiado poco.

3.5 Adónde va la energía

Casi toda la energía de la luz solar que absorbe la Tierra acaba convertida en calor: calienta el suelo, el mar y el aire, evapora agua, mueve los vientos y las corrientes, y vuelve a salir en forma de luz infrarroja. Una parte diminuta sigue otro camino: la fotosíntesis la almacena en los enlaces químicos de los azúcares, y de ahí en toda la materia viva del planeta.

Ejemplo 3.16 (La parte de la fotosíntesis)

Las plantas de tierra firme y las algas del mar almacenan, después de cubrir sus propias necesidades, unos $105$ mil millones de toneladas de carbono en materia viva nueva cada año, aproximadamente la mitad en tierra y la mitad en el océano: los ecólogos lo llaman la producción primaria neta del planeta. Quemar un mol de glucosa, $\ce{C6H12O6}$, que contiene seis moles de carbono, $72\,\mathrm{g}$, libera $2805\,\mathrm{kJ}$: unos $38.9\,\mathrm{kJ}$ por gramo de carbono. La energía almacenada cada año es $1.049\times10^{17}\,\mathrm{g} \times 38.9 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{g} \approx 4.1 \times 10^{21}\,\mathrm{J}$, una potencia de $4.1\times10^{21}/3.16\times10^{7} \approx 1.3 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$. Comparada con los $1.22 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ de luz solar que absorbe la Tierra, es alrededor de un $0.1\,\%$.

Observación 3.17 (Una parte pequeña, un papel grande)

Una milésima parte de la luz solar absorbida alimenta casi toda la vida de la Tierra, y los restos de plantas y algas enterrados durante cientos de millones de años forman el carbón, el petróleo y el gas natural (Capítulo 18). El resto de la luz solar —más del 99.9 por ciento— mantiene caliente el planeta y en movimiento su aire, su agua y su tiempo atmosférico.

3.6 Ejercicios

Ejercicio 3.1 ★

Define la insolación de un lugar y el albedo de una superficie. ¿Qué refleja una fracción mayor de la luz solar, la nieve reciente o el océano abierto?

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

La insolación de un lugar es la potencia de la luz solar que recibe un metro cuadrado horizontal en la parte alta de la atmósfera situada sobre él (promediada sobre un día o un año). El albedo de una superficie es la fracción de la luz solar que cae sobre ella y que refleja. La nieve reciente (de 0.8 a 0.9) refleja mucho más que el océano abierto (0.06).

Ejercicio 3.2 ★

Con el diagrama del balance energético de este capítulo, da en porcentaje de los $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ que llegan a la parte alta de la atmósfera la parte reflejada hacia el espacio, la parte absorbida por el aire y la parte absorbida por la superficie.

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

Reflejada: $100/340 \approx 29\,\%$; absorbida por el aire: $80/340 \approx 24\,\%$; absorbida por la superficie: $160/340 \approx 47\,\%$.

Ejercicio 3.3 ★

Un sol de verano aporta $800\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ al suelo. ¿Qué potencia absorbe un metro cuadrado cubierto de asfalto nuevo (albedo 0.04), y uno cubierto de nieve reciente (albedo 0.85)?

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

Asfalto: $800 \times (1 - 0.04) = 768\,\mathrm{W}$. Nieve: $800 \times (1 - 0.85) = 120\,\mathrm{W}$, más de seis veces menos.

Ejercicio 3.4 ★

¿Qué se lleva más energía de la superficie terrestre, la evaporación o el calentamiento del aire en contacto con el suelo? Describe en dos frases cómo la energía que la evaporación toma del mar llega al aire de las capas altas.

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

La evaporación: $82\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, frente a $21\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ del calentamiento del aire. El agua que se evapora toma su calor latente del mar; el vapor sube con el aire y, donde se condensa en gotitas de nube, a menudo kilómetros más arriba, devuelve esa energía al aire que lo rodea.

Ejercicio 3.5 ★

Explica por qué la insolación media diaria es nula en el Polo Norte en diciembre, y da la latitud a partir de la cual ocurre esto en el solsticio de diciembre.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

En diciembre, el hemisferio norte está inclinado en sentido contrario al Sol: en el polo, el Sol permanece bajo el horizonte todo el día, así que no llega luz solar. En el solsticio de diciembre ocurre así en todos los lugares situados más allá de $90^\circ - 23.44^\circ = 66.56{}^{\circ}$ N.

Ejercicio 3.6 ★★

Con la Proposición 3.2, calcula la potencia que recibe un metro cuadrado horizontal en la parte alta de la atmósfera cuando el Sol está a $90{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ y $10{}^{\circ}$ sobre el horizonte. ¿A qué altura del Sol recibe el metro cuadrado la mitad de $S_0$?

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

$1361 \sin 90^\circ = 1361\,\mathrm{W}$; $1361 \sin 30^\circ = 680.5\,\mathrm{W}$; $1361 \sin 10^\circ \approx 236\,\mathrm{W}$. La mitad de $S_0$ requiere $\sin h = 0.5$, es decir, $h = 30{}^{\circ}$.

Ejercicio 3.7 ★★

Siguiendo el Método 3.11, comprueba el balance de la luz solar sola: de los $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ que llegan, ¿cuánto se refleja, cuánto absorbe el aire y cuánto absorbe la superficie? ¿Suman las tres cantidades 340? Comprueba también que la luz solar que llega a la superficie, $185\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, se refleja o se absorbe allí.

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

Reflejado 100, absorbido por el aire 80, absorbido por la superficie 160: $100 + 80 + 160 = 340$, toda la luz solar está contabilizada. En la superficie, $185 = 25 + 160$: lo que no se refleja se absorbe.

Ejercicio 3.8 ★★

Con el radio medio de la Tierra, $6371\,\mathrm{km}$, calcula el área del disco que intercepta la luz solar y la potencia que intercepta, y después el área de la esfera. Deduce la potencia media por metro cuadrado de la esfera.

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

Disco: $\pi \times (6.371\times10^6)^2 \approx 1.275 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; potencia: $1361 \times 1.275\times10^{14} \approx 1.74 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$. Esfera: $4\pi R^2 \approx 5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$. Media: $1.74\times10^{17}/5.10\times 10^{14} \approx 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, un cuarto de $S_0$.

Ejercicio 3.9 ★★

El excedente de la Tierra es de $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ sobre una superficie de $5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$. ¿Cuánta energía, en julios, gana la Tierra en un año de $3.16\times10^7$ segundos?

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

$0.7 \times 5.10\times10^{14} \times 3.16\times10^7 \approx 1.1 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ en un año.

Ejercicio 3.10 ★★

Si se eliminaran las nubes por cálculo, la Tierra reflejaría $53\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en lugar de $100\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, y enviaría al espacio $267\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de infrarrojo en lugar de $239\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. ¿En cuánto cambian las nubes la luz solar absorbida, y el infrarrojo perdido? En el balance final, ¿calientan o enfrían la Tierra las nubes?

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

Las nubes reflejan $100 - 53 = 47\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ más de luz solar, que por tanto no se absorbe. Retienen $267 - 239 = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de infrarrojo. En el balance final, la Tierra pierde $47 - 28 = 19\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: las nubes, en conjunto, la enfrían.

Ejercicio 3.11 ★★

Lee las curvas de insolación media diaria de este capítulo. ¿En qué meses es la insolación media diaria en el Polo Norte mayor que en el ecuador? ¿Por qué muestra la curva del ecuador dos máximos y no uno?

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

Desde el 10 de mayo, aproximadamente, hasta finales de julio, es decir, en mayo, junio y julio. En el ecuador, el Sol pasa por el cenit a mediodía en los dos equinoccios, en marzo y en septiembre; en los solsticios pasa a $23.44{}^{\circ}$ del cenit, así que el ecuador recibe algo menos en junio y en diciembre.

Ejercicio 3.12 ★★★

El calor latente de evaporación del agua es de $2.47\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ y el flujo de calor latente, de $82\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Calcula el espesor de agua, en milímetros, que se evapora cada día del metro cuadrado medio de la Tierra, y en metros cada año (un litro de agua extendido sobre un metro cuadrado forma una capa de $1\,\mathrm{mm}$ de espesor).

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

Cada segundo: $82/(2.47\times10^6) \approx 3.32 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$. Cada día: $3.32\times10^{-5} \times 86\,400 \approx 2.9\,\mathrm{kg}$, una capa de unos $2.9\,\mathrm{mm}$. Cada año: $3.32\times10^{-5} \times 3.16\times10^7 \approx 1050\,\mathrm{kg}$, alrededor de $1.05\,\mathrm{m}$ de agua.

Ejercicio 3.13 ★★★

En el Polo Norte, el Sol da vueltas por el cielo a una altura igual a su declinación $\delta$, así que la insolación media diaria allí es $S_0 \sin \delta$. Halla la declinación para la que el polo recibe, por término medio a lo largo del día, tanto como el ecuador en un equinoccio, $S_0/\pi$. La declinación cumple $\sin\delta = \sin 23.44^\circ \times \sin\lambda$, donde el ángulo $\lambda$ crece de manera uniforme $360{}^{\circ}$ en un año, desde $0{}^{\circ}$ en el equinoccio de marzo ($90{}^{\circ}$ en el solsticio de junio). ¿Durante cuántos días al año, aproximadamente, recibe el polo más de $S_0/\pi$?

Solución

Solución de Ejercicio 3.13.

$S_0 \sin\delta = S_0/\pi$ da $\sin\delta = 1/\pi \approx 0.318$, luego $\delta \approx 18.6{}^{\circ}$. Entonces $\sin\lambda = 0.318/\sin 23.44^\circ \approx 0.318/0.398 \approx 0.800$: $\lambda \approx 53.15{}^{\circ}$ o $180^\circ - 53.15^\circ = 126.85{}^{\circ}$. Entre ambos valores, $\lambda$ crece $73.7{}^{\circ}$, es decir, $73.7/360$ de año, unos $75$ días, de mediados de mayo a finales de julio.

Ejercicio 3.14 ★★★

Supón que en verano se funde una superficie de $1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}$ de hielo marino (albedo 0.6) y que la sustituye océano abierto (albedo 0.06), bajo una luz solar de $300\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de media en la superficie. Calcula la potencia absorbida de más. Compárala con la potencia almacenada por toda la fotosíntesis de la Tierra, $1.3 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$, y explica por qué este cambio de superficies se refuerza a sí mismo.

Solución

Solución de Ejercicio 3.14.

El hielo absorbe $1 - 0.6 = 0.40$ de la luz solar, y el océano $1 - 0.06 = 0.94$. Potencia adicional: $(0.94 - 0.40) \times 300 \times 10^{12} \approx 1.6 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$, más que toda la fotosíntesis del planeta. La energía adicional calienta el agua, que funde más hielo en los bordes de los témpanos, lo que deja al descubierto más agua oscura: el cambio se alimenta a sí mismo.

Ejercicio 3.15 ★★★

La distancia de la Tierra al Sol es de $147.1$ millones de kilómetros en su punto más cercano y de $152.1$ millones en el más lejano, con una media de $149.6$ millones, a la que $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Calcula la irradiancia solar en los dos extremos. La diferencia ronda los $90\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; a $60{}^{\circ}$ N, la insolación media diaria es de unos $490\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en junio y de $24\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en diciembre. Explica por qué la distancia no puede ser la causa de las estaciones.

Solución

Solución de Ejercicio 3.15.

Cuando la Tierra está más cerca del Sol: $1361 \times (149.6/147.1)^2 \approx 1408\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; cuando está más lejos: $1361 \times (149.6/152.1)^2 \approx 1317\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; una diferencia de alrededor de un $7\,\%$. A $60{}^{\circ}$ N, la insolación es veinte veces mayor en junio que en diciembre: una variación de unos pocos puntos porcentuales no puede producirla. Además, la Tierra está más cerca del Sol a principios de enero, en pleno invierno boreal, y los dos hemisferios, a la misma distancia del Sol, tienen estaciones opuestas: lo que produce las estaciones es la inclinación del eje, no la distancia.

3.7 Problema: siguiendo un rayo de sol

Problema 3.1

Problema de fin de semana — de la luz solar que llega a la Tierra a la parte que almacena la vida

Usa $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, el radio de la Tierra $R = 6371\,\mathrm{km}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$, un año de $3.156\times10^7$ segundos, los flujos del diagrama del balance energético, un calor latente de evaporación de $2.47\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$, una producción primaria neta global de $104.9$ mil millones de toneladas de carbono al año, y los $2805\,\mathrm{kJ}$ que libera la combustión de un mol de glucosa ($72.07\,\mathrm{g}$ de carbono).

Parte I — La geometría de la luz solar.

1. Calcula el área del disco que intercepta la luz solar, $\pi R^2$, en metros cuadrados.
2. Calcula la potencia de la luz solar que intercepta.
3. Calcula el área de la superficie terrestre, $4\pi R^2$.
4. Deduce la potencia media que llega por metro cuadrado a la parte alta de la atmósfera.
5. En un equinoccio, a mediodía, el Sol está en el cenit sobre el ecuador y a $30{}^{\circ}$ sobre el horizonte a $60{}^{\circ}$ N. ¿Qué recibe un metro cuadrado horizontal en cada lugar?

Parte II — El albedo.

6. A partir de los $100\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ reflejados, calcula el albedo de la Tierra.
7. Calcula la potencia absorbida por metro cuadrado y por toda la Tierra.
8. Sin nubes, se reflejarían $53\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. ¿Cuál sería el albedo? ¿Por qué factor lo aumentan las nubes?
9. Calcula la temperatura de equilibrio que corresponde a la potencia absorbida de la pregunta 7 (Capítulo 2) y compárala con los $288\,\mathrm{K}$ de la superficie.

Parte III — La superficie.

10. Suma los flujos de energía que entran en la superficie.
11. Suma los que salen de ella y compáralos.
12. ¿Cuántas veces mayor que la luz solar absorbida por la superficie es el infrarrojo que recibe del aire? ¿Qué muestra esto?
13. Calcula la masa de agua evaporada de un metro cuadrado en un año, y el espesor de la capa que forma.
14. Calcula la potencia total del desequilibrio, $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, sobre toda la Tierra.

Parte IV — La parte de la vida.

15. Calcula la energía almacenada por gramo de carbono fijado en la glucosa.
16. Calcula la energía almacenada en un año por la producción primaria neta.
17. Conviértela en una potencia.
18. Exprésala por metro cuadrado de superficie terrestre.
19. Compárala con el desequilibrio de la pregunta 14.
20. ¿Qué parte de la luz solar absorbida por la Tierra (pregunta 7) almacena la fotosíntesis?

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $\pi \times (6.371\times10^6)^2 \approx 1.275 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$.

2. $1361 \times 1.275\times10^{14} \approx 1.735 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$.

3. $4\pi R^2 \approx 5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$.

4. $1.735\times10^{17}/5.101\times10^{14} \approx 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, es decir, $S_0/4$.

5. Ecuador: $1361\,\mathrm{W}$; $60{}^{\circ}$ N: $1361 \sin 30^\circ = 680.5\,\mathrm{W}$.

6. $100/340 \approx 0.294$.

7. $340 - 100 = 240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; sobre toda la Tierra, $240 \times 5.101\times10^{14} \approx 1.224 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$.

8. $53/340 \approx 0.156$. Las nubes aumentan el albedo en un factor $100/53 \approx 1.9$: casi lo duplican.

9. $(240/5.67\times10^{-8})^{1/4} \approx 255\,\mathrm{K}$, unos $33\,\mathrm{K}$ por debajo de los $288\,\mathrm{K}$ de la superficie.

10. $160 + 342 = 502\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

11. $82 + 21 + 398 = 501\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. La superficie gana alrededor de $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: el desequilibrio de $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, redondeado.

12. $342/160 \approx 2.1$. El aire envía a la superficie, en forma de infrarrojo, más del doble de energía que la luz solar que esta absorbe: es el efecto invernadero.

13. $82 \times 3.156\times10^7/(2.47\times10^6) \approx 1050\,\mathrm{kg}$, una capa de unos $1.05\,\mathrm{m}$ de espesor.

14. $0.7 \times 5.101\times10^{14} \approx 3.6 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$.

15. $2805/72.07 \approx 38.9\,\mathrm{kJ}$ por gramo de carbono.

16. $104.9\times10^9$ toneladas son $1.049\times10^{17}$ g; $1.049\times10^{17} \times 38.9\times10^3 \approx 4.08 \times 10^{21}\,\mathrm{J}$.

17. $4.08\times10^{21}/3.156\times10^7 \approx 1.29 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$.

18. $1.29\times10^{14}/5.101\times10^{14} \approx 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

19. $0.7/0.25 \approx 2.8$: el desequilibrio de la Tierra es casi el triple de la potencia que almacena la fotosíntesis.

20. $1.29\times10^{14}/1.224\times10^{17} \approx 0.0011$: la fotosíntesis almacena alrededor del $0.1\,\%$ de la luz solar que absorbe la Tierra, una milésima parte.