8Cuencas hidrográficas, ríos y crecidas

Un río puede crecer dos días después de que haya dejado de llover, en una ciudad donde no ha caído ni una gota. El agua que inunda sus calles cayó antes, sobre colinas muy aguas arriba; bajó por sus laderas hasta los arroyos, y los arroyos se juntaron en el río que la llevó, toda a la vez, hasta la ciudad. Para entender una crecida hay que mirar más allá del río, a toda la superficie que lo alimenta, y seguir el agua a través de ella. Este capítulo define esa superficie, la cuenca hidrográfica; mide lo que lleva un río, su caudal; sigue una crecida a su paso por un punto del río, y muestra cómo un registro largo de crecidas indica con qué frecuencia vuelve una crecida dada.

Lo que ya sabes

La lluvia que llega al suelo se infiltra en él, corre por su superficie o se evapora; el ciclo del agua la devuelve al mar (los libros de física). El agua se infiltra en las rocas permeables y las llena por debajo del nivel freático, formando acuíferos que alimentan manantiales y ríos (Libro 1, año 6). Un río serpentea en meandros por su llanura de inundación, plana, que cubre cuando crece (Libro 1, año 5). Las curvas de nivel unen puntos de igual altura; las Colinas de Varden son la región dibujada en los mapas de esta serie (Libro 1, años 2 y 9).

Seguridad

El agua de una crecida es mucho más peligrosa de lo que parece. Unos $15\,\mathrm{cm}$ de agua que corre deprisa pueden derribar a un adulto, y unos $30\,\mathrm{cm}$ pueden arrastrar un coche; puede que la carretera de debajo se haya hundido. No entres nunca a pie ni en coche en el agua de una crecida: da la vuelta y ve por otro camino.

8.1 La cuenca hidrográfica

Cada gota de lluvia que no se evapora ni se infiltra en profundidad corre cuesta abajo. Sigue la mayor pendiente del terreno, se une a un reguero, después a un arroyo, y los arroyos se juntan en ríos. Toda la tierra cuya agua acaba en un mismo río forma una unidad.

Definición 8.1 (Cuenca hidrográfica; divisoria de aguas)

La cuenca hidrográfica de un punto de un río es toda la superficie de tierra cuya escorrentía va a parar al río aguas arriba de ese punto y pasa por él. La divisoria de aguas es la línea que separa dos cuencas hidrográficas vecinas: sigue las crestas del terreno, y la lluvia que cae a uno y otro lado de ella va a parar a ríos distintos.

Una cuenca se define siempre para un punto del río, su punto de salida: la cuenca de un río donde llega al mar es la mayor, y cada punto aguas arriba tiene dentro una cuenca más pequeña. Dos gotas que caen a un metro una de otra, a ambos lados de una divisoria, pueden acabar en ríos distintos e incluso en océanos distintos.

La cuenca del río Varden

Un ordenador encuentra una cuenca hidrográfica a partir de un mapa de alturas en unos pocos pasos. El mapa se divide en pequeños cuadrados, aquí de $50\,\mathrm{m}$ de lado. Para cada cuadrado, el ordenador mira sus ocho vecinos y envía el agua al que alcanza por la pendiente descendente más fuerte. (Donde una pequeña hondonada no tiene ningún vecino más bajo, primero se llena hasta el nivel al que desbordaría, como hace un charco.) Siguiendo estos pasos de cuadrado en cuadrado se traza el camino de una gota desde cualquier punto del mapa. Los cuadrados cuyas gotas llegan al río forman la cuenca.

La cuenca cubre $66\,\mathrm{km}^{2}$ de los $80\,\mathrm{km}^{2}$ del mapa, unas cuatro quintas partes. En el norte, la divisoria sigue las crestas de las colinas y pasa por sus cumbres; más allá, el terreno desciende en sentido contrario al río y su agua va a otro valle. En la esquina suroeste, una pequeña zona también desagua fuera del mapa. El propio río entra en el mapa por el oeste, así que su cuenca completa es mayor: abarca también las tierras de aguas arriba, más allá del borde del mapa.

Los ríos más grandes

Los ríos se comparan por la superficie de su cuenca y por el agua que llevan. El río más grande del mundo, con mucha diferencia, es el Amazonas. El Misisipi, el río más grande de Estados Unidos, drena unas $1\,150\,000$ millas cuadradas, unos 2.98 millones de $\mathrm{km}^{2}$, de Estados Unidos y Canadá.

8.2 El caudal

Definición 8.2 (Caudal)

El caudal de un río en un punto es el volumen de agua que atraviesa una sección transversal del río en un segundo. Se mide en metros cúbicos por segundo, $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Un caudal de $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ son mil litros cada segundo, o $86\,400\,\mathrm{m}^{3}$ al día. El agua corre más deprisa cerca de la superficie, en el centro del cauce, y más despacio a lo largo del lecho y de las orillas, donde roza con ellos; la velocidad media es la velocidad promediada sobre toda la sección transversal.

Proposición 8.3 (Caudal, velocidad y sección transversal)

El caudal $Q$ de un río es el producto de la velocidad media $v$ del agua por el área $A$ de la sección mojada:

$$Q = v\,A.$$

Un río con una sección transversal de $50\,\mathrm{m}^{2}$ que corre a una velocidad media de $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lleva $1.2 \times 50 = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. En crecida, los dos factores aumentan: el agua gana profundidad y anchura, así que la sección crece, y corre más deprisa.

Medir un caudal

Como la velocidad cambia de una orilla a otra, se mide en varios puntos. El río se divide en franjas verticales; en cada una se miden la profundidad y la velocidad, y se suman los caudales de las franjas.

Método 8.4 (El método velocidad–área)

1. Tiende una cinta métrica de una orilla a otra y elige verticales a intervalos regulares $w$ a lo largo de ella.
2. En cada vertical, mide con un molinete la profundidad $d$ y la velocidad media $v$ del agua en esa profundidad.
3. Cada vertical representa una franja de anchura $w$ y área $w\,d$; su caudal es $v\,w\,d$.
4. Suma los caudales de todas las franjas: $Q = \sum v\,w\,d$. La sección transversal es $A = \sum w\,d$, y la velocidad media, $Q/A$.

Ejemplo 8.5 (Un aforo)

En el arroyo de la figura, las cinco franjas, de $2\,\mathrm{m}$ de ancho cada una, tienen áreas de $2 \times 0.4 = 0.8$, $2.0$, $2.8$, $2.2$ y $1.0\,\mathrm{m}^{2}$: la sección transversal es de $8.8\,\mathrm{m}^{2}$. Sus caudales son $0.3 \times 0.8 = 0.24$, $0.6 \times 2.0 = 1.20$, $0.8 \times 2.8 = 2.24$, $0.7 \times 2.2 = 1.54$ y $0.4 \times 1.0 = 0.40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, así que el arroyo lleva $Q \approx 5.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. La velocidad media es de $5.62/8.8 \approx 0.64\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, menos que los $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ del centro del arroyo.

Un aforo lleva tiempo y no puede hacerse de forma continua. Una estación de aforo registra, en cambio, el nivel del agua, sin interrupción. Unos pocos aforos hechos a niveles distintos dan una curva que relaciona el nivel con el caudal, y la estación convierte en caudal cada nivel que registra.

Los grandes ríos llevan caudales enormes. De 1972 a 2003, el Amazonas vertió al océano Atlántico una media de unos $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, con un margen de un $6\,\%$: alrededor del $17\,\%$ de toda el agua dulce que los ríos del mundo llevan al mar. El Misisipi lleva al golfo de México una media de $593\,000$ pies cúbicos por segundo, unos $16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: el Amazonas lleva unas doce veces más.

8.3 El hidrograma

Definición 8.6 (Hidrograma; caudal base; tiempo de retardo)

Un hidrograma es la gráfica del caudal de un río en un punto en función del tiempo. El caudal base es la parte del caudal alimentada por el agua subterránea, que mantiene el río en marcha entre lluvias. El tiempo de retardo de una crecida es el tiempo que pasa entre el máximo de la lluvia sobre la cuenca y el pico del caudal.

El agua de una tormenta llega al río en momentos distintos. La lluvia que cae cerca del cauce llega en minutos u horas; la que cae muy aguas arriba tarda mucho más, porque tiene que bajar por las laderas y a lo largo del río. Por eso el caudal sube bruscamente, en la rama ascendente, mientras llega el agua de las laderas cercanas; alcanza su pico cuando llega más agua a la vez, y baja más despacio, en la rama descendente, a medida que se escurre la última agua de los rincones lejanos de la cuenca y del suelo. Cuanto mayor es la cuenca, más largo es el tiempo de retardo: horas para un arroyo pequeño, días para un gran río.

Algunas cuencas dan crecidas súbitas, con un pico alto y repentino y un tiempo de retardo corto; otras dan crecidas lentas y aplanadas. La misma lluvia da una crecida más súbita cuando:

• la cuenca es pequeña y empinada, de modo que el agua tiene un camino corto y rápido;
• el suelo deja infiltrarse poca agua: roca desnuda, arcilla, suelo ya empapado, suelo helado y, sobre todo, los tejados, las calles y los aparcamientos de una ciudad, que mandan casi toda la lluvia directamente a los desagües y a los arroyos;
• la cuenca tiene una red densa de arroyos y desagües, que recoge el agua deprisa.

Los bosques, los suelos profundos y permeables y las llanuras de inundación anchas hacen lo contrario: retienen el agua y la sueltan despacio, lo que rebaja y retrasa el pico.

Una crecida real

El río Potomac drena una cuenca de $11\,560$ millas cuadradas, unos $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$, aguas arriba de una estación de aforo cercana a Washington, en el este de Estados Unidos. En enero de 1996 la estación registró el hidrograma siguiente.

En los días anteriores a la crecida, el río llevaba unos $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, su caudal base. El 21 de enero la media diaria alcanzó $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, casi treinta veces más. Repartida sobre toda la cuenca, el agua que pasó ese día por la estación formaría una capa de $9231 \times 86400 / (29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$, unos $27\,\mathrm{mm}$ de espesor: una lluvia fuerte, entregada en un solo día por toda la cuenca a la vez.

8.4 Las crecidas y su periodo de retorno

¿Qué tamaño de crecida debe esperar una ciudad? La respuesta viene del pasado: una estación de aforo que funciona desde hace décadas ha registrado el mayor caudal de cada año, el pico anual. Los picos pequeños llegan casi todos los años; los grandes, rara vez. Cuanto más rara es una crecida, mayor es.

Definición 8.7 (Periodo de retorno)

El periodo de retorno $T$ de una crecida es el intervalo medio, en años, entre los años cuyo pico anual la iguala o la supera. Una crecida de periodo de retorno $T$, una crecida de $T$ años, tiene una probabilidad $1/T$ de ser igualada o superada en un año cualquiera.

Una crecida de cien años no es una crecida que llega una vez cada cien años, como un horario. Es una crecida que tiene una probabilidad entre cien de ser igualada o superada cada año, todos los años, pase lo que pase el año anterior. Pueden llegar dos en años seguidos; puede pasar un siglo sin ninguna.

Método 8.8 (Periodos de retorno a partir de un registro de picos anuales)

1. Haz la lista de los picos anuales de $n$ años.
2. Ordénalos del mayor (rango $m = 1$) al menor (rango $m = n$).
3. Asigna al pico de rango $m$ el periodo de retorno $T = (n + 1)/m$.
4. Representa los picos frente a $T$ en una escala logarítmica de $T$, y lee el caudal correspondiente al periodo de retorno buscado.

Así, el mayor de $n$ picos recibe $T = n + 1$ años: en un registro de $95$ años, $96$ años. La fórmula refleja lo que muestra el registro: el pico de rango $m$ ha sido igualado o superado en $m$ de los $n$ años, más o menos una vez cada $n/m$ años. El método no puede ir con fiabilidad más allá de la longitud del registro: un registro de $50$ años dice poco sobre la crecida de $1000$ años.

Datos de 2026

En el registro del Potomac cerca de Washington, de 1931 a 2025, los cinco mayores picos anuales se produjeron en marzo de 1936 ($13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), octubre de 1942, junio de 1972, abril de 1937 y enero de 1996, estos dos últimos iguales, con $9830\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

La probabilidad de una crecida a lo largo de muchos años

Una casa o un puente duran décadas. Lo que les importa no es la probabilidad de una crecida en un año, sino a lo largo de toda su vida.

Proposición 8.9 (Al menos una crecida en $N$ años)

Si los años son independientes entre sí, la probabilidad de que una crecida de periodo de retorno $T$ sea igualada o superada al menos una vez en $N$ años es

$$P = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^{N}.$$

Para una crecida de cien años a lo largo de treinta años, $(0.99)^{30} \approx 0.740$, y $P \approx 0.26$: una probabilidad de una entre cuatro. A lo largo de cien años, $(0.99)^{100} \approx 0.366$ y $P \approx 0.63$: está lejos de ser seguro que la crecida de cien años llegue en cien años.

8.5 Presas y diques

Hace mucho que construimos estructuras que cambian el paso de una crecida. Dos de ellas lo cambian en sentidos opuestos.

Una presa retiene un embalse. Cuando llega una crecida, parte de su agua se almacena en el embalse, cuyo nivel sube, y se suelta después, a lo largo de más tiempo. Aguas abajo pasa el mismo volumen de agua, pero repartido: el pico es más bajo y más tardío. Un embalse solo rebaja una crecida mientras le queda sitio; una vez lleno, toda el agua que entra sigue su camino.

Un dique es un terraplén de tierra construido a lo largo de un río para mantener sus crecidas fuera de la llanura de inundación. Entre los diques, el agua no puede extenderse; para llevar el mismo caudal por una sección más estrecha, tiene que subir más y correr más deprisa. Las tierras de detrás de los diques siguen secas, mientras los diques aguanten y el agua no los rebase. Pero la llanura de inundación ya no almacena agua durante la crecida, así que una mayor parte de ella baja, y antes, aguas abajo.

8.6 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Define una cuenca hidrográfica y una divisoria de aguas. ¿Por qué dos gotas de lluvia que caen a un metro una de otra pueden acabar en dos mares distintos?

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

La cuenca hidrográfica de un punto de un río es toda la superficie de tierra cuya escorrentía va a parar al río aguas arriba de ese punto y pasa por él. La divisoria de aguas es la línea, a lo largo de las crestas, que separa dos cuencas vecinas. Dos gotas que caen a un metro una de otra, a ambos lados de una divisoria, bajan por vertientes opuestas hacia dos cuencas distintas: sus ríos pueden llegar a mares distintos.

Ejercicio 8.2 ★

Define el caudal de un río y da su unidad. ¿Cuántos litros pasan en un día por un punto de un río que lleva $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$?

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

El caudal es el volumen de agua que atraviesa una sección transversal del río cada segundo, en $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ son $1000\,\mathrm{L}$ cada segundo; en un día, $1000 \times 86\,400 = 86.4$ millones de litros.

Ejercicio 8.3 ★

En el hidrograma del Potomac de enero de 1996, lee el caudal base antes de la crecida, el caudal del pico y su fecha, y el número de días que duró la subida.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

Antes de la crecida, el río llevaba unos $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ (entre unos $240$ y $390\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). El pico fue de $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ el 21 de enero. La subida empezó el 18 de enero ($362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$): duró tres días.

Ejercicio 8.4 ★

¿Cuál es la probabilidad de que una crecida de $50$ años sea igualada o superada el año que viene? El año pasado llegó una crecida de $50$ años: ¿es menos probable este año?

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

$1/50 = 0.02$, un $2\,\%$. No: los años son independientes; la probabilidad vuelve a ser del $2\,\%$ este año, pase lo que pase el año pasado.

Ejercicio 8.5 ★

El Misisipi lleva al mar una media de $593\,000$ pies cúbicos de agua por segundo ($1$ pie = $0.3048\,\mathrm{m}$). Convierte este caudal a $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ y compáralo con los $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ del Amazonas.

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

Un pie cúbico son $0.3048^3 \approx 0.028\,32\,\mathrm{m}^{3}$, luego $593\,000 \times 0.02832 \approx 16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. El Amazonas lleva $206\,000/16\,800 \approx 12$ veces más.

Ejercicio 8.6 ★★

Una hidróloga afora un arroyo con cuatro verticales separadas $1.5\,\mathrm{m}$. Las profundidades son $0.3$, $0.6$, $0.7$ y $0.4\,\mathrm{m}$; las velocidades medias, $0.2$, $0.5$, $0.6$ y $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calcula la sección transversal, el caudal y la velocidad media.

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Áreas de las franjas: $1.5 \times 0.3 = 0.45$, $0.90$, $1.05$ y $0.60\,\mathrm{m}^{2}$: $A = 3.0\,\mathrm{m}^{2}$. Caudales: $0.2 \times 0.45 = 0.09$, $0.5 \times 0.90 = 0.45$, $0.6 \times 1.05 = 0.63$, $0.3 \times 0.60 = 0.18$: $Q = 1.35\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Velocidad media: $1.35/3.0 = 0.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Ejercicio 8.7 ★★

Una tormenta deja $20\,\mathrm{mm}$ de lluvia sobre toda la cuenca del río Varden del mapa, $66\,\mathrm{km}^{2}$. ¿Qué volumen de agua es eso? Si todo llegara al punto de salida en dos días, ¿cuál sería el caudal adicional medio?

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

$66 \times 10^6 \times 0.020 = 1.32 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. Dos días son $2 \times 86\,400 = 172\,800\,\mathrm{s}$: $1.32 \times 10^6/172\,800 \approx 7.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de media.

Ejercicio 8.8 ★★

Los picos anuales de un río pequeño a lo largo de nueve años son, en $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: $42$, $65$, $38$, $120$, $51$, $47$, $88$, $35$, $59$. Ordénalos y da los periodos de retorno de los tres mayores. ¿Cuál es el periodo de retorno del pico mediano?

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

Ordenados: 120, 88, 65, 59, 51, 47, 42, 38, 35. Con $n = 9$, $T = 10/m$: el mayor (120) tiene $T = 10$ años; el segundo (88), 5 años; el tercero (65), unos 3.3 años. La mediana, 51, tiene el rango 5 y $T = 2$ años: se iguala o se supera un año de cada dos.

Ejercicio 8.9 ★★

La misma tormenta cae sobre dos cuencas de la misma superficie: una empinada, cubierta por una ciudad; la otra de pendiente suave y con bosque. Dibuja sus dos hidrogramas en los mismos ejes y explica las diferencias.

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

El hidrograma de la ciudad sube antes y mucho más alto, y baja deprisa: en pendientes fuertes, tejados y calles, se infiltra poca agua y la escorrentía llega al arroyo deprisa y toda a la vez; su tiempo de retardo es corto. El hidrograma de la cuenca con bosque sube más tarde, hasta un pico más bajo y más ancho: el suelo y el bosque absorben buena parte de la lluvia y la sueltan despacio, y el agua corre lentamente por pendientes suaves. Su caudal base sigue más alto después de la tormenta.

Ejercicio 8.10 ★★

En el pico del 21 de enero de 1996, el Potomac llevaba $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ desde una cuenca de $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$. ¿Qué espesor de agua, repartida sobre toda la cuenca, representa un día de este caudal? Compáralo con el caudal base de $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

$9231 \times 86\,400 \approx 7.98 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, repartidos sobre $29\,900 \times 10^6 = 2.99 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$: unos $0.027\,\mathrm{m}$, $27\,\mathrm{mm}$. El caudal base da $330 \times 86\,400/2.99 \times 10^{10} \approx 0.001\,\mathrm{m}$, alrededor de $1\,\mathrm{mm}$ al día: el día del pico pasó unas 28 veces más agua.

Ejercicio 8.11 ★★

¿Cuál es la probabilidad de que una crecida de $10$ años llegue al menos una vez en $10$ años? ¿Y de que no llegue ninguna vez en esos diez años?

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

$P = 1 - 0.9^{10} \approx 1 - 0.349 = 0.651$: alrededor del $65\,\%$. No llega ninguna vez con una probabilidad de $0.9^{10} \approx 0.35$, alrededor del $35\,\%$.

Ejercicio 8.12 ★★★

El caudal que entra en un embalse durante una crecida sube de forma regular de $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ a $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ en un día, y luego vuelve a bajar de forma regular hasta $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ en dos días (se desprecia el caudal base). ¿Qué volumen aporta la crecida? La presa deja pasar como máximo $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, y el embalse puede almacenar $60$ millones de $\mathrm{m}^{3}$. ¿Puede retener todo lo que pasa de $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$?

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

El hidrograma es un triángulo de tres días de largo y $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de alto: su área es $\tfrac12 \times 1200 \times 3 \times 86\,400 \approx 1.56 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, $156$ millones de metros cúbicos. La parte que pasa de $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ es un triángulo más pequeño de la misma forma, tres veces menor en altura ($400$ en vez de $1200$) y en duración (un día en vez de tres): $\tfrac12 \times 400 \times 86\,400 \approx 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, $17$ millones de metros cúbicos. Es menos que los $60$ millones que puede almacenar el embalse: sí.

Ejercicio 8.13 ★★★

Un río de $100\,\mathrm{m}$ de ancho va lleno hasta sus orillas con $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, corriendo a $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Llega una crecida de $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

1. Sin diques, los $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ adicionales se extienden por una llanura de inundación de $900\,\mathrm{m}$ de ancho, donde corren a $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ¿Qué profundidad tiene el agua en la llanura?
2. Con diques, toda la crecida pasa entre ellos, a $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ¿Qué profundidad tiene el río, y a qué altura sobre sus orillas llega?

Solución

Solución de Ejercicio 8.13.

Lleno hasta sus orillas, el río tiene $800/(100 \times 2) = 4\,\mathrm{m}$ de profundidad. (1) La llanura de inundación lleva $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ a lo largo de $900\,\mathrm{m}$ a $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: su profundidad es de $400/(900 \times 0.5) \approx 0.9\,\mathrm{m}$. (2) Entre los diques: $1200/(100 \times 2) = 6\,\mathrm{m}$ de profundidad, $2\,\mathrm{m}$ por encima de sus orillas, más del doble de la profundidad en la llanura sin diques.

Ejercicio 8.14 ★★★

¿Qué periodo de retorno $T$ da a una crecida una probabilidad de una entre dos de llegar al menos una vez en $30$ años?

Solución

Solución de Ejercicio 8.14.

Buscamos $(1 - 1/T)^{30} = 0.5$, luego $1 - 1/T = 0.5^{1/30} \approx 0.97716$, $1/T \approx 0.02284$ y $T \approx 44$ años.

Ejercicio 8.15 ★★★

Un pequeño mapa se divide en cuadrados de $100\,\mathrm{m}$; sus alturas en metros se dan a continuación (el norte, arriba). El agua sale de cada cuadrado hacia el más bajo de sus cuatro vecinos (norte, sur, este, oeste) si es más bajo; los cuadrados de $34\,\mathrm{m}$ (esquina noroeste) y de $30\,\mathrm{m}$ (esquina sureste) son los puntos de salida de dos arroyos.

34	38	46	50
37	42	48	47
45	49	44	39
51	46	37	30

Dibuja la dirección del flujo de cada cuadrado, encuentra la cuenca de cada punto de salida y su superficie, y dibuja la divisoria.

Solución

Solución de Ejercicio 8.15.

Cada cuadrado manda su agua a su vecino más bajo (filas de norte a sur, columnas de oeste a este):

salida	oeste	oeste	oeste
norte	oeste	oeste	sur
norte	norte	sur	sur
norte	este	este	salida

Siguiendo las flechas, los cuadrados 47, 39, 44, 37, 46 y 30 desaguan en el punto de salida del sureste: 6 cuadrados, $0.06\,\mathrm{km}^{2}$. Los otros 10 cuadrados desaguan en el punto de salida del noroeste: $0.10\,\mathrm{km}^{2}$. La divisoria parte del borde este entre 50 y 47, y pasa luego entre 48 y 47, entre 48 y 44, entre 49 y 44, entre 49 y 46, y entre 51 y 46 hasta el borde sur.

8.7 Problema: la crecida de cien años

Problema 8.1

Problema de fin de semana — ¿cada cuánto llega el río a la ciudad?

Imagina una ciudad a orillas del río Potomac, justo aguas arriba de Washington, cerca de una estación de aforo que ha registrado el mayor caudal del río cada año desde 1931. Los picos anuales se representan a continuación; el hidrograma de enero de 1996 se da en el capítulo.

Parte I — La cuenca y el caudal.

1. La cuenca de la estación cubre $11\,560$ millas cuadradas ($1$ milla = $1.609\,\mathrm{km}$). Convierte esta superficie a $\mathrm{km}^{2}$.
2. ¿Qué línea delimita esta superficie en un mapa?
3. El mayor pico, el 19 de marzo de 1936, fue de $484\,000$ pies cúbicos por segundo. Conviértelo a $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ($1$ pie = $0.3048\,\mathrm{m}$).
4. El pico anual mediano es de $3341\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. ¿Cuántas veces mayor que la mediana fue la crecida de 1936?
5. Supón que en el pico de 1936 el río tenía en la estación $400\,\mathrm{m}$ de ancho y $8\,\mathrm{m}$ de profundidad media. ¿Cuál habría sido su velocidad media?

Parte II — Leer la crecida de 1996.

6. En el hidrograma de enero de 1996, ¿cuál era el caudal base en los días anteriores a la crecida?
7. ¿Cuál fue el caudal diario del pico, y qué día?
8. ¿Cuántos días duró la subida, desde los $362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ del 18 de enero hasta el pico?
9. ¿Qué espesor de agua sobre toda la cuenca hizo pasar por la estación el día del pico?
10. Una segunda subida, más pequeña, alcanza su pico el 29 de enero. ¿Qué indica sobre el agua que llega a la cuenca?
11. El caudal había vuelto a unos $410\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ el 7 de febrero. ¿Cuánto tiempo después del pico fue eso? ¿Por qué la rama descendente dura más que la rama ascendente?

Parte III — Ordenar las crecidas.

12. El registro contiene $n = 95$ picos anuales. ¿Qué periodo de retorno da el método al mayor?
13. El pico de octubre de 1942 ($12\,658\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) es el segundo. ¿Cuál es su periodo de retorno?
14. El pico de junio de 1972 ($10\,166\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) es el tercero. ¿Cuál es su periodo de retorno?
15. Las crecidas de abril de 1937 y de enero de 1996 fueron iguales ($9826\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). Con los rangos 4 y 5, ¿qué periodos de retorno reciben? ¿Importa mucho aquí que compartan el mismo valor?
16. En el diagrama de barras, cuenta los años cuyo pico superó $9500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Estima la probabilidad de un pico así en un año cualquiera, y su periodo de retorno.

Parte IV — La probabilidad de una crecida.

17. ¿Cuál es la probabilidad de que una crecida de $100$ años sea igualada o superada en un año dado?
18. ¿Cuál es la probabilidad de que no lo sea ese año?
19. ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue en $30$ años, el tiempo que una familia podría vivir en una casa junto al río?
20. ¿Cuál es la probabilidad de al menos una crecida de $100$ años en $30$ años?

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. $11\,560 \times 1.609^2 \approx 29\,900\,\mathrm{km}^{2}$.

2. La divisoria de aguas de la cuenca situada aguas arriba de la estación.

3. $484\,000 \times 0.3048^3 \approx 13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

4. $13\,705/3341 \approx 4.1$ veces.

5. $A = 400 \times 8 = 3200\,\mathrm{m}^{2}$ y $v = Q/A = 13\,705/3200 \approx 4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

6. Unos $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

7. $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, el 21 de enero.

8. Tres días.

9. $9231 \times 86\,400/(29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$: unos $27\,\mathrm{mm}$.

10. Llegó agua nueva al río: otra lluvia sobre la cuenca (o la fusión de la nieve) mandó un segundo impulso de escorrentía, más pequeño.

11. Diecisiete días después del pico. La subida procede de la escorrentía de las laderas cercanas a los arroyos, que llega deprisa y toda a la vez; en la rama descendente, el río sigue recibiendo el agua de las partes más lejanas de la cuenca y el agua que sale despacio del suelo.

12. $T = n + 1 = 96$ años.

13. $96/2 = 48$ años.

14. $96/3 = 32$ años.

15. $96/4 = 24$ años y $96/5 = 19.2$ años. No mucho: en ambos casos, este caudal vuelve más o menos una vez cada veinte años.

16. Cinco años (1936, 1937, 1943, 1972 y 1996): $5/95 \approx 0.053$, alrededor de un $5\,\%$ al año, un periodo de retorno de unos $96/5 \approx 19$ años.

17. $1/100 = 0.01$, un $1\,\%$.

18. $1 - 0.01 = 0.99$.

19. $0.99^{30} \approx 0.740$.

20. $1 - 0.740 = 0.26$: la probabilidad de al menos una crecida de 100 años en 30 años es de alrededor del $26\,\%$, una entre cuatro.