11As ondas sísmicas revelam o interior

Em 8 de outubro de 1909, um terremoto sacudiu o vale do rio Kupa, a cerca de $40\,\mathrm{km}$ a sudeste de Zagreb, na Croácia. Alguns meses antes, Andrija Mohorovičić tinha instalado um novo sismógrafo no Observatório Meteorológico de Zagreb, e ele registrou todo o evento. Depois, ele pediu a outros observatórios os seus registros e reuniu os de 41 estações. Nos registros das estações mais distantes, ele encontrou algo inesperado: duas ondas P separadas, uma fraca e depois uma mais forte, onde deveria haver uma só. Desse par de ondas, ele deduziu que a rocha sob a crosta é diferente, e mediu a profundidade da fronteira. Este capítulo mostra como os tempos de chegada das ondas dos terremotos revelam as camadas da Terra: a base da crosta, o núcleo e a sua parte externa líquida, e todo o interior, profundidade por profundidade.

O que você já sabe

Um terremoto começa num ponto dentro da Terra, o foco; o ponto da superfície logo acima dele é o epicentro. Um sismômetro registra a vibração do solo, e a magnitude mede o tamanho de um terremoto (Livro 1, 7º ano). A Terra tem uma crosta, um manto e um núcleo; o núcleo tem uma parte externa líquida e uma parte interna sólida. As ondas dos terremotos são de dois tipos principais, as ondas P, mais rápidas, e as ondas S, mais lentas, e as ondas S não conseguem atravessar um líquido (Livro 1, 6º ano). Uma onda que atravessa a fronteira entre dois materiais nos quais se propaga com as velocidades $v_1$ e $v_2$ é refratada: $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$, onde os ângulos são medidos a partir da perpendicular à fronteira (lei de Snell; os livros de física).

11.1 As ondas sísmicas e os tempos de percurso

11.1.1 Dois tipos de ondas de volume

Um terremoto envia ondas em todas as direções. Algumas se propagam ao longo da superfície; outras, as ondas de volume, atravessam o interior da Terra, e são elas que o revelam.

Definição 11.1 (Onda P; onda S)

Uma onda P é uma onda sísmica que alternadamente comprime e estica a rocha: a rocha vai e volta ao longo da direção em que a onda se propaga. Ela atravessa sólidos, líquidos e gases, e é a onda sísmica mais rápida, por isso chega primeiro. Uma onda S cisalha a rocha: a rocha se move perpendicularmente à direção em que a onda se propaga. Ela só atravessa sólidos, e chega depois da onda P.

Um líquido escoa e não oferece resistência a uma mudança de forma, de modo que não consegue transmitir um cisalhamento: é por isso que as ondas S param na superfície de um líquido. Na maioria das rochas, uma onda P se propaga cerca de $\sqrt 3 \approx 1.7$ vezes mais depressa que uma onda S. Na crosta superior, uma onda P se propaga a cerca de $5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e uma onda S a cerca de $3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; logo abaixo da crosta, elas chegam a cerca de $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

11.1.2 As curvas de tempo de percurso

A distância de um terremoto a uma estação distante é medida como um ângulo: o ângulo $\Delta$ no centro da Terra entre o epicentro e a estação, a distância epicentral. Um grau dela corresponde a $111.2\,\mathrm{km}$ ao longo da superfície.

Definição 11.2 (Tempo de percurso; curva de tempo de percurso)

O tempo de percurso de uma onda sísmica até uma estação é o tempo que ela leva para ir do foco até a estação. A curva de tempo de percurso de uma onda é o gráfico do seu tempo de percurso em função da distância epicentral da estação.

Uma estação registra o instante em que cada onda chega; quando o instante do terremoto é conhecido, a diferença é o tempo de percurso. Milhares de terremotos registrados por milhares de estações deram as curvas de tempo de percurso com grande precisão. Na figura, as curvas são calculadas a partir do modelo de referência da Terra da Seção 11.4, e os pontos são tempos de percurso observados em terremotos reais: os dois concordam em menos de dois por cento em toda parte, e quase sempre em um ou dois segundos.

A curva S sobe mais abruptamente que a curva P, de modo que o atraso entre as duas chegadas cresce com a distância. Isso dá a distância de um terremoto a partir de um único registro.

Método 11.3 (Distância de um terremoto pelo atraso S–P)

1. No registro, leia o instante da primeira onda P e o da primeira onda S; a sua diferença é o atraso S–P.
2. Nas curvas de tempo de percurso (ou numa tabela delas), encontre a distância epicentral em que a curva S fica esse atraso acima da curva P.
3. Converta em quilômetros, se necessário, com $111.2\,\mathrm{km}$ por grau.

Com três estações, o epicentro é o ponto que fica à distância certa das três.

Exemplo 11.4 (Um terremoto a $60{}^{\circ}$)

Os tempos de percurso observados são de $608\,\mathrm{s}$ para P e $1101\,\mathrm{s}$ para S a $60{}^{\circ}$, e de $536\,\mathrm{s}$ e $967\,\mathrm{s}$ a $50{}^{\circ}$. Uma estação que registra uma onda S $493\,\mathrm{s}$ (8 minutos e 13 segundos) depois da onda P fica, portanto, a $60{}^{\circ}$ do epicentro: cerca de $60 \times 111.2 \approx 6670\,\mathrm{km}$. A $50{}^{\circ}$, o atraso seria de apenas $431\,\mathrm{s}$.

11.2 A refração e o Moho

11.2.1 A onda que corre ao longo de uma fronteira

No interior da Terra, a velocidade das ondas sísmicas muda com a profundidade, quase sempre gradualmente, mas em alguns lugares de uma vez.

Definição 11.5 (Descontinuidade sísmica)

Uma descontinuidade sísmica é uma superfície no interior da Terra através da qual a velocidade das ondas sísmicas muda bruscamente — numa espessura muito menor que o comprimento das ondas.

Numa descontinuidade, parte de uma onda é refletida e parte é refratada. Tome uma camada de espessura $h$ na qual as ondas P se propagam a $v_1$, sobre uma camada na qual elas são mais rápidas, $v_2 > v_1$. Um raio que desce com o ângulo $i$ em relação à vertical é refratado com o ângulo $r$ dado por $\sin r = (v_2/v_1)\sin i$: ele se afasta da vertical. Quando $\sin i$ chega a $v_1/v_2$, o raio refratado corre exatamente ao longo da fronteira. O ângulo

é o ângulo crítico. A onda refratada no ângulo crítico se propaga ao longo do topo da camada mais rápida com a velocidade $v_2$ e, à medida que avança, envia ondas de volta para cima, para a camada superior, todas com o ângulo $i_c$: elas chegam à superfície como a onda frontal.

Proposição 11.6 (Tempo de percurso da onda frontal)

Para uma fonte na superfície, uma estação à distância $x \ge 2h\tan i_c$ recebe a onda frontal depois de

$$t(x) = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}.$$

A sua curva de tempo de percurso é uma reta de inclinação $1/v_2$ que, prolongada para trás, corta o eixo dos tempos no tempo de intercepto $t_i = 2h\cos i_c/v_1$.

A onda direta chega depois de $x/v_1$: a sua curva é uma reta que passa pela origem, mais inclinada que a reta da onda frontal. Perto da fonte, a onda direta chega primeiro; longe, a onda frontal, que percorreu a maior parte do caminho na velocidade maior, a ultrapassa.

Proposição 11.7 (Distância de cruzamento)

A onda frontal chega antes da onda direta além da distância de cruzamento

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

11.2.2 A base da crosta

Definição 11.8 (Moho)

A descontinuidade de Mohorovičić, ou Moho, é a descontinuidade sísmica na base da crosta, onde a velocidade das ondas P salta de no máximo cerca de $7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para cerca de $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, a velocidade no topo do manto.

História — Mohorovičić e as duas ondas P, 1909

Andrija Mohorovičić (1857–1936) descobriu, nos registros do terremoto de 1909, que além de uma certa distância — em geral entre 100 e $150\,\mathrm{km}$ — uma onda P fraca e mais rápida chegava antes da onda P forte. Ele a explicou como uma onda que tinha atravessado uma rocha mais rápida sob a crosta. Ele chamou as duas ondas de Pg (a onda direta na crosta) e Pn (a onda frontal ao longo do topo do manto), fez o mesmo para as ondas S, e deduziu as velocidades das duas camadas e a profundidade da fronteira entre elas. A onda Pn se propaga a cerca de $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, a velocidade do topo do manto. Os seus artigos de 1910 provaram que a crosta e o manto são diferentes; a fronteira leva o seu nome.

Método 11.9 (Profundidade do Moho a partir de um diagrama de tempos de percurso)

1. Represente os tempos das primeiras chegadas em função da distância ao epicentro.
2. Trace a reta da onda direta (pela origem) e a reta da onda frontal; as suas inclinações são $1/v_1$ e $1/v_2$.
3. Prolongue a reta da onda frontal para trás até o eixo dos tempos: ela o corta no tempo de intercepto $t_i$.
4. Com $\sin i_c = v_1/v_2$, a espessura da crosta é $h = \dfrac{v_1\,t_i}{2\cos i_c}$.

Exemplo 11.10 (Uma crosta de $30\,\mathrm{km}$ de espessura)

Com $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\sin i_c = 0.765$, $i_c \approx 49.9{}^{\circ}$ e $\cos i_c \approx 0.644$. Um tempo de intercepto de $6.23\,\mathrm{s}$ dá $h = 6.2 \times 6.23/(2 \times 0.644) \approx 30\,\mathrm{km}$. A onda frontal chega à superfície pela primeira vez a $2h\tan i_c \approx 71\,\mathrm{km}$ e ultrapassa a onda direta além de $x_c = 60\sqrt{14.3/1.9} \approx 165\,\mathrm{km}$.

Medido dessa maneira no mundo inteiro, o Moho fica apenas a cerca de $5\,\mathrm{km}$ abaixo do fundo dos oceanos. Sob os continentes, ele fica em média a cerca de $41\,\mathrm{km}$ de profundidade: cerca de $30\,\mathrm{km}$ onde a crosta foi estirada, mais de $45\,\mathrm{km}$ sob as cadeias de montanhas, e até cerca de $100\,\mathrm{km}$ sob as cordilheiras mais altas. A crosta é uma pele fina: mesmo $41\,\mathrm{km}$ são menos de um por cento do raio da Terra.

11.3 O núcleo

11.3.1 Raios que se curvam

No manto, a velocidade das ondas sísmicas aumenta com a profundidade. Um raio que desce atravessa rochas cada vez mais rápidas e, pela lei de Snell, se afasta um pouco mais da vertical a cada passo: o seu trajeto se curva e volta a subir em direção à superfície. Quanto mais fundo um raio faz a curva, mais longe do terremoto ele volta à superfície. A figura mostra raios desse tipo, calculados com as velocidades do modelo de referência da Terra.

11.3.2 A zona de sombra e o núcleo externo líquido

Em 1906, o sismólogo Oldham percebeu que as ondas P registradas do outro lado da Terra em relação a um terremoto chegavam atrasadas em comparação com os tempos esperados, e propôs um núcleo central no qual elas se propagam mais devagar. Em 1912, Gutenberg mostrou que as ondas P não chegam a toda uma faixa de distâncias, entre cerca de $105{}^{\circ}$ e $143{}^{\circ}$, com chegadas fortes logo além de $143{}^{\circ}$; em 1914, ele situou o topo do núcleo a $2900\,\mathrm{km}$ de profundidade.

Definição 11.11 (Zona de sombra)

A zona de sombra de uma onda sísmica é a faixa de distâncias epicentrais que a onda não consegue alcançar diretamente a partir de um terremoto, porque o núcleo a desvia ou a detém.

Os raios a explicam. Os raios P que fazem a curva logo acima do núcleo voltam à superfície a cerca de $100{}^{\circ}$ do terremoto. Um raio que desce um pouco mais inclinado entra no núcleo, onde a velocidade P cai bruscamente de $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para cerca de $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: pela lei de Snell, ele se inclina em direção à vertical, atravessa o núcleo e sai muito mais longe, além de cerca de $144{}^{\circ}$. Nenhum raio P que faz a curva no manto e nenhum raio P que atravessa o núcleo cai entre os dois. No modelo de referência, a zona de sombra P vai de $98.5{}^{\circ}$ a $143.8{}^{\circ}$, perto dos $105{}^{\circ}$–$143{}^{\circ}$ de Gutenberg.

As ondas S dizem mais. Nenhuma onda S atravessa o núcleo externo: o núcleo externo não transmite ondas de cisalhamento, logo ele é líquido. Em consequência, nenhuma onda S chega diretamente além de cerca de $103{}^{\circ}$ no modelo de referência — em todo o lado oposto da Terra.

Definição 11.12 (Limite manto–núcleo; limite do núcleo interno)

O limite manto–núcleo é a descontinuidade sísmica entre o manto sólido e o núcleo externo líquido, a uma profundidade de $2891\,\mathrm{km}$; ali, a velocidade P cai de cerca de $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para cerca de $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, e as ondas S param. O limite do núcleo interno, a uma profundidade de $5150\,\mathrm{km}$, separa o núcleo externo líquido do núcleo interno sólido; ali, a velocidade P salta de cerca de $10.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para cerca de $11.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

A zona de sombra não é completamente silenciosa: ondas P fracas chegam a ela. Inge Lehmann as explicou em 1936 com um núcleo interno sólido, no qual as ondas P se propagam mais depressa (Livro 1, 6º ano). Os raios mostram como. Um raio P que chega ao núcleo interno se afasta da vertical onde a velocidade salta para cima, como no Moho, e sai do núcleo mais cedo: no modelo de referência, os raios que atravessam o núcleo interno chegam à superfície a partir de cerca de $121{}^{\circ}$, dentro da zona de sombra (curva pontilhada da figura dos tempos de percurso).

11.4 Um modelo de referência da Terra

Reunidos, milhões de tempos de percurso dão a velocidade das ondas P e S em cada profundidade. As suas velocidades dependem da rocha e da sua densidade, e a massa total da Terra fixa a sua densidade média; juntas, elas dão também a densidade em cada profundidade.

Definição 11.13 (Modelo de referência da Terra)

Um modelo de referência da Terra é uma tabela da velocidade das ondas P, da velocidade das ondas S e da densidade em função da profundidade, a mesma em todas as direções, escolhida para concordar com os tempos de percurso observados das ondas sísmicas e com a massa da Terra.

O mais usado é o Preliminary Reference Earth Model (PREM), publicado por A. M. Dziewonski e D. L. Anderson em 1981. Os raios e os tempos de percurso deste capítulo foram calculados com ele: o tempo de percurso P a $60{}^{\circ}$, por exemplo, sai $607\,\mathrm{s}$, contra $608\,\mathrm{s}$ observados.

Lendo o modelo de cima para baixo:

• a crosta, com velocidades P de 5.8 a $6.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, termina no Moho ($24.4\,\mathrm{km}$ neste modelo médio);
• no manto, as velocidades sobem com a profundidade, com saltos bruscos menores, os maiores perto de $400\,\mathrm{km}$ e de $670\,\mathrm{km}$;
• a $2891\,\mathrm{km}$, a velocidade S cai a zero e a velocidade P cai mais de $5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: o núcleo externo líquido;
• a $5150\,\mathrm{km}$, as ondas S voltam a existir: o núcleo interno sólido, de $1220\,\mathrm{km}$ de raio.

A densidade sobe de $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ na crosta para $5.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ na base do manto, depois salta para $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ no topo do núcleo e chega a $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ no centro. A densidade média de todo o modelo é de $5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, o dobro da das rochas da crosta: o interior profundo, e sobretudo o núcleo, é feito de um material muito mais denso que a superfície. O núcleo contém cerca de um terço da massa da Terra.

11.5 Exercícios

Exercício 11.1 ★

Dê duas diferenças entre as ondas P e as ondas S. Qual delas é registrada primeiro por um sismômetro, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 11.1.

Uma onda P comprime e estica a rocha, que se move ao longo da direção de propagação; uma onda S a cisalha, e a rocha se move perpendicularmente a essa direção. As ondas P atravessam sólidos e líquidos; as ondas S, só sólidos. A onda P é registrada primeiro, porque é a mais rápida das duas.

Exercício 11.2 ★

Uma estação fica a $40{}^{\circ}$ de um epicentro. A que distância ela está, medida ao longo da superfície? A quantos graus fica uma estação a $8900\,\mathrm{km}$ de um epicentro?

Solução

Solução de Exercício 11.2.

$40 \times 111.2 = 4448\,\mathrm{km}$, cerca de $4450\,\mathrm{km}$. $8900/111.2 \approx 80{}^{\circ}$.

Exercício 11.3 ★

Os tempos de percurso observados a $40{}^{\circ}$ são de $456\,\mathrm{s}$ para P e $822\,\mathrm{s}$ para S. Converta-os em minutos e segundos, e dê o atraso S–P.

Solução

Solução de Exercício 11.3.

$456\,\mathrm{s}$ são 7 minutos e 36 segundos; $822\,\mathrm{s}$ são 13 minutos e 42 segundos. O atraso S–P é de $822 - 456 = 366\,\mathrm{s}$, isto é, 6 minutos e 6 segundos.

Exercício 11.4 ★

Uma crosta na qual as ondas P se propagam a $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ repousa sobre um manto onde elas se propagam a $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcule o ângulo crítico.

Solução

Solução de Exercício 11.4.

$\sin i_c = 6.0/8.0 = 0.75$, logo $i_c \approx 48.6{}^{\circ}$.

Exercício 11.5 ★

No modelo de referência, o limite manto–núcleo fica a $2891\,\mathrm{km}$ de profundidade e o limite do núcleo interno a $5150\,\mathrm{km}$; o raio da Terra é de $6371\,\mathrm{km}$. Calcule a espessura do núcleo externo, o raio do núcleo e o raio do núcleo como fração do raio da Terra.

Solução

Solução de Exercício 11.5.

O núcleo externo tem $5150 - 2891 = 2259\,\mathrm{km}$ de espessura. O raio do núcleo é $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$, e $3480/6371 \approx 0.55$: um pouco mais da metade do raio da Terra.

Exercício 11.6 ★★

Os atrasos S–P observados são de $224\,\mathrm{s}$ a $20{}^{\circ}$, $298\,\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}$, $366\,\mathrm{s}$ a $40{}^{\circ}$, $431\,\mathrm{s}$ a $50{}^{\circ}$ e $493\,\mathrm{s}$ a $60{}^{\circ}$. Uma estação registra uma onda S 6 minutos e 6 segundos depois da onda P. A que distância está o terremoto, em graus e em quilômetros? Por que uma única estação não consegue dizer onde está o terremoto?

Solução

Solução de Exercício 11.6.

6 minutos e 6 segundos são $366\,\mathrm{s}$: o terremoto está a $40{}^{\circ}$, isto é, $40 \times 111.2 \approx 4450\,\mathrm{km}$. Um único atraso só dá a distância: o epicentro pode estar em qualquer ponto de um círculo desse raio em torno da estação. São precisas mais duas estações para encontrar o único ponto que fica à distância certa das três.

Exercício 11.7 ★★

Com as velocidades do Exercício 11.4 e uma crosta de $35\,\mathrm{km}$ de espessura, calcule os tempos de percurso da onda direta e da onda frontal numa estação a $200\,\mathrm{km}$ do epicentro. Qual chega primeiro?

Solução

Solução de Exercício 11.7.

$i_c \approx 48.6{}^{\circ}$ e $\cos i_c \approx 0.661$. Onda direta: $200/6.0 \approx 33.3\,\mathrm{s}$. Onda frontal: $200/8.0 + 2 \times 35 \times 0.661/6.0 \approx 25.0 + 7.7 = 32.7\,\mathrm{s}$. A onda frontal chega primeiro, cerca de $0.6\,\mathrm{s}$ antes.

Exercício 11.8 ★★

Para a crosta do Exercício 11.7, calcule a distância crítica $2h\tan i_c$ e a distância de cruzamento. Verifique que a resposta ao Exercício 11.7 concorda.

Solução

Solução de Exercício 11.8.

$\tan i_c \approx 1.134$: a distância crítica é $2 \times 35 \times 1.134 \approx 79\,\mathrm{km}$. A distância de cruzamento é $2 \times 35 \times \sqrt{14.0/2.0} = 70\sqrt 7 \approx 185\,\mathrm{km}$. A estação do Exercício 11.7 fica a $200\,\mathrm{km}$, além do cruzamento: a onda frontal chega primeiro, como se encontrou.

Exercício 11.9 ★★

Sob um oceano, uma crosta de $6\,\mathrm{km}$ de espessura, na qual as ondas P se propagam a $6.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, repousa sobre um manto a $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcule o ângulo crítico, o tempo de intercepto e a distância de cruzamento. Por que as estações precisam estar muito mais próximas umas das outras para encontrar o Moho sob um oceano do que sob um continente?

Solução

Solução de Exercício 11.9.

$\sin i_c = 6.5/8.0 = 0.8125$, $i_c \approx 54.3{}^{\circ}$ e $\cos i_c \approx 0.583$. Tempo de intercepto: $2 \times 6 \times 0.583/6.5 \approx 1.1\,\mathrm{s}$. Distância de cruzamento: $12\sqrt{14.5/1.5} \approx 37\,\mathrm{km}$. Sob um continente, o cruzamento fica perto de $165\,\mathrm{km}$, de modo que estações a algumas dezenas de quilômetros umas das outras captam as duas retas; sob o oceano, a onda frontal já chega primeiro além de cerca de $37\,\mathrm{km}$, e a reta da onda direta tem apenas algumas dezenas de quilômetros de comprimento: as estações precisam estar a alguns quilômetros umas das outras para traçá-la.

Exercício 11.10 ★★

Um raio P no manto mais profundo, onde se propaga a $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, encontra o limite manto–núcleo a $30{}^{\circ}$ da perpendicular. Abaixo do limite, a velocidade P é de $8.06\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcule o ângulo do raio refratado. O raio se inclina em direção à perpendicular ou se afasta dela? Use isso para explicar por que os raios P que entram no núcleo saem longe do terremoto.

Solução

Solução de Exercício 11.10.

$\sin r = (8.06/13.7)\sin30{}^{\circ} \approx 0.294$, logo $r \approx 17.1{}^{\circ}$: o raio se inclina em direção à perpendicular, isto é, em direção ao centro da Terra. Ele atravessa, portanto, o núcleo por um longo trajeto perto do seu meio, e volta a sair bem longe, do outro lado: os raios P que entram no núcleo saem muito mais longe do terremoto que os raios que passam logo ao lado dele.

Exercício 11.11 ★★

No modelo de referência, uma onda P que desce em linha reta passando pelo centro leva $1210\,\mathrm{s}$ para chegar ao ponto oposto da Terra. Quanto tempo ela levaria se percorresse todo o diâmetro ($12\,742\,\mathrm{km}$) a $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, a velocidade P na base do manto? O que Oldham concluiu desses atrasos?

Solução

Solução de Exercício 11.11.

$12\,742/13.7 \approx 930\,\mathrm{s}$, cerca de 15.5 minutos, enquanto a onda leva $1210\,\mathrm{s}$, cerca de 20 minutos: ela chega uns 280 segundos atrasada. Mesmo na velocidade mais alta do manto, a onda chegaria muito antes, de modo que o meio da Terra precisa freá-la. Oldham concluiu que a Terra tem um núcleo central no qual as ondas P se propagam mais devagar que no manto.

Exercício 11.12 ★★★

(1) A partir da Proposição 11.6, mostre que a espessura da crosta é

$$h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) Aplique-a a $t_i = 6.23\,\mathrm{s}$, $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

Solução

Solução de Exercício 11.12.

(1) Pela proposição, $t_i = 2h\cos i_c/v_1$, e $\cos i_c = \sqrt{1 - v_1^2/v_2^2} = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$. Logo

$$t_i = \frac{2h\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}{v_1 v_2}, \qquad\text{portanto}\qquad h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) $h = 6.23 \times 6.2 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 38.44}\bigr) \approx 312.9/10.43 \approx 30.0\,\mathrm{km}$.

Exercício 11.13 ★★★

A densidade média da Terra é de $5.52\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. Trate a Terra como um núcleo de raio $3480\,\mathrm{km}$ e densidade uniforme $\rho_c$, dentro de um manto e de uma crosta de densidade uniforme $4.45\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ (a média do modelo de referência). (1) Que fração do volume da Terra é o núcleo? (2) Calcule $\rho_c$. (3) Compare com a densidade no topo do núcleo no modelo de referência, $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, e com a densidade da crosta.

Solução

Solução de Exercício 11.13.

(1) $(3480/6371)^3 \approx 0.163$: o núcleo é cerca de $16\,\%$ do volume. (2) A densidade média é a média ponderada pelos volumes: $5.52 = 0.163 \rho_c + 0.837 \times 4.45$, logo $\rho_c \approx (5.52 - 3.72)/0.163 \approx 11.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. (3) Isso é mais que $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, como deve ser, já que a densidade do núcleo aumenta em direção ao centro (até $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$); é cerca de quatro vezes a densidade da crosta, $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. O núcleo é feito de um material muito mais denso que as rochas da superfície.

Exercício 11.14 ★★★

A zona de sombra P de Gutenberg vai de $105{}^{\circ}$ a $143{}^{\circ}$. (1) Dê os seus limites em quilômetros ao longo da superfície. (2) Numa esfera, a área entre as distâncias angulares $a$ e $b$ de um ponto é a fração $(\cos a - \cos b)/2$ de toda a superfície. Que fração da superfície da Terra não recebe nenhuma onda P direta de um dado terremoto? (3) Por que cada terremoto tem a sua própria zona de sombra?

Solução

Solução de Exercício 11.14.

(1) $105 \times 111.2 \approx 11\,700\,\mathrm{km}$ e $143 \times 111.2 \approx 15\,900\,\mathrm{km}$. (2) $(\cos105{}^{\circ} - \cos143{}^{\circ})/2 \approx (-0.259 + 0.799)/2 \approx 0.27$: cerca de $27\,\%$ da superfície, um anel em torno do ponto oposto ao terremoto. (3) A zona de sombra é uma faixa de distâncias ao epicentro: ela se desloca com o terremoto. Cada terremoto tem o seu próprio anel.

Exercício 11.15 ★★★

Sob uma alta cadeia de montanhas, um levantamento de refração encontra $v_1 = 6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e um tempo de intercepto de $9.5\,\mathrm{s}$. (1) Calcule a espessura da crosta ali. (2) Que tempo de intercepto daria uma crosta de $30\,\mathrm{km}$ de espessura com as mesmas velocidades? (3) Compare com a espessura média da crosta continental.

Solução

Solução de Exercício 11.15.

(1) $h = 9.5 \times 6.3 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 39.69}\bigr) \approx 484.8/10.18 \approx 48\,\mathrm{km}$. (2) $\sin i_c = 6.3/8.1 \approx 0.778$, $\cos i_c \approx 0.629$, e $t_i = 2 \times 30 \times 0.629/6.3 \approx 6.0\,\mathrm{s}$. (3) A crosta sob a cordilheira tem cerca de $48\,\mathrm{km}$ de espessura, mais que a média continental de cerca de $41\,\mathrm{km}$ e perto da média das cadeias de montanhas: as cordilheiras altas se apoiam numa crosta espessa.

11.6 Problema: encontrar o Moho

Problema 11.1

Problema de fim de semana — a profundidade da crosta a partir de quinze estações

Um pequeno terremoto ocorre a uma profundidade muito rasa sob um continente. Quinze estações dispostas numa linha reta a partir do epicentro registram os instantes de chegada da primeira onda P e, onde é possível lê-los, de uma segunda. As leituras abaixo são inventadas, mas calculadas como um levantamento real as encontraria, ao décimo de segundo. Pg é a onda que se propaga pela crosta, Pn a que correu ao longo do topo do manto.

distância ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)	distância ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)
20	3.3	—	180	29.0	28.5
40	6.5	—	200	32.3	30.9
60	9.7	—	220	—	33.3
80	12.8	16.2	240	—	35.8
100	16.1	18.6	260	—	38.3
120	19.3	21.1	280	—	40.8
140	22.6	23.6	300	—	43.2
160	25.8	26.0

Parte I — A onda direta.

1. Em papel milimetrado, represente os tempos Pg e Pn em função da distância ($1\,\mathrm{cm}$ para $20\,\mathrm{km}$ e para $5\,\mathrm{s}$). Como se dispõem os pontos Pg?
2. Por que a reta Pg passa perto da origem?
3. Usando as estações a 20 e a $200\,\mathrm{km}$, calcule a inclinação da reta Pg em segundos por quilômetro.
4. Deduza a velocidade $v_1$ das ondas P na crosta.
5. Se a crosta continuasse, quando a onda Pg chegaria à estação a $300\,\mathrm{km}$?

Parte II — A onda refratada.

6. Usando as estações a 100 e a $300\,\mathrm{km}$, calcule a inclinação da reta Pn e a velocidade $v_2$ das ondas P sob a crosta.
7. Compare $v_2$ com a velocidade da onda Pn que Mohorovičić mediu, cerca de $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Que rocha fica sob a crosta?
8. Calcule o ângulo crítico $i_c$.
9. Nenhuma estação mais próxima que $80\,\mathrm{km}$ registra uma onda Pn. Usando a Proposição 11.6, explique por que existe uma distância mínima a partir da qual a onda frontal pode ser registrada.
10. Entre 80 e $160\,\mathrm{km}$, Pn chega depois de Pg. Por que ela ainda é registrada?

Parte III — O cruzamento.

11. Pela tabela, entre quais duas estações a primeira onda a chegar passa de Pg para Pn?
12. Escreva as equações das duas retas, usando os pontos a $20\,\mathrm{km}$ (Pg) e a $100\,\mathrm{km}$ (Pn).
13. Calcule a distância em que as duas retas se cruzam.
14. Além de $200\,\mathrm{km}$, nenhuma estação registra Pg como uma onda separada. Que onda uma estação a $250\,\mathrm{km}$ registra primeiro, e quando?

Parte IV — A profundidade do Moho.

15. Prolongue a reta Pn para trás até o eixo dos tempos: qual é o tempo de intercepto $t_i$?
16. Calcule $\cos i_c$, e a espessura $h$ da crosta pelo Método 11.9.
17. Verifique: com esse $h$, calcule a distância de cruzamento com a Proposição 11.7 e compare com a questão 13.
18. Verifique de novo: calcule a distância crítica $2h\tan i_c$ e compare com a estação mais próxima que registra Pn.
19. Os sismólogos dão $h$ apenas a alguns quilômetros. Por que um valor mais fino não se justifica?
20. Conclua: a que profundidade fica o Moho sob esta região? A crosta aqui é fina ou espessa para um continente?

Solução

Solução de Problema 11.1.

1. Os pontos Pg ficam numa reta; os pontos Pn ficam em outra reta, menos inclinada.

2. O terremoto está a uma profundidade muito rasa sob o epicentro: uma estação à distância zero registraria a onda imediatamente.

3. $(32.3 - 3.3)/(200 - 20) = 29.0/180 \approx 0.161$ $\mathrm{s}$ por quilômetro.

4. $v_1 = 180/29.0 \approx 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

5. $3.3 + 280 \times 0.161 \approx 48.4\,\mathrm{s}$.

6. $(43.2 - 18.6)/(300 - 100) = 24.6/200 = 0.123$ $\mathrm{s}$ por quilômetro, logo $v_2 = 200/24.6 \approx 8.13\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

7. Ela é próxima de $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: sob a crosta fica a rocha do topo do manto.

8. $\sin i_c = 6.21/8.13 \approx 0.763$, logo $i_c \approx 49.8{}^{\circ}$.

9. A onda frontal desce com o ângulo $i_c$ e volta a subir com o mesmo ângulo. O primeiro ponto em que ela pode voltar à superfície fica $h\tan i_c$ além do ponto em que ela chegou ao Moho, que por sua vez fica a $h\tan i_c$ da fonte: nenhuma estação mais próxima que $2h\tan i_c$ pode recebê-la.

10. Um sismômetro registra todas as ondas que chegam até ele, não só a primeira; a onda Pn chega depois da onda Pg, mas ainda aparece como uma onda separada no registro.

11. A $160\,\mathrm{km}$, Pg ($25.8\,\mathrm{s}$) vem antes de Pn ($26.0\,\mathrm{s}$); a $180\,\mathrm{km}$, Pn ($28.5\,\mathrm{s}$) vem antes de Pg ($29.0\,\mathrm{s}$). A mudança acontece entre essas duas estações.

12. Pg: $t = 3.3 + 0.1611\,(x - 20) \approx 0.08 + 0.1611\,x$. Pn: $t = 18.6 + 0.123\,(x - 100) = 6.30 + 0.123\,x$ ($x$ em quilômetros, $t$ em segundos).

13. $0.08 + 0.1611\,x = 6.30 + 0.123\,x$ dá $x \approx 6.22/0.0381 \approx 163\,\mathrm{km}$.

14. Pn, depois de $6.30 + 0.123 \times 250 \approx 37.1\,\mathrm{s}$.

15. $t_i \approx 6.3\,\mathrm{s}$.

16. $\cos i_c \approx 0.646$, logo $h = 6.21 \times 6.3/(2 \times 0.646) \approx 30.3\,\mathrm{km}$.

17. $x_c = 2 \times 30.3 \times \sqrt{14.34/1.92} \approx 60.6 \times 2.73 \approx 165\,\mathrm{km}$, a menos de $2\,\mathrm{km}$ dos $163\,\mathrm{km}$ da questão 13.

18. $\tan i_c \approx 1.18$: $2 \times 30.3 \times 1.18 \approx 72\,\mathrm{km}$. A estação mais próxima que registra Pn fica a $80\,\mathrm{km}$, e a de $60\,\mathrm{km}$ não registra: os dois resultados concordam.

19. Os tempos são lidos a $0.1\,\mathrm{s}$, e um erro de $0.1\,\mathrm{s}$ só em $t_i$ muda $h$ em cerca de $0.5\,\mathrm{km}$; as velocidades, tiradas de inclinações, também são incertas, e o terremoto não estava exatamente na superfície. A crosta também não é perfeitamente uniforme. Uma precisão de um ou dois quilômetros é o máximo que os dados permitem.

20. O Moho fica a cerca de $30\,\mathrm{km}$ sob esta região: a crosta aqui é do lado fino para um continente, cuja crosta tem em média cerca de $41\,\mathrm{km}$; $30\,\mathrm{km}$ é típico das regiões onde a crosta foi estirada.