22O magmatismo das zonas de subducção

Em 18 de maio de 1980, às 8h32 da manhã, um terremoto de magnitude 5.1 sacudiu o monte Santa Helena. No mesmo instante, o flanco norte do vulcão, que vinha se estufando para fora cerca de dois metros por dia, deslizou: a maior avalanche de detritos da história registrada, cerca de $2.5\,\mathrm{km}^{3}$ de rocha. Livre da sua carga, o magma rico em gás do interior explodiu de lado através da cicatriz, a nada menos que $480\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, derrubando florestas em $600\,\mathrm{km}^{2}$. Em quinze minutos, uma coluna de cinzas se erguia a mais de $24\,\mathrm{km}$ de altura, e a erupção continuou por nove horas. Sessenta e uma pessoas morreram ou nunca foram encontradas.

O monte Santa Helena é um de uma fileira de vulcões — Baker, Rainier, Hood, Shasta e outros — que fica acima do lugar onde uma pequena placa oceânica, a placa Juan de Fuca, afunda sob a América do Norte. Este capítulo pergunta por que se encontram vulcões ali, por que as suas erupções são tão muitas vezes violentas, e o que acontece com o magma que nunca chega à superfície.

O que você já sabe

Numa zona de subducção, uma placa de litosfera oceânica volta a afundar no manto sob outra placa; os seus terremotos, a zona de Wadati–Benioff, seguem a laje até $670\,\mathrm{km}$ de profundidade (Capítulo 15). O manto é feito de peridotito; ele é sólido, mas uma rocha que sobe e fica menos comprimida pode se fundir em parte, por fusão por descompressão, como sob uma dorsal (Capítulo 14). O andesito é uma rocha vulcânica intermediária entre o basalto e o riolito, o diorito é o seu equivalente plutônico, e um plúton é um grande corpo de magma que esfriou no subsolo (Capítulo 17). A crosta continental é espessa e leve, feita principalmente de rocha granítica em cima (Capítulo 19). Uma erupção explosiva despedaça o magma com o seu próprio gás (Livro 1, 7º ano).

22.1 Os arcos vulcânicos

A maioria dos vulcões ativos em terra não fica em lugares quaisquer. Dos 1214 vulcões que entraram em erupção desde o fim da última era glacial e estão listados no catálogo do Global Volcanism Program, 838 — mais de dois em cada três — ficam acima de uma zona de subducção. Em volta do Pacífico, eles formam um anel quase contínuo, muitas vezes chamado de Anel de Fogo, e cada fileira deles corre paralela a uma fossa, do lado da placa que não afunda.

Definição 22.1 (Arco vulcânico)

Um arco vulcânico é uma fileira de vulcões na placa que se sobrepõe de uma zona de subducção, paralela à fossa, acima do lugar onde a laje atingiu uma profundidade de cerca de cem quilômetros. É um arco insular quando se ergue do fundo do mar, como no Japão ou na Indonésia, e um arco continental quando fica sobre um continente, como nos Andes ou nas Cascatas.

A borda do arco mais próxima da fossa se chama frente vulcânica: do lado da fossa, não há nenhum vulcão. A que profundidade fica a laje abaixo dela?

Proposição 22.2 (A laje sob a frente vulcânica)

Se a laje é um plano que mergulha com um ângulo $\theta$ a partir da fossa, e se a frente vulcânica fica a uma distância horizontal $d$ da fossa, então o topo da laje fica sob a frente a uma profundidade

$$H = d \tan\theta .$$

Uma compilação de 839 centros vulcânicos ao longo de $33\,000\,\mathrm{km}$ de arcos mediu $H$ sob cada um deles: em média sobre trechos de arco de $500\,\mathrm{km}$, ela vai de 72 a $173\,\mathrm{km}$, com uma média de $105\,\mathrm{km}$. Os arcos acima de lajes íngremes ficam perto da sua fossa, os arcos acima de lajes de mergulho suave ficam longe dela, mas a laje sob eles está sempre a cerca de cem quilômetros de profundidade.

Método 22.3 (Encontrar a laje sob um vulcão)

1. Tome os terremotos de uma faixa estreita através do arco, e represente a sua profundidade em função da sua distância através dele, em escala verdadeira.
2. Guarde os terremotos com mais de cerca de $70\,\mathrm{km}$ de profundidade: os mais rasos também ocorrem na placa que se sobrepõe e na falha entre as duas placas.
3. Trace a reta, ou leia a profundidade, dos terremotos profundos sob a frente vulcânica: é a profundidade da laje ali.
4. Verifique-a com $H = d\tan\theta$, medindo $d$ a partir da fossa e o mergulho $\theta$ no corte.

Exemplo 22.4 (O nordeste do Japão)

Na faixa da figura, o vulcão mais a leste é o Iwate, a $141.0{}^{\circ}$ Leste, e a Fossa do Japão fica a $144.1{}^{\circ}$ Leste. Um grau de longitude ali vale $111.2\cos39{}^{\circ} \approx 86.4\,\mathrm{km}$, logo $d \approx 3.12 \times 86.4 \approx 270\,\mathrm{km}$. Os terremotos profundos mergulham cerca de $20{}^{\circ}$, e

$$H = 270 \times \tan20{}^{\circ} \approx 98\,\mathrm{km}.$$

Os terremotos com mais de $70\,\mathrm{km}$ de profundidade que ficam sob a própria frente têm uma profundidade mediana de $98\,\mathrm{km}$: os dois concordam, perto da média mundial.

22.2 A água funde o manto

Sob um arco, a laje é fria, e a crosta oceânica em cima dela também: ela não pode se fundir. O magma precisa vir do manto quente acima da laje, a cunha do manto. Mas a cunha não está subindo, então ela não pode se fundir por descompressão como sob uma dorsal. Outra coisa abaixa a sua temperatura de fusão: a água.

A crosta oceânica é encharcada de água do mar perto da dorsal onde se forma, e grande parte dessa água acaba presa dentro dos seus minerais, sobretudo na serpentina, formada a partir da olivina e do piroxênio da crosta. À medida que a laje afunda e se aquece, esses minerais se decompõem e liberam a sua água. A água sobe para o peridotito quente da cunha acima.

Definição 22.5 (Fusão hidratada)

A fusão hidratada (ou fusão por fluxo) é a fusão parcial de uma rocha causada pela adição de água, que abaixa a temperatura em que a rocha começa a se fundir.

A temperatura em que uma rocha começa a se fundir, a uma dada pressão, é o seu solidus. Para o peridotito seco, ele é bem conhecido; com água, é muito mais difícil de medir, e os valores publicados ainda diferem de 200 a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Os experimentos mais recentes o situam entre 950 e $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $3\,\mathrm{GPa}$, cerca de $95\,\mathrm{km}$ de profundidade, e um pouco acima de $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de 5 a $11\,\mathrm{GPa}$. O peridotito seco a $3\,\mathrm{GPa}$ só começa a se fundir a cerca de $1470\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: a água abaixa o solidus em cerca de $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Assim, a água faz o que o aquecimento sozinho não conseguiria: ela faz uma parte da cunha quente se fundir. O magma, mais leve que o manto sólido em volta, sobe em direção à superfície; uma parte entra em erupção, muito mais fica e esfria no subsolo. O lugar onde a água é liberada, e onde a cunha acima dela é quente o bastante para se fundir uma vez molhada, é o que fixa a frente vulcânica a cerca de cem quilômetros acima da laje.

22.3 Andesitos e granodioritos

Os primeiros líquidos do peridotito úmido não são basálticos. Em experimentos a $1\,\mathrm{GPa}$, o peridotito saturado de água dá líquidos de composição andesítica. Ao subir através da crosta espessa do arco, os magmas também mudam à medida que esfriam, de basálticos para andesíticos e riolíticos. Os magmas de arco são, portanto, mais ricos em sílica que os basaltos das dorsais — o magma andesítico contém de 55 a $65\,\%$ dela —, e carregam a água que os formou.

As duas propriedades tornam as suas erupções violentas. Quanto mais sílica um magma contém, mais viscoso ele é, e mais difícil é para o seu gás escapar; as erupções explosivas são favorecidas por um alto teor de gás e uma alta viscosidade, como nos magmas andesíticos e riolíticos. Quase todos os vulcões compostos ficam acima de zonas de subducção: cones de milhares de metros de altura e de até $20\,\mathrm{km}$ de largura, com encostas de 10 a 30 graus, cujas erupções vão de tranquilos derrames de lava a explosões. Sob o monte Santa Helena, uma câmara magmática de cerca de $1\,\mathrm{km}$ de largura se estende de cerca de 6 a $14\,\mathrm{km}$ de profundidade.

A maior parte do magma de arco nunca entra em erupção. Ele esfria lentamente na crosta e se cristaliza em rochas de grãos grossos.

Definição 22.6 (Granodiorito)

O granodiorito é uma rocha plutônica de grãos grossos semelhante ao granito, mas com mais plagioclásio que feldspato potássico: de 20 a $60\,\%$ dos seus minerais claros são quartzo, e de 65 a $90\,\%$ do seu feldspato é plagioclásio; ele contém muitas vezes biotita ou hornblenda.

Em média, a crosta continental superior contém cerca de $67\,\%$ de $\ce{SiO2}$: ela é félsica, como os granitos que os arcos produzem em quantidade nos seus batólitos.

Definição 22.7 (Batólito)

Um batólito é uma grande massa de rocha plutônica que cobre mais de $100\,\mathrm{km}^{2}$ onde a erosão a expôs. Ele se forma onde muitos plútons, intrudidos uns depois dos outros, se juntam sob a superfície.

Um dos maiores do mundo, o Complexo Plutônico da Costa, se estende ao longo da costa do Pacífico, da região de Vancouver, no oeste do Canadá, até o sudeste do Alasca. O batólito da Sierra Nevada, na Califórnia, se formou acima de uma zona de subducção; a maioria dos seus granitos de Yosemite se cristalizou no Cretáceo, entre 105 e 85 milhões de anos atrás. As rochas acima deles foram desgastadas ao longo de milhões de anos, e os plútons que esfriaram em profundidade hoje formam as montanhas.

22.4 Como os continentes crescem

Definição 22.8 (Crescimento continental)

O crescimento continental é a adição de nova crosta continental, formada a partir do manto, principalmente pelo magmatismo dos arcos. O crescimento líquido dos continentes é essa adição menos a crosta continental que volta ao manto.

Os arcos são onde se forma a rocha leve dos continentes. As estimativas do magma que os arcos acrescentam hoje são de cerca de $1.5\,\mathrm{km}^{3}$ por ano nos arcos insulares e $1.0\,\mathrm{km}^{3}$ por ano nos arcos continentais; em média no longo prazo, cerca de $2.7\,\mathrm{km}^{3}$ por ano. Mas as zonas de subducção também levam crosta continental de volta ao manto: sedimentos arrastados com a laje e pedaços da placa que se sobrepõe raspados por baixo, cerca de $3.2\,\mathrm{km}^{3}$ por ano. Os dois números são próximos, e o crescimento líquido dos continentes nas últimas centenas de milhões de anos pode ter sido nulo, ou até negativo.

Os continentes também crescem pelas bordas de outra maneira. A crosta continental é leve demais para ser subductada, por isso, quando uma placa leva um continente a uma fossa, os dois continentes são soldados numa colisão (Capítulo 20). Cada continente tem um núcleo antigo, um cráton, cercado por cinturões de rochas mais jovens, as raízes deformadas de antigos cinturões de montanhas, acrescentados uns depois dos outros às suas bordas (Capítulo 19).

22.5 Exercícios

Exercício 22.1 ★

Dê a palavra: (a) uma fileira de vulcões paralela a uma fossa, na placa que não afunda; (b) a fusão causada pela adição de água a uma rocha; (c) uma rocha plutônica com mais plagioclásio que feldspato potássico e mais de $20\,\%$ de quartzo; (d) uma massa de rocha plutônica maior que $100\,\mathrm{km}^{2}$; (e) a adição de nova crosta continental formada a partir do manto.

Solução

Solução de Exercício 22.1.

(a) um arco vulcânico; (b) a fusão hidratada (fusão por fluxo); (c) um granodiorito; (d) um batólito; (e) o crescimento continental.

Exercício 22.2 ★

Em 18 de maio de 1980, a coluna de cinzas do monte Santa Helena subiu a mais de $24\,\mathrm{km}$ em menos de 15 minutos. (1) Qual foi a sua menor velocidade média de subida, em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$? (2) Compare-a com a velocidade da explosão lateral, de pelo menos $480\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

Solução

Solução de Exercício 22.2.

(1) Pelo menos $24/0.25 = 96\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, isto é, $96\,000/3600 \approx 27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (2) A explosão foi pelo menos $480/96 = 5$ vezes mais rápida.

Exercício 22.3 ★

Dos 1214 vulcões do catálogo ativos desde o fim da última era glacial, 838 ficam acima de uma zona de subducção. (1) Que porcentagem é essa? (2) De que lado de uma fossa ficam esses vulcões? (3) Por que não há nenhum entre a fossa e a frente vulcânica?

Solução

Solução de Exercício 22.3.

(1) $838/1214 \approx 0.690$, cerca de $69\,\%$. (2) Do lado da placa que se sobrepõe, a que não afunda. (3) Entre a fossa e a frente, a laje ainda não está funda o bastante: ela não atingiu a profundidade, cerca de cem quilômetros, em que a sua água é liberada num manto quente o bastante para se fundir uma vez molhado.

Exercício 22.4 ★

Uma rocha de grãos grossos contém $25\,\%$ de quartzo, $45\,\%$ de plagioclásio, $15\,\%$ de feldspato potássico e $15\,\%$ de biotita e hornblenda. (1) Que fração do seu feldspato é plagioclásio? (2) É um granodiorito?

Solução

Solução de Exercício 22.4.

(1) $45/(45 + 15) = 0.75$: $75\,\%$ do feldspato é plagioclásio. (2) Sim: ela tem grãos grossos, contém mais de $20\,\%$ de quartzo, e a sua fração de plagioclásio fica entre 65 e $90\,\%$.

Exercício 22.5 ★

Dê duas razões pelas quais os vulcões dos arcos têm erupções mais explosivas que os das dorsais.

Solução

Solução de Exercício 22.5.

Os magmas de arco são mais ricos em sílica, logo mais viscosos; e carregam a água que os formou, logo são ricos em gás. Uma alta viscosidade e um alto teor de gás favorecem ambos as erupções explosivas.

Exercício 22.6 ★★

(1) Uma frente vulcânica fica a $150\,\mathrm{km}$ da sua fossa, acima de uma laje que mergulha $35{}^{\circ}$. A que profundidade fica a laje sob ela? (2) Compare com a média de $105\,\mathrm{km}$.

Solução

Solução de Exercício 22.6.

(1) $H = 150 \times \tan35{}^{\circ} \approx 150 \times 0.700 \approx 105\,\mathrm{km}$. (2) É a média mundial.

Exercício 22.7 ★★

Suponha que a laje fica a $105\,\mathrm{km}$ sob todas as frentes vulcânicas. A que distância da fossa fica a frente quando a laje mergulha $20{}^{\circ}$, e quando mergulha $45{}^{\circ}$? O que isso diz sobre onde procurar o arco?

Solução

Solução de Exercício 22.7.

$d = H/\tan\theta$: $105/\tan20{}^{\circ} \approx 105/0.364 \approx 288\,\mathrm{km}$ a $20{}^{\circ}$, e $105/\tan45{}^{\circ} = 105\,\mathrm{km}$ a $45{}^{\circ}$. Quanto mais suave a laje, mais longe da fossa fica o arco.

Exercício 22.8 ★★

A $100\,\mathrm{km}$, a pressão é de cerca de $3.16\,\mathrm{GPa}$. (1) Usando $T = -5.104P^2 + 132.9P + 1120.7$ ($P$ em $\mathrm{GPa}$, $T$ em ${}^{\circ}\mathrm{C}$), calcule a temperatura em que o peridotito seco começa a se fundir ali. (2) Com água, ele começa a se fundir a cerca de $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Em quanto a água a abaixa? (3) A cunha do manto ali está a, digamos, $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Ela se funde seca? Molhada?

Solução

Solução de Exercício 22.8.

(1) $T = -5.104 \times 3.16^2 + 132.9 \times 3.16 + 1120.7 \approx -51.0 + 420.0 + 1120.7 \approx 1490\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (2) Em cerca de $1490 - 1000 = 490\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (3) Seca, não: $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ fica abaixo de $1490\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Molhada, sim: fica acima de $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Exercício 22.9 ★★

A avalanche de detritos do monte Santa Helena deslocou cerca de $2.5\,\mathrm{km}^{3}$ de rocha. Os arcos acrescentam cerca de $2.7\,\mathrm{km}^{3}$ de nova crosta por ano. (1) Quantos dias do magmatismo de arco do mundo a avalanche representa? (2) Por que a comparação é só uma questão de tamanho?

Solução

Solução de Exercício 22.9.

(1) $2.5/2.7 \approx 0.93$ de um ano, cerca de 340 dias. (2) A avalanche deslocou rocha antiga que já existia; os arcos produzem rocha nova a partir do manto. Só os volumes são comparados.

Exercício 22.10 ★★

(1) Quanta crosta nova os arcos acrescentam em um milhão de anos a $2.7\,\mathrm{km}^{3}$ por ano? (2) A crosta continental contém cerca de $9 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$. Quanto tempo os arcos sozinhos levariam para produzir esse volume, se nada dele se perdesse? (3) Compare com a idade da Terra, 4.5 bilhões de anos.

Solução

Solução de Exercício 22.10.

(1) $2.7 \times 1\,000\,000 = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$. (2) $9 \times 10^{9}/2.7 \approx 3.3 \times 10^{9}$ anos, 3.3 bilhões de anos. (3) É menos que a idade da Terra, então os arcos poderiam ter produzido toda a crosta continental; mas a subducção também leva crosta de volta, então, na verdade, grande parte da crosta foi produzida e destruída mais de uma vez.

Exercício 22.11 ★★

(1) No corte através do Japão, por que muitos terremotos com menos de $70\,\mathrm{km}$ de profundidade são deixados de fora quando se ajusta a laje? (2) Os terremotos profundos ficam a $116\,\mathrm{km}$ de profundidade a $140.5{}^{\circ}$ Leste e a $80\,\mathrm{km}$ a $141.5{}^{\circ}$ Leste, com $86.4\,\mathrm{km}$ por grau. Calcule o mergulho da laje.

Solução

Solução de Exercício 22.11.

(1) Os terremotos rasos também ocorrem na placa que se sobrepõe e na falha entre as duas placas; só os profundos ficam apenas na laje. (2) $116 - 80 = 36\,\mathrm{km}$ em $86.4\,\mathrm{km}$: $\tan\theta = 36/86.4 \approx 0.417$, $\theta \approx 22.6{}^{\circ}$.

Exercício 22.12 ★★★

Mostre que, para uma frente a uma distância $d$ da fossa acima de uma laje de mergulho $\theta$, a distância medida ao longo da laje, da fossa até o ponto sob a frente, é $d/\cos\theta$. Para o Japão ($d = 270\,\mathrm{km}$, $\theta = 20{}^{\circ}$), quanto ela mede? A placa do Pacífico se move em direção ao Japão a cerca de $83\,\mathrm{mm}$ por ano; tomando essa velocidade ao longo de toda a laje, quanto tempo um pedaço de fundo do mar leva para ir da fossa até sob os vulcões?

Solução

Solução de Exercício 22.12.

No triângulo retângulo da proposição, a laje é a hipotenusa $L$ e $d$ o cateto adjacente ao ângulo $\theta$, logo $\cos\theta = d/L$ e $L = d/\cos\theta$. Para o Japão, $L = 270/\cos20{}^{\circ} \approx 270/0.940 \approx 287\,\mathrm{km}$. A $83\,\mathrm{mm}$ por ano: $2.87 \times 10^{8}/83 \approx 3.5 \times 10^{6}$ anos, cerca de 3.5 milhões de anos.

Exercício 22.13 ★★★

A câmara magmática do monte Santa Helena tem cerca de $1\,\mathrm{km}$ de largura e se estende de cerca de 6 a $14\,\mathrm{km}$ de profundidade. (1) Tratando-a como um cilindro vertical, estime o seu volume. (2) Compare-o com os $2.5\,\mathrm{km}^{3}$ da avalanche. (3) Calcule a pressão litostática no seu topo e na sua base ($\rho = 2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

Solução

Solução de Exercício 22.13.

(1) $V = \pi r^2 h = \pi \times 0.5^2 \times 8 \approx 6.3\,\mathrm{km}^{3}$. (2) Cerca de $6.3/2.5 \approx 2.5$ vezes o volume da avalanche. (3) $P = \rho g z$: a $6\,\mathrm{km}$, $2830 \times 9.81 \times 6000 \approx 1.67 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 0.17\,\mathrm{GPa}$; a $14\,\mathrm{km}$, cerca de $3.89 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ = $0.39\,\mathrm{GPa}$.

Exercício 22.14 ★★★

Os arcos acrescentam cerca de $2.7\,\mathrm{km}^{3}$ de crosta por ano, e as zonas de subducção levam de volta cerca de $3.2\,\mathrm{km}^{3}$. (1) Qual é a variação líquida por milhão de anos? (2) Em 500 milhões de anos, que fração de uma crosta de $9 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$ é isso? (3) Os autores dizem que o crescimento líquido é “efetivamente nulo”. Por quê, dada a incerteza de cada estimativa?

Solução

Solução de Exercício 22.14.

(1) $2.7 - 3.2 = -0.5\,\mathrm{km}^{3}$ por ano, uma perda de $5 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$ por milhão de anos. (2) $500 \times 5 \times 10^{5} = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{3}$, isto é, $2.5 \times 10^{8}/9 \times 10^{9} \approx 2.8\,\%$ da crosta. (3) Cada taxa é uma estimativa, com uma incerteza muito maior que a diferença de $0.5\,\mathrm{km}^{3}$ por ano entre elas: dentro dos erros, as duas se equilibram.

Exercício 22.15 ★★★

Um batólito expõe $20\,000\,\mathrm{km}^{2}$ de granodiorito cujos plútons se solidificaram entre 5 e $15\,\mathrm{km}$ de profundidade. (1) Estime o volume de magma que ele representa, tomando-o com $10\,\mathrm{km}$ de espessura. (2) A $1\,\mathrm{km}^{3}$ por ano, a taxa de todos os arcos continentais do mundo juntos, quanto tempo eles levariam para produzi-lo? O que isso diz sobre o tempo durante o qual um batólito é construído? (3) Quanta rocha precisou ser erodida de cima dele antes que ele pudesse ser visto?

Solução

Solução de Exercício 22.15.

(1) $20\,000 \times 10 = 2 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$. (2) $2 \times 10^{5}/1 = 200\,000$ anos para todos os arcos continentais do mundo juntos. Um arco recebe só uma pequena parte desse magma, então um único batólito leva muito mais tempo: ele é construído plúton por plúton, ao longo de milhões de anos. (3) Pelo menos os $5\,\mathrm{km}$ de rocha acima do seu topo.

Problema 22.1

Problema de fim de semana — sob os vulcões do Japão

Os vulcões do nordeste do Japão entre $37.5{}^{\circ}$ e $40.5{}^{\circ}$ Norte ficam entre $139.7{}^{\circ}$ Leste (Megata, o mais a oeste) e $141.0{}^{\circ}$ Leste (Iwate, o mais a leste); a Fossa do Japão fica a $144.1{}^{\circ}$ Leste. A tabela dá a profundidade mediana dos terremotos com mais de $70\,\mathrm{km}$ de profundidade em três faixas de longitude, 1976–2025. Tome $111.2\,\mathrm{km}$ para um grau de latitude.

longitude (${}^{\circ}$ L)	140.5	141.0	141.5
profundidade mediana ($\mathrm{km}$)	116	98	80

Parte I — A frente vulcânica.

1. Mostre que um grau de longitude a $39{}^{\circ}$ Norte vale cerca de $86.4\,\mathrm{km}$.
2. A que distância da fossa fica a frente vulcânica?
3. Qual é a largura do arco, de Iwate a Megata?
4. Em que placa ficam os vulcões, e de que lado da fossa?
5. Por que não há vulcões entre a fossa e Iwate?

Parte II — O corte dos terremotos.

6. Em quantos quilômetros as profundidades medianas mudam de $140.5{}^{\circ}$ a $141.5{}^{\circ}$ Leste?
7. Ao longo de que distância horizontal?
8. Calcule o mergulho da laje.
9. Prolongue a reta a partir de $141.0{}^{\circ}$ Leste, $98\,\mathrm{km}$, até a superfície. Onde ela a atinge, e a que distância isso fica da fossa?
10. Sugira por que a laje é menos íngreme perto da fossa do que mais abaixo.

Parte III — A laje sob os vulcões.

11. Calcule $H = d\tan\theta$ com a distância da questão 2 e um mergulho de $20{}^{\circ}$.
12. Compare-a com a profundidade mediana sob a frente.
13. Compare ambas com a faixa mundial, de 72 a $173\,\mathrm{km}$, e com a média, $105\,\mathrm{km}$.
14. A que profundidade fica a laje sob Megata, usando a reta da questão 9?
15. Tomando a crosta do arco com cerca de $35\,\mathrm{km}$ de espessura, o topo da laje sob a frente fica na crosta ou no manto? A que distância abaixo da base da crosta ele fica?

Parte IV — De onde vem a água.

16. Onde a água da laje entrou nas suas rochas, e em que mineral grande parte dela fica retida?
17. A $100\,\mathrm{km}$, a pressão é de cerca de $3.16\,\mathrm{GPa}$. Calcule o solidus seco ali com $T = -5.104P^2 + 132.9P + 1120.7$.
18. Com água, o solidus fica entre 950 e $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Em quanto a água o abaixa?
19. Por que a própria laje fria não pode ser a fonte do magma?
20. Resuma: a que profundidade fica a laje sob a frente vulcânica do nordeste do Japão?

Solução

Solução de Problema 22.1.

1. $111.2 \times \cos39{}^{\circ} \approx 111.2 \times 0.777 \approx 86.4\,\mathrm{km}$.

2. $(144.1 - 141.0) \times 86.4 \approx 3.1 \times 86.4 \approx 268\,\mathrm{km}$, cerca de $270\,\mathrm{km}$.

3. $(141.0 - 139.7) \times 86.4 \approx 112\,\mathrm{km}$.

4. Na placa que se sobrepõe, a que não afunda, a oeste da fossa: a placa do Pacífico afunda sob ela.

5. Ali, a laje ainda não está funda o bastante para liberar a sua água num manto quente o bastante para se fundir.

6. $116 - 80 = 36\,\mathrm{km}$.

7. Um grau de longitude, $86.4\,\mathrm{km}$.

8. $\tan\theta = 36/86.4 \approx 0.417$, logo $\theta \approx 22.6{}^{\circ}$.

9. A reta sobe $36\,\mathrm{km}$ a cada $86.4\,\mathrm{km}$ para leste, então ela atinge a superfície $98/0.417 \approx 235\,\mathrm{km}$ a leste de Iwate, a $141.0 + 235/86.4 \approx 143.7{}^{\circ}$ Leste: cerca de $(144.1 - 143.7) \times 86.4 \approx 35\,\mathrm{km}$ a oeste da fossa.

10. A laje não é um plano reto: ela entra na fossa quase horizontal e se curva cada vez mais para baixo à medida que afunda.

11. $268 \times \tan20{}^{\circ} \approx 268 \times 0.364 \approx 98\,\mathrm{km}$.

12. Eles concordam: $98\,\mathrm{km}$ pelos dois caminhos.

13. Ambos ficam dentro da faixa mundial, um pouco mais rasos que a média de $105\,\mathrm{km}$.

14. Megata fica $112\,\mathrm{km}$ a oeste de Iwate, então a laje sob ela está a cerca de $98 + 0.417 \times 112 \approx 145\,\mathrm{km}$ de profundidade.

15. No manto, cerca de $98 - 35 = 63\,\mathrm{km}$ abaixo da base da crosta.

16. Ela entrou perto da dorsal onde a crosta se formou, vinda da água do mar; grande parte dela fica retida na serpentina.

17. $T = -5.104 \times 3.16^2 + 132.9 \times 3.16 + 1120.7 \approx 1490\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

18. Em $1490 - 1000 = 490$ a $1490 - 950 = 540\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: cerca de $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. A laje é várias centenas de graus mais fria que o manto em volta dela, fria demais para se fundir mesmo com água: é a cunha do manto quente acima dela, uma vez molhada, que se funde.

20. A laje fica a cerca de $100\,\mathrm{km}$ sob a frente vulcânica do nordeste do Japão ($98\,\mathrm{km}$ pelos dois métodos).