বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Português সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Ciências da Terra e do espaço do ensino médio · শ্রেণি 10–12

1Medindo a Terra

Na praia, observe um navio que se afasta rumo ao mar aberto. Ele não simplesmente encolhe até ficar pequeno demais para ser visto: primeiro desaparece o casco, como se afundasse, depois a parte baixa da superestrutura, e o topo do mastro some por último. O mar entre você e o navio não é plano; ele se curva. Há mais de vinte e dois séculos, um sábio de Alexandria transformou uma observação parecida — o comprimento de uma sombra ao meio-dia — numa medida do tamanho do planeta inteiro. Este capítulo acompanha essa medida e as que vieram depois: as cadeias de triângulos que os agrimensores estenderam através de países inteiros, as expedições enviadas ao Ártico e ao equador para saber se a Terra é achatada, o nascimento do metro e os satélites com que o planeta é medido hoje.

A Terra fotografada pela tripulação da Apollo 17 a caminho da Lua, em dezembro de 1972: a África, a Arábia e o gelo da Antártida. Fotografia: NASA (domínio público).

O que você já sabe

Um lugar da Terra é localizado pela sua latitude, o ângulo ao norte ou ao sul do equador, e pela sua longitude, o ângulo a leste ou a oeste de um meridiano de referência; os meridianos ligam os polos, e os paralelos contornam a Terra paralelamente ao equador (Livro 1). Num meio homogêneo, a luz se propaga em linha reta, e os raios que chegam à Terra vindos do Sol, muito distante, são paralelos (os livros de física). Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é o cateto oposto dividido pela hipotenusa, o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa e a tangente é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente (os livros de matemática).

1.1 Uma Terra redonda

Muito antes de alguém poder olhar a Terra do espaço, várias observações mostravam que ela é redonda.

Navios além do horizonte. Um navio que se afasta desaparece de baixo para cima, em todas as direções e em todos os mares: a superfície do mar é curva em toda parte.
A sombra na Lua. Durante um eclipse da Lua, a sombra da Terra cai sobre a Lua. A borda dela é sempre um arco de circunferência, qualquer que seja a hora da noite; só uma esfera projeta uma sombra redonda em todas as direções.
As estrelas mudam com a latitude. Um viajante que segue para o norte vê a Estrela Polar subir mais alto acima do horizonte, e estrelas do céu austral desaparecem abaixo dele: o horizonte do viajante se inclina à medida que ele se desloca sobre uma superfície curva.
A volta ao mundo e a vista do espaço. Navios, e depois aviões, deram a volta ao mundo em todas as direções; desde os anos 1960, o planeta inteiro, redondo, é fotografado.

Por que um navio desaparece de baixo para cima: o observador só vê o que fica acima da linha de visada que tangencia o mar no horizonte. A curvatura está muito exagerada.

1.2 Eratóstenes mede a Terra

Eratóstenes de Cirene (276–194 a.C.) era o bibliotecário de Alexandria. Ele tinha ouvido dizer que em Siena, a atual Assuã, bem ao sul, subindo o Nilo, o Sol iluminava todo o fundo de um poço ao meio-dia do dia do solstício de verão: estava então exatamente a pino. Em Alexandria, no mesmo momento, uma vara vertical projetava uma sombra curta: os raios do Sol faziam com a vertical um ângulo de cerca de $7.2{}^{\circ}$ , um cinquenta avos de uma volta completa.

O raciocínio de Eratóstenes. Em Siena o Sol está a pino: seus raios apontam para o centro da Terra. Em Alexandria, uma vara vertical, que também aponta para o centro, faz um ângulo com os raios. O ângulo no centro entre os dois lugares é o mesmo . O ângulo está exagerado: era de apenas 7.2. — O raciocínio de Eratóstenes. Em Siena o Sol está a pino: seus raios apontam para o centro da Terra. Em Alexandria, uma vara vertical, que também aponta para o centro, faz um ângulo $\alpha$ com os raios. O ângulo no centro entre os dois lugares é o mesmo $\alpha$ . O ângulo está exagerado: era de apenas $7.2{}^{\circ}$ .

Proposição 1.1 (Relação de Eratóstenes)

Se dois lugares estão no mesmo meridiano, a uma distância $d$ um do outro, e se os raios do Sol ao meio-dia fazem com a vertical ângulos que diferem de $\alpha$ (em graus), a circunferência da Terra é

C = \frac{360{}^{\circ}}{\alpha}\, d .

Demonstração. O Sol está tão longe que os seus raios que chegam aos dois lugares são paralelos. Em cada lugar, a vertical aponta para o centro da Terra. Na figura, o raio que chega à vara e o raio terrestre que passa por Siena são duas retas paralelas, e o raio terrestre que passa por Alexandria corta as duas: o ângulo $\alpha$ entre a vara e o raio de luz e o ângulo no centro entre os dois raios terrestres são alternos internos, portanto iguais. O arco $d$ é a mesma fração da circunferência inteira que o ângulo $\alpha$ é de uma volta completa: $d/C = \alpha/360{}^{\circ}$ . ∎

Método 1.2 (Medir uma circunferência com duas sombras)

Escolha dois lugares (quase) no mesmo meridiano e meça a distância norte–sul $d$ entre eles.
Ao meio-dia solar local do mesmo dia, meça em cada lugar o ângulo entre uma vara vertical e os raios do Sol: $\tan \theta = s/h$ , em que $h$ é a altura da vara e $s$ o comprimento da sua sombra. Nunca olhe para o próprio Sol: o ângulo é lido apenas na sombra.
Calcule a diferença $\alpha$ dos dois ângulos e aplique $C = (360/\alpha)\,d$ .

Exemplo 1.3 (Os números de Eratóstenes)

Eratóstenes tomou a distância de Alexandria a Siena como 5000 estádios, uma unidade grega de comprimento. Com $\alpha = 1/50$ de volta,

C = 50 \times 5000 = 250\,000 \text{ estádios}.

Quanto media um estádio? Os historiadores ainda discutem. Com $157.2\,\mathrm{m}$ , $C \approx 39\,300\,\mathrm{km}$ ; com $166.7\,\mathrm{m}$ , $C \approx 41\,700\,\mathrm{km}$ . A verdadeira circunferência meridiana é de $40\,008\,\mathrm{km}$ : de um jeito ou de outro, Eratóstenes errou por apenas alguns por cento.

Observação 1.4 (O que foi suposto)

Eratóstenes supôs uma Terra esférica, um Sol distante o bastante para que seus raios fossem paralelos, Siena exatamente sobre o trópico (onde o Sol pode ficar a pino) e Siena exatamente ao sul de Alexandria. Cada hipótese era quase verdadeira, mas não exatamente: Assuã fica cerca de $3{}^{\circ}$ de longitude a leste de Alexandria. O que importa é a componente norte–sul da distância, a que segue o meridiano.

1.3 A triangulação

Medir uma grande distância no chão com uma corrente ou uma régua é lento e, através de rios, florestas e montanhas, impossível. Já os ângulos podem ser medidos com muita precisão por uma luneta montada sobre um círculo graduado, apontada sucessivamente para dois sinais distantes. A partir do século XVIII, os agrimensores usaram isso para medir países inteiros.

Definição 1.5 (Geodésia)

A geodésia é a ciência que mede a forma e o tamanho da Terra e as posições dos pontos da sua superfície, e que acompanha como eles mudam com o tempo.

Definição 1.6 (Triangulação)

A triangulação localiza pontos distantes por meio de uma cadeia de triângulos: um dos lados, a base, é medido no chão com grande cuidado; todos os ângulos dos triângulos são medidos a partir dos seus vértices; todos os outros lados são então calculados.

O cálculo se apoia numa única relação entre os lados e os ângulos de qualquer triângulo. Num triângulo $ABC$ , escreva $a$ , $b$ , $c$ para os lados opostos aos vértices $A$ , $B$ , $C$ , e $A$ , $B$ , $C$ também para os ângulos nesses vértices.

Proposição 1.7 (A lei dos senos)

Em qualquer triângulo $ABC$ ,

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Demonstração. Trace a altura relativa a $C$ , que encontra a reta $AB$ em $H$ (painel da direita da figura abaixo); escreva $h = CH$ . No triângulo retângulo $AHC$ , $\sin A = h/b$ , logo $h = b \sin A$ . No triângulo retângulo $BHC$ , $\sin B = h/a$ , logo $h = a \sin B$ . Portanto $b \sin A = a \sin B$ , isto é, $a/\sin A = b/\sin B$ . (Se o ângulo em $B$ for obtuso, $H$ cai além de $B$ e o ângulo do triângulo retângulo em $B$ é $180{}^{\circ} - B$ , que tem o mesmo seno.) O mesmo argumento com a altura relativa a $A$ dá $b/\sin B = c/\sin C$ . ∎

À esquerda: uma cadeia de triângulos estendida ao longo de um meridiano a partir de uma base medida AB; os arcos marcam dois dos muitos ângulos medidos com o instrumento. À direita: a altura h relativa a C, escrita de duas maneiras, dá a lei dos senos. — À esquerda: uma cadeia de triângulos estendida ao longo de um meridiano a partir de uma base medida $AB$ ; os arcos marcam dois dos muitos ângulos medidos com o instrumento. À direita: a altura $h$ relativa a $C$ , escrita de duas maneiras, dá a lei dos senos.

Método 1.8 (Calcular uma cadeia de triangulação)

No primeiro triângulo $ABC$ , medem-se a base $c = AB$ e os ângulos em $A$ e em $B$ ; o terceiro ângulo é $C = 180{}^{\circ} - A - B$ (e a sua medida serve de controle das outras).
A lei dos senos dá os dois outros lados: $b = AC = c \sin B / \sin C$ e $a = BC = c \sin A / \sin C$ .
Um lado calculado passa a ser o lado conhecido do triângulo seguinte, e assim por diante ao longo da cadeia.
Por fim, a componente norte–sul de cada lado é calculada com o cosseno do seu ângulo com o meridiano, e as componentes são somadas.

Exemplo 1.9 (Um triângulo)

Mede-se uma base $AB = 8.000\,\mathrm{km}$ ; de $A$ , o sinal $C$ é visto a $70{}^{\circ}$ da direção de $B$ , e de $B$ a $60{}^{\circ}$ da direção de $A$ . Então $C = 50{}^{\circ}$ e

AC = \frac{8.000 \times \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{8.000 \times 0.8660}{0.7660} \approx 9.044\,\mathrm{km}, \qquad BC = \frac{8.000 \times \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 9.814\,\mathrm{km}.

Nenhuma distância, exceto a base, foi percorrida a pé.

Exemplo 1.10 (O meridiano do metro)

Em março de 1791, o metro foi definido como a décima milionésima parte da distância do polo ao equador ao longo de um meridiano. Para encontrar essa distância, dois astrônomos, Jean-Baptiste Delambre e Pierre Méchain, mediram por triangulação o arco de meridiano de Dunquerque, no mar do Norte, a Barcelona, no Mediterrâneo — quase sete anos de trabalho, Delambre nos dois terços do norte, Méchain no terço do sul. As duas cidades diferem de $9.646{}^{\circ}$ de latitude; no elipsoide moderno, o arco entre os seus paralelos mede $1072.2\,\mathrm{km}$ . Conhecer o comprimento de um arco e a sua diferença de latitude dá o comprimento de um grau; a forma da Terra dá então o quarto de meridiano inteiro. Padrões de platina do novo metro foram fabricados em 1799 e guardados nos Arquivos nacionais.

História — O círculo repetidor

Os ângulos do meridiano do metro foram medidos com um círculo repetidor, instrumento construído por Jean-Charles de Borda: duas lunetas sobre um círculo graduado, apontadas alternadamente para dois sinais muitas vezes seguidas, de modo que os erros de leitura da graduação ficam divididos pelo número de repetições.

Um círculo repetidor montado para medir ângulos horizontais, como gravado no relato de Delambre sobre a medição (1807). Domínio público (Wikimedia Commons).

1.4 Uma Terra achatada

Por volta de 1687, Isaac Newton argumentou, a partir da sua teoria da gravitação, que uma Terra em rotação deve ser um esferoide achatado nos polos e dilatado no equador. Medidas de graus do meridiano feitas pelos astrônomos do Observatório de Paris pareciam dizer o contrário: uma Terra alongada nos polos. A questão foi decidida medindo o comprimento de um grau de latitude em lugares tão afastados quanto possível.

Uma Terra achatada, com o achatamento muito exagerado (o verdadeiro é pequeno demais para ser visto nesta escala). A vertical de um lugar é perpendicular à superfície; ela não aponta exatamente para o centro. A latitude do lugar é o ângulo entre a sua vertical e o plano do equador. — Uma Terra achatada, com o achatamento muito exagerado (o verdadeiro é pequeno demais para ser visto nesta escala). A vertical de um lugar é perpendicular à superfície; ela não aponta exatamente para o centro. A latitude $\varphi$ do lugar é o ângulo entre a sua vertical e o plano do equador.

A latitude é medida pelas estrelas: é o ângulo entre a vertical local e o plano do equador. Numa Terra achatada, a superfície é menos curva perto dos polos do que perto do equador. Onde a superfície é menos curva, é preciso percorrer uma distância maior sobre ela para que a vertical gire um grau: um grau de latitude é mais longo perto dos polos.

História — Lapônia e Peru

Em 1735, a Academia de Ciências de Paris enviou uma expedição ao equador, na província espanhola do Peru (hoje o Equador); ela trabalhou ali durante nove anos, até 1744. Em 1736–1737, uma segunda expedição, chefiada por Pierre-Louis Moreau de Maupertuis com o jovem matemático Alexis Clairaut, mediu um grau do meridiano na Lapônia, perto do Círculo Polar Ártico. O grau da Lapônia deu 57 437 toesas (a antiga unidade de comprimento; cerca de $111.95\,\mathrm{km}$ ), e o grau do Peru apenas 56 737 toesas: o grau é mais longo perto do polo, e Newton tinha razão. Os dois números implicavam um achatamento de cerca de $1/205$ — grande demais, como mostraram levantamentos posteriores, mas a questão do sinal estava resolvida.

O comprimento de um grau de latitude no elipsoide de referência da , do equador ao polo. Calculado com o elipsoide WGS 84. — O comprimento de um grau de latitude no elipsoide de referência da Definição 1.11, do equador ao polo. Calculado com o elipsoide WGS 84.

Definição 1.11 (Elipsoide de referência e achatamento)

Um elipsoide de referência é a superfície obtida pela rotação de uma elipse em torno do seu eixo menor, escolhida para se ajustar o mais possível à forma da Terra. O seu raio equatorial é $a$ , o seu raio polar é $b$ , e o seu achatamento é

f = \frac{a-b}{a}.

Proposição 1.12 (As dimensões da Terra)

O elipsoide de referência usado no posicionamento por satélite (WGS 84) tem

a = 6378.137\,\mathrm{km}, \qquad b = 6356.752\,\mathrm{km}, \qquad f = \frac{1}{298.257}.

O raio polar é $21.4\,\mathrm{km}$ mais curto que o raio equatorial. O equador mede $40\,075\,\mathrm{km}$ e um meridiano, de polo a polo e de volta, $40\,008\,\mathrm{km}$ ; o quarto de meridiano, do equador a um polo, mede $10\,001.966\,\mathrm{km}$ . Um grau de latitude mede $110.574\,\mathrm{km}$ no equador e $111.694\,\mathrm{km}$ nos polos. Um grau de longitude mede $111.32\,\mathrm{km}$ no equador e diminui em direção aos polos aproximadamente como $\cos \varphi$ .

Exemplo 1.13 (Um grau de longitude)

Um paralelo de latitude $\varphi$ é um círculo cujo raio é a distância ao eixo, cerca de $R \cos \varphi$ . A $60{}^{\circ}$ N, a sua circunferência é cerca de metade da do equador, e um grau de longitude mede cerca de $111.32 \times \cos 60^\circ \approx 55.7\,\mathrm{km}$ (o elipsoide dá $55.80\,\mathrm{km}$ ).

Observação 1.14 (Quão redonda é a Terra?)

Um achatamento de $1/298$ é pequeno. Num globo de $30\,\mathrm{cm}$ de diâmetro, o diâmetro polar seria apenas $1\,\mathrm{mm}$ mais curto que o equatorial — invisível. A fossa oceânica mais profunda, a quase $11\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar, seria um arranhão de cerca de um quarto de milímetro de profundidade. Para a maioria dos usos, a Terra é uma esfera de raio médio $6371\,\mathrm{km}$ ; para posições precisas, é preciso o elipsoide.

1.5 A geodésia hoje

Um agrimensor trabalhando com um instrumento moderno que mede ângulos e, com um feixe de luz, distâncias; um sinal de levantamento está plantado no morro ao fundo.

As grandes triangulações dos séculos XVIII e XIX foram substituídas pelos satélites. Um receptor no chão capta os sinais de vários satélites cujas posições são conhecidas a cada instante e calcula a sua própria posição a partir dos tempos de percurso dos sinais (Livro 1). Redes de receptores permanentes, fixados no substrato rochoso no mundo inteiro, medem as suas posições continuamente. Elas definem o referencial em que todo mapa e toda posição por satélite são dados, e elas se movem: mostram as placas da litosfera derivando alguns centímetros por ano (Capítulo 13).

No campo — Medir o terreno hoje

Os geodesistas fixam antenas em pilares de concreto assentados no substrato rochoso, longe de prédios e árvores, e registram as suas posições a cada poucos segundos durante anos. Eles combinam esses dados com medidas de radiotelescópios que observam galáxias muito distantes e com feixes de laser disparados contra satélites que levam espelhos. Os agrimensores, nos canteiros de obras e no campo, ainda medem ângulos e distâncias com instrumentos sobre tripés, e os amarram ao referencial dos satélites.

1.6 Exercícios

Exercício 1.1 ★

Dê três observações, possíveis sem sair do chão, que mostram que a Terra é redonda. Para cada uma, explique numa frase por que uma Terra plana não poderia produzi-la.

Solução

Solução de Exercício 1.1.

Um navio desaparece pelo casco primeiro: num mar plano ele apenas encolheria, permanecendo inteiro visível. A sombra da Terra na Lua durante um eclipse é sempre um arco de circunferência: um disco plano projetaria uma sombra alongada quando visto de lado. Viajando para o norte, a Estrela Polar sobe acima do horizonte: numa Terra plana a sua altura ficaria quase a mesma.

Exercício 1.2 ★

O que é a geodésia? O que é a triangulação, e qual é o único comprimento que precisa ser medido no chão numa triangulação?

Solução

Solução de Exercício 1.2.

A geodésia mede a forma e o tamanho da Terra e as posições dos pontos da sua superfície, e como eles mudam com o tempo. A triangulação localiza pontos por uma cadeia de triângulos em que todos os ângulos são medidos; só um comprimento, a base, é medido no chão.

Exercício 1.3 ★

Eratóstenes verificou que o ângulo entre os raios do Sol e a vertical em Alexandria era $1/50$ de volta completa quando o Sol estava a pino em Siena, a 5000 estádios dali. Calcule a circunferência em estádios e depois em quilômetros, tomando um estádio de $157.2\,\mathrm{m}$ .

Solução

Solução de Exercício 1.3.

$C = 50 \times 5000 = 250\,000$ estádios; $250\,000 \times 157.2\,\mathrm{m} = 39\,300\,\mathrm{km}$ .

Exercício 1.4 ★

Um grau de latitude mede cerca de $111\,\mathrm{km}$ . Quanto mede um minuto de latitude ( $1/60$ de grau)? Quanto mede, aproximadamente, o meridiano do equador ao polo?

Solução

Solução de Exercício 1.4.

$111/60 \approx 1.85\,\mathrm{km}$ . Quarto de meridiano: $90 \times 111 \approx 10\,000\,\mathrm{km}$ .

Exercício 1.5 ★

Usando o raio equatorial $6378.137\,\mathrm{km}$ e o raio polar $6356.752\,\mathrm{km}$ , calcule a diferença dos dois raios e o achatamento $f = (a-b)/a$ . Escreva $f$ como um dividido por um número inteiro.

Solução

Solução de Exercício 1.5.

$a - b = 6378.137 - 6356.752 = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 0.003353 \approx 1/298$ .

Exercício 1.6 ★★

Duas cidades estão no mesmo meridiano, a $500\,\mathrm{km}$ uma da outra. Ao meio-dia do mesmo dia, uma vara vertical de $1.00\,\mathrm{m}$ de altura projeta uma sombra de $0.364\,\mathrm{m}$ na cidade do sul e de $0.456\,\mathrm{m}$ na cidade do norte. Calcule o ângulo entre os raios do Sol e a vertical em cada cidade e, depois, a circunferência da Terra.

Solução

Solução de Exercício 1.6.

Sul: $\tan\theta_1 = 0.364$ , $\theta_1 \approx 20.0{}^{\circ}$ . Norte: $\tan\theta_2 = 0.456$ , $\theta_2 \approx 24.5{}^{\circ}$ . $\alpha = 4.5{}^{\circ}$ , logo $C = (360/4.5) \times 500 = 80 \times 500 = 40\,000\,\mathrm{km}$ .

Exercício 1.7 ★★

Num triângulo $ABC$ , a base $AB = 10.00\,\mathrm{km}$ , o ângulo em $A$ é de $62{}^{\circ}$ e o ângulo em $B$ é de $71{}^{\circ}$ . Calcule o ângulo em $C$ e os comprimentos $AC$ e $BC$ .

Solução

Solução de Exercício 1.7.

$C = 180 - 62 - 71 = 47{}^{\circ}$ . $AC = 10.00 \sin 71^\circ/\sin 47^\circ = 10.00 \times 0.9455/0.7314 \approx 12.93\,\mathrm{km}$ ; $BC = 10.00 \sin 62^\circ/\sin 47^\circ \approx 12.07\,\mathrm{km}$ .

Exercício 1.8 ★★

Um avião voa exatamente para oeste ao longo do paralelo $60{}^{\circ}$ N, da longitude $10{}^{\circ}$ L à longitude $20{}^{\circ}$ O. Usando um grau de longitude de $111.3 \cos \varphi$ km, calcule a distância que ele percorre. Quanto mediria a mesma variação de longitude sobre o equador?

Solução

Solução de Exercício 1.8.

A variação de longitude é $10 + 20 = 30{}^{\circ}$ . A $60{}^{\circ}$ N, um grau mede $111.3 \times 0.5 = 55.65\,\mathrm{km}$ , logo a distância é $30 \times 55.65 \approx 1670\,\mathrm{km}$ . Sobre o equador: $30 \times 111.3 \approx 3340\,\mathrm{km}$ , o dobro.

Exercício 1.9 ★★

O olho de um observador está a $h = 2\,\mathrm{m}$ acima de um mar calmo. A linha de visada até o horizonte tangencia o mar em $T$ ; o centro da Terra é $O$ , e o olho, $E$ . Explique por que o triângulo $OTE$ tem um ângulo reto em $T$ e, depois, use o teorema de Pitágoras com $R = 6371\,\mathrm{km}$ para mostrar que a distância até o horizonte é de cerca de $\sqrt{2Rh}$ , e calcule-a.

Solução

Solução de Exercício 1.9.

A linha de visada toca o mar em $T$ : uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de contato, logo o ângulo em $T$ é reto. Pitágoras: $(R+h)^2 = R^2 + d^2$ , logo $d^2 = 2Rh + h^2$ ; $h$ é minúsculo comparado com $R$ , logo $d \approx \sqrt{2Rh} = \sqrt{2 \times 6\,371\,000 \times 2} \approx 5050\,\mathrm{m}$ , cerca de $5\,\mathrm{km}$ .

Exercício 1.10 ★★

Leia a curva dos comprimentos de grau. Entre quais latitudes o comprimento de um grau varia mais depressa? Explique em duas frases por que um grau de latitude é mais longo perto dos polos do que perto do equador.

Solução

Solução de Exercício 1.10.

A curva é mais inclinada nas latitudes médias, por volta de $30{}^{\circ}$ a $60{}^{\circ}$ , e plana perto do equador e do polo. Numa Terra achatada, a superfície é menos curva perto dos polos; quanto menos curva a superfície, maior a distância a percorrer para que a vertical (e portanto a latitude) gire um grau.

Exercício 1.11 ★★

O arco de meridiano de Dunquerque a Barcelona abrange $9.646{}^{\circ}$ de latitude e mede $1072.2\,\mathrm{km}$ . Calcule o comprimento médio de um grau ao longo dele. Se todos os graus tivessem esse comprimento, quanto mediria o quarto de meridiano? Compare com $10\,002.0\,\mathrm{km}$ e explique a pequena diferença.

Solução

Solução de Exercício 1.11.

$1072.2/9.646 \approx 111.15\,\mathrm{km}$ por grau; $90 \times 111.15 \approx 10\,004\,\mathrm{km}$ , $2\,\mathrm{km}$ a mais que o verdadeiro quarto de meridiano. O arco está centrado perto de $46{}^{\circ}$ , onde um grau é um pouco mais longo que o grau médio do equador ao polo ( $10\,002.0/90 \approx 111.13\,\mathrm{km}$ ).

Exercício 1.12 ★★★

Eratóstenes mediu um ângulo de $7.2{}^{\circ}$ e uma distância de 5000 estádios. Se o seu ângulo estivesse errado em $0.1{}^{\circ}$ (pequeno demais), em que porcentagem a sua circunferência estaria errada, e em que sentido? Qual das suas duas medidas você acha que era a menos precisa?

Solução

Solução de Exercício 1.12.

Com $7.1{}^{\circ}$ : $C = (360/7.1) \times 5000 \approx 253\,500$ estádios em vez de $250\,000$ : cerca de 1.4 % a mais (um ângulo menor para a mesma distância significa uma Terra maior). A distância, contada em passos por caminhantes ao longo do Nilo, era bem menos precisa que o ângulo.

Exercício 1.13 ★★★

Uma cadeia de dois triângulos: em $ABC$ , $AB = 6.000\,\mathrm{km}$ , $A = 55{}^{\circ}$ , $B = 75{}^{\circ}$ . No triângulo seguinte, $ACD$ , construído sobre o lado $AC$ , o ângulo em $A$ é de $50{}^{\circ}$ e o ângulo em $C$ é de $68{}^{\circ}$ . Calcule $AC$ e, depois, $AD$ .

Solução

Solução de Exercício 1.13.

Em $ABC$ : $C = 50{}^{\circ}$ , $AC = 6.000 \sin 75^\circ/\sin 50^\circ \approx 7.566\,\mathrm{km}$ . Em $ACD$ : o ângulo em $D$ é $180 - 50 - 68 = 62{}^{\circ}$ , e $AD = 7.566 \sin 68^\circ/\sin 62^\circ \approx 7.945\,\mathrm{km}$ .

Exercício 1.14 ★★★

Em que latitude um grau de longitude mede a metade do que mede no equador? Em que latitude ele mede um décimo? Explique por que nenhuma das duas respostas depende do tamanho da Terra.

Solução

Solução de Exercício 1.14.

$\cos\varphi = 1/2$ dá $\varphi = 60{}^{\circ}$ ; $\cos\varphi = 0.1$ dá $\varphi \approx 84.3{}^{\circ}$ . Um grau de longitude na latitude $\varphi$ é o grau do equador multiplicado por $\cos\varphi$ : a razão depende só do ângulo, não do raio.

Exercício 1.15 ★★★

Use os valores do elipsoide: um grau de latitude mede $110.574\,\mathrm{km}$ no equador e $111.694\,\mathrm{km}$ no polo. Numa esfera de mesmo raio médio, um grau mediria $111.195\,\mathrm{km}$ em toda parte. Em quantos metros erraria um agrimensor que supusesse uma esfera, ao longo de um grau no equador e ao longo de um grau no polo? Por que um mapa que dá posições com precisão de um metro precisa ser calculado sobre o elipsoide?

Solução

Solução de Exercício 1.15.

No equador: $111.195 - 110.574 = 0.621\,\mathrm{km} = 621\,\mathrm{m}$ ; no polo: $111.694 - 111.195 = 0.499\,\mathrm{km} = 499\,\mathrm{m}$ . Erros de várias centenas de metros por grau, que se somam grau após grau, são muito maiores que o metro: as posições convertidas a partir de latitudes e longitudes precisam usar o elipsoide.

1.7 Problema: o metro e o meridiano

Problema 1.1

Problema de fim de semana — da sombra de Eratóstenes ao comprimento do primeiro metro

Um estudante refaz a história da medida da Terra com números modernos. Assuã, a antiga Siena, fica na latitude $24.09{}^{\circ}$ N, e Alexandria a $31.20{}^{\circ}$ N; no elipsoide moderno, o arco de meridiano entre os seus dois paralelos mede $788\,\mathrm{km}$ . No elipsoide, um grau de latitude mede $110.57\,\mathrm{km}$ no equador, $111.13\,\mathrm{km}$ a $45{}^{\circ}$ e $111.51\,\mathrm{km}$ a $66{}^{\circ}$ , e o quarto de meridiano mede $10\,001.966\,\mathrm{km}$ .

Parte I — Eratóstenes de novo.

Calcule a diferença de latitude entre Assuã e Alexandria.
Que fração de uma volta completa ela representa? Compare com o $1/50$ de Eratóstenes.
Calcule a circunferência da Terra que o método de Eratóstenes dá com esses números modernos.
As duas cidades não estão no mesmo meridiano: Assuã fica cerca de $3{}^{\circ}$ de longitude a leste de Alexandria. Que distância deve ser usada no método: a distância em linha reta entre as cidades ou o arco de meridiano entre os seus paralelos? Por quê?
Por que as duas sombras precisam ser medidas no mesmo dia, ao meio-dia solar local?

Parte II — Uma pequena triangulação. Mede-se uma base $AB = 12.000\,\mathrm{km}$ . De $A$ , o sinal $C$ é visto a $58{}^{\circ}$ de $B$ ; de $B$ , a $66{}^{\circ}$ de $A$ . No triângulo seguinte, $ACD$ , o ângulo em $A$ é de $47{}^{\circ}$ e o ângulo em $C$ é de $75{}^{\circ}$ . O lado $AD$ aponta $8{}^{\circ}$ a leste do norte.

Calcule o ângulo em $C$ no triângulo $ABC$ .
Calcule o lado $AC$ .
Calcule o lado $BC$ .
Calcule o ângulo em $D$ no triângulo $ACD$ e, depois, o lado $AD$ .
Calcule a distância norte–sul entre $A$ e $D$ .
Usando o comprimento do grau a $45{}^{\circ}$ , calcule a diferença de latitude entre $A$ e $D$ , em graus e em minutos de arco.

Parte III — Uma Terra achatada.

Em quantos metros um grau de latitude a $66{}^{\circ}$ é mais longo que um grau no equador?
Explique o que essa diferença mostra sobre a forma da Terra.
No elipsoide, $a = 6378.137\,\mathrm{km}$ e $b = 6356.752\,\mathrm{km}$ . Calcule $a - b$ e o achatamento.
Explique por que, numa Terra achatada, o fio de prumo num lugar de latitude $45{}^{\circ}$ não aponta exatamente para o centro da Terra.

Parte IV — O primeiro metro.

Segundo a definição de 1791, quanto deveria medir o quarto de meridiano, em metros?
O metro de platina de 1799 foi fabricado a partir de um valor medido do meridiano. Se o quarto de meridiano mede na verdade $10\,001.966\,\mathrm{km}$ , quanto mede a sua décima milionésima parte?
O metro de 1799 era longo ou curto demais em relação à sua própria definição? Em que fração?
A barra de platina copiou fielmente o comprimento calculado nos anos 1790. O quarto de meridiano calculado naquela época era longo ou curto demais? Explique.
Em quantos milímetros o primeiro metro era mais curto que a décima milionésima parte do verdadeiro quarto de meridiano? Compare com a espessura de uma folha de papel, cerca de $0.1\,\mathrm{mm}$ .

Solução

Solução de Problema 1.1.

1. $31.20 - 24.09 = 7.11{}^{\circ}$ .

2. $7.11/360 \approx 0.0198 = 1/50.6$ , muito perto do $1/50$ de Eratóstenes.

3. $C = 788 \times 360/7.11 \approx 39\,900\,\mathrm{km}$ .

4. O arco de meridiano entre os paralelos: a diferença dos ângulos ao meio-dia é a diferença de latitude, que mede apenas a separação norte–sul dos dois lugares; a componente leste–oeste da distância não tem nenhum papel.

5. Ao meio-dia solar local, o Sol está no plano do meridiano, o mesmo para os dois lugares; no mesmo dia ele tem a mesma posição entre as estrelas, de modo que os dois ângulos só diferem por causa da curvatura da Terra.

6. $180 - 58 - 66 = 56{}^{\circ}$ .

7. $AC = 12.000 \sin 66^\circ/\sin 56^\circ = 12.000 \times 0.9135/0.8290 \approx 13.223\,\mathrm{km}$ .

8. $BC = 12.000 \sin 58^\circ/\sin 56^\circ \approx 12.275\,\mathrm{km}$ .

9. O ângulo em $D$ é $180 - 47 - 75 = 58{}^{\circ}$ ; $AD = 13.223 \sin 75^\circ/\sin 58^\circ \approx 15.061\,\mathrm{km}$ .

10. $15.061 \cos 8^\circ \approx 14.914\,\mathrm{km}$ .

11. $14.914/111.13 \approx 0.1342{}^{\circ}$ , isto é, $0.1342 \times 60 \approx 8.05$ minutos de arco.

12. $111.51 - 110.57 = 0.94\,\mathrm{km}$ : $940\,\mathrm{m}$ .

13. Perto do polo, a vertical gira mais devagar com a distância: a superfície ali é menos curva. A Terra é achatada nos polos e dilatada no equador.

14. $a - b = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 1/298$ .

15. O fio de prumo é perpendicular à superfície do elipsoide. Numa elipse, a perpendicular à curva só passa pelo centro no equador e nos polos; a $45{}^{\circ}$ ela corta o eixo abaixo do centro.

16. $10\,000\,000$ metros, isto é, $10\,000\,\mathrm{km}$ .

17. $10\,001\,966/10\,000\,000 \approx 1.000\,196\,6\,\mathrm{m}$ .

18. Curto demais: a verdadeira décima milionésima parte vale $1.0001966$ do metro de 1799, logo o metro de 1799 é curto em cerca de $1.97 \times 10^{-4}$ do seu comprimento, 0.02 %.

19. Curto demais. A barra é a décima milionésima parte do quarto de meridiano calculado nos anos 1790; como a barra é mais curta que a décima milionésima parte do verdadeiro quarto de meridiano, o quarto de meridiano calculado era mais curto que o verdadeiro.

20. $1.0001966 - 1 = 0.0001966$ m: o primeiro metro era cerca de $0.2\,\mathrm{mm}$ curto demais — cerca de duas folhas de papel em um metro, uma precisão espantosa para um levantamento feito com lunetas e ângulos através de um país inteiro.

এই অধ্যায়ে সংজ্ঞায়িত পরিভাষা-শব্দ

পরিভাষায় সব 957 টি শব্দ দেখো