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Ciências da Terra e do espaço do ensino médio · 10–12 年级

12Litosfera e astenosfera

Nove décimos de um iceberg ficam debaixo da água: o gelo flutua porque é um pouco menos denso que o mar, e afunda na água até que a água que ele desloca pese tanto quanto o iceberg inteiro. As cadeias de montanhas se comportam mais ou menos da mesma maneira. Sob as mais altas delas, a crosta é quase duas vezes mais espessa que o normal, e a maior parte dessa crosta a mais fica escondida por baixo, como o gelo sob a linha da água. Mas um iceberg flutua num líquido, e o manto sob uma cadeia de montanhas é rocha sólida. Este capítulo mostra como um sólido pode se comportar como um fluido sobre o qual flutua a camada externa da Terra, e o que é essa camada.

O que você já sabe

A Terra tem uma crosta, um manto e um núcleo (Livro 1, 6º ano). O Moho, na base da crosta, fica em média a cerca de $41\,\mathrm{km}$ de profundidade sob os continentes e alguns quilômetros abaixo do fundo do oceano; as velocidades sísmicas e as densidades são conhecidas em cada profundidade a partir de um modelo de referência da Terra (Capítulo 11). A rocha fica mais quente com a profundidade, cerca de 25 a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro perto da superfície (Livro 1, 6º ano). Um corpo que flutua num líquido desloca um peso de líquido igual ao seu próprio peso, e a pressão na base de uma coluna de material é o peso da coluna dividido pela sua área (os livros de física).

Um iceberg visto logo acima da água: o gelo sob a superfície, que aparece através do mar transparente, é muito maior que a parte no ar. Fotografia: NOAA (domínio público).

12.1 Duas maneiras de dividir a Terra em camadas

A crosta, o manto e o núcleo são camadas de materiais diferentes: a crosta é feita de rochas ricas em silício, alumínio e oxigênio, o manto de uma rocha mais densa, o núcleo de metal. Mas a parte externa da Terra também pode ser dividida segundo o modo como a sua rocha se comporta quando forças agem sobre ela durante muito tempo.

Definição 12.1 (Litosfera; astenosfera)

A litosfera é a camada externa rígida da Terra: a crosta e a parte mais alta e mais fria do manto, que juntas se partem nas placas tectônicas e não escoam. A astenosfera é a camada do manto abaixo da litosfera, mais quente e mais fraca, que escoa lentamente ao longo de grandes intervalos de tempo, como uma pasta muito dura.

A fronteira entre as duas fica a cerca de 70 a $100\,\mathrm{km}$ de profundidade sob os oceanos e a maioria dos continentes, e mais fundo sob as partes mais antigas dos continentes; através dos Estados Unidos, por exemplo, a litosfera vai de cerca de $40\,\mathrm{km}$ de espessura no oeste a mais de $200\,\mathrm{km}$ no meio do continente. A base da litosfera não é o Moho: a maior parte da litosfera é rocha do manto.

Os 400\, km superiores da Terra sob um continente, em escala. À esquerda: as camadas pelo material. À direita: as camadas pelo comportamento. A litosfera rígida contém a crosta inteira e o topo do manto; a astenosfera não tem um limite inferior nítido. — Os $400\,\mathrm{km}$ superiores da Terra sob um continente, em escala. À esquerda: as camadas pelo material. À direita: as camadas pelo comportamento. A litosfera rígida contém a crosta inteira e o topo do manto; a astenosfera não tem um limite inferior nítido.

12.2 A zona de baixa velocidade

As ondas sísmicas mostram a astenosfera. Quase em toda parte na Terra, as velocidades sísmicas aumentam com a profundidade, porque a rocha está cada vez mais comprimida. Sob a litosfera, acontece o contrário.

Definição 12.2 (Zona de baixa velocidade)

A zona de baixa velocidade é a camada do manto superior, abaixo da litosfera, na qual as ondas sísmicas se propagam mais devagar que na rocha acima e abaixo dela.

No modelo de referência da Terra, a velocidade S cai lentamente do Moho até $220\,\mathrm{km}$ , e depois salta para cima. Os estudos sísmicos no mundo inteiro encontram uma queda nítida de velocidade em algum ponto entre 70 e $100\,\mathrm{km}$ : o topo da astenosfera. A rocha ali é quente o bastante para estar perto da fusão, e pode conter uma quantidade muito pequena de material fundido; ela também pode conter mais água que a rocha de cima. Uma rocha perto da fusão é fraca: ela freia as ondas sísmicas, e pode escoar.

A velocidade S nos 400\, km superiores do modelo de referência da Terra. Abaixo da crosta, a velocidade diminui lentamente com a profundidade até 220\, km (sombreado a partir de 80\, km), e depois volta a aumentar com saltos bruscos. — A velocidade S nos $400\,\mathrm{km}$ superiores do modelo de referência da Terra. Abaixo da crosta, a velocidade diminui lentamente com a profundidade até $220\,\mathrm{km}$ (sombreado a partir de $80\,\mathrm{km}$ ), e depois volta a aumentar com saltos bruscos.

12.3 A geoterma

Definição 12.3 (Geoterma; gradiente geotérmico)

Uma geoterma é a curva da temperatura em função da profundidade sob um lugar. O gradiente geotérmico é o aumento da temperatura por unidade de profundidade, em graus por quilômetro.

Os furos de sondagem medem a geoterma apenas nos primeiros quilômetros, onde a temperatura sobe de 25 a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro (Livro 1, 6º ano). Mais fundo, ela é calculada a partir do calor que sai pela superfície e das propriedades das rochas; o Capítulo 24 mostra de onde vem esse calor. Dois fatos moldam o resultado. Parte do calor é produzida dentro da própria crosta superior, de modo que o gradiente é mais forte perto da superfície e menor abaixo da crosta. E na astenosfera, que escoa, o movimento lento da rocha transporta o calor e uniformiza a temperatura: ela sobe apenas cerca de $0.45\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro. A base da litosfera é situada onde a geoterma íngreme da litosfera encontra a geoterma suave da astenosfera, a cerca de $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Uma geoterma modelo sob um continente (azul) e a temperatura na qual a rocha do manto (peridotito, sem água) começa a fundir (laranja). A geoterma é calculada a partir do fluxo de calor médio dos continentes e de propriedades medidas das rochas; na astenosfera (cinza), ela sobe devagar. A linha tracejada mostra como continuaria o aumento mais forte da litosfera. As duas curvas se aproximam mais, a cerca de 140\, C uma da outra, perto da base da litosfera. — Uma geoterma modelo sob um continente (azul) e a temperatura na qual a rocha do manto (peridotito, sem água) começa a fundir (laranja). A geoterma é calculada a partir do fluxo de calor médio dos continentes e de propriedades medidas das rochas; na astenosfera (cinza), ela sobe devagar. A linha tracejada mostra como continuaria o aumento mais forte da litosfera. As duas curvas se aproximam mais, a cerca de $140\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ uma da outra, perto da base da litosfera.

A temperatura de fusão da rocha do manto sobe com a profundidade, porque a rocha está cada vez mais comprimida (Livro 1, 6º ano): cerca de $1120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície, quase $1500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $100\,\mathrm{km}$ . No modelo, a geoterma chega mais perto dela logo abaixo da litosfera, cerca de $140\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ abaixo dela. Um pouco de água, ou um manto um pouco mais quente, fecha a diferença: no oeste dos Estados Unidos, onde a litosfera é fina, uma pequena parte do manto abaixo dela está parcialmente fundida.

12.4 A isostasia

12.4.1 Flutuar sobre um sólido

Durante os poucos segundos de uma onda sísmica, a astenosfera é um sólido. Ao longo de grandes intervalos de tempo, ela escoa. Uma carga colocada sobre a litosfera — uma cadeia de montanhas, um manto de gelo — empurra lentamente a astenosfera para o lado até que a carga flutue, como um bloco de madeira na água.

Definição 12.4 (Isostasia; profundidade de compensação)

A isostasia é o equilíbrio no qual as camadas externas da Terra flutuam sobre a astenosfera: a uma profundidade do manto chamada profundidade de compensação, todas as colunas de rocha de mesma seção, da superfície até essa profundidade, têm o mesmo peso, qualquer que seja o relevo acima delas.

O modelo de Airy da isostasia (fora de escala). A crosta tem em toda parte a mesma densidade; onde ela fica alta, ela é espessa e tem uma raiz que penetra fundo no manto, mais denso. Sob o oceano, a crosta é fina. As três colunas pesam o mesmo até a profundidade de compensação.

12.4.2 A raiz de uma cadeia de montanhas

Proposição 12.5 (Isostasia de Airy)

Seja $\rho_c$ a densidade uniforme da crosta, e $\rho_m > \rho_c$ a densidade do manto abaixo dela. Se uma região fica a uma altura $h$ acima de outra e as duas estão em equilíbrio isostático, a sua crosta é mais espessa em

\Delta H = h\,\frac{\rho_m}{\rho_m - \rho_c},

dos quais $h$ ficam acima da outra região e uma raiz $r = h\,\rho_c/(\rho_m - \rho_c)$ penetra abaixo da sua crosta.

Demonstração. Tome duas colunas de mesma área $S$ : a planície, com uma crosta de espessura $T$ , e a cadeia, cuja crosta fica $h$ mais alta e chega $r$ mais fundo, de modo que a sua espessura é $T + h + r$ . Até uma profundidade de compensação abaixo dos dois Mohos, a coluna da cadeia tem $h + r$ de crosta a mais; a coluna da planície tem, em vez disso, manto na espessura $r$ . Com $g$ a aceleração da gravidade, os dois pesos são iguais quando

\rho_c\,(h + r)\,S\,g = \rho_m\,r\,S\,g, \qquad\text{isto é,}\qquad r = h\,\frac{\rho_c}{\rho_m - \rho_c}.

A crosta é mais espessa em $h + r = h\,\bigl(1 + \rho_c/(\rho_m - \rho_c)\bigr) = h\,\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ . ∎

Com a densidade média da crosta continental, $\rho_c = 2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , e a do manto logo abaixo do Moho, $\rho_m = 3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , a raiz é $2830/550 \approx 5.1$ vezes a altura, e a crosta é mais espessa em cerca de $6.1$ vezes a altura: uma cadeia que fica $3\,\mathrm{km}$ acima dos seus arredores tem uma raiz de cerca de $15\,\mathrm{km}$ .

Método 12.6 (Calcular uma raiz)

Encontre a altura $h$ da região acima de uma região de referência cuja espessura de crosta é conhecida.
Calcule $\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ com as densidades da crosta e do manto.
A crosta é mais espessa que a crosta de referência em $h\,\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ ; a raiz sozinha é isso menos $h$ .

Exemplo 12.7 (Um planalto de $2\,\mathrm{km}$ de altura)

Um planalto fica $2\,\mathrm{km}$ acima de uma planície cuja crosta tem $37\,\mathrm{km}$ de espessura. A sua crosta é mais espessa em $2 \times 3380/550 \approx 12.3\,\mathrm{km}$ : cerca de $49\,\mathrm{km}$ ao todo, com uma raiz de cerca de $10\,\mathrm{km}$ .

12.4.3 Por que os continentes ficam altos

Definição 12.8 (Curva hipsométrica)

A curva hipsométrica da Terra dá, para cada altitude, a fração da superfície da Terra que fica mais alta que ela. A sua inclinação mostra quanto da superfície fica em cada altitude.

Se a superfície tivesse sido moldada pelo acaso, a maior parte dela ficaria perto de um único nível médio. Não é o que acontece.

Proposição 12.9 (Dois níveis)

As altitudes da superfície da Terra se agrupam em torno de dois níveis: um a algumas centenas de metros do nível do mar, nos continentes, e outro a cerca de 4 a $5\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar, no fundo do oceano profundo. As terras emersas cobrem $29\,\%$ da superfície; mais da metade da superfície fica a mais de $3\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar, e apenas $3\,\%$ se eleva acima de $2\,\mathrm{km}$ .

Parte da superfície da Terra em cada faixa de 500\, m de altitude (do ETOPO1, a um grau; sobre a Antártida e a Groenlândia, o topo do gelo). Os dois picos são os continentes e o fundo do oceano profundo. — Parte da superfície da Terra em cada faixa de $500\,\mathrm{m}$ de altitude (do ETOPO1, a um grau; sobre a Antártida e a Groenlândia, o topo do gelo). Os dois picos são os continentes e o fundo do oceano profundo.

A isostasia explica os dois níveis. Os continentes são feitos de uma crosta espessa, de cerca de $41\,\mathrm{km}$ em média, de rocha leve; o fundo do oceano, de uma crosta fina de rocha mais densa, com apenas cerca de $5\,\mathrm{km}$ de espessura. As duas flutuam sobre a astenosfera: a crosta continental, espessa e leve, flutua alto; a crosta oceânica, fina e densa, flutua baixo, e os oceanos enchem as terras baixas.

12.5 Uma tampa flexível

A isostasia exige que a astenosfera escoe. A litosfera acima dela não escoa; ela se curva. Uma carga mais estreita que a espessura da litosfera, como uma única ilha vulcânica, é sustentada pela rigidez da placa, como um peso sobre uma tábua, e a placa cede em volta dela. Uma carga muito mais larga que essa espessura, como uma cadeia de montanhas inteira ou um manto de gelo, afunda até flutuar. Quando a carga é retirada, a litosfera volta a subir lentamente (Capítulo 23).

12.6 Exercícios

Exercício 12.1 ★

Defina a litosfera e a astenosfera. Quais dos seguintes fazem parte da litosfera: a crosta oceânica, a crosta continental, o manto mais alto, o núcleo externo?

Solução

Solução de Exercício 12.1.

A litosfera é a camada externa rígida da Terra, feita da crosta e do manto mais alto; a astenosfera é o manto mais quente e mais fraco abaixo dela, que escoa lentamente ao longo de grandes intervalos de tempo. A crosta oceânica, a crosta continental e o manto mais alto fazem parte da litosfera; o núcleo externo, não.

Exercício 12.2 ★

Um iceberg de densidade $910\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ flutua em água do mar de densidade $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ . Que fração do seu volume fica debaixo da água? Se um iceberg de lados verticais fica $20\,\mathrm{m}$ acima da água, qual é a sua altura total?

Solução

Solução de Exercício 12.2.

O iceberg afunda até deslocar o seu próprio peso de água: a fração debaixo da água é $910/1025 \approx 0.888$ , cerca de $89\,\%$ . A fração acima é de cerca de $11.2\,\%$ , logo a altura total é $20/0.112 \approx 180\,\mathrm{m}$ , dos quais cerca de $160\,\mathrm{m}$ ficam debaixo da água.

Exercício 12.3 ★

O solo está a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e o gradiente geotérmico é de $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro. Qual é a temperatura no fundo de um furo de sondagem de $3\,\mathrm{km}$ de profundidade? Por que o mesmo gradiente não pode ser usado até $100\,\mathrm{km}$ ?

Solução

Solução de Exercício 12.3.

$15 + 26 \times 3 = 93\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . A $100\,\mathrm{km}$ , o mesmo gradiente daria mais de $2600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , muito acima da temperatura de fusão da rocha do manto; mas as ondas S atravessam o manto superior, que portanto é sólido. O gradiente precisa ficar muito menor com a profundidade.

Exercício 12.4 ★

Pela figura das altitudes da superfície da Terra, dê as duas faixas de altitude mais comuns e a parte da superfície em cada uma.

Solução

Solução de Exercício 12.4.

A faixa de 0 a $500\,\mathrm{m}$ acima do nível do mar, com cerca de $16\,\%$ da superfície, e a faixa de 4000 a $4500\,\mathrm{m}$ abaixo do nível do mar, com cerca de $11\,\%$ (a faixa de 4500 a $5000\,\mathrm{m}$ abaixo é quase do mesmo tamanho).

Exercício 12.5 ★

Com a fórmula $T = -5.104\,P^2 + 132.899\,P + 1120.661$ (temperatura em ${}^{\circ}\mathrm{C}$ , pressão $P$ em gigapascals), calcule a temperatura na qual a rocha seca do manto começa a fundir na superfície ( $P = 0$ ) e a $3\,\mathrm{GPa}$ , cerca de $95\,\mathrm{km}$ de profundidade.

Solução

Solução de Exercício 12.5.

Para $P = 0$ : $1121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . A $3\,\mathrm{GPa}$ : $-5.104 \times 9 + 132.899 \times 3 + 1120.661 \approx -45.9 + 398.7 + 1120.7 \approx 1473\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Exercício 12.6 ★★

Na figura da geoterma modelo, leia a temperatura a 50, 150 e $250\,\mathrm{km}$ . Em que camada, litosfera ou astenosfera, fica cada profundidade? Entre quais duas dessas profundidades a temperatura mais sobe?

Solução

Solução de Exercício 12.6.

Cerca de $730\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $50\,\mathrm{km}$ (litosfera), cerca de $1370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $150\,\mathrm{km}$ e $1410\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $250\,\mathrm{km}$ (astenosfera). A temperatura mais sobe entre 50 e $150\,\mathrm{km}$ , em mais de $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , porque a maior parte desse intervalo fica na litosfera; entre 150 e $250\,\mathrm{km}$ , ela sobe apenas cerca de $45\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Exercício 12.7 ★★

Uma cadeia de montanhas fica $3\,\mathrm{km}$ acima de uma planície; tome $\rho_c = 2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ e $\rho_m = 3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ . Calcule a sua raiz e a espessura a mais da sua crosta.

Solução

Solução de Exercício 12.7.

Raiz: $3 \times 2830/550 \approx 15.4\,\mathrm{km}$ . Espessura a mais: $3 \times 3380/550 \approx 18.4\,\mathrm{km}$ , isto é, os $3\,\mathrm{km}$ da cadeia mais a sua raiz.

Exercício 12.8 ★★

Uma região tem uma crosta de $55\,\mathrm{km}$ de espessura. Com as densidades do Exercício 12.7, a que altura ela fica acima de uma região cuja crosta tem $41.1\,\mathrm{km}$ de espessura?

Solução

Solução de Exercício 12.8.

A crosta é mais espessa em $55 - 41.1 = 13.9\,\mathrm{km}$ , e $\Delta H = h \times 3380/550$ , logo $h = 13.9 \times 550/3380 \approx 2.3\,\mathrm{km}$ .

Exercício 12.9 ★★

No modelo de referência, a velocidade S é de $4.470\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a $80\,\mathrm{km}$ , $4.419\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ logo acima de $220\,\mathrm{km}$ e $4.644\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ logo abaixo. Calcule, em porcentagem, a diminuição entre 80 e $220\,\mathrm{km}$ e o salto a $220\,\mathrm{km}$ . Por que uma diminuição de velocidade com a profundidade é surpreendente?

Solução

Solução de Exercício 12.9.

Diminuição: $(4.470 - 4.419)/4.470 \approx 1.1\,\%$ . Salto: $(4.644 - 4.419)/4.419 \approx 5.1\,\%$ . Com a profundidade, a rocha fica cada vez mais comprimida, o que torna as ondas sísmicas mais rápidas; uma diminuição significa que outra coisa prevalece: a rocha está quente e perto da fusão, e mais fraca.

Exercício 12.10 ★★

Na geoterma modelo, a temperatura é de $610\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ no Moho, a $40\,\mathrm{km}$ de profundidade, e de $1345\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na base da litosfera, a $100\,\mathrm{km}$ de profundidade. (1) Calcule o gradiente médio entre os dois. (2) Compare com o gradiente na superfície, $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro, e explique a diferença.

Solução

Solução de Exercício 12.10.

(1) $(1345 - 610)/60 \approx 12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro. (2) É cerca da metade do gradiente na superfície. Parte do calor é produzida dentro da crosta superior; esse calor também precisa atravessar as camadas de cima para escapar, o que torna o gradiente mais forte perto da superfície. Abaixo da crosta, apenas o calor que vem de mais fundo atravessa a rocha, e o gradiente é menor.

Exercício 12.11 ★★

Na astenosfera, a temperatura é tomada como $1300 + 0.45\,z$ (em ${}^{\circ}\mathrm{C}$ , $z$ em quilômetros). Calcule-a a 200 e a $400\,\mathrm{km}$ . Quanto ela sobe entre as duas? Compare com o aumento nos primeiros $100\,\mathrm{km}$ , de $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície a $1345\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na base da litosfera.

Solução

Solução de Exercício 12.11.

A $200\,\mathrm{km}$ : $1300 + 90 = 1390\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; a $400\,\mathrm{km}$ : $1300 + 180 = 1480\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . O aumento é de $90\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $200\,\mathrm{km}$ . Através da litosfera, a temperatura sobe $1345 - 15 = 1330\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em apenas $100\,\mathrm{km}$ : cerca de trinta vezes mais por quilômetro.

Exercício 12.12 ★★★

Abaixo da crosta superior, a geoterma modelo é próxima de $T \approx 118 + G\,z$ (em ${}^{\circ}\mathrm{C}$ , $z$ em quilômetros), onde o gradiente $G$ depende do calor que vem de mais fundo. (1) Para $G = 12.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro, como calculado para o leste dos Estados Unidos, encontre a profundidade em que ela encontra $1300 + 0.45\,z$ . (2) Faça o mesmo para $G = 21.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro, como calculado para a província de Basin and Range, no oeste. (3) Compare com as espessuras medidas, de cerca de $40\,\mathrm{km}$ no oeste a mais de $200\,\mathrm{km}$ no meio do continente.

Solução

Solução de Exercício 12.12.

(1) $118 + 12.3\,z = 1300 + 0.45\,z$ dá $z = 1182/11.85 \approx 100\,\mathrm{km}$ . (2) $118 + 21.5\,z = 1300 + 0.45\,z$ dá $z = 1182/21.05 \approx 56\,\mathrm{km}$ . (3) O oeste, mais quente, tem uma litosfera muito mais fina, como foi medido (cerca de $40\,\mathrm{km}$ onde ela é mais fina); a litosfera muito espessa do meio do continente precisa de um gradiente ainda menor.

Exercício 12.13 ★★★

(1) Mostre que, no modelo de Airy, uma região cuja crosta é $\Delta H$ mais espessa que uma região de referência fica mais alta em $\Delta H\,(\rho_m - \rho_c)/\rho_m$ . (2) Que fração de qualquer espessura a mais de crosta aparece como altura? (3) Compare com a fração de um iceberg que fica acima da água.

Solução

Solução de Exercício 12.13.

(1) Pela proposição, $\Delta H = h\,\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ , logo $h = \Delta H\,(\rho_m - \rho_c)/\rho_m$ . (2) $550/3380 \approx 0.16$ : cerca de um sexto de qualquer espessura a mais de crosta aparece como altura, cinco sextos como raiz. (3) Para o iceberg, a fração acima da água é $(1025 - 910)/1025 \approx 0.11$ : a mesma regra, (densidade do fluido $-$ densidade do corpo que flutua)/densidade do fluido.

Exercício 12.14 ★★★

A $100\,\mathrm{km}$ , a rocha seca do manto começa a fundir a $1489\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , e a geoterma modelo está a $1345\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (1) Em quantos graus a água teria de baixar a temperatura de fusão para que a rocha começasse a fundir ali? (2) Por que até uma fração muito pequena de material fundido tornaria a rocha fraca e frearia as ondas sísmicas?

Solução

Solução de Exercício 12.14.

(1) $1489 - 1345 = 144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . (2) Um pouco de material fundido se junta em películas finas entre os grãos da rocha. Os grãos então deixam de estar firmemente presos uns aos outros: a rocha resiste menos ao cisalhamento, de modo que as ondas S ficam mais lentas, e ela pode se deformar e escoar com muito mais facilidade.

Exercício 12.15 ★★★

Apenas $3\,\%$ da superfície da Terra se eleva acima de $2\,\mathrm{km}$ , enquanto $53\,\%$ fica a mais de $3\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar. (1) Se todas as terras emersas fossem aplainadas e a sua rocha despejada nos oceanos, a superfície terminaria perto do nível do mar? Use a isostasia para explicar a sua resposta. (2) O que a existência de dois níveis nos diz sobre a crosta?

Solução

Solução de Exercício 12.15.

(1) Não. Aplainar as terras deixaria a crosta continental um pouco mais fina, mas ela continuaria espessa e leve, e continuaria flutuando muito mais alto que a crosta fina e densa do fundo do oceano; os oceanos continuariam enchendo as bacias entre os continentes. (2) Existem dois tipos de crosta, de espessura e densidade diferentes: uma crosta continental espessa e leve e uma crosta oceânica fina e densa.

12.7 Problema: por que o Tibete fica a cinco quilômetros de altura

Problema 12.1

Problema de fim de semana — pesar um planalto

O planalto tibetano é a maior região alta da Terra. Entre as latitudes $31{}^{\circ}$ e $35{}^{\circ}$ Norte e as longitudes $80{}^{\circ}$ e $95{}^{\circ}$ Leste, a sua altitude média é de $5010\,\mathrm{m}$ ; a altitude média de todas as terras fora da Antártida é de $670\,\mathrm{m}$ . A crosta continental tem $41.1\,\mathrm{km}$ de espessura em média e uma densidade média $\rho_c = 2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; o manto logo abaixo do Moho tem a densidade $\rho_m = 3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Parte I — O planalto e um continente médio.

Quanto o planalto fica mais alto que o continente médio?
Em que porcentagem a crosta é menos densa que o manto abaixo dela?
Um bloco de crosta que flutuasse livremente sobre a rocha do manto afundaria até que fração da sua espessura ficasse abaixo da superfície do manto? Compare com o iceberg ( $910$ em $1025$ ).
O manto é sólido. Ao longo de que intervalos de tempo ele se comporta como um sólido, e ao longo de quais ele pode se comportar como a água em volta de um iceberg?
Por que a profundidade de compensação precisa ser escolhida abaixo do Moho das duas colunas?

Parte II — O equilíbrio de Airy para duas colunas.

Desenhe as duas colunas, o continente médio e o planalto, das suas superfícies até uma profundidade de $70\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar, com a crosta do planalto mais espessa em $\Delta H$ .
Escreva que as duas colunas pesam o mesmo, e deduza $\Delta H$ em função da diferença de altura $h$ e das densidades.
Calcule $\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ .
Calcule a raiz do planalto abaixo do Moho do continente médio.
A que profundidade abaixo do nível do mar fica o Moho do continente médio, e a que profundidade fica o do planalto?

Parte III — A espessura da crosta.

Calcule a espessura da crosta sob o planalto.
Verifique o equilíbrio: calcule, para cada coluna, a massa de rocha acima de um metro quadrado até $70\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar, em toneladas.
Que espessura teria a crosta sob uma planície no nível do mar?
Quantas vezes mais espessa que a crosta continental média é a crosta sob o Tibete?
Se o manto fosse um pouco mais leve, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , que espessura o modelo daria? O resultado é muito sensível às densidades?

Parte IV — Comparação com as medições sísmicas.

As ondas sísmicas convertidas no Moho o situam a cerca de $70\,\mathrm{km}$ de profundidade sob o norte do Tibete. Compare com a questão 11.
Logo ao norte do planalto, a bacia de Qaidam fica a uma altitude média de $3230\,\mathrm{m}$ , e o seu Moho fica a cerca de $50\,\mathrm{km}$ de profundidade. Que espessura de crosta o modelo de Airy prevê ali?
A bacia de Qaidam é preenchida por vários quilômetros de sedimentos, mais leves que a crosta média. Isso torna a crosta real mais fina ou mais espessa que a do modelo? Explique.
Que propriedade da astenosfera torna possível esse equilíbrio?
Conclua: qual é a espessura da crosta sob o Tibete, e por que o planalto fica a cinco quilômetros de altura?

Solução

Solução de Problema 12.1.

1. $5.01 - 0.67 = 4.34\,\mathrm{km}$ .

2. $(3380 - 2830)/3380 \approx 16\,\%$ .

3. A fração $2830/3380 \approx 0.84$ ficaria abaixo; o iceberg afunda um pouco mais, $910/1025 \approx 0.89$ , porque o gelo tem uma densidade mais próxima da água do que a crosta da do manto.

4. Durante os segundos de uma onda sísmica, ou o tempo de um terremoto, o manto é um sólido; só ao longo de intervalos de tempo muito longos a astenosfera escoa e deixa a crosta flutuar.

5. Abaixo do Moho mais profundo, as duas colunas são feitas da mesma rocha do manto nas mesmas profundidades, e ali pesam o mesmo; todas as diferenças ficam acima dessa profundidade e precisam ser incluídas.

6. O continente médio: crosta de $0.67\,\mathrm{km}$ acima a $40.4\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar, depois manto até $70\,\mathrm{km}$ . O planalto: crosta de $5.01\,\mathrm{km}$ acima do nível do mar até um Moho mais fundo pela raiz, depois manto até $70\,\mathrm{km}$ .

7. A coluna do planalto tem $h + r$ de crosta a mais, e a coluna do continente tem, em vez disso, manto na espessura $r$ : $\rho_c\,(h + r) = \rho_m\,r$ , logo $r = h\,\rho_c/(\rho_m - \rho_c)$ e $\Delta H = h + r = h\,\rho_m/(\rho_m - \rho_c)$ .

8. $3380/550 \approx 6.15$ .

9. $\Delta H = 4.34 \times 6.15 \approx 26.7\,\mathrm{km}$ ; a raiz é $26.7 - 4.34 \approx 22.3\,\mathrm{km}$ .

10. O Moho do continente médio fica $41.1 - 0.67 \approx 40.4\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar; o do planalto fica $40.4 + 22.3 \approx 62.8\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar.

11. $41.1 + 26.7 \approx 67.8\,\mathrm{km}$ .

12. Um quilômetro de rocha acima de um metro quadrado tem uma massa de $\rho \times 1000\,\mathrm{m}^{3}$ : $2830$ toneladas de crosta ou $3380$ toneladas de manto. Continente: $41.1 \times 2830 + (70 - 40.43) \times 3380 \approx 116\,300 + 99\,900 \approx 216\,300$ toneladas. Planalto: $67.77 \times 2830 + (70 - 62.76) \times 3380 \approx 191\,800 + 24\,500 \approx 216\,300$ toneladas. As duas são iguais.

13. $41.1 - 0.67 \times 6.15 \approx 37.0\,\mathrm{km}$ .

14. $67.8/41.1 \approx 1.65$ vez.

15. $3300/470 \approx 7.02$ , $\Delta H \approx 4.34 \times 7.02 \approx 30.5\,\mathrm{km}$ , e uma crosta de cerca de $71.6\,\mathrm{km}$ . Uma mudança de cerca de $2\,\%$ na densidade do manto muda a espessura em cerca de $4\,\mathrm{km}$ : o resultado depende visivelmente das densidades, mas continua perto de $70\,\mathrm{km}$ .

16. O modelo dá cerca de $68\,\mathrm{km}$ , as ondas sísmicas cerca de $70\,\mathrm{km}$ : eles concordam dentro de poucos por cento.

17. $h = 3.23 - 0.67 = 2.56\,\mathrm{km}$ , $\Delta H = 2.56 \times 6.15 \approx 15.7\,\mathrm{km}$ , e uma crosta de cerca de $56.8\,\mathrm{km}$ , uns $7\,\mathrm{km}$ a mais que o medido.

18. Mais fina. Uma coluna cuja parte de cima é mais leve que a média pesa menos para a mesma espessura, logo flutua mais alto: uma crosta mais leve precisa de uma raiz menor para ficar a uma altura dada. A crosta real pode portanto ser mais fina que a do modelo, como foi medido.

19. Ao longo de grandes intervalos de tempo, a astenosfera escoa: ela se afasta sob uma coluna pesada e volta sob uma coluna leve, até que as colunas se equilibrem.

20. A crosta sob o Tibete tem cerca de $70\,\mathrm{km}$ de espessura, muito mais que os $41\,\mathrm{km}$ de um continente médio: o planalto fica a cinco quilômetros de altura porque a sua crosta espessa e leve flutua sobre o manto, mais denso, com uma raiz de mais de $20\,\mathrm{km}$ .

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