8Bacias hidrográficas, rios e cheias

Um rio pode subir dois dias depois que a chuva parou, numa cidade onde não caiu chuva nenhuma. A água que inunda as suas ruas caiu antes, em morros muito a montante; ela desceu pelas suas encostas até os córregos, e os córregos se juntaram no rio que a trouxe, de uma só vez, até a cidade. Para entender uma cheia, é preciso olhar além do rio, para toda a área que o alimenta, e seguir a água através dela. Este capítulo define essa área, a bacia hidrográfica; mede o que um rio transporta, a sua vazão; acompanha uma cheia enquanto ela passa por um ponto do rio; e mostra como um longo registro de cheias diz com que frequência uma dada cheia volta.

O que você já sabe

A chuva que chega ao chão se infiltra nele, escoa pela sua superfície ou se evapora; o ciclo da água a leva de volta ao mar (os livros de física). A água se infiltra nas rochas permeáveis e as enche abaixo do lençol freático, formando aquíferos que alimentam fontes e rios (Livro 1, 6º ano). Um rio serpenteia em meandros pela sua planície de inundação plana, que ele cobre quando transborda (Livro 1, 5º ano). As curvas de nível unem pontos de mesma altitude; as Colinas de Varden são a região desenhada nos mapas desta série (Livro 1, 2º e 9º anos).

Segurança

A água de uma enchente é muito mais perigosa do que parece. Cerca de $15\,\mathrm{cm}$ de água correndo depressa podem derrubar um adulto, e cerca de $30\,\mathrm{cm}$ podem arrastar um carro; a estrada debaixo dela pode ter desabado. Nunca entre a pé nem de carro na água de uma enchente: dê meia-volta e vá por outro caminho.

8.1 A bacia hidrográfica

Cada gota de chuva que não evapora nem se infiltra fundo desce a encosta. Ela segue o maior declive do terreno, junta-se a um filete, depois a um córrego, e os córregos se juntam em rios. Toda a terra cuja água termina no mesmo rio forma uma unidade.

Definição 8.1 (Bacia hidrográfica; divisor de águas)

A bacia hidrográfica de um ponto de um rio é toda a área de terra cujo escoamento corre para o rio a montante desse ponto e passa por esse ponto. O divisor de águas é a linha que separa duas bacias hidrográficas vizinhas: ele segue as cristas do terreno, e a chuva que cai de cada lado dele corre para rios diferentes.

Uma bacia é sempre definida para um ponto do rio, o seu exutório: a bacia de um rio no ponto em que ele chega ao mar é a maior, e cada ponto a montante tem uma bacia menor dentro dela. Duas gotas que caem a um metro uma da outra, de cada lado de um divisor, podem terminar em rios diferentes e até em oceanos diferentes.

A bacia do rio Varden

Um computador encontra uma bacia hidrográfica a partir de um mapa de altitudes em poucos passos. O mapa é cortado em pequenos quadrados, aqui de $50\,\mathrm{m}$ de lado. Para cada quadrado, o computador olha os seus oito vizinhos e manda a água para aquele que é alcançado pelo maior declive descendente. (Onde uma pequena depressão não tem vizinho mais baixo, ela é primeiro preenchida até o nível em que transbordaria, como faz uma poça.) Seguindo esses passos de quadrado em quadrado, traça-se o caminho de uma gota a partir de qualquer ponto do mapa. Os quadrados cujas gotas chegam ao rio formam a bacia.

A bacia cobre $66\,\mathrm{km}^{2}$ dos $80\,\mathrm{km}^{2}$ do mapa, cerca de quatro quintos dele. No norte, o divisor segue as cristas dos morros e passa pelos seus cumes; além deles, o terreno desce para longe do rio e a sua água corre para outro vale. No canto sudoeste, uma pequena área também drena para fora do mapa. O próprio rio entra no mapa pelo oeste, de modo que a sua bacia completa é maior: ela inclui também a terra a montante, além da borda do mapa.

Os maiores rios

Os rios são comparados pela área da sua bacia e pela água que transportam. O maior rio do mundo, de longe, é o Amazonas. O Mississippi, o maior rio dos Estados Unidos, drena cerca de $1\,150\,000$ milhas quadradas, cerca de 2.98 milhões de $\mathrm{km}^{2}$, dos Estados Unidos e do Canadá.

8.2 A vazão

Definição 8.2 (Vazão)

A vazão de um rio num ponto é o volume de água que atravessa uma seção transversal do rio em um segundo. Ela é medida em metros cúbicos por segundo, $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Uma vazão de $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ são mil litros a cada segundo, ou $86\,400\,\mathrm{m}^{3}$ por dia. A água corre mais depressa perto da superfície, no meio do canal, e mais devagar ao longo do leito e das margens, onde atrita com eles; a velocidade média é a velocidade calculada em média sobre toda a seção transversal.

Proposição 8.3 (Vazão, velocidade e seção transversal)

A vazão $Q$ de um rio é o produto da velocidade média $v$ da água pela área $A$ da seção molhada:

$$Q = v\,A.$$

Um rio com uma seção transversal de $50\,\mathrm{m}^{2}$ que corre a uma velocidade média de $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ transporta $1.2 \times 50 = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Na cheia, os dois fatores crescem: a água fica mais funda e mais larga, de modo que a seção cresce, e ela corre mais depressa.

Medir uma vazão

Como a velocidade muda através do rio, ela é medida em vários pontos. O rio é cortado em faixas verticais; em cada uma, medem-se a profundidade e a velocidade, e somam-se as vazões das faixas.

Método 8.4 (O método velocidade–área)

1. Estique uma trena através do rio e escolha verticais a intervalos regulares $w$ ao longo dela.
2. Em cada vertical, meça a profundidade $d$ e a velocidade média $v$ da água nessa profundidade com um molinete.
3. Cada vertical representa uma faixa de largura $w$ e área $w\,d$; a sua vazão é $v\,w\,d$.
4. Some as vazões de todas as faixas: $Q = \sum v\,w\,d$. A seção transversal é $A = \sum w\,d$ e a velocidade média, $Q/A$.

Exemplo 8.5 (Uma medição de vazão)

No córrego da figura, as cinco faixas, cada uma com $2\,\mathrm{m}$ de largura, têm áreas $2 \times 0.4 = 0.8$, $2.0$, $2.8$, $2.2$ e $1.0\,\mathrm{m}^{2}$: a seção transversal é de $8.8\,\mathrm{m}^{2}$. As suas vazões são $0.3 \times 0.8 = 0.24$, $0.6 \times 2.0 = 1.20$, $0.8 \times 2.8 = 2.24$, $0.7 \times 2.2 = 1.54$ e $0.4 \times 1.0 = 0.40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, de modo que o córrego transporta $Q \approx 5.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. A velocidade média é $5.62/8.8 \approx 0.64\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, menos que os $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ do meio do córrego.

Uma medição de vazão leva tempo e não pode ser feita continuamente. Uma estação fluviométrica registra, em vez disso, o nível da água, sem interrupção. Algumas medições feitas em níveis diferentes dão uma curva que relaciona o nível à vazão, e a estação converte cada nível que registra numa vazão.

Os grandes rios transportam vazões enormes. De 1972 a 2003, o Amazonas levou em média cerca de $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ao Oceano Atlântico, com uma incerteza de cerca de $6\,\%$: cerca de $17\,\%$ de toda a água doce que os rios do mundo levam ao mar. O Mississippi leva em média $593\,000$ pés cúbicos por segundo, cerca de $16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, ao Golfo do México: o Amazonas transporta umas doze vezes mais.

8.3 O hidrograma

Definição 8.6 (Hidrograma; escoamento de base; tempo de retardo)

Um hidrograma é o gráfico da vazão de um rio num ponto em função do tempo. O escoamento de base é a parte da vazão alimentada pela água subterrânea, que mantém o rio correndo entre as chuvas. O tempo de retardo de uma cheia é o tempo entre o pico da chuva sobre a bacia e o pico da vazão.

A água de uma tempestade chega ao rio em momentos diferentes. A chuva que cai perto do canal chega em minutos ou horas; a chuva que cai muito a montante leva muito mais tempo, já que precisa descer pelas encostas e ao longo do rio. A vazão, portanto, sobe abruptamente, no ramo ascendente, enquanto chega a água das encostas próximas, atinge o pico quando a maior quantidade de água chega de uma vez, e cai mais devagar, no ramo descendente, à medida que a última água escoa dos cantos distantes da bacia e do solo. Quanto maior a bacia, mais longo o tempo de retardo: horas para um pequeno córrego, dias para um grande rio.

Algumas bacias dão cheias repentinas, com um pico alto e súbito e um tempo de retardo curto; outras dão cheias lentas e achatadas. A mesma chuva dá uma cheia mais repentina quando:

• a bacia é pequena e íngreme, de modo que a água tem um caminho curto e rápido a percorrer;
• o terreno deixa pouca água se infiltrar: rocha nua, argila, terreno já encharcado, terreno congelado e, sobretudo, os telhados, as ruas e os estacionamentos de uma cidade, que mandam quase toda a chuva direto para os bueiros e os córregos;
• a bacia tem uma rede densa de córregos e de galerias, que recolhe a água depressa.

As florestas, os solos profundos e permeáveis e as planícies de inundação largas fazem o contrário: elas retêm a água e a liberam devagar, o que abaixa e atrasa o pico.

Uma cheia real

O rio Potomac drena uma bacia de $11\,560$ milhas quadradas, cerca de $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$, a montante de uma estação fluviométrica perto de Washington, no leste dos Estados Unidos. Em janeiro de 1996, a estação registrou o hidrograma abaixo.

Nos dias antes da cheia, o rio transportava cerca de $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, o seu escoamento de base. Em 21 de janeiro, a média diária chegou a $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, quase trinta vezes mais. Espalhada sobre toda a bacia, a água que passou pela estação nesse dia formaria uma camada de $9231 \times 86400 / (29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$, cerca de $27\,\mathrm{mm}$ de profundidade: uma chuva forte, entregue em um dia pela bacia inteira ao mesmo tempo.

8.4 As cheias e o seu período de retorno

Que tamanho de cheia uma cidade deve esperar? A resposta vem do passado: uma estação fluviométrica que funciona há décadas registrou a maior vazão de cada ano, o pico anual. Picos pequenos vêm quase todo ano, os grandes raramente. Quanto mais rara uma cheia, maior ela é.

Definição 8.7 (Período de retorno)

O período de retorno $T$ de uma cheia é o intervalo médio, em anos, entre os anos cujo pico anual a iguala ou a supera. Uma cheia de período de retorno $T$, uma cheia de $T$ anos, tem uma probabilidade $1/T$ de ser igualada ou superada num ano qualquer.

Uma cheia de cem anos não é uma cheia que vem uma vez a cada cem anos, como num horário. É uma cheia que tem uma chance em cem de ser igualada ou superada a cada ano, todo ano, aconteça o que tiver acontecido no ano anterior. Duas podem vir em anos seguidos; um século pode passar sem nenhuma.

Método 8.8 (Os períodos de retorno a partir de um registro de picos anuais)

1. Liste os picos anuais de $n$ anos.
2. Ordene-os do maior (posto $m = 1$) ao menor (posto $m = n$).
3. Atribua ao pico de posto $m$ o período de retorno $T = (n + 1)/m$.
4. Represente os picos em função de $T$ numa escala logarítmica de $T$, e leia a vazão para o período de retorno desejado.

O maior de $n$ picos recebe, assim, $T = n + 1$ anos: num registro de $95$ anos, $96$ anos. A fórmula reflete o que o registro mostra: o pico de posto $m$ foi igualado ou superado em $m$ dos $n$ anos, cerca de uma vez a cada $n/m$ anos. O método não consegue ir, de forma confiável, além da duração do registro: um registro de $50$ anos diz pouco sobre a cheia de $1000$ anos.

Dados de 2026

No registro do Potomac perto de Washington, de 1931 a 2025, os cinco maiores picos anuais ocorreram em março de 1936 ($13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), outubro de 1942, junho de 1972, abril de 1937 e janeiro de 1996, os dois últimos iguais a $9830\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

A chance de uma cheia ao longo de muitos anos

Uma casa ou uma ponte fica de pé durante décadas. O que importa para ela não é a chance de uma cheia num ano, mas ao longo de toda a sua vida.

Proposição 8.9 (Pelo menos uma cheia em $N$ anos)

Se os anos são independentes uns dos outros, a probabilidade de que uma cheia de período de retorno $T$ seja igualada ou superada pelo menos uma vez em $N$ anos é

$$P = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^{N}.$$

Para uma cheia de cem anos ao longo de trinta anos, $(0.99)^{30} \approx 0.740$, e $P \approx 0.26$: uma chance em quatro. Ao longo de cem anos, $(0.99)^{100} \approx 0.366$ e $P \approx 0.63$: está longe de ser certo que a cheia de cem anos venha em cem anos.

8.5 Barragens e diques

Há muito tempo as pessoas constroem estruturas que mudam a maneira como uma cheia passa. Duas delas a mudam de modos opostos.

Uma barragem retém um reservatório. Quando chega uma cheia, parte da sua água é armazenada no reservatório, cujo nível sobe, e é liberada depois, ao longo de um tempo maior. A jusante, passa o mesmo volume de água, mas espalhado: o pico é mais baixo e mais tardio. Um reservatório só abaixa uma cheia enquanto ainda tem espaço livre; uma vez cheio, toda a água que entra nele segue adiante.

Um dique é um aterro de terra construído ao longo de um rio para manter as suas cheias fora da planície de inundação. Entre os diques, a água não consegue se espalhar; para transportar a mesma vazão pela seção mais estreita, ela precisa ficar mais alta e correr mais depressa. A terra atrás dos diques fica seca, enquanto os diques resistirem e não forem transbordados. Mas a planície de inundação não armazena mais água durante a cheia, de modo que mais água, e mais cedo, desce o rio.

8.6 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Defina uma bacia hidrográfica e um divisor de águas. Por que duas gotas de chuva que caem a um metro uma da outra podem terminar em dois mares diferentes?

Solução

Solução de Exercício 8.1.

A bacia hidrográfica de um ponto de um rio é toda a área de terra cujo escoamento corre para o rio a montante desse ponto e passa por ele. O divisor de águas é a linha, ao longo das cristas, que separa duas bacias vizinhas. Duas gotas que caem a um metro uma da outra, de cada lado de um divisor, descem por encostas opostas, para duas bacias diferentes: os seus rios podem chegar a mares diferentes.

Exercício 8.2 ★

Defina a vazão de um rio e dê a sua unidade. Quantos litros passam em um dia por um ponto de um rio que transporta $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$?

Solução

Solução de Exercício 8.2.

A vazão é o volume de água que passa por uma seção transversal do rio a cada segundo, em $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ são $1000\,\mathrm{L}$ a cada segundo; em um dia, $1000 \times 86\,400 = 86.4$ milhões de litros.

Exercício 8.3 ★

No hidrograma do Potomac de janeiro de 1996, leia o escoamento de base antes da cheia, a vazão de pico e a sua data, e o número de dias que a subida levou.

Solução

Solução de Exercício 8.3.

Antes da cheia, o rio transportava cerca de $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ (entre cerca de $240$ e $390\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). O pico foi de $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ em 21 de janeiro. A subida começou em 18 de janeiro ($362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$): ela levou três dias.

Exercício 8.4 ★

Qual é a probabilidade de que uma cheia de $50$ anos seja igualada ou superada no ano que vem? Uma cheia de $50$ anos veio no ano passado: ela é menos provável neste ano?

Solução

Solução de Exercício 8.4.

$1/50 = 0.02$, $2\,\%$. Não: os anos são independentes; a chance é de novo de $2\,\%$ neste ano, aconteça o que tiver acontecido no ano passado.

Exercício 8.5 ★

O Mississippi leva em média $593\,000$ pés cúbicos de água por segundo ao mar ($1$ pé = $0.3048\,\mathrm{m}$). Converta essa vazão em $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ e compare-a com os $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ do Amazonas.

Solução

Solução de Exercício 8.5.

Um pé cúbico vale $0.3048^3 \approx 0.028\,32\,\mathrm{m}^{3}$, logo $593\,000 \times 0.02832 \approx 16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. O Amazonas transporta $206\,000/16\,800 \approx 12$ vezes mais.

Exercício 8.6 ★★

Uma hidróloga mede a vazão de um córrego com quatro verticais a $1.5\,\mathrm{m}$ umas das outras. As profundidades são $0.3$, $0.6$, $0.7$ e $0.4\,\mathrm{m}$; as velocidades médias, $0.2$, $0.5$, $0.6$ e $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calcule a seção transversal, a vazão e a velocidade média.

Solução

Solução de Exercício 8.6.

Áreas das faixas: $1.5 \times 0.3 = 0.45$, $0.90$, $1.05$ e $0.60\,\mathrm{m}^{2}$: $A = 3.0\,\mathrm{m}^{2}$. Vazões: $0.2 \times 0.45 = 0.09$, $0.5 \times 0.90 = 0.45$, $0.6 \times 1.05 = 0.63$, $0.3 \times 0.60 = 0.18$: $Q = 1.35\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Velocidade média $1.35/3.0 = 0.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Exercício 8.7 ★★

Uma tempestade despeja $20\,\mathrm{mm}$ de chuva sobre toda a bacia do rio Varden no mapa, $66\,\mathrm{km}^{2}$. Que volume de água é esse? Se toda ela chegasse ao exutório em dois dias, qual seria a vazão extra média?

Solução

Solução de Exercício 8.7.

$66 \times 10^6 \times 0.020 = 1.32 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. Dois dias são $2 \times 86\,400 = 172\,800\,\mathrm{s}$: $1.32 \times 10^6/172\,800 \approx 7.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ em média.

Exercício 8.8 ★★

Os picos anuais de um pequeno rio ao longo de nove anos são, em $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: $42$, $65$, $38$, $120$, $51$, $47$, $88$, $35$, $59$. Ordene-os e dê os períodos de retorno dos três maiores. Qual é o período de retorno do pico mediano?

Solução

Solução de Exercício 8.8.

Ordenados: 120, 88, 65, 59, 51, 47, 42, 38, 35. Com $n = 9$, $T = 10/m$: o maior (120) tem $T = 10$ anos, o segundo (88), 5 anos, o terceiro (65), cerca de 3.3 anos. O mediano, 51, tem posto 5 e $T = 2$ anos: ele é igualado ou superado um ano em cada dois.

Exercício 8.9 ★★

A mesma tempestade cai sobre duas bacias de mesma área: uma íngreme, coberta por uma cidade, a outra de declive suave e coberta de floresta. Esboce os seus dois hidrogramas nos mesmos eixos e explique as diferenças.

Solução

Solução de Exercício 8.9.

O hidrograma da cidade sobe mais cedo e muito mais alto, e cai depressa: nas encostas íngremes, nos telhados e nas ruas, pouca água se infiltra e o escoamento chega ao córrego depressa e de uma vez; o seu tempo de retardo é curto. O hidrograma da bacia florestada sobe mais tarde, até um pico mais baixo e mais largo: o solo e a floresta absorvem boa parte da chuva e a liberam devagar, e a água corre devagar nas encostas suaves. O seu escoamento de base fica mais alto depois da tempestade.

Exercício 8.10 ★★

No pico de 21 de janeiro de 1996, o Potomac transportava $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de uma bacia de $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$. Que lâmina de água, espalhada sobre toda a bacia, representa um dia dessa vazão? Compare com o escoamento de base de $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Solução

Solução de Exercício 8.10.

$9231 \times 86\,400 \approx 7.98 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, espalhados sobre $29\,900 \times 10^6 = 2.99 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$: cerca de $0.027\,\mathrm{m}$, $27\,\mathrm{mm}$. O escoamento de base dá $330 \times 86\,400/2.99 \times 10^{10} \approx 0.001\,\mathrm{m}$, cerca de $1\,\mathrm{mm}$ por dia: o dia do pico transportou cerca de 28 vezes mais.

Exercício 8.11 ★★

Qual é a probabilidade de que uma cheia de $10$ anos venha pelo menos uma vez em $10$ anos? E de que ela não venha nenhuma vez nesses dez anos?

Solução

Solução de Exercício 8.11.

$P = 1 - 0.9^{10} \approx 1 - 0.349 = 0.651$: cerca de $65\,\%$. Ela não vem nenhuma vez com probabilidade $0.9^{10} \approx 0.35$, cerca de $35\,\%$.

Exercício 8.12 ★★★

A vazão que entra num reservatório durante uma cheia sobe regularmente de $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ a $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ em um dia, e depois cai regularmente de volta a $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ em dois dias (escoamento de base desprezado). Que volume a cheia traz? A barragem deixa passar no máximo $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, e o reservatório pode armazenar $60$ milhões de $\mathrm{m}^{3}$. Ele consegue reter tudo o que passa de $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$?

Solução

Solução de Exercício 8.12.

O hidrograma é um triângulo de três dias de duração e $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de altura: a sua área é $\tfrac12 \times 1200 \times 3 \times 86\,400 \approx 1.56 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, $156$ milhões de metros cúbicos. A parte acima de $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ é um triângulo menor da mesma forma, três vezes menor em altura ($400$ em vez de $1200$) e em duração (um dia em vez de três): $\tfrac12 \times 400 \times 86\,400 \approx 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, $17$ milhões de metros cúbicos. Isso é menos que os $60$ milhões que o reservatório pode armazenar: sim.

Exercício 8.13 ★★★

Um rio de $100\,\mathrm{m}$ de largura está cheio até as margens com $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, correndo a $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Chega uma cheia de $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

1. Sem diques, os $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ extras se espalham por uma planície de inundação de $900\,\mathrm{m}$ de largura, onde correm a $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Qual é a profundidade da água na planície de inundação?
2. Com diques, toda a cheia passa entre eles, a $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Qual é a profundidade do rio, e a que altura acima das suas margens ele fica?

Solução

Solução de Exercício 8.13.

Cheio até as margens, o rio tem $800/(100 \times 2) = 4\,\mathrm{m}$ de profundidade. (1) A planície de inundação transporta $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ sobre $900\,\mathrm{m}$ a $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: a sua profundidade é $400/(900 \times 0.5) \approx 0.9\,\mathrm{m}$. (2) Entre os diques: $1200/(100 \times 2) = 6\,\mathrm{m}$ de profundidade, $2\,\mathrm{m}$ acima das suas margens, mais que o dobro da profundidade na planície de inundação sem diques.

Exercício 8.14 ★★★

Que período de retorno $T$ dá a uma cheia uma chance em duas de vir pelo menos uma vez em $30$ anos?

Solução

Solução de Exercício 8.14.

Queremos $(1 - 1/T)^{30} = 0.5$, logo $1 - 1/T = 0.5^{1/30} \approx 0.97716$, $1/T \approx 0.02284$ e $T \approx 44$ anos.

Exercício 8.15 ★★★

Um pequeno mapa é cortado em quadrados de $100\,\mathrm{m}$; as suas altitudes em metros são dadas abaixo (norte em cima). A água sai de cada quadrado em direção ao mais baixo dos seus quatro vizinhos (norte, sul, leste, oeste), se ele for mais baixo; os quadrados a $34\,\mathrm{m}$ (canto noroeste) e a $30\,\mathrm{m}$ (canto sudeste) são os exutórios de dois córregos.

34	38	46	50
37	42	48	47
45	49	44	39
51	46	37	30

Desenhe a direção do escoamento de cada quadrado, encontre a bacia de cada exutório e a sua área, e desenhe o divisor.

Solução

Solução de Exercício 8.15.

Cada quadrado manda a sua água para o seu vizinho mais baixo (linhas de norte a sul, colunas de oeste a leste):

exutório	oeste	oeste	oeste
norte	oeste	oeste	sul
norte	norte	sul	sul
norte	leste	leste	exutório

Seguindo as setas, os quadrados 47, 39, 44, 37, 46 e 30 drenam para o exutório sudeste: 6 quadrados, $0.06\,\mathrm{km}^{2}$. Os outros 10 quadrados drenam para o exutório noroeste: $0.10\,\mathrm{km}^{2}$. O divisor vai da borda leste, entre 50 e 47, depois entre 48 e 47, entre 48 e 44, entre 49 e 44, entre 49 e 46, e entre 51 e 46, até a borda sul.

8.7 Problema: a cheia de cem anos

Problema 8.1

Problema de fim de semana — com que frequência o rio entra na cidade?

Imagine uma cidade às margens do rio Potomac, logo a montante de Washington, perto de uma estação fluviométrica que registrou a maior vazão do rio a cada ano desde 1931. Os picos anuais estão desenhados abaixo, e o hidrograma de janeiro de 1996 foi dado no capítulo.

Parte I — A bacia e a vazão.

1. A bacia da estação cobre $11\,560$ milhas quadradas ($1$ milha = $1.609\,\mathrm{km}$). Converta essa área em $\mathrm{km}^{2}$.
2. Que linha, num mapa, limita essa área?
3. O maior pico, em 19 de março de 1936, foi de $484\,000$ pés cúbicos por segundo. Converta-o em $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ($1$ pé = $0.3048\,\mathrm{m}$).
4. O pico anual mediano é de $3341\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Quantas vezes maior que a mediana foi a cheia de 1936?
5. Suponha que, no pico de 1936, o rio tivesse $400\,\mathrm{m}$ de largura e $8\,\mathrm{m}$ de profundidade média na estação. Qual teria sido a sua velocidade média?

Parte II — Ler a cheia de 1996.

6. No hidrograma de janeiro de 1996, qual era o escoamento de base nos dias antes da cheia?
7. Qual foi a vazão diária de pico, e em que dia?
8. Quantos dias a subida levou, de $362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ em 18 de janeiro até o pico?
9. Que lâmina de água sobre toda a bacia o dia do pico fez passar pela estação?
10. Uma segunda subida, menor, atinge o pico em 29 de janeiro. O que ela diz sobre a água que chega à bacia?
11. A vazão voltou para perto de $410\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ em 7 de fevereiro. Quanto tempo depois do pico foi isso? Por que o ramo descendente dura mais que o ramo ascendente?

Parte III — Ordenar as cheias.

12. O registro contém $n = 95$ picos anuais. Que período de retorno o método dá ao maior?
13. O pico de outubro de 1942 ($12\,658\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) está em segundo lugar. Qual é o seu período de retorno?
14. O pico de junho de 1972 ($10\,166\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) está em terceiro lugar. Qual é o seu período de retorno?
15. As cheias de abril de 1937 e de janeiro de 1996 foram iguais ($9826\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). Dados os postos 4 e 5, que períodos de retorno elas recebem? O fato de terem o mesmo valor importa muito aqui?
16. No gráfico de barras, conte os anos cujo pico superou $9500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Estime a chance de um pico assim num ano qualquer, e o seu período de retorno.

Parte IV — A chance de uma cheia.

17. Qual é a probabilidade de que uma cheia de $100$ anos seja igualada ou superada num dado ano?
18. Qual é a probabilidade de que ela não seja, nesse ano?
19. Qual é a probabilidade de que ela não venha em $30$ anos, o tempo que uma família pode morar numa casa à beira do rio?
20. Qual é a chance de pelo menos uma cheia de $100$ anos em $30$ anos?

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. $11\,560 \times 1.609^2 \approx 29\,900\,\mathrm{km}^{2}$.

2. O divisor de águas da bacia a montante da estação.

3. $484\,000 \times 0.3048^3 \approx 13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

4. $13\,705/3341 \approx 4.1$ vezes.

5. $A = 400 \times 8 = 3200\,\mathrm{m}^{2}$ e $v = Q/A = 13\,705/3200 \approx 4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

6. Cerca de $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

7. $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, em 21 de janeiro.

8. Três dias.

9. $9231 \times 86\,400/(29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$: cerca de $27\,\mathrm{mm}$.

10. Água nova chegou ao rio: outra chuva sobre a bacia (ou neve derretendo) mandou um segundo pulso, menor, de escoamento.

11. Dezessete dias depois do pico. A subida vem do escoamento das encostas perto dos córregos, que chega depressa e de uma vez; no ramo descendente, o rio ainda recebe a água das partes mais distantes da bacia e a água que escoa devagar do solo.

12. $T = n + 1 = 96$ anos.

13. $96/2 = 48$ anos.

14. $96/3 = 32$ anos.

15. $96/4 = 24$ anos e $96/5 = 19.2$ anos. Não muito: de um modo ou de outro, essa vazão volta cerca de uma vez a cada vinte anos.

16. Cinco anos (1936, 1937, 1943, 1972 e 1996): $5/95 \approx 0.053$, cerca de $5\,\%$ por ano, um período de retorno de cerca de $96/5 \approx 19$ anos.

17. $1/100 = 0.01$, $1\,\%$.

18. $1 - 0.01 = 0.99$.

19. $0.99^{30} \approx 0.740$.

20. $1 - 0.740 = 0.26$: a chance de pelo menos uma cheia de 100 anos em 30 anos é de cerca de $26\,\%$, uma em quatro.