25A datação radiométrica e a idade da Terra

Em 1862, o físico William Thomson, mais tarde lorde Kelvin, calculou a idade da Terra a partir da maneira como ela esfria. Ele supôs que ela tinha se formado fundida e vinha perdendo o seu calor desde então, e perguntou quanto tempo levaria para que o gradiente de temperatura perto da superfície caísse ao seu valor atual. A sua resposta foi 96 milhões de anos, em algum ponto entre 20 e 400 milhões; em 1897, ele a tinha estreitado para entre 20 e 40 milhões. Os geólogos acharam isso curto demais para a história que liam nas rochas. A resposta veio da radioatividade, que Kelvin não conhecia.

O que você já sabe

A datação relativa põe as rochas e os eventos em ordem; uma idade absoluta é um número de anos (Livro 1, 7º ano). Um isótopo radioativo, o pai, decai num isótopo filho ao acaso: o número $N$ de átomos pais que restam cai como $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, em que $\lambda$ é a constante de decaimento, e se reduz à metade a cada meia-vida $T = \ln 2/\lambda$ (os livros de física). Os minerais mais antigos conhecidos, zircões da Austrália Ocidental, têm 4.4 bilhões de anos (Capítulo 19). A Terra também perde um calor que a radioatividade continua a produzir, e o seu manto convecta (Capítulo 24).

25.1 Uma história das estimativas

Antes da radioatividade, toda estimativa da idade da Terra se apoiava num processo cuja taxa se supunha conhecida.

História — O calor que faltava a Kelvin

Em 1903, Pierre Curie e Albert Laborde mostraram que o rádio libera calor, e vários cientistas logo argumentaram que esse calor derrubava a conclusão de Kelvin. Um ano depois, Ernest Rutherford, numa conferência com Kelvin na plateia, lembrou-lhe que ele tinha limitado a idade da Terra “desde que nenhuma nova fonte de calor fosse descoberta”. A radioatividade parecia ser essa fonte. No entanto, não era o principal erro de Kelvin: o que mais prolonga o resfriamento da Terra é a convecção do manto, que mantém o manto superior quente e o gradiente na crosta alto por muito mais tempo do que a condução sozinha manteria.

A radioatividade também deu um relógio. Em 1907, Bertram Boltwood mostrou que minerais de urânio da mesma idade contêm a mesma quantidade de chumbo para cada grama de urânio: o chumbo é produzido pelo urânio. Em 1913, Arthur Holmes podia escrever que as rochas mais antigas datadas tinham $1600$ milhões de anos, e em 1927 ele situou a idade da Terra entre 1.6 e 3.0 bilhões de anos. Em 1956, Clair Patterson mediu 4.55 bilhões de anos. O valor de hoje é 4.54 bilhões de anos, com uma margem de um por cento.

25.2 Um relógio radioativo

Um relógio radioativo só funciona se nada lhe foi acrescentado nem retirado desde que ele começou a funcionar.

Definição 25.1 (Sistema fechado)

Uma rocha ou um mineral é um sistema fechado para um isótopo pai e o seu filho se, desde o momento em que o seu relógio começou, nenhum átomo do pai ou do filho entrou nele ou saiu dele, a não ser pelo decaimento do pai no filho.

Para um mineral, o relógio começa quando ele se cristaliza a partir de um magma, ou, mais exatamente, quando ele esfriou o bastante para que os átomos parem de entrar e sair dele. Um aquecimento, um fluido quente ou o intemperismo podem abrir de novo o sistema, e a idade medida então está errada, ou data esse evento posterior.

Contar os átomos filhos num sistema fechado dá a idade, desde que se saiba quantos havia no início. Em geral, não se sabe. O rubídio-87 decai em estrôncio-87, mas todo mineral também incorporou algum estrôncio-87 quando se formou. O método da isócrona contorna isso medindo vários minerais de uma mesma rocha.

25.3 A isócrona

O estrôncio tem um isótopo, o estrôncio-86, que é estável e não é produzido por nenhum decaimento: num sistema fechado, o seu número continua o mesmo, e ele serve de referência. As razões isotópicas $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ e $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ são o que um espectrômetro de massa mede.

Teorema 25.2 (A equação da isócrona)

Num mineral que foi um sistema fechado durante um tempo $t$,

$$\left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{agora}} = \left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{0} + \left(\frac{^{87}\mathrm{Rb}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{agora}} \left(e^{\lambda t} - 1\right),$$

em que o índice 0 marca o valor quando o relógio começou e $\lambda$ é a constante de decaimento do rubídio-87.

Os minerais de um granito se cristalizaram a partir de um mesmo magma, então todos começaram com a mesma razão $(^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})_0$. Mas eles incorporaram quantidades muito diferentes de rubídio. Todos compartilham o mesmo $t$ e a mesma razão inicial, então a equação diz que os seus pontos ficam sobre uma mesma reta.

Definição 25.3 (Isócrona)

Uma isócrona é a reta sobre a qual ficam os pontos de minerais ou de rochas que se formaram ao mesmo tempo a partir da mesma fonte e continuaram sistemas fechados desde então, quando a razão do filho para o isótopo estável é representada em função da razão do pai para o isótopo estável. A sua inclinação dá a idade deles, e o ponto em que ela encontra o eixo vertical dá a sua razão inicial.

Proposição 25.4 (A idade a partir da inclinação)

Se uma isócrona tem inclinação $m$, a idade é

$$t = \frac{\ln(1+m)}{\lambda}.$$

Para o rubídio-87, $\lambda = 1.3972 \times 10^{-11}$ por ano, uma meia-vida de $\ln 2/\lambda \approx 49.6$ bilhões de anos: mais de dez vezes a idade da Terra.

Método 25.5 (Datar uma rocha com uma isócrona)

1. Separe vários minerais da rocha (ou tome várias amostras dela) com quantidades diferentes de rubídio.
2. Meça em cada um as razões $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($x$) e $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($y$).
3. Represente $y$ em função de $x$ e verifique que os pontos ficam sobre uma reta: se um não fica, essa amostra não foi um sistema fechado.
4. Tome a inclinação $m$ da reta, e calcule $t = \ln(1+m)/\lambda$.
5. Leia a razão inicial onde a reta encontra o eixo vertical.

Exemplo 25.6 (O granito de Varden)

O granito das Colinas de Varden, a região inventada desta série, dá estas razões (dados de exercício):

amostra	$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$
plagioclásio	0.35	0.70952
hornblenda	1.20	0.71321
rocha total	3.10	0.72146
feldspato potássico	6.40	0.73578
biotita	24.0	0.81218

Passando pelo plagioclásio e pela biotita, a inclinação é $m = (0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) \approx 0.004341$. Então $t = \ln(1.004341)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ anos: o granito tem 310 milhões de anos. A reta encontra o eixo vertical em $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$, a razão inicial.

No laboratório — Pesar átomos

As razões são medidas com um espectrômetro de massa. Alguns miligramas de um mineral são dissolvidos em ácido, e o estrôncio é separado do rubídio por via química, já que os dois isótopos de massa 87 seriam contados juntos de outro modo. O estrôncio, depositado sobre um filamento de metal e aquecido no vácuo, emite íons; um campo elétrico os acelera e um ímã curva as suas trajetórias, os íons mais leves mais que os mais pesados, de modo que cada isótopo chega ao seu próprio coletor. As suas correntes dão as razões.

A razão inicial é também um indício da origem do magma. O rubídio prefere o líquido quando o manto se funde, então ao longo das eras ele se concentrou na crosta continental, que produziu por isso mais estrôncio-87: as rochas da crosta têm uma razão $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ mais alta que as rochas do manto. Um magma formado por fusão da crosta herda essa razão alta.

25.4 A idade da Terra

Nenhuma rocha da Terra remonta ao início da Terra: a rocha mais antiga conhecida, o gnaisse de Acasta, tem 4.03 bilhões de anos, e os zircões mais antigos 4.4 bilhões. A superfície foi fundida, erodida e reciclada desde então. A datação da própria Terra vem dos meteoritos, fragmentos dos pequenos corpos que se formaram com os planetas e alguns dos quais continuaram sistemas fechados desde então.

Definição 25.7 (Idade da Terra)

A idade da Terra é o tempo desde que a Terra se formou pela acreção de corpos menores, no nascimento do Sistema Solar. Medida a partir dos meteoritos por datação radiométrica, ela é de $4.54$ bilhões de anos, com uma margem de um por cento.

Em 1956, Clair Patterson mediu os isótopos do chumbo em três meteoritos rochosos e dois meteoritos metálicos. Dois isótopos do chumbo são produzidos pelo decaimento do urânio, o chumbo-206 a partir do urânio-238 e o chumbo-207 a partir do urânio-235, enquanto o chumbo-204 não é produzido por nenhum decaimento. Como no caso do estrôncio, os pontos dos meteoritos que se formaram ao mesmo tempo ficam sobre uma reta, quando $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ é representado em função de $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$. O meteorito metálico de Canyon Diablo, no Arizona, quase não contém urânio: o seu chumbo não mudou desde que ele se formou, e marca a extremidade inferior da reta, o chumbo com que o Sistema Solar começou.

Para o chumbo, a inclinação $m$ depende da idade através dos dois isótopos do urânio; a relação é admitida aqui. Com as constantes que Patterson usou,

o que dá:

Uma reta traçada pelos cinco pontos tem uma inclinação de cerca de 0.603, entre as inclinações para 4.55 e 4.60 bilhões de anos da tabela. O resultado do próprio Patterson, levando em conta os erros das medições e das constantes de decaimento, foi de 4.55 bilhões de anos, com uma margem de 0.07. Ele mediu depois o chumbo de um sedimento oceânico moderno, que mistura chumbo de uma grande massa da crosta da Terra: ele fica sobre a mesma reta. O chumbo da Terra evoluiu como o dos meteoritos, ao longo do mesmo tempo: a Terra é tão antiga quanto eles.

Desde então, centenas de medições o confirmaram. Os meteoritos dão idades de 4.53 a 4.58 bilhões de anos, e os sólidos mais antigos do Sistema Solar, pequenas inclusões ricas em cálcio e alumínio encontradas em alguns meteoritos, se formaram há $4567.30$ milhões de anos, com uma margem de 0.16. A Terra se formou mais tarde a partir desse material, e é por isso que a sua idade, 4.54 bilhões de anos, é um pouco menor que a deles.

25.5 Exercícios

Exercício 25.1 ★

Dê a palavra: (a) um mineral em que nenhum átomo pai ou filho entrou ou do qual nenhum saiu desde que o seu relógio começou; (b) a reta sobre a qual ficam os minerais de uma mesma idade e de uma mesma fonte; (c) o tempo desde que a Terra se formou por acreção.

Solução

Solução de Exercício 25.1.

(a) um sistema fechado; (b) uma isócrona; (c) a idade da Terra.

Exercício 25.2 ★

Usando a tabela do granito de Varden, ponha as suas cinco amostras na ordem da sua razão de rubídio-87 para estrôncio-86, da mais baixa. Qual delas fica mais alta na isócrona, e por que ela produziu mais estrôncio-87?

Solução

Solução de Exercício 25.2.

Plagioclásio (0.35), hornblenda (1.20), rocha total (3.10), feldspato potássico (6.40), biotita (24.0). A biotita fica mais alta: ela contém mais rubídio-87 para o seu estrôncio-86, então o seu rubídio produziu mais estrôncio-87 desde que o granito se formou.

Exercício 25.3 ★

Calcule a meia-vida do rubídio-87 a partir da sua constante de decaimento, $1.3972 \times 10^{-11}$ por ano. Quantas vezes a idade da Terra ela vale?

Solução

Solução de Exercício 25.3.

$T = \ln 2/\lambda = 0.6931/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.96 \times 10^{10}$ anos, 49.6 bilhões de anos: $49.6/4.54 \approx 11$ vezes a idade da Terra.

Exercício 25.4 ★

Calcule $e^{\lambda t} - 1$ para o rubídio-87 para $t = 310$ milhões de anos e $t = 480$ milhões de anos.

Solução

Solução de Exercício 25.4.

$\lambda t = 1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8} \approx 0.004331$, e $e^{0.004331} - 1 \approx 0.004341$. Para 480 milhões de anos, $\lambda t \approx 0.006707$ e $e^{\lambda t} - 1 \approx 0.006729$. Os dois ficam perto do próprio $\lambda t$, já que $\lambda t$ é pequeno.

Exercício 25.5 ★

Ponha em ordem de data as estimativas de Phillips, Holmes (1927), Joly, Kelvin (1862) e Patterson. Quantas vezes maior que o limite superior da estimativa de Joly é a idade atual da Terra?

Solução

Solução de Exercício 25.5.

Phillips (1860), Kelvin (1862), Joly (1899), Holmes (1927), Patterson (1956). $4540/100 \approx 45$ vezes.

Exercício 25.6 ★★

Um mineral do granito de Varden (310 milhões de anos, razão inicial 0.7080) tem $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 10.0$. Qual é a sua $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ hoje? Qual era ela quando o granito se formou?

Solução

Solução de Exercício 25.6.

$0.7080 + 10.0 \times 0.004341 \approx 0.7514$ hoje; 0.7080 quando o granito se formou, como todo mineral do granito.

Exercício 25.7 ★★

Quatro amostras do xisto de Varden dão $(x, y)$ = (0.90, 0.71806), (2.60, 0.72950), (5.10, 0.74632) e (9.40, 0.77525), com $x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ e $y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$. (1) A partir da primeira e da última amostras, calcule a inclinação e a idade. (2) Verifique que as duas amostras do meio ficam sobre a mesma reta. (3) O resultado é coerente com os 310 milhões de anos do granito e com o princípio das relações de corte?

Solução

Solução de Exercício 25.7.

(1) $m = (0.77525 - 0.71806)/(9.40 - 0.90) = 0.05719/8.50 \approx 0.006728$; $t = \ln(1.006728)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.80 \times 10^{8}$ anos, 480 milhões de anos. (2) $0.71806 + 1.70 \times 0.006728 \approx 0.72950$ e $0.71806 + 4.20 \times 0.006728 \approx 0.74632$: as duas ficam sobre a reta. (3) Sim: o granito corta o xisto, logo é mais jovem, e 310 é menos que 480 milhões de anos.

Exercício 25.8 ★★

Por que uma rocha em que todos os minerais têm a mesma razão de rubídio para estrôncio não dá nenhuma isócrona? Por que a biotita, no granito de Varden, fixa a inclinação melhor que os outros minerais?

Solução

Solução de Exercício 25.8.

Todos os seus pontos cairiam no mesmo lugar: um ponto não define nenhuma reta nem nenhuma inclinação. A biotita fica muito à direita das outras; um pequeno erro num ponto muda então a inclinação da reta que passa por ela e pelo plagioclásio muito menos do que mudaria para dois pontos próximos.

Exercício 25.9 ★★

Muito depois que o granito de Varden se formou, um fluido quente fez a sua biotita perder parte do seu estrôncio-87. (1) Para onde o seu ponto se move no diagrama da isócrona? (2) Que idade a biotita e o plagioclásio sozinhos dariam então: velha demais ou jovem demais? (3) Como o método da isócrona revela o problema?

Solução

Solução de Exercício 25.9.

(1) O seu rubídio não muda, então ela conserva o seu $x$; ela tem menos estrôncio-87, então o seu $y$ cai: o ponto desce na vertical. (2) A reta que passa por ela e pelo plagioclásio é menos inclinada, e dá uma idade jovem demais. (3) A biotita não fica mais sobre a reta que passa pelos outros minerais: os pontos não estão alinhados, sinal de que uma amostra não foi um sistema fechado.

Exercício 25.10 ★★

(1) Quantas vezes mais longa que os 96 milhões de anos de Kelvin é a idade da Terra? (2) Joly supôs que os rios levam sal ao mar a uma taxa constante e que nada dele sai do mar. Qual dessas hipóteses torna a sua idade curta demais se estiver errada, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 25.10.

(1) $4540/96 \approx 47$ vezes. (2) Se parte do sal sai do mar, por exemplo enterrada nos sedimentos, o mar contém menos sal do que todo o que os rios trouxeram: dividir o sal presente pelo aporte anual dá um tempo curto demais.

Exercício 25.11 ★★

Usando os valores de Patterson para Canyon Diablo (9.46, 10.34) e Nuevo Laredo (50.28, 34.86), calcule a inclinação da reta que passa pelos dois meteoritos, e leia a idade na tabela das inclinações.

Solução

Solução de Exercício 25.11.

$m = (34.86 - 10.34)/(50.28 - 9.46) = 24.52/40.82 \approx 0.601$, entre as inclinações para 4.55 (0.590) e 4.60 bilhões de anos (0.610): cerca de 4.58 bilhões de anos.

Exercício 25.12 ★★★

Um basalto da região de Varden, também com 310 milhões de anos, tem uma razão inicial de 0.7035, contra 0.7080 para o granito. (1) Qual rocha tem mais chance de vir do manto fundido, e qual da crosta fundida? (2) Explique por quê com o que você sabe do rubídio. (3) As duas poderiam ter se cristalizado a partir de um mesmo magma?

Solução

Solução de Exercício 25.12.

(1) O basalto, com a razão mais baixa, vem do manto; o granito, com a mais alta, vem pelo menos em parte da crosta fundida. (2) O rubídio vai para o líquido quando o manto se funde, então ele se concentrou na crosta, que produziu mais estrôncio-87 ao longo das eras. (3) Não: minerais que se cristalizam a partir de um mesmo magma compartilham a sua razão inicial, e essas duas rochas não.

Exercício 25.13 ★★★

(1) Que fração do rubídio-87 presente quando a Terra se formou resta hoje? E do urânio-238 (meia-vida de 4.47 bilhões de anos)? (2) Qual seria a inclinação de uma isócrona rubídio–estrôncio para uma rocha de um milhão de anos? Por que o rubídio–estrôncio é um relógio ruim para rochas jovens?

Solução

Solução de Exercício 25.13.

(1) Rubídio-87: $2^{-4.54/49.61} \approx 0.94$, cerca de $94\,\%$ restante; urânio-238: $2^{-4.54/4.47} \approx 0.49$, cerca da metade. (2) $m = e^{\lambda t} - 1 \approx 1.3972 \times 10^{-11} \times 10^6 \approx 1.4 \times 10^{-5}$: mesmo a biotita do granito de Varden ($x = 24$) subiria só $0.0003$ acima da razão inicial. Tão pouco estrôncio-87 se formou que mal se distingue a inclinação de zero: um relógio lento convém às rochas antigas.

Exercício 25.14 ★★★

A reta que passa pelos cinco meteoritos de Patterson é $y = 4.438 + 0.6026\,x$. (1) Que $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ ela prevê para o sedimento oceânico, em $x = 19.0$? Patterson mediu 15.5: em que porcentagem eles diferem? (2) Que idade a inclinação 0.6026 dá, pela tabela? Compare com os $4.55 \pm 0.07$ bilhões de anos de Patterson.

Solução

Solução de Exercício 25.14.

(1) $4.438 + 0.6026 \times 19.0 \approx 15.89$; $15.5$ é menor em $0.39$, cerca de $2.4\,\%$: o sedimento fica perto da reta. (2) 0.6026 fica entre 0.590 (4.55) e 0.610 (4.60): cerca de 4.58 bilhões de anos, dentro da faixa de Patterson, de 4.48 a 4.62 bilhões de anos.

Exercício 25.15 ★★★

Kelvin supôs que todo o calor que a Terra perde, $46.7\,\mathrm{TW}$ hoje, é calor armazenado. (1) A radioatividade repõe cerca de $24.4\,\mathrm{TW}$ dele. Em quanto isso, sozinho, prolonga o tempo para perder uma dada reserva de calor? (2) Partindo de 96 milhões de anos, isso basta para chegar à idade verdadeira? (3) O que Kelvin deixou escapar que importa mais?

Solução

Solução de Exercício 25.15.

(1) A reserva perde então só $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$ líquidos, então a mesma reserva dura $46.7/22.3 \approx 2.1$ vezes mais. (2) $96 \times 2.1 \approx 200$ milhões de anos, ainda mais de vinte vezes curto demais. (3) A convecção do manto, que traz calor das profundezas e mantém o gradiente perto da superfície alto por muito mais tempo que a condução sozinha.

Problema 25.1

Problema de fim de semana — datar o granito de Varden

O granito das Colinas de Varden, a região inventada desta série, corta o xisto em volta dele. Um laboratório mediu cinco das suas amostras (exemplo acima): plagioclásio (0.35, 0.70952), hornblenda (1.20, 0.71321), rocha total (3.10, 0.72146), feldspato potássico (6.40, 0.73578) e biotita (24.0, 0.81218), cada uma como $(^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr},\ ^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})$. A constante de decaimento do rubídio-87 é $1.3972 \times 10^{-11}$ por ano.

Parte I — As amostras.

1. Que amostra é a mais rica em rubídio em relação ao estrôncio?
2. Por que todos os minerais começaram com a mesma $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$?
3. Por que as razões são tomadas em relação ao estrôncio-86?
4. Qual dos três isótopos aumentou desde que o granito se formou, e por quê?
5. Que aspecto tinham os cinco pontos no diagrama quando o granito acabava de se formar?

Parte II — A reta isócrona.

6. Calcule a inclinação pelo plagioclásio e pela biotita.
7. Calcule a inclinação pelo plagioclásio e pela rocha total.
8. Compare as duas inclinações. Qual é a mais confiável, e por quê?
9. Encontre onde a reta da questão 6 encontra o eixo vertical.
10. Verifique que o feldspato potássico fica sobre essa reta.

Parte III — A inclinação e a idade.

11. Escreva a relação entre a inclinação e $e^{\lambda t}$.
12. Calcule $\lambda t$.
13. Calcule a idade $t$.
14. O xisto foi datado de 480 milhões de anos. A ordem das duas idades é a que as relações de campo exigem?
15. O Carbonífero vai de 358.9 a 298.9 milhões de anos atrás. Em que período o granito se formou?

Parte IV — A razão inicial e a fonte.

16. O que representa a interseção, 0.7080?
17. Um basalto da região se formou com uma razão de 0.7035. Qual rocha tem a razão inicial mais alta?
18. Por que as rochas da crosta têm razões mais altas que o manto?
19. O que a razão inicial do granito sugere sobre a rocha que se fundiu para formá-lo?
20. Resuma: que idade tem o granito de Varden?

Solução

Solução de Problema 25.1.

1. A biotita ($x = 24.0$).

2. Eles se cristalizaram a partir de um mesmo magma, e os minerais que se cristalizam a partir de um mesmo líquido incorporam o seu estrôncio com a sua razão de isótopos.

3. O estrôncio-86 é estável e não é produzido por nenhum decaimento: num sistema fechado, o seu número não muda, então ele é uma referência fixa.

4. O estrôncio-87, produzido pelo decaimento do rubídio-87; o rubídio-87 diminuiu e o estrôncio-86 continuou o mesmo.

5. Uma reta horizontal em $y = 0.7080$: mesma razão, $x$ diferentes.

6. $(0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) = 0.10266/23.65 \approx 0.004341$.

7. $(0.72146 - 0.70952)/(3.10 - 0.35) = 0.01194/2.75 \approx 0.004342$.

8. Elas concordam com uma diferença de 1 em 4000. A primeira é a mais confiável: os seus dois pontos estão afastados, então o arredondamento das razões pesa menos.

9. $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$.

10. $0.7080 + 6.40 \times 0.004341 \approx 0.73578$: exatamente o valor medido.

11. $e^{\lambda t} = 1 + m = 1.004341$.

12. $\lambda t = \ln 1.004341 \approx 0.004331$.

13. $t = 0.004331/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ anos.

14. Sim: o granito corta o xisto, então, pelo princípio das relações de corte, ele é mais jovem, e 310 é menos que 480 milhões de anos.

15. 310 milhões de anos ficam entre 358.9 e 298.9 milhões de anos: o Carbonífero.

16. A razão $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ do magma quando o granito se cristalizou.

17. O granito: $0.7080 > 0.7035$.

18. O rubídio vai para o líquido quando o manto se funde, então ele se concentrou na crosta; com mais rubídio, a crosta produziu mais estrôncio-87.

19. Que o magma veio, pelo menos em parte, da crosta continental fundida, e não só do manto.

20. O granito de Varden tem 310 milhões de anos.