13As placas e os seus movimentos

Perto do cume do Mauna Kea, na ilha do Havaí, uma antena fixada na rocha recebe todos os dias, desde outubro de 1996, os sinais dos satélites de posicionamento. A cada dia, um computador calcula onde a antena está, com precisão de poucos milímetros. Trinta anos de posições contam a mesma história todos os anos: a antena, a montanha e a ilha inteira se deslocam cerca de $7\,\mathrm{cm}$ por ano em direção ao oés-noroeste, sem parar e sem virar. Em 2026, a antena estava a mais de dois metros do ponto de partida. Este capítulo mede esses movimentos, mostra como eles se encaixam sobre uma esfera e lê o mesmo movimento na cadeia de vulcões extintos que se estende do Havaí através do Pacífico Norte.

O que você já sabe

A litosfera é dividida em placas tectônicas que se movem umas em relação às outras a alguns centímetros por ano; os seus limites são dorsais, fossas, zonas de colisão e falhas transformantes (Livro 1, 7º ano). Um ponto quente é um lugar no fundo do manto que alimenta um vulcão na placa acima dele; a placa leva o vulcão embora enquanto um novo cresce sobre o ponto quente (Livro 1, 7º ano). Um receptor de posicionamento por satélite calcula a sua própria posição a partir dos sinais de vários satélites (Livro 1, 9º ano). As listras magnéticas do fundo do oceano dão a taxa de expansão de uma dorsal (Capítulo 10), e a litosfera é a camada externa rígida da Terra, com cerca de $100\,\mathrm{km}$ de espessura (Capítulo 12). Uma velocidade de $1\,\mathrm{cm}$ por ano equivale a $10\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, e $1\,\mathrm{mm}$ por ano a $1\,\mathrm{km}$ por milhão de anos.

13.1 Placas rígidas sobre uma esfera

Os terremotos não se espalham ao acaso pela Terra: quase todos acontecem ao longo de faixas estreitas, os limites de placas (Livro 1, 7º ano). No interior de uma placa, a rocha quase não se rompe. Uma placa, portanto, não é uma pele mole que se estica e se enruga ao se mover, mas um pedaço rígido de litosfera que se move como um todo.

Definição 13.1 (Placa rígida)

Uma placa rígida é um pedaço de litosfera que se move como um único bloco: as distâncias entre os seus pontos não mudam, e a sua deformação se concentra em zonas estreitas ao longo dos seus limites.

O modelo das placas rígidas é uma aproximação. Algumas regiões se deformam por centenas de quilômetros, como os planaltos altos atrás do Himalaia ou o oeste da América do Norte, e o modelo as trata como limites largos. Mas, sobre a maior parte da superfície da Terra, ele funciona notavelmente bem: as velocidades que ele prevê para placas rígidas coincidem com as que as estações de satélite medem, com diferenças de poucos milímetros por ano (Seção 13.4), enquanto as placas se movem umas em relação às outras a centímetros por ano.

Como uma calota rígida pode se mover sobre a superfície de uma esfera? Ela não pode deslizar em linha reta, porque uma linha reta sai da esfera. Seja qual for o movimento de uma calota rígida, ele é uma rotação em torno de um eixo que passa pelo centro da Terra. O eixo encontra a superfície no polo de rotação da placa. Um ponto da placa se move ao longo de um pequeno círculo em torno desse polo, e quanto mais longe do polo ele fica, maior o seu círculo e mais depressa ele se move (figura abaixo). A demonstração de que todo movimento de uma calota rígida é uma rotação desse tipo, e o uso dos polos de rotação para descrever os limites de placas, ficam para o Livro 3; aqui, só as velocidades são usadas.

A velocidade de um ponto é fácil de calcular. Um ponto a uma distância angular $\theta$ do polo fica à distância $R\sin\theta$ do eixo, onde $R = 6371\,\mathrm{km}$ é o raio da Terra. Se a placa gira $\omega$ graus por milhão de anos, o ponto percorre em um milhão de anos a fração $\omega/360$ do círculo de raio $R\sin\theta$:

Para $\omega = 1{}^{\circ}$ por milhão de anos e $\theta = 90{}^{\circ}$, isso dá $\pi \times 6371/180 \approx 111\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, $11.1\,\mathrm{cm}$ por ano. Uma placa não tem, portanto, uma única velocidade: os seus pontos se movem a velocidades que vão de zero no polo de rotação (se o polo fica sobre a placa) até um máximo a $90{}^{\circ}$ dele. As falhas transformantes ao longo de uma dorsal, que deixam duas placas deslizarem uma ao lado da outra, seguem pequenos círculos em torno do polo da rotação relativa das duas placas.

Conjuntos publicados de polos de rotação dão, para cada placa, a posição do seu polo e a sua taxa de rotação. Um deles, construído principalmente a partir das taxas e das direções de expansão medidas ao longo das dorsais, descreve 56 placas; a placa do Pacífico gira $0.651{}^{\circ}$ por milhão de anos, a placa eurasiática $0.223{}^{\circ}$. A partir desses números, um computador calcula a velocidade de qualquer ponto de qualquer placa (mapa abaixo).

13.2 Medir os movimentos

13.2.1 Duas maneiras de medir uma velocidade

As listras magnéticas do fundo do oceano dão a velocidade com que duas placas se afastam através de uma dorsal (Capítulo 10): divide-se a distância de uma listra até o eixo da dorsal pela sua idade. A velocidade obtida é uma média sobre a idade da listra, muitas vezes os últimos milhões de anos, e é uma velocidade relativa, a de uma placa vista da outra. As listras não dizem nada sobre placas que se encontram numa fossa ou numa zona de colisão, já que ali não se forma fundo oceânico.

O posicionamento por satélite mede o movimento de um único ponto, hoje, ao longo de alguns anos ou décadas. Uma estação permanente é ancorada na rocha firme, de modo que se move com a placa; as suas posições diárias, em função do tempo, se alinham ao longo de uma reta cuja inclinação é a velocidade da estação.

Método 13.2 (Uma taxa a partir de uma série temporal de posições)

1. Faça o gráfico da posição leste e da posição norte da estação em função do tempo, em dois gráficos ou no mesmo.
2. Trace a reta que melhor acompanha cada série (ou leia nela dois pontos bem afastados). A sua inclinação, em milímetros por ano, é a velocidade leste $v_E$ ou a velocidade norte $v_N$; uma estação que se move para oeste ou para o sul tem velocidade negativa.
3. A velocidade da estação é $v = \sqrt{v_E^2 + v_N^2}$; a sua direção faz com a linha leste–oeste o ângulo $\alpha$ tal que $\tan\alpha = |v_N|/|v_E|$, para o norte se $v_N > 0$ e para o leste se $v_E > 0$.

Exemplo 13.3 (A estação do Mauna Kea)

De outubro de 1996 a setembro de 2026, as posições mensais da estação do Mauna Kea seguem duas retas de inclinações $v_E = -63.2\,\mathrm{mm}$ por ano (para oeste) e $v_N = +34.5\,\mathrm{mm}$ por ano. A velocidade é $\sqrt{63.2^2 + 34.5^2} \approx 72\,\mathrm{mm}$ por ano, e $\tan\alpha = 34.5/63.2 \approx 0.546$ dá $\alpha \approx 29{}^{\circ}$: a estação se move $7.2\,\mathrm{cm}$ por ano numa direção $29{}^{\circ}$ ao norte do oeste. O polo de rotação da placa do Pacífico prevê $6.9\,\mathrm{cm}$ por ano, $28{}^{\circ}$ ao norte do oeste, neste lugar.

Os pontos se dispersam alguns milímetros em torno das retas, muito menos que o movimento de um único ano: depois de alguns anos de medição, a velocidade de uma estação é conhecida com precisão melhor que um milímetro por ano.

13.2.2 Movimento relativo e movimento absoluto

Uma velocidade é sempre medida em relação a alguma coisa. A estação do Mauna Kea se move $7.2\,\mathrm{cm}$ por ano em relação a um referencial ligado à Terra inteira; vista de uma estação na América do Norte, que também se move, a sua velocidade é outra.

Definição 13.4 (Movimento relativo; movimento absoluto)

O movimento relativo de uma placa $A$ em relação a uma placa $B$ é o seu movimento visto por um observador parado sobre $B$. O movimento absoluto de uma placa é o seu movimento em relação a um referencial ligado ao interior profundo da Terra, por exemplo um conjunto de pontos quentes supostos fixos, ou o referencial em que a litosfera como um todo não gira.

As dorsais, as fossas e as falhas transformantes são moldadas pelos movimentos relativos: o que importa num limite é como as duas placas se movem uma em relação à outra. As velocidades relativas se somam como os deslocamentos que elas produzem.

Proposição 13.5 (As velocidades relativas se somam como setas)

Seja $\vec v_{A/B}$ a velocidade da placa $A$ em relação à placa $B$, num ponto dado do limite, e da mesma forma para os outros pares. Para quaisquer três placas $A$, $B$, $C$,

$$\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}, \qquad\text{e}\qquad \vec v_{B/A} = -\vec v_{A/B}.$$

Método 13.6 (Fechar um triângulo de velocidades)

1. Escreva cada velocidade conhecida com as suas componentes leste e norte, todas medidas no mesmo ponto.
2. Para encontrar $\vec v_{A/B}$ a partir das velocidades de $A$ e de $B$ num mesmo referencial $C$, subtraia: $\vec v_{A/B} = \vec v_{A/C} - \vec v_{B/C}$, componente por componente.
3. Num desenho, coloque as origens de $\vec v_{A/C}$ e de $\vec v_{B/C}$ no mesmo ponto: a seta que vai da ponta de $\vec v_{B/C}$ à ponta de $\vec v_{A/C}$ é $\vec v_{A/B}$, e ela fecha o triângulo.
4. Calcule o seu comprimento e a sua direção como no Método 13.2.

Exemplo 13.7 (A falha de San Andreas)

No centro da Califórnia, a $35.5{}^{\circ}$ Norte e $120.5{}^{\circ}$ Oeste, os polos de rotação dão à placa do Pacífico a velocidade $(-42.1, +26.4)$ e à placa norte-americana $(-11.9, -14.8)$, em milímetros por ano (leste, norte), no referencial da litosfera inteira. A placa do Pacífico em relação à América do Norte se move a $(-42.1 + 11.9,\ 26.4 + 14.8) = (-30.2, +41.2)$, isto é, $\sqrt{30.2^2 + 41.2^2} \approx 51\,\mathrm{mm}$ por ano, numa direção $36{}^{\circ}$ a oeste do norte (figura abaixo). A falha de San Andreas, que corre para noroeste, absorve a maior parte desse deslizamento.

13.3 Rastros de pontos quentes

13.3.1 Uma placa sobre uma pluma fixa

O Havaí fica no meio da placa do Pacífico, a mais de $3000\,\mathrm{km}$ do limite de placa mais próximo.

Os seus vulcões são alimentados por um ponto quente (Livro 1, 7º ano). A placa se move sobre ele, e cada vulcão é levado para longe do ponto quente enquanto um novo cresce atrás dele.

Definição 13.8 (Rastro de ponto quente)

Um rastro de ponto quente é a linha de vulcões, e de vulcões submersos chamados montes submarinos, que uma placa leva para longe de um ponto quente ao se mover sobre ele: o vulcão ativo fica sobre o ponto quente, e os vulcões são cada vez mais antigos com a distância a ele.

Proposição 13.9 (Velocidade a partir de um rastro de ponto quente)

Se um ponto quente fica fixo no manto profundo e a placa acima dele se move a uma velocidade constante $v$ numa direção constante, um vulcão que estava sobre o ponto quente há um tempo $t$ fica agora à distância

$$d = v\,t$$

do vulcão ativo, ao longo do rastro. As idades dos vulcões, em função das suas distâncias, caem numa reta que passa pela origem, de inclinação $1/v$, e $v$ é a velocidade absoluta da placa.

13.3.2 A cadeia Havaí–Imperador

A partir da ilha do Havaí, uma linha de ilhas, recifes e montes submarinos se estende por uns $3400\,\mathrm{km}$ para oés-noroeste, depois vira bruscamente e continua para o norte como os montes submarinos do Imperador, o monte submarino Suiko, sozinho, ficando a $4860\,\mathrm{km}$ do Kilauea, até as fossas ao largo de Kamchatka e das Aleutas (imagem abaixo).

A datação potássio–argônio de lavas de 37 vulcões da cadeia, coletadas nas ilhas, dragadas dos montes submarinos ou obtidas por perfuração através dos seus sedimentos, dá as suas idades (gráfico abaixo). O Mauna Kea tem cerca de $0.4$ milhão de anos, Kauai $5.1$, Midway $27.7$, e o monte submarino Suiko, perto da extremidade da cadeia do Imperador, $64.7$. As idades crescem com a distância ao Kilauea, o vulcão ativo, como prevê um rastro de ponto quente.

Ao longo da cadeia havaiana, até cerca de $3300\,\mathrm{km}$, os pontos se dispersam em torno de uma reta que passa pela origem. A reta que melhor se ajusta aos 26 vulcões datados dessa parte sobe um milhão de anos a cada $91\,\mathrm{km}$: pela Proposição 13.9, a placa do Pacífico se moveu sobre o ponto quente a cerca de $91\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, $9.1\,\mathrm{cm}$ por ano. Os autores das idades, ajustando a cadeia inteira à sua maneira, encontraram $8.6\,\mathrm{cm}$ por ano.

Além da curva, as idades crescem mais depressa com a distância: ao longo da cadeia do Imperador, a placa se moveu mais devagar, cerca de $6.5\,\mathrm{cm}$ por ano em média (melhor reta pelos nove montes submarinos datados). E a cadeia muda de direção. Se o ponto quente ficou no lugar, a curva registra uma mudança na direção do movimento da placa do Pacífico. Idades mais recentes situam o início da curva perto do monte submarino Kimmei, há cerca de 50 milhões de anos, ao mesmo tempo que uma reorganização das dorsais do Pacífico e os primeiros vulcões dos arcos insulares ao longo da sua borda oeste: a placa mudou de rumo.

13.4 O poder de previsão do modelo

O modelo das placas diz que algumas placas rígidas giram em torno dos seus polos de rotação, e que quase tudo acontece nos seus limites. A sua força está em que medições feitas por métodos inteiramente diferentes, ao longo de intervalos de tempo muito diferentes, dão as mesmas respostas.

• Os terremotos e os vulcões se concentram ao longo dos limites, e o tipo de limite prevê o seu tipo: terremotos rasos ao longo das dorsais, profundos apenas perto das fossas (Capítulo 15).
• O fundo do oceano é mais jovem ao longo das dorsais e cada vez mais antigo longe delas, simetricamente dos dois lados (Capítulo 10).
• As cadeias de montanhas se erguem onde as placas convergem: a Índia ainda se move em direção à Eurásia a cerca de $4.5\,\mathrm{cm}$ por ano através do Himalaia, como calculado a partir dos polos de rotação (Capítulo 20).
• As velocidades concordam entre os métodos: a tabela abaixo compara as velocidades medidas hoje por posicionamento por satélite com as previstas pelos polos de rotação, cujas taxas de expansão vêm principalmente das listras magnéticas e fazem a média do movimento nos últimos $0.8$ a $3.2$ milhões de anos, e com a velocidade registrada por um rastro de ponto quente ao longo de dezenas de milhões de anos.

As velocidades dos polos de rotação e as das estações concordam com diferença de até $0.3\,\mathrm{cm}$ por ano, embora as primeiras sejam médias de milhões de anos e as segundas, de apenas décadas: as placas se movem hoje como se moveram durante milhões de anos. A velocidade do ponto quente é maior: ela é medida em outro referencial, o do próprio ponto quente, e ao longo de um tempo muito mais longo.

Mais um padrão aparece quando se comparam as velocidades de placas inteiras. As placas que se movem mais depressa, Cocos, Nazca, Pacífico, australiana e filipina, têm todas uma longa borda que afunda no manto numa fossa; as suas velocidades médias ficam em torno de $6.5\,\mathrm{cm}$ por ano. As placas sem uma borda desse tipo, entre elas as placas eurasiática, norte-americana, sul-americana, africana e antártica, se movem a cerca de $2.4\,\mathrm{cm}$ por ano em média. Essa pista sobre o que move as placas é retomada no Capítulo 15.

13.5 Exercícios

Exercício 13.1 ★

Defina uma placa rígida. Onde se concentra a deformação da litosfera, e que observação sísmica corriqueira mostra isso?

Solução

Solução de Exercício 13.1.

Uma placa rígida é um pedaço de litosfera que se move como um único bloco: as distâncias entre os seus pontos não mudam, e a sua deformação se concentra em zonas estreitas ao longo dos seus limites. Os terremotos mostram isso: quase todos acontecem ao longo de faixas estreitas, os limites de placas, e muito poucos no interior das placas.

Exercício 13.2 ★

A estação do Mauna Kea se move $72\,\mathrm{mm}$ por ano. Expresse essa velocidade em quilômetros por milhão de anos. Quanto a estação se desloca em 30 anos? E em um milhão de anos?

Solução

Solução de Exercício 13.2.

$72\,\mathrm{mm}$ por ano equivalem a $72\,\mathrm{km}$ por milhão de anos. Em 30 anos, a estação se desloca $72 \times 30 = 2160\,\mathrm{mm}$, cerca de $2.2\,\mathrm{m}$; em um milhão de anos, $72\,\mathrm{km}$.

Exercício 13.3 ★

Em dez anos, uma estação se deslocou $30\,\mathrm{cm}$ para leste e $40\,\mathrm{cm}$ para o norte. Encontre as suas velocidades leste e norte, a sua velocidade e o ângulo que a sua direção faz com o norte.

Solução

Solução de Exercício 13.3.

$v_E = 30/10 = 3\,\mathrm{cm}$ por ano e $v_N = 40/10 = 4\,\mathrm{cm}$ por ano. A velocidade é $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}$ por ano. O ângulo $\beta$ com o norte satisfaz $\tan\beta = 3/4$, logo $\beta \approx 37{}^{\circ}$: a estação se move para nordeste, $37{}^{\circ}$ a leste do norte.

Exercício 13.4 ★

Defina um rastro de ponto quente. Ao longo da cadeia havaiana, onde fica o vulcão mais jovem, e em que direção as idades aumentam? O que isso diz sobre a direção em que a placa do Pacífico se move?

Solução

Solução de Exercício 13.4.

Um rastro de ponto quente é a linha de vulcões e de montes submarinos que uma placa leva para longe de um ponto quente ao se mover sobre ele, cada vez mais antigos com a distância ao vulcão ativo. O vulcão mais jovem, o Kilauea, fica na extremidade sudeste da cadeia, na ilha do Havaí; as idades aumentam para oés-noroeste. A placa leva os seus vulcões para longe do ponto quente no sentido do seu movimento: a placa do Pacífico se move para oés-noroeste.

Exercício 13.5 ★

Kauai fica a $519\,\mathrm{km}$ do Kilauea ao longo da cadeia, e as suas lavas mais antigas têm $5.1$ milhões de anos. Supondo o ponto quente fixo, a que velocidade média a placa a transportou, em quilômetros por milhão de anos e em centímetros por ano?

Solução

Solução de Exercício 13.5.

$519/5.1 \approx 102\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, isto é, $102\,\mathrm{mm}$ por ano, cerca de $10\,\mathrm{cm}$ por ano.

Exercício 13.6 ★★

No gráfico das séries das duas estações, a estação de Wettzell se deslocou cerca de $63\,\mathrm{cm}$ para leste e $48\,\mathrm{cm}$ para o norte em 31 anos. Encontre as suas velocidades leste e norte, a sua velocidade e a sua direção. Compare a sua velocidade com a do Mauna Kea.

Solução

Solução de Exercício 13.6.

$v_E = 63/31 \approx 20.3\,\mathrm{mm}$ por ano e $v_N = 48/31 \approx 15.5\,\mathrm{mm}$ por ano. A velocidade é $\sqrt{20.3^2 + 15.5^2} \approx 25.5\,\mathrm{mm}$ por ano; $\tan\alpha = 15.5/20.3 \approx 0.76$ dá $\alpha \approx 37{}^{\circ}$: a estação se move $37{}^{\circ}$ ao norte do leste, para nordeste. O Mauna Kea se move $72/25.5 \approx 2.8$ vezes mais depressa.

Exercício 13.7 ★★

Na Islândia, a $64.5{}^{\circ}$ Norte e $18{}^{\circ}$ Oeste, os polos de rotação dão à placa norte-americana a velocidade $(-10.5, +20.6)$ e à placa eurasiática $(+7.7, +16.3)$, em milímetros por ano (leste, norte). (1) Encontre a velocidade da América do Norte em relação à Eurásia, a sua velocidade escalar e a sua direção. (2) O que é essa velocidade para a dorsal que atravessa a Islândia? (3) Compare com a taxa de $2\,\mathrm{cm}$ por ano muitas vezes citada para o Atlântico Norte.

Solução

Solução de Exercício 13.7.

(1) Em milímetros por ano,

$$\vec v_{\mathrm{NA/EU}} = (-10.5 - 7.7,\ 20.6 - 16.3) = (-18.2, +4.3).$$

A sua velocidade escalar é $\sqrt{18.2^2 + 4.3^2} \approx 18.7\,\mathrm{mm}$ por ano, e $\tan\alpha = 4.3/18.2 \approx 0.24$ dá $13{}^{\circ}$ ao norte do oeste. (2) As duas placas se afastam através da dorsal a cerca de $1.9\,\mathrm{cm}$ por ano: é a taxa de expansão total da dorsal na Islândia. (3) Isso concorda com os $2\,\mathrm{cm}$ por ano citados para o Atlântico Norte.

Exercício 13.8 ★★

A placa do Pacífico gira $0.651{}^{\circ}$ por milhão de anos. (1) Encontre a velocidade de um ponto a $90{}^{\circ}$ do seu polo de rotação, em centímetros por ano. (2) E a de um ponto a $30{}^{\circ}$ do polo? (3) Em que lugar de uma placa a velocidade é zero? A velocidade de uma placa inteira pode ser dada por um único número?

Solução

Solução de Exercício 13.8.

(1) $v = \pi \times 0.651 \times 6371/180 \approx 72.4\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, cerca de $7.2\,\mathrm{cm}$ por ano. (2) $72.4 \times \sin30{}^{\circ} \approx 36.2\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, cerca de $3.6\,\mathrm{cm}$ por ano. (3) No polo de rotação, se ele fica sobre a placa. A velocidade muda de ponto para ponto, de zero no polo até o seu valor máximo a $90{}^{\circ}$ dele: uma placa inteira não tem uma única velocidade, apenas uma velocidade em cada ponto (ou uma média sobre a sua superfície).

Exercício 13.9 ★★

Ao norte do Himalaia, a $28{}^{\circ}$ Norte e $85{}^{\circ}$ Leste, os polos de rotação dão à placa indiana a velocidade $(+40.6, +38.6)$ e à placa eurasiática $(+24.0, -3.3)$, em milímetros por ano (leste, norte). (1) Encontre a velocidade da Índia em relação à Eurásia, a sua velocidade escalar e a sua direção. (2) Se ela não mudasse, quanto as duas placas convergiriam em 10 milhões de anos?

Solução

Solução de Exercício 13.9.

(1) Em milímetros por ano,

$$\vec v_{\mathrm{IN/EU}} = (40.6 - 24.0,\ 38.6 + 3.3) = (+16.6, +41.9).$$

A velocidade é $\sqrt{16.6^2 + 41.9^2} \approx 45\,\mathrm{mm}$ por ano; o ângulo $\beta$ com o norte satisfaz $\tan\beta = 16.6/41.9 \approx 0.40$, logo $\beta \approx 22{}^{\circ}$: a Índia se move em direção à Eurásia, $22{}^{\circ}$ a leste do norte. (2) $45\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, logo $450\,\mathrm{km}$ em 10 milhões de anos.

Exercício 13.10 ★★

Necker fica a $1058\,\mathrm{km}$ do Kilauea e tem $10.3$ milhões de anos; Midway fica a $2432\,\mathrm{km}$ e tem $27.7$ milhões de anos. Encontre a velocidade da placa sobre o ponto quente entre as épocas em que os dois vulcões foram construídos. Compare com $9.1\,\mathrm{cm}$ por ano.

Solução

Solução de Exercício 13.10.

$(2432 - 1058)/(27.7 - 10.3) = 1374/17.4 \approx 79\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, cerca de $7.9\,\mathrm{cm}$ por ano, um pouco menos que $9.1\,\mathrm{cm}$ por ano. As idades têm cada uma uma incerteza de cerca de meio milhão de anos; a diferença de idade, $17.4 \pm 1.0$ milhões de anos, dá uma velocidade entre cerca de 75 e $84\,\mathrm{km}$ por milhão de anos. Entre esses dois vulcões, a placa parece ter se movido um pouco mais devagar que em média.

Exercício 13.11 ★★

Num ponto, a placa $A$ se move $3\,\mathrm{cm}$ por ano para leste em relação à placa $B$, e a placa $B$ se move $4\,\mathrm{cm}$ por ano para o norte em relação à placa $C$. (1) Desenhe o triângulo de velocidades e encontre a velocidade de $A$ em relação a $C$: velocidade escalar e direção. (2) Qual é a velocidade de $C$ em relação a $A$?

Solução

Solução de Exercício 13.11.

(1) $\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}$: $3\,\mathrm{cm}$ por ano para leste mais $4\,\mathrm{cm}$ por ano para o norte. As duas setas formam um ângulo reto, e o terceiro lado do triângulo tem o comprimento $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}$ por ano, na direção $37{}^{\circ}$ a leste do norte ($\tan\beta = 3/4$). (2) $\vec v_{C/A} = -\vec v_{A/C}$: $5\,\mathrm{cm}$ por ano no sentido oposto, $37{}^{\circ}$ a oeste do sul.

Exercício 13.12 ★★★

O Mauna Kea fica a $54\,\mathrm{km}$ do Kilauea e tem $0.375$ milhão de anos. (1) Que velocidade ele dá para a placa? (2) Um vulcão tem algumas dezenas de quilômetros de diâmetro, e cresce durante várias centenas de milhares de anos. Suponha que a sua distância ao ponto quente seja incerta em $25\,\mathrm{km}$: entre que valores fica então a velocidade? (3) Explique por que os vulcões jovens, perto do ponto quente, dão uma estimativa ruim da velocidade, e por que os vulcões longe dele são melhores.

Solução

Solução de Exercício 13.12.

(1) $54/0.375 = 144\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, $14.4\,\mathrm{cm}$ por ano. (2) De $29/0.375 \approx 77$ a $79/0.375 \approx 211\,\mathrm{km}$ por milhão de anos: entre cerca de 8 e $21\,\mathrm{cm}$ por ano. (3) Perto do ponto quente, a distância não é maior que o tamanho de um vulcão ou da região sobre a qual o ponto quente alimenta vulcões, e a idade não é maior que o tempo que um vulcão leva para crescer: as duas são muito incertas em termos relativos. Longe do ponto quente, um erro de $25\,\mathrm{km}$ em $2400\,\mathrm{km}$, ou de meio milhão de anos em 28 milhões, é de apenas um ou dois por cento.

Exercício 13.13 ★★★

As posições mensais de uma estação se dispersam cerca de $5\,\mathrm{mm}$ em torno da sua reta. Um movimento é visto com clareza quando passa de dez vezes a dispersão. (1) Por quanto tempo é preciso medir para ver com clareza o movimento da estação do Mauna Kea, $72\,\mathrm{mm}$ por ano? (2) E um movimento de $5\,\mathrm{mm}$ por ano, como através de uma região que se deforma lentamente no interior de um continente? (3) Por que as velocidades das placas foram medidas pelas listras magnéticas muito antes que os satélites pudessem medi-las?

Solução

Solução de Exercício 13.13.

(1) Dez vezes a dispersão dá $50\,\mathrm{mm}$: $50/72 \approx 0.7$ ano, cerca de oito meses. (2) $50/5 = 10$ anos. (3) Ao longo de milhões de anos, as placas se deslocam dezenas a centenas de quilômetros, distâncias que as listras magnéticas registram e que eram fáceis de medir no mar; um posicionamento com precisão de poucos milímetros, que torna um movimento visível em meses, veio muito depois.

Exercício 13.14 ★★★

Na Dorsal Mesoatlântica a $30{}^{\circ}$ Sul ($13.5{}^{\circ}$ Oeste), os polos de rotação dão à placa sul-americana a velocidade $(-4.9, +11.0)$ e à placa africana $(+27.1, +17.9)$, em milímetros por ano (leste, norte). (1) Encontre a velocidade da América do Sul em relação à África, a sua velocidade escalar e a sua direção. (2) Deduza a taxa de expansão total e a semitaxa de expansão da dorsal. (3) Os sedimentos do Atlântico Sul deram uma semitaxa de cerca de $1.9\,\mathrm{cm}$ por ano, em média nos últimos 66 milhões de anos (Capítulo 10). Compare, e sugira o que a diferença pode significar.

Solução

Solução de Exercício 13.14.

(1) Em milímetros por ano,

$$\vec v_{\mathrm{SA/AF}} = (-4.9 - 27.1,\ 11.0 - 17.9) = (-32.0, -6.9).$$

A velocidade é $\sqrt{32.0^2 + 6.9^2} \approx 32.7\,\mathrm{mm}$ por ano, e $\tan\alpha = 6.9/32.0 \approx 0.22$ dá $12{}^{\circ}$ ao sul do oeste. (2) A taxa de expansão total é de cerca de $3.3\,\mathrm{cm}$ por ano, a semitaxa de cerca de $1.6\,\mathrm{cm}$ por ano. (3) A semitaxa dos últimos milhões de anos, $1.6\,\mathrm{cm}$ por ano, é um pouco menor que os $1.9\,\mathrm{cm}$ por ano em média ao longo de 66 milhões de anos: o Atlântico Sul pode ter se aberto um pouco mais devagar recentemente que em média, ou a diferença pode vir das incertezas das idades dos sedimentos. As duas medições concordam em que a dorsal é lenta.

Exercício 13.15 ★★★

Uma estação se move de forma constante $20\,\mathrm{mm}$ por ano para leste. Exatamente na metade de dez anos de medição, um terremoto a desloca de repente $50\,\mathrm{mm}$ para oeste. (1) Esboce a sua posição leste em função do tempo. (2) Que velocidade se encontraria apenas com a primeira e a última posições? (3) Que velocidade dá cada metade da série, sozinha? (4) Como um geodesista deve tratar um salto desse tipo?

Solução

Solução de Exercício 13.15.

(1) Uma reta que sobe $20\,\mathrm{mm}$ por ano, uma queda brusca de $50\,\mathrm{mm}$ depois de cinco anos, e então uma reta que volta a subir com a mesma inclinação. (2) A estação termina $10 \times 20 - 50 = 150\,\mathrm{mm}$ a leste do ponto de partida: $150/10 = 15\,\mathrm{mm}$ por ano, um quarto a menos. (3) Cada metade dá $20\,\mathrm{mm}$ por ano. (4) O salto é um movimento separado e brusco, causado pelo terremoto: o geodesista mede o seu tamanho pelas posições logo antes e logo depois dele, retira-o da série (ou ajusta as duas partes com a mesma inclinação e um degrau entre elas), e mantém $20\,\mathrm{mm}$ por ano como a velocidade da estação.

13.6 Problema: ler a cadeia Havaí–Imperador

Problema 13.1

Problema de fim de semana — a velocidade de uma placa escrita em vulcões

A tabela dá a distância ao Kilauea, medida ao longo da cadeia, e a idade potássio–argônio de treze vulcões da cadeia Havaí–Imperador. O Kilauea é o vulcão ativo sobre o ponto quente; a curva fica entre Abbott e Daikakuji.

vulcão	distância ($\mathrm{km}$)	idade ($\mathrm{Ma}$)	vulcão	distância ($\mathrm{km}$)	idade ($\mathrm{Ma}$)
Mauna Kea	54	0.375	Abbott	3280	38.7
Kauai	519	5.1	Daikakuji	3493	42.4
Nihoa	780	7.2	Koko (sul)	3758	48.1
Necker	1058	10.3	Ojin	4102	55.2
Laysan	1818	19.9	Nintoku	4452	56.2
Midway	2432	27.7	Suiko (centro)	4860	64.7
Colahan	3128	38.6

Parte I — Idades e distâncias.

1. Que vulcão da tabela é o mais jovem, e qual é o mais antigo? Como as idades mudam ao longo da cadeia?
2. Mostre que uma distância em quilômetros dividida por uma idade em milhões de anos é uma velocidade em milímetros por ano.
3. Calcule a velocidade média $d/t$ dada por Kauai.
4. Calcule $d/t$ para Necker, Laysan, Midway, Colahan e Abbott.
5. Faça o gráfico da idade em função da distância para os oito vulcões da tabela que ficam antes da curva. Os pontos ficam perto de uma reta que passa pela origem?

Parte II — A velocidade da placa sobre o ponto quente.

6. Explique por que, para um ponto quente fixo e uma placa que se move a uma velocidade constante $v$, a idade $t$ e a distância $d$ satisfazem $t = d/v$.
7. Calcule a média das cinco velocidades da questão 4.
8. A reta que passa pela origem e melhor se ajusta a todos os 26 vulcões datados da cadeia havaiana dá $91\,\mathrm{km}$ por milhão de anos. Compare com a questão 7.
9. A essa velocidade, quanto tempo a placa levaria para levar Kauai do ponto quente até o seu lugar atual? Compare com a sua idade.
10. Em que direção a placa do Pacífico se move sobre o ponto quente?

Parte III — A curva.

11. Calcule a velocidade média da placa entre as épocas em que Daikakuji e Suiko (centro) foram construídos.
12. A melhor reta pelos nove vulcões datados a partir de Daikakuji dá $65\,\mathrm{km}$ por milhão de anos. Compare com a velocidade ao longo da cadeia havaiana.
13. Idades mais recentes situam o início da curva perto do monte submarino Kimmei, a $3668\,\mathrm{km}$ do Kilauea, há cerca de 50 milhões de anos. Que velocidade média isso dá para a cadeia havaiana inteira? Compare com $91\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, e explique por que os dois podem estar certos.
14. Se o ponto quente ficou fixo, o que a curva registra sobre a placa do Pacífico?
15. A datação mais recente encontrou grandes mudanças de velocidade ao longo da cadeia do Imperador, com pouca mudança na sua direção. Explique por que a direção de uma cadeia e o espaçamento das suas idades são duas informações independentes.

Parte IV — Comparação com a medição atual por satélite.

16. A estação do Mauna Kea se move $-63.2\,\mathrm{mm}$ por ano para leste e $+34.5\,\mathrm{mm}$ por ano para o norte. Encontre a sua velocidade e a sua direção.
17. A cadeia havaiana vai do Kilauea para oés-noroeste. A direção da estação é compatível com ela?
18. A estação dá $7.2\,\mathrm{cm}$ por ano, a cadeia $9.1\,\mathrm{cm}$ por ano. Dê duas razões pelas quais os dois números não precisam ser iguais.
19. A $91\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, quanto tempo a placa levará para levar o Mauna Kea mais $100\,\mathrm{km}$ para longe do ponto quente?
20. Conclua: a que velocidade a placa do Pacífico se moveu sobre o ponto quente do Havaí durante os últimos 40 milhões de anos?

Solução

Solução de Problema 13.1.

1. O Mauna Kea ($0.375$ milhão de anos) é o mais jovem, Suiko (centro) ($64.7$ milhões de anos) o mais antigo. As idades aumentam com a distância ao Kilauea.

2. $1\,\mathrm{km} = 10^6~\mathrm{mm}$ e um milhão de anos são $10^6$ anos: $1\,\mathrm{km}$ por milhão de anos é $10^6~\mathrm{mm}/10^6$ anos, isto é, $1\,\mathrm{mm}$ por ano.

3. $519/5.1 \approx 102\,\mathrm{mm}$ por ano.

4. Necker $1058/10.3 \approx 102.7$; Laysan $1818/19.9 \approx 91.4$; Midway $2432/27.7 \approx 87.8$; Colahan $3128/38.6 \approx 81.0$; Abbott $3280/38.7 \approx 84.8$ (milímetros por ano).

5. Os pontos (54; 0.375), (519; 5.1), (780; 7.2), (1058; 10.3), (1818; 19.9), (2432; 27.7), (3128; 38.6), (3280; 38.7) ficam perto de uma reta que passa pela origem, com alguma dispersão (em relação a uma reta de $91\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, Kauai, Nihoa e Necker ficam um pouco abaixo dela, Laysan sobre ela, Colahan e Abbott um pouco acima).

6. Cada vulcão foi construído sobre o ponto quente e desde então se move com a placa. No tempo $t$, a placa se deslocou $v\,t$ numa direção constante, logo o vulcão fica a $d = v\,t$ do ponto que agora está sobre o ponto quente: $t = d/v$.

7. $(102.7 + 91.4 + 87.8 + 81.0 + 84.8)/5 \approx 89.5\,\mathrm{mm}$ por ano.

8. 89.5 contra $91\,\mathrm{km}$ por milhão de anos: a diferença é menor que $2\,\%$.

9. $519/91 \approx 5.7$ milhões de anos, contra uma idade de $5.1$ milhões de anos: perto, sendo Kauai um pouco mais jovem do que a reta média prevê.

10. Os vulcões são cada vez mais antigos para oés-noroeste: a placa os leva nessa direção. A placa do Pacífico se move para oés-noroeste sobre o ponto quente.

11. $(4860 - 3493)/(64.7 - 42.4) = 1367/22.3 \approx 61\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, cerca de $6.1\,\mathrm{cm}$ por ano.

12. $65/91 \approx 0.71$: ao longo da cadeia do Imperador, a placa se moveu cerca de $30\,\%$ mais devagar que ao longo da cadeia havaiana.

13. $3668/50 \approx 73\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, cerca de $7.3\,\mathrm{cm}$ por ano, menos que $91\,\mathrm{km}$ por milhão de anos. A reta pela origem usa as idades de 1987, que situam o fim da cadeia havaiana entre 39 e 43 milhões de anos; a idade mais recente, de cerca de 50 milhões de anos, para o início da curva espalha a mesma distância por um tempo mais longo. Os dois estão certos se a placa se moveu mais devagar no início da cadeia havaiana e mais depressa depois: a velocidade não foi constante.

14. Uma mudança na direção do movimento da placa do Pacífico, há cerca de 50 milhões de anos.

15. A direção da cadeia é a direção em que a placa se moveu; o espaçamento das idades ao longo dela é a sua velocidade. Uma placa pode acelerar ou desacelerar sem virar, ou virar sem mudar de velocidade, de modo que as duas informações são independentes. Mudanças de velocidade sem mudança de direção ao longo da cadeia do Imperador mostram que o seu registro de velocidade e a curva são eventos separados: a curva não foi produzida por uma desaceleração em relação ao ponto quente.

16. $\sqrt{63.2^2 + 34.5^2} \approx 72.0\,\mathrm{mm}$ por ano, e $\tan\alpha = 34.5/63.2 \approx 0.55$ dá $29{}^{\circ}$ ao norte do oeste.

17. Oés-noroeste fica a $22.5{}^{\circ}$ ao norte do oeste, noroeste a $45{}^{\circ}$: a direção da estação, $29{}^{\circ}$ ao norte do oeste, fica entre as duas, perto da direção da cadeia. Ela é compatível.

18. A velocidade da estação é medida em relação a um referencial em que a litosfera como um todo não gira, enquanto a cadeia dá o movimento em relação ao ponto quente: se os dois referenciais se movem um em relação ao outro, as velocidades diferem. E a estação mede os últimos 30 anos, a cadeia os últimos 40 milhões de anos, durante os quais a velocidade pode ter mudado. A dispersão das idades também deixa uma incerteza de alguns milímetros por ano sobre a velocidade da cadeia.

19. $100/91 \approx 1.1$ milhão de anos.

20. A placa do Pacífico se moveu sobre o ponto quente do Havaí a cerca de $9\,\mathrm{cm}$ por ano durante os últimos 40 milhões de anos, para oés-noroeste; antes da curva, ela se movia mais devagar, e em outra direção.