24O calor interno da Terra

Entre 1987 e 1995, perto do vilarejo de Windischeschenbach, na Baviera, geólogos perfuraram um furo de $9101\,\mathrm{m}$ de profundidade na crosta continental. No fundo, a rocha estava a cerca de $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, quente demais para perfurar mais fundo.

De cerca de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície a $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $9.1\,\mathrm{km}$, a temperatura sobe cerca de $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro, um valor típico. Em toda parte da Terra, fica mais quente para baixo, por isso o calor sai da Terra o tempo todo. Este capítulo mede esse fluxo, pergunta de onde vem o calor, e mostra como ele se desloca.

O que você já sabe

A geoterma é a curva da temperatura em função da profundidade sob um lugar, e o gradiente geotérmico a subida da temperatura por quilômetro; os furos de sondagem medem de 25 a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro perto da superfície (Capítulo 12). Alguns átomos são radioativos: eles decaem ao acaso, o número dos que restam caindo pela metade a cada meia-vida, e cada decaimento libera energia, que acaba virando calor (os livros de física). Uma célula de convecção é um circuito de fluido aquecido por baixo, que sobe, se espalha, esfria e desce (Livro 1, 8º ano). Num ponto quente, uma placa se move sobre uma pluma de manto quente (Capítulo 13).

24.1 Gradiente e fluxo de calor

Definição 24.1 (Fluxo de calor)

O fluxo de calor (ou fluxo térmico) num lugar é a potência que sai do interior da Terra através de cada metro quadrado da sua superfície ali. Ele se mede em miliwatts por metro quadrado ($\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$).

O calor flui do quente para o frio, e quanto mais íngreme o gradiente de temperatura, mais depressa ele flui. Quanto flui depende também da rocha: cada rocha tem uma condutividade térmica $k$, em watts por metro por kelvin, que os livros de física definem.

Proposição 24.2 (Fluxo de calor e gradiente)

Através de uma rocha de condutividade térmica $k$ na qual a temperatura sobe com a profundidade segundo um gradiente $G$ (em kelvins por metro), o fluxo de calor para cima, em direção à superfície, é

$$q = k\,G .$$

Essa lei da condução, devida a Fourier, é admitida aqui; os livros de física a demonstram numa forma geral.

Método 24.3 (Um fluxo de calor a partir de um furo de sondagem)

1. Meça a temperatura a várias profundidades de um furo de sondagem, depois que o furo teve tempo de voltar à temperatura da rocha.
2. Represente a temperatura em função da profundidade e tome a inclinação: o gradiente $G$, convertido em kelvins por metro.
3. Meça a condutividade $k$ da rocha em testemunhos, no laboratório.
4. Multiplique: $q = kG$, em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, e depois converta em $\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

Exemplo 24.4 (Um furo de sondagem no granito)

Um furo de sondagem num granito de condutividade $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ mede um gradiente de $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro, isto é, $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$. Então $q = 2.72 \times 0.029 \approx 0.079\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, cerca de $79\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

Mais de 38 000 medições desse tipo foram combinadas num mapa da Terra inteira. Os continentes perdem em média $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, o fundo oceânico $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; sobre toda a superfície, $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. Multiplicado pela área da Terra, $5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, o total é

cerca de 47 terawatts, com uma margem de 2.

O fundo oceânico perde mais onde é mais jovem. A nova litosfera deixa uma dorsal quente, e esfria à medida que se afasta; o seu fluxo de calor cai como um sobre a raiz quadrada da sua idade.

24.2 De onde vem o calor

O calor tem duas fontes. A primeira é a radioatividade.

Definição 24.5 (Produção de calor radiogênico)

A produção de calor radiogênico de uma rocha é o calor liberado dentro dela pelo decaimento dos seus átomos radioativos, por unidade de volume e de tempo, em microwatts por metro cúbico ($\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$). Quase todo ele vem de quatro isótopos: o urânio-238, o urânio-235, o tório-232 e o potássio-40.

Esses elementos estão concentrados nas rochas da crosta continental. Em 2188 análises, a produção de calor mediana do granito é de $2.43\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, a do basalto $0.21\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, e a das rochas ultramáficas do manto só $0.11\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, cerca de vinte vezes menos que o granito. Uma camada de granito de $10\,\mathrm{km}$ de espessura produz $2.43 \times 10^{-6} \times 10\,000 \approx 0.024\,\mathrm{W}$ sob cada metro quadrado, $24\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$: um terço do fluxo de calor dos continentes.

Quanto calor a radioatividade produz na Terra inteira? O KamLAND, um detector subterrâneo no Japão que contém 1000 toneladas de líquido, capta os geoneutrinos, os antineutrinos liberados pelo decaimento do urânio e do tório no interior da Terra: ele viu os primeiros em 2005 e, em 2135 dias de registro, cerca de 106 deles entre 841 eventos candidatos. A partir dessa contagem, com as de um detector na Itália, o urânio-238 e o tório-232 juntos liberam cerca de 20 terawatts. O potássio-40 escapa ao detector; sabe-se que ele acrescenta cerca de $4\,\mathrm{TW}$, e o urânio-235, calculado a partir do urânio-238, cerca de $0.4\,\mathrm{TW}$. A radioatividade fornece portanto cerca de $24\,\mathrm{TW}$, aproximadamente a metade dos $47\,\mathrm{TW}$ que a Terra perde.

Definição 24.6 (Resfriamento secular)

O resfriamento secular da Terra é a sua lenta perda do calor armazenado no seu interior desde que ela se formou, o calor primordial: a parte do fluxo de calor que a radioatividade não repõe, pela qual o manto e o núcleo ficam mais frios ao longo das eras.

A radioatividade era mais forte no passado. Cada isótopo decai, então havia mais dele muito tempo atrás: uma meia-vida antes, o dobro, e o dobro de calor. Voltar $t$ anos atrás multiplica o calor de um isótopo de meia-vida $T$ por $2^{t/T}$.

Proposição 24.7 (O calor radiogênico no passado)

Se um isótopo de meia-vida $T$ libera uma potência $H_0$ hoje, ele liberava

$$H(t) = H_0 \, 2^{t/T} = H_0\, e^{\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T},$$

há um tempo $t$.

Há quatro bilhões e meio de anos, a radioatividade liberava cerca de $116\,\mathrm{TW}$, quase cinco vezes o valor de hoje, e a maior parte vinha do urânio-235 e do potássio-40, os dois isótopos de vida curta, que desde então quase desapareceram. A jovem Terra era muito mais quente por dentro do que hoje.

24.3 Condução e convecção

O calor só pode atravessar um sólido por condução, de átomo em átomo, e na rocha isso é muito lento. O calor atravessa uma distância $L$ por condução num tempo de cerca de $L^2/\kappa$, em que $\kappa$, a difusividade térmica da rocha, é de cerca de $1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Para os $2891\,\mathrm{km}$ do manto,

cerca de 260 bilhões de anos, quase sessenta vezes a idade da Terra. Se o manto só conduzisse calor, o calor das suas profundezas ainda estaria quase todo lá.

O manto é sólido, mas ao longo de milhões de anos ele flui, muito lentamente, como um fluido muito rígido: a astenosfera escoa (Capítulo 12). Assim, o manto perde o seu calor como o ar acima de um aquecedor, carregando-o.

Definição 24.8 (Convecção térmica; convecção do manto)

A convecção térmica é o transporte de calor pelo movimento do próprio material: o material mais quente e mais leve sobe, o mais frio e mais denso desce, como numa célula de convecção. A convecção do manto é a convecção térmica do manto sólido da Terra, que flui a alguns centímetros por ano e leva o calor do interior em direção à superfície.

As placas são a parte superior dessa convecção. Nas dorsais, o manto quente sobe e se junta às placas; a litosfera esfria à medida que se afasta, fica densa, e afunda sob o seu próprio peso nas zonas de subducção: as lajes são a parte fria e descendente do fluxo, e as imagens sísmicas as mostram afundando fundo no manto. Pensa-se que plumas de rocha quente sobem sob os pontos quentes a partir de grandes profundidades do manto, talvez logo acima do núcleo.

Assim, a maior parte do calor sai do manto por convecção, e só as últimas dezenas de quilômetros, através da litosfera rígida, são atravessadas por condução — a condução que os furos de sondagem medem.

24.4 A energia geotérmica

Definição 24.9 (Energia geotérmica)

A energia geotérmica é o calor do interior da Terra usado pelas pessoas: água quente ou vapor de rocha quente, trazidos por poços para aquecimento ou para produzir eletricidade.

O calor que sai da Terra é minúsculo onde chega à superfície, cerca de $0.1\,\mathrm{W}$ sob cada metro quadrado, pouco demais para ser usado diretamente. Ele se torna utilizável onde está concentrado a pequena profundidade. Perto de vulcões, de riftes e de pontos quentes, e ao longo dos limites de placas, a rocha quente chega perto da superfície, e a água que circula na rocha permeável volta quente. Uma usina precisa de água muito quente ou de vapor, de cerca de 150 a $370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; alguns campos dão vapor seco, que gira as turbinas diretamente. A primeira eletricidade produzida pelo calor da Terra foi gerada em 1904 em Larderello, na Toscana: ela acendeu cinco lâmpadas. Em outros lugares, a água quente de perto da superfície é canalizada para dentro de edifícios para aquecê-los.

Um campo geotérmico não é inesgotável na escala de uma vida humana. Em The Geysers, na Califórnia, poços demais exploraram o vapor, mais depressa do que o lento fluxo de calor e a chuva podiam repô-lo: a pressão do vapor caiu a menos da metade do seu pico, e mais de $40\,\%$ da capacidade das usinas se perdeu. Hoje, água é injetada de volta no campo para frear o declínio.

24.5 Exercícios

Exercício 24.1 ★

Dê a palavra: (a) a potência que sai do interior através de cada metro quadrado de superfície; (b) o calor liberado pelo decaimento dos átomos radioativos numa unidade de volume de rocha; (c) a perda do calor armazenado desde que a Terra se formou; (d) o transporte de calor pelo movimento do próprio material; (e) o calor interno da Terra usado pelas pessoas.

Solução

Solução de Exercício 24.1.

(a) o fluxo de calor; (b) a produção de calor radiogênico; (c) o resfriamento secular; (d) a convecção térmica; (e) a energia geotérmica.

Exercício 24.2 ★

Converta: (1) $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; (2) $46.7\,\mathrm{TW}$ em watts; (3) $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro em kelvins por metro.

Solução

Solução de Exercício 24.2.

(1) $0.0916\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (2) $4.67 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$. (3) $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$: uma diferença de um grau Celsius é uma diferença de um kelvin.

Exercício 24.3 ★

Cite os quatro isótopos que produzem quase todo o calor radiogênico, e diga quais dois o detector KamLAND consegue ver.

Solução

Solução de Exercício 24.3.

Tório-232, urânio-238, potássio-40 e urânio-235. O KamLAND só vê os geoneutrinos do tório-232 e do urânio-238.

Exercício 24.4 ★

Usando $q = 490/\sqrt{t}$, calcule o fluxo de calor através de um fundo oceânico de 1, 4, 25 e 49 milhões de anos.

Solução

Solução de Exercício 24.4.

$490/\sqrt{1} = 490\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/2 = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/5 = 98\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/7 = 70\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, cerca da média dos continentes.

Exercício 24.5 ★

Por que o fluxo de calor é medido em furos de sondagem e não na própria superfície? Por que é preciso esperar depois da perfuração antes de medir?

Solução

Solução de Exercício 24.5.

Perto da superfície, a temperatura do solo acompanha os dias e as estações; só abaixo de alguns metros ela fica na temperatura média do ano, e só mais fundo ainda ela mostra o calor que vem de baixo. A perfuração agita a rocha e a água do furo e muda a sua temperatura, por isso se espera até que o furo tenha voltado à temperatura da rocha.

Exercício 24.6 ★★

No furo de sondagem KTB, a rocha estava a cerca de $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $9.1\,\mathrm{km}$. (1) Tomando $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície, calcule o gradiente médio. (2) Com uma condutividade de $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$, que fluxo de calor ele dá? (3) Compare com a média dos continentes.

Solução

Solução de Exercício 24.6.

(1) $(265 - 10)/9.1 \approx 28.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro, isto é, $0.0280\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$. (2) $q = 2.72 \times 0.0280 \approx 0.0762\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, cerca de $76\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (3) Um pouco acima da média dos continentes, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, em cerca de $7\,\%$: um valor continental típico.

Exercício 24.7 ★★

Os continentes cobrem $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ com um fluxo de calor médio de $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, os oceanos $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ com $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. Calcule a potência perdida por cada um, o total, e a parte perdida através do fundo oceânico.

Solução

Solução de Exercício 24.7.

Continentes: $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 1.47 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.7\,\mathrm{TW}$. Oceanos: $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 3.19 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 31.9\,\mathrm{TW}$. Total de cerca de $46.6\,\mathrm{TW}$, dos quais $31.9/46.6 \approx 68\,\%$, dois terços, saem através do fundo oceânico.

Exercício 24.8 ★★

Uma camada de granodiorito de $8\,\mathrm{km}$ de espessura tem uma produção de calor de $1.88\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$. (1) Que fluxo de calor ela produz na superfície? (2) Que parte de $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ é isso?

Solução

Solução de Exercício 24.8.

(1) $1.88 \times 10^{-6} \times 8000 \approx 0.0150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 15.0\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (2) $15.0/70.9 \approx 21\,\%$, um quinto do fluxo de calor.

Exercício 24.9 ★★

Com que idade o fundo oceânico perde tanto calor quanto o continente médio, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, segundo $q = 490/\sqrt{t}$?

Solução

Solução de Exercício 24.9.

$\sqrt{t} = 490/70.9 \approx 6.91$, logo $t \approx 47.8$ milhões de anos: o fundo oceânico com mais de cerca de 48 milhões de anos perde menos calor que o continente médio.

Exercício 24.10 ★★

Quanto mais calor o urânio-235 liberava há 1.4 bilhão de anos do que hoje? E o potássio-40, há 2.5 bilhões de anos?

Solução

Solução de Exercício 24.10.

Urânio-235: $2^{1.4/0.704} = 2^{1.99} \approx 4$ vezes mais. Potássio-40: $2^{2.5/1.248} = 2^{2.00} \approx 4$ vezes mais. Os dois estão duas meias-vidas atrás.

Exercício 24.11 ★★

Usando $t \approx L^2/\kappa$ com $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, quanto tempo o calor leva para atravessar por condução (1) um derrame de lava de $10\,\mathrm{m}$ de espessura; (2) uma litosfera de $100\,\mathrm{km}$ de espessura; (3) o manto? Expresse cada resultado em unidades sensatas.

Solução

Solução de Exercício 24.11.

(1) $10^2/10^{-6} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, cerca de 3 anos. (2) $(10^5)^2/10^{-6} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{s}$, cerca de 320 milhões de anos. (3) $(2.891 \times 10^{6})^2/10^{-6} \approx 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, cerca de 265 bilhões de anos. O tempo cresce como o quadrado da distância: dez vezes mais espesso, cem vezes mais longo.

Exercício 24.12 ★★★

Hoje, o tório-232 libera cerca de $10.4\,\mathrm{TW}$, o urânio-238 $9.6\,\mathrm{TW}$, o potássio-40 $4.0\,\mathrm{TW}$ e o urânio-235 $0.42\,\mathrm{TW}$. Usando as meias-vidas da figura, calcule o calor de cada um há 3 bilhões de anos, o total, e a parte dos dois isótopos de vida curta.

Solução

Solução de Exercício 24.12.

Multiplique cada um por $2^{3/T}$: tório-232, $10.4 \times 2^{3/14.0} \approx 12.1\,\mathrm{TW}$; urânio-238, $9.6 \times 2^{3/4.468} \approx 15.3\,\mathrm{TW}$; potássio-40, $4.0 \times 2^{3/1.248} \approx 21.2\,\mathrm{TW}$; urânio-235, $0.42 \times 2^{3/0.704} \approx 8.1\,\mathrm{TW}$. Total de cerca de $56.7\,\mathrm{TW}$, mais que o dobro dos $24.4\,\mathrm{TW}$ de hoje. Os dois isótopos de vida curta dão $(21.2 + 8.1)/56.7 \approx 52\,\%$ dele, contra $4.42/24.4 \approx 18\,\%$ hoje.

Exercício 24.13 ★★★

A usina de Nesjavellir pode fornecer até $300\,\mathrm{MW}$ de calor, levados por cerca de $1640\,\mathrm{L}$ de água quente por segundo. Com um calor específico de $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ e uma massa de $1\,\mathrm{kg}$ por litro, em quantos graus essa água foi aquecida? Que área de continente médio perde $300\,\mathrm{MW}$ de calor?

Solução

Solução de Exercício 24.13.

A potência é a massa por segundo vezes o calor específico vezes o aquecimento: $3 \times 10^{8} = 1640 \times 4180 \times \Delta T$, logo $\Delta T = 3 \times 10^{8}/(1640 \times 4180) \approx 44\,\mathrm{K}$. O continente médio perde $0.0709\,\mathrm{W}$ por metro quadrado, então $300\,\mathrm{MW}$ são a perda natural de calor de $3 \times 10^{8}/0.0709 \approx 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, cerca de $4200\,\mathrm{km}^{2}$: a usina reúne o calor que a Terra deixa sair naturalmente em milhares de quilômetros quadrados.

Exercício 24.14 ★★★

Suponha que uma placa leva 100 milhões de anos para ir de uma dorsal a uma fossa, e que um circuito de convecção através de todo o manto leva cerca de 200 milhões de anos. (1) Compare esses tempos com os 260 bilhões de anos da condução através do manto. (2) Por que a convecção pode levar o calor tão mais depressa, embora o manto se mova só alguns centímetros por ano?

Solução

Solução de Exercício 24.14.

(1) 100 milhões de anos é $2.6 \times 10^{11}/1 \times 10^{8} = 2600$ vezes mais curto que 260 bilhões de anos; 200 milhões de anos, 1300 vezes mais curto. (2) A convecção leva o calor com a rocha que se move: o tempo para atravessar o manto é a sua espessura dividida pela velocidade, $2891\,\mathrm{km}$ a alguns centímetros por ano, cerca de cem milhões de anos. A condução não tem esse veículo: o seu tempo cresce como o quadrado da distância, e ao longo de milhares de quilômetros ele se torna enorme.

Exercício 24.15 ★★★

Suponha que o núcleo perde cerca de $10\,\mathrm{TW}$ de calor para o manto através do limite manto–núcleo, a $2891\,\mathrm{km}$ de profundidade. (1) Que parte do resfriamento secular, $22.3\,\mathrm{TW}$, isso seria? De onde vem o resto? (2) Calcule o fluxo de calor médio através do limite manto–núcleo, e compare-o com o fluxo de calor médio na superfície, $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (3) Por que o núcleo quente pode aquecer a base do manto embora o manto seja sólido?

Solução

Solução de Exercício 24.15.

(1) $10/22.3 \approx 45\,\%$; o resto é o resfriamento do próprio manto, que perde o seu próprio calor armazenado. (2) O limite fica no raio $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$; a sua área é $4\pi (3.48 \times 10^{6})^2 \approx 1.52 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, e $1 \times 10^{13}/1.52 \times 10^{14} \approx 0.066\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, cerca de $66\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, uns $72\,\%$ da média na superfície. (3) O calor atravessa o limite por condução até a camada mais baixa do manto; aquecida, essa rocha fica mais leve que o manto acima dela e pode subir, levando o calor para cima: é assim que se pensa que as plumas começam, em grande profundidade.

Problema 24.1

Problema de fim de semana — o balanço de calor da Terra

O fluxo de calor da Terra foi medido em mais de 38 000 lugares. Em média, os continentes perdem $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ em $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, e o fundo oceânico $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ em $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$.

Parte I — Fluxo de calor e áreas.

1. Verifique que as duas áreas somam a área de uma esfera de raio $6371\,\mathrm{km}$.
2. Que fração da superfície é fundo oceânico?
3. Por que o fundo oceânico perde mais calor por metro quadrado que os continentes?
4. Usando $q = 490/\sqrt{t}$, calcule o fluxo de calor através de um fundo oceânico de 4 milhões de anos.
5. Um furo de sondagem no granito ($2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$) mede $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por quilômetro. O seu fluxo de calor fica acima ou abaixo da média continental?

Parte II — O total.

6. Calcule a potência perdida através dos continentes.
7. Calcule a potência perdida através do fundo oceânico.
8. Some-as: o fluxo de calor total da Terra, em terawatts.
9. Qual é o fluxo de calor médio sobre toda a superfície?
10. Se $10\,\mathrm{km}$ de granito ($24.3\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$) estivessem sob todos os continentes, quantos terawatts eles produziriam? Compare com a potência perdida através dos continentes.

Parte III — O calor radiogênico.

11. O KamLAND conta os geoneutrinos do urânio-238 e do tório-232: juntos, eles liberam cerca de $20.0\,\mathrm{TW}$, com $3.9\,\mathrm{kg}$ de tório na Terra para cada quilograma de urânio. Um quilograma de urânio libera $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ pelo seu urânio-238 e $4.10\,\text{µ}\mathrm{W}$ pelo seu urânio-235; um quilograma de tório, $26.3\,\text{µ}\mathrm{W}$. Calcule o calor do urânio-238, depois o do urânio-235.
12. O potássio-40 acrescenta cerca de $4\,\mathrm{TW}$. Calcule o calor radiogênico total.
13. Que tipo de rocha contém a maior parte desses elementos, e onde ela fica?
14. O calor radiogênico era maior ou menor há 3 bilhões de anos? Por quê?

Parte IV — O resfriamento secular.

15. Que potência não é fornecida pela radioatividade?
16. De onde ela vem?
17. Calcule a parte do fluxo de calor fornecida pelo resfriamento secular.
18. Os modelos da composição da Terra dão um calor radiogênico de 11 a $38\,\mathrm{TW}$. Entre que partes fica então a parte radiogênica?
19. O que leva a maior parte desse calor através do manto?
20. Resuma: que parte da perda de calor da Terra a radioatividade fornece hoje?

Solução

Solução de Problema 24.1.

1. $4\pi (6.371 \times 10^{6})^2 \approx 5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, e $2.073 + 3.028 = 5.101$: sim.

2. $3.028/5.101 \approx 59\,\%$, cerca de três quintos.

3. O fundo oceânico é jovem: ele é produzido quente nas dorsais e esfria à medida que se afasta, e a litosfera jovem perde muito calor.

4. $490/\sqrt{4} = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

5. $2.72 \times 0.026 \approx 0.0707\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 70.7\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$: um pouco abaixo da média, praticamente igual a ela.

6. $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 14.7\,\mathrm{TW}$.

7. $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 31.9\,\mathrm{TW}$.

8. $14.7 + 31.9 \approx 46.6\,\mathrm{TW}$, os $47\,\mathrm{TW}$ da estimativa publicada (a média global do capítulo dá $46.7\,\mathrm{TW}$, o valor usado a seguir).

9. $4.66 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} \approx 0.0914\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, cerca de $91\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

10. $0.0243 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 5.0\,\mathrm{TW}$, um terço dos $14.7\,\mathrm{TW}$ perdidos através dos continentes: a radioatividade da crosta continental é uma grande parte do seu fluxo de calor.

11. Para cada quilograma de urânio, a Terra contém $3.9\,\mathrm{kg}$ de tório, que liberam $3.9 \times 26.3 \approx 102.6\,\text{µ}\mathrm{W}$, contra $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ para o urânio-238. O urânio-238 produz assim $94.4/(94.4 + 102.6) \approx 0.479$ dos $20.0\,\mathrm{TW}$: cerca de $9.6\,\mathrm{TW}$. Urânio-235: $9.59 \times 4.10/94.4 \approx 0.42\,\mathrm{TW}$.

12. $20.0 + 0.42 + 4 \approx 24.4\,\mathrm{TW}$.

13. O granito e as outras rochas da crosta continental, cerca de vinte vezes mais ricos que as rochas ultramáficas do manto.

14. Maior: cada isótopo era mais abundante então, o dobro para cada meia-vida atrás; há 3 bilhões de anos, o total era mais que o dobro do de hoje.

15. $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$.

16. Do calor armazenado desde que a Terra se formou: o resfriamento secular do manto e do núcleo.

17. $22.3/46.7 \approx 48\,\%$.

18. De $11/46.7 \approx 24\,\%$ a $38/46.7 \approx 81\,\%$: os geoneutrinos estreitam muito essa faixa.

19. A convecção do manto, que leva a maior parte do calor; só as últimas dezenas de quilômetros são atravessadas por condução.

20. $24.4/46.7 \approx 0.52$: a radioatividade fornece cerca da metade da perda de calor da Terra hoje, e o lento resfriamento do planeta a outra metade.