10ميزانية حرارة الأرض

تحت جبل في جبال الألب اليابانية، في تجويف منجم قديم، ينتظر خزّان يحوي ألف طن من سائل الوميض ومضات ضوء خافتة. أكثرها آتٍ من مضادّات النيوترينو الناتجة عن المفاعلات النووية في البلد المحيط، لكن بعضها يأتي من الأسفل: فاليورانيوم والثوريوم داخل الأرض يطلقان مضادّات نيوترينو عند تفككهما، وهي تعبر الكوكب كله كأنه فارغ. وفي 2135 يومًا من العدّ سجّل الكاشف 841 حدثًا مرشحًا، نُسب منها 106 إلى الأرض نفسها. ومن تلك الحفنة من الومضات قدّر فريقه عام 2011 أن تفكك اليورانيوم والثوريوم يسخّن الأرض بنحو 20 تيراواط. ويفقد الكوكب كله نحو 47. يحسب هذا الفصل الفرق: من أين تأتي حرارة الأرض، وكيف يُقاس الفيض الحراري الخارج منها، وكيف ترتفع الحرارة مع العمق حين تنقلها الموصلية، ولماذا يجب أن يتحرّك الوشاح بالحمل، ولماذا تكون الصفائح الحدّ العلوي البارد لذلك الحمل.

ما تعرفه من قبل

يسير تدفّق الحرارة من الساخن إلى البارد؛ والموصلية الحرارية $k$ للصخر تقيس سهولة عبور الحرارة فيه، والانتشارية الحرارية $\kappa = k/(\rho c)$ تقيس سرعة انتشار تغيّر الحرارة (من كتاب الفيزياء للسنة الثانية). وتتفكك الأنوية المشعّة بعمر نصف ثابت (الفيزياء). وترتفع الحرارة مع العمق على امتداد المنحنى الحراري، والوشاح يتحرّك بالحمل (الكتاب 2، الصفان 11 و$12$). والغلاف الصخري هو القشرة الخارجية القوية للأرض (الفصل 9).

10.1 من أين تأتي الحرارة

تعريف 10.1 (تدفّق الحرارة)

تدفّق الحرارة $q$ عند نقطة من سطح الأرض، أو كثافة التدفّق الحراري السطحي، هو القدرة ذات المنشأ الداخلي التي تعبر السطح هناك، لكل وحدة مساحة، محسوبةً موجبة نحو الخارج. وتُقاس بوحدة $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، وعمليًا بوحدة $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. وإذا كُوملت على السطح كله أعطت فقدان الأرض للحرارة $Q = \oint q\,\mathrm dS$.

قِيس تدفّق الحرارة في عشرات الآلاف من المواقع. وتجميع من $38\,347$ قياسًا، نُشر عام 2010، يعطي المتوسطات الآتية، مع عدّ المحيطات والقارات كلٍّ على حدة:

المجموع، مُقرَّبًا إلى هامش خطئه، هو $Q = (47 \pm 2)\,\mathrm{TW}$. ويخرج ثلثاه عبر قاع المحيط، وهو أحدث وأرقّ من القارات. إنه تدفّق صغير: فالشمس تُرسل نحو $173\,000\,\mathrm{TW}$ إلى الأرض، ولا تبلغ الحرارة الداخلية سوى $0.03\,\%$ من ميزانية الطاقة عند السطح. لكنه التدفّق الذي يدفع البراكين والصفائح وبناء الجبال، وله مصدران.

تعريف 10.2 (إنتاج الحرارة الإشعاعي)

إنتاج الحرارة الإشعاعي $A$ لصخر هو الحرارة المنطلقة لكل وحدة حجم ولكل وحدة زمن من تفكك الأنوية المشعّة التي يحويها، بوحدة $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$، وعمليًا بوحدة $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. وصخر كثافته $\rho$ يحوي كسور كتل $C_i$ من العناصر المولّدة للحرارة، يُطلق كل منها $H_i$ واطًا لكل كيلوغرام من العنصر، له

$$A = \rho \sum_i C_i H_i .$$

تُنتج أربعة نظائر تقريبًا كل هذه الحرارة، لأنها طويلة العمر، ووفيرة بما يكفي، وغنية بالطاقة: $\ce{^{238}U}$، و$\ce{^{235}U}$، و$\ce{^{232}Th}$، و$\ce{^{40}K}$. والحرارة لكل كيلوغرام من كل عنصر هي الحرارة لكل كيلوغرام من نظيره المشع مضروبةً في حصة هذا النظير من العنصر (التمرين 10.3):

يُطلق البوتاسيوم حرارةً لكل كيلوغرام أقل بثلاثين ألف مرة من اليورانيوم، لكنه عنصر رئيسي في صخور كثيرة، يُعدّ بالنسبة المئوية حيث يُعدّ اليورانيوم والثوريوم بالجزء في المليون. وأغنى الصخور بالعناصر الثلاثة هي الغرانيتات وأقاربها؛ وأفقرها بيريدوتيتات الوشاح. وتعطي مجموعة من 2188 تحليلًا هذه الوسائط، بوحدة $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$:

الانتشار داخل كل مجموعة واسع: فربع الغرانيتات ينتج أقل من $1.74\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$، وربعها أكثر من $3.23\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. وتغتني القشرة القارية بهذه العناصر، وتفقرها القشرة المحيطية والوشاح؛ لكن الوشاح كبير جدًا بحيث يظل يحوي حصة كبيرة من منابع حرارة الكوكب.

تعريف 10.3 (التبريد الدهري)

التبريد الدهري هو الجزء من فقدان الأرض للحرارة الذي يأتي من انخفاض بطيء في حرارة باطنها، أي الوشاح واللب: إطلاق الحرارة المخزّنة منذ تكوّن الكوكب، بمعدل $-\sum_j M_j c_j\,\mathrm dT_j/\mathrm dt$ للخزانات ذات الكتلة $M_j$ والحرارة النوعية $c_j$ والحرارة المتوسطة $T_j$.

يعطي حفظ الطاقة ميزانية الأرض كلها: فالحرارة المفقودة عند السطح هي الإنتاج الإشعاعي مضافًا إليه التبريد الدهري،

تقيس النيوترينوات الأرضية جزءًا من الحد الأول: فنتيجة 2011، التي جمعت كاشفين، تنسب $20\,\mathrm{TW}$ إلى اليورانيوم والثوريوم، و$\ce{^{40}K}$، الذي لا تُكتشف مضاداته بذلك الشكل لضعفها، معروف بأنه يضيف نحو $4\,\mathrm{TW}$.

إذن نحو نصف فقدان الحرارة إشعاعي، والنصف الآخر، نحو $23\,\mathrm{TW}$، هو التبريد الدهري. وجزء من ذلك التبريد من اللب: إذ تُقدَّر الحرارة العابرة لحدّ اللب–الوشاح ب$5\text{ ⁧إلى⁩ }15\,\mathrm{TW}$. وهذه الأرقام غير مؤكدة: فالقياس نفسه يحمل خطأً نحو $9\,\mathrm{TW}$، ونتائج النيوترينوات الأرضية حتى الآن لا تحصر الجزء الإشعاعي إلا في $15\text{ ⁧إلى⁩ }41\,\mathrm{TW}$، بينما تتراوح نماذج الأرض من أنواع مختلفة بين $14\text{ ⁧إلى⁩ }46\,\mathrm{TW}$. والمجموع المقيس عند السطح هو أعرف حدود الميزانية (الشكل أدناه).

كانت الحرارة الإشعاعية أكبر في الماضي، لأن النظائر كانت أوفر: ف$\ce{^{235}U}$ و$\ce{^{40}K}$، وهما قصيرا العمر، أسهما آنذاك أكثر بكثير (الكتاب 2، الصف 12). وآلة الحرارة في الأرض تبطؤ ببطء، من الجهتين.

10.2 قياس تدفّق الحرارة

لا يُقاس تدفّق الحرارة مباشرةً: بل يُحسب من تدرّج الحرارة والموصلية.

قضية 10.4 (قانون فورييه)

في وسط موصليته الحرارية $k$، تنتقل الحرارة على طول تدرّج الحرارة بمعدل لكل وحدة مساحة يتناسب معه. مع $z$ العمق محسوبًا موجبًا نحو الأسفل، و$q$ محسوبًا موجبًا نحو الأعلى،

$$q = k\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dz} .$$

يُثبَت القانون في مجلد الفيزياء للسنة الثانية. وتوصل معظم الصخور الحرارة بمعدل $1.5\text{ ⁧إلى⁩ }3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ تحت $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، وأقل حين تكون ساخنة؛ وتعطي نماذج تدفّق الحرارة القارّي للقشرة العليا الغرانيتية نحو $2.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$؛

وتدرّج قدره $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ فيها يعني تدفّقًا حراريًا نحو $70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

حين تختلف الموصلية للصخور التي يعبرها ثقب حفر، يتغيّر التدرّج من صخرة إلى التي تليها، لكن تدفّق الحرارة لا يتغيّر ما دام لا تُنتَج حرارة ولا تُخزَّن بينها. وتحوّل المبرهنة التالية ذلك إلى اختبار.

قضية 10.5 (مخطط بولارد)

ليكن $R(z) = \int_0^z \mathrm d\zeta/k(\zeta)$ المقاومة الحرارية، لكل وحدة مساحة، للصخور بين السطح والعمق $z$، بوحدة $\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. إذا كان تدفّق الحرارة $q$ هو نفسه عند كل عمق في ثقب الحفر، فإن الحرارة دالة خطية في المقاومة الحرارية: $T(z) = T_0 + q\,R(z)$.

طريقة 10.6 (تدفّق الحرارة من ثقب حفر)

1. سجّل الحرارة على طول الثقب بعد الحفر بزمن طويل، حين يكون اضطراب سائل الحفر قد زال، واستبعد أقرب عشرات الأمتار، فهي تتبع الفصول.
2. قِس موصلية عينات اللب لكل صخرة يعبرها الثقب في المختبر، واحسب المقاومة الحرارية $R(z)$ عند كل عمق مسجَّل.
3. ارسم $T$ بدلالة $R$: ميل الخط المستقيم هو تدفّق الحرارة. ويكشف الانحناء عن ماء يجري عبر الصخور، أو تغيّرًا قديمًا في حرارة السطح، أو خطأً في موصلية.
4. صحّح، حيث يلزم، لأثر التضاريس، التي تحني الخطوط المتساوية الحرارة تحت التلال والوديان، ولأثر الاحترار البطيء منذ آخر عصر جليدي، الذي ما زال يُخلّ بالكيلومتر العلوي تقريبًا.

في البحر لا حاجة إلى ثقب. فحرارة قاع المحيط العميق ثابتة جدًا، حتى إن بضعة أمتار من الرواسب اللينة تحمل التدرّج التوازني. وتُلقى من السفينة قضيبٌ فولاذي يحمل صفًّا من مجسّات الحرارة، ويُدفع إلى الرواسب بثقل ثقيل (الشكل أدناه)؛ فتسجّل المجسّات التدرّج، وتعطي نبضة حرارية تُرسل على طول القضيب موصلية الرواسب في موضعها. لقاع المحيط مصيدة واحدة: فعلى القشرة الفتية يدور ماء البحر خلال البازلت المتشقّق، ويحمل معه جزءًا كبيرًا من الحرارة بالانتقال بالحمل، فيقصر تدفّق الحرارة الموصلي المقاس كثيرًا عن الفقدان الحقيقي. ولذلك يُحسب الفقدان عبر أحدث قاع المحيط بنموذج التبريد من القسم 10.5، المعايَر على قشرة قديمة توقّف فيها الدوران: وهذا الجزء المحسوب، $23.1\,\mathrm{TW}$، يبلغ نحو نصف المجموع العالمي.

في الميدان — تدفّق الحرارة في البحر

على سفينة بحثية، يكون مسبار تدفّق الحرارة قضيبًا ثقيلًا معلّقًا من رافعة المؤخرة. يُنزل بكابل السفينة حتى يصبح فوق قاع البحر مباشرةً، ثم يُترك: فيدفعه الثقل إلى الرواسب، ويجلس الطاقم على السطح بينما تستقر المجسّات على حرارة الطين، ثم يُسحب القضيب وتنتقل السفينة إلى المحطة التالية على مسافة قصيرة. وخط من هذه المحطات عبر منحدر حيد يعطي تناقص تدفّق الحرارة مع عمر القاع، والتشتت بين المحطات المتجاورة يبيّن أين يجري الماء عبر القشرة التي تحتها.

10.3 المنحنى الحراري الموصل المستقر

تعريف 10.7 (المنحنى الحراري)

المنحنى الحراري تحت نقطة من السطح هو الحرارة دالةً للعمق هناك، $T(z)$. وهو منحنٍ حراري موصل مستقر حين لا يتغيّر مع الزمن، وتُحمل الحرارة على امتداده بالموصلية وحدها.

ضمن الغلاف الصخري، بعيدًا عن البراكين النشطة ودوران الماء، تُحمل الحرارة بالموصلية، وعلى مقياس ملايين السنين يكون المنحنى الحراري مستقرًا. وشكله يتبع إذن من موازنة الطاقة.

مبرهنة 10.8 (التوصيل المستقر مع إنتاج الحرارة)

على امتداد منحنى حراري موصل مستقر، في وسط موصليته المنتظمة $k$ وإنتاجه الحراري $A(z)$ دون تدفّق أفقي للحرارة،

$$\frac{\mathrm dq}{\mathrm dz} = -A(z), \qquad\text{أي}\qquad k\,\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dz^2} = -A(z).$$

وعند القراءة من السطح نحو الأسفل، ينخفض تدفّق الحرارة مع العمق بمقدار الحرارة المنتجة فوق كل مستوى: فما يعبر السطح هو الحرارة القادمة من الأسفل مضافًا إليها كل الحرارة المنتجة في الطريق. وتعطي توزيعان ل$A$ صيغًا مغلقة.

قضية 10.9 (طبقة إشعاعية منتظمة)

لتكن الحرارة المنتجة $A$ من السطح حتى العمق $h$ وصفرًا تحته، وليكن السطح عند الحرارة $T_0$، وتدفّق الحرارة السطحي $q_0$. عندئذٍ، من أجل $0 \le z \le h$،

$$q(z) = q_0 - A z, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_0 z}{k} - \frac{A z^2}{2k},$$

وتحت $h$ يكون تدفّق الحرارة منتظمًا، $q_m = q_0 - A h$، والمنحنى الحراري خطًا مستقيمًا ميله $q_m/k$.

مبرهنة 10.10 (إنتاج الحرارة الأسّي والعلاقة الخطية لتدفّق الحرارة)

ليتناقص إنتاج الحرارة مع العمق وفق $A(z) = A_0 e^{-z/D}$، ويتجه تدفّق الحرارة إلى $q_m$ عند العمق الكبير، ولتكن حرارة السطح $T_0$. عندئذٍ

$$q(z) = q_m + A_0 D\,e^{-z/D}, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_m z}{k} + \frac{A_0 D^2}{k}\bigl(1 - e^{-z/D}\bigr),$$

وتدفّق الحرارة السطحي هو

$$q_0 = q_m + A_0 D .$$

السطر الأخير تنبؤ يمكن اختباره عند السطح. فتتشارك أجسام الغرانيت المتطفّلة في منطقة واحدة تدفّق الحرارة العميق نفسه $q_m$، وإذا اختلفت فقط في غناها باليورانيوم والثوريوم والبوتاسيوم، فلها المقياس $D$ نفسه؛ وعندئذٍ ينبغي أن يكون تدفّق الحرارة المقاس فوق كل جسم دالة خطية لإنتاج الحرارة المقاس في صخوره، ميلها $D$ طول، ومقطعها $q_m$، أي تدفّق الحرارة المخفَّض القادم من أسفل الطبقة المشعّة. ولاحظ فرانسيس بيرش أول خط من هذا النوع، ونُشر عام 1968، وفي العام نفسه حُدّدت ثلاث مقاطعات بخطوطها:

القيم المقطعية، المنشورة ك$0.8$ و$1.4$ و$0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$، تُحوَّل ب$1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (التمرين 10.4). وتتغيّر الميول قليلًا، من 7 إلى $10\,\mathrm{km}$؛ أما تدفّق الحرارة المخفَّض فيتغيّر كثيرًا، وخرائطه تبيّن أين يكون الوشاح تحته ساخنًا، كما تحت القشرة المتمدّدة في منطقة الحوض والسلاسل. ويعطي الطبقة المنتظمة من القضية 10.9 أيضًا خطًا مستقيمًا، ميله $h$: فالنموذجان يطابقان المعطيات، لكن النموذج الأسّي وحده يبقى خطًا مستقيمًا بالميل نفسه حين تُنحت الأجسام المتطفّلة إلى أعماق مختلفة (التمرين 10.10)، ولهذا يُفضَّل.

طريقة 10.11 (درجة الحرارة على عمق تحت جسم متطفّل)

1. قِس تدفّق الحرارة السطحي $q_0$ فوق الجسم (طريقة الثقب)، وإنتاجه الحراري $A_0$ من محتواه من اليورانيوم والثوريوم والبوتاسيوم.
2. من خط المقاطعة، أو بقيمة ل$D$ نحو $10\,\mathrm{km}$، احسب $q_m = q_0 - A_0 D$.
3. طبّق المبرهنة 10.10. تحت بضعة أضعاف من $D$ يصبح $e^{-z/D}$ مهملًا، ويكون المنحنى الحراري الخط المستقيم $T_0 + A_0D^2/k + q_m z/k$: فالطبقة المشعّة رفعت كل حرارة عميقة بمقدار $A_0D^2/k$.

في الشكل تتراوح حرارة موهو من نحو $320{}^{\circ}\mathrm{C}$ لأدنى تدفّق حرارة إلى أكثر من $700{}^{\circ}\mathrm{C}$ لأعلاه: فتدفّق الحرارة عند السطح يحمل قراءة مباشرة لحرارة القشرة العميقة، التي تحكم متانتها (الفصل 16).

10.4 التوصيل ضد الحمل

التوصيل بطيء. ويتبيّن مدى بطئه من معادلة الحرارة، التي تشتقّها كتب الفيزياء من قانون فورييه ومن موازنة المبرهنة 10.8 مع إضافة التخزين: في بُعد واحد، دون إنتاج حراري، $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2 T/\partial z^2$.

قضية 10.12 (زمن التوصيل المميّز)

يمتد تغيّر حرارة مفروض عند حدّ جسم موصل على مسافة $L$ في زمن من رتبة

$$\tau = \frac{L^2}{\kappa} .$$

للصخور $\kappa \approx 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. ويصل التغيّر اليومي للحرارة إلى بضعة عشرات من السنتيمترات داخل الأرض، والسنوي إلى بضعة أمتار، والاحترار منذ آخر عصر جليدي إلى كيلومتر تقريبًا. وعبر غلاف صخري سمكه $100\,\mathrm{km}$، $\tau = 10^{16}\,\mathrm{s}$، نحو $300\,\mathrm{Myr}$. وعبر الوشاح، البالغ سمكه $2900\,\mathrm{km}$، $\tau = 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$، أي $270\,\mathrm{Gyr}$: ستين ضعف عمر الأرض، $4.54\,\mathrm{Gyr}$. ولم يكن التوصيل وحده ليوصل حرارة الوشاح العميق إلى قرب السطح في أي مكان. فالوشاح يتحرك بالحمل، وفي داخله تُحمل الحرارة بحركة الصخر نفسها، بسرعات الصفائح، سنتيمترات في السنة.

تعريف 10.13 (منحنى الوشاح الأديباتي)

منحنى الوشاح الأديباتي هو المنحنى الحراري للجزء الداخلي الممزوج جيدًا من الوشاح المتحرك بالحمل: الحرارة التي يكتسبها صخر الوشاح وهو يصعد أو يهبط بسرعة تكفي لئلا يتبادل الحرارة مع محيطه، فيبرد بالتمدّد حين يصعد ويسخن بالضغط حين يهبط.

تعطي الديناميكا الحرارية ميله، $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha g T/c_p$، حيث $\alpha$ معامل التمدّد الحراري و$c_p$ الحرارة النوعية (الفيزياء، تُقبل هنا). وهو صغير. ويعطي تقدير حديث من فيزياء المعادن $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ عند عمق $50\,\mathrm{km}$، ينخفض إلى $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ عند $410\,\mathrm{km}$، ثم من 0.41 إلى $0.23\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ عبر الوشاح السفلي، مع $1646\,\mathrm{K}$ عند $50\,\mathrm{km}$ و$2587\,\mathrm{K}$ عند $2800\,\mathrm{km}$.

وبامتداد هذا المنحنى إلى السطح يُعطي درجة الحرارة الكامنة للوشاح، $1619\,\mathrm{K}$ أو نحو $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$: الحرارة التي يبلغها الوشاح لو أُصعد إلى السطح دون تبادل حرارة. ويُعرَّف مفهوم الحرارة الكامنة للغلاف الجوي والمحيط في الفصل 26. وحرارة ترتفع ب$0.5\,\mathrm{K}$ فقط لكل كيلومتر، بينما يصعد المنحنى الحراري الموصل قرب السطح ب$25\,\mathrm{K}$، هي بصمة الحمل.

لمحة تاريخية — جون بيري والأرض المبرِّدة

في 1862–1863 حسب ويليام تومسون، الذي صار لاحقًا اللورد كلفن، عمر الأرض من تبريدها. عامله كجسم صلب بَرُد بالتوصيل من حرارة موحّدة نحو $3900{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ ومع التدرّج المتوسط الذي اختاره من قياسات زمانه، نحو $36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$، وانتشارية قدرها $1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، كان الزمن اللازم لبلوغ التدرّج اليوم نحو $96\,\mathrm{Myr}$، بين حدّين هما 24 و$400\,\mathrm{Myr}$ (التمرين 10.9). ووجد الجيولوجيون هذا قصيرًا جدًا. وفي 1895، قبل اكتشاف الإشعاعية بعام، أشار مساعده السابق جون بيري إلى فرضية بدلًا من ذلك: فلو كان الداخل مائعًا جزئيًا ويتحرك بالحمل، لحمل الحرارة كأن موصليته هائلة، ولغذّى الداخل كله، لا قشرة رقيقة خارجية، تدفّق الحرارة السطحي. أُهملت حجّته ونُسيت؛ لكن حمل الوشاح، الذي ثبت بعد زمن طويل، أثبت صحتها: فالوشاح العميق يبرد بالحمل، وذلك هو التبريد الدهري في الميزانية.

قضية 10.14 (أرض بيري الممزوجة جيدًا)

لتكن كرة نصف قطرها $R$ ذات داخل ممزوج جيدًا عند الحرارة المنتظمة $T_i(t)$، بسعة حرارية $\rho c$ لكل وحدة حجم، تحت غطاء موصل سمكه $L \ll R$ وموصليته $k$ وسطحه عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$، ولا إنتاج حراري. عندئذٍ

$$T_i(t) = T_i(0)\,e^{-t/\tau_P}, \qquad \tau_P = \frac{RL}{3\kappa},$$

ويتناقص تدفّق الحرارة السطحي $kT_i/L$ بالثابت الزمني نفسه.

من أجل $R = 6400\,\mathrm{km}$، و$L = 100\,\mathrm{km}$ و$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، يكون $\tau_P = 6.8\,\mathrm{Gyr}$: فالأرض المتحركة بالحمل تحفظ تدفّق حرارة مرتفعًا لمليارات السنين، حين فقدته أرض كلفن الموصِّلة في عشرات الملايين (التمرين 10.11).

10.5 الغلاف الصخري كطبقة حدّية حرارية

تعريف 10.15 (الطبقة الحدّية الحرارية، والغلاف الصخري الحراري)

في مائع متحرك بالحمل، الطبقة الحدّية الحرارية طبقة على امتداد حدّ تعبر منها الحرارة بالتوصيل، وتتغيّر فيها الحرارة من حرارة الحدّ إلى حرارة الداخل الممزوج جيدًا. والغلاف الصخري الحراري هو الطبقة الحدّية الحرارية العليا للوشاح: القشرة الخارجية للأرض من السطح حتى العمق الذي يلتقي فيه المنحنى الحراري الموصل بمنحنى الوشاح الأديباتي.

الصفائح هي القمة الباردة لحمل الوشاح، طبقته الحدّية العليا. وقاعدتها، حيث ينحني المنحنى الحراري الموصل الشديد الانحدار ليصير الأديباتي اللطيف، تقع عند $70\text{ ⁧إلى⁩ }230\,\mathrm{km}$ في شكل المنحنيات الحرارية للتدفّقات القارية من 70 إلى $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، في المدى الذي تقيسه علوم الزلازل (الفصل 9): فالغلاف الصخري المعرَّف بمتانته والغلاف الصخري المعرَّف بحرارته هما قشرة واحدة تقريبًا، لأن المتانة تتوقف على الحرارة. وفي قاع الوشاح، الطبقة D$''$ هي الطبقة الحدّية السفلى، يسخّنها اللب من الأسفل.

تحت المحيطات، تُولد الطبقة الحدّية عند الحيد، حيث يصعد الوشاح الساخن إلى السطح، وتسمك مع ابتعاد الصفيحة وبرودتها. ويصف تبريد نصف فضاء من حرارة موحّدة وصفًا جيدًا، وهو الحل الذي وضعه فورييه وطبّقه كلفن على الأرض كلها (تشتقّه الفصل 13 والمجلد الجامعي الثالث): تتعمّق متساويات الحرارة كجذر تربيع عمر القاع (الشكل أدناه)، ويتناقص تدفّق الحرارة كما يلي

وهي القيمة المستعملة في الميزانية العالمية. عند $100\,\mathrm{Myr}$ يكون نصف الفضاء قد بَرُد حتى نحو $130\,\mathrm{km}$ (التمرين 10.12). لكن الصفيحة الحقيقية تكفّ عن التسمّك أبكر: فموجات الزلازل التي تعبر المحيط الهادئ يطابقها أفضل صفيحة تبرد وتؤول إلى سمك قدره $85\text{ ⁧إلى⁩ }95\,\mathrm{km}$، وهو التسطّح نفسه لقاع البحر القديم الذي يُلتقى به مرة أخرى في الفصل 13.

تجتمع ميزانية الحرارة وتدفّق الحرارة والبنية الحرارية للصفائح في الفصول التالية: فالصفيحة المبرَّدة تهبط (الفصل 13)، والغلاف الصخري البارد الغائص عند مناطق الاندساس هو الهبوط في الحمل الذي ينتمي إليه.

10.6 التمارين

تمرين 10.1 ★

ثقب في غرانيت موصليته $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ يُظهر تدرّجًا مستقرًا قدره $22\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$. احسب تدفّق الحرارة، والقدرة التي تعبر كيلومترًا مربعًا واحدًا من السطح هناك.

حل

حل التمرين 10.1.

$q = k\,\mathrm dT/\mathrm dz = 2.5\times0.022\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 0.055\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} = 55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. عبر $1\,\mathrm{km}^{2}$ $= 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$: $5.5 \times 10^{4}\,\mathrm{W}$، أي $55\,\mathrm{kW}$.

تمرين 10.2 ★

من مساحتي القارات ($2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$، و$70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) والمحيطات ($3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$، و$105.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) ومتوسطي تدفّقهما، احسب فقدان الحرارة لكل منهما، والمجموع، ومتوسط تدفّق الحرارة فوق سطح الأرض ($5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$). ما كسر $173\,000\,\mathrm{TW}$ الواردة من الشمس الذي يمثّله؟

حل

حل التمرين 10.2.

القارات $2.073 \times 10^{14}\times0.0709 = 1.470 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.70\,\mathrm{TW}$؛ المحيطات $3.028 \times 10^{14}\times0.1054 = 31.92\,\mathrm{TW}$؛ المجموع $46.61\,\mathrm{TW}$، و متوسط تدفّق الحرارة $4.661 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} = 91.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (المنشور 46.7 و$91.6$ يختلفان فقط بتقريب المتوسطين). ونسبة ما تتلقاه الشمس هي $46.6/173000 = 2.7 \times 10^{-4}$، أي $0.027\,\%$.

تمرين 10.3 ★

من جدول النظائر الأربعة، احسب الحرارة المنطلقة لكل كيلوغرام من اليورانيوم الطبيعي ($99.274\,\%$ من ذرّاته $\ce{^{238}U}$ و$0.720\,\%$ $\ce{^{235}U}$؛ وكتلتاهما تختلفان بنحو $1\,\%$، فخذ هذه كسور كتل)، ولكل كيلوغرام من البوتاسيوم الطبيعي، الذي يشكّل $\ce{^{40}K}$ فيه $0.0117\,\%$ من الذرات (خذ كتلة ذرة $\ce{^{40}K}$ تساوي $39.96/39.10$ مرة متوسط كتلة ذرة البوتاسيوم).

حل

حل التمرين 10.3.

اليورانيوم: $0.99274\times9.513 \times 10^{-5} + 0.00720\times5.685 \times 10^{-4} = 9.444 \times 10^{-5} + 4.09 \times 10^{-6} = 9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$؛ يوفّر النظير النادر $\ce{^{235}U}$ منه $4\,\%$. والبوتاسيوم: كسر الكتلة ل$\ce{^{40}K}$ هو $1.17 \times 10^{-4}\times39.96/39.10 = 1.196 \times 10^{-4}$، إذن $1.196 \times 10^{-4}\times2.847 \times 10^{-5} = 3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

تمرين 10.4 ★

حوّل المقاطع للمقاطعات الثلاث، 0.8 و$1.4$ و$0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$، إلى $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ ($1\,\mathrm{cal} = 4.184\,\mathrm{J}$). وتنبّأ بتدفّق الحرارة السطحي فوق غرانيت إنتاجه الحراري $3.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ في كل مقاطعة.

حل

حل التمرين 10.4.

$1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.184 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}/10^{-4}\,\mathrm{m}^{2} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: شرق الولايات المتحدة $33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، ومنطقة الحوض و السلاسل $58.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، وسييرا نيفادا $16.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. وب$A_0D$ بوحدة $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ عندما تكون $A_0$ ب$\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ و$D$ ب$\mathrm{km}$: $33.5 + 3.0\times7.5 = 56.0\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، $58.6 + 3.0\times9.4 = 86.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، $16.7 + 3.0\times10 = 46.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. ويعطي الغرانيت نفسه تدفّقات حرارة تقريبًا ضعف في منطقة الحوض والسلاسل منها في سييرا نيفادا: فالفرق في الوشاح تحته.

تمرين 10.5 ★★

لقشرة إنتاج حراري منتظم قدره $2.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ في أعلى $10\,\mathrm{km}$، ولا شيء تحته، وموصلية $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$، وتدفّق حرارة سطحي $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، وحرارة سطح $10{}^{\circ}\mathrm{C}$. احسب الحرارة عند $10\,\mathrm{km}$، وتدفّق الحرارة تحت الطبقة المشعّة، والحرارة عند موهو، على عمق $35\,\mathrm{km}$.

حل

حل التمرين 10.5.

$T(10\,\text{كم}) = 10 + \frac{0.060\times10^4}{2.5} - \frac{2 \times 10^{-6}\times10^8}{2\times2.5} = 10 + 240 - 40 = 210{}^{\circ}\mathrm{C}$. تحت ذلك، $q_m = 60 - 2.0\times10 = 40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، بتدرّج قدره $16\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$، و $T(35\,\text{كم}) = 210 + 16\times25 = 610{}^{\circ}\mathrm{C}$.

تمرين 10.6 ★★

يعبر ثقب $300\,\mathrm{m}$ من الصخر الطيني ($k = 1.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$)، ثم الغرانيت ($k = 3.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). ودرجات الحرارة التوازنية هي $12.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ عند السطح، و$24.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ عند $300\,\mathrm{m}$، و$34.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ عند $800\,\mathrm{m}$. احسب التدرّج وتدفّق الحرارة في كل صخرة، والمقاومة الحرارية عند $300\,\mathrm{m}$ وعند $800\,\mathrm{m}$، وميل مخطط بولارد. هل تدفّق الحرارة ثابت؟

حل

حل التمرين 10.6.

الصخر الطيني: التدرّج $12.0/0.300 = 40\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$، $q = 1.5\times0.040 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. الغرانيت: $10.0/0.500 = 20\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$، $q = 3.0\times0.020 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. $R(300) = 300/1.5 = 200\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$، $R(800) = 200 + 500/3.0 = 366.7\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. النقاط الثلاث $(0, 12.0)$، $(200, 24.0)$، $(366.7, 34.0)$ على استقامة واحدة، بميل $22.0/366.7 = 0.0600\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: تدفّق الحرارة هو نفسه، $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، في الصخرتين؛ يتغيّر التدرّج وحده، بنسبة عكسية للموصلية.

تمرين 10.7 ★★

مع $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، احسب زمن التوصيل المميّز من أجل $L = 1\,\mathrm{m}$، و$10\,\mathrm{m}$، و$100\,\mathrm{km}$، و$2900\,\mathrm{km}$، بوحدة مناسبة لكل منها. وأي دورات الحرارة السطحية ما زالت تُحسّ على عمق $10\,\mathrm{m}$ تحت الأرض؟ قارن الزمن الأخير بعمر الأرض.

حل

حل التمرين 10.7.

$\tau = L^2/\kappa$: $1\,\mathrm{m}$، $10^{6}\,\mathrm{s}$ أو $12$ يومًا؛ $10\,\mathrm{m}$، $10^{8}\,\mathrm{s}$ أو $3.2$ سنوات؛ $100\,\mathrm{km}$، $10^{16}\,\mathrm{s}$ أو $317\,\mathrm{Myr}$؛ $2900\,\mathrm{km}$، $8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$ أو $267\,\mathrm{Gyr}$. وعلى $10\,\mathrm{m}$ لا يُحسّ التغيّر اليومي البتّة، والتغيّر السنوي، الأقصر من السنوات الثلاث اللازمة لعبور $10\,\mathrm{m}$، لا يصل إلا ضعيفًا جدًا: لا تصل إلا التغيّرات التي تدوم سنوات أو أكثر. والزمن الأخير هو $267/4.54 = 59$ ضعف عمر الأرض.

تمرين 10.8 ★★

منحنى الوشاح الأديباتي عند $1646\,\mathrm{K}$ على عمق $50\,\mathrm{km}$، وتدرّجه هناك $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$، ينخفض إلى $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ عند $410\,\mathrm{km}$. (أ) امدّده إلى السطح بتدرّج $50\,\mathrm{km}$، واعطِ درجة الحرارة الكامنة بالكلفن وبالدرجات المئوية. (ب) قدّر الحرارة عند $410\,\mathrm{km}$ بمتوسط التدرجين، وقارنها ب$1799\,\mathrm{K}$ المنشورة مباشرةً فوق الانفصال.

حل

حل التمرين 10.8.

(أ) $1646 - 0.54\times50 = 1619\,\mathrm{K}$، أي $1346{}^{\circ}\mathrm{C}$، وهو المنشور $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$ مقرَّبًا. (ب) متوسط التدرّج $(0.54 + 0.36)/2 = 0.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$، إذن $1646 + 0.45\times360 = 1808\,\mathrm{K}$، أي $9\,\mathrm{K}$ ($0.5\,\%$) فوق $1799\,\mathrm{K}$: التدرّج لا ينخفض خطيًا، لكن التقدير قريب.

تمرين 10.9 ★★

قاع نصف فضاء مبرَّد من حرارة موحّدة $T_0$، وسطحه عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$، له بعد زمن $t$ تدرّج السطح $G = T_0/\sqrt{\pi\kappa t}$ (مقبولًا). (أ) عبّر عن $t$ بدلالة $G$. (ب) بقيم كلفن، $T_0 = 3900{}^{\circ}\mathrm{C}$، $\kappa = 1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ و$G = 1/50$ من درجة فهرنهايت لكل قدم، احسب $G$ ب$\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ والعمر. (ج) أعد الحساب مع $T_0 = 1300{}^{\circ}\mathrm{C}$، و$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ و$G = 36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

حل

حل التمرين 10.9.

(أ) $G^2 = T_0^2/(\pi\kappa t)$ يعطي $t = T_0^2/(\pi\kappa G^2)$. (ب) $G = 0.02\times\tfrac59\,\mathrm{K}/0.3048\,\mathrm{m} = 0.036\,45\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 36.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$؛ $t = 3900^2/(\pi\times1.2 \times 10^{-6}\times0.03645^2) = 1.521 \times 10^{7}/5.009 \times 10^{-9} = 3.04 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$، أي $96\,\mathrm{Myr}$، وهو رقم كلفن. (ج) $t = 1300^2/(\pi\times10^{-6}\times0.036^2) = 4.15 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 13\,\mathrm{Myr}$: حرارة ابتدائية أكثر واقعية تجعل الأرض الموصِّلة أحدث أيضًا.

تمرين 10.10 ★★★

تُنحت منطقة: يُزال سمك $e$ من أعلى كل جسم متطفّل، مع بقاء تدفّق الحرارة العميق $q_m$ دون تغيير. (أ) في النموذج الأسّي، بيّن أن إنتاج الحرارة السطحي الجديد وتدفّق الحرارة الجديد، $A_0'$ و$q_0'$، يحققان ما زالا $q_0' = q_m + A_0'D$. (ب) في نموذج الطبقة المنتظمة ذات السمك $h$، بيّن أن جسمًا منحوتًا ب$e$ يقع على خط ميله $h - e$. (ج) نُحتت أجسام منطقة واحدة بمقادير مختلفة. أيّ النموذجين يتنبأ بأنها ما زالت تقع على خط واحد؟

حل

حل التمرين 10.10.

(أ) بعد النحت يصبح السطح الجديد هو العمق القديم $e$، حيث كان إنتاج الحرارة $A_0' = A_0e^{-e/D}$، وتدفّق الحرارة $q(e) = q_m + A_0De^{-e/D} = q_m + A_0'D$؛ ومقيسًا من السطح الجديد، ما زال الإنتاج يتناقص ك$A_0'e^{-z'/D}$. ويتحرّك الجسم نحو الأسفل على الخط نفسه. (ب) الطبقة صارت الآن سمكها $h - e$ بال$A$ نفسه، إذن $q_0' = q_m + A(h - e)$: على خط ميله $h - e$ يمرّ ب$q_m$. (ج) النموذج الأسّي وحده: ففي نموذج الطبقة المنتظمة، ستقع أجسام نُحتت بأعماق مختلفة على خطوط بميول مختلفة، وتتبعثر نقاط منطقة واحدة. وأن يُلاحظ خط واحد يرجّح إنتاجًا يتناقص تقريبًا أسّيًا مع العمق.

تمرين 10.11 ★★★

في نموذج بيري (القضية 10.14) خذ $R = 6400\,\mathrm{km}$، و$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$، وحرارة داخلية ابتدائية $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$. (أ) احسب $\tau_P$ لأغطية سمكها $50\,\mathrm{km}$ و$100\,\mathrm{km}$. (ب) من أجل غطاء $50\,\mathrm{km}$، احسب تدفّق الحرارة السطحي في البداية وبعد $2\,\mathrm{Gyr}$. (ج) لنصف فضاء كلفن الموصِّل بالقيم نفسها ل$k$ و$T_0$، يكون تدفّق الحرارة السطحي $kT_0/\sqrt{\pi\kappa t}$: احسبه بعد $2\,\mathrm{Gyr}$، وقارن.

حل

حل التمرين 10.11.

(أ) $\tau_P = RL/(3\kappa)$: من أجل $50\,\mathrm{km}$، $6.4 \times 10^{6}\times5 \times 10^{4}/3 \times 10^{-6} = 1.07 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.4\,\mathrm{Gyr}$؛ ومن أجل $100\,\mathrm{km}$، $6.8\,\mathrm{Gyr}$. (ب) $q = kT_i/L = 3\times1300/5 \times 10^{4} = 78\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ في البداية، و$78\,e^{-2/3.38} = 43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ بعد $2\,\mathrm{Gyr}$. (ج) $3\times1300/\sqrt{\pi\times10^{-6}\times6.31 \times 10^{16}} = 3900/4.45 \times 10^{5} = 8.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: فالأرض الممزوجة جيدًا ما زالت تفقد حرارة أكثر بخمسة أضعاف بعد مليارَي سنة. فكامل داخلها يغذّي السطح، بينما لا يفعل ذلك في أرض موصِّلة إلا قشرة خارجية.

تمرين 10.12 ★★★

تدفّق الحرارة السطحي لنصف فضاء يبرد هو $q = k\,\Delta T/\sqrt{\pi\kappa t}$ (التمرين 10.9). (أ) مع $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$، و$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ و$\Delta T = 1336\,\mathrm{K}$ (من الحرارة الكامنة إلى قاع بحر عند نحو $10{}^{\circ}\mathrm{C}$)، احسب الثابت $C$ للعلاقة $q = C/\sqrt t$، مع $t$ بالملايين من السنين، وقارنه ب$490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ المطابَقة للمعطيات. (ب) مع $C = 490$، أعطِ تدفّق الحرارة عند $1\,\mathrm{Myr}$، و$10\,\mathrm{Myr}$، و$100\,\mathrm{Myr}$. (ج) تقع متساوية $1200{}^{\circ}\mathrm{C}$ في شكل متساويات التبريد حيث $z = 2\times1.163\sqrt{\kappa t}$؛ احسب عمقها عند $100\,\mathrm{Myr}$.

حل

حل التمرين 10.12.

(أ) $\sqrt{\pi\kappa\times1\,\mathrm{Myr}} = \sqrt{\pi\times10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}} = 9957\,\mathrm{m}$، إذن $C = 3\times1336/9957 = 0.403\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ من أجل $t$ بال Myr، $403\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$: $82\,\%$ من ال$490$ المطابَقة. ويحتاج النموذج إلى $k\,\Delta T$ أكبر (نحو $4900\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}$): موصلية أعلى للوشاح، أو داخل أسخن، كما على المنحنى الأديباتي. (ب) $490/\sqrt1 = 490$، $490/\sqrt{10} = 155$ و$490/\sqrt{100} = 49\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ج) $z = 2.326\sqrt{10^{-6}\times3.156 \times 10^{15}} = 2.326\times56\,180\,\mathrm{m} = 131\,\mathrm{km}$.

10.7 مسألة: صخور ساخنة تحت الأجسام المتطفّلة

مسألة 10.1

مسألة نهاية الأسبوع — تدفّق الحرارة وإنتاج الحرارة لخمسة أجسام غرانيتية متطفّلة، والعلاقة الخطية، وحرارة القشرة العميقة

حُفرت خمسة أجسام غرانيتية متطفّلة من منطقة واحدة. وفي كل ثقب سُجّلت درجة الحرارة التوازنية عند $100\,\mathrm{m}$ و$500\,\mathrm{m}$، وقيست موصلية الغرانيت على العينات اللبّية؛ وحُلِّلت محتوياته من اليورانيوم والثوريوم والبوتاسيوم على عينات سطحية. وكثافة الغرانيتات الخمسة كلها $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

الجسم	$T$ عند $100\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$T$ عند $500\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$k$ ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$)	U، Th (ppm)	K ($\%$)
A	13.1	19.2	2.9	2.0, 8	3.0
B	12.4	20.2	2.6	3.5, 14	3.5
C	13.6	21.4	3.1	5.0, 18	4.0
D	12.9	23.1	2.7	7.0, 25	4.2
E	14.2	25.5	3.0	10.0, 35	4.5

استعمل حرارات العناصر $9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (U)، و$2.63 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (Th) و$3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (K). وتحت الأجسام المتطفّلة، خذ $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ للقشرة كلها، وحرارة سطح $10{}^{\circ}\mathrm{C}$.

الجزء الأول — تدفّق الحرارة.

1. احسب ميل الحرارة في كل ثقب.
2. لماذا يجب تسجيل الحرارة بعد الحفر بأسابيع أو شهور، ولماذا يُستبعد أعلى $100\,\mathrm{m}$؟
3. احسب تدفّق الحرارة عند كل جسم.
4. قارنها بمتوسط تدفّق الحرارة القاري، $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
5. ميلا B وC متساويان. فلماذا لا يتساوى تدفّقاهما؟
6. تقع الأجسام تحت التلال. هل يرفع التضاريس أم يخفض التدرّج المقاس تحت القمة؟ (فكّر في شكل متساويات الحرارة.)

الجزء الثاني — إنتاج الحرارة والخط.

7. احسب إنتاج الحرارة الناتج عن اليورانيوم في كل جسم.
8. الشيء نفسه للثوريوم.
9. الشيء نفسه للبوتاسيوم.
10. اجمعها لتحصل على $A_0$ لكل جسم. أيّ العناصر تسهم بأقل قدر؟
11. ارسم $q_0$ بدلالة $A_0$. هل تقع النقاط قرب خط مستقيم؟
12. احسب متوسطي $A_0$ و$q_0$، والمجموعين $\sum (A_0 - \bar A_0)^2$ و$\sum (A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0)$.
13. استنتج خط المربعات الصغرى $q_0 = q_m + D A_0$: ميله $D$ (بوحدة $\mathrm{km}$) ومقطعه $q_m$.
14. قارن $D$ و$q_m$ بالمقاطعات الثلاث في الفصل. أيّ منها تشبه هذه المنطقة؟

الجزء الثالث — المنحنى الحراري تحت الجسم E. قرّب $D$ إلى $10\,\mathrm{km}$ و$q_m$ إلى $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، وخذ للجسم E القيمة المقرّبة $A_0 = 5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$.

15. اكتب المنحنى الحراري $T(z)$ من المبرهنة 10.10 بهذه القيم.
16. احسب تدفّق الحرارة عند $10\,\mathrm{km}$، و$20\,\mathrm{km}$، و$35\,\mathrm{km}$.
17. ما كسر تدفّق الحرارة السطحي فوق E الآتي من تحت الطبقة المشعّة؟
18. احسب الحرارة عند $10\,\mathrm{km}$.
19. احسب الحرارة عند $20\,\mathrm{km}$.

الجزء الرابع — القشرة العميقة.

20. احسب حرارة موهو، على عمق $35\,\mathrm{km}$، تحت الجسم A ($A_0 = 1.35\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$).
21. بكم ترفع الطبقتان المشعّتان لA وE الحرارات العميقة؟ اشرح الفرق بين الجسمين.
22. تحت $50\,\mathrm{km}$، يكون $e^{-z/D}$ مهملًا. اعثر على عمق متساوية $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت الجسم E، وتحت الجسم A.
23. قارن هذه الأعماق بسمك الغلاف الصخري القاري الذي وُجد في الفصل 9.
24. ما حرارة موهو تحت الجسم E؟

حل

حل المسألة 10.1.

1. التدرّج $= (T_{500} - T_{100})/0.4\,\mathrm{km}$: A $15.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$، B $19.50$، C $19.50$، D $25.50$، E $28.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

2. يُخلّ الحفر بحرارة الصخر (يبرّد سائل الحفر جدران الثقب أو يسخّنها)، ويستغرق زوال الاضطراب أسابيع إلى شهور. أما أعلى عشرات الأمتار فتتبع الدورة الفصلية والتغيّرات الحديثة لحرارة السطح.

3. $q_0 = k\times$ التدرّج: A $2.9\times15.25 = 44.225\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، B $50.70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، C $60.45\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، D $68.85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، E $84.75\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

4. A إلى D أدنى من المتوسط القاري، وE أعلى منه ب$13.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، أي $20\,\%$.

5. تدفّق الحرارة هو الموصلية مضروبة في التدرّج: C يوصّل أفضل (3.1 مقابل 2.6)، فالتدرّج نفسه ينقل $19\,\%$ حرارة أكثر.

6. تتبع متساويات الحرارة التضاريس جزئيًا فقط: تحت القمة ترتفع أقل من السطح، فتتباعد تحتها، فيقلّ التدرّج المقاس (ويزيد تحت الوادي). ويلزم تصحيح للتضاريس قبل مقارنة الأجسام.

7. $\rho C_U H_U$: A $2650\times2.0 \times 10^{-6}\times9.85 \times 10^{-5} = 0.522\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$، B 0.914، C 1.305، D 1.827، E 2.610.

8. الثوريوم: A 0.558، B 0.976، C 1.255، D 1.742، E 2.439.

9. البوتاسيوم: A $2650\times0.030\times3.40 \times 10^{-9} = 0.270$، B 0.315، C 0.360، D 0.378، E 0.405.

10. $A_0$ = 1.35، 2.20، 2.92، 3.95 و$5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. يسهم البوتاسيوم بأقل قدر، من $20\,\%$ من المجموع في A إلى $7\,\%$ في E؛ ويتقاسم اليورانيوم والثوريوم الباقي بالتساوي تقريبًا.

11. نعم: النقاط الخمس ترتفع بانتظام، ضمن نحو $1.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ من خط مستقيم.

12. $\bar A_0 = 15.88/5 = 3.176$، $\bar q_0 = 308.975/5 = 61.795$؛ $\sum(A_0 - \bar A_0)^2 = 10.1681$؛ $\sum(A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0) = 101.146$.

13. $D = 101.146/10.1681 = 9.95$ (بوحدة $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ لكل $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$، أي بالكيلومتر): $D = 9.95\,\mathrm{km}$، و$q_m = 61.795 - 9.95\times3.176 = 30.20\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

14. الميل، نحو $10\,\mathrm{km}$، هو ميل المقاطعات الثلاث؛ وتدفّق الحرارة المخفّض، $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، قريب من $33\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ لشرق الولايات المتحدة: مقاطعة هادئة ذات وشاح بارد تحتها، بخلاف منطقة الحوض والسلاسل.

15. $q_m/k = 12\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ و$A_0D^2/k = 5.46 \times 10^{-6}\times10^{8}/2.5 = 218.4\,\mathrm{K}$: $T(z) = 10 + 12z + 218.4\,(1 - e^{-z/10})$، $z$ بالكيلومتر، $T$ ب${}^{\circ}\mathrm{C}$.

16. $q(z) = 30 + 54.6\,e^{-z/10}$: $50.1\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند $10\,\mathrm{km}$، $37.4$ عند $20\,\mathrm{km}$ و$31.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند $35\,\mathrm{km}$.

17. $30/84.6 = 35\,\%$: نحو ثلثي تدفّق الحرارة فوق E ينتج في طبقته المشعّة.

18. $T(10) = 10 + 120 + 218.4\times0.632 = 268{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. $T(20) = 10 + 240 + 218.4\times0.865 = 439{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. تحت A، $A_0D^2/k = 1.35\times100/2.5 = 54.0\,\mathrm{K}$: $T(35) = 10 + 420 + 54.0\times0.970 = 482{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. ب$A_0D^2/k$: $54\,\mathrm{K}$ تحت A و$218\,\mathrm{K}$ تحت E. تدفّق الحرارة العميق هو نفسه؛ والقشرة في E أغنى بمصادر الحرارة أربع مرات، والحرارة التي تنتجها يجب أن توصَّل صعودًا عبر الصخر نفسه، وهذا يحتاج إلى تدرّج أشدّ طوال الطريق.

22. $1300 = 10 + 218.4 + 12z$ يعطي $z = 89.3\,\mathrm{km}$ تحت E؛ $1300 = 10 + 54.0 + 12z$ يعطي $103.0\,\mathrm{km}$ تحت A.

23. يقع كلاهما ضمن مدى الغلاف الصخري القاري، من مئة كيلومتر أو أقل تحت المناطق الفتية إلى نحو $250\,\mathrm{km}$ تحت الكراتونات، نحو طرفه الرقيق: فمع تدفّق حرارة مخفّض قدره $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ وهذه الموصلية، يبلغ المنحنى الحراري الموصل حرارة الوشاح عند نحو $100\,\mathrm{km}$؛ وتحت الجسم الأكثر إشعاعًا، أبكر ب$14\,\mathrm{km}$.

24. $T(35) = 10 + 420 + 218.4\times(1 - e^{-3.5}) = 430 + 211.8$: موهو تحت الجسم E على $642{}^{\circ}\mathrm{C}$.