16الإجهاد والانفعال والريولوجيا

في ستينيات القرن العشرين، تسرّب سائل النفايات المضخوخ في بئر تصريف في مخزن روكي ماونتن أرسنال، قرب دنفر، عبر قاعدة بلورية متشققة بين $3.7\,\mathrm{km}$ و$7.0\,\mathrm{km}$ تحت السطح، وتلتها زلازل. وبقيت داخل الجزء من الصخر الذي ارتفع فيه ضغط السائل بأكثر من نحو $3.2\,\mathrm{MPa}$.

بعد نصف قرن حدث الشيء نفسه على نطاق أوسع في أوكلاهوما، حيث يُعاد ضخ الماء المالح المصاحب للنفط والغاز تحت الأرض. وفي الولاية وحولها، كان عدد الزلازل ذات القوة 3 فأكثر بين واحد وخمسة في السنة من 2005 إلى 2008، ثم 20 في 2009، و$585$ في 2014، و$888$ في 2015، أي أكثر من اثنين في اليوم؛ وهزّت هزّتان بقوة 5.7 و$5.8$ براغ عام 2011، وباوني عام 2016. ويمكن لأربعة آبار تصريف عالية الحجم وحدها أن تفسّر خُمس زلازل وسط الولايات المتحدة، وأن تُطلق بعضها على أكثر من $30\,\mathrm{km}$ بعيدًا.

لم يدفع الماء شيئًا جانبًا؛ بل رفع فقط ضغط السائل في مسامّ الصخر. فلماذا ينبغي لذلك أن يجعل صدعًا ينزلق؟ الجواب يحتاج إلى ثلاث أفكار، هي موضوع هذا الفصل: الإجهاد على مستوٍ داخل الصخر، والشرط الذي ينهار عنده المستوى، وأن ضغط سائل المسام يعاكس القوة التي تضغط الجانبين معًا. ومع هذه الأفكار، ومع قانون زحف للصخر الحار، يمكن أن نرسم مقاومة الغلاف الصخري كله بدلالة العمق.

ما تعرفه من قبل

تُطبَّق القوة الموزعة على سطح بقوتها لكل وحدة مساحة، بالباسكال؛ ويزداد الضغط في مائع ساكن مع العمق وفق $\rho g z$ (كتب الفيزياء). ويطيع النابض، والجسم الصلب في التشوّهات الصغيرة، قانون هوك: الانفعال متناسب مع الإجهاد، وثابت التناسب هو معامل يونغ؛ والمائع اللزج يقاوم بتناسب مع معدّل قصّه، وثابته هو اللزوجة. ويصف كتاب الفيزياء للسنة الجامعية الثالثة الإجهاد والانفعال في ثلاثة أبعاد بالموتّرات؛ وهذا الفصل يحتاج بعدين فقط. والمصفوفة المتماثلة $2\times2$ لها قيمتان ذاتيتان حقيقيتان ومتجهتان ذاتيتان متعامدتان (الرياضيات). وتعطي المنحنيات الحرارية في الفصل 10 درجة الحرارة عند العمق؛ وقد لُقيت الصدوع في الكتاب 1، الصف 7.

16.1 الإجهاد في بعدين

لنقطع صخرًا بالفكر على سطح مستوٍ صغير. فالصخر في جانب يضغط على الصخر في الجانب الآخر بقوة، والقوة لكل وحدة مساحة هي «الجهد» على ذلك السطح، بلغة كتب الفيزياء. واتجاهها ليس، في العموم، اتجاه العمودي على السطح.

تعريف 16.1 (الإجهاد العمودي)

على مستوٍ يمرّ بنقطة من الصخر، تملك القوة لكل وحدة مساحة التي يؤثّر بها الصخر في جانب على الجانب الآخر مركّبةً على العمودي على المستوى، هي الإجهاد العمودي $\sigma_n$، ومركّبةً على المستوى، هي إجهاد القص $\tau$. وفي علوم الأرض يُعدّ الإجهاد العمودي موجبًا حين يضغط.

وإشارة الاتفاق معاكسة لإشارة المهندس. وقد اختيرت لأن كل إجهاد تقريبًا في الأرض الصلبة ضغط: فثقل الصخر فوق يضغط على كل ما هو أسفله.

نعمل في مستوٍ شاقولي، بمحور $x$ أفقي ومحور $y$. وعلى مستوٍ عمودي على $x$ يكون الإجهاد العمودي $\sigma_{xx}$ وإجهاد القص $\sigma_{xy}$؛ وعلى مستوٍ عمودي على $y$ يكونان $\sigma_{yy}$ و$\sigma_{yx}$. وإجهادا القص متساويان: ففي مربع صغير، تصنع قوى القص على الجانبين الشاقوليين مزدوجة عزمها $\sigma_{xy}a\cdot a$ لجانب طوله $a$، وتلك على الجانبين الأفقيين مزدوجة $\sigma_{yx}a\cdot a$ تدور في الاتجاه المعاكس، ويدور المربع لو اختلفتا. فثلاثة أعداد تصف الإجهاد عند نقطة، وهي تكفي لإعطائه على كل مستوٍ.

قضية 16.2 (الإجهاد على مستوٍ مائل)

لنأخذ مستوًى ذا متجهة العمودي الوحدة $\vec n = (\cos\theta, \sin\theta)$، بزاوية $\theta$ من المحور $x$، ولتكن $\vec m = (-\sin\theta, \cos\theta)$ متجهة الوحدة على امتداد المستوى. فالإجهادان العمودي والقصّي عليه هما

$$\begin{align*} \sigma_n &= \sigma_{xx}\cos^2\theta + 2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta + \sigma_{yy}\sin^2\theta = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta, \\ \tau &= (\sigma_{yy}-\sigma_{xx})\sin\theta\cos\theta + \sigma_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = -\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta , \end{align*}$$

مع احتساب $\tau$ موجبًا على امتداد $\vec m$.

مبرهنة 16.3 (الإجهادات الرئيسية)

عند كل نقطة من الصخر يوجد مستويان متعامدان يكون فيهما إجهاد القص معدومًا. والإجهادان العموديان عليهما هما الأكبر والأصغر من بين كل الإجهادات العمودية على المستويات المارّة بالنقطة،

$$\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\Bigr)^2 + \sigma_{xy}^2}, \qquad \tan2\theta_p = \frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}},$$

حيث $\theta_p$ الزاوية من المحور $x$ إلى عمودي المستوى الذي يحمل $\sigma_1$.

تعريف 16.4 (الإجهادات الرئيسية؛ الإجهاد التفاضلي)

الإجهادات الرئيسية عند نقطة هي الإجهادات العمودية $\sigma_1 \ge \sigma_3$ على المستويين الخاليين من إجهاد القص، واتجاهاتها هي الاتجاهات الرئيسية. وفي ثلاثة أبعاد توجد ثلاثة، $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$، على ثلاثة مستويات متعامدة. والإجهاد التفاضلي هو $\sigma_1 - \sigma_3$، والإجهاد المتوسط في المستوى هو $(\sigma_1+\sigma_3)/2$.

أسهل قراءة لحالة الإجهاد تكون في اتجاهاتها الرئيسية. فإذا قِسنا الزاوية $\theta$ من اتجاه $\sigma_1$ بدلًا من المحور $x$، تفقد الصيغ حدّيها الأخيرين.

قضية 16.5 (دائرة موهر)

على مستوٍ يصنع عموديه الزاوية $\theta$ مع اتجاه $\sigma_1$،

$$\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos2\theta, \qquad |\tau| = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\,|\sin2\theta| .$$

كلّما دار $\theta$ انتقلت النقطة $(\sigma_n, |\tau|)$ على النصف العلوي من الدائرة التي مركزها $((\sigma_1+\sigma_3)/2,\, 0)$ ونصف قطرها $(\sigma_1-\sigma_3)/2$، عند الزاوية $2\theta$ من طرفها $\sigma_1$. وأكبر إجهاد قصّ، وهو $(\sigma_1-\sigma_3)/2$، يؤثّر على المستويات التي تصنع زاوية $45{}^{\circ}$ مع الاتجاهات الرئيسية.

لا تُخبر إشارة $\tau$ إلا عن الاتجاه الذي سينزلق فيه الجانبان، ولذلك يُرسم النصف العلوي من الدائرة وحده عادةً. وقد سُمّي هذا الإنشاء باسم المهندس كريستيان أوتو موهر، الذي بنى عليه أيضًا معيارًا للانهيار، وهو ما نتّجه إليه (القسم 16.3).

الإجهاد عند العمق

تعريف 16.6 (ضغط الصخور العلوي، وضغط سائل المسام، والإجهاد الفعّال)

على العمق $z$، يكون ثقل الصخر الذي فوقه، لكل وحدة مساحة أفقية، هو الإجهاد الشاقولي $\sigma_v = \int_0^z\rho g\,\mathrm dz'$، وهو $\rho g z$ في طبقة كثافتها $\rho$ منتظمة. وحين يكون الإجهاد هو نفسه في كل اتجاه ومساويًا له، يكون الصخر تحت الضغط الصخري الساكن. وضغط الماء أو النفط أو الغاز في مسامّ الصخر وشقوقه هو ضغط سائل المسام $P$؛ وهو هيدروستاتيكي، $P = \rho_w g z$، حين تتصل المسام بالسطح. والإجهاد الفعّال هو الإجهاد ناقص ضغط المسام، $\sigma' = \sigma - P$، على كل مستوٍ؛ و$\lambda = P/\sigma_v$ هي نسبة ضغط المسام.

في القشرة ذات الكثافة $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، يزداد الإجهاد الشاقولي بمقدار $2700\times9.81\times1000 = 26.5\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر، ويزداد ضغط المسام الهيدروستاتيكي بمقدار $9.81\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر: $\lambda = 1000/2700 = 0.37$. يدفع سائل المسام الحبيبات متباعدةً بالضغط نفسه في كل اتجاه؛ فلا يأخذ شيئًا من إجهاد القصّ، لكنه يقتطع $P$ من كل إجهاد عمودي. وحيث تكون المسامّ مغلقة، بالطين أو الملح مثلًا، يستطيع السائل أن يحمل جزءًا من ثقل الصخر الذي فوقه، فيرتفع $\lambda$ نحو 1.

الإجهاد في القشرة ليس صخريًّا ساكنًا. فالصفائح تدفع وتشدّ، والقشرة تنحني، والجبال تثقل جذورها، والإجهادات الأفقية تختلف عن الإجهاد الشاقولي. وقرب السطح، حيث لا يحمل الصخر إجهاد قصّ، يكون أحد الاتجاهات الرئيسية شاقوليًّا، كما يبيّن الفصل 17: ف$\sigma_v$ هو $\sigma_1$ أو $\sigma_2$ أو $\sigma_3$، والحالات الثلاث هي الطرق الثلاث التي تتحرّك بها الصدوع.

16.2 الانفعال

الإجهاد سبب، والانفعال هو ما يسجّله الصخر. فالحفريّة المستطيلة، والحصاة المفلطحة، والطبقة المقصّرة في طيّات كلها تقيس تغيّرًا في الشكل.

تعريف 16.7 (الاستطالة، والمطّ، وانفعال القصّ)

خطّ من المادة طوله $\ell_0$ تشوّه إلى الطول $\ell$ له الاستطالة $e = (\ell - \ell_0)/\ell_0$، والمطّ $S = \ell/\ell_0 = 1 + e$؛ والقِصَر استطالةٌ سالبة، ومطٌّ أقل من 1. وخطّان متعامدان كانا، وصارا يصنعان الزاوية $90{}^{\circ} - \psi$، قد قُصّا بالزاوية $\psi$، وانفعال القصّ هو $\gamma = \tan\psi$.

يكون الانفعال متجانسًا حين تتشوّه كل بقعة صغيرة من الصخر بالطريقة نفسها. فالموضع الجديد $\vec x'$ للنقطة $\vec x$ دالّة خطّية، $\vec x' = F\vec x$، بمصفوفة ثابتة $2\times2$ هي $F$ (و$\det F > 0$، لأن الصخر لا ينقلب على داخله). وتبقى الخطوط المستقيمة مستقيمةً والمتوازية متوازيةً؛ فيتحوّل المربع إلى متوازي أضلاع، والدائرة إلى قطع ناقص.

قضية 16.8 (القطع الناقص للانفعال)

تحت الانفعال المتجانس $\vec x' = F\vec x$ تتحوّل الدائرة ذات نصف القطر 1 إلى قطع ناقص نصفا محوريه هما الجذران التربيعيان $S_1 \ge S_2$ للقيم الذاتية ل$FF^{\mathsf T}$، على متجهاتها الذاتية المتعامدة. و$S_1$ و$S_2$ هما أكبر المطّين وأصغرهما لجميع الخطوط المادية، وتُضرب المساحة في $\det F = S_1S_2$.

تعريف 16.9 (القطع الناقص للانفعال)

القطع الناقص للانفعال هو القطع الناقص الذي يحوّل فيه انفعال متجانس دائرةً نصف قطرها 1؛ ونصفا محوريه هما المطّان الرئيسيان $S_1 \ge S_2$، ومحوراه هما الاتجاهان الرئيسيان للانفعال.

ويمكن لانفعالين يغيّران شكل جسم بالقدر نفسه أن يكونا مختلفين جدًّا.

تعريف 16.10 (القصّ النقي، والقصّ البسيط)

القصّ النقي انفعال متجانس يحفظ المساحة ويُبقي اتجاهاته الرئيسية ثابتةً في الصخر: $F = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1/k\end{pmatrix}$ في تلك المحاور، مع $k > 1$. والقصّ البسيط ينقل كل نقطة موازيةً لاتجاه واحد، هو اتجاه القصّ، بمقدار $\gamma$ مضروبًا في بعدها عن مستوٍ ثابت يوازيه: $F = \begin{pmatrix} 1 & \gamma \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.

كلاهما يحفظ المساحة، لأن محدّد كلٍّ منهما يساوي 1. ففي القصّ النقي تبقى الخطوط المادية على محوري القطع الناقص للانفعال هي الخطوط نفسها في كل مرحلة: الانفعال متحاذي المحاور. أما في القصّ البسيط فلا تبقى كذلك، كما يبيّن الاقتراح التالي والشكل الذي يليه.

قضية 16.11 (القطع الناقص للقصّ البسيط)

القصّ البسيط $\gamma$ له المطّان الرئيسيان

$$S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2 ,$$

ويصنع المحور الطويل للقطع الناقص للانفعال مع اتجاه القصّ الزاوية $\theta'$ المعطاة ب$\tan2\theta' = 2/\gamma$.

يسجّل القطع الناقص للانفعال الانفعال الكلّي، أو النهائي. فالتشوّه الذي يستمرّ ملايين السنين هو مجموع زيادات صغيرة كثيرة، كل منها انفعال متناهٍ في الصغر؛ ولقيم $\gamma$ الصغيرة تعطي الصيغة السابقة $S_{1,2} \approx 1 \pm \gamma/2$ و$\theta' \approx 45{}^{\circ}$. وفي القصّ البسيط تمطّ الزيادات دائمًا أسرع ما يكون عند $45{}^{\circ}$ من اتجاه القصّ، بينما يدور القطع الناقص النهائي نحوه، إلى $31.7{}^{\circ}$ عند $\gamma = 1$، وإلى $22.5{}^{\circ}$ عند $\gamma = 2$، وأقرب فأقرب كلما كبرت $\gamma$. ولهذا تقع الحصى المفلطحة والمعادن المستطيلة في منطقة قصّ شديد تقريبًا في مستوى هذه المنطقة، وتقيس الزاوية التي تصنعها معها مدى تحرّك المنطقة.

16.3 الريولوجيا

تعريف 16.12 (الريولوجيا، والسلوك الهشّ والسلوك اللدن)

الريولوجيا لمادة هي طريقة تشوّهها وجريانها تحت الإجهاد: العلاقة بين الإجهاد والانفعال ومعدّل الانفعال. ويُظهر الصخر سلوكًا هشًّا حين يتشوّه بالكسر أو بالانزلاق على الكسور، على سطوح منفصلة، مع فقدان مفاجئ للمتانة؛ ويُظهر سلوكًا لدنًا حين يتشوّه بشكل دائم ومستمر عبر حجمه كله، دون أن يفقد التماسك.

تُظهر الصخور كل السلوكيات التي تحدّث عنها كتب الفيزياء. فتحت إجهادات صغيرة وقصيرة تكون مرنة: الانفعال متناسب مع الإجهاد، كما في قانون هوك، ويزول بزواله؛ وتنتقل الموجات الزلزالية (الفصل 9) عبر الصخر المرن. وعلى الأزمنة الطويلة يجري الوشاح الساخن كأنه سائل لزج جدًّا، ويزداد معدّل الانفعال مع الإجهاد. وبين الحالتين يتكسّر الصخر البارد وينزلق، ويزحف الصخر الدافئ. وأي السلوكين يغلب يتوقّف على الإجهاد ودرجة الحرارة والضغط والسائل في المسامّ والزمن المتاح.

الانهيار الهشّ

تعريف 16.13 (معيار كولوم للانهيار)

يخضع الصخر لمعيار كولوم للانهيار إذا انكسر مستوٍ يمرّ به، أو انزلق كسر موجود، بمجرد أن يبلغ على ذلك المستوى

$$\tau = C + \mu\,\sigma_n' , \qquad \sigma_n' = \sigma_n - P ,$$

حيث $C \ge 0$ هو التماسك للصخر، و$\mu$ هو معامل الاحتكاك الداخلي، و$\phi = \arctan\mu$ هي زاوية الاحتكاك الداخلي.

يحمل المعيار اسمي كولوم وموهر. وثوابته تُقاس على عيّنات في المختبر، وتختلف من صخر إلى آخر. فالكسر الموجود قد فقد التماسك: بالنسبة له $C = 0$، والاحتكاك عليه يكاد لا يتعلّق بالصخر (القضية 16.15)، مع $\mu$ بين 0.6 و$0.85$، وزاوية احتكاك بين $31{}^{\circ}$ و$40{}^{\circ}$.

مبرهنة 16.14 (زاوية الانهيار)

يَنكسر الصخر الذي يخضع لمعيار كولوم أولًا على المستويات التي تصنع الزاوية $45{}^{\circ} - \phi/2$ مع اتجاه $\sigma_1$، على جانبيه، وينكسر حين

$$\frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = C\cos\phi + \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2}\,\sin\phi .$$

مع $\phi = 30{}^{\circ}$ ينكسر الصخر على مستويات تصنع $30{}^{\circ}$ مع $\sigma_1$، والمستويان الممكنان يصنعان $60{}^{\circ}$ مع بعضهما، ويقسمهما $\sigma_1$ إلى نصفين. وهذه هي الزاوية بين الصدوع المترافقة التي تُرى في الحقل، والسبب، كما يبيّن الفصل 17، في أن الصدوع العادية تنحدر بشدّة، والدفعية بلطف.

أما الانزلاق على كسور موجودة فالتجربة تعطي الاحتكاك نفسه، وتعطيه ببساطة مدهشة.

قضية 16.15 (قانون بايرلي)

بالنسبة لمعظم الصخور، ينطلق الانزلاق على كسر أو صدع موجود حين يبلغ إجهاد القصّ

$$\tau = 0.85\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' < 200\,\mathrm{MPa}), \qquad \tau = 50\,\mathrm{MPa} + 0.6\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' > 200\,\mathrm{MPa}),$$

أيًّا كان نوع الصخر: وهذا هو قانون بايرلي.

القانون نتيجة تجربة لا نظرية. فقد قاس جيمس بايرلي، سنة 1975، مقاومة الكسر ومقاومة الاحتكاك لحجر رملي تحت ضغطين محيطي ومسامي، ووجد أن كليهما يتحكّم فيه الإجهاد الفعّال وحده، أي الفرق بين الضغطين؛ وتتغيّر مقاومة الكسر بما يصل إلى $20\,\%$ بحسب المادة الرابطة بين الحبيبات، لكن الاحتكاك لا يتعلّق بالصخر، وينطبق القانون نفسه على الغابرو والدونيت والسربنتينيت والغرانيت والحجر الجيري. ويلتقي الخطّان عند $\sigma_n' = 200\,\mathrm{MPa}$، حيث يعطي كلاهما $170\,\mathrm{MPa}$.

قانون الإجهاد الفعّال هو مفتاح افتتاح هذا الفصل. فرفع ضغط المسام بمقدار $\Delta P$ يخفّض كل إجهاد عمودي فعّال بالمقدار $\Delta P$، ويترك كل إجهاد قصّ كما كان: فتنزلق دائرة موهر نحو اليسار، دون أن يتغيّر حجمها، نحو خطّ الانهيار. وصدع كان آمنًا يمكن أن يُدفع إلى الانزلاق دون أي تغيّر في الإجهاد التكتوني. وإجهاد القصّ الحرج على صدع هو $\tau_c = \tau_0 + \mu(\sigma_n - P)$، والحقن يعمل على حدّه الأخير. وعند دنفر، اقتصرت الزلازل على الصخر الذي ارتفع فيه ضغط المسام بأكثر من نحو $3.2\,\mathrm{MPa}$، كأن هذا الارتفاع هو ما كانت الصدوع هناك تحتاجه.

طريقة 16.16 (اختبار صدع للانزلاق)

لتقرير ما إذا كان صدع على العمق $z$ سينزلق، وما الذي يجعله ينزلق:

1. أوجِد الإجهادات الرئيسية في المستوى العمودي على امتداد الصدع: $\sigma_v = \rho g z$، والإجهاد الأفقي، المقاس أو المفترض؛ وخذ ضغط المسام $P$ (هيدروستاتيكيًّا، $\rho_w g z$، إن لم يُعرف غير ذلك).
2. قِس الزاوية $\theta$ بين عمود الصدع واتجاه $\sigma_1$.
3. احسب $\sigma_n$ و$\tau$ على الصدع بالقضية 16.5، ثم $\sigma_n' = \sigma_n - P$.
4. قارن $\tau$ باحتكاك القضية 16.15: إذا كانت دونه بقي الصدع متماسكًا؛ و$\tau/\sigma_n'$ مقابل 0.85 يقيس الهامش.
5. ارتفاع ضغط المسام الذي يجعله ينزلق هو $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85$ على الفرع الأدنى من القانون ($\sigma_n' - (\tau - 50)/0.6$، بالميغاباسكال، على الفرع الأعلى).

الزحف اللدن

الصخر الحار لا ينتظر ليكسر. فوق بضع مئات من الدرجات في صخر غني بالكوارتز، وعند حرارات أعلى في الأوليفين، تتشوّه البلورات بالحركة البطيئة للعيوب عبر شبكتها، ويزحف الصخر بمعدّل يتزايد بشدّة مع الإجهاد ومع الحرارة.

قضية 16.17 (الزحف بقانون القوّة)

عند حرارة عالية يتدفّق الصخر الذي يتشوّه بالزحف بالخلع بمعدّل الانفعال

$$\dot\varepsilon = A\,(\sigma_1 - \sigma_3)^n \exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

حيث $T$ هي الحرارة المطلقة، و$P$ الضغط، و$R$ ثابت الغازات، و$A$ و$n$ و$E$ (طاقة التنشيط) و$V$ (حجم التنشيط) ثوابت للمادة تُقاس في المختبر. ولكي يجري بالمعدّل $\dot\varepsilon$ يحتاج إلى الإجهاد التفاضلي

$$\sigma_1 - \sigma_3 = \Bigl(\frac{\dot\varepsilon}{A}\Bigr)^{1/n} \exp\Bigl(\frac{E + PV}{nRT}\Bigr).$$

تأتي آليات هذا القانون في موضوع المجلد الثالث. وثوابته تأتي من التجارب؛ فبالنسبة للكوارتزيت الرطب يكون $n = 4$، و$E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$ و$A = 1.1 \times 10^{-4}$ (الإجهاد بالميغاباسكال، والزمن بالثواني)، وفق غليسون وتولّيس (1995)؛ وبالنسبة للأوليفين الجاف $n = 3.5$، $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$، $V = 18\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ و$A = 10^{5}$، وفق هيرث وكولستيدت (2003)؛ و$R = 8.314\,462\,618\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

يتعلّق شكلان من القانون بتشكيل الغلاف الصخري. فالإجهاد لا يتعلّق بالمعدّل إلا قليلًا: فالمعدّل الأسرع عشر مرات لا يطلب إلا $10^{1/4} = 1.78$ مرة من الإجهاد للكوارتزيت. وهو يتعلّق بالحرارة تعلّقًا شديدًا: فالأسّي يخفّض مقاومة الكوارتزيت بعدة أضعاف مع كل مئة درجة. معدّلات الانفعال الطبيعية بطيئة. فحزام من القشرة عرضه $300\,\mathrm{km}$ يمتص $1\,\mathrm{cm}$ من حركة الصفيحة في السنة يتشوّه بمعدّل $0.01/(3.16 \times 10^{7}\times3 \times 10^{5}) \approx 1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$، وهو المعدّل الذي سنستعمله.

في المختبر — قياس متانة الصخر

تقيس مختبرات ميكانيك الصخور المتانة في خلية ثلاثية المحاور. تُقتطع أسطوانة من الصخر وتُسوّى نهايتاها، وتُحاط بغلاف من مطاط أو معدن لين يمنع السائل المحيط من دخول مسامّها. وتوضع في وعاء ضغط سميك الجدران: الزيت حولها يضبط الضغط المحيط، وهو يقوم مقام $\sigma_2 = \sigma_3$؛ ويضغط مكبس على طرفيها ويضيف الحمل المحوري، $\sigma_1$. ويملأ خطّ منفصل المسامّ بالماء تحت ضغط خاص به، فيمكن تغيير الإجهاد الفعّال مع تثبيت الإجهاد الكلّي. وتسجّل الآلة القوة المحورية وقِصر العيّنة وهي تُحمَّل بمعدّل ثابت، حتى تنكسر، أو في عيّنة قُطعت مسبقًا بزاوية، حتى يبدأ القطع بالانزلاق. ويسخّن فرنٌ داخل الوعاء العيّنات للتجارب على الزحف، وهي تُجرى بمعدّلات انفعال أسرع بكثير من أي معدّل في الأرض، فيجب استقراؤها إليه.

16.4 قوّة الغلاف الصخري

على كل عمق يمكن أن ينهار الغلاف الصخري بطريقتين: بالانزلاق على الصدوع، بمقاومة تتزايد مع الضغط الفعّال، أو بالزحف، بمقاومة تنخفض كلما اشتدّت الحرارة. وهو يتشوّه بالطريقة التي تحتاج إلى الإجهاد الأصغر.

تعريف 16.18 (غلاف المتانة، والانتقال الهشّ–اللدن، والطبقة المولّدة للزلازل)

غلاف المتانة للغلاف الصخري هو المنحنى، بدلالة العمق، لأكبر إجهاد تفاضلي يتحمّله عند معدّل انفعال معيّن: على كل عمق، الأصغر من المتانة الاحتكاكية ومتانة الزحف. والانتقال الهشّ–اللدن هو العمق الذي تتساوى عنده الاثنتان: فوقه يتشوّه الصخر بالصدوع، وتحته بالزحف. والطبقة المولّدة للزلازل هي نطاق الأعماق التي تبدأ فيها أغلب الزلازل.

قضية 16.19 (المتانة الاحتكاكية بدلالة العمق)

في طبقة كثافتها $\rho$ مع ضغط مسام هيدروستاتيكي، وإجهاد رئيسي واحد شاقولي، وصدوع من كل اتجاه ودون تماسك، يبدأ الانزلاق باحتكاك $\mu$ عند الإجهاد التفاضلي

$$\begin{align*} \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} + \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{إذا كان $\sigma_v = \sigma_1$}, \\ \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} - \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{إذا كان $\sigma_v = \sigma_3$}, \end{align*}$$

مع $\lambda = \rho_w/\rho$: الحالة الأولى تعطي الصدوع العادية، والثانية الصدوع الدفعية.

مع $\mu = 0.85$ و$\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ يزداد $S$ بمقدار $16.7\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر، ويزداد الاحتكاك بمقدار $13.1\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر تحت الشدّ، و$61.3\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر تحت الضغط، أي نحو خمسة أضعاف: فالقشرة أسهل بكثير أن تُسحب من أن تُدفع معًا. وفوق إجهاد عمودي فعّال مقداره $200\,\mathrm{MPa}$ يحلّ الفرع العلوي من قانون بايرلي، فينخفض الميل، تحت الضغط، إلى نحو $35\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر.

يجمع الشكل أعلاه المقاومتين لغلافين صخريين. فالقارة لها المنحنى الحراري الوارد في الفصل 10 مع تدفّق حراري سطحي $55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$، وقشرة من كوارتزيت رطب سمكها $35\,\mathrm{km}$، وأوليفين جاف تحتها؛ وقاع المحيط عمره $60\,\mathrm{Myr}$، مع المنحنى الحراري لنصف الفضاء في الفصل نفسه، والأوليفين من قاع البحر إلى الأسفل. ومعدّل الانفعال هو $10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$. و$35\,\mathrm{km}$ هو متوسط عمق موهو تحت القارات في نموذج الأرض المرجعي الوارد في الفصل 9.

تحت القارة ينخفض الانتقال الهشّ–اللدن إلى $13.7\,\mathrm{km}$ تحت الضغط، عند $249{}^{\circ}\mathrm{C}$، وإلى $17.1\,\mathrm{km}$ تحت الشدّ. وقشرة أدفأ كانت سترفعه، وقشرة أبرد تخفضه، لأن قانون الزحف يتعلّق بالحرارة وحدها عند إجهاد معيّن. والانتقال هو أقوى مستوى في القشرة. وتحته تنهار المتانة: عند موهو، عند $527{}^{\circ}\mathrm{C}$، ينساب الكوارتزيت تحت $7.6\,\mathrm{MPa}$، بينما يحتاج الأوليفين عند الحرارة نفسها إلى نحو $30\,000\,\mathrm{MPa}$، أي أبعد بكثير من المتانة الاحتكاكية، فيصير أعلى الوشاح هشًّا من جديد. ويليه انتقال ثانٍ عند $44.6\,\mathrm{km}$ تحت الضغط. والقشرة السفلى في هذا النموذج طبقة ليّنة بين طبقتين قويتين: «ساندويتش الهلام». أما تحت المحيط فالغلاف الصخري كله أوليفين، وتزداد المتانة نزولًا حتى انتقال واحد عند $38.2\,\mathrm{km}$، عند $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

تتّفق الزلازل مع المغلّف المحيطي: داخل الصفائح المحيطية تبلغ الأعماق التي تكون فيها الحرارة $600\text{ ⁧إلى⁩ }800{}^{\circ}\mathrm{C}$، قريبًا من $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ وهي حرارة الانتقال الوحيد في النموذج. والزلازل الأعمق لا تقع إلا حيث تغوص صفيحة تحت أخرى، حتى عمق يزيد على $700\,\mathrm{km}$ (الفصل 14).

وفي الوشاح القاري تبقى الصورة موضع نزاع. فلنحو عشرين سنة كان «ساندويتش الهلام» هو الرأي السائد، استنادًا إلى قياسات مخبرية على الأوليفين الجاف وإلى زلازل قليلة يُظنّ أنها تقع تحت موهو. وفي 2002 رأى جيمس جاكسون أنه يجب التخلّي عنه: فقد أظهرت تحديدات أفضل للأعماق أن الزلازل في القارات محصورة في طبقة واحدة، عادةً القشرة العليا، وأحيانًا القشرة كلها، دون زلازل مقنعة في الوشاح تحتها، حتى حيث يكون موهو عند $300\text{ ⁧إلى⁩ }500{}^{\circ}\mathrm{C}$ فقط. وكميات صغيرة من الماء، بضعة أجزاء في المليون في الأوليفين، تكفي لإضعافه إضعافًا شديدًا، وقد يحمل الوشاح القاري قدرًا كهذا؛ فتكون متانة القارات عندئذ كامنة في قشرتها أساسًا. والرأيان يرسمان مغلّفين مختلفين من القوانين نفسها، مع أوليفين جاف أو رطب تحت موهو.

وأيًّا كان الصحيح، فالمغلّف حدّ وليس قياسًا: فقوانين المختبر تُستقرأ عبر عدّة مراتب من الكبر في معدّل الانفعال، والإجهادات القصوى التي يُظهرها، أكثر من غيغاباسكال، أعلى بكثير من $1\text{ ⁧إلى⁩ }10\,\mathrm{MPa}$ التي تُلاحظ الزلازل أنها تطلقها.

16.5 التمارين

تمرين 16.1 ★

خذ قشرة كثافتها $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ و$g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. على عمق $10\,\mathrm{km}$ احسب (أ) الإجهاد الشاقولي، (ب) ضغط المسام الهيدروستاتيكي، (ج) الإجهاد الفعّال الشاقولي ونسبة ضغط المسام $\lambda$.

حل

حل التمرين 16.1.

(أ) $\sigma_v = 2700\times9.81\times10\,000 = 2.65 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 264.9\,\mathrm{MPa}$. (ب) $P = 1000\times9.81\times10\,000 = 98.1\,\mathrm{MPa}$. (ج) $\sigma_v' = 264.9 - 98.1 = 166.8\,\mathrm{MPa}$، و$\lambda = 98.1/264.9 = 0.370$، وهو $1000/2700$.

تمرين 16.2 ★

(أ) تُمدّ طبقة طولها $10\,\mathrm{km}$ حتى $13\,\mathrm{km}$: أعطِ استطالتها ومطّها. (ب) طبقة أخرى طولها $10\,\mathrm{km}$ تُقصَّر إلى $7\,\mathrm{km}$. (ج) خطّان من صخر كانا متعامدين صارا يصنعان الآن زاوية $60{}^{\circ}$: ما القصّ الزاوي وانفعال القصّ؟

حل

حل التمرين 16.2.

(أ) $e = (13-10)/10 = 0.30$ و$S = 1.30$. (ب) $e = (7-10)/10 = -0.30$، أي قِصَر بنسبة $30\,\%$، و$S = 0.70$. (ج) الزاوية انغلقت بمقدار $\psi = 30{}^{\circ}$، و$\gamma = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

تمرين 16.3 ★

عند نقطة، $\sigma_1 = 100\,\mathrm{MPa}$ و$\sigma_3 = 40\,\mathrm{MPa}$. (أ) ارسم دائرة موهر. (ب) ما أكبر إجهاد قصّ، وعلى أيّ مستويات يؤثّر، وأيّ إجهاد عمودي يؤثّر عليها؟ (ج) احسب $\sigma_n$ و$\tau$ على المستوى الذي يصنع عموده الزاوية $30{}^{\circ}$ مع $\sigma_1$.

حل

حل التمرين 16.3.

(أ) المركز $70\,\mathrm{MPa}$، ونصف القطر $30\,\mathrm{MPa}$. (ب) أكبر إجهاد قصّ هو نصف القطر، $30\,\mathrm{MPa}$، على المستويات التي تصنع $45{}^{\circ}$ مع $\sigma_1$ و $\sigma_3$، وهي تحمل الإجهاد العمودي للمركز، $70\,\mathrm{MPa}$. (ج) $2\theta = 60{}^{\circ}$: $\sigma_n = 70 + 30\cos60{}^{\circ} = 85\,\mathrm{MPa}$ و $\tau = 30\sin60{}^{\circ} = 26.0\,\mathrm{MPa}$.

تمرين 16.4 ★

تملك الصخرة تماسكًا قدره $10\,\mathrm{MPa}$، وزاوية احتكاك داخلي قدرها $30{}^{\circ}$. (أ) عند أي زاوية مع $\sigma_1$ تنكسر، وما الزاوية التي تصنعها المستويان الممكنان للكسر مع بعضهما؟ (ب) مع $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$، ما الإجهاد الفعّال $\sigma_1'$ الذي يكسرها؟

حل

حل التمرين 16.4.

(أ) $45{}^{\circ} - 30{}^{\circ}/2 = 30{}^{\circ}$ مع $\sigma_1$، على جانبيه، فالمستويان الممكنان يصنعان $60{}^{\circ}$ مع بعضهما. (ب) مع $c' = 20 + r$، يقرأ شرط المبرهنة 16.14 $r = C\cos\phi + (20 + r)\sin\phi$، فإن

$$r = \frac{C\cos\phi + 20\sin\phi}{1 - \sin\phi} = \frac{8.66 + 10}{0.5} = 37.3\,\mathrm{MPa},$$

و$\sigma_1' = 20 + 2r = 94.6\,\mathrm{MPa}$.

تمرين 16.5 ★★

في المحورين $x$ (الأفقي) و$y$ (الشاقولي)، $\sigma_{xx} = 60\,\mathrm{MPa}$، و$\sigma_{yy} = 20\,\mathrm{MPa}$، و$\sigma_{xy} = 15\,\mathrm{MPa}$. (أ) احسب الإجهادات الرئيسية والزاوية $\theta_p$. (ب) تحقّق بالقضية 16.2 أن المستوى الذي عموده $\theta_p$ لا يحمل إجهاد قصّ، وأن إجهاده العمودي هو $\sigma_1$. (ج) ما أكبر إجهاد قصّ عند هذه النقطة؟

حل

حل التمرين 16.5.

(أ) $c = 40$ و$R = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\,\mathrm{MPa}$: $\sigma_1 = 65\,\mathrm{MPa}$ و$\sigma_3 = 15\,\mathrm{MPa}$؛ $\tan2\theta_p = 30/40 = 0.75$، $2\theta_p = 36.87{}^{\circ}$، $\theta_p = 18.43{}^{\circ}$. (ب) عند هذه الزاوية $\cos^2\theta = 0.9$، $\sin^2\theta = 0.1$ و$\sin\theta\cos\theta = 0.3$: $\sigma_n = 60\times0.9 + 2\times15\times0.3 + 20\times0.1 = 54 + 9 + 2 = 65\,\mathrm{MPa}$، و$\tau = (20-60)\times0.3 + 15\times(0.9-0.1) = -12 + 12 = 0$. (ج) $R = 25\,\mathrm{MPa}$، على المستويات التي تصنع $45{}^{\circ}$ مع الاتجاهات الرئيسية.

تمرين 16.6 ★★

عملت منطقة قصّ على تشويه صخرها بقصّ بسيط $\gamma = 2$. (أ) احسب المطّين الرئيسيين، وزاوية المحور الطويل للقطع الناقص للانفعال مع اتجاه القصّ. (ب) تحقّق أن المساحة لم تتغيّر. (ج) خطّ مادي كان يصنع $45{}^{\circ}$ مع اتجاه القصّ، ويصعد في اتجاهه: أين يقع الآن، وما مطّه؟ قارن ذلك ب(أ).

حل

حل التمرين 16.6.

(أ) $S_{1,2} = \sqrt{1 + 1} \pm 1$: $S_1 = 2.414$ و$S_2 = 0.414$؛ $\tan2\theta' = 2/2 = 1$، $\theta' = 22.5{}^{\circ}$. (ب) $S_1S_2 = (\sqrt2 + 1)(\sqrt2 - 1) = 1$، وهو $\det F$: لا تغيّر في المساحة. (ج) الخطّ على طول $(1, 1)$ يصير $F(1, 1) = (1 + 2, 1) = (3, 1)$، عند $\arctan(1/3) = 18.4{}^{\circ}$ من اتجاه القصّ، ومطّه $\sqrt{10}/\sqrt2 = 2.24$. لقد دار متجاوزًا المحور الطويل للقطع الناقص، الذي يقع عند $22.5{}^{\circ}$، نحو مستوى القصّ؛ ومطّه أقلّ قليلًا من $S_1$، كما يجب، لأن لا خطّ يُمطّ أكثر من $S_1$.

تمرين 16.7 ★★

في منطقة قصّ سمكها $200\,\mathrm{m}$، أصبحت بقع دائرية صغيرة في الأردواز قطوعًا ناقصة نسبة محاورها 4 إلى 1. افترض قصًّا بسيطًا دون تغيّر في المساحة. (أ) أوجد $S_1$ و$S_2$ و$\gamma$. (ب) عند أي زاوية مع جدران المنطقة ينبغي أن تقع المحاور الطويلة؟ (ج) إلى أي مدى تحرّك أحد الجدران متجاوزًا الآخر؟

حل

حل التمرين 16.7.

(أ) $S_1/S_2 = 4$ و$S_1S_2 = 1$ يعطيان $S_1 = 2$ و$S_2 = 0.5$؛ وبحسب القضية 16.11، $\gamma = S_1 - S_2 = 1.5$. (ب) $\tan2\theta' = 2/1.5 = 1.333$، $2\theta' = 53.1{}^{\circ}$: ينبغي أن تقع المحاور الطويلة عند $26.6{}^{\circ}$ من الجدران. (ج) $1.5\times200 = 300\,\mathrm{m}$.

تمرين 16.8 ★★

صدع على عمق $3\,\mathrm{km}$، في قشرة كثافتها $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، يحمل إجهادًا عموديًّا قدره $70\,\mathrm{MPa}$ وإجهاد قصّ قدره $30\,\mathrm{MPa}$. (أ) مع ضغط مسام هيدروستاتيكي، هل ينزلق وفق قانون بايرلي؟ (ب) وإذا كانت المسامّ مغلقة و$\lambda = 0.6$؟ (ج) أوجد قيمة $\lambda$ التي يبدأ عندها الانزلاق.

حل

حل التمرين 16.8.

$\sigma_v = 2700\times9.81\times3000 = 79.46\,\mathrm{MPa}$. (أ) $P = 29.43\,\mathrm{MPa}$، $\sigma_n' = 70 - 29.43 = 40.57\,\mathrm{MPa}$، و قانون بايرلي يسمح ب$0.85\times40.57 = 34.5\,\mathrm{MPa}$، وهو أكثر من $30\,\mathrm{MPa}$ المطبّقة: الصدع يثبت. (ب) $P = 0.6\times79.46 = 47.68\,\mathrm{MPa}$، $\sigma_n' = 22.32\,\mathrm{MPa}$، والاحتكاك لا يعطي إلا $19.0\,\mathrm{MPa}$: فالصدع ينزلق. (ج) $30 = 0.85\,(70 - 79.46\,\lambda)$ يعطي $\lambda = (70 - 35.29)/79.46 = 0.437$.

تمرين 16.9 ★★

استعمل قانون الزحف للكوارتزيت الرطب (القضية 16.17). (أ) بأي عامل يجب أن يرتفع الإجهاد ليجري أسرع عشر مرات؟ (ب) بأي عامل تنخفض متانته بين $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$500{}^{\circ}\mathrm{C}$، عند المعدّل نفسه ومع $V = 0$؟ (ج) فسّر بهاتين النتيجتين لماذا يتعلّق عمق الانتقال الهشّ–اللدن بالمنحنى الحراري أكثر بكثير من تعلّقه بمعدّل الانفعال.

حل

حل التمرين 16.9.

(أ) يتناسب الإجهاد مع $\dot\varepsilon^{1/4}$: $10^{1/4} = 1.78$. (ب) نسبة المتانتين هي

$$\exp\Bigl[\frac{E}{nR}\Bigl(\frac{1}{673.15} - \frac{1}{773.15}\Bigr)\Bigr] = \exp\bigl(6705\times1.921 \times 10^{-4}\bigr) = \exp(1.288) = 3.63 .$$

(ج) تغيّر المعدّل عشرة أضعاف يغيّر مقاومة الزحف بعامل 1.78، وهو ما تفعله الحرارة بتغيّر قدره $100\times\ln1.78/\ln3.63 \approx 45{}^{\circ}\mathrm{C}$ فقط؛ وعلى منحنى حراري قدره نحو $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ لكل كيلومتر، ينقل ذلك الانتقال بنحو $2\,\mathrm{km}$. وتغيّر المنحنى الحراري يحرّك متساويات الحرارة، ومعها الانتقال، أكثر بكثير.

تمرين 16.10 ★★★

حيث يكون الإجهاد الشاقولي هو $\sigma_2$، تكون الصدوع انزياحية أفقية. افترض أن الإجهاد الفعّال الشاقولي عندئذٍ هو المتوسط $(\sigma_1' + \sigma_3')/2$. (أ) بيّن أن الانزلاق باحتكاك $\mu$ دون تماسك يبدأ عند $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\mu\,\rho g z(1-\lambda)/\sqrt{1+\mu^2}$. (ب) احسب الميل بالميغاباسكال لكل كيلومتر من أجل $\mu = 0.85$ و $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، وضعه بين ميلي الصدع العادي والصدع الدفعي. (ج) عبّر عن كل من الأميال الثلاثة كمضاعف للإجهاد الفعّال الشاقولي.

حل

حل التمرين 16.10.

(أ) مع $C = 0$، ينزلق الصدع حين $r = \mu c'/\sqrt{1+\mu^2}$ (المبرهنة 16.14). هنا $c' = S = \rho g z(1-\lambda)$، فإن $\sigma_1 - \sigma_3 = 2r = 2\mu S/\sqrt{1+\mu^2}$. (ب) يزداد $S$ بمقدار $2700\times9.81\times1000\times(1 - 1000/2700) = 16.68\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر، و$2\times0.85/1.3124 = 1.295$: فالميل هو $21.6\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر، بين $13.1$ (للصدوع العادية) و $61.3\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر (للصدوع الدفعية). (ج) $2\mu/(k+\mu) = 0.786$، $2\mu/k = 1.295$ و$2\mu/(k-\mu) = 3.68$، مع $k = 1.3124$: الإجهاد التفاضلي عند الانزلاق هو 0.79 و$1.30$ و$3.68$ مرة الإجهاد الفعّال الشاقولي.

تمرين 16.11 ★★★

انمذج الغلاف الصخري المحيطي عمره $60\,\mathrm{Myr}$ كنصف فضاء بُرِّد من $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$، مع سطح عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $T = 1350\operatorname{erf}\bigl(z/(2\sqrt{\kappa t})\bigr)$. (أ) احسب $2\sqrt{\kappa t}$. (ب) أوجد أعماق متساوي الحرارة $600{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$800{}^{\circ}\mathrm{C}$. (ج) تبلغ الزلازل داخل الصفائح المحيطية الأعماق التي تكون فيها الحرارة $600\text{ ⁧إلى⁩ }800{}^{\circ}\mathrm{C}$. قارن ذلك بالانتقال الهشّ–اللدن في غلاف المتانة المحيطي في هذا الفصل، عند $38.2\,\mathrm{km}$ و$641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

حل

حل التمرين 16.11.

(أ) $t = 60\times10^{6}\times3.156 \times 10^{7} = 1.89 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ و $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{1.89 \times 10^{9}} = 87.0\,\mathrm{km}$. (ب) $\operatorname{erf}x = 600/1350 = 0.444$ من أجل $x = 0.417$: $z = 0.417\times87.0 = 36.3\,\mathrm{km}$؛ $\operatorname{erf}x = 800/1350 = 0.593$ من أجل $x = 0.586$: $z = 51.0\,\mathrm{km}$. (ج) ينبغي أن تبلغ الزلازل $36\text{ ⁧إلى⁩ }51\,\mathrm{km}$؛ ويضع المغلّف قاعدة الطبقة الهشّة عند $38.2\,\mathrm{km}$، ضمن ذلك المدى وقريبًا من أعلاه، وعند حرارة $641{}^{\circ}\mathrm{C}$، وهي ضمن المدى المرصود.

تمرين 16.12 ★★★

يقطع صخرًا كسور من كل اتجاه، تحتوي كلها اتجاه $\sigma_2$، دون تماسك واحتكاك 0.85. والإجهادات الرئيسية الفعّالة هي $\sigma_1' = 110\,\mathrm{MPa}$ و$\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$. (أ) بيّن أن بعض الكسور ينزلق. (ب) أوجد مدى الزاوية بين الكسور المنزلقة و$\sigma_1$. أيّها يقع في وسط المدى؟ (ج) حتى أي قيمة ل$\sigma_1'$، مع تثبيت $\sigma_3'$، يبقى كسر واحد على الأقل ينزلق؟

حل

حل التمرين 16.12.

(أ) $r = 45$ و$c' = 65\,\mathrm{MPa}$؛ المسافة من المركز إلى الخطّ $\tau = 0.85\sigma_n'$ هي $0.85\times65/1.3124 = 42.1\,\mathrm{MPa}$، أقلّ من نصف القطر: الدائرة تقطع الخطّ، والمستويات على القوس الذي فوقه تنزلق. (ب) مع $2\theta$ الزاوية من طرف $\sigma_1$، يحتاج الانزلاق إلى $45\sin2\theta \ge 0.85\,(65 + 45\cos2\theta)$، أي $45\sin2\theta - 38.25\cos2\theta \ge 55.25$، أو $59.06\sin(2\theta - 40.36{}^{\circ}) \ge 55.25$، حيث $40.36{}^{\circ} = \phi$. إذن $\sin(2\theta - \phi) \ge 0.9355$، و$2\theta - \phi$ بين $69.31{}^{\circ}$ و$110.69{}^{\circ}$، و$2\theta$ بين $109.67{}^{\circ}$ و$151.06{}^{\circ}$: العمودان يقعان بين $54.8{}^{\circ}$ و$75.5{}^{\circ}$ من $\sigma_1$، والكسور المنزلقة بين $14.5{}^{\circ}$ و$35.2{}^{\circ}$ من $\sigma_1$. ووسط المدى، $24.8{}^{\circ}$، هو $45{}^{\circ} - \phi/2$، المستوى الوارد في المبرهنة 16.14. (ج) لا ينزلق إلا ذلك المستوى حين تمسّ الدائرة الخطّ للتوّ: $r = \mu(20 + r)/k$، $r = 20\mu/(k - \mu) = 17/0.4624 = 36.8\,\mathrm{MPa}$، و$\sigma_1' = 20 + 2r = 93.5\,\mathrm{MPa}$.

16.6 مسألة: هل سينزلق الصدع؟

مسألة 16.1

مسألة نهاية الأسبوع: الإجهاد على صدع عادي عند عمق خمسة كيلومترات، وهامش أمانه، وارتفاع ضغط المسام الذي يجعله ينزلق

يمتدّ الصدع شمال–جنوب وينحدر بزاوية $60{}^{\circ}$ نحو الشرق. تبلغه بئر تصريف على عمق $5.00\,\mathrm{km}$، في قشرة كثافتها $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ تتّصل مسامّها بالسطح. ويعطي قياس في البئر الإجهاد الأفقي العمودي على الصدع، $75.0\,\mathrm{MPa}$؛ والإجهاد الأفقي على طول الامتداد يقع بينه وبين الإجهاد الشاقولي، فالمسألة ثنائية البعد في المستوى الشاقولي شرق–غرب. خذ $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، وماءً كثافته $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، وقانون بايرلي. أعطِ الإجهادات حتى $0.01\,\mathrm{MPa}$.

الجزء الأول — حالة الإجهاد.

1. احسب الإجهاد الشاقولي عند عمق الصدع.
2. احسب ضغط المسام الهيدروستاتيكي هناك، ونسبة $\lambda$.
3. أيّ الإجهادين هو $\sigma_1$ وأيّهما $\sigma_3$؟ وأيّ نوع من الصدوع تقود إليه حالة الإجهاد هذه؟
4. احسب الإجهاد التفاضلي، ومركز دائرة موهر ونصف قطرها.
5. احسب الإجهادات الرئيسية الفعّالة، ومركز الدائرة الفعّالة.
6. مع كون $x$ أفقيًّا نحو الشرق و$y$ شاقوليًّا، اكتب المركّبات الثلاث $\sigma_{xx}$ و$\sigma_{yy}$ و$\sigma_{xy}$. لماذا يكون $\sigma_{xy}$ معدومًا؟

الجزء الثاني — الإجهادات على الصدع.

7. أعطِ المتجهة الوحدة العمودية على الصدع في محاور السؤال 6، والزاوية $\theta$ بينها وبين $\sigma_1$.
8. احسب $\sigma_n$ و$\tau$ على الصدع بالقضية 16.2.
9. تحقّق من القيمتين بدائرة موهر: عند أي زاوية من طرف $\sigma_1$ يقع الصدع؟
10. احسب الإجهاد العمودي الفعّال على الصدع.
11. احسب النسبة $\tau/\sigma_n'$ وقارنها بالقيمة 0.85.
12. ما إجهاد القصّ الذي يجعل الصدع ينزلق تحت الإجهاد العمودي الفعّال الحالي؟ بكم ميغاباسكال يقصر عنه؟

الجزء الثالث — دائرة موهر وقانون بايرلي.

13. ارسم دائرة موهر الفعّالة وخطّ بايرلي بالمقياس.
14. احسب المسافة من مركز الدائرة إلى الخطّ وقارنها بنصف القطر. هل يستطيع أي مستوٍ يمرّ بالصخر أن ينزلق؟
15. أيّ مستوٍ سينزلق أولًا؟ أعطِ زاويته مع $\sigma_1$ وانحداره.
16. باستعمال القضية 16.19، احسب الإجهاد التفاضلي الذي تنزلق عنده الصدوع العادية على هذا العمق، وقارنه بميل $13.1\,\mathrm{MPa}$ لكل كيلومتر.
17. كم يجب أن ينخفض الإجهاد الأفقي حتى ينزلق المستوي الأفضل توجّهًا؟
18. كم يجب أن ينخفض حتى ينزلق صدع المسألة؟ اشرح لماذا يكون أدنى.

الجزء الرابع — الحقن.

19. اشرح لماذا يحرّك ارتفاعُ ضغط المسام $\Delta P$ الدائرةَ الفعّالة بمقدار $\Delta P$ نحو اليسار دون أن يغيّر نصف قطرها.
20. احسب ارتفاع ضغط المسام الذي يجعل المستوي الأفضل توجّهًا ينزلق.
21. البئر مملوءة بالماء. ما الضغط الإضافي الذي يجب أن تطبّقه المضخة عند رأس البئر لرفع ضغط المسام عند الصدع بذلك المقدار؟ وكم يعادل من عمود ماء؟
22. لو كان احتكاك الصدع 0.6 بدلًا من 0.85، هل كان سينزلق من قبل؟ ماذا يقول سكون الصدع عن احتكاكه؟
23. عند أي نسبة $\lambda$ ينزلق المستوي الأفضل توجّهًا؟
24. إلى رقم عشري واحد، وبالميغاباسكال، أي ارتفاع في ضغط المسام يجعل هذا الصدع ينزلق؟

حل

حل المسألة 16.1.

1. $\sigma_v = 2700\times9.81\times5000 = 132.44\,\mathrm{MPa}$.

2. $P = 1000\times9.81\times5000 = 49.05\,\mathrm{MPa}$، و $\lambda = 49.05/132.44 = 0.370$.

3. $\sigma_1 = \sigma_v = 132.44\,\mathrm{MPa}$، رأسيًّا، و $\sigma_3 = 75.00\,\mathrm{MPa}$، أفقيًّا شرق–غرب: القشرة تُمطّ شرقًا–غربًا تحت وزنها نفسه، وهي الحالة التي تقود إلى الصدوع العادية، ومنها هذا الصدع.

4. $\sigma_1 - \sigma_3 = 57.44\,\mathrm{MPa}$؛ المركز $(132.44 + 75.00)/2 = 103.72\,\mathrm{MPa}$؛ نصف القطر $28.72\,\mathrm{MPa}$.

5. $\sigma_1' = 132.44 - 49.05 = 83.39\,\mathrm{MPa}$، $\sigma_3' = 75.00 - 49.05 = 25.95\,\mathrm{MPa}$، والمركز $103.72 - 49.05 = 54.67\,\mathrm{MPa}$.

6. $\sigma_{xx} = 75.00\,\mathrm{MPa}$، $\sigma_{yy} = 132.44\,\mathrm{MPa}$ و$\sigma_{xy} = 0$: المحاور هي الاتجاهات الرئيسية، أحدها رأسيّ، فالمستويات العمودية عليها لا تحمل إجهاد قصّ.

7. على طول انحداره نحو الأسفل يسير الصدع على طول المتجهة الوحدة $(\cos60{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ})$، شرقًا ونزولًا؛ وعموده الصاعد هو $\vec n = (\sin60{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}) = (0.866, 0.500)$، عند $30{}^{\circ}$ من $x$. وزاوية عموده مع $\sigma_1$، على طول $y$، جيبُ تمامها 0.500: $\theta = 60{}^{\circ}$.

8. مع $30{}^{\circ}$ من $x$: $\sigma_n = 75.00\times0.75 + 132.44\times0.25 = 56.25 + 33.11 = 89.36\,\mathrm{MPa}$، و$\tau = (132.44 - 75.00)\times \sin30{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 57.44\times0.4330 = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

9. عند $2\theta = 120{}^{\circ}$ من طرف $\sigma_1$: $\sigma_n = 103.72 + 28.72\cos120{}^{\circ} = 103.72 - 14.36 = 89.36\,\mathrm{MPa}$ و$\tau = 28.72\sin120{}^{\circ} = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

10. $\sigma_n' = 89.36 - 49.05 = 40.31\,\mathrm{MPa}$.

11. $24.87/40.31 = 0.617$، أدنى من 0.85: الصدع يثبت.

12. $0.85\times40.31 = 34.26\,\mathrm{MPa}$؛ يقصر إجهاد القصّ عنه بمقدار $9.39\,\mathrm{MPa}$.

13. للدائرة مركز عند $54.67\,\mathrm{MPa}$ ونصف قطر $28.72\,\mathrm{MPa}$، من $25.95$ إلى $83.39\,\mathrm{MPa}$؛ وخطّ بايرلي هو $\tau = 0.85\,\sigma_n'$ (جميع الإجهادات العمودية هنا دون $200\,\mathrm{MPa}$)؛ والصدع هو النقطة $(40.31, 24.87)$، عند $120{}^{\circ}$ من طرف $\sigma_1$.

14. $0.85\times54.67/\sqrt{1 + 0.85^2} = 46.47/1.3124 = 35.41\,\mathrm{MPa}$، أكبر من نصف القطر، $28.72\,\mathrm{MPa}$: الدائرة كلها تقع تحت الخطّ، ولا يستطيع أي مستوٍ يمرّ بالصخر أن ينزلق.

15. $\phi = \arctan0.85 = 40.36{}^{\circ}$: المستوى الذي يصنع $45{}^{\circ} - \phi/2 = 24.8{}^{\circ}$ مع $\sigma_1$ الشاقولي، وينحدر بزاوية $65.2{}^{\circ}$.

16. $S = \sigma_v' = 83.39\,\mathrm{MPa}$ و $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\times0.85\times83.39/(1.3124 + 0.85) = 65.55\,\mathrm{MPa}$؛ والميل يعطي $13.11\times5 = 65.55\,\mathrm{MPa}$.

17. $\sigma_3 = 132.44 - 65.55 = 66.88\,\mathrm{MPa}$.

18. ينزلق الصدع حين $r\sin120{}^{\circ} = 0.85\,(c' + r\cos120{}^{\circ})$ مع $c' = (83.39 + \sigma_3')/2$ و$r = (83.39 - \sigma_3')/2$؛ وحلّ المعادلة يعطي $\sigma_3' = 17.18\,\mathrm{MPa}$، و$\sigma_3 = 66.23\,\mathrm{MPa}$. وهو أدنى من المستوى الأفضل: فالصدع لا يقع عند النقطة التي تمسّ فيها الدائرة الخطّ أولًا، لذلك يجب أن تكبر الدائرة أكثر قبل أن تبلغ نقطة الصدع نفسها.

19. كل إجهاد عمودي فعّال، بما فيه $\sigma_1'$ و$\sigma_3'$، ينخفض بمقدار $\Delta P$، وفرقهما لا يتغيّر؛ والإجهادات القصّية لا تتعلّق بضغط المسام إطلاقًا.

20. ينزلق المستوي الأفضل حين تتساوى المسافة مع نصف القطر: $0.85\,(54.67 - \Delta P)/1.3124 = 28.72$، فإن $\Delta P = 54.67 - 28.72\times1.3124/0.85 = 54.67 - 44.34 = 10.33\,\mathrm{MPa}$.

21. عمود الماء في البئر يزن كما كان من قبل، فيجب أن تضيف المضخة كامل $10.33\,\mathrm{MPa}$ عند رأس البئر، أي نحو 103 أضعاف الضغط الجوي. وهذا يعادل عمود ماء ارتفاعه $10.33 \times 10^{6}/(1000\times9.81) = 1053\,\mathrm{m}$.

22. مع $\mu = 0.6$ لا يستطيع الصدع أن يتحمّل إلا $0.6\times40.31 = 24.19\,\mathrm{MPa}$، أقلّ من $24.87\,\mathrm{MPa}$ التي يحملها: كان سينزلق من قبل. ولأنه ساكن، فاحتكاكه على الأقل $0.617$، أو أن له بعض التماسك.

23. ينزلق المستوي الأفضل توجّهًا حين يبلغ ضغط المسام $49.05 + 10.33 = 59.38\,\mathrm{MPa}$، أي $\lambda = 59.38/132.44 = 0.448$، وهو أدنى بكثير من القيمة 1 للضغط الصخري الساكن.

24. $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85 = 40.309 - 24.870/0.85 = 40.309 - 29.259 = 11.049\,\mathrm{MPa}$، أكبر من $10.33\,\mathrm{MPa}$ التي تحرّك صدعًا من أفضل توجّه. وإلى رقم عشري واحد، فارتفاع ضغط المسام الذي يجعل الصدع ينزلق هو $11.0\,\mathrm{MPa}$.