3علم الكواكب المقارن

تكاد الزهرة والأرض تكونان توأمين: فنصف قطر الزهرة $95\,\%$ من نصف قطر الأرض، وكتلتها $81\,\%$ من كتلتها. ومع ذلك فللأرض محيطات وغلاف جوي من النيتروجين والأكسجين وألواح تتحرك، بينما تُخفي الزهرة تحت الغيوم سطحًا حرارته $737\,\mathrm{K}$، أشدّ حرارةً من أيّ فرن مطبخ، ويسحقه غلاف جوي من ثاني أكسيد الكربون ضغطه $92\,\mathrm{bar}$. أما المريخ، وهو نصف حجم الأرض، فله غلاف جوي رقيق بارد، وبراكين عملاقة وأخاديد، لكن لا ألواح تتحرك فيه. وأبعد من ذلك، المشتري وزحل من الهيدروجين والهيليوم في معظمهما؛ أما أورانوس ونبتون ففي معظمهما جليد الماء والميثان والأمونياك. ومقارنة الكواكب هي السبيل الوحيد لاختبار ما نظنّ أننا نعرفه عن الأرض: لماذا باطنها متطبّق، ولماذا مناخها معتدل، ولماذا وحدها لها تكتونية الصفائح. يزن هذا الفصل الكواكب ويقيسها، ويقرأ باطنها من كثافاتها ومن توزيع كتلتها، ويقارن درجات حرارتها وأغلفتها الجوية، وينتهي بالأقمار والأجرام الصغيرة التي تحفظ سجلّ شباب المجموعة الشمسية.

ما تعرفه من قبل

تدور الكواكب حول الشمس على قطوع ناقصة، ومربّع دور تابعٍ يتناسب مع مكعب نصف محوره الأكبر (قانون كبلر الثالث، في كتاب الفيزياء للسنة الأولى، حيث يُعرَّف أيضًا عزم القصور الذاتي للجسم الصلب؛ وللكرة المنتظمة $I = \tfrac25MR^2$). والجسم الأسود يشعّ $\sigma T^4$ من كل وحدة مساحة (السنة الثانية). وقد وُصفت المجموعة الشمسية والكواكب الصخرية والعملاقة في الكتاب 1 (الصف 6)؛ أما الألبيدو ودرجة حرارة التوازن لكوكب فقد عُرفا في الكتاب 2 (الصف 10)، وأثر الدفيئة في الكتاب 1 (الصف 9).

3.1 وزن الكواكب وقياسها

يُقاس نصف قطر الكوكب من قطره الزاوي وبُعده، أو، لكوكب زارته مركبات فضائية، من قياسات الارتفاع بالرادار والليزر. أما كتلته فأصعب: إذ لا تُحسّ إلا بالجاذبية التي يمارسها على شيء آخر.

طريقة 3.1 (كتلة الكوكب من مدار تابعه)

من أجل تابع مهمل الكتلة على مدار شبه دائري نصف قطره (نصف المحور الأكبر) $a$ ودوره النجمي $T$ حول كوكب كتلته $M$:

1. حوّل $a$ إلى أمتار و$T$ إلى ثوانٍ؛
2. يعطي قانون كبلر الثالث $GM = 4\pi^2a^3/T^2$: هذا الجداء هو ما يقيسه المدار، وبدقة أكبر بكثير من $G$ نفسه؛
3. اقسم على $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ لتحصل على $M$.

ويُوزن كوكب بلا قمر (عطارد والزهرة) بالطريقة نفسها، من مدار مركبة فضائية تمرّ به أو من انحرافها.

مثال 3.2

آيو، أقرب أقمار المشتري الكبيرة، يدور على $a = 421.8 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ في $1.769\,138$ يومًا، أي $T = 152\,854\,\mathrm{s}$. فيكون

$$GM = \frac{4\pi^2\times(4.218 \times 10^{8}\,\mathrm{m})^3}{(152\,854\,\mathrm{s})^2} = 1.268 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}, \qquad M = \frac{1.268 \times 10^{17}}{6.6743 \times 10^{-11}} = 1.900 \times 10^{27}\,\mathrm{kg},$$

وهذا يوافق الكتلة الجدولية للمشتري، $1.898 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$، بدقة $0.1\,\%$. أما كتلة آيو نفسها، أي $4.7 \times 10^{-5}$ من كتلة المشتري، فمهملة؛ والزيادة الصغيرة تأتي من انتفاخ المشتري الاستوائي، الذي يجذب قمرًا قريبًا أشدّ قليلًا مما تجذبه كرةٌ لها الكتلة نفسها.

ومع الكتلة ونصف القطر تأتي الكثافة المتوسطة $\bar\rho = 3M/(4\pi R^3)$، وهي أول دليل على ما يتكوّن منه الكوكب. وتتوزّع كثافات الكواكب في مجموعتين (انظر الشكل أدناه): فعطارد والزهرة والأرض والمريخ تقع بين نحو $3900$ و$5500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، أي أكثف من أيّ صخر شائع؛ أما الكواكب الأربعة الخارجية فتقع بين $690$ و$1640\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، قرب كثافة الماء، وزحل أقلّ منه حتى.

لا تستطيع الكثافة المتوسطة وحدها أن تميّز كوكبًا مصنوعًا من مادة كثيفة واحدة من كوكب ذي مركز كثيف جدًا وغلاف أخفّ. أما العدد الثاني فيفعل ذلك: كيف تتوزّع الكتلة بين المركز والسطح.

تعريف 3.3 (عامل عزم القصور الذاتي)

عامل عزم القصور الذاتي للكوكب هو العدد

$$C = \frac{I}{MR^2} ,$$

حيث $I$ عزم قصوره الذاتي حول محور دورانه، و$M$ كتلته، و$R$ نصف قطره المتوسط. والكرة المنتظمة لها $C = \tfrac25 = 0.4$؛ وكوكب تزداد كثافته نحو المركز له $C < 0.4$، وكلما تركّزت الكتلة أكثر كانت القيمة أصغر.

يُقاس عزم القصور الذاتي من التمايل البطيء لمحور الدوران تحت جذب الشمس، مع تفلطح حقل جاذبية الكوكب. والقيم كاشفة: فالقمر، $C = 0.394$، شبه منتظم؛ والمريخ، $0.366$، والأرض، $0.3308$، طبقيّان بوضوح؛ والمشتري، $0.254$، وزحل، $0.210$، معظم كتلتهما متكدّس نحو مركزيهما.

3.2 ممَّ تتكوّن الكواكب

تعريف 3.4 (الكواكب الصخرية والعمالقة)

الكوكب الصخري كوكب يتكوّن في معظمه من صخور السيليكات والحديد، وله سطح صلب: عطارد والزهرة والأرض والمريخ. والكوكب العملاق كوكب أكبر من الأرض بأضعاف كثيرة، يتكوّن في معظمه من عناصر خفيفة ومركّباتها، وليس له سطح صلب. والعملاق الغازي كوكب عملاق يتكوّن في معظمه من الهيدروجين والهيليوم: المشتري وزحل. والعملاق الجليدي كوكب عملاق يتكوّن في معظمه من المركّبات التي يسمّيها الفلكيون جليدًا — الماء والميثان والأمونياك — تحت غلاف من الهيدروجين والهيليوم: أورانوس ونبتون.

تؤكّد الأغلفة الجوية التي تقيسها المسابير والتلسكوبات هذا التقسيم. فغلاف المشتري من الهيدروجين بنسبة $89.8\,\%$ ومن الهيليوم $10.2\,\%$ بالحجم، وغلاف زحل $96.3\,\%$ و$3.25\,\%$؛ أما أورانوس ففيه على الأقل $80\,\%$ من الكتلة سائل حارّ كثيف من الماء والميثان والأمونياك فوق لبّ صخري صغير. وتبقى الكثافة المتوسطة لعملاق غازي منخفضة رغم أن مركزه مضغوط بشدة، لأن الهيدروجين أخفّ العناصر؛ والعملاق الجليدي أكثف من زحل لأن جليده أثقل من الهيدروجين.

والكواكب الصخرية طبقية كالأرض: لبّ غنيّ بالحديد تحت وشاح من السيليكات وقشرة رقيقة. وأبسط نموذج يستعمل العددين المقيسين، أي الكثافة المتوسطة وعامل عزم القصور الذاتي، له طبقتان.

قضية 3.5 (الكوكب ذو الطبقتين)

نمذج كوكبًا نصف قطره $R$ بلبّ نصف قطره $xR$ وكثافته المنتظمة $\rho_c$ داخل وشاح كثافته المنتظمة $\rho_m$. وكثافته المتوسطة وعامل عزم قصوره الذاتي هما

$$\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^3 , \qquad C = \frac25\,\frac{\rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^5}{\bar\rho} .$$

إذا عُرفت $\bar\rho$ و$C$ وفُرضت كثافة الوشاح $\rho_m$، فإن نصف القطر النسبي للّبّ يتبع من:

$$x^2 = \frac{\tfrac52C\bar\rho - \rho_m}{\bar\rho - \rho_m} , \qquad \rho_c = \rho_m + \frac{\bar\rho - \rho_m}{x^3} .$$

للنموذج ثلاثة مجاهيل ومعطيان، لذلك يجب فرض أحدها، وهو كثافة الوشاح، مما تزنه صخور التركيب المناسب تحت الضغط. والجواب حسّاس لهذا الاختيار حين تقترب $C$ من $0.4$، لأن $\tfrac52C\bar\rho - \rho_m$ تصبح فرقًا صغيرًا بين عددين كبيرين (التمرين 3.10 والمسألة). ويهمل النموذج أيضًا ضغط الوشاح بوزنه الذاتي، وهو ما يرفع في كوكب بحجم الأرض كثافة الوشاح العميق كثيرًا فوق كثافة الصخور السطحية؛ أما بالنسبة إلى الأرض فالزلزال يفعل أفضل بكثير (الفصل 9). وقد فعلت مقاييس الزلازل المثبتة على المريخ الشيء نفسه لذلك الكوكب: فحيث يعطي الجدول الكوكبي نصف قطر لبّ قدره $1830\,\mathrm{km}$، تشير النتائج الحديثة إلى $1650\,\mathrm{km}$ إلى $1675\,\mathrm{km}$ فقط.

3.3 الأغلفة الجوية والأسطح

تتحدّد حرارة الكوكب أولًا بضوء الشمس الذي يمتصه. والشدة الإشعاعية $S$ على بُعد $d$ من الشمس تتناقص مع $1/d^2$ (القضية 2.11): $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند الأرض، و$2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند الزهرة، و$586\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند المريخ، و$50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند المشتري. ويرتدّ جزء منه مباشرةً إلى الخلف.

تعريف 3.6 (ألبيدو بوند)

ألبيدو بوند $A$ لكوكب هو الكسر من القدرة الكلية لضوء الشمس الساقط عليه الذي يعكسه ويبعثره إلى الفضاء، عبر كل الأطوال الموجية وكل الاتجاهات.

يعكس الثلج الطازج والغيوم الساطعة الكثير، ويعكس الصخر الداكن والبحر المفتوح القليل. والزهرة، المغلّفة بغيوم ساطعة، لها $A = 0.77$؛ والأرض $0.294$؛ والمريخ $0.250$؛ والقمر، وهو صخر رمادي داكن، $0.11$.

تعريف 3.7 (درجة حرارة التوازن)

درجة حرارة التوازن $T_\mathrm{eq}$ لكوكب هي الحرارة المنتظمة التي يشعّ عندها جسم أسود بحجم الكوكب إلى الفضاء القدرةَ نفسها التي يمتصها الكوكب من الشمس بالضبط.

قضية 3.8 (حساب درجة حرارة التوازن)

كوكب له ألبيدو بوند $A$ ويتلقى الشدة الإشعاعية $S$ يكون لديه

$$T_\mathrm{eq} = \left(\frac{S(1 - A)}{4\sigma}\right)^{1/4}, \qquad \sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4} .$$

بالقيم المذكورة أعلاه، تبلغ $T_\mathrm{eq}$ $255\,\mathrm{K}$ للأرض، و$227\,\mathrm{K}$ للزهرة، و$210\,\mathrm{K}$ للمريخ، و$270\,\mathrm{K}$ للقمر. والزهرة، مع أنها أقرب إلى الشمس، تخرج أبرد من الأرض: فغيومها تعكس ثلاثة أرباع ضوء الشمس. ويضع الشكل أدناه هذه القيم بجانب متوسطات الحرارة السطحية المقيسة. والفروق هي أثر الدفيئة، الذي تُكمله الفقرات التالية وفصول المناخ (الفصل 27) بالأرقام: نحو $33\,\mathrm{K}$ للأرض، ونحو $510\,\mathrm{K}$ للزهرة، ونحو $4\,\mathrm{K}$ فقط للمريخ.

ومتوسط حرارة القمر، نحو $253\,\mathrm{K}$، يقلّ عن درجة حرارة توازنه. وهذا ليس لغزًا: فبلا غلاف جوي ولا محيط يحمل الحرارة، يكون جانب النهار شديد الحرارة وجانب الليل شديد البرودة، ولأن الإشعاع يتزايد مع $T^4$، فإن جسمًا غير متساوي الحرارة يشعّ القدرة الممتصة بمتوسط حرارة أدنى من جسم منتظم الحرارة (التمرين 3.11).

يفعل الغلاف الجوي أمرين: يترك معظم ضوء الشمس ينفذ، ويمتص جزءًا من الأشعة تحت الحمراء التي تبعثها الأرض فيعيد بعضها نحو الأسفل. ومقدار تدفئته للسطح يتوقف على كمية الغاز الماص فوق كل متر مربع. والضغط السطحي يقيس ذلك بالضبط: $p = mg$ لعمود كتلته $m$ لكل متر مربع. وغلاف الزهرة، عند $92\,\mathrm{bar}$، فيه $96.5\,\%$ من ثاني أكسيد الكربون؛ أما غلاف المريخ، الذي لا يتجاوز $6.36\,\mathrm{mbar}$ في المتوسط، ففيه $95.1\,\%$ من ثاني أكسيد الكربون كذلك، لكنه يحمل نحو ستين مرة أقل من الغاز فوق كل متر مربع مما يحمله غلاف الأرض، وبخار ماء قليل جدًا. ولكلا الكوكبين غلاف من ثاني أكسيد الكربون؛ لكن أحدهما فقط غلافه سميك.

تحفظ الأسطح سجلّ ما شكّلها. فتتراكم الحفر الصدمية على كل سطح معرّض للفضاء، فالسطح المليء بالحفر، مثل معظم سطح القمر أو عطارد، قديم، والسطح القليل الحفر قد تجدّد: بتدفّقات الحمم، أو بالتعرية، أو بالصفائح التي تعيد قاع محيط الأرض إلى الوشاح. وتوجد السهول البركانية والبراكين على جميع الكواكب الصخرية. وتدل الصدوع والأخاديد والأحزمة المطوية على أن أغلفة الزهرة والمريخ الصخرية قد تشوّهت؛ لكن من بين الكواكب كلها لا تُظهر اليوم إلا الأرض غلافًا صخريًا مكسورًا إلى صفائح تتحرك ككتل صلبة، بظهرات حيث تتكوّن وخنادق حيث تغوص. ولا يزال يُناقش لماذا تنفرد الأرض بالتكتونية الصفائحية؛ ووجود الماء، الذي يُضعف الصخور، من الأسباب المطروحة.

3.4 الأقمار والأجرام الصغيرة

القمر، وقطره ربع قطر الأرض، كبير بالنسبة إلى تابع. وكثافته، $3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، قريبة من كثافة صخور وشاح الأرض، وعامل عزم قصوره الذاتي، القريب من $0.4$، يدلّان على أنه لا يملك على الأكثر إلا لبًّا حديديًا صغيرًا. وللكواكب العملاقة منظومات من الأقمار هي عوالم قائمة بذاتها (انظر الصورتين أدناه). آيو، أقرب أقمار المشتري الكبيرة الأربعة، هو أكثر العوالم نشاطًا بركانيًا في المجموعة الشمسية، بمئات البراكين، يُسخَّن بالمدّ الذي يرفعه فيه المشتري؛ والبركانية تجدّد سطحه أسرع مما تستطيع الاصطدامات أن تعلّمه بحفر كبيرة. أوروبا، كثافتها $3010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، صخر تحت قشرة من الجليد، وثمة أدلة قوية على محيط مالح تحت تلك القشرة. وغانيميد وكاليستو، كثافتاهما $1940$ و$1830\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، مؤلفان من صخر وجليد بكميات متقاربة. تيتان، أكبر أقمار زحل، هو القمر الوحيد الذي له غلاف جوي كثيف، معظمه نيتروجين مع قليل من الميثان، وهو العالم الوحيد غير الأرض الذي له أنهار وبحيرات وبحار على سطحه — من الميثان والإيثان السائلين؛ وهو يخفي على الأرجح محيطًا من الماء أيضًا.

تعريف 3.9 (الكويكب، والمذنب، والجرم عبر النبتوني)

الكويكب جرم صغير صخري أو معدني يدور حول الشمس، أصغر من أن يكون كوكبًا، وليس له غلاف الغاز والغبار الذي للمذنب؛ ومعظمها يدور بين المريخ والمشتري. والمذنب جرم صغير من جليد وغبار، فإذا قرّبه مداره من الشمس أطلق غازًا وغبارًا يكوّنان حوله غلافًا متوهجًا وذيولًا تمتدّ مبتعدةً عن الشمس. والجرم عبر النبتوني جرم في المجموعة الشمسية يقع مداره، في المتوسط، خارج مدار نبتون.

الأجرام عبر النبتونية في حزام كويبر، وهو منطقة على شكل قرص وراء نبتون، أجرام جليدية وصخرية بقيت من تكوّن الكواكب؛ وبلوتو، المصنّف كوكبًا قزمًا منذ 2006، واحد منها. والكويكبات بقايا منطقة لم يتكوّن فيها كوكب. وتسقط قطع من الكويكبات، وعدد قليل من قطع القمر والمريخ، على الأرض نيازك. وهي، إلى جانب ما أعادته المركبات الفضائية، العينات الوحيدة التي بين أيدينا لعوالم أخرى، وبعضها تغيّر قليلًا منذ تكوّن المجموعة الشمسية؛ أما أصنافها، وما تقوله عن تركيب الأرض وعن عمر المجموعة الشمسية، فموضوع الكتاب 2.

3.5 التمارين

تمرين 3.1 ★

للمشتري كتلة قدرها $1898.13 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ونصف قطر متوسط قدره $69\,911\,\mathrm{km}$. احسب كثافته المتوسطة وقارنها بكثافة الماء، $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

حل

حل التمرين 3.1.

$V = \tfrac43\pi(6.9911 \times 10^{7}\,\mathrm{m})^3 = 1.4313 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{3}$ و $\bar\rho = 1898.13 \times 10^{24}/1.4313 \times 10^{24} = 1326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، أي 1.33 مرة من كثافة الماء فقط، مع أن كتلة المشتري تفوق كتلة الأرض بنحو 318 مرة: فهو مكوّن في معظمه من أخفّ العناصر.

تمرين 3.2 ★

باستعمال شكل الكثافات ونصف القطر، صنّف عطارد وزحل وأورانوس والزهرة بين الكواكب الصخرية أو العمالقة الغازية أو العمالقة الجليدية، وبرّر كل اختيار بنصف قطره وكثافته.

حل

حل التمرين 3.2.

عطارد (نصف قطر $2440\,\mathrm{km}$، $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) والزهرة ($6052\,\mathrm{km}$، $5243\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) صغيران وأكثف من الصخر: كوكبان صخريان، من صخر وحديد. وزحل ($60\,268\,\mathrm{km}$، $687\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) ضخم وأخفّ من الماء: عملاق غازي، معظمه هيدروجين وهيليوم. وأورانوس ($25\,559\,\mathrm{km}$، $1270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) عملاق أصغر بكثير من زحل وأكثف منه بنحو الضعف: عملاق جليدي، ماؤه وميثانه وأمونياكه أثقل من الهيدروجين.

تمرين 3.3 ★

تتلقى الزهرة $2601.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ولها ألبيدو بوند قدره 0.77. احسب درجة حرارة توازنها. لماذا تقلّ عن درجة حرارة الأرض، مع أن الزهرة أقرب إلى الشمس؟

حل

حل التمرين 3.3.

$T_\mathrm{eq} = (2601.3\times0.23/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = (2.638 \times 10^{9})^{1/4} = 226.6\,\mathrm{K}$. تتلقى الزهرة ضوءًا من الشمس أكبر بنحو 1.9 مرة من الأرض، لكن غيومها تعكس $77\,\%$ منه: فهي لا تمتص إلا $2601.3\times0.23 = 598\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، في مقابل $1361\times0.706 = 961\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ للأرض.

تمرين 3.4 ★

رتّب القمر ($C = 0.394$)، والمريخ (0.366)، والأرض (0.3308)، والمشتري (0.254)، وزحل (0.210) من الأكثر انتظامًا إلى الأكثر تركّزًا في المركز. ما قيمة $C$ لكوكب تتركّز كتلته كلها في نقطة عند مركزه؟

حل

حل التمرين 3.4.

من الأكثر انتظامًا إلى الأكثر تركّزًا: القمر، والمريخ، والأرض، والمشتري، وزحل. وكتلة نقطية في المركز لها $I = 0$، إذن $C = 0$.

تمرين 3.5 ★★

يدور تيتان حول زحل على $a = 1221.87 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ في $15.945\,421$ يومًا. احسب كتلة زحل وقارنها بالكتلة الجدولية، $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

حل

حل التمرين 3.5.

$T = 15.945421\times86400 = 1\,377\,684\,\mathrm{s}$; $GM = 4\pi^2(1.221\,87 \times 10^{9})^3/1\,377\,684^2 = 3.794 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$; $M = 3.794 \times 10^{16}/6.6743 \times 10^{-11} = 5.685 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$، أي في حدود $0.03\,\%$ من $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

تمرين 3.6 ★★

تتلقى الأرض $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ على بُعد $149.6 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ من الشمس. احسب الشدة الإشعاعية عند المريخ ($228.0 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$) وعند المشتري ($778.5 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$)، وقارنها بالقيمتين الجدوليتين $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ و$50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

حل

حل التمرين 3.6.

$S = 1361\times(149.6/228.0)^2 = 585.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند المريخ، و $1361\times(149.6/778.5)^2 = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ عند المشتري، وهو يتفق مع الجداول (والفرق الصغير عند المريخ يأتي من تقريب المسافات المتوسطة).

تمرين 3.7 ★★

بيّن أنه عند ألبيدو معيّن تتغيّر $T_\mathrm{eq}$ وفق $d^{-1/2}$. احسب $T_\mathrm{eq}$ للمشتري ($S = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$، $A = 0.343$). وإذا وُجد أن المشتري يشعّ قدرة أكبر من القدرة التي يمتصها من الشمس، فماذا يعني ذلك عن باطنه؟

حل

حل التمرين 3.7.

$S \propto d^{-2}$ و$T_\mathrm{eq} \propto S^{1/4}$، إذن $T_\mathrm{eq} \propto d^{-1/2}$. وبالنسبة إلى المشتري، $T_\mathrm{eq} = (50.26\times0.657/(4\times 5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 109.8\,\mathrm{K}$. فالكوكب الذي يشعّ أكثر مما يمتص يجب أن يكون له مصدر حرارة داخلي: فالمشتري يطلق حرارة خزّنها منذ تكوّنه، أو يولّدها وهو ينكمش ببطء.

تمرين 3.8 ★★

احسب الاحترار الدفيئ $T_\mathrm{surf} - T_\mathrm{eq}$ للزهرة ($737\,\mathrm{K}$)، وللأرض ($288\,\mathrm{K}$، $A = 0.294$)، وللمريخ ($214\,\mathrm{K}$). عبّر عن كل منها ككسر من $T_\mathrm{eq}$.

حل

حل التمرين 3.8.

الزهرة: $737 - 226.6 = 510\,\mathrm{K}$، أي $225\,\%$ من $T_\mathrm{eq}$. الأرض: $T_\mathrm{eq} = (1361\times0.706/(4\sigma))^{1/4} = 255.1\,\mathrm{K}$، $288 - 255.1 = 33\,\mathrm{K}$، أي $13\,\%$. المريخ: $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$، أي $2\,\%$.

تمرين 3.9 ★★

بالنسبة إلى كرة منتظمة، بيّن أن $C = 0.4$ بتكامل عزوم القصور الذاتي لقشور كروية رقيقة (لقشرة نصف قطرها $r$ وكتلتها $\mathrm dm$ عزم قصور $\mathrm dI = \tfrac23 r^2\,\mathrm dm$). ما القيمة التي تكون لقشرة مجوّفة نصف قطرها $R$؟

حل

حل التمرين 3.9.

بوضع $\mathrm dm = 4\pi\rho r^2\,\mathrm dr$: $I = \int_0^R\tfrac23r^2\,4\pi \rho r^2\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$، و$MR^2 = \tfrac43\pi\rho R^5$، إذن $C = \tfrac{8}{15}\cdot\tfrac34 = \tfrac25$. وقشرة مجوّفة تتركّز كل كتلتها عند $r = R$: $I = \tfrac23MR^2$، و$C = \tfrac23$.

تمرين 3.10 ★★★

لعطارد $\bar\rho = 5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$C = 0.35$، ونصف قطر قدره $2439.7\,\mathrm{km}$. مع كثافة وشاح قدرها $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، استعمل نموذج الطبقتين لإيجاد نصف قطر لبّه، وكثافة لبّه، وكسر كتلته الموجود في اللبّ. ما الملاحَظ في عطارد؟

حل

حل التمرين 3.10.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750.4$؛ $x^2 = (4750.4 - 3300)/(5429 - 3300) = 1450.4/2129 = 0.6812$، $x = 0.8254$، نصف القطر اللبّي $0.8254\times2439.7 = 2014\,\mathrm{km}$. $x^3 = 0.5623$ و $\rho_c = 3300 + 2129/0.5623 = 7086\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. ويحوي اللبّ $0.5623\times7086/5429 = 73\,\%$ من الكتلة. ويبلغ لبّ عطارد $83\,\%$ من نصف قطره، في مقابل $3485/6371 = 55\,\%$ للأرض: فعطارد في معظمه لبّ، مع وشاح صخري رقيق.

تمرين 3.11 ★★★

نمذج جرمًا بلا غلاف جوي، نصف نهاره عند حرارة منتظمة $T_1$ ونصف ليله عند $T_2$، يشعّان معًا القدرة الممتصة. (أ) بيّن أنه إذا كان $T_1^4 + T_2^4 = 2T_\mathrm{eq}^4$، فإن المتوسط $(T_1 + T_2)/2$ لا يتجاوز $T_\mathrm{eq}$، ولا يساويها إلا حين $T_1 = T_2$. (ب) بالنسبة إلى القمر، $T_\mathrm{eq} = 270\,\mathrm{K}$؛ خذ $T_2 = 100\,\mathrm{K}$. احسب $T_1$ والمتوسط.

حل

حل التمرين 3.11.

(أ) الدالة $t\mapsto t^4$ محدّبة، إذن $\bigl(\tfrac{T_1 + T_2}{2}\bigr)^4 \le \tfrac{T_1^4 + T_2^4}{2} = T_\mathrm{eq}^4$، ولا يتساويان إلا إذا كان $T_1 = T_2$. (ب) $T_1^4 = 2\times270^4 - 100^4 = 1.0529 \times 10^{10}$، إذن $T_1 = 320\,\mathrm{K}$، ويكون المتوسط $(320 + 100)/2 = 210\,\mathrm{K}$، أي أدنى من $T_\mathrm{eq}$ بمقدار $60\,\mathrm{K}$.

تمرين 3.12 ★★★

للزهرة نصف قطر قدره $6051.8\,\mathrm{km}$، وجاذبية سطحية $8.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، وضغط سطحي $92\,\mathrm{bar}$. احسب كتلة غلافها الجوي، وقارنها بكتلة غلاف الأرض، $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$، وبكتلة الزهرة، $4.8673 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. ماذا توحي المقارنة عن المكان الذي يُحتفظ فيه بثاني أكسيد الكربون الأرضي؟

حل

حل التمرين 3.12.

$m = 4\pi R^2p/g = 4\pi\times(6.0518 \times 10^{6})^2\times9.2 \times 10^{6}/8.9 = 4.602 \times 10^{14}\times1.034 \times 10^{6} = 4.76 \times 10^{20}\,\mathrm{kg}$: أي 93 مرة كتلة غلاف الأرض الجوي، و$9.8 \times 10^{-5}$ من كتلة الزهرة. وتحوي الأرض كمية مماثلة من الكربون، ليس في هوائها، بل في الصخور الكربوناتية (الحجر الجيري) وفي المحيط، حيث أتاح الماء السائل تخزينه.

3.6 مسألة: وزن المريخ وسبر باطنه

مسألة 3.1

مسألة نهاية الأسبوع — كتلة المريخ من قمره، وكثافته وحرارته، وحجم لبّه

يدور فوبوس، القمر الأكبر للمريخ، على بُعد متوسط قدره $9378\,\mathrm{km}$ من مركز المريخ في $0.318\,91$ يومًا. وللمريخ نصف قطر متوسط $3389.5\,\mathrm{km}$، وفترة دوران $24.6\,\mathrm{h}$، وعامل عزم قصور ذاتي $C = 0.366$، وألبيدو بوند 0.250، وضغط سطحي متوسط $6.36\,\mathrm{mbar}$؛ ويتلقى $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ من الشمس، ومتوسط حرارته السطحية نحو $214\,\mathrm{K}$. وكتلة فوبوس $1.06 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. خذ $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ و$\sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

الجزء الأول — وزن المريخ.

1. حوّل دور فوبوس إلى ثوانٍ.
2. احسب $GM$ للمريخ.
3. استنتج كتلة المريخ.
4. هل من الصواب إهمال كتلة فوبوس؟
5. احسب السرعة المدارية لفوبوس.
6. قارن دور فوبوس بدوران المريخ. في أيّ اتجاه يعبر فوبوس سماء المريخ؟

الجزء الثاني — الكثافة والجاذبية.

7. احسب حجم المريخ.
8. احسب كثافته المتوسطة، مقرّبةً إلى $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.
9. قارنها بكثافة الأرض، $5514\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. أعطِ سببين لكون الأرض أكثف.
10. احسب الجاذبية عند سطح المريخ.
11. احسب سرعة الإفلات من سطح المريخ.

الجزء الثالث — الحرارة والغلاف الجوي.

12. احسب درجة حرارة توازن المريخ.
13. قارنها بمتوسط الحرارة السطحية. ما مقدار الاحترار الدفيئ؟
14. احسب كتلة الغلاف الجوي فوق كل متر مربع من المريخ، وقارنها بكتلة غلاف الأرض ($p = 1014\,\mathrm{hPa}$، $g = 9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$).
15. احسب الكتلة الكلية لغلاف المريخ الجوي.
16. غلاف المريخ الجوي فيه $95\,\%$ من ثاني أكسيد الكربون، ومع ذلك فالاحترار الدفيئ فيه صغير. اقترح سببًا.

الجزء الرابع — لبّ المريخ.

17. ما قيمة $C$ لو كان المريخ منتظمًا؟ ماذا تخبرنا القيمة المقيسة؟
18. اكتب الكثافة المتوسطة لمريخ ذي طبقتين بدلالة نصف القطر النسبي للبّ $x$، وكثافة الوشاح $\rho_m$، وكثافة اللبّ $\rho_c$.
19. اكتب عامل عزم قصوره الذاتي بالمجاهيل نفسها.
20. بيّن أن $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$.
21. مع الكثافة المتوسطة في السؤال 8 و$\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، احسب $x$ وكثافة اللبّ.
22. ما الكسر من كتلة المريخ الموجود في لبّه؟
23. كرّر السؤال 21 مع $\rho_m = 3450$ و$3550\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. ماذا تستنتج عن دقة النموذج؟
24. أعطِ نصف قطر لبّ المريخ من النموذج مع $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$، وقارنه بقيمة الجدول الكوكبي، $1830\,\mathrm{km}$، وبالنتيجة الزلزالية الحديثة، $1650\,\mathrm{km}$ إلى $1675\,\mathrm{km}$.

حل

حل المسألة 3.1.

1. $T = 0.31891\times86400 = 27\,553.8\,\mathrm{s}$.

2. $GM = 4\pi^2\times(9.378 \times 10^{6})^3/27\,553.8^2 = 4.289 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$.

3. $M = 4.289 \times 10^{13}/6.6743 \times 10^{-11} = 6.426 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$، أي في حدود $0.14\,\%$ من الكتلة الجدولية $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$.

4. $1.06 \times 10^{16}/6.426 \times 10^{23} = 1.6 \times 10^{-8}$: كتلة فوبوس مهملة.

5. $v = 2\pi a/T = 2\pi\times9.378 \times 10^{6}/27553.8 = 2138\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$، أي نحو $2.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

6. $T = 7.65\,\mathrm{h}$، أي أقصر بمقدار 3.2 مرة من دوران المريخ: فيدور فوبوس أسرع من دوران الأرض تحته، فيسبق الدوران. ويُرى من المريخ أنه يطلع من الغرب ويغرب في الشرق.

7. $V = \tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3 = 1.6312 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$.

8. $\bar\rho = 6.426 \times 10^{23}/1.6312 \times 10^{20} = 3939$، أي $3940\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

9. $3940/5514 = 0.715$. فالأرض، الأكبر والأثقل، تضغط باطنها بقوة أكبر؛ وقلبها الحديدي حصة أكبر من الكوكب.

10. $g = GM/R^2 = 4.289 \times 10^{13}/(3.3895 \times 10^{6})^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، أي $38\,\%$ من جاذبية الأرض.

11. $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2\times4.289 \times 10^{13}/ 3.3895 \times 10^{6}} = 5.03\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

12. $T_\mathrm{eq} = (586.2\times0.75/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 209.8\,\mathrm{K}$.

13. $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$: أثر دفيئ ضعيف.

14. $m = p/g = 636/3.733 = 170\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$؛ أما للأرض $101400/9.82 = 10\,326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$، أي أكثر بنحو 61 مرة.

15. $4\pi R^2\times170.4 = 1.444 \times 10^{14}\times170.4 = 2.46 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

16. فوق كل متر مربع من المريخ غاز أقل ستين مرة مما على الأرض، لذلك يكون امتصاص تحت الحمراء ضعيفًا، مع أنه بثاني أكسيد الكربون؛ وهواء المريخ يحوي بخار ماء قليلًا جدًا، وهو الماص الرئيسي الآخر.

17. لو كان المريخ منتظمًا لكان $C = 0.4$؛ والقيمة المقيسة 0.366 تدلّ على أن كثافته تتزايد نحو المركز: للمريخ لبّ كثيف.

18. $\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^3$.

19. $C = \tfrac25[\rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^5]/\bar\rho$.

20. من السؤالين 18 و19، $(\rho_c - \rho_m)x^3 = \bar\rho - \rho_m$ و $(\rho_c - \rho_m)x^5 = \tfrac52C\bar\rho - \rho_m$؛ وبالقسمة نحصل على $x^2$.

21. $\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.366\times3940 = 3605.1$; $x^2 = (3605.1 - 3500)/(3940 - 3500) = 105.1/440 = 0.2389$, $x = 0.4887$. $x^3 = 0.1167$ و$\rho_c = 3500 + 440/0.1167 = 7269\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

22. $x^3\rho_c/\bar\rho = 0.1167\times7269/3940 = 0.215$، أي $21.5\,\%$ من الكتلة.

23. مع $\rho_m = 3450$: $x^2 = 155.1/490 = 0.3165$، $x = 0.5626$، ونصف قطر اللبّ $1907\,\mathrm{km}$، و$\rho_c = 6202\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. ومع $\rho_m = 3550$: $x^2 = 55.1/390 = 0.1413$، $x = 0.3759$، و$1274\,\mathrm{km}$، $\rho_c = 10\,894\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. فتغيّر قدره $1.4\,\%$ في كثافة الوشاح المفروضة يحرّك نصف قطر اللبّ بعدة مئات من الكيلومترات: فالكثافة المتوسطة و$C$ وحدهما لا يحدّدان لبّ المريخ بدقة، ولهذا أُرسلت مقاييس الزلازل إليه.

24. $0.4887\times3389.5 = 1657\,\mathrm{km}$: نصف قطر لبّ المريخ من النموذج هو نحو $1660\,\mathrm{km}$، ضمن المدى الزلزالي الحديث، $1650\,\mathrm{km}$ إلى $1675\,\mathrm{km}$، ودون $1830\,\mathrm{km}$ في الجدول الكوكبي بكثير — وهو توافق يبيّن السؤال 23 أنه جزئيًا محض حظّ في اختيار $\rho_m$.